三角形全等模型详细专题 初中数学

全等三角形的五种模型一、手拉手模型已知：△ABE和△ACD为两个的等腰三角形，∠BAE＝∠CAD＝∠α，连接EC，BD交于点O结论：①△ABD ≌△AEC；②∠α＋∠BOC＝180°；③OA平分∠BOC已知：△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，连接CD，BE交于点O结论：①△ACD ≌△ABE；②∠BOC＝90°；③OA平分∠BOC已知：直线AB的同一侧作△ABD和△BCE都为等边三角形，连接AE，CD，二者交点为H结论：①△ABE≌△DBC；②AE＝DC；③∠DHA＝60°；④△AGB≌△DFB；⑤△EGB≌△CFB；⑥连接GF，GF∥AC；⑦连接HB，HB平分∠AHC模型应用1. (2010·深圳改编)如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，D 在AB上．(1)求证：△AOC≌△BOD；(2)判断△CAD是什么形状的三角形，说明理由．2.如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，连接CD，BE，CD，BE相交于点O，判断CD 与BE的位置关系，并说明理由半角模型已知：正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点，且∠EAF＝45°结论：将△ADF绕点A旋转90°到△ABG，则：①EF＝DF＋BE；②△CEF的周长为正方形ABCD周长的一半已知：正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点，且∠EAF＝45°结论：将△AEB绕点A为旋转90°到△ADE′，则：EF＝DF－BE已知：在正方形ABCD中，AB＝1，E，F分别是边BC，CD上的点，连接EF，AE，AF，过A 作AH⊥EF于点H，BE＝EH结论：①△ABE≌△AHE；②△AHF≌△ADF；③∠EAF＝45°；④EF＝BE＋DF模型应用3. (2015·深圳改编)如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE 折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③∠GDE＝45°；④DG＝DE.在以上4个结论中，正确的共有()A. 1个B. 2 个C. 3 个D. 4个4. 如图，在正方形ABCD中，AB＝1，E，F分别是边BC，CD上的点，连接EF，AE，AF，过A作AH⊥EF于点H.若EF＝BE＋DF，那么下列结论：①AE平分∠BEF；②FH＝FD；③∠EAF ＝45°；④S△EAF＝S△ABE＋S△ADF；⑤△CEF的周长为2.其中正确结论的个数是() A. 2 B. 3C. 4D. 5第三题第四题倍长中线模型已知：在△ABC 中，AD 是BC 边中线结论：延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ，则：①△ADC ≌△EDB ；②AD< 21(AB ＋AC)已知：在△ABC 中，AD 是BC 边中线结论：作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E ，连接BE ，则：①△BDE ≌△CDF ；②BE ∥FC模型应用6. 已知：在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF.一直线三垂直模型已知：AE＝DE，AE⊥DE，∠B＝∠C＝90结论：①△ABE≌△ECD；②BC＝AB＋CD已知：在正方形ABCD中，∠ABF＝∠C＝90°，AF⊥BE，交于点H结论：①△ABF≌△BCE；②EC＝AB－FC模型应用7. (2016·深圳改编)如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边形ADEF 为正方形，过点F作FG∠CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S∠FAB∠S四边形CBFG＝1∠2；③∠ABC＝∠ABF.其中正确的结论的个数是()A.1B. 2C. 3D. 08. 如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，则下列结论：①∠AME＝90°；②∠BAF＝∠EDB；③MD＝2AM＝4EM.其中正确的结论有()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个9. 如图，ABCD是正方形，G是BC上(除端点外)的任意一点，DE∠AG于点E，BF∠DE，交AG 于点F.给出以下结论：①∠AED∠∠BFA；②DE－BF＝EF；③∠BGF∠∠DAE；④DE－BG＝FG.其中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. (2018·深圳)如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB＝4，则阴影部分的面积是________．对角互补模型已知：已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB结论模型应用11.(2012·深圳)如图，Rt∠ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形6，则另一直角边BC的长为________．对角线交于点O，连接OC，已知AC＝5，OC＝212. (2017·深圳)如图，在Rt∠ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt∠MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝________．。

三角形全等的相关模型总结【例题详解】①如图1，在中ABC ∆，,cm 4,6,900==∠=∠BD cm BC CAB AD C 平分，那么点D 到直线AB 的距离是cm.②如图2，已知，21∠=∠，43∠=∠.BAC AP ∠平分求证：.图1图2①2（提示：作DE ⊥AB 交AB 于点E）类别1：角平分线模型应用模型1：角平分性质模型：辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC②21∠=∠ ，PN PM =∴，43∠=∠ ，PQ PN =∴，BAC PA PQ PM ∠∴=∴平分,.模型2：角平分线+垂线，等腰三角形比呈现辅助线：延长ED 交射线OB 于F 辅助线：过点E 作EF∥射线OB【例题详解】已知：如图2，在中ABC ∆，,,AD AB D BC AD BAC =∠且于交的角平分线)(21.AC AB AM M AD AD CM +=⊥求证：的延长线于交作分析：此题很多同学可能想到延长线段CM，但很快发现与要证明的结论毫无关系。

而此题突破口就在于AB=AD，由此我们可以猜想过C 点作平行线来构造等腰三角形.证明：过点C 作CE∥AB 交AM 的延长线于点E.例题变形:如图，21∠=∠，的中点为AC B ，.,N FB AN M FB CM 于于⊥⊥模型3：角分线，分两边，对称全等要记全两个图形的辅助线都是在射线OA 上取点B ，使OB=OA ，从而使OAC ∆≌△OBC.【例题详解】①、在△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP 平分∠BAC 交BC 于P，BQ 平分∠ABC 交AC 于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。

思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。

2）解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+AQ。

形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。

可过O 作BC 的平行线。

得△ADO≌△AQO。

专题03全等三角形的六种模型全梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。

类型一、倍长中线模型目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。

将分散的条件集中到一个三角形中。

如图1，ABC 中，若86AB AC ==，，求BC 边上的中线小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图连接BE ．请根据小明的方法思考：（1）如图2，由已知和作图能得到ADC EDB ≌△△A ．SSS B ．SAS C ．AAS D ．ASA（2）如图2，AD 长的取值范围是．（2）根据全等三角形的性质得到6AC BE ==，由三角形三边关系得到AB BE AE AB BE -<<+，即可求出17AD <<；（3）延长AD 到点M ，使AD DM =，连接BM ，证明ADC MDB △△≌，得到BM AC CAD M =∠=∠，，由AE EF =得到CAD AFE ∠=∠，进而推出BF BM =，即可证明AC BF =．【详解】解：（1）如图2，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ．∵AD 为BC 的中线，∴BD CD =，又∵AD DE ADC BDE =∠=∠，，∴()SAS ADC EDB ≌△△，故答案为：B ；（2）解：∵ADC EDB ≌△△，∴6AC BE ==，在ABE 中，AB BE AE AB BE -<<+，∴86286AD -<<+，∴17AD <<，故答案为：C ；（3）证明：延长AD 到点M ，使AD DM =，连接BM ，∵AD 是ABC 中线，∴CD BD =，∵在ADC △和MDB △中，DC DB ADC MDB AD HD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ADC MDB ≌△△，∴BM AC CAD M =∠=∠，，∵AE EF =，(1)如图1，求证：12BF AD =；(2)将DCE △绕C 点旋转到如图2所示的位置，连接,AE BD ，过C 点作CM ⊥①探究AE 和BD 的关系，并说明理由；②连接FC ，求证：F ，C ，M 三点共线．【答案】(1)见解析(2)①,AE BD AE BD =⊥，理由见解析②见解析【分析】（1）证明≌ACD BCE V V ，得到AD BE =，再根据点F 为BE 中点，即可得证；则：AGB CBD BHG ∠=∠+∠=∠∵CBD EAC ∠=∠，∴90BHG ACB ∠=∠=︒，∴AE BD ⊥，综上：,AE BD AE BD =⊥；②延长CF 至点P ，使PF CF =∵F 为BE 中点，∴BF FE =，∴()SAS BFP EFC ≌，∴,BP CE BPF ECF =∠=∠，∴CE BP ，∴180CBP BCE ∠+∠=︒，∵360180BCE ACD ACB DCE ∠+∠=︒-∠-∠=︒，∴CBP ACD ∠=∠，又,CE CD BP AC BC ===，∴()SAS PBC DCA ≌，∴BCP CAD ∠=∠，延长FC 交AD 于点N ，则：18090BCP ACN ACB ∠+∠=︒-∠=︒，∴90CAD ACN ∠+∠=︒，∴90ANC ∠=︒，∴CN AD ⊥，∵CM AD ⊥，∴点,M N 重合，即：F ，C ，M 三点共线．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质．熟练掌握手拉手全等模型，倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键．【变式训练1】如图，ABC 中，BD DC AC ==，E 是DC 的中点，求证：2AB AE =．【答案】见解析【分析】利用中线加倍证DEF CEA △≌△（SAS ），可得DF AC BD ==，FDE C ∠=∠，由DC AC =，可得ADC CAD ∠=∠进而可证ADF ADB ∠=∠.，再证ADB ADF △≌△（SAS ）即可．【详解】证明：延长AE 到F ，使EF AE =，连结DF ，∵E 是DC 中点，∴DE CE =，∴在DEF 和CEA 中，DE CE DEF CEA EF EA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DEF CEA △≌△（SAS ），∴DF AC BD ==，FDE C ∠=∠，∵DC AC =，∴ADC CAD ∠=∠，又∵ADB C CAD ∠=∠+∠，ADF FDE ADC ∠=∠+∠，∴ADF ADB ∠=∠，在ADB 和ADF △中，AD AD ADB ADF DB DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADB ADF △≌△（SAS ），∴2AB AF AE ==．【点睛】本题考查中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质，掌握中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质是解题关键．【变式训练2】（1）如图1，已知ABC 中，AD 是中线，求证：2AB AC AD +>；（2）如图2，在ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，求证：AB AC AD AE +>+；（3）如图3，在ABC 中，D ，E 在边BC 上，且BD CE =．求证：AB AC AD AE +>+．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）利用“倍长中线”法，延长AD ，然后通过全等以及三角形的三边关系证明即可；（2）取DE 中点H ，连接AH 并延长至Q 点，使得AH =QH ，连接QE 和QC ，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到AB =CQ ，AD =EQ ，然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论；（3）同（2）处理方式一样，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ，结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论．【详解】证：（1）如图所示，延长AD 至P 点，使得AD =PD ，连接CP ，∵AD 是△ABC 的中线，∴D 为BC 的中点，BD =CD ，在△ABD 与△PCD 中，BD CD ADB PDC AD PD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△PCD (SAS )，∴AB =CP ，在△APC 中，由三边关系可得AC +PC ＞AP ，∴2AB AC AD +>；（2）如图所示，取DE 中点H ，连接AH 并延长至Q 点，使得AH =QH ，连接QE 和QC ，∵H 为DE 中点，D 、E 为BC 三等分点，∴DH =EH ，BD =DE =CE ，∴DH =CH ，在△ABH 和△QCH 中，BH CH BHA CHQ AH QH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABH ≌△QCH (SAS )，同理可得：△ADH ≌△QEH ，∴AB =CQ ，AD =EQ ，此时，延长AE ，交CQ 于K 点，∵AC +CQ =AC +CK +QK ，AC +CK ＞AK ，∴AC +CQ ＞AK +QK ，又∵AK +QK =AE +EK +QK ，EK +QK ＞QE ，∴AK +QK ＞AE +QE ，∴AC +CQ ＞AK +QK ＞AE +QE ，∵AB =CQ ，AD =EQ ，∴AB AC AD AE +>+；（3）如图所示，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ，∵M 为DE 中点，∴DM =EM ，∵BD =CE ，∴BM =CM ，在△ABM 和△NCM 中，BM CM BMA CMN AM NM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABM ≌△NCM (SAS )，同理可证△ADM ≌△NEM ，∴AB =NC ，AD =NE ，此时，延长AE ，交CN 于T 点，∵AC +CN =AC +CT +NT ，AC +CT ＞AT ，∴AC +CN ＞AT +NT ，又∵AT +NT =AE +ET +NT ，ET +NT ＞NE ，∴AT +NT ＞AE +NE ，∴AC +CN ＞AT +NT ＞AE +NE ，∵AB =NC ，AD =NE ，∴AB AC AD AE +>+．【点睛】本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍长中线”的基本思想，以及熟练运用三角形的三边关系是解题关键．【答案】（1）1.5 6.5AE <<；（2）见解析；（3）BE DF EF +＝，理由见解析【分析】（1）如图①：将ACD △绕着点D 逆时针旋转180 得到EBD △可得BDE ≅ 得出5BE AC ==，然后根据三角形的三边关系求出AE 的取值范围，进而求得AD 范围；（2）如图②：FDC △绕着点D 旋转180︒得到NDB 可得BND CFD ≅ ，得出BN∴1.5 6.5AD ＜＜；故答案为1.5 6.5AD ＜＜；（2）证明：如图②：FDC △绕着点D 旋转180︒得到NDB∴BND CFD ≅ （SAS ），∴BN CF =，DN DF=∵DE DF⊥∴EN EF =，在BNE 中，由三角形的三边关系得：BE BN EN +＞，∴BE CF EF +＞；（3）BE DF EF +＝，理由如下：如图③，将DCF 绕着点C 按逆时针方向旋转100︒∴△DCF ≌△BCH ，∴100CH CF DCB FCH ∠∠=︒＝，＝∴HBC D DF BH∠∠=＝，∵180ABC D ∠+∠︒＝∴180HBC ABC ∠+∠︒＝，∴点A 、B 、H 三点共线∵100FCH ∠=︒，50FCE ∠=︒，∴50ECH ∠=︒∴FCE ECH ∠∠＝，在HCE 和FCE △中，===CF CH ECF ECH CE CE ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴HCE FCE ≌ （SAS ）∴EH EF ＝，∵BE BH EH DF BH+=＝，∴BE DF EF +＝．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理、旋转的性质等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键.类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）(1)求证：CD BC DE=+；(2)若75B∠=︒，求E∠的度数．【答案】(1)见解析(2)105︒【分析】（1）在CD上截取CF∵CA平分BCD∠，∴BCA FCA∠=∠．在BCAV和FCA△中，⎧⎪∠⎨⎪⎩，∠=︒BAC60【答案】（1）5.8；（2）4.3【分析】（1）由已知条件和辅助线的作法，证得△ACD≌△ECD，得到由于∠A＝2∠B，推出∠DEC＝2∠B，等量代换得到∠B＝∠EDB形，得出AC ＝CE ＝3.6，DE ＝BE ＝2.2，相加可得BC 的长；（2）在BA 边上取点E ，使BE ＝BC ＝2，连接DE ，得到△DEB ≌△DBC （SAS ），在DA 边上取点F ，使DF ＝DB ，连接FE ，得到△BDE ≌△FDE ，即可推出结论．【详解】解：（1）如图2，在BC 边上取点E ，使EC ＝AC ，连接DE ．在△ACD 与△ECD 中，AC CE ACD ECD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△ECD （SAS ），∴AD ＝DE ，∠A ＝∠DEC ，∵∠A ＝2∠B ，∴∠DEC ＝2∠B ，∴∠B ＝∠EDB ，∴△BDE 是等腰三角形；∴BE ＝DE ＝AD ＝2.2，AC ＝EC ＝3.6，∴BC 的长为5.8；（2）∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°，∴∠ABC ＝∠C ＝80°，∵BD 平分∠B ，∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC ＝60°，在BA 边上取点E ，使BE ＝BC ＝2，连接DE ，在△DEB 和△DBC 中，12BE BC BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEB ≌△DBC （SAS ），∴∠BED ＝∠C ＝80°，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，在DA 边上取点F ，使DF ＝DB ，连接FE ，同理可得△BDE ≌△FDE ，∴∠5＝∠1＝40°，BE ＝EF ＝2，∵∠A ＝20°，∴∠6＝20°，∴AF ＝EF ＝2，∵BD ＝DF ＝2.3，∴AD ＝BD +BC ＝4.3．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟悉这些定理是解决本题的关键．类型三、一线三等角模型应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。

