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点悟:判断两个三角形全等,先挖掘题目中隐含的条件 (如公共边、公共角、对顶角等),再根据具体条 件选择判定方法.
考点3:角的平分线的性质及判定
性质 判定
角的平分线上的点到角的两边的 距离 的点在
相等
. 上.
角的内部到角的两边的距离相等
角的平分线
[八上 P50 练习第 2 题]如图,△ABC 的 ABC 的外角的平 分线 BD 与∠C 的外角的平分线 CE 相交于点 P. 求证:点 P 到三边 AB、BC、CA 所在直线的距离相等.
证明:在 Rt△ ACB 和 Rt△ BDA 中
A
B
O AB BA D C BC AD ∴ Rt△ ACB ≌ Rt△BDA ( HL )
(2)若 ABC 35o ,求 CAO 的度数.
解:∵ C 90 , ABC 35
o o
A
B
∴ BAC 90o ABC 55o
a
66
o
.
54o
b
c
b
1
c
60o
[2016 厦门]如图,点 E,F 在线段 BC 上, △ ABF 与 △ DCE 全等,点 A 与点 D,点 B 与点 C 是对应 顶点,AF 与 DE 交于点 M,则 DCE ( A ) A. B C. EMF
A B M E
F
B. A D. AFB
一条直角边
分别相等的两个直角
三角形全等(“斜边、直角边”或“ HL ”).
[八上 P44 习题第 11 题]如图,点 B,F,C,E 在一 条直线上, FB CE ,AB∥ED,AC∥FD. A 求证: AB DE , AC DF .
证明:∵AB∥ED,AC∥FD B F ∴∠B =∠E,∠ACB =∠DFE
第26课时 全等三角形
考点1:全等三角形的概念及性质
全等 图形 能够 的两个图形叫做全等形, 大小 全等图形的形状和 都相同. 的两个三角形叫做全等 完全重合
全等三 能够 完全重合 角形 三角形.
性质
(1)全等三角形的 (2)全等三角形的
对应边 对应角
相等； 相等.
[八上 P33 习题第 3 题]如图是两个全等三角形,图中 的字母表示三角形的边长,则 1
B
C
∴ △ABD ≌ △ACD ( AAS )
∴ AB AC .
3.如图,在 △ ABC 中, AB AC ,点 D 在边 AC 上. (1)作图:连接 BD 并延长,在 BD 的延长线上取 点 E,使 AE AB ,连接 AE,作 EAC 的平分 线 AF,AF 交 DE 于点 F (用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)；
相等
夹角 夹边
的两个三角形全等 对应相等的两个三角 对应相等的两个三角 分别相等的两个
(“边边边”或“ SSS ”). 两边和它们的 一般三 角形 两角和它们的 形全等(“边角边”或“ SAS ”). 形全等(“角边角”或“ ASA ”). 两角和其中一个角的 对边 直角三 角形 斜边和 三角形全等(“角角边”或 AAS ”).
AB AD BC DC AC AC
A
B
D
C
∴ △ ABC ≌ △ ADC ( SSS )
∴ BAC DAC .
2.[2016 镇江]如图,AD,BC 相交于点 O, AD BC ,
C D 90o .
(1)求: △ ACB ≌ △ BDA ；
C
D
E
∵FB =CE ∴ FB FC CE FC 即BC=EF ∴△ABC≌△DEF( ASA ) ∴AB =DE,AC =DF.
1.[2016 福州]一个平分角的仪器如图所示,其中
AB AD , BC DC .求证: BAC DAC .
证明:在 △ ABC 和 △ ADC 中
A B
D
C
2.如图所示,已知 1 2 ,请你添加一个条件, 证明: AB AC . (1)你添加的条件是 (2)请写出证明过程.
解:(1)添加的条件是 B C (答案不唯一)
；
A
12
D
(2)证明:在 △ABD 和 △ACD 中
B C 1 2 AD AD
D
C
如图,在 △ ABC 和 △ EDB 中, C EBD 90o , 点 E 在 AB 上,若 △ ABC ≌ △ EDB , AC 4 ,
BC 3 ,则 AE 的长为
1
D
.
B A E
C
点悟:掌握全等三角形的对应边相等,对应角相等是解 题的关键.
考点 2:三角形全等的判定
三边分别
解:过点D作DE⊥AB,垂足为E
D P
由题意得 AP 是 CAB 的平分线, C 90o
解:(1)如图所示；
A
D
E F
A
D
B
B
C
C
(2)在(1)条件下,连接 CF,求证: E ACF .
(2)证明:∵ AB AC , AB AE
E A D B
C
∴ AE AC ∵AF 平分 EAC
F
∴ EAF CAF 又∵ AF AF
∴ △ AEF ≌ △ ACF ∴ E ACF .
证明:过点P分别作PM⊥AB, PN⊥BC, PQ⊥AC,垂足分别为M、N、Q. ∵BD是∠ABC的外角的平分线,
Q
C
D P
N
A B M
E
PM⊥AB,PN⊥BC
∴PM =PN ∴PM =PN =PQ
即点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等.
[2016 淮安]如图,在 Rt△ ABC 中, C 90o .以顶点 A 为圆心,适当长为半径画弧,分别交 AC,AB 于点 M,N, 再分别以点 M,N 为圆心,大于 1 MN 的长为半径画弧, 2 两弧交于点 P,作射线 AP 交边 BC 于点 D,若 CD 4 , AB 15 ,求 △ ABD 的面积. C
∵ Rt△ ACB ≌ Rt△BDA
∴ BAD ABC 35o
C
O
D
∴ CAO BAC BAD
55o 35o 20o .
1. 如图 , 已知 AB AD , 添加下列一个条件后 , 仍无法判定 △ ABC ≌ △ ADC 的是( C ) A. CB CD B. BAC DAC C. BCA DCA D. B D 90o
