2008年第25届全国中学生物理竞赛复赛试题与参考解答

第25届全国中学生物理竞赛复赛理论试题参考解答一、答案1. 14103.1⨯ 2. 31122kg m s -⋅⋅ 51.0610-⨯(答51.0510-⨯也给分)3.34T T 二、参考解答：1. 椭圆半长轴a 等于近地点和远地点之间距离的一半，亦即近地点与远地点矢径长度（皆指卫星到地心的距离）n r 与f r 的算术平均值，即有 ()()()()n f n f n f111222a r r H R H R H H R =+=+++=++⎡⎤⎣⎦ (1) 代入数据得43.194610a =⨯km (2) 椭圆半短轴b 等于近地点与远地点矢径长度的几何平均值，即有b = (3)代入数据得41.94210km b =⨯ (4) 椭圆的偏心率ab a e 22-=(5) 代入数据即得0.7941e = (6)2. 当卫星在16小时轨道上运行时，以n v 和f v 分别表示它在近地点和远地点的速度，根据能量守恒，卫星在近地点和远地点能量相等，有22n f n f1122GMm GMmm m r r -=-v v (7) 式中M 是地球质量，G 是万有引力常量. 因卫星在近地点和远地点的速度都与卫星到地心的连线垂直，根据角动量守恒，有n n f f m r m r =v v (8) 注意到g RGM=2(9)由(7)、(8)、(9)式可得n =v (10)n f n f r r ==v v (11) 当卫星沿16小时轨道运行时，根据题给的数据有n n r R H =+ f f r R H =+ 由(11)式并代入有关数据得f 1.198=v km/s (12)依题意，在远地点星载发动机点火，对卫星作短时间加速，加速度的方向与卫星速度方向相同，加速后长轴方向没有改变，故加速结束时，卫星的速度与新轨道的长轴垂直，卫星所在处将是新轨道的远地点.所以新轨道远地点高度4f f 5.093010H H '==⨯km ，但新轨道近地点高度2n6.0010H '=⨯km .由(11)式，可求得卫星在新轨道远地点处的速度为 f 1.230'=v km/s (13) 卫星动量的增加量等于卫星所受推力F 的冲量，设发动机点火时间为∆t ，有()f f m F t '-=∆v v (14) 由(12)、(13)、(14)式并代入有关数据得∆t=21.510s ⨯ (约2.5分) (15) 这比运行周期小得多.3. 当卫星沿椭圆轨道运行时，以r 表示它所在处矢径的大小，v 表示其速度的大小，θ表示矢径与速度的夹角，则卫星的角动量的大小sin 2L rm m θσ==v (16 ) 其中1sin 2r σθ=v （17）是卫星矢径在单位时间内扫过的面积，即卫星的面积速度.由于角动量是守恒的，故σ是恒量.利用远地点处的角动量，得f f 12r σ=v (18)又因为卫星运行一周扫过的椭圆的面积为πS ab = (19) 所以卫星沿轨道运动的周期σST =(20)由(18)、(19)、(20) 式得f f2πabT r =v (21) 代入有关数据得45.67810T =⨯s (约15小时46分) (22)注：本小题有多种解法.例如，由开普勒第三定律，绕地球运行的两亇卫星的周期T 与T 0之比的平方等于它们的轨道半长轴a 与a 0之比的立方，即2300T a T a ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若0a 是卫星绕地球沿圆轨道运动的轨道半径，则有202002πGMmma a T ⎛⎫= ⎪⎝⎭得22203204π4πT a GM gR ==从而得T =代入有关数据便可求得(22)式.4. 在绕月圆形轨道上，根据万有引力定律和牛顿定律有2m m 2m m2π()GM m mr r T = (23) 这里m m r r H =+是卫星绕月轨道半径，m M 是月球质量. 由(23)式和(9)式，可得23mm 22m4πr M M gR T = (24) 代入有关数据得m0.0124M M= (25)三、参考解答：足球射到球门横梁上的情况如图所示（图所在的平面垂直于横梁轴线）.图中B 表示横梁的横截面，O 1为横梁的轴线；11O O '为过横梁轴线并垂直于轴线的水平线；A 表示足球，O 2为其球心；O 点为足球与横梁的碰撞点，碰撞点O 的位置由直线O 1OO 2与水平线11O O '的夹角θ 表示.设足球射到横梁上时球心速度的大小为v 0，方向垂直于横梁沿水平方向，与横梁碰撞后球心速度的大小为v ，方向用它与水平方向的夹角ϕ表示(如图).以碰撞点O 为原点作直角坐标系Oxy ，y 轴与O 2OO 1重合.以α0表示碰前速度的方向与y 轴的夹角，以α表示碰后速度的方向与y 轴(负方向)的夹角，足球被横梁反弹后落在何处取决于反弹后的速度方向，即角α的大小.以F x 表示横梁作用于足球的力在x 方向的分量的大小，F y 表示横梁作用于足球的力在y 方向的分量的大小，∆t 表示横梁与足球相互作用的时间，m 表示足球的质量，有x 0x x F t m m ∆=-v v (1) y y 0y F t m m ∆=+v v (2) 式中0x v 、0y v 、x v 和y v 分别是碰前和碰后球心速度在坐标系Oxy 中的分量的大小.根据摩擦定律有x y F F μ= (3) 由（1）、（2）、（3）式得 0x xy 0yμ-=+v v v v (4)根据恢复系数的定义有y 0y e =v v （5） 因0x00ytan α=v v （6） xytan α=v v （7） 由（4）、（5）、（6）、（7）各式得⎪⎭⎫⎝⎛+-=e e 11tan 1tan 0μαα （8） 由图可知αθϕ+= （9）若足球被球门横梁反弹后落在球门线内，则应有90ϕ≥ (10) 在临界情况下，若足球被反弹后刚好落在球门线上，这时90ϕ= .由（9）式得()tan 90tan θα-=(11)因足球是沿水平方向射到横梁上的，故θα=0，有⎪⎭⎫⎝⎛+-=e e 11tan 1tan 1μθθ (12) 这就是足球反弹后落在球门线上时入射点位置θ所满足的方程.解（12）式得tan θ=13)代入有关数据得tan 1.6θ= (14) 即58θ=(15)现要求球落在球门线内，故要求58θ≥ (16)四、参考解答：1. 当阀门F 关闭时，设封闭在M 和B 中的氢气的摩尔数为n 1，当B 处的温度为T 时，压力表显示的压强为 p ，由理想气体状态方程，可知B 和M 中氢气的摩尔数分别为 RTpV n BB 1=(1) 0MM 1RT pV n = (2) 式中R 为普适气体恒量.因1M 1B 1n n n =+ (3) 解（1）、（2）、（3）式得 1MB B 011n R V T V p V T =- (4) 或1MB B 0p T n R V p V V T =- (5) (4)式表明，T 1与p1成线性关系，式中的系数与仪器结构有关.在理论上至少要测得两个已知温度下的压强，作T 1对p1的图线，就可求出系数. 由于题中己给出室温T 0时的压强p 0，故至少还要测定另一己知温度下的压强，才能定量确定T 与p 之间的关系式.2. 若蒸气压温度计测量上限温度v T 时有氢气液化，则当B 处的温度v T T ≤时，B 、M 和E 中气态氢的总摩尔数应小于充入氢气的摩尔数.由理想气体状态方程可知充入氢气的总摩尔数 ()0B M E 20p V V V n RT ++=（6）假定液态氢上方的气态氢仍可视为理想气体，则B 中气态氢的摩尔数为 v B2B vp V n RT =（7） 在（7）式中，已忽略了B 中液态氢所占的微小体积.由于蒸气压温度计的其它都分仍处在室温中，其中氢气的摩尔数为()νM E 2M 2Ep V V n n RT ++= （8）根据要求有2B 2M 2E 2n n n n ++≤ （9） 解（6）、（7）、（8）、（9）各式得 ()B vv 0v00v E M V T p p T p T p V V --≥+ (10)代入有关数据得M E B 18V V V +≥ (11)五、答案与评分标准：1．59.022122=-=+(3分) 2 (2分)2．如图(15分.代表电流的每一线段3分，其中线段端点的横坐标占1分，线段的长度占1分，线段的纵坐标占1分)六、参考解答：如果电流有衰减，意味着线圈有电阻，设其电阻为R ，则在一年时间t 内电流通过线圈因发热而损失的能量为Rt I E 2=∆ （1） 以ρ 表示铅的电阻率，S 表示铅丝的横截面积，l 表示铅丝的长度，则有 SlR ρ= （2） 电流是铅丝中导电电子定向运动形成的，设导电电子的平均速率为v ，根据电流的定义有 I S ne =v （3） 所谓在持续一年的时间内没有观测到电流的变化，并不等于电流一定没有变化，但这变化不会超过电流检测仪器的精度∆I ，即电流变化的上限为mA 0.1=∆I .由于导电电子的数密度n 是不变的，电流的变小是电子平均速率变小的结果，一年内平均速率由v 变为 v -∆v ，对应的电流变化I neS ∆=∆v （4） 导电电子平均速率的变小，使导电电子的平均动能减少，铅丝中所有导电电子减少的平均动能为()221122k E lSn m m ⎡⎤∆=--∆⎢⎥⎣⎦v v v l S n m ≈∆v v （5） 由于∆I<<I ，所以∆v <<v ，式中∆v 的平方项已被略去.由（3）式解出 v ，（4）式解出 ∆v ，代入（5）式得2k lmI IE ne S∆∆=(6) 铅丝中所有导电电子减少的平均动能就是一年内因发热而损失的能量，即E E k ∆=∆ （7） 由(1)、(2)、(6)、(7)式解得2Δm I ne Itρ= （8）式中7365243600s =3.1510s t =⨯⨯⨯ （9）在（8）式中代入有关数据得261.410Ωm ρ-=⨯⋅ (10)所以电阻率为0的结论在这一实验中只能认定到m Ω104.126⋅⨯≤-ρ (11)七、参考解答：按照斯特藩-玻尔兹曼定律，在单位时间内太阳表面单位面积向外发射的能量为 4s s W T σ=(1)其中σ为斯特藩-玻尔兹曼常量，T s 为太阳表面的绝对温度.若太阳的半径为R s ，则单位时间内整个太阳表面向外辐射的能量为2s s s 4πP R W= (2) 单位时间内通过以太阳为中心的任意一个球面的能量都是s P .设太阳到地球的距离为r se ，考虑到地球周围大气的吸收，地面附近半径为R 的透镜接收到的太阳辐射的能量为 ()2s 2seπ14πP P R r α=- (3)薄凸透镜将把这些能量会聚到置于其后焦面上的薄圆盘上，并被薄圆盘全部吸收.另一方面，因为薄圆盘也向外辐射能量.设圆盘的半径为D R ，温度为D T ，注意到簿圆盘有两亇表面，故圆盘在单位时间内辐射的能量为24D D D 2πP R T σ=⋅⋅ (4)显然，当D P P = (5) 即圆盘单位时间内接收到的能量与单位时间内辐射的能量相等时，圆盘达到稳定状态，其温度达到最高.由(1)、(2)、(3)、(4)、(5)各式得 ()1224s D s 22se D12R R T T r R α⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦(6) 依题意，薄圆盘半径为太阳的像的半径s R '的2倍，即D 2s R R '=.由透镜成像公式知s sseR R f r '= (7) 于是有sD se2R R f r = (8) 把(8)式代入(6)式得()124D s 218R T T f α⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦(9) 代入已知数据，注意到s s (273.15)T t =+K ， T D =1.4×103K (10)即有3o D D 273.15 1.110C t T =-=⨯ (11) 八、参考解答：1．根据爱因斯坦质能关系，3H 和3He 的结合能差为()332n p H He B m m m m c ∆=--+ (1)代入数据，可得763.0=∆B MeV (2) 2．3He 的两个质子之间有库仑排斥能，而3H 没有.所以3H 与3He 的结合能差主要来自它们的库仑能差.依题意，质子的半径为N r ，则3He 核中两个质子间的库仑排斥能为2C N2e E k r = (3)若这个库仑能等于上述结合能差，C E B =∆，则有2N 2Δke r B= (4)代入数据，可得N 0.944r =fm (5)3．粗略地说，原子核中每个核子占据的空间体积是 3N (2)r .根据这个简单的模型，核子数为A 的原子核的体积近似为33N N (2)8V A r Ar == (6)另一方面，当A 较大时，有 343V R π=（7） 由（6）式和（7）式可得R 和A 的关系为1/31/31/3N 06πR r A r A ⎛⎫== ⎪⎝⎭(8)其中系数1/30N 6πr r ⎛⎫= ⎪⎝⎭(9)把(5)式代入(9)式得17.10=r fm (10) 由(8)式和(10)式可以算出Pb 208的半径Pb 6.93fm R =。