第05讲模型构建专题：全等三角形中的常见八种模型(8类热点题型讲练)目录【模型一平移型模型】 (1)【模型二轴对称型模型】 (3)【模型三四边形中构造全等三角形解题】 (5)【模型四一线三等角模型】 (9)【模型五三垂直模型】 (13)【模型六旋转型模型】 (18)【模型七倍长中线模型】 (24)【模型八截长补短模型】 (30)【模型一平移型模型】例题：（2023上·福建福州·八年级统考期末）如图，点B，E，C，F在同一直线上，A D∠=∠，AB DE∥，=．BE CF求证：AB DE=．【答案】证明见解析【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定的应用以及两直线平行的判定定理，解此题的关键是推出△△，注意全等三角形的对应边相等；根据AB DE≌ABC DEF∠=∠，又根据∠A=∠D，BE=CF∥可知B DEF可以判定ABC DEF ≌△△，即可求证AB DE =．【详解】解：∵AB DE ∥，∴B DEF ∠=∠，∵BE CF =，∴BC EF =，∴在ABC 和DEF 中，A DB DEF BCEF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC DEF ≌△△，∴AB DE =．【变式训练】1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在ACD 和CEB 中，点A 、B 、C 在一条直线上，D E AD EC AD EC ∠=∠=，∥，．求证：ACD CBE ≌．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得出A ECB ∠=∠，再根据全等三角形的判定定理ASA 证明ACD CBE ≌．【详解】AD EC ∥ ，A ECB ∴∠=∠，在ACD 和CEB 中，A ECB AD ECDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，(ASA)ACD CBE ∴△≌△．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．2．（2024上·新疆和田·八年级统考期末）如图，点A 、D 、C 、F 在同一条直线上，AD CF =，AB DE =，BC EF =．(1)求证：ABC DEF ≌△△；(2)若65A ∠=︒，82B ∠=︒，求F ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)33︒【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．（1）先证明AC DF =，然后根据SSS 证明ABC DEF ≌△△即可；（2）根据全等三角形的性质得出F ACB ∠=∠，进而根据三角形内角和定理即可求解．【详解】（1）证明：AC AD DC =+∵，DF DC CF =+，且AD CF =，AC DF =∴，在ABC 和DEF 中，AB DE BC EF AC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，(SSS)ABC DEF ∴△≌△，（2）解：由（1）可知，ABC DEF ≌△△，F ACB ∠=∠∴，65A ∠=︒ ，82B ∠=︒，180()180(6582)33ACB A B ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒，33F ACB ∴∠=∠=︒．【模型二轴对称型模型】例题：（2024上·云南昆明·八年级统考期末）线段AC 、BD 相交于点E ，D A ∠=∠，DE AE =，求证：C B ∠=∠．【答案】证明见解析．【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据ASA 可证ABE ≌DCE △，根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明： 在DEC 和AEB △中D A DE AE DEA AEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA DEC AEB ∴△≌△，ABE ∴ ≌()ASA DCE ，C B∴∠=∠【变式训练】1．（2023·湖南益阳·统考一模）如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB AC =，BD CE =．求证：ACD ABE ≌．【答案】见解析【分析】根据AB AC =，BD CE =推出AD AE =，即可根据SAS 进行求证．【详解】证明：,,,AB AC BD CE AD AB BD AE AC CE ===-=- ，AD AE ∴=．在ABE 和ACD 中，AD AE A A AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ACD ABE ∴ ≌．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法有SSS,SAS,AAS,ASA,HL ．2．（2024上·山西阳泉·八年级统考期末）如图1是小宁制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB AE =，AC AD =，BAD EAC ∠=∠，40C ∠=︒，求D ∠的度数．【答案】40︒【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先证明BAC EAD ∠=∠，再证明BAC EAD ≌，即可得到40D C ∠=∠=︒．【详解】解：∵BAD EAC ∠=∠，BAD DAC EAC DAC ∴∠+∠=∠+∠，即BAC EAD ∠=∠．在BAC 与EAD 中，,,,AB AE BAC EAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS BAC EAD ∴V V ≌．C D ∴∠=∠．∵40C ∠=︒，40C D =∠=︒∴∠．【模型三四边形中构造全等三角形解题】例题：如图，在四边形ABCD 中，CB AB ⊥于点B ，CD AD ⊥于点D ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE AF =，CE CF =．(1)若8AE =，6CD =，求四边形AECF 的面积；(2)猜想∠DAB ，∠ECF ，∠DFC 三者之间的数量关系，并证明你的猜想．AE ⎧⎪∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．【变式训练】1．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．(1)试说明：DE=DF：(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系为：证明：在ABD ∆和ACD ∆中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，ΔΔ()ABD ACD SSS ∴≅，【模型四一线三等角模型】【答案】探究：见解析；应用：61．已知CD 是经过BCA ∠顶点C 的一条直线，CA CB =．E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠．(1)若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面问题：①如图1，若90BCA ∠=︒，90α∠=︒，求证：BE CF =；②如图2，若180BCA α∠+∠=︒，探索三条线段EF BE AF ，，的数量关系，并证明你的结论；(2)如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，题（1）②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明．【答案】(1)①见解析；②EF BE AF =-，见解析(2)不成立，EF BE AF =+，见解析【分析】（1）①利用垂直及互余的关系得到ACF CBE ∠=∠，证明BCE ≌CAF V 即可；②利用三等角模型及互补证明ACF CBE ∠=∠，得到BCE ≌CAF V 即可；（2）利用互补的性质得到EBC ACF ∠=∠，证明BCE ≌CAF V 即可．【详解】（1）①证明：∵90EE CD AF CD ACB ⊥⊥∠=︒，，，∴90BEC AFC ∠=∠=︒，∴9090BCE ACF CBE BCE ∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴ACF CBE ∠=∠，在BCE 和CAF V 中，EBC FCA BEC CFA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BCE ≌CAF V ()AAS ，∴BE CF =；②解：EF BE AF =-．证明：∵180BEC CFA ACB αα∠=∠=∠∠+∠=︒，，∴180180CBE BCE ACF ACB BCE BCE αα∠=︒-∠-∠∠=∠-∠=︒-∠-∠，，∴ACF CBE ∠=∠，在BCE 和CAF V 中，EBC FCA BEC CFA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BCE ≌CAF V ()AAS ，∴BE CF CE AF ==，，∴EF CF CE BE AF =-=-；（2）解：EF BE AF =+．理由：∵BEC CFA BCA αα∠=∠=∠∠=∠，，又∵180180EBC BCE BEC BCE ACF ACB ∠=∠=∠=︒∠+∠+∠=︒，，∴EBC BCE BCE ACF ∠+∠=∠+∠，∴EBC ACF ∠=∠，在BCE 和CAF V 中，EBC FCA BEC CFA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BCE ≌CAF V ()AAS ，∴AF CE BE CF ==，，∵EF CE CF =+，∴EF BE AF =+．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质，能够熟练运用三等角模型快速证明三角形全等是解题关键．2．（2024上·湖南株洲·八年级校联考期末）（1）如图①，已知∶ABC 中，90,BAC AB AC ∠=︒=，直线m 经过点,A BD m ⊥于,D CE m ⊥于E ，求证∶ABD CAE △△≌；（2）拓展∶如图②，将（1）中的条件改为∶ABC 中，,AB AC D A E =、、三点都在直线m 上，并且BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，α为任意锐角或钝角，请问结论DE BD CE =+是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）应用∶如图③，在ABC 中，BAC ∠是钝角，,AB AC BAD CAE =∠>∠，BDA AEC BAC ∠=∠=∠，直线m 与BC 的延长线交于点F ，若2,BC CF ABC = 的面积是12，求ABD △与CEF △的面积之和．【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）6【分析】（1）先证明90BDA AEC BAC ∠=∠=∠=︒，DBA CAE ∠=∠，然后根据AAS 即可证明ABD CAE ≌ ；（2）先证明DBA CAE ∠=∠，再证明()AAS ABD CAE ≌，再利用全等三角形的性质可得结论；（3）同（2）可证()AAS ABD CAE ≌，得出ABD CEA S S = ，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出ACF S △即可得出结果．【详解】解：（1）∵90BDA AEC BAC ∠=∠=∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒，且90DBA BAD ∠+∠=︒，∴DBA CAE ∠=∠，在ABD △和CAE V 中，【模型五三垂直模型】例题：（2023上·辽宁大连·八年级统考期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)如图1，点A 在直线l 上，90,BAD AB AD ∠=︒=，过点B 作BC l ⊥于点C ，过点D 作DE l ⊥交于点E ．得1D ∠=∠．又90BCA AED ∠=∠=︒，可以推理得到()ABC DAE AAS ≌．进而得到结论：AC =_____，BC =_____．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三直角”模型；(2)如图2，∠90,,,BAD MAN AB AD AM AN BM l ∠=∠=︒==⊥于点C ，DE l ⊥于点E ，ND 与直线l 交于点P ，求证：NP DP =．【答案】(1)DE ，AE(2)见解析【分析】本题考查一线三直角全等问题，（1）由90CBA AED BAD ∠∠∠===︒，得12290D ∠∠∠∠+=+=︒，则1D ∠∠=，而AB DA =，即可证明ABC DAE ≌，得AC DE =，BC AE =，于是得到问题的答案；（2）作NF l ⊥于点F ，因为BM l ⊥于点C ，DE l ⊥于点E ，所以90ACM NFA NFP DEP ∠∠∠∠====︒，由（1）得AC DE =，因为90MAN ∠=︒，所以90CAM FAN FNA FAN ∠∠∠∠+=+=︒，则CAM FNA ∠∠=，而AM NA =，即可证明CAM FNA ≌，得AC NF =，所以NF DE =，再证明PFN PED ≌，则NP DP =．【详解】（1））解：BC l ⊥于点C ，DE l ⊥于点E ，∴90CBA AED ∠∠==︒，∵90BAD ∠=︒，∴12890D ∠∠∠∠+=+=︒，∴1D ∠∠=，在ABC 和DAE 中，1D BCA AED AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AAS ABC DAE ≌（），∴AC DE =，BC AE =，故答案为：DE ，AE ．（2）证明：如图2，作NF l ⊥于点F ，∵BM l ⊥于点C ，DE l ⊥于点E ，∴90ACM NFA NFP DEP ∠∠∠∠====︒，由1AC DE=（）得，同理（1）得AC NF =，∴NF DE =，在PFN 和PED 中，MFP DEF FPN EPD MF DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AAS PFN PED ≌（），∴NP DP =．【变式训练】1．在△ABC 中，∠BAC =90°，AC=AB ，直线MN 经过点A ，且CD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．(1)当直线MN 绕点A 旋转到图1的位置时，EAB DAC ∠+∠=度；(2)求证：DE=CD +BE ；(3)当直线MN 绕点A 旋转到图2的位置时，试问DE 、CD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)90°(2)见解析(3)CD=BE +DE ，证明见解析【解析】【分析】（1）由∠BAC =90°可直接得到EAB DAC ∠+∠=90°；（2）由CD ⊥MN ，BE ⊥MN ，得∠ADC =∠BEA =∠BAC =90°，根据等角的余角相等得到∠DCA =∠EAB ，根据AAS 可证△DCA ≌△EAB ，所以AD =CE ，DC =BE ，即可得到DE =EA +AD =DC +BE ．（3）同（2）易证△DCA ≌△EAB ，得到AD =CE ，DC =BE ，由图可知AE =AD +DE ，所以CD =BE +DE ．(1)∵∠BAC =90°∴∠EAB +∠DAC =180°-∠BAC =180°-90°=90°故答案为：90°．(2)证明：∵CD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E∴∠ADC =∠BEA =∠BAC =90°∵∠DAC +∠DCA =90°且∠DAC +∠EAB =90°∴∠DCA =∠EAB∵在△DCA 和△EAB 中90ADC BEA DCA EAB AC AB ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DCA ≌△EAB (AAS )∴AD =BE 且EA =DC由图可知：DE =EA +AD =DC +BE ．(3)∵CD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E∴∠ADC =∠BEA =∠BAC =90°∵∠DAC +∠DCA =90°且∠DAC +∠EAB =90°∴∠DCA =∠EAB∵在△DCA 和△EAB 中90ADC BEA DCA EAB AC AB ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DCA ≌△EAB (AAS )∴AD =BE 且AE =CD由图可知：AE =AD +DE∴CD =BE +DE ．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．2．（2024上·吉林辽源·九年级统考期末）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到①的位置时，求证：①ADC CEB △△≌；②DE AD BE =+；(2)当直线MN 绕点C 旋转到②的位置时，求证：DE AD BE =-；(3)当直线MN 绕点C 旋转到③的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)见解析(3)DE BE AD =-(或AD BE DE =-，BE AD DE =+)．【分析】本题考查了几何变换综合题，需要掌握全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明ADC △和CEB 全等的三个条件．题型较好．（1）①已知已有两直角相等和AC BC =，再由同角的余角相等证明DAC BCE =∠∠即可证明()AAS ADC BEC ≌；②由全等三角形的对应边相等得到AD CE =，BE CD =，从而得证；（2）根据垂直定义求出BEC ACB ADC ∠=∠=∠，根据等式性质求出ACD CBE ∠=，根据AAS 证出ADC △和CEB 全等，再由全等三角形的对应边相等得到AD CE =，BE CD =，从而得证；（3）同样由三角形全等寻找边的关系，根据位置寻找和差的关系．【详解】（1）①证明：∵90ACB ∠=︒，90ADC ∠=︒，90BEC ∠=︒∴90ACD DAC ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，∴DAC BCE =∠∠，在ADC △与BEC 中，90ADC BEC DAC BCE AC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ADC BEC ≌；②由①知，ADC BEC △△≌，∴AD CE =，BE CD =，∵DE CE CD =+，∴DE AD BE =+；（2）证明：∵AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ，∴90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，∴90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，∴CAD BCE ∠=∠，在ADC △与BEC 中，90ADC BEC DAC BCE AC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ADC CEB ≌．∴AD CE =，BE CD =，∴DE CE CD AD BE =-=-．（3）解：同（2）理可证()AAS ADC CEB ≌．∴AD CE =，BE CD =，∵CE CD DE=-∴AD BE DE =-，即DE BE AD =-；当MN 旋转到图3的位置时，AD 、DE 、BE 所满足的等量关系是DE BE AD =-(或AD BE DE =-，BE AD DE =+)．【模型六旋转型模型】例题：如图，AB AC =，AE AD =，CAB EAD α∠=∠=．（1）求证：AEC ADB ≅△△1．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点．（1）求证：AE＝CD；（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）图2中BE＝AB+BD，图∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∴∠CBE＝∠A＝45°，∴ABE＝90°，∴AB⊥BE，∵AB＝AD+BD，AD＝BE，∴AB＝BD+BE，故答案为AB⊥BE，AB＝BD+BE．（2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，AD＝BE，∴BE＝AB+BD．②如图3中，结论：BD＝AB+BE．理由：∵∠ACB ＝∠DCE ＝∴∠ACD ＝∠BCE ，【模型七倍长中线模型】例题：（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）如图，BD 是ABC 的中线，10AB =，6BC =，求中线BD 的取值范围．【答案】28BD <<【分析】延长BD 到E ，使DE BD =,证明两边之和大于2BE BD =，两边之差小于2BE BD =，证明三角形全等，得到线段相等，等量代换得28BD <<．【详解】解：如图，延长BD 至E ，使DE BD =，连接CE ，∵D 为AC 中点，∴AD DC =，在ABD △和CED △中，BD DE ADB CDE AD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ABD CED ≌△△，∴10EC AB ==，在BCE 中，CE BC BE CE BC -<<+，即106106BE -<<+，∴416BE <<，∴4216BD <<，∴28BD <<．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．【变式训练】1．如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的中线．延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ．(1)求证：ACD EBD △△≌；(2)AC 与BE 的数量关系是：____________，位置关系是：____________；(3)若90BAC ∠=︒，猜想AD 与BC 的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析(2)AC BE =，AC BE∥(3)2AD BC =，证明见解析【分析】(1)根据三角形全等的判定定理SAS ，即可证得；(2)由ACD EBD △△≌，可得AC BE =，C EBC ∠=∠，据此即可解答；(3)根据三角形全等的判定定理SAS ，可证得BAC ABE ≌，据此即可解答．【详解】（1）证明：AD 是BC 边上的中线，BD CD ∴=，在ACD △与EBD △中AD ED ADC EDB BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ACD EBD ∴ ≌；（2）解：ACD EBD ≌，AC BE ∴=，C EBC ∠=∠，∴∥AC BE ，故答案为：AC BE =，AC BE ∥；（3）解：2AD BC=证明：ACD EBD ≌，AC BE ∴=，C EBC ∠=∠，∴∥AC BE ，90BAC ∠=︒90BAC ABE ∴∠=∠=︒在BAC △和ABE △中，90AB BA BAC ABE AC BE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()SAS BAC ABE ∴ ≌，2BC AE AD ∴==．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．2．（2023上·江苏南通·八年级统考期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC 中，若6AB =，4AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到E ，使DE AD =，连接BE ．请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到ADC EDB V V ≌，得到BE AD =，在ABE 中求得2AD 的取值范围，从而求得取值范围是．方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．(2)如图2，AD 是ABC 的中线，AB AE =，AC AF =，180BAE CAF ∠+∠=︒，试判断线段关系，并加以证明；(3)如图3，在ABC 中，D ，E 在边BC 上，且BD CE =．求证：AB AC AD AE +>+【答案】(1)15AD <<CD BD ADC EDB AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ADC EDB ≌，∴4BE AC ==，∵在ABE 中，AB BE AE AB BE -<<+，即64264AD -<<+，∴15AD <<．故答案为：15AD <<（2）2EF AD =，理由：如图，延长AD 到M ，使得DM AD =，连接BM ，∴2AM AD DM AD =+=，∵AD 是ABC 的中线，∴BD CD =，在BDM 和CDA 中BD CD BDM CDA DM DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS BDM CDA ≌，∴BM AC =，∵AC AF =，∴BM AF =，∵BDM CAD ≌，∴∠=∠MBD ACD ，∴BM AC ∥，∴180ABM BAC ︒∠+∠=，∵180BAE CAF ∠+∠=︒，∴()360360180180BAC FAE BAE CAF ∠+∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，∴ABM FAE ∠=∠，在ABM 和EAF △中AB AE ABM EAF BM AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABM EAF ≌，∴AM EF =，∵2AM AD =，∴2EF AD =；（3）取BC 的中点为M ，连接AM 并延长至N ，使AM MN =，连接BN 、DN ，∵点M 是BC 的中点，∴CM BM =，在ACM △和NBM 中，CM BM AMC NMB AM NM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ACM NBM ≌，∴AC NB=∵BD CE =，∴BM BD CM CE -=-，即=DM EM ，在AEM △和NDM 中，EM DM AME NMD AM NM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS AEM NDM ≌，∴AE ND =，延长AD 交BN 于F ，+>，则AB BF AD DF+>+，且FN DF DN+++>++，∴AB BF FN DF AD DF DN+>+，∴AB BN AD DN+>+．即AB AC AD AE【模型八截长补短模型】【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．【变式训练】(1)求证：CD BC DE =+；(2)若75B ∠=︒，求E ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)105︒∵CA 平分BCD ∠，∴BCA FCA ∠=∠．在BCA V 和FCA △中，⎧⎪∠⎨⎪⎩【答案】（1）①见解析；②14x <<；（2）见解析【分析】（1）①根据三角形的中线得出BD CD =，再由对顶角相等得出②先由ABD ECD ≌，得出5CE =，再由ED AD =，得出可求出答案；（2）先根据SAS 判断出DEF DEH △≌△，得出EH EF =，BD CD ∴=，在ADB 和ECD 中，BD CD ADB CDE AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABD ECD ∴△≌△；②解：由①知，ABD ECD ≌，CE AB ∴=，5AB = ，5CE ∴=，ED AD = ，AD x =，22AE AD x ∴==，在ACE △中，3AC =，根据三角形的三边关系得，53253x -<<+，14x ∴<<，故答案为：14x <<；（2）证明：如图2，延长FD ，截取DH DF =，连接BH ，EH ，DH DF = ，DE DF ⊥，即90EDF EDH ∠=∠=︒，DE DE =，∴()SAS DEF DEH ≌，EH EF ∴=，AD 是中线，BD CD ∴=，DH DF = ，BDH CDF ∠=∠，∴()SAS BDH CDF ≌，CF BH ∴=，∵BE BH EH +>，BE CF EF ∴+>．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形中线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形的三边【答案】（1）正确；（2）成立，见解析；（3）正确，见解析【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确做辅助线构造全等三角形是解题关键．（1）延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先证明ADG ABE △△≌AEF AGF △△≌，可得EF GF =，进而得出EF BE DF =+，即可解题；（2）证明方法同（1）：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先证明再证明AEF AGF △△≌，可得EF GF =，进而得出EF BE DF =+即可解题；∵90B ADF ∠=∠=︒，∴ADG ADF ∠=∠=∠在ABE 和ADG △中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE ADG ≌，∴AE AG =，BAE DAG ∠=∠，∵120BAD ∠=︒，60EAF ∠=︒，∴2BAD EAF ∠∠=，∴GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=∠，在AEF △和AGF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS AEF AGF ≌，∴EF GF =，∵GF DG DF BE DF =+=+，∴EF BE DF =+，故答案为：正确；（2）解：上题中的结论依然成立；如图2，延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，∵110ADF ∠=︒，70B ∠=︒，∴18011070ADG B ∠=︒-︒=︒=∠，在ABE 和ADG △中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE ADG ≌，∴AE AG =，BAE DAG ∠=∠，∵180B ADF ∠+∠=︒，∴ADG B ∠=∠，在ABE 和ADG △中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE ADG ≌，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AEF AGF SAS ≌，∴EF GF =，∵GF DG DF BE DF =+=+，∴EF BE DF =+．。