第25届全国中学生物理竞赛预赛试卷一、选择题．本题共6小题，每小题6分．在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项正确的，有的小题有多项正确的．把正确的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内．全部选对的得6分，选对但不选全的得3分，有选错或不答的得0分．1．如图所示，两块固连在一起的物块a 和b ，质量分别为m a 和m b ，放在水平的光滑桌面上．现同时施给它们方向如图所示的推力F a 和拉力F b ，已知F a >F b ，则a 对b 的作用力 A ．必为推力B ．必为拉力C ．可能为推力，也可能为拉力D ．可能为零[]2．用光照射处在基态的氢原子，有可能使氢原子电离，下列说法中正确的是 A ．只要光的光强足够大，就一定可以使氢原子电离 B ．只要光的频率足够高，就一定可以使氢原子电离 C ．只要光子的能量足够大，就一定可以使氢原子电离 D ．只要光照的时间足够长，就一定可以使氢原子电离[]3．如图所示，一U 形光滑导轨串有一电阻R ，放置在匀强的外磁场中，导轨平面与磁场方向垂直．一电阻可以忽略不计但有一定质量的金属杆ab 跨接在导轨上，可沿导轨方向平移．现从静止开始对ab 杆施加向右的恒力F ，若忽略杆和U 形导轨的自感，则在杆的运动过程中，下列哪种说法是正确的？A ．外磁场对载流杆ab 作用力对ab 杆做功，但外磁场的能量是不变的B ．外力F 的功总是等于电阻R 上消耗的功C ．外磁场对载流杆ab 作用力的功率与电阻R 上消耗的功率两者的大小是相等的D ．电阻R 上消耗的功率存在最大值[]4．如图所示，放置在升降机地板上的盛有水的容器中，插有两根相对容器位置固定的玻璃管a 和b ，管的上端都是封闭的，下端都有开口的，管内被水各封有一定质量的气体．平衡aFab F aF b时a 管内的水面比管个的低，b 管内的水面比管个的高．现令升降机从静止开始加速下降，已知在此过程中管内气体仍被封闭在管内，且经历的过程可视为绝热过程，则在此过程中 A ．a 中的气体内能增加，b 中的气体内能减少 B ．a 中的气体内能减少，b 中的气体内能增加 C ．a 、b 中气体内能都增加 D ．a 、b 中气体内能都减少[]5．图示为由粗细均匀的细玻璃管弯曲成的“双U 形管”，a 、b 、c 、d 为其中四段竖直的部分，其中a 、d 上端是开口的，处在大气中，管中的水银把一段气柱密封在b 、c 内，达到平衡时，管内水银面的位置如图所示．现缓慢地降低气柱中气体的温度，若c 中的水银上升了一小段高度Δh ，则A ．b 中的水银面也上升ΔhB ．b 中的水银面也上升，但上升的高度小于ΔhC ．气柱中气体压强的减少量等于高为Δh 的水银柱所产生的压强D ．气柱中气体压强的减少量等于高为2Δh 的水银柱所产生的压强[]6．图中L 是绕在铁心上的线圈，它与电阻R 、R 0、电键和电池E 可构成闭合回路．线圈上的箭头表示线圈中电流的正方向，当电流的流向与箭头所示的方向相同，该电流为正，否则为负．电键K 1和K 2都处于断开状态．设在t =0时刻，接通电键K 1，经过一段时间，在t =t 1时刻，再接通电键K 2，则能较正确在表示L 中的电流I 随时间t 的变化的图线是下面给出的四个图中的哪个图？cabdabA ．图1B ．图2C ．图3D ．图4[]二、填空题和作图题．把答案填在题中横线上或把图画在题指定的地方．只要给出结果，不需要写出求得结果的过程．7．(8分)为了估算水库中水的体积，可取一瓶无毒的放射性同位素的水溶液，测得瓶内溶液每分钟衰变6×107次，已知这种同位素的半衰期为2天．现将这瓶溶液倒入水库，8天后可以认为已均匀分布在水库中，这时取1．0m 3水库中的水样，测得水样每分钟衰变20次．同此可知水库中水的体积为_________m 3．8．(8分)在一条笔直的公路上依次设置三盏交通信号灯L 1、L 2和L 3， L 2与L 1相距为80m ， L 3与L 1相距为120m ．每盏信号灯显示绿色的时间间隔都是20s ，显示红色的时间间隔都是40s ， L 1与L 3同时显示绿色，L 2则在L 1显示红色经历10s 时开始显示绿色．规定车辆通过三盏信号灯经历的时间不得超过150s ．若有一辆匀速向前行驶的汽车通过L 1的时刻正好是L 1刚开始显示绿色的时刻，则此汽车能不停顿地通过三盏信号灯的最大速率是_______m/s ．若一辆匀速向前行驶的自行车通过L 1的时刻是L 1显示绿色经历了10s 的时刻，则此自行车能不停顿地通过三盏信号灯的最小速率是_______m/s ．9．(8分)位于水平光滑桌面上的n 个完全相同的小物块，沿一条直线排列，相邻小物块间都存在一定的距离．自左向右起，第1个小物块标记为P 1，第2个小物块标记为P 2，第3个小物块标记为P 3，……，最后一个小物块即最右边的小物块标记为P n ．现设法同时给每个小物块一个方向都向右但大小各不相同的速度，其中最大的速度记作v 1，最小的速度记作v n ，介于最大速度和最小速度间的各速度由大到小依次记为v 2、v 3、……、v n-1．若小物块发生碰撞时，碰撞都是弹性正碰，且碰撞时间极短，则最终小物块P 1、P 2、P 3、……、P n 速度的大小依次为________________________________________________________。

第25届全国中学生物理竞赛决赛试题2008年10月北京★理论部分、足球比赛.一攻方队员在图中所示的A处沿Ax方向传球，球在草地上以速度v匀速滚动，守方有一队员在图中8处，以〃表示A,B间的距离，以。

表示X8与之间的夹角，已知0<90°.设在球离开X处的同时，位于B处的守方队员开始沿一直线在匀速运动中去抢球，以咋表示他的速率.在不考虑场地边界限制的条件下，A--------------f求解以下问题（要求用题中给出的有关参量间的关系式表示所求得的结果）：1.求出守方队员可以抢到球的必要条件.2.如果攻方有一接球队员处在Ax线上等球，以。

表示他到A点的距离，求出球不被原在B处的守方队员抢断的条件.3.如果攻方有一接球队员处在Ax线上，以匕表示他离开A点的距离.在球离开A处的同时，他开始匀速跑动去接球，以*表示其速率，求在这种情况下球不被原在B 处的守方队员抢断的条件.卫星的运动可由地面观测来确定：而知道了卫星的运动，又可以用它来确定空间飞行体或地面上物体的运动.这都涉及时间和空间坐标的测定.为简化分析和计算，不考虑地球的自转和公转，把它当做惯性系.1.先来考虑卫星运动的测定.设不考虑相对论效应.在卫星上装有发射电波的装置和高精度的原子钟.假设从卫星上每次发出的电波信号，都包含该信号发出的时刻这一信息.（I）地而观测系统（包含若干个观测站）可利用从电波中接收到的这一信息，并根据自己所处的已知位置和自己的时钟来确定卫星每一时刻的位置，从而测定卫星的运动.这种测量系统至少需要包含几个地面观测站？列出可以确定卫星位置的方程.（II）设有两个观测站D、，D2,分别位于同一经线上北纬0和南纬0（单位：（。

））处.若它们同时收到时间）之前卫星发出的电波信号.（i）试求出发出电波时刻卫星距地面的最大高度H:（ii）当D,,D,处观测站位置的纬度有很小的误差时，试求〃的误差：（iii）如果上述的时间2■有很小的误差△/,试求〃的误差.2.在第1（II）小题中，若0=45。