三角形全等、相似及综合应用模型题型解读｜模型构建｜通关试练三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质等。

特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大。

直角三角形的出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸。

模型01 与三角形有关的线段应用高（AD）中线（AD）角平分线（AD）中位线（DE）模型02 与三角形有关的角的应用（1）三角形的内角：（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．（2）三角形的外角：（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．模型03 三角形全等的判定及应用（1）全等三角形的定义：全等的图形必须满足：（1）形状相同；（2）大小相等能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

专题02 全等三角形中的六种模型梳理专题02 全等三角形中的六种模型梳理全等三角形是初中数学中一个非常重要的概念，也是平面几何中的基础知识之一。

全等三角形指的是具有相同形状和大小的三角形，它们的对应边长和对应角度都相等。

在学习全等三角形的过程中，我们可以通过六种模型来更好地理解和应用这一概念。

本文将以深度和广度的要求，全面探讨全等三角形的六种模型，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

1. 回顾全等三角形的概念在深入探讨全等三角形的六种模型之前，我们首先需要回顾一下全等三角形的概念。

在平面几何中，如果两个三角形的对应边长和对应角度都相等，我们就称它们为全等三角形。

全等三角形的性质包括边长相等、对应角度相等、周长相等和面积相等。

这些性质是我们理解全等三角形的基础，也是之后探讨六种模型的重要依据。

2. 全等三角形的基本模型我们来看全等三角形的基本模型。

当两个三角形的对应边和对应角均相等时，这两个三角形就是全等的。

这是最基本的全等三角形模型，也是其他五种模型的基础。

通过这个基本模型，我们可以理解全等三角形的定义和性质，为之后的探讨打下基础。

3. 侧边-夹角-侧边模型我们来探讨侧边-夹角-侧边模型。

当两个三角形的一个对应边和夹角以及另一个对应边均相等时，这两个三角形也是全等的。

这个模型在实际问题中经常用到，比如通过已知一个角和两边的长短来确定两个三角形是否全等。

这个模型的理解和运用可以帮助我们更好地解决实际问题。

4. 夹角-边-夹角模型接下来，我们继续探讨夹角-边-夹角模型。

当两个三角形的一个夹角和两个对应边的夹角均相等时，这两个三角形也是全等的。

这个模型的理解有助于我们在解题过程中更灵活地运用全等三角形的性质，从而更快地解决问题。

5. 边-边-边模型我们来看一下边-边-边模型。

当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形也是全等的。

这个模型在实际问题中也经常用到，通过边长的关系来判断两个三角形是否全等。

专题全等三角形六种基本模型通用的解题思路：模型一：一线三等角模型一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

或叫“K字模型”。

三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。

一般类型：基本类型：同侧“一线三等角”异侧“一线三等角”模型二：手拉手模型--旋转型全等一、等边三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中(B、C、D不共线)始终有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE(位置关系)且BD=AE(数量关系)；③FC平分∠BFE；题型三：倍长中线模型构造全等三角形倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。

常用于构造全等三角形。

中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系(通常用“SAS”证明) (注：一般都是原题已经有中线时用)。

三角形一边的中线(与中点有关的线段)，或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线(线段)造全等在△ABC中AD是BC边中线延长AD到E，使DE=AD，连接BE作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E连接BE延长MD到N，使DN=MD，连接CD题型四：平行线+线段中点构造全等模型题型五：等腰三角形中的半角模型过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

初二数学三角形全等常用几何模型及构造方法大全掌握它轻松搞定全等题！全等是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，这次整理了常用的各大模型，一定要认真掌握~全等变换类型：（一）平移全等：平行等线段（平行四边形）（二）对称全等模型：角平分线或垂直或半角1：角平分线模型；2：对称半角模型；（三）旋转全等模型：相邻等线段绕公共顶点旋转1.旋转半角模型2.自旋转模型3.共旋转模型4.中点旋转如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE分析：将△ACE平移使EC与BD重合。

B\D，上方交点，左右两个三角形，两边和大于第三边！1：角平分线模型：说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。

两边进行边或者角的等量代换，产生联系。

垂直也可以做为轴进行对称全等。

2：对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、 45+ °、对称（翻折）15°+30°直角三角形对称（翻折） 30+60+90直角三角形对称（翻折）翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

1.半角：有一个角含1/2角及相邻线段2.自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等3.共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等（共顶点）4.中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题（专题七）1、旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

2、自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称3、共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。

通过“8”字模型可以证明。

（接上------共旋转模型）模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形混用。

专题02 全等三角形中的六种模型梳理一、概述全等三角形是初中数学中一个重要且常见的概念，对于几何学的学习具有重要的意义。

在全等三角形的学习中，有六种基本模型，它们是解决全等三角形问题的重要工具。

本文将对全等三角形中的六种模型进行深入探讨和梳理，帮助读者更加全面地理解和掌握这一知识点。

二、模型一：SSS全等模型在全等三角形中，如果两个三角形的三条边分别相等，则可以确定它们是全等三角形，这就是SSS全等模型。

如果已知两个三角形的三边分别相等，那么这两个三角形一定是全等的。

模型二：SAS全等模型SAS全等模型是指如果两个三角形的一条边和夹角以及另一边的长度分别相等，则可以确定它们是全等三角形。

如果已知两个三角形的一个角和两边分别相等，那么可以确定这两个三角形是全等的。

模型三：ASA全等模型在全等三角形中，如果两个三角形的一个角和两个角边相等，则可以确定它们是全等三角形，这就是ASA全等模型。

如果已知两个三角形的一个角和两个角边分别相等，那么可以确认这两个三角形是全等的。

模型四：HL全等模型HL全等模型是指如果两个直角三角形的斜边和一个直角边的长度分别相等，则可以确定它们是全等三角形。

如果已知两个直角三角形的斜边和一个直角边的长度分别相等，那么可以确定这两个三角形是全等的。

模型五：LL全等模型LL全等模型是指如果两个三角形的两个角和一个边分别相等，则可以确定它们是全等三角形。

如果已知两个三角形的两个角和一个边分别相等，那么可以确定这两个三角形是全等的。

模型六：对顶全等模型对顶全等模型是指如果两个三角形的两个对顶角和一个边分别相等，则可以确定它们是全等三角形。

如果已知两个三角形的两个对顶角和一个边分别相等，那么可以确定这两个三角形是全等的。

三、总结与回顾通过上述对全等三角形中六种模型的梳理，我们可以发现几何学中的相似和全等的概念是非常重要的。

在实际问题中，我们可以通过判断形状的相似或全等，推断出一些未知的信息，帮助我们解决问题。

专题13全等三角形重难点模型（五大模型）模型一：一线三等角型模型二：手拉手模型模型三：半角模型模型四：对角互补模型模型五：平行+线段中点构造全等模型【典例分析】【模型一：一线三等角型】如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。

结论：Rt△BDC≌Rt△CEA模型二一线三等角全等模型如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。

结论：△BEC≌△CDA图一图二应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。

【典例1】如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）．（1）当a＝2时，则C点的坐标为；（2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．【解答】解：（1）如图1中，过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEB＝∠AOB．∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝BA，∠ABC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠BAO+∠CBE，∴∠BCE＝∠ABO，在△BCE和△BAO中，，∴△CBE≌△BAO（AAS），∵A（﹣1，0），B（0，2），∴AO＝BE＝1，OB＝CE＝2，∴OE＝1+2＝3，∴C（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）；（2）动点A在运动的过程中，c+d的值不变．理由：过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEA＝∠AOB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝BA，∠ABC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠ABO+∠CBE，∴∠BCE＝∠ABO，在△BCE和△BAO中，，∴△CBE≌△BAO（AAS），∵B（﹣1，0），A（0，a），∴BO＝AE＝1，AO＝CE＝a，∴OE＝1+a，∴C（﹣a，1+a），又∵点C的坐标为（c，d），∴c+d＝﹣a+1+a＝1，即c+d的值不变．【变式1】点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如图一，若点B坐标为（0，﹣3），连接AC、OD．①求证：AC＝OD；②求D点坐标．（2）如图二，连接CD，与y轴交于点E，试求BE长度．【解答】（1）①证明：∵△OBC和△ABD是等腰直角三角形，∴OB＝CB，BD＝AB，∠ABD＝∠OBC＝90°，∴∠ABD+ABO＝∠OBC+∠A∠O，∴∠OBD＝∠CBA，∴△OBD≌△CBA（SAS），∴AC＝OD；②如图一、∵A（4，0），B（0，﹣3），∴OA＝4，OB＝3，过点D作DF⊥y轴于F，∴∠BOA＝∠DFB＝90°，∴∠ABO+∠OAB＝90°，∵∠ABD＝90°，∴∠ABO+∠FBD＝90°，∴∠OAB＝∠FBD，∵AB＝BD，∴△AOB≌△BFD（AAS），∴DF＝OB＝3，BF＝OA＝4，∴OF＝OB+BF＝7，∴D（3，﹣7）；（2）如图二、过点D作DF⊥y轴于F，则∠DFB＝90°＝∠CBF，同（1）②的方法得，△AOB≌△BFD（AAS），∴DF＝OB，BF＝OA＝4，∵OB＝BC，∴BC＝DF，∵∠DEF＝∠CEB，∴△DEF≌△CEB（AAS），∴BE＝EF，∴BF＝BE+EF＝2BE＝4，∴BE＝2．【典例2】（1）猜想：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出；（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由．【解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（2）结论DE＝BD+CE成立，理由如下：∵∠BAD+∠CAE＝180°﹣∠BAC，∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠ADB，∠ADB＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，在△BAD和△ACE中，，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA+AE＝BD+CE；（3）△DFE为等边三角形，理由如下：由（2）得，△BAD≌△ACE，∴BD＝AE，∠ABD＝∠CAE，∴∠ABD+∠FBA＝∠CAE+FAC，即∠FBD＝∠FAE，在△FBD和△FAE中，，∴△FBD≌△FAE（SAS），∴FD＝FE，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，∴△DFE为等边三角形．【变式2】已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE ＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，CE与AD 的数量关系为；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD，∴∠CAE＝∠ABD，∵∠BDA＝∠AEC，BA＝CA，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，故答案为：BD＝AE，CE＝AD；（2）DE＝BD+CE，由（1）同理可得△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，∴DE＝BD+CE；（3）存在，当△DAB≌△ECA时，∴AD＝CE＝2cm，BD＝AE＝7cm，∴t＝1，此时x＝2；当△DAB≌△EAC时，∴AD＝AE＝4.5cm，DB＝EC＝7cm，∴t＝，x＝7÷＝，综上：t＝1，x＝2或t＝，x＝．【模型二：手拉手模型】应用：①利用手拉手模型证明三角形全等，便于解决对应的几何问题；②作辅助线构造手拉手模型，难度比较大。