第25届全国中学生物理竞赛复赛理论试题参考解答一、答案 1. 14103.1⨯ 2. 31122kgm s -⋅⋅51.0610-⨯(答51.0510-⨯也给)3. 34T T二、参考解答：1. 椭圆半长轴a 等于近地址和远地址之间距离的一半，亦即近地址与远地址矢径长度〔皆指卫星到地心的距离〕n r 与f r 的算术平均值，即有()()()()n f n f n f 111222a r r H R H R H H R =+=+++=++⎡⎤⎣⎦(1) 代入数据得43.194610a =⨯km (2)椭圆半短轴b 等于近地址与远地址矢径长度的几何平均值，即有b = 代入数据得41.94210km b =⨯(4)椭圆的偏心率ab a e 22-=(5) 代入数据即得 0.7941e =(6)2. 当卫星在16小时轨道上运行时，以n v 和f v 别离暗示它在近地址和远地址的速度，按照 能量守恒，卫星在近地址和远地址能量相等，有22n f n f1122GMm GMm m m r r -=-v v (7) 式中M 是地球质量，G 是万有引力常量.因卫星在近地址和远地址的速度都与卫星到地心的连线垂直，按照 角动量守恒，有n n f f m r m r =v v (8)注意到g R GM=2(9) 由(7)、(8)、(9)式可得n =v(10)n f n f r r ==v v (11) 当卫星沿16小时轨道运行时，按照 题给的数据有由(11)式并代入有关数据得f 1.198=v km/s (12)依题意，在远地址星载策动机点火，对卫星作短时间加速，加速度的标的目的与卫星速度标的目的不异，加速后长轴标的目的没有改变，故加速结束时，卫星的速度与新轨道的长轴垂直，卫星地址处将是新轨道的远地址.所以新轨道远地址高度4f f 5.093010H H '==⨯km ，但新轨道近地址高度2n6.0010H '=⨯km .由(11)式，可求得卫星在新轨道远地址处的速度为f 1.230'=v km/s (13) 卫星动量的增加量等于卫星所受推力F 的冲量，设策动机点火时间为∆t ，有()f f m F t '-=∆v v (14)由(12)、(13)、(14)式并代入有关数据得 ∆t=21.510s ⨯ (约2.5分) (15)这比运行周期小得多.3. 当卫星沿椭圆轨道运行时，以r 暗示它地址处矢径的大小，v 暗示其速度的大小，θ暗示矢径与速度的夹角，那么卫星的角动量的大小 sin 2L rm m θσ==v (16) 此中1sin 2r σθ=v 〔17〕是卫星矢径在单元时间内扫过的面积，即卫星的面积速度.由于角动量是守恒的，故σ是恒量.操纵远地址处的角动量，得f f 12r σ=v (18)又因为卫星运行一周扫过的椭圆的面积为 πS ab =(19)所以卫星沿轨道运动的周期σST =(20)由(18)、(19)、(20)式得f f2πabT r =v (21)代入有关数据得45.67810T =⨯s (约15小时46分)(22)注：本小题有多种解法.例如，由开普勒第三定律，绕地球运行的两亇卫星的周期T 与T 0之比的平方等于它们的轨道半长轴a 与a 0之比的立方，即 假设0a 是卫星绕地球沿圆轨道运动的轨道半径，那么有得22203204π4πT a GM gR==从而得代入有关数据便可求得(22)式.4. 在绕月圆形轨道上，按照 万有引力定律和牛顿定律有2m m 2m m2π()GM m mr r T =(23) 这里m m r r H =+是卫星绕月轨道半径，m M 是月球质量.由(23)式和(9)式，可得23mm 22m4πr M M gR T =(24)代入有关数据得m0.0124M M=(25) 三、参考解答：足球射到球门横梁上的情况如下图〔图地址的平面垂直于横梁轴线〕.图中B 暗示横梁的横截面，O 1为横梁的轴线；11O O '为过横梁轴线并垂直于轴线的程度线；A 暗示足球，O 2为其球心；O 点为足球与横梁的碰撞点，碰撞点O 的位置由直线O 1OO 2与程度线11O O '的夹角θ 暗示.设足球射到横梁上时球心速度的大小为v 0，标的目的垂直于横梁沿程度标的目的，与横梁碰撞后球心速度的大小为v ，标的目的用它与程度标的目的的夹角ϕ暗示(如图).以碰撞点O 为原点作直角坐标系Oxy ，y 轴与O 2OO 1重合.以α0暗示碰前速度的标的目的与y 轴的夹角，以α暗示碰后速度的标的目的与y 轴(负标的目的)的夹角，足球被横梁反弹后落在何处取决于反弹后的速度标的目的，即角α的大小.以F x 暗示横梁作用于足球的力在x 标的目的的分量的大小，F y 暗示横梁作用于足球的力在y 标的目的的分量的大小，∆t 暗示横梁与足球彼此作用的时间，m 暗示足球的质量，有x 0x x F t m m ∆=-v v (1) y y 0y F t m m ∆=+v v (2)式中0x v 、0y v 、x v 和y v 别离是碰前和碰后球心速度在坐标系Oxy 中的分量的大小.按照 摩擦定律有x y F F μ=(3)由〔1〕、〔2〕、〔3〕式得0x xy 0yμ-=+v v v v (4)按照 恢复系数的定义有y 0y e =v v 〔5〕因0x00ytan α=v v 〔6〕 xytan α=v v 〔7〕 由〔4〕、〔5〕、〔6〕、〔7〕各式得⎪⎭⎫⎝⎛+-=e e 11tan 1tan 0μαα〔8〕 由图可知αθϕ+=〔9〕假设足球被球门横梁反弹后落在球门线内，那么应有90ϕ≥ (10)在临界情况下，假设足球被反弹后刚好落在球门线上，这时90ϕ=.由〔9〕式得()tan 90tan θα-=(11)因足球是沿程度标的目的射到横梁上的，故θα=0，有⎪⎭⎫⎝⎛+-=e e 11tan 1tan 1μθθ(12) 这就是足球反弹后落在球门线上时入射点位置θ所满足的方程.解〔12〕式得tan θ=13) 代入有关数据得 tan 1.6θ=(14) 即58θ=(15)现要求球落在球门线内，故要求58θ≥ (16)四、参考解答：1.当阀门F 关闭时，设封闭在M 和B 中的氢气的摩尔数为n 1，当B 处的温度为T 时，压力表显示的压强为p ，由抱负气体状态方程，可知B 和M 中氢气的摩尔数别离为RTpV n BB 1=(1) 0MM 1RT pV n =(2) 式中R 为普适气体恒量.因1M 1B 1n n n =+ (3)解〔1〕、〔2〕、〔3〕式得1MB B 011n R V T V p V T =- (4) 或1MB B 0p T n R V p V V T =-(5) (4)式说明，T1与p 1成线性关系，式中的系数与仪器布局有关.在理论上至少要测得两个温度下的压强，作T1对p 1的图线，就可求出系数.由于题中己给出室温T 0时的压强p 0，故至少还要测定另一己知温度下的压强，才能定量确定T 与p 之间的关系式.2.假设蒸气压温度计测量上限温度v T 时有氢气液化，那么当B 处的温度v T T ≤时，B 、M 和E 中气态氢的总摩尔数应小于充入氢气的摩尔数.由抱负气体状态方程可知充入氢气的总摩尔数()0B M E 20p V V V n RT ++=〔6〕假定液态氢上方的气态氢仍可视为抱负气体，那么B 中气态氢的摩尔数为v B2B vp V n RT =〔7〕 在〔7〕式中，已忽略了B 中液态氢所占的微小体积.由于蒸气压温度计的其它都分仍处在室温中，此中氢气的摩尔数为()νM E 2M 2E 0p V V n n RT ++=〔8〕按照 要求有2B 2M 2E 2n n n n ++≤〔9〕解〔6〕、〔7〕、〔8〕、〔9〕各式得()B vv 0v00v E M V T p p T p T p V V --≥+(10)代入有关数据得M E B 18V V V +≥(11)五、答案与评分尺度：1．59.022122=-=+(3分) 2 (2分)2．如图(15分.代表电流的每一线段3分，此中线段端点的横坐标占1分，线段的长度占1分，线段的纵坐标占1分)六、参考解答：如果电流有衰减，意味着线圈有电阻，设其电阻为R ，那么在一年时间t 内电畅通过线圈因发烧而损掉的能量为Rt I E 2=∆〔1〕以ρ 暗示铅的电阻率，S 暗示铅丝的横截面积，l 暗示铅丝的长度，那么有 SlR ρ= 〔2〕 电流是铅丝中导电电子定向运动形成的，设导电电子的平均速率为v ，按照 电流的定义有 I S ne =v 〔3〕 所谓在持续一年的时间内没有不雅测到电流的变化，并不等于电流必然没有变化，但这变化不会超过电流检测仪器的精度∆I ，即电流变化的上限为mA 0.1=∆I .由于导电电子的数密度n 是不变的，电流的变小是电子平均速率变小的成果，一年内平均速率由v 变为 v -∆v ，对应的电流变化I neS ∆=∆v 〔4〕导电电子平均速率的变小，使导电电子的平均动能减少，铅丝中所有导电电子减少的平均动能为lSnm ≈∆v v 〔5〕由于∆I<<I ，所以∆v <<v ，式中∆v 的平方项已被略去.由〔3〕式解出 v ，〔4〕式解出 ∆v ，代入〔5〕式得2k lmI IE ne S∆∆=(6) 铅丝中所有导电电子减少的平均动能就是一年内因发烧而损掉的能量，即E E k ∆=∆〔7〕由(1)、(2)、(6)、(7)式解得2Δm I ne Itρ=〔8〕 式中7365243600s=3.1510s t =⨯⨯⨯〔9〕在〔8〕式中代入有关数据得261.410Ωm ρ-=⨯⋅(10)所以电阻率为0的结论在这一尝试中只能认定到m Ω104.126⋅⨯≤-ρ(11)七、参考解答：按照斯特藩-玻尔兹曼定律，在单元时间内太阳外表单元面积向外发射的能量为4s s W T σ=(1)此中σ为斯特藩-玻尔兹曼常量，T s 为太阳外表的绝对温度.假设太阳的半径为R s ，那么单元时间内整个太阳外表向外辐射的能量为2s s s 4πP R W = (2)单元时间内通过以太阳为中心的任意一个球面的能量都是s P .设太阳到地球的距离为r se ，考虑到地球周围大气的吸收，地面附近半径为R 的透镜接收到的太阳辐射的能量为()2s 2seπ14πP P R r α=-(3)薄凸透镜将把这些能量会聚到置于其后焦面上的薄圆盘上，并被薄圆盘全部吸收. 另一方面，因为薄圆盘也向外辐射能量.设圆盘的半径为D R ，温度为D T ，注意到簿圆盘有两亇外表，故圆盘在单元时间内辐射的能量为24D D D 2πP R T σ=⋅⋅ (4)显然，当D P P = (5)即圆盘单元时间内接收到的能量与单元时间内辐射的能量相等时，圆盘到达不变状态，其温度到达最高.由(1)、(2)、(3)、(4)、(5)各式得()1224s D s 22se D12R R T T r R α⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦(6)依题意，薄圆盘半径为太阳的像的半径s R '的2倍，即D 2s R R '=.由透镜成像公式知s sseR R f r '= (7) 于是有sD se2R R f r = (8) 把(8)式代入(6)式得()124D s 218R T T f α⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ (9)代入数据，注意到s s (273.15)T t =+K ， T D =1.4×103K(10) 即有3o D D 273.15 1.110C t T =-=⨯(11)八、参考解答：1．按照 爱因斯坦质能关系，3H 和3He 的结合能差为()332n p H He B m m m m c ∆=--+ (1)代入数据，可得763.0=∆B MeV (2)2．3He 的两个质子之间有库仑排斥能，而3H 没有.所以3H 与3He 的结合能差主要来自它们的库仑能差.依题意，质子的半径为N r ，那么3He 核中两个质子间的库仑排斥能为2C N2e E k r = (3) 假设这个库仑能等于上述结合能差，C E B =∆，那么有2N 2Δke r B= (4)代入数据，可得N 0.944r =fm (5)3．粗略地说，原子核中每个核子占据的空间体积是 3N (2)r .按照 这个简单的模型，核子数为A 的原子核的体积近似为33N N (2)8V A r Ar ==(6)另一方面，当A 较大时，有343V R π=〔7〕 由〔6〕式和〔7〕式可得R 和A 的关系为1/31/31/3N 06πR r A r A ⎛⎫== ⎪⎝⎭(8)此中系数1/30N 6πr r ⎛⎫= ⎪⎝⎭(9)把(5)式代入(9)式得17.10=r fm (10)由(8)式和(10)式可以算出Pb 208的半径Pb 6.93fm R =(11)。

第25届全国中学生物理竞赛复赛试卷本卷共八题，满分160分 一、（15分） 1、（5分）蟹状星云脉冲星的辐射脉冲周期是0.033s 。

假设它是由均匀分布的物质构成的球体，脉冲周期是它的旋转周期，万有引力是唯一能阻止它离心分解的力，已知万有引力常量113126.6710G m kg s ---=⨯⋅⋅，由于脉冲星表面的物质未分离，故可估算出此脉冲星密度的下限是 3kg m -⋅。

2、（5分）在国际单位制中，库仑定律写成122q q F kr =，式中静电力常量9228.9810k N m C -=⨯⋅⋅，电荷量q 1和q 2的单位都是库仑，距离r 的单位是米，作用力F的单位是牛顿。

若把库仑定律写成更简洁的形式122q q F r =，式中距离r 的单位是米，作用力F 的单位是牛顿。

若把库仑定律写成更简洁的形式122q qF r=，式中距离r 的单位是米，作用力F 的单位是牛顿，由此式可这义一种电荷量q 的新单位。

当用米、千克、秒表示此新单位时，电荷新单位= ；新单位与库仑的关系为1新单位= C 。

3、（5分）电子感应加速器（betatron ）的基本原理如下：一个圆环真空室处于分布在圆柱形体积内的磁场中，磁场方向沿圆柱的轴线，圆柱的轴线过圆环的圆心并与环面垂直。

圆中两个同心的实线圆代表圆环的边界，与实线圆同心的虚线圆为电子在加速过程中运行的轨道。

已知磁场的磁感应强度B 随时间t 的变化规律为0cos(2/)B B t T π=，其中T 为磁场变化的周期。

B 0为大于0的常量。

当B 为正时，磁场的方向垂直于纸面指向纸外。

若持续地将初速度为v 0的电子沿虚线圆的切线方向注入到环内（如图），则电子在该磁场变化的一个周期内可能被加速的时间是从t= 到t= 。

二、（21分）嫦娥1号奔月卫星与长征3号火箭分离后，进入绕地运行的椭圆轨道，近地点离地面高22.0510n H km =⨯，远地点离地面高45.093010f H km =⨯，周期约为16小时，称为16小时轨道（如图中曲线1所示）。

第25届全国中学生物理竞赛预赛卷一、选择题。

本题共6小题，每小题6分。

在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项是正确的，有的小题有多项是正确的。

把正确选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分。

1. 如图所示，两块固连在一起的物块a和b，质量分别为m a和m b，放在水平的光滑桌面上。

现同时施给它们方向如图所示的推力F a和拉力F b，已知F a>F b，则a 对b的作用力A. 必为推力B. 必为拉力C. 可能为推力，也可能为拉力D. 可能为零2. 用光照射处在基态的氢原子，有可能使氢原子电离。

下列说法中正确的是A. 只要光的光强足够大，就一定可以使氢原子电离B. 只要光的频率足够高，就一定可以使氢原子电离C. 只要光子的能量足够大，就一定可以使氢原子电离D. 只要光照的时间足够长，就一定可以使氢原子电离3. 如图所示，一U形光滑导轨串有一电阻R，放置在匀强的外磁场中，导轨平面与磁场方向垂直。

一电阻可忽略不计但有一定质量的金属杆ab跨接在导轨上，可沿导轨方向平移。

现从静止开始对ab杆施以向右的恒力F，若忽略杆和U形导轨的自感，则在杆运动过程中，下列哪种说法是正确的？A. 外磁场对载流杆ab的作用力对ab杆做功，但外磁场的能量是不变的B. 外力F的功总是等于电阻R上消耗的功C. 外磁场对载流杆ab作用力的功率与电阻R上消耗的功率两者的大小是相等的D. 电阻R上消耗的功率存在最大值4. 如图所示，放置在升降机地板上的盛有水的容器中，插有两根相对容器的位置是固定的玻璃管a和b，管的上端都是封闭的，下端都是开口的。

管内被水各封有一定质量的气体。

平衡时，a管内的水面比管外低，b管内的水面比管外高。

现令升降机从静止开始加速下降，已知在此过程中管内气体仍被封闭在管内，且经历的过程可视为绝热过程，则在此过程中A. a中气体内能将增加，b中气体内能将减少B. a中气体内能将减少，b中气体内能将增加C. a、b中气体内能都将增加D. a、b中气体内能都将减少5. 图示为由粗细均匀的细玻璃管弯曲成的“双U形管”，a、b、c、d为其四段竖直的部分，其中a、d上端是开口的，处在大气中。

第25届全国物理竞赛决赛试题考生须知题号一二三四五六七--1 七--2 总分得分阅卷复核1 考生考试前请认真阅读本须知。

2 本试题包括试题纸和答题纸两部分，其中试题纸从本页开始，共3张（6页），含7道大题，（其中第七题包括7-1和7-2两部分），总分为140分，试题纸的每一页下面标出了该页的页码和试题纸的总页数，请认真核对每一页的页码和试题纸的总页数是否正确每一页是否有不清楚的地方，发现问题请及时与监考老师联系。

3 本试卷的第二部分为答题纸，紧接在试题纸的后面，共10张（20页），请认真核对答题纸的每一页的页码和答题纸的总页数，请在标有对应题号的答题纸上解答相应的题目。

4 答题纸的密封线内，答题纸的背面和试题纸一律不能写解答，所写的解答一律无效。

5 试题纸与答题纸已经装订在一起，严禁拆开。

6 考生可以用发的草稿纸打草稿，但需要阅卷老师评阅的内容一定要写到答题纸上，阅卷老师只评阅答题纸上的内容，写在草稿纸上的内容一律无效。

--------------------------------------------------以下为试题-----------------------------------------------------一（18分）、足球比赛，一攻方队员在图中的A处沿AX方向传球，球在草地上以速度V 匀速滚动，守方有一队员在图中B处以d表示A、B间的距离，以θ表示AB与AX之间的夹角，已知θ＜90︒，设在球离开A处的同时，位于B处的守方队员开始沿一直线在匀速运动中去抢球，以Vp表示他的速率，在不考虑场地边界限制的条件下，求解以下问题（要求用题中所给参量间的关系式表示所求得的结果）。