全等三角形常用模型模型一：手拉手模型（一）有公共顶点的等边三角形（二）有公共顶点的等腰直角三角形（三）顶角相等的等腰三角形例11. [问题提出]（1）如图,ABC ADE ①、均为等边三角形，点D E 、分别在边AB AC 、上．将ADE 绕点A 沿顺时针方向旋转，连结BD CE 、．在图②中证明△≌△ADB AEC ．[学以致用]（2）在()1的条件下，当点D E C 、、在同一条直线上时，EDB ∠的大小为 度．[拓展延伸]（3）在()1的条件下，连结CD ．若6,4,BC AD ==直接写出DBC △的面积S 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）60或120；（3）93129312S -≤≤+【解析】【分析】（1）运用SAS 证明△≌△ADB AEC 即可；（2）分“当点E 在线段CD 上”和“当点E 在线段CD 的延长线上”两种情况求出EDB ∠的大小即可；（3）分别求出DBC △的面积最大值和最小值即可得到结论【详解】（1）,ABC ADE 均为等边三角形，AD AE ∴=，AB AC =，DAE BAE BAC BAE ∴∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠在ADB △和AEC 中AD AE BAD CAE AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD ACE SAS ∴≅；（2）当,,D E C在同一条直线上时，分两种情况：①当点E在线段CD上时，如图，∵ADE是等边三角形，ADE AED∴∠=∠=︒，60︒︒，∴∠=-∠=AEC AED180120≅，由（1）可知，ADB AEC120∴∠=∠=︒，ADB AEC∠︒︒1206060 EDB ADB ADE∴∠=∠-=-︒=②当点E在线段CD的延长线上时，如图，ADE是等边三角形，ADE AED∴∠=∠=︒60︒︒，∴∠=-∠=ADC ADE180120≅由（1）可知，ADB AEC60∴∠=∠=︒，ADB AEC︒︒+=60EDB ADB ADE∴∠=∠+∠=︒60120综上所述，EDB ∠的大小为60︒或120︒（3）过点A 作AF BC ⊥于点F ，当点D 在线段AF 上时，点D 到BC 的距离最短，此时，点D 到BC 的距离为线段DF 的长，如图：ABC 是等边三角形，AF BC ⊥，6BC =6AB BC ∴==，132BF BC ==222263=33AF AB BF ∴=-=-334DF ∴=-此时116(334)931222DBC S BC DF =⋅=⨯⨯-=-；当D 在线段FA 的延长线上时，点D 到BC 的距离最大，此时点D 到BC 的距离为线段DF 的长，如图，ABC 是等边三角形，AF BC ⊥，6BC =6AB BC ∴==，132BF BC ==， 222263=33AF AB BF ∴=-=-4AD =334DF AF AD ∴=+=+此时，116(334)931222DBC S BC DF =⋅=⨯⨯+=+； 综上所述，DBC △的面积S 取值是93129312S -≤≤+【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定．变式12. （1）如图1，已知△CAB 和△CDE 均为等边三角形，D 在AC 上，E 在CB 上，易得线段AD 和BE 的数量关系是 ．（2）将图1中的△CDE 绕点C 旋转到图2的位置，直线AD 和直线BE 交于点F ． △判断线段AD 和BE 的数量关系，并证明你的结论；△图2中△AFB 的度数是 ．（3）如图3，若△CAB 和△CDE 均为等腰直角三角形，△ABC ＝△DEC ＝90°，AB ＝BC ，DE ＝EC ，直线AD 和直线BE 交于点F ，分别写出△AFB 的度数，线段AD 、BE 间的数量关系．【答案】（1）AD BE =；（2）①AD BE =，证明见解析；②60︒；（3）45AFB ∠=︒，2AD BE =【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质即可求解；（2）①由“SAS ”可证ACD △≅BCE ,可得AD BE =；②由全等三角形的性质可得ACD CBF ∠=∠，即可解决问题；（3）结论：45,2,AFB AD BE ∠=︒=先证明,ACD BCE 可得2,,AD AC CBF CAF BE BC==∠=∠由此即可解决问题． 【详解】（1）AD BE =；证明：∵CAB △和CDE △是等边三角形，∴,,CA CB CD CE ==∴AD BE =，故填：AD BE =；（2）①AD BE =； 证明：∵ABC 和CDE △是等边三角形，∴,,CA CB CD CE ==60,ACB DCE ∠=∠=︒△,ACD BCE ∠=∠在ACD △和BCE 中∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD △≅()BCE SAS ,∴AD BE =；②∵ACD △≅,BCE ,∴,CAD CBF ∠=∠设BC 交AF 于点O ，如图，∵,AOC BOF ∠=∠∴60,BFO ACO ∠=∠=︒∴60,AFB ∠=︒故答案为：60︒；（3）结论：45,2,AFB AD BE ∠=︒= 理由如下：在Rt CDE △中，∵45,CDE ∠=︒∴2sin ,2CDE ∠= ∵90,,,ABC DEC AB BC DE EC ∠=∠=︒==∴45,ACD BCD BCE ∠=︒+∠=∠12,sin AC DC BC EC CDE===∠ ∴,ACD BCE∴2,,AD AC CBF CAF BE BC==∠=∠ ∴2,AD BE =∵,AFB CBF ACB CAF ∠+∠=∠+∠∴45AFB ACB ∠=∠=︒．【点睛】本题考查几何变换旋转综合题，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．模型二 半角模型（一）等边三角形中120︒含60︒半角模型（二）等腰直角三角形中90︒含45︒半角模型例23. 已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN ＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中： ＋ ＝ ．（不需证明）（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图2）时，上述（1）中结论是否成立？请说明理由．（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图3）时，上述（1）中结论是否成立？若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．【答案】（1）AE；CF；EF；（2）成立，见解析；（3）不成立，新的关系为AE＝EF ＋CF．【解析】【分析】（1）根据题意易得△ABE≌△CBF，然后根据全等三角形的性质可得∠ABE=∠CBF=30°，进而根据30°角的直角三角形及等边三角形的性质可求解； （2）如图2，延长FC到H，使CH=AE，连接BH，根据题意可得△BCH≌△BAE，则有BH=BE，∠CBH=∠ABE，进而可证△HBF≌△EBF，推出HF=EF，最后根据线段的等量关系可求解；（3）如图3，在AE上截取AQ=CF，连接BQ，根据题意易得△BCF≌△BAQ，推出BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，进而可证△FBE≌△QBE，推出EF=QE即可．【详解】解：（1）如图1，AE+CF=EF，理由如下：∵AB⊥AD，BC⊥CD，∴∠A=∠C=90°，∵AB=BC，AE=CF，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴∠ABE=∠CBF，BE=BF，∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE=∠CBF=30°，∴11,22AE BE CF BF==，∵∠MBN=60°，BE=BF， ∴△BEF是等边三角形，∴1122AE CF BE BF BE EF +=+==，故答案为：AE+CF=EF；（2）如图2，（1）中结论成立；理由如下： 延长FC到H，使CH=AE，连接BH，∵AB⊥AD，BC⊥CD，∴∠A=∠BCH=90°，∴△BCH≌△BAE（SAS），∴BH=BE，∠CBH=∠ABE，∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE+∠CBF=120°-60°=60°，∴∠HBC+∠CBF=60°，∴∠HBF=∠MBN=60°，∴∠HBF=∠EBF，∴△HBF≌△EBF（SAS），∴HF=EF，∵HF=HC+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF；（3）如图3，（1）中的结论不成立，关系为AE=EF+CF，理由如下： 在AE上截取AQ=CF，连接BQ，∵AB⊥AD，BC⊥CD，∴∠A=∠BCF=90°，∵AB=BC，∴△BCF≌△BAQ（SAS），∴BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，∵∠MBN=60°=∠CBF+∠CBE，∴∠CBE+∠ABQ=60°，∵∠ABC=120°，∴∠QBE=120°-60°=60°=∠MBN，∴∠FBE=∠QBE，∴△FBE≌△QBE（SAS），∴EF=QE，∵AE=QE+AQ=EF+CE，∴AE=EF+CF．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质及等边三角形的性质是解题的关键．变式24. 如图1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝23，AC，BD相交于点O．(1)求边AB的长；(2)求∠BAC的度数；(3)如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF．判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由．【答案】（1）2；（2）60 ；（3）见详解【解析】【分析】（1）由菱形的性质得出OA=1，OB=3，根据勾股定理可得出答案； （2）得出△ABC 是等边三角形即可；（3）由△ABC 和△ACD 是等边三角形，利用ASA 可证得△ABE△△ACF ；可得AE=AF ，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形推出即可．【详解】解：（1）△四边形ABCD 是菱形，△AC△BD ， △△AOB 为直角三角形，且111,322OA AC OB BD ====． △22221(3)2AB OA OB =+=+=；（2）△四边形ABCD 是菱形，△AB=BC ，由（1）得：AB=AC=BC=2，△△ABC 为等边三角形，△BAC=60°；（3）△AEF 是等边三角形，△由（1）知，菱形ABCD 的边长是2，AC=2，△△ABC 和△ACD 是等边三角形，△△BAC=△BAE+△CAE=60°，△△EAF=△CAF+△CAE=60°，△△BAE=△CAF ，在△ABE 和△ACF 中，BAE CAF AB ACEBA FCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△ABE△△ACF （ASA ），△AE=AF ，△△EAF=60°，△△AEF 是等边三角形．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质以及图形的旋转．解题的关键是熟练掌握菱形的性质．模型三 对角互补模型（一）“共斜边等腰直角三角形＋直角三角形”模型（异侧型）已知直角△ABC和等腰直角△DBC，则AB＋AC＝2AD．（二）“共斜边等腰直角三角形＋直角三角形”模型（同侧型）已知直角△ABC和等腰直角△DBC，则AB－AC＝2AD．（三）“等边三角形对120°模型”．△ABC是等边三角形，∠BPC＝120°，则有PB＋PC＝P A；（四）“120°等腰三角形对60°模型”△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝120°，∠BPC＝60°，则有PB＋PC＝3P A；例35. 如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D，连接BD．（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC，AD，BD之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BE⊥BD，交MN于点E，进而得出：DC+AD=BD．（2）探究证明将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明（3）拓展延伸在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1，请直接写BD的长．【答案】△1△2△△2△AD﹣DC=2BD；（3）BD=AD=2+1．【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质求出DC△AD△BD之间的数量关系△2）过点B作BE⊥BD，交MN于点E△AD交BC于O△证明CDB AEB ∆∆≌，得到CD AE =△EB BD =，根据BED ∆为等腰直角三角形，得到2DE BD =△再根据DE AD AE AD CD =-=-，即可解出答案.△3）根据A△B△C△D 四点共圆，得到当点D 在线段AB 的垂直平分线上且在AB 的右侧时，△ABD 的面积最大．在DA 上截取一点H ，使得CD=DH=1，则易证2CH AH ==△由BD AD =即可得出答案.【详解】解：（1）如图1中，由题意：BAE BCD ∆∆≌△∴AE=CD△BE=BD△∴CD+AD=AD+AE=DE△∵BDE ∆是等腰直角三角形， ∴DE=2BD△ ∴DC+AD=2BD△故答案为2△△2△2AD DC BD -=△证明：如图，过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E△AD 交BC 于O△∵90ABC DBE ∠=∠=︒△∴ABE EBC CBD EBC ∠+∠=∠+∠△∴ABE CBD ∠=∠△∵90BAE AOB ∠+∠=︒△90BCD COD ∠+∠=︒△AOB COD ∠=∠△∴BAE BCD ∠=∠△∴ABE DBC ∠=∠．又∵AB CB =△∴CDB AEB ∆∆≌△∴CD AE =△EB BD =△∴BD ∆为等腰直角三角形，2DE BD =△∵DE AD AE AD CD =-=-△∴2AD DC BD -=△△3）如图3中，易知A△B△C△D 四点共圆，当点D 在线段AB 的垂直平分线上且在AB 的右侧时，△ABD 的面积最大．此时DG ⊥AB△DB=DA ，在DA 上截取一点H ，使得CD=DH=1，则易证2CH AH ==△∴21BD AD ==+△【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及图形的应用，正确作辅助线和熟悉图形特性是解题的关键.变式36. 如图1，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠ADC=180°，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF=12∠BAD ，连接EF ，试猜想EF ，BE ，DF 之间的数量关系．（1）思路梳理将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF 之间的数量关系为__；（2）类比引申如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=12∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明．（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________.【答案】（1）EF＝BE＋DF；（2）EF＝DF−BE；证明见解析；（3）5.【解析】【分析】（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，首先证明F，D，G三点共线，求出∠EAF＝∠GAF，然后证明△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质解答；（2）将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，首先证明E'，D，F三点共线，求出∠EAF＝∠E'AF，然后证明△AFE≌△AFE'，根据全等三角形的性质解答；（3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，同（1）可证△AED≌AED'，求出∠ECD'＝90°，再根据勾股定理计算即可．【详解】解：（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，∵∠B＋∠ADC＝180°，∴∠FDG＝180°，即点F，D，G三点共线，∵∠BAE＝∠DAG，∠EAF＝12∠BAD，∴∠EAF ＝∠GAF ，在△AFG 和△AFE 中，AE AG EAF GAF AF AF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△AFG ≌△AFE ，∴EF ＝FG ＝DG ＋DF ＝BE ＋DF ；（2）EF ＝DF−BE ；证明：将△ABE 绕点A 逆时针旋转，使AB 与AD 重合，得到△ADE'，则△ABE ≌ADE'，∴∠DAE'＝∠BAE ，AE'＝AE ，DE'＝BE ，∠ADE'＝∠ABE ，∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∠ABC ＋∠ABE ＝180°，∴∠ADE'＝∠ADC ，即E'，D ，F 三点共线，∵∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠E'AF ＝∠BAD−（∠BAF ＋∠DAE'）＝∠BAD−（∠BAF ＋∠BAE ）＝∠BAD−∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠EAF ＝∠E'AF ，在△AEF 和△AE'F 中，AE AE EAF E AF AF AF '⎧⎪∠∠'⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△AFE ≌△AFE'（SAS ），∴FE ＝FE'，又∵FE'＝DF−DE'，∴EF ＝DF−BE ；（3）将△ABD 绕点A 逆时针旋转至△ACD'，使AB 与AC 重合，连接ED'，同（1）可证△AED ≌AED'，∴DE ＝D'E ．∵∠ACB ＝∠B ＝∠ACD'＝45°，∴∠ECD'＝90°，在Rt △ECD'中，ED'＝2222'5EC D C EC BD ，即DE ＝5，故答案为：5．【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用利用旋转变换作图、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 模型四 三垂直模型结论】如图所示，,,,AB BC AB BC AD DE CE DE ⊥=⊥⊥，则,ABD BCE DE AD CE =-≌．例47. 如图，AB＝BC，AB△BC，AE△BD于F，BC△CD，求证：EC＝AB－CD．【答案】见解析【解析】【分析】利用ASA证明出△ABE△△BCD，在通过等量代换进行解答．【详解】证明：△AB△BC，CD△BC，△△ABC＝△ACD＝90°△△AEB＋△A＝90°△AE△BD△△BFE＝90°△△AEB＋△FBE＝90°△△A＝△FBE，又△AB＝BC，△△ABE△△BCD，△AB＝BC，BE＝CD，△EC＝BC－BE＝AB－CD【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形的判定定理，再利用等量代换的思想来间接证明．变式48. 如下图所示，在△ABC中，∠ACB=90°△AC=BC△BE⊥CE于点E△AD⊥CE于点D△DE=6cm△AD=9cm，则BE的长是（△A. 6cmB. 1.5cmC. 3cmD. 4.5cm【答案】C【解析】【分析】本题可通过全等三角形来求BE的长．△BEC和△CDA中，已知了一组直角，∠CBE和∠ACD同为∠BCE的余角，AC=BC，可据此判定两三角形全等；那么可得出的条件为CE=AD△BE=CD，因此只需求出CD的长即可．而CD的长可根据CE即AD的长和DE的长得出，由此可得解．【详解】解：∵∠ACB=90°△BE△CE△△△BCE+△ACD=90°△△BCE+△CBE=90°△△△ACD=△CBE，又AC=BC△△△ACD△△CBE△△EC=AD△BE=DC△△DE=6cm△AD=9cm，则BE的长是3cm△故选C△【点睛】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．模型五 一线三等角模型题型特征：图形某条线段上出现三个相等的角，如图中∠B＝∠2＝∠C解题方法：只要题目再出现一组等边（BE＝AC或EF＝AE或BF＝EC），必证△BEF≌△CAE（AAS或ASA）证明过程：∵∠1＝180°－∠2－∠3，∠4＝180°－∠C－∠3，∵∠2＝∠C，∴∠1＝∠4，∵∠B＝∠C，若BE＝AC或EF＝AE或BF＝EC，则△BEF≌△CAE（AAS或ASA） 例59. 如图，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=______°，∠AED=______°；（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．【答案】（1）25°，65°；（2）2，理由见详解；（3）可以，110°或80°.【解析】【分析】（1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；（2）当DC=2时，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE．（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．【详解】解：（1）∵∠B=40°，∠ADB=115°，∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-115°-40°=25°，∵AB=AC，∴∠C=∠B=40°，∵∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=25°，∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=115°，∴∠AED=180°-∠DEC=180°-115°=65°；（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵AB=DC=2，在△ABD和△DCE中，ADB DEC B CAB DC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ABD ≌△DCE （AAS ）；（3）当∠BDA 的度数为110°或80°时，△ADE 的形状是等腰三角形， ∵∠BDA=110°时，∴∠ADC=70°，∵∠C=40°，∴∠DAC=70°，∴△ADE 的形状是等腰三角形；∵当∠BDA 的度数为80°时，∴∠ADC=100°，∵∠C=40°，∴∠DAC=40°，∴△ADE 的形状是等腰三角形．【点睛】本题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题．变式510. （1）如图（1）在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE ＝BD +CE ；（2）如图（2）将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE ＝BD +CE 是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析【解析】【分析】（1）根据AAS 证明△ADB △△CEA ，得到AE ＝BD ，AD ＝CE，即可证明；（2）同理证明△ADB △△CEA ，得到AE ＝BD ，AD ＝CE ，即可证明；【详解】证明：（1）△BD △直线m ，CE △直线m ，△△BDA ＝△CEA ＝90°，△△BAC ＝90°，△△BAD +△CAE ＝90°，△△BAD +△ABD ＝90°，△△CAE ＝△ABD ，△在△ADB 和△CEA 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △△ADB △△CEA （AAS ），△AE ＝BD ，AD ＝CE ，△DE ＝AE +AD ＝BD +CE ；（2）△△BDA ＝△BAC ＝α，△△DBA +△BAD ＝△BAD +△CAE ＝180°﹣α，△△CAE ＝△ABD ，△在△ADB 和△CEA 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △△ADB △△CEA （AAS ），△AE ＝BD ，AD ＝CE ，△DE ＝AE +AD ＝BD +CE ．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理.模型六 雨伞模型模型讲解【结论】如图，AP 是BAC ∠的平分线，BO AP ⊥，垂足为O ，延长BO 交AC 于点D ，则,ABO ADO AB AD =≌，OB OD =．【证明】根据题意得，在ABO 与ADO △中，,,,BAO DAO AO AO AOB AOD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABO ADO ∴≌，,AB AD OB OD ∴==．例611. 已知，如图ABC ∆中，AB AC =，90A ∠=︒，ACB ∠的平分线CD 交AB 于点E ，90BDC ∠=︒，求证：2CE BD =.【答案】见解析.【解析】【分析】延长BD 交CA 的延长线于F ，先证得△ACE ≌△ABF ，得出CE=BF ；再证△CBD ≌△CFD ，得出BD=DF ；由此得出结论即可．【详解】证明：如图，延长BD 交CA 的延长线于F，90BAC ︒∠=90,90BAF BAC ACE AEC ︒︒∴∠=∠=∠+∠=90BDC ︒∠=90BDC FDC ︒∴∠=∠=90ABF BED ︒∴∠+∠=AEC BED ∠=∠ACE ABF ∴∠=∠AB AC =()ACE ABF ASA ∴∆∆≌CE BF ∴=CD 平分ACB ∠ACD BCD ∴∠=∠CD CD =()CBD CFD ASA ∴∆∆≌12BD FD BF ∴== 12BD CE ∴= 2CE BD ∴=【点睛】此题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，根据已知条件，作出辅助线是解决问题的关键．变式712. 如图，在ABC 中，BE 是ABC ∠的平分线，AD BE ⊥，垂足为D ，求证：21C ∠=∠+∠．【答案】见解析【解析】【分析】根据角平分线的定义可得ABE CBE ∠=∠，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得AED CBE C∠=∠+∠，然后根据直角三角形两锐角互余列出等式解答即可．∠的平分线，【详解】证明：BE是ABC∴∠=∠，ABE CBE由三角形的外角性质得，AED CBE C∠=∠+∠，⊥，AD BE∴∠+∠=︒，290ABE△1190∠+∠=∠+∠+∠=︒，AED CBE C∴∠+∠=︒-∠，C CBE190∠=∠∠=︒-∠，ABE CBE ABE,290∴∠=∠+∠．21C【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．模型七 边边角模型SSA（胖瘦模型）胖瘦模型——两条边对应相等，一组角对应相等，两个角互补．模型讲解=，点P在线段BC上且P不是BC的中【模型】如图所示，在等腰ABC中，AB AC点．=，连接AQ，【结论1】（变胖）如图所示，在BC上截取CQ BP≌．=(SAS),ABQ ACP AP AQ6=，连接AQ，【结论2】（变瘦）如图所示，在BC上截取CQ BP≌．=(),ABP ACQ SAS AP AQ【结论3】如图所示，过点A 作AM BC ⊥，垂足为,(SAS)M ABM ACM ≌．【总结】两个三角形满足两条边对应相等，并且其中一条边的对角相等，满足的条件为SSA ．处理方法：1 变胖（加等腰）．2 变瘦（减等腰）．3 找中间状态（加、减直角三角形）．例713. 如图，在四边形ABCD 中，BC△BA△AD=CD△BD 平分∠ABC△求证：∠A+∠C=180°△【答案】见解析【解析】【分析】先在线段BC 上截取BE=BA ,连接DE ,根据BD 平分∠ABC ,可得∠ABD =∠EBD ,根据AB EB ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,可判定△ABD ≌△EBD ,根据全等三角形的性质可得:AD=ED ,∠A =∠BED △再根据AD=CD ,等量代换可得ED =CD ,根据等边对等角可得:∠DEC =∠C △由∠BED +∠DEC =180°,可得∠A +∠C =180°△【详解】证明:在线段BC 上截取BE=BA ,连接DE ,如图所示,∵BD 平分∠ABC ,∴∠ABD =∠EBD ,在△ABD 和△EBD 中,AB EB ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ABD ≌△EBD △SAS△,∴AD=ED ,∠A =∠BED △∵AD=CD ,∴ED =CD ,∴∠DEC =∠C △∵∠BED +∠DEC =180°,∴∠A +∠C =180°△【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质,解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定和性质.实践练14. 如图，∠ACB=90°，AC=BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D 、E ，AD=3，BE=1，则DE 的长是（ ）A. 1.5B. 2C. 22D. 10【答案】B【解析】 【分析】根据已知条件可以得出△E=△ADC=90︒，进而得出∆CEB△∆ADC ，就可以得出BE=DC ，进而求出DE 的值．【详解】△BE△CE ，AD△CE ，△△E=△ADC=90︒，△△EBC+△BCE=90︒，△△BCE+△ACD=90︒，△△EBC=△DCA，在∆CEB和∆ADC中，△E=△ADC，△EBC=△DCA，BC=AC，△∆CEB△∆ADC(AAS)，△BE=DC=1，CE=AD=3，△DE=EC-CD=3-1=2，故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．15. 如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC 的面积为（ △A. 3cm2B. 4cm2C. 4.5cm2D. 5cm2【答案】C【解析】【分析】证△ABP≌△EBP，推出AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出12S PBC S ABC∆=∆，代入求出即可．【详解】∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，在△ABP和△EBP中，∠ABP＝∠EBPBP＝BP∠APB＝∠EPB，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴2119 4.522S PBC S ABC cm ∆=∆=⨯=， 故答案选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．16. 如图，BN 为∠MBC 的平分线，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，∠APC +∠ABC ＝180°，给出下列结论：①∠MAP ＝∠BCP ；②P A ＝PC ；③AB +BC ＝2BD ；④四边形BAPC 的面积是△PBD 面积的2倍，其中结论正确的个数有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】A【解析】 【分析】过点P 作PK ⊥AB ，垂足为点K ．证明Rt △BPK ≌Rt △BPD ，△P AK ≌△PCD ，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：过点P 作PK △AB ，垂足为点K ．△PK △AB ，PD △BC ，△ABP ＝△CBP ，△PK ＝PD ，在Rt△BPK 和Rt△BPD 中，BP BP PK PD=⎧⎨=⎩， △Rt△BPK △Rt△BPD （HL ），△BK ＝BD ，△△APC +△ABC ＝180°，且△ABC +△KPD ＝180°，△△KPD ＝△APC，△△APK ＝△CPD ，故△正确，在△P AK 和△PCD 中，AKP PDC PK PDAPK CPD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩＝， △△P AK △△PCD （ASA ），△AK ＝CD ，P A ＝PC ，故△正确，△BK ﹣AB ＝BC ﹣BD ，△BD ﹣AB ＝BC ﹣BD ，△AB +BC ＝2BD ，故△正确，△Rt△BPK △Rt△BPD ，△P AK △△PCD （ASA ），△S △BPK ＝S △BPD ，S △APK ＝S △PDC ，△S 四边形ABCP ＝S 四边形KBDP ＝2S △PBD ．故△正确．故选A ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 17. 如图，点C 在线段BD 上，且AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，AC ⊥CE ，BC=DE ，求证：AB=CD ．【答案】详见解析【解析】【分析】根据AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，AC ⊥CE ，可以得到90ABC CDE ACB ︒∠=∠=∠=，90ACB ECD ︒∠+∠=，90ECD CED ︒∠+∠=，从而有ACB CED ∠=∠，可以验证ABC ∆和CDE ∆全等，从而得到AB =CD ．【详解】证明：△AB BD ⊥，DE BD ⊥，AC CE ⊥△90ABC CDE ACB ︒∠=∠=∠=△90ACB ECD ︒∠+∠=，90ECD CED ︒∠+∠=△ACB CED ∠=∠在ABC ∆和CDE ∆中ACB CED BC DEABC CDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△ABC ∆≌CDE ∆故AB CD =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用角边角判定三角形全等，其中找到两两互余的角之间的关系是解题的关键．18. 如图，ABC 中，,90,(0,3), (1,0)AC BC ACB A C =∠=︒，则点B 的坐标为________．【答案】（4，1）【解析】【分析】如图，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，根据点A 、点C 坐标可得OA 、OC 的长，根据同角的余角相等可得∠OAC =∠DCB ，利用AAS 可证明△OAC ≌△DC B ，根据全等三角形的性质可得BD =OC ，CD =OA ，即可求出OD 的长，进而可得答案．【详解】如图，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，∵A （0，3），C （1，0），∴OA =3，OC =1，∵∠ACB =90°，∴∠OCA +∠DCB =90°，∵∠OAC +∠OCA =90°，∴∠OAC =∠DCB，在△OAC 和△DC B 中，AOC CDB OAC DCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OAC ≌△DC B ，∴BD =OC =1，CD =OA =3，∴OD =OC +CD =4，∴点B 坐标为（4，1）．故答案为：（4，1）【点睛】本题考查坐标与图形及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．19. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，点E 在AC 上，且AE ＝1，连接BE ，∠BEF ＝90°，且BE ＝FE ，连接CF ，则CF 的长为____________【答案】10.【解析】【分析】过点F 作FM ⊥AC 交AC 延长线于M ，根据△BEF =90°且BE =EF ，可以得到△EFM ≌△BEC ，从而可以计算出CM 、FM 的长，再利用勾股定理即可得到CF 的长.【详解】解：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，，AE ＝1∴CE ＝3∵FM⊥AC，∠BEF＝90°∴∠ACB＝∠BEF =∠FME =90°∴∠FEM+∠EFM=90°=∠BEC+∠FEM∴∠EFM=∠BEC又∵BE=FE∴△EFM≌△BEC∴BC＝EM＝4，CE＝FM＝3∴CM=EM-EC=1∴2210=+=CF CM FM故答案为：10.【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理的运用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.20. 如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°．【答案】见解析.【解析】【分析】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．由Rt△CF A≌Rt△CEB，推出∠ACF ＝∠ECB，推出∠ACB＝∠ECF，由∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，可得∠ACB+∠AOB＝180°，推出∠OAC+∠OBC＝180°．【详解】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．∵OC平分∠MON，CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．∴CE＝CF，∵AC＝BC，∠CEB＝∠CF A＝90°，∴Rt△CF A≌Rt△CEB（HL），∴∠ACF＝∠ECB，∴∠ACB＝∠ECF，∵∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ACB+∠AOB＝180°，∴∠OAC+∠OBC＝180°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.21. 如图，△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，AC、BD交于M（1）如图1，当α＝90°时，∠AMD的度数为 °；（2）如图2，当α＝60°时，求∠AMD的度数；（3）如图3，当△OCD绕O点任意旋转时，∠AMD与α是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用α表示∠AMD，不用证明；若不确定，说明理由． 【答案】（1）90；（2）120°；（3）存在，∠AMD＝180°﹣α【解析】【分析】（1）如图1中，设OA交BD于K．只要证明△BOD≌△AOC，推出∠OBD=∠OAC，由∠AKM=∠BKO，得∠AMK=∠BOK=90°可得结论．（2）如图2中，设OA交BD于K．只要证明△BOD≌△AOC，推出∠OBD=∠OAC，由∠AKM=∠BKO，推出∠AMK=∠BOK=60°可得结论．（3）如图3中，设OB交AC于K．只要证明△BOD≌△AOC，可得∠OBD=∠OAC，由∠AKO=∠BKM，推出∠AOK=∠BMK=α．可得∠AMD=180°-α；【详解】解：（1）如图1中，设OA交BD于K．∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，∴∠BOD=∠AOC，∴△BOD≌△AOC，∴∠OBD=∠OAC，∵∠AKM=∠BKO，∴∠AMK=∠BOK=90°，∴∠AMD=180°-90°=90°．故答案为90．（2）如图2中，设OA交BD于K．∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，∴∠BOD=∠AOC，∴△BOD≌△AOC，∴∠OBD=∠OAC，∵∠AKM=∠BKO，∴∠AMK=∠BOK=60°，∴∠AMD=180°-60°=120°，（3）如图3中，设OB交AC于K．∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，∴∠BOD=∠AOC，∴△BOD≌△AOC，∴∠OBD=∠OAC，∵∠AKO=∠BKM，∴∠AOK=∠BMK=α．∴∠AMD=180°-α．【点睛】本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用：“8字型”证明角相等．22. 已知:△ABC中，CA=CB, ∠ACB=90º，D为△ABC外一点，且满足∠ADB=90º(1)如图所示，求证：DA+DB=2DC(2)如图所示，猜想DA.DB.DC之间有何数量关系？并证明你的结论.(3)如图所示，过C作CH⊥BD于H,BD=6,AD=3,则CH= .【答案】（1）详见解析；（2）DA-DB=2DC；(3)3 2【解析】【分析】（1）过C点作CQ⊥CD交DB的延长线于Q点，由余角的性质可得∠ACD=∠QCB，∠ADC=∠Q，由“AAS”可证△ACD≌△BCQ，可得CD=CQ，AD=BQ，由等腰直角三角形性质可得DQ=2CD，即可得结论；（2）过点C作CQ⊥CD交AD于点Q，由“SAS”可证△ACQ≌△BCD，可得AQ=BD，可证CQ=CD，且∠QCD=90°，即可得DA、DB、DC之间关系；（3）过点C作CQ⊥CD交BD于点Q，由“SAS”可证△ACD≌△BCQ，可得AD=BQ，可证△DCQ是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可求CH的长．【详解】证明：（1）如图，过C点作CQ⊥CD交DB的延长线于Q点∵∠ACB=90°，CQ⊥CD，∠ADB=90°∴∠ACD+∠DCB=90°，∠DCB+∠QCB=90°，∠ADC+∠CDQ=90°，∠CDQ+∠Q=90°∴∠ACD=∠QCB，∠ADC=∠Q，且AC=BC∴△ACD≌△BCQ（AAS）∴CD=CQ，AD=BQ∴DQ=DB+BQ=DB+AD∵CD⊥CQ，∠DCQ=90°∴DQ=2CD∴DB+AD=2CD（2）DA-DB=2CD理由如下：如图，过点C作CQ⊥CD交AD于点Q，∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠ABC=∠CAB=45°∵∠ACB=90°，QC⊥CD∴∠ACB=∠ADB=90°，∴点A，点B，点D，点C四点共圆，∴∠ADC=∠ABC=45°∵QC⊥CD∴∠CQD=∠CDQ=45°∴CQ=CD，且∠QCD=90°∴QD==2CD∵∠ACB=∠DCQ=90°，∴∠ACQ=∠DCB，且AC=BC，CQ=CD∴△ACQ≌△BCD（SAS）∴AQ=BD∴QD=2CD=DA-AQ=DA-BD，即：DA-DB=2DC（3）如图，过点C作CQ⊥CD交BD于点Q，∵∠ACB=90°，QC⊥CD∴∠ACB=∠ADB=90°，∴点A，点B，点C，点D四点共圆，∴∠CDQ=∠CAB=45°∵QC⊥CD∴∠CQD=∠CDQ=45°∴CQ=CD，且∠QCD=90°∴△DCQ是等腰直角三角形，∵∠ACB=∠DCQ=90°，∴∠ACD=∠QCB，且AC=BC，CQ=CD∴△ACD≌△BCQ（SAS）∴AD=BQ，∴DQ=DB-BQ=DB-AD=3∵△DCQ是等腰直角三角形，DQ=3，CH⊥DB∴CH=DH=HQ=12DQ=32．故答案为32．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．23. 例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC=120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，可得AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根据∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，则∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等边三角形，所以AD =DE ，从而解决问题．根据上述解题思路，三条线段DA 、DB 、DC 之间的等量关系是___________； （2）如图2，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ．点D 是边BC 下方一点，∠BDC =90°，探索三条线段DA 、DB 、DC 之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】(1)DA=DB+DC;(2) 2DA=DB+DC,证明见解析.【解析】【分析】(1)由旋转60°可得AE =AD ， CE =BD ，∠ABD =∠ACE ，∠DAE =60°，根据∠BAC +∠BDC =180°，可知∠ABD +∠ACD =180°，则 ∠ACE +∠ACD =180°，易知△ADE 是等边三角形，所以AD =DE ，从而解决问题．(2) 延长DC 到点E,使CE=BD ，连接AE,由已知可得180ABD ACD ︒∠+∠=,根据180ACE ACD ︒∠+∠=,可得ABD ∠=ACE ∠,可证ABD ACE ≅,进而可得AD=AE, BAD CAE ∠=∠,可得90DAE BAC ︒∠=∠=,由勾股定理可得：222DA AE DE +=,进行等量代换可得结论.【详解】(1)结论：DA=DB+DC.理由：∵△ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACE ，∴AE=AD ， CE=BD ，∠ABD=∠ACE ，∠DAE=60°，∵∠BAC+∠BDC=180°，∴∠ABD+∠ACD=180°，∴∠ACE+∠ACD=180°，∴D,C,E 三点共线，∵AE=AD ，∠DAE=60°，∴△ADE 是等边三角形，∴AD=DE ，∴AD=DC+CE=DB+DC; (2)结论：2DA=DB+DC, 证明如下：如图所示，延长DC 到点E,使CE=BD ，连接AE,∵90BAC ︒∠=,90BDC ︒∠=,∴180ABD ACD ︒∠+∠=,∵180ACE ACD ︒∠+∠=,∴ABD ∠=ACE ∠,∵AB=AC,CE=BD,∴ABD ACE ≅(SAS),∴AD=AE, BAD CAE ∠=∠,∴90DAE BAC ︒∠=∠=,∴222DA AE DE +=,∴()222DA DB DC =+,∴2DA=DB+DC.【点睛】本题主要考查了截长补短的方法，通过全等三角形得到线段间的等量关系，正确作出辅助线找到全等三角形是解题的关键.24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 分别交x 轴、y 轴于(,0) ,(0,)A a B b 两点，且,a b 满足2()|4|0a b a t ，且0,t t >是常数，直线BD 平分OBA ∠，交x 轴于点D ．（1）若AB 的中点为M ，连接OM 交BD 于点N ，求证：ON OD =；（2）如图2，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，猜想AE 与BD 间的数量关系，并证。