1．求出守方队员可以抢到球的必要条件。

2．如果攻方有一接球队员个处在AX线上等球，以Lr表示他到A点的距离，求球不被原在B处的守方队员抢断的条件。

3．如果攻方有一接球队员个处在AX线上等球，以L表示他到A点的距离，在球离开A处的同时，他开始匀速跑动去接球，以Vr表示其速率，求在这种情况下球不被原在B处的守方队员抢断的条件。

2008年第25届全国中学生物理竞赛复赛试卷本卷共八题，满分160分 一、（15分） 1、（5分）蟹状星云脉冲星的辐射脉冲周期是0.033s 。

假设它是由均匀分布的物质构成的球体，脉冲周期是它的旋转周期，万有引力是唯一能阻止它离心分解的力，已知万有引力常量113126.6710G m kg s ---=⨯⋅⋅，由于脉冲星表面的物质未分离，故可估算出此脉冲星密度的下限是 3kg m -⋅。

2、（5分）在国际单位制中，库仑定律写成122q q F kr=，式中静电力常量9228.9810k N m C -=⨯⋅⋅，电荷量q 1和q 2的单位都是库仑，距离r 的单位是米，作用力F 的单位是牛顿。

若把库仑定律写成更简洁的形式122q qF r=，式中距离r 的单位是米，作用力F 的单位是牛顿。

若把库仑定律写成更简洁的形式122q qF r=，式中距离r 的单位是米，作用力F 的单位是牛顿，由此式可这义一种电荷量q 的新单位。

当用米、千克、秒表示此新单位时，电荷新单位= ；新单位与库仑的关系为1新单位= C 。

3、（5分）电子感应加速器（betatron ）的基本原理如下：一个圆环真空室处于分布在圆柱形体积内的磁场中，磁场方向沿圆柱的轴线，圆柱的轴线过圆环的圆心并与环面垂直。

圆中两个同心的实线圆代表圆环的边界，与实线圆同心的虚线圆为电子在加速过程中运行的轨道。

已知磁场的磁感应强度B 随时间t 的变化规律为0cos(2/)B B t T π=，其中T 为磁场变化的周期。

B 0为大于0的常量。

当B 为正时，磁场的方向垂直于纸面指向纸外。

若持续地将初速度为v 0的电子沿虚线圆的切线方向注入到环内（如图），则电子在该磁场变化的一个周期内可能被加速的时间是从t= 到t= 。

二、（21分）嫦娥1号奔月卫星与长征3号火箭分离后，进入绕地运行的椭圆轨道，近地点离地面高22.0510n H km =⨯，远地点离地面高45.093010f H km =⨯，周期约为16小时，称为16小时轨道（如图中曲线1所示）。

第25届全国中学生物理竞赛复赛试卷（本题共八大题，满分160分）一．（15分）1．（5分）蟹状星云脉冲星的辐射脉冲周期是0.033s ，假设它是由均匀分布的物质构成的球体，脉冲周期是它的旋转周期，万有引力是唯一能阻止它离心分解的力，已知万有引力常量G ＝6.67×10-11m 3kg -1s -2，由于脉冲星表面的物质未分离，故可估算出此脉冲星密度的下限是___________kg ·m -3。

2．（5分）在国际单位制中，库仑定律写成F ＝k q 1q 2r 2 ，式中静电力常量k ＝8.98×109N ·m 2/C 2，电荷量q 1和q 2的单位都是库仑，距离r 的单位是米，作用力F 的单位是牛顿。

若把库仑定律写成更简洁的形式F ＝q 1q 2r 2 ，式中距离r 的单位是米，作用力F 的单位是牛顿，由此可定义一种电荷量q 的新单位。

当用米、千克、秒表示此新单位时，电荷量新单位＝__________；新单位与库仑的关系为1新单位＝__________C 。

3．（5分）电子感应加速器（betatron ）的基本原理如下：一个圆环形真空室处于分布在圆柱形体积内的磁场中，磁场方向沿圆柱的轴线，圆柱的过圆环的圆心并与环面垂直。

图中两个同心的实线圆代表圆环的边界，与实线圆同心的虚线圆为电子在加速过程中运行的轨道。

已知磁场的磁感应强度B 随时间t 变化的规律为B ＝B 0cos （2πT t ），其中T 为磁场变化的周期，B 0为大于零的常量。

当t 为正时，磁场的方向垂直于纸面指向纸外。

若持续地将初速为v 0的电子沿虚线圆的切线方向注入到环内（如图），则电子在该磁场变化的一个周期内可能被加速的时间是从t ＝_________到t ＝_________。

二．（21分）嫦娥1号奔月与长征3号火箭分离后，进入绕地运行的椭圆轨道，近地点离地面高H n ＝2.05×102km ，远地点离地面高H f ＝5.093×104km ，周期约为16h ，称为16小时轨道（如图中曲线1所示）。