一网打尽全等三角形模型(10个模型)目录模型梳理题型一倍长中线模型题型二一线三等角模型题型三半角模型2022·山东日照真题题型四手拉手模型2022·张家界真题2022·贵阳中考题型五对角互补+邻边相等模型题型六平行线夹中点模型题型七截长补短模型题型八绝配角模型2023·深圳宝安区二模2023·深圳中学联考二模题型九婆罗摩笈模型2022武汉·中考真题2020·宿迁中考真题题型十脚蹬脚模型(海盗埋宝藏)模型梳理模型1倍长中线模型(一)基本模型已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，使ED=AD，连接BE．结论1：△ACD≌△EBD．已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AB边上一点，连接ED，延长ED到点F，使DF=DE，连接CF．结论2：△BDE≌△CDF．(二)结论推导结论1：△ACD≌△EBD．证明：∵AD是BC边上的中线，∴CD=BD．∵∠ADC=∠EDB，AD=ED，∴△ACD≌△EBD．结论2：△BDE≌△CDF．证明：∵点D是BC边的中点，∴BD=CD．∵∠BDE=∠CDF，DE=DF，∴△BDE≌△CDF．(三)解题技巧遇到中点或中线，则考虑使用“倍长中线模型”，即延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造出全等三角形．模型2一线三等角模型(一)基本模型已知：点P在线段AB上，∠1=∠2=∠3，AP=BD(或AC=BP或CP=PD)．结论1：△CAP≌△PBD．已知：点P在AB的延长线上，∠1=∠2=∠3，AP=BD(或AC=BP或CP=PD)．结论2：△APC≌△BDP．(二)结论推导结论1：△CAP≌△PBD．证明：∵∠1+∠C+∠APC=180°，∠2+∠BPD+∠APC=180°，∠1=∠2，∴∠C=∠BPD．∵∠1=∠3，AP=BD(或AC=BP或CP=PD)，∴△CAP≌△PBD．结论2：△APC≌△BDP．证明：∵∠1=∠C+∠APC，∠2=∠BPD+∠D，∠3=∠BPD+∠APC，∠1=∠2=∠3，∴∠C=∠BPD，∠APC=∠D．∵AP=BD(或AC=BP或CP=PD)，∴△APC≌△BDP．(三)解题技巧在一条线段上出现三个相等的角，且有一组边相等时，则考虑使用一线三等角全等模型．找准三个等角，再根据平角性质、三角形内角和进行等角代换，判定三角形全等，然后利用全等三角形的性质解题．一线三等角模型常以等腰三角形、等边三角形、四边形(正方形或矩形)为背景，在几何综合题中考查．模型3半角模型(一)基本模型等边三角形含半角已知：△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点，∠BDC=120°，BD=CD，点E，F分别在AB，AC上，∠EDF=60°．结论1：EF=BE+CF，∠DEB=∠DEF，∠DFC=∠DFE．正方形含半角已知：四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF=45°．结论2：EF=BE+DF，∠AEB=∠AEF，∠AFD=∠AFE．等腰直角三角形含半角已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D，E在BC上，∠DAE=45°．结论3：DE2=BD2+CE2．(二)结论推导结论1：EF=BE+CF，∠DEB=∠DEF，∠DFC=∠DFE．证明：延长AC到点G，使CG=BE，连接DG．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°．∵∠BDC=120°，BD=CD，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠DBE=∠DCF=90°，∴∠DBE=∠DCG=90°，∴△BDE≌△CDG，∴DE=DG，∠DEB=∠G，∠BDE=∠CDG．∵∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠CDG+∠CDF=60°，即∠GDF=60°．∵DF=DF，∴△DEF≌△DGF，∴EF=FG，∠DEF=∠G，∠DFC=∠DFE．∴∠DEB=∠DEF．∵FG=CG+CF，∴EF=BE+CF．结论2：EF=BE+DF，∠AEB=∠AEF，∠AFD=∠AFE．证明：延长CB到点G，使BG=DF，连接AG．∵正方形ABCD，∴∠ABG=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF，∴AG=AF，∠G=∠AFD，∠BAG=∠DAF．∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠BAE+∠BAG=45°，即∠EAG=45°．∵AE=AE，∴△AEF≌△AEG，∴EF=EG，∠AEB=∠AEF，∠AFE=∠G．∴∠AFD=∠AFE．∵EG=BE+BG，∴EF=BE+DF．结论3：DE2=BD2+CE2．证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°到△ACF，连接EF．∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ACF=∠B=45°，∴∠ECF=90°，∴EF2=CF2+CE2=BD2+CE2，∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠CAE=45°，∴∠CAF+∠CAE=45°，即∠FAE=45°．∵AE=AE，∴△AEF≌△AED，∴EF=DE，∴DE2=BD2+CE2．(三)解题技巧对于半角模型，一般情况下都需要做辅助线(延长或旋转)，构造全等，通过等量代换得到相关的结论．模型4手拉手模型(一)基本模型已知：在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接BD，CE相交于O，连接OA．结论1：△ABD≌△ACE，BD=CE，结论2：∠BOC=∠BAC，结论3：OA平分∠BOE．(二)结论推导结论1：△ABD≌△ACE，BD=CE．证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE．∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．结论2：∠BOC=∠BAC．证明：设OB与AC相交于点F．∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE．∵∠AFB=∠OFC，∴∠BOC=∠BAC．结论3：OA平分∠BOE．证明：过点A分别做BD，CE的垂线，垂足为G，H．∵△ABD≌△ACE，∴S△ABD=S△ACE，∴12BD⋅AG=12CE⋅AH．∵BD=CE，∴AG=AH，∴OA平分∠BOE．(三)解题技巧如果题目中出现两个等腰三角形，可以考虑连接对应的顶点，用旋转全等模型；如果只出现一个等腰三角形，可以用旋转的方法构造旋转全等．模型5对角互补+邻边相等模型模型解读：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。