2008年第25届全国中学生物理竞赛复赛试题及参考1.(5分)蟹状星云脉冲星的辐射脉冲周期是0.033s.假设它是由均匀分布的物质构成的球体，脉冲周期是它的旋转周期，万有引力是唯一能阻止它离心分解的力，已知万有引力常量G=6.67×10-11m3·kg-1·s-2，由于脉冲星表面的物质未分离，故可估算出此脉冲星密度的下限是____kg·m-3.2.(5分)在国际单位制中，库仑定律写成，式中静电力常量k=8.98×109N·m2·C-2，电荷量q1和q2的单位都是库仑，距离r的单位是米，作用力F的单位是牛顿.若把库仑定律写成更简洁的形式，式中距离r 的单位是米，作用力F的单位是牛顿.由此式可定义一种电荷量q的新单位.当用米、千克、秒表示此新单位时，电荷新单位=____；新单位与库仑的关系为1新单位=____C.3.(5分)电子感应加速器(betatron)的基本原理如下：一个圆环真空室处于分布在圆柱形体积内的磁场中，磁场方向沿圆柱的轴线，圆柱的轴线过圆环的圆心并与环面垂直.圆中两个同心的实线圆代表圆环的边界，与实线圆同心的虚线圆为电子在加速过程中运行的轨道.已知磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律为B=B0cos(2πt/T)，其中T为磁场变化的周期.B0为大于0的常量.当B为正时，磁场的方向垂直于纸面指向纸外.若持续地将初速度为v0的电子沿虚线圆的切线方向注入到环内(如图)，则电子在该磁场变化的一个周期内可能被加速的时间是从t=____到t=____.二、(21分)嫦娥1号奔月卫星与长征3号火箭分离后，进入绕地运行的椭圆轨道，近地点离地面高H n=2.05×102km，远地点离地面高H f=5.0930×104km，周期约为16小时，称为16小时轨道(如图中曲线1所示).随后，为了使卫星离地越来越远，星载发动机先在远地点点火，使卫星进入新轨道(如图中曲线2所示)，以抬高近地点.后来又连续三次在抬高以后的近地点点火，使卫星加速和变轨，抬高远地点，相继进入24小时轨道、48小时轨道和地月转移轨道(分别如图中曲线3、4、5所示).已知卫星质量m=2.350×103kg，地球半径R=6.378×103km，地面重力加速度g=9.81m/s2，月球半径r=1.738×103km1.试计算16小时轨道的半长轴a和半短轴b的长度，以及椭圆偏心率e.2.在16小时轨道的远地点点火时，假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同，而且点火时间很短，可以认为椭圆轨道长轴方向不变.设推力大小F=490N，要把近地点抬高到600km，问点火时间应持续多长？3.试根据题给数据计算卫星在16小时轨道的实际运行周期.4.卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度H m约为200km，周期T m=127分钟，试据此估算月球质量与地球质量之比值.三、(22分)足球射到球门横梁上时，因速度方向不同、射在横梁上的位置有别，其落地点也是不同的.已知球门的横梁为圆柱形，设足球以水平方向的速度沿垂直于横梁的方向射到横梁上，球与横梁间的滑动摩擦系数μ=0.70，球与横梁碰撞时的恢复系数e=0.70.试问足球应射在横梁上什么位置才能使球心落在球门线内(含球门上)？足球射在横梁上的位置用球与横梁的撞击点到横梁轴线的垂线与水平方向(垂直于横梁的轴线)的夹角θ(小于90°)来表示.不计空气及重力的影响.四、(20分)图示为低温工程中常用的一种气体、蒸气压联合温度计的原理示意图，M为指针压力表，以V M表示其中可以容纳气体的容积；B为测温泡，处在待测温度的环境中，以V B表示其体积；E为贮气容器，以V E表示其体积；F为阀门.M、E、B由体积可忽略的毛细血管连接.在M、E、B均处在室温T0=300K时充以压强p0=5.2×105Pa的氢气.假设氢的饱和蒸气仍遵从理想气体状态方程.现考察以下各问题：1.关闭阀门F，使E与温度计的其他部分隔断，于是M、B构成一简易的气体温度计，用它可测量25K以上的温度，这时B中的氢气始终处在气态，M处在室温中.试导出B处的温度T和压力表显示的压强p的关系.除题中给出的室温T0时B中氢气的压强P0外，理论上至少还需要测量几个已知温度下的压强才能定量确定T与p 之间的关系？2.开启阀门F，使M、E、B连通，构成一用于测量20～25K温度区间的低温的蒸气压温度计，此时压力表M测出的是液态氢的饱和蒸气压.由于饱和蒸气压与温度有灵敏的依赖关系，知道了氢的饱和蒸气压与温度的关系，通过测量氢的饱和蒸气压，就可相当准确地确定这一温区的温度.在设计温度计时，要保证当B处于温度低于T V=25K时，B 中一定要有液态氢存在，而当温度高于T V=25K时，B中无液态氢.到达到这一目的，V M+V E与V B间应满足怎样的关系？已知T V=25K时，液态氢的饱和蒸气压p v=3.3×105Pa.3.已知室温下压强p1=1.04×105Pa的氢气体积是同质量的液态氢体积的800倍，试论证蒸气压温度计中的液态气不会溢出测温泡B.五、(20分)一很长、很细的圆柱形的电子束由速度为v的匀速运动的低速电子组成，电子在电子束中均匀分布，沿电子束轴线每单位长度包含n个电子，每个电子的电荷量为-e(e＞0)，质量为m.该电子束从远处沿垂直于平行板电容器极板的方向射向电容器，其前端(即图中的右端)于t=0时刻刚好到达电容器的左极板.电容器的两个极板上各开一个小孔，使电子束可以不受阻碍地穿过电容器.两极板A、B之间加上了如图所示的周期性变化的电压V AB(V AB=V A-V B)，图中只画出了一个周期的图线)，电压的最大值和最小值分别为V0和-V0，周期为T.若以τ表示每个周期中电压处于最大值的时间间隔，则电压处于最小值的时间间隔为T-τ.已知τ的值恰好使在V AB变化的第一个周期内通过电容器到达电容器右边的所有的电子，能在某一时刻t b形成均匀分布的一段电子束.设电容器两极板间的距离很小，电子穿过电容器所需要的时间可以忽略，且mv2=6eV0，不计电子之间的相互作用及重力作用.1.满足题给条件的τ和t b的值分别为τ=____T，t b=____T.2.试在下图中画出t=2T那一时刻，在0－2T时间内通过电容器的电子在电容器右侧空间形成的电流I，随离开右极板距离x的变化图线，并在图上标出图线特征点的纵、横坐标(坐标的数字保留到小数点后第二位).取x正向为电流正方向.图中x=0处为电容器的右极板B的小孔所在的位置，横坐标的单位.(本题按画出的图评分，不须给出计算过程)六、(22分)零电阻是超导体的一个基本特征，但在确认这一事实时受到实验测量精确度的限制.为克服这一困难，最著名的实验是长时间监测浸泡在液态氦(温度T=4.2K)中处于超导态的用铅丝做成的单匝线圈(超导转换温度T C=7.19K)中电流的变化.设铅丝粗细均匀，初始时通有I=100A的电流，电流检测仪器的精度为△I=1.0mA，在持续一年的时间内电流检测仪器没有测量到电流的变化.根据这个实验，试估算对超导态铅的电阻率为零的结论认定的上限为多大.设铅中参与导电的电子数密度n=8.00 ×1020m3，已知电子质量m=9.11×10-31kg，基本电荷e=1.60×10-19C.(采用的估算方法必须利用本题所给出的有关数据)七、(20分)在地面上方垂直于太阳光的入射方向，放置一半径R=0.10m、焦距f=0.50m的薄凸透镜，在薄透镜下方的焦面上放置一黑色薄圆盘(圆盘中心与透镜焦点重合)，于是可以在黑色圆盘上形成太阳的像.已知黑色圆盘的半径是太阳像的半径的两倍.圆盘的导热性极好，圆盘与地面之间的距离较大.设太阳向外辐射的能量遵从斯特藩—玻尔兹曼定律：在单位时间内在其单位表面积上向外辐射的能量为W=σT4，式中σ为斯特藩—玻尔兹曼常量，T为辐射体表面的的绝对温度.对太而言，取其温度t5=5.50×103℃.大气对太阳能的吸收率为α=0.40.又设黑色圆盘对射到其上的太阳能全部吸收，同时圆盘也按斯特藩—玻尔兹曼定律向外辐射能量.如果不考虑空气的对流，也不考虑杂散光的影响，试问薄圆盘到达稳定状态时可能达到的最高温度为多少摄氏度？八、(20分)质子数与中子数互换的核互为镜像核，例如3He是3H的镜像核，同样3H是3He的镜像核.已知3H和3He原子的质量分别是m3H=3.016050u和m3He=3.016029u，中子和质子质量分别是m n=1.008665u和m p=1.007825u，，式中c为光速，静电力常量，式中e为电子的电荷量.1.试计算3H和3He的结合能之差为多少MeV.2.已知核子间相互作用的“核力”与电荷几乎没有关系，又知质子和中子的半径近似相等，试说明上面所求的结合能差主要是由什么原因造成的.