(专题)全等三角形常用模型(含答案解析)全等三角形常用模型(含答案解析)全等三角形是初中数学中一个重要的内容，也是高中几何学的基础。

掌握全等三角形的基本性质和判定条件，对于解题和证明都有重要的作用。

在这篇文章中，我们将介绍全等三角形的常用模型，并给出答案解析。

一、全等三角形的基本性质全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。

它们的内角相等，对应的边长也相等。

了解全等三角形的基本性质，对于后面的模型理解和应用非常重要。

1. 边边边（SAS）判定法当两个三角形的两边分别相等，并且夹角也相等时，可以判定它们全等。

2. 边角边（SAS）判定法当两个三角形的一对边分别相等，并且夹角也相等时，可以判定它们全等。

3. 角边角（ASA）判定法当两个三角形的两个角分别相等，并且夹边也相等时，可以判定它们全等。

二、全等三角形的常用模型及答案解析下面将介绍一些常见的全等三角形模型，它们在实际解题中经常出现，了解并掌握它们对于解题有很大的帮助。

1. 等腰三角形等腰三角形是指两边相等的三角形。

当两个等腰三角形的底边相等，并且底边夹角也相等时，可以判定它们全等。

答案解析：设两个等腰三角形为ΔABC和ΔDEF，已知AB = DE，∠BAC = ∠EDF，同时∠ABC = ∠DEF。

根据角边角（ASA）判定法，可以判定ΔABC ≌ ΔDEF。

2. 直角三角形直角三角形是指一个角为直角（90°）的三角形。

当两个直角三角形的一条直角边相等，并且斜边也相等时，可以判定它们全等。

答案解析：设两个直角三角形为ΔABC和ΔDEF，已知∠BAC =∠EDF = 90°，并且AB = DE，AC = DF。

根据边边边（SAS）判定法，可以判定ΔABC ≌ ΔDEF。

3. 等边三角形等边三角形是指三条边都相等的三角形。

当两个等边三角形的一条边相等时，可以判定它们全等。

答案解析：设两个等边三角形为ΔABC和ΔDEF，已知AB = DE。

⽅方法⼀一：延⻓长 AD 到 E，使 DE = AD，连接 BE ⽅方式⽅方法⼆二：间接倍⻓长，作 CF ⊥ AD 于 F，作 BE ⊥ AD 的延⻓长线于 E 连接 BE⽅方法三：延⻓长 MD 到 N，使 DN = MD，连接 CN【例例题 1】已知，如图△ABC 中，AB = 5，AC = 3，则中线 AD 的取值范围是_________.解：延⻓长 AD 到 E，使 DE = AD，连接 BE，则 BE = AC在△ABE 中：(AB - BE) < AE < (AB + BE)即(AB - AC) < 2AD < (AB + AC)所以 1 < AD < 4.【例例题 2】如图，△ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DE ⊥ DF，D 是中点，试⽐比较 BE + CF 与 EF 的⼤大⼩小.解：延⻓长 ED 到 G，使 DG = DE，连接 FG、CGFG = EF，CG = BECG + CF > FG所以 BE + CF > EF.【变式训练】1、如图，△ABC 中，BD = DC = AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.证明：延⻓长 AE 到 F，使 EF = EA，连接 CF易易证△AED ≌△FEC（SAS），∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，FC = AD∵ AC = DC，∴∠DAC = ∠3∴∠ADB = ∠DAC + ∠ACD = ∠3 + ∠ACD⼜又∵∠3 = ∠4∴∠ADB = ∠4 + ∠ACD = ∠FCA∵ AD = FC，∠ADB = ∠FCA，DB = CA∴△ADB ≌△FCA（SAS），∴∠5 = ∠2∴∠5 = ∠1，即 AD 平分∠BAE.【练习题】1、已知：如图，在正⽅方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，点 F 在 CD 上，∠FAE = ∠BAE．求证：AF = BC + FC．证明：过点 E 作 EG ⊥ AF 于点 G△AEG ≌△AEB（AAS），∴ AG = AB = BC，EG = EB = EC∴△EFG ≌△EFC（HL），∴ GF = CF∴ AF = AG + GF = BC + FC．2、如图所示，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的⻆角平分线，且 AE = AF。

三角形全等的判定方法压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【考点一用SAS证明两三角形全等】【考点二用ASA证明两三角形全等】【考点三用AAS证明两三角形全等】【考点四用SSS证明两三角形全等】【考点五添一个条件使两三角形全等】【过关检测】【典型例题】【考点一用SAS证明两三角形全等】1(2023春·江苏苏州·七年级校联考阶段练习)如图，在△ABC中，AC>AB，射线AD平分∠BAC，交BC 于点E，点F在边AB的延长线上，AF=AC，连接EF．(1)求证：△AEC≌△AEF．(2)若∠AEB=50°，求∠BEF的度数．【答案】(1)证明见解析(2)80°【分析】(1)由射线AD平分∠BAC，可得∠CAE=∠FAE，进而可证△AEC≌△AEF SAS；(2)由△AEC≌△AEF SAS，可得∠C=∠F，由三角形外角的性质可得∠AEB=∠CAE+∠C=50°，则∠FAE+∠F=50°，根据∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF=180°，计算求解即可．【详解】(1)证明：射线AD平分∠BAC，∴∠CAE=∠FAE，在△AEC和△AEF中，∵AC=AF∠CAE=∠FAEAE=AE，∴△AEC≌△AEF SAS；(2)解：∵△AEC≌△AEF SAS，∴∠C =∠F ，∵∠AEB =∠CAE +∠C =50°，∴∠FAE +∠F =50°，∵∠FAE +∠F +∠AEB +∠BEF =180°，∴∠BEF =80°，∴∠BEF 为80°．【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式训练】1(2023春·云南昭通·九年级校考阶段练习)如图，点A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF =DC ,∠A =∠D ,AB =DE ．求证：△ABC ≌△DEF．【答案】见解析【分析】由AF =CD ，可求得AC =DF ，利用SAS 可得出结论．【详解】解：∵ AF =CD ，∴AF -FC =CD -FC ，即AC =DF ，在△ABC 和△DEF 中，AB =DE∠A =∠D AC =DF，∴△ABC ≌△DEF (SAS )．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．2(2023春·四川成都·七年级统考期末)如图在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，AB =DB ，BE 平分∠ABC ，交AC 边于点E ，连接DE．(1)求证：△ABE ≌△DBE ；(2)若∠A =100°，∠C =40°，求∠DEC 的度数．【答案】(1)证明见解析(2)60°【分析】(1)根据BE 平分∠ABC ，可得∠ABE =∠DBE ，进而利用SAS 证明△ABE ≌△DBE 即可；(2)根据全等三角形的性质可得∠BDE =∠A =100°，再由三角形外角的性质即可求解．【详解】(1)解：∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE =∠DBE ．∵AB=DB，BE=BE，∴△ABE≌△DBE SAS；(2)解：∵△ABE≌△DBE，∴∠BDE=∠A=100°，∴∠DEC=∠BDE-∠C=60°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．3(2023春·江苏泰州·七年级统考期末)如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD、CE．(1)求证：△ABD≌△ACE．(2)图中BD和CE有怎样的关系？试证明你的结论．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】(1)先证明∠BAD=∠EAC，又因为AB=AC，AD=AE，即可求出三角形全等；(2)根据△ABD≌△ACE，得到∠ACE=∠ABD，进而证得∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°，等量代换得∠ACE+∠DBC+∠ACB=90°即∠ECB+∠DBC=90°，再利用内角和，即可证明垂直．【详解】(1)解：∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD∴∠BAD=∠EAC∵AB=AC，AD=AE∴△ABD≌△ACE．(2)解：如图，设BD和CE交点为F∵△ABD≌△ACE∴∠ACE=∠ABD∵∠BAC=90°∴∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°∴∠ACE+∠DBC+∠ACB=90°即∠ECB+∠DBC=90°∴∠BFC=180°-∠ECB+∠DBC=90°∴BD⊥CE．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，和角与角之间关系，解题的关键是根据SAS三角形全等．4(2023·江苏南通·统考一模)如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB=CD=13BC，AE=DF，AE∥DF．(1)求证：△AEC ≌△DFB ；(2)若S △AEC =6，求四边形BECF 的面积．【答案】(1)见解析(2)9【分析】(1)由AE ∥DF ，得∠A =∠D ，进一步证得AC =DB ，根据边角边求证△AEC ≌△DFB SAS ；(2)以AC 为底作EH 为高，则S △AEC =12EH ∙AC ，S △BCE =12EH ·BC ，由AB =CD =13BC ，求得S △BEC =34S △AEC=4.5；求证△BEC ≌△CFB SAS ，得S △BEC =S △CFB ，所以S 四边形BECF =2S △BEC =9．【详解】(1)证明：∵AE ∥DF ，∴∠A =∠D ，∵AB =CD ，∴AC =DB ，在△AEC 和△DFB 中，AE =DF∠A =∠DAC =DB∴△AEC ≌△DFB SAS ；(2)解：在△AEC 中，以AC 为底作EH 为高，∴S △AEC =12EH ∙AC ，S △BCE =12EH ∙BC ，∵AB =CD =13BC ，∴AC =43BC ，∵S △AEC =6，∴S △BEC =34S △AEC =4.5，∵△AEC ≌△DFB ，∴∠ACE =∠DBF ，EC =FB ，在△BEC 和△CFB 中，EC =FB∠BCE =∠CBF BC =CB，∴△BEC ≌△CFB SAS ，∴S △BEC =S △CFB ，∴S 四边形BECF =2S △BEC =9．【点睛】本题考查平行的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积计算；能够灵活运用全等三角形性质是解题的关键．【考点二用ASA 证明两三角形全等】1(2023春·广东惠州·八年级校考期中)如图，BC ∥EF ，点C ，点F 在AD 上，AF =DC ，∠A =∠D ．求证：△ABC ≌△DEF．【答案】见解析【分析】首先根据平行线的性质可得∠ACB =∠DFE ，利用等式的性质可得AC =DF ，然后再利用ASA 判定△ABC ≌△DEF 即可．【详解】证明：∵BC ∥EF ，∴∠ACB =∠DFE ，∵AF =DC ，∴AF +CF =DC +CF ，即AC =DF ，在△ABC 和△DEF 中，∠A =∠DAC =DF ∠ACB =∠DFE，∴△ABC ≌△DEF ASA ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式训练】1(2023·校联考一模)如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，若AD =BE ，∠A =∠EDF ，∠E =∠ABC .求证：AC =DF．【答案】见解析【分析】由AD =BE 知AB =ED ，结合∠A =∠EDF ，∠E =∠ABC ，依据“ASA ”可判定△ABC ≌△DEF ，依据两三角形全等对应边相等可得AC =DF ．【详解】证明：∵AD =BE ，∴AD +BD =BE +BD ，即AB =ED ，在△ABC 和△DEF 中，∠ABC =∠EAB =ED ∠A =∠EDF，∴△ABC≌△DEF ASA，∴AC=DF．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2(2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模)如图，在△ABC和△ECD中，∠ABC=∠EDC=90°，点B为CE中点，BC=CD．(1)求证：△ABC≌△ECD．(2)若CD=2，求AC的长．【答案】(1)见解析(2)4，见解析【分析】(1)根据ASA判定即可；(2)根据△ABC≌△ECD ASA和点B为CE中点即可求出．【详解】(1)证明：∵∠ABC=∠EDC=90°，BC=CD，∠C=∠C，∴△ABC≌△ECD ASA(2)解：∵CD=2，△ABC≌△ECD ASA，∴BC=CD=2，AC=CE，∵点B为CE中点，∴BE=BC=CD=2，∴CE=4，∴AC=4；【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定条件是解答本题的关键．【考点三用AAS证明两三角形全等】1(2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模)如图，点E在△ABC边AC上，AE=BC，BC∥AD，∠CED=∠BAD．求证：△ABC≌△DEA【答案】证明见解析【分析】根据平行线的性质，得到∠DAC=∠C，再根据三角形外角的性质，得出∠D=∠BAC，即可利用“AAS”证明△ΑBC≌△DEA．【详解】证明：∵BC∥AD，∴∠DAC=∠C，∵∠CED=∠BAD，∠CED=∠D+∠DAC，∠BAD=∠DAC+∠BAC，∴∠D=∠BAC，在△ABC和△DEA中，∠BAC=∠D ∠C=∠DAC BC=AE，∴△ΑBC≌△DEA AAS．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．【变式训练】1(2023·浙江温州·统考二模)如图，AB=BD，DE∥AB，∠C=∠E．(1)求证：△ABC≅△BDE．(2)当∠A=80°，∠ABE=120°时，求∠EDB的度数．【答案】(1)见解析(2)40°【分析】(1)根据平行线的性质，利用三角形全等的判定定理即可证明；(2)根据三角形全等的性质和平行线的性质即可求解【详解】(1)解：∵DE∥AB，∴∠BDE=∠ABC，又∵∠E=∠C，BD=AB，∴△ABC≅△BDE．(2)解：∵∠A=80°，△ABC≅△BDE，∴∠A=∠BDE=80°，∵∠ABE=120°，∴∠ABD=40°，∵DE∥AB，∴∠EDB=40°．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握各知识点，利用好数形结合的思想是解本题的关键．2(2023秋·八年级课时练习)如图，已知点C是线段AB上一点，∠DCE=∠A=∠B，CD=CE．(1)求证：△ACD ≌△BEC ；(2)求证：AB =AD +BE ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)由∠DCE =∠A 得∠D +∠ACD =∠ACD +∠BCE ，即∠D =∠BCE ，从而即可证得△ACD ≌△BEC ；(2)由△ACD ≌△BEC 可得AD =BC ，AC =BE ，即可得到AC +BC =AD +BE ，从而即可得证．【详解】(1)证明：∵∠DCE =∠A ，∴∠D +∠ACD =∠ACD +∠BCE ，∴∠D =∠BCE ，在△ACD 和△BEC 中，∠A =∠B∠D =∠BCE CD =EC，∴△ACD ≌△BEC AAS ；(2)解：∵△ACD ≌△BEC ，∴AD =BC ，AC =BE ，∴AC +BC =AD +BE ，∴AB =AD +BE ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【考点四用SSS 证明两三角形全等】1(2023·云南玉溪·统考三模)如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB =DF ，AC =DE ，BE =CF ，求证：△ABC ≌△DFC．【答案】见解析【分析】根据题意，运用“边边边”的方法证明三角形全等．【详解】证明：∵BE =CF ，∴BE +CE =CF +CE ，即BC =EF ，在△ABC 和△DFE 中，AB =DFAC =DEBC =FE∴△ABC ≌△DFE (SSS )．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法解题的关键．【变式训练】1(2023·云南·统考中考真题)如图，C 是BD 的中点，AB =ED ,AC =EC ．求证：△ABC ≌△EDC．【答案】见解析【分析】根据C 是BD 的中点，得到BC =CD ，再利用SSS 证明两个三角形全等．【详解】证明：∵C 是BD 的中点，∴BC =CD ，在△ABC 和△EDC 中，BC =CDAB =ED AC =EC，∴△ABC ≌△EDC SSS 【点睛】本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决本题的关键．2(2023春·全国·七年级专题练习)如图，已知∠E =∠F =90°，点B ，C 分别在AE ，AF 上，AB =AC ，BD =CD．(1)求证：△ABD ≌△ACD ；(2)求证：DE =DF ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)直接根据SSS 证明即可．(2)根据(1)得∠EAD =∠FAD ，然后证明△AED ≌△AFD 即可．【详解】(1)解：证明：在△ABD 和△ACD 中，AB =ACAD =AD BD =CD∴△ABD ≌△ACD (SSS )．(2)解：由(1)知△ABD ≌△ACD (SSS )，∴∠EAD =∠FAD ，在△AED和△AFD中，∠E=∠F∠EAD=∠FAD AD=AD∴△AED≌△AFD(AAS)，∴DE=DF．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟记全等三角形的性质与判定是解题关键．【考点五添一个条件使两三角形全等】1(2023春·宁夏银川·七年级校考期末)如图，在△ABC和△FED中，AD=FC，∠A=∠F，要使△ABC≌△FED，需添加的一个条件是．【答案】AB=EF(∠B=∠E或∠ACB=∠FDE答案不唯一)【分析】要使△ABC≌△FED，现有一边一角分别对应相等，还少一个条件，可结合图形选择利用求解即可．【详解】解：∵AD=FC，∴AC=FD又∵∠A=∠F，∴添加AB=EF，利用SAS可以证明△ABC≌△FED；添加∠B=∠E，利用AAS可以证明△ABC≌△FED；添加∠ACB=∠FDE，利用ASA可以证明△ABC≌△FED故答案为：AB=EF(∠B=∠E或∠ACB=∠FDE(．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．【变式训练】1(2023·北京大兴·统考二模)如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC∥DF，BE=CF，只需添加一个条件即可证明△ABC≌△DEF，这个条件可以是(写出一个即可)．【答案】AC=DF或∠A=∠D或∠ABC=∠DEF或AB∥DE(答案不唯一)．【分析】根据SAS，AAS或ASA添加条件即可求解．【详解】解：∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，则有边角AS两个条件，要添加一个条件分三种情况，(1)根据“SAS”，则可添加：AC=DF，(2)根据“ASA”，则可添加：∠ABC=∠DEF或AB∥DE，(3)根据“AAS”，则可添加：∠A=∠D，故答案为：AC=DF或∠ABC=∠DEF或AB∥DE或∠A=∠D(答案不唯一)．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解此题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判断方法．2(2023春·山东青岛·七年级统考期末)如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠AFB=∠DEC，请你添加一个条件(不添加字母和辅助线)，使得△ABF≌△DCE，你添加的条件是．【答案】AF=DE或∠ABF=∠DCE或∠A=∠D【分析】本题要判定△ABF≌△DCE，已知∠AFB=∠DEC，由BE=CF可得BF=CE，那么只需添加一个条件即可．添边可以是AF=DE或添角可以是∠ABF=∠DCE或∠A=∠D．【详解】解：所添加条件为：AF=DE或∠ABF=∠DCE或∠A=∠D，∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，添加：AF=DE，在△ABF和△DCE中，AF=DE∠AFB=∠DECBF=CE，∴△ABF≌△DCE SAS；添加：∠ABF=∠DCE，在△ABF和△DCE中，∠ABF=∠DCEBF=CE∠AFB=∠DEC，∴△ABF≌△DCE ASA添加：∠A=∠D，在△ABF和△DCE中，∠A=∠D∠AFB=∠DECBF=CE，∴△ABF≌△DCE AAS．故答案为：AF=DE或∠ABF=∠DCE或∠A=∠D．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，解题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3(2023秋·八年级课前预习)如图，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，要使△ABE≌△ACD，则还需添加的条件是．(只需填写一个合适的条件即可，图中不能再添加其他点或线)【答案】AE=AD或∠B=∠C或∠AEB=∠ADC(答案不唯一)【分析】根据全等三角形的判定方法即可求解．【详解】解：①∵AB=AC，∠A=∠A，AE=AD，∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴添加的条件为AE=AD；②∵∠B=∠C，AB=AC，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACD(ASA)，∴添加的条件为∠B=∠C；③∵∠A=∠A，∠AEB=∠ADC，AB=AC，∴△ABE≌△ACD(ASA)，∴添加的条件为∠AEB=∠ADC；综上所述，添加的条件为AE=AD或∠B=∠C或∠AEB=∠ADC，故答案为：AE=AD或∠B=∠C或∠AEB=∠ADC(答案不唯一)．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．【过关检测】一、单选题1(2023春·四川达州·七年级四川省大竹中学校考期末)如图，已知BE=DF，AF∥CE，不能使△ABF≌△CDE的是()A.BF=DEB.AF=CEC.AB∥CDD.∠A=∠C【答案】A【分析】根据BE =DF ，可得BF =DE ，根据AF ∥CE ，可得∠AFE =∠CEF ，由等角的补角相等可得∠AFB =∠CED ，然后根据全等三角形的判定定理逐一判断即可．【详解】解：∵BE =DF ，∴BF =DE ，∵AF ∥CE ，∴∠AFE =∠CEF ，∴∠AFB =∠CED ．A 、添加BF =DE 时，不能判定△ABF ≌△CDE ，故选项符合题意；B 、添加AF =CE ，根据SAS ，能判定△ABF ≌△CDE ，故选项不符合题意；C 、由AB ∥CD 可得∠B =∠D ，所以添加AB ∥CD ，根据ASA ，能判定△ABF ≌△CDE ，故选项不符合题意；D 、添加∠A =∠C ，根据AAS ，能判定△ABF ≌△CDE ，故选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2(2023秋·河南漯河·八年级校考期末)如图，∠A =∠B ,AE =BE ，点D 在AC 边上，∠1=∠2，AE 和BD 相交于点O ，若∠1=42°，则∠BDE 的度数为()A.71°B.69°C.67°D.65°【答案】B【分析】证明△BED ≌△AEC ，得到DE =CE ，∠C =∠BDE 等边对等角，求出∠C 的度数，即可．【详解】解：∵∠A =∠B ,∠BOE =∠AOD ，∴∠2=∠3，∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴∠BED =∠AEC ，又AE =BE ，∴△BED ≌△AEC ，∴DE =CE ，∠C =∠BDE ，∴∠CDE =∠C =12180°-∠1 =69°，∴∠BDE =69°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形全等．3(2023春·辽宁丹东·八年级校考期中)如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=42°，则∠P的度数为()A.42°B.74°C.84°D.96°【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质得出两个底角相等，根据三角形全等的判定定理得出∠AMK=∠BKN，根据三角形的外角性质得出∠A的度数，即可得答案．【详解】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，∵AM=BK，BN=AK，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK=∠BKN，∵∠MKB=∠A+∠AMK=∠MKN+∠BKN，∴∠A=∠MKN=42°，∴∠P=180°-2×42°=96°．故选：D．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角性质，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键．二、填空题4(2023春·山东青岛·七年级统考期末)如图，∠l=∠2，现要添加一个条件使△ABD≌△ACD，可以添加．(只添一个即可)．【答案】CD=BD(答案不唯一)【分析】根据三角形全等的判定方法进行解答即可．【详解】解：∵∠l=∠2，∴180°-∠1=180°-∠2，即∠ADC =∠ADB ，∵AD =AD ，∴添加条件CD =BD ，根据SAS 证明△ABD ≌△ACD ；添加条件∠C =∠B ，根据AAS 证明△ABD ≌△ACD ；添加条件∠CAD =∠BAD ，根据ASA 证明△ABD ≌△ACD ．故答案为：CD =BD (答案不唯一)．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，SAS ，AAS ，ASA ，HL ，SSS ．5(2023秋·湖南娄底·八年级统考期末)如图，∠ACB =90°，AC =BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ．下面四个结论：①∠ABE =∠BAD ；②△CBE ≌△ACD ；③AB =CE ；④AD -BE =DE ，其中正确的有．【答案】①②④【分析】由BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，得BE ∥AD ，则∠ABE =∠BAD ，可判断①正确；根据“同角的余角相等”推导出∠BCE =∠CAD ，即可证明△CBE ≌△ACD ，可判断②正确；由垂线段最短可证明AB >BC ，BC >CE ，则AB >CE ，可判断③错误；由CE =AD ，BE =CD ，且CE -CD =DE ，得AD -BE =DE ，可判断④正确，于是得到问题的答案．【详解】∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴AD ∥BE ，∴∠ABE =∠BAD ，故①正确；∵∠E =∠ADC =∠ACB =90°，∴∠BCE =∠CAD =90°-∠ACD ，在△CBE 和△ACD 中，∠E =∠ADC∠BCE =∠CAD BC =CA，∴△CBE ≌△ACD AAS ，故②正确；∵BC ⊥AC ，CE ⊥BE ，∴AB >BC ，BC >CE ，∴AB >CE ，故③错误；∵△CBE ≌△ACD ，∴CE =AD ，BE =CD ，∵CE -CD =DE ，∴AD -BE =DE ，故④正确；故答案为：①②④．【点睛】此题考查了同角的余角相等、垂线段最短、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明∠BCE =∠CAD 及△CBE ≌△ACD 是解题的关键．6(2023秋·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考开学考试)如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE=6cm．如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CD上以acm/s的速度由C点向D点运动．当a=时，△EBP和△PCQ全等．【答案】4或24 5【分析】分两种情况：当△EBP≌△PCQ时和当△EBP≌QCP时，根据边对应相等，分别求出a的值即可．【详解】解：当△EBP≌△PCQ时，此时BE=CP，BP=CQ，则有BP=4t=at，CP=BC-BP=10-4t=6，此时t=1，a=4，当△EBP≌QCP时，此时BE=CQ，BP=CP，则有CQ=at=6，CP=BC-BP=10-4t=4t，此时t=54，a=245，综上所述，a的值为4或24 5，故答案为：4或24 5．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，采用分类讨论的思想是解题的关键．三、解答题7(2023春·上海嘉定·七年级校考期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A=∠BEC，且AD=BE．(1)求证：△ABD≌△ECB；(2)如果∠BDC=75°，求∠ADB的度数．【答案】(1)见解析(2)∠ADB=30°【分析】(1)由平行线性质可得∠ADB=∠CBE，再由ASA可证△ABD≌△ECB；(2)由全等三角形的性质可得BD=BC，由等腰三角形的性质可求出∠DBC=30°，再由两直线平行内错角相等即可求解．【详解】(1)证明∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBE，在△ABD和△ECB中，∠A=∠BECAD=BE∠ADB=∠CBE，∴△ABD≌△ECB ASA；(2)∵△ABD≌△ECB，∴BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=75°，∴∠DBC=180°-∠BDC-∠BCD=30°，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和，熟练掌握两直线平行内错角相等是解答本题的关键．8(2023秋·江苏·八年级校考周测)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．(1)试说明AE=CD；(2)若AC=12cm，求BD的长．【答案】(1)见解析(2)BD=6cm【分析】(1)由题意可得∠D+∠DCB=90°，∠DCB+∠AEC=90°，即∠D=∠AEC，根据“AAS”可证△DBC≌△ECA，可得；(2)先求出，然后根据全等三角形的性质即可求解．【详解】(1)∵，，∴，，∴，∵，，∴，∴；(2)∵，，∴．∵是边上的中线，∴．∵，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．9(2023秋·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考开学考试)如图所示，在中，于D，于E，与交于点F，且．(1)求证：；(2)已知，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)根据垂直的定义得出，再根据同角的余角相等得出，然后由证明即可；(2)由全等三角形的性质得出，再根据线段的和差即可解决问题．【详解】(1)证明：∵，，∴，∴，∴，在和中∴，(2)解：∵，∴，∵，∴，∴；【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质的应用，证明三角形全等是解决问题的关键，属于中考常考题型．10(2023春·四川成都·七年级成都实外校考期末)已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分．(1)求证：；(2)求的度数．(3)若，试判断与的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)(3)，理由见解析【分析】(1)由三角形是等边三角形和可得，由角平分线的性质可得，由“”即可证明；(2)由三角形是等边三角形和可得，，由“”证明，从而得到，再由，；(3)由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，令交于点，通过计算得出，最后由三角形内角和定理可得出，从而得到答案．【详解】(1)证明：三角形是等边三角形，，，，平分，，在和中，，；(2)解：三角形是等边三角形，，，在和中，，，，，，由(1)得，，；(3)解：，理由如下：由(1)得，，，由(2)得，，，，，，如图，令交于点，，则，，，．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的性质，熟练掌握等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的性质，是解题的关键．11(2023春·四川达州·七年级校考期末)如图，在中，，，点在线段上运动(不与、重合)，连接，作，交线段于．(1)当时，，；点从向的运动过程中，逐渐变(填“大”或“小”)；(2)当等于多少时，，请说明理由．(3)在点的运动过程中，与的长度可能相等吗？若可以，请直接写出的度数，请说明理由．【答案】(1)；；小；(2)，理由见解析；(3)可能相等，，理由见解析【分析】(1)现根据邻补角的定义，得到，进而得到，然后利用三角形内角和定理，得到，，又因为点从向的运动过程中，逐渐增大，所以逐渐变小；(2)利用三角形内角和定理，得到，根据平角的性质，得到，进而得到，再根据“”证明，即可得到答案；(3)根据等边对等角的性质，得到，再利用三角形内角和定理，得出，由三角形外角的性质，得到，进而得到，最后利用邻补角，即可求出的度数．【详解】(1)解：，，，，，，，，点从向的运动过程中，逐渐增大，逐渐变小，故答案为：；；小；(2)解：当时，，理由如下：，，又，，，，当时，，，在和中，，，即当时，，；(3)解：在点的运动过程中，与的长度可能相等，理由如下：，，，，，，，，．【点睛】本题考查了邻补角，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．12(2023春·广东梅州·八年级校考开学考试)在四边形中．(1)如图1，，，，分别是，上的点，且，探究图中，，之间的数量关系．小林同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先对比与结论是；(2)如图2，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则上述结论是否仍然成立，请说明理由．(3)如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请写出与的数量关系，并给出证明过程．【答案】(1)，理由见解析(2)成立，理由见解析(3)，证明见解析【分析】(1)延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得结论；(2)延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得结论；(3)在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到【详解】(1)解：结论：．理由：如图1，延长到点，使，连接，在和中，，，，，，，，在和中，，，．故答案为：；(2)解：仍成立，理由：如图2，延长到点，使，连接，，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，；(3)解：结论：．理由：如图3，在延长线上取一点，使得，连接，，，，在和中，，，，，在和中，，，，，，，即，．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．。

专题四全等三角形模型17 “一线三等角”全等模型模型展现基础模型怎么用?1.找模型当在一条线段上,存在三个相等的角(锐角或直角或钝角),且有一组边相等时,考虑用“一线三等角”全等模型2.用模型找准三个等角,再根据平角性质、三角形内角和及外角性质进行等角代换判定三角形全等巧学巧记简记“一线三等角,两头对应好，互补导等角，全等轻易找”.满分技法“—线三等角”模型常以等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形、四边形(正方形或矩形或梯形)为背景,在几何综合题中考查.结论分析结论1:∠APC∠∠BDP证明:如图,∠点Р在线段AB上，∠ ∠APC+∠2+∠DPB=180°,在∠APC和∠BDP中，∠1+∠APC+∠C=180°,∠DPB+∠3+∠D=180°,∠∠1=∠2= ∠3,∠∠DPB=∠C ,∠APC=∠D，又∠AP= BD或AC=BP或CP=PD，∠∠APC∠∠BDP结论2:∠APC∠∠BDP证明:如图,点P在线段AB的延长线上,∠∠1=∠C+∠APC,∠2=∠D+∠BPD,∠3=∠BPD+∠APC ,∠1=∠2=∠3，∠∠D= ∠APC ,∠CAP= ∠PBD,∠AP=BD或AC=BP或CP=PD,∠∠APC∠∠BDP模型拓展拓展延伸若题干中“一线三等角”中无对应线段相等,则为“一线三等角”相似模型(见本书P154模型49“一线三等角”相似模型).典例小试例1如图,在∠ABC中,AB=AC（点拨：∠B=∠C）,点D,E,F分别在边AB ,BC,AC 上,若∠B=∠DEF（点拨：∠B= ∠C=∠DEF）, ED=EF（点拨：一组边对应相等）,CF=3, 则BE的长为（）A.3B.6C.9D. 12考什么?等腰三角形的性质,三角形外角的性质,全等三角形的判定与性质例2 (2021陕西)如图,AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒,点A、C、E共线.若AC=6 cm,CD∠BC,则线段CE的长度是（）考什么?等腰三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理例3 (2021南充)如图, ∠BAC=90°, AD是∠BAC内部一条射线,若AB=AC，BE∠AD 点E，CF∠AD于点F，求证:AF=BE.考什么?直角三角形的性质,全等三角形的判定及性质思路点拨“一线三等角”模型无论是同侧型还是异侧型,主要根据等.角转换,得到角相等,再结合已知条件证明全等.实战实演1.如图,∠ABC中，AC=BC，∠B=45°，A(0,4), C(-2, 0),则中点B的坐标为（）2.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C=60°,BC=1,点E是BC上一点,若∠ADE为等边三角形,则AB+CD的值为.3.∠ABC中,AB=AC,AB>BC,点D在边BC上,且CD=2BD,点E,F在线段AD上.∠1=∠2=∠BAC,若∠ABC的面积为6,则∠ABE与∠CDF的面积之和为.4.如图∠，在∠ABC中,AB=AC,点D,A,E三点都在直线l上.若∠BDA=∠AEC=∠BAC=α.(1)猜想并证明DE , BD,CE之间的数量关系;(2)如图∠,若α= 120°,且∠ACF为等边三角形,求证:∠DEF为等边三角形.模型18 “半角”全等模型模型展现基础模型已知:∠BAC =2α，AB =AC .∠DAE =21∠BAC =α已知:∠BDC =120°BD = CD ,∠EDF = 60°已知:∠BAC =90°AB =AC∠DAE =45°旋转2a 变形后旋转120°变形后旋转90°变形后 怎么用? 1.找模型一个角包含着该角的半角，如120°角包含60°角,90°角包含45°角,或者出现21关系,则考虑使用“半角”模型 2.用模型∠找旋转点(含半角的角的顶点),构造旋转;∠证全等;∠利用全等得到边角的关系结论分析结论2: ∠∠BDE ∠∠CDG , ∠DEF ∠∠DGF ; ∠EF = BE +FC证明:如图,以点D 为旋转中心，线段DE 按顺时针方向旋转120°到DG ,连接CG ,则有DE =DG ,∠EDG = 120°∠ ∠BDE +∠EDC =∠EDC +∠CDG = 120°， ∠∠BDE =∠CDG在∠BDG 和∠CDG 中，BD CD BDE CDG DE DG =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∠∠BDG ≅∠CDG ∠BE =CG在∠EDG 和∠GDF 中，DE DG EDF GDF DF DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∠∠EDG ≅∠GDF∠EF =GF =FC +CG =FC +BE满分技法对于“半角”模型,一般情况下都需要做辅助线(旋转角度或构造等角) ,构造全等,然后通过证明全等得到相关结论.模型拓展旋转120°变形后旋转90°变形后拓展延伸菱形、正方形中含半角，与基本模型中的解法一致,常在几何综合题中，以菱形、正方形为背景,考查“半角”模型.例1如图， 在等边∠ABC 中,点E ,F 分别在AB ,AC 上,点D 为∠ABC 外一点,且∠EDF =60°,∠BDC = 120°. BD = DC (点拨： 含半角，含等边)设∠AEF 的周长为C 1,等边OABC 的周长为C 2,.若DE = DF ,则12c c 的值为______________.例1题图等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质例2如图，已知∠ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形（点拨：∠ ACB=90°,AC= BC），,点E、F在AB边上,∠ECF=12∠ACB（点拨：12关系,即半角）.若AE=2, EF=3,则BF的长为。