并由此结合能之差来估计核子半径r N.3.实验表明，核子可以被近似地看成是半径r N恒定的球体；核子数A较大的原子核可以近似地被看成是半径为R 的球体.根据这两点，试用一个简单模型找出R与A的关系式；利用本题第2问所求得的r N的估计值求出此关系式中的系数；用所求得的关系式计算208Pb核的半径R pb.2008年第25届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答一、答案 1.1.3×1014 2. 1.06×10-5 (答1.05×10-5也给分)3. T二、参考解答：1.椭圆半长轴a等于近地点和远地点之间距离的一半，亦即近地点与远地点矢径长度(皆指卫星到地心的距离)r n与r f的算术平均值，即有(1)代入数据得a=3.1946×104km (2)椭圆半短轴b等于近地点与远地点矢径长度的几何平均值，即有(3) 代入数据得b=1.942×104km (4)椭圆的偏心率 (5) 代入数据即得e=0.7941 (6)2.当卫星在16小时轨道上运行时，以v n和v f分别表示它在近地点和远地点的速度，根据能量守恒，卫星在近地点和远地点能量相等，有(7)式中M是地球质量，G是万有引力常量. 因卫星在近地点和远地点的速度都与卫星到地心的连线垂直，根据角动量守恒，有mv n r n=mv f r f (8)注意到 (9)由(7)、(8)、(9)式可得(10) (11)当卫星沿16小时轨道运行时，根据题给的数据有r n=R+H n r f=R+H f由(11)式并代入有关数据得v f=1.198km/s (12)依题意，在远地点星载发动机点火，对卫星作短时间加速，加速度的方向与卫星速度方向相同，加速后长轴方向没有改变，故加速结束时，卫星的速度与新轨道的长轴垂直，卫星所在处将是新轨道的远地点.所以新轨道远地点高度km，但新轨道近地点高度km.由(11)式，可求得卫星在新轨道远地点处的速度为(13)卫星动量的增加量等于卫星所受推力F的冲量，设发动机点火时间为△t，有(14) 由(12)、(13)、(14)式并代入有关数据得△t=1.5×102s (约2.5分) (15)这比运行周期小得多.3.当卫星沿椭圆轨道运行时，以r表示它所在处矢径的大小，v表示其速度的大小，θ表示矢径与速度的夹角，则卫星的角动量的大小L=rmvsinθ=2mσ (16 )其中 (17)是卫星矢径在单位时间内扫过的面积，即卫星的面积速度.由于角动量是守恒的，故σ是恒量.利用远地点处的角动量，得(18)又因为卫星运行一周扫过的椭圆的面积为S=πab (19)所以卫星沿轨道运动的周期 (20)由(18)、(19)、(20) 式得 (21)代入有关数据得T=5.678×104s (约15小时46分) (22)注：本小题有多种解法.例如，由开普勒第三定律，绕地球运行的两亇卫星的周期T与T0之比的平方等于它们的轨道半长轴a与a0之比的立方，即若a0是卫星绕地球沿圆轨道运动的轨道半径，则有得从而得代入有关数据便可求得(22)式.4.在绕月圆形轨道上，根据万有引力定律和牛顿定律有(23)这里r m=r+H m是卫星绕月轨道半径，M m是月球质量. 由(23)式和(9)式，可得(24) 代入有关数据得 (25)三、参考解答：足球射到球门横梁上的情况如图所示(图所在的平面垂直于横梁轴线).图中B表示横梁的横截面，O1为横梁的轴线；为过横梁轴线并垂直于轴线的水平线；A表示足球，O2为其球心；O点为足球与横梁的碰撞点，碰撞点O的位置由直线O1OO2与水平线的夹角θ表示.设足球射到横梁上时球心速度的大小为v0，方向垂直于横梁沿水平方向，与横梁碰撞后球心速度的大小为v，方向用它与水平方向的夹角υ表示（如图）.以碰撞点O为原点作直角坐标系Oxy，y轴与O2OO1重合.以α?表示碰前速度的方向与y轴的夹角，以α表示碰后速度的方向与y轴(负方向)的夹角，足球被横梁反弹后落在何处取决于反弹后的速度方向，即角α的大小.以F x表示横梁作用于足球的力在x方向的分量的大小，F y表示横梁作用于足球的力在y方向的分量的大小，△t 表示横梁与足球相互作用的时间，m表示足球的质量，有F x△t=mv0x-mv x (1) F y△t=mv y+mv0y (2)式中v0x、v0y、v x和v y分别是碰前和碰后球心速度在坐标系Oxy中的分量的大小.根据摩擦定律有F x=μF y (3) 由(1)、(2)、(3)式得(4)根据恢复系数的定义有v y=ev0y (5)因(6) (7)由(4)、(5)、(6)、(7)各式得(8)由图可知υ=θ+α (9)若足球被球门横梁反弹后落在球门线内，则应有υ≥90° (10)在临界情况下，若足球被反弹后刚好落在球门线上，这时υ=90°.由(9)式得tan(90°-θ)=tanα (11)因足球是沿水平方向射到横梁上的，故α0=θ，有(12)这就是足球反弹后落在球门线上时入射点位置θ所满足的方程.解(12)式得(13)代入有关数据得tanθ=1.6 (14)即θ=58° (15)现要求球落在球门线内，故要求θ≥58° (16)四、参考解答：1.当阀门F关闭时，设封闭在M和B中的氢气的摩尔数为n1，当B处的温度为T 时，压力表显示的压强为 p，由理想气体状态方程，可知B和M中氢气的摩尔数分别为(1) (2)式中R为普适气体恒量.因n1B+n1M=n1 (3)解(1)、(2)、(3)式得(4) 或 (5)(4)式表明，与成线性关系，式中的系数与仪器结构有关.在理论上至少要测得两个已知温度下的压强，作对的图线，就可求出系数. 由于题中己给出室温T0时的压强p0，故至少还要测定另一己知温度下的压强，才能定量确定T与p之间的关系式.2.若蒸气压温度计测量上限温度T v时有氢气液化，则当B处的温度T≤T v时，B、M 和E中气态氢的总摩尔数应小于充入氢气的摩尔数.由理想气体状态方程可知充入氢气的总摩尔数(6)假定液态氢上方的气态氢仍可视为理想气体，则B中气态氢的摩尔数为(7)在(7)式中，已忽略了B中液态氢所占的微小体积.由于蒸气压温度计的其它都分仍处在室温中，其中氢气的摩尔数为(8)根据要求有n2B+n2M+n2E≤n2 (9)解(6)、(7)、(8)、(9)各式得 (10)代入有关数据得V M+V E≥18V B (11)五、答案与评分标准：1.(3分) 2 (2分)2.如图(15分.代表电流的每一线段3分，其中线段端点的横坐标占1分，线段的长度占1分，线段的纵坐标占1分)六、参考解答：如果电流有衰减，意味着线圈有电阻，设其电阻为R，则在一年时间t内电流通过线圈因发热而损失的能量为△E=I2Rt (1)以ρ表示铅的电阻率，S表示铅丝的横截面积，l表示铅丝的长度，则有(2)电流是铅丝中导电电子定向运动形成的，设导电电子的平均速率为v，根据电流的定义有I=Svne(3)所谓在持续一年的时间内没有观测到电流的变化，并不等于电流一定没有变化，但这变化不会超过电流检测仪器的精度△I，即电流变化的上限为△I=1.0mA.由于导电电子的数密度n是不变的，电流的变小是电子平均速率变小的结果，一年内平均速率由v变为 v-△v，对应的电流变化△I=neS△v (4)导电电子平均速率的变小，使导电电子的平均动能减少，铅丝中所有导电电子减少的平均动能为≈lSnmv△v(5)由于△I<<I，所以△v<<v，式中△v的平方项已被略去.由(3)式解出v，(4)式解出△v，代入(5)式得(6)铅丝中所有导电电子减少的平均动能就是一年内因发热而损失的能量，即△E k=△E (7)由(1)、(2)、(6)、(7)式解得(8)式中t=365×24×3600s=3.15×107s (9)在(8)式中代入有关数据得ρ=1.4×10-26Ω·m (10)所以电阻率为0的结论在这一实验中只能认定到ρ≤1.4×10-26Ω·m (11)七、参考解答：按照斯特藩-玻尔兹曼定律，在单位时间内太阳表面单位面积向外发射的能量为 (1)其中σ为斯特藩-玻尔兹曼常量，T s为太阳表面的绝对温度.若太阳的半径为R s，则单位时间内整个太阳表面向外辐射的能量为(2)单位时间内通过以太阳为中心的任意一个球面的能量都是P s.设太阳到地球的距离为r se，考虑到地球周围大气的吸收，地面附近半径为R的透镜接收到的太阳辐射的能量为(3)薄凸透镜将把这些能量会聚到置于其后焦面上的薄圆盘上，并被薄圆盘全部吸收.另一方面，因为薄圆盘也向外辐射能量.设圆盘的半径为R D，温度为T D，注意到簿圆盘有两亇表面，故圆盘在单位时间内辐射的能量为(4) 显然，当P D=P (5)即圆盘单位时间内接收到的能量与单位时间内辐射的能量相等时，圆盘达到稳定状态，其温度达到最高.由(1)、(2)、(3)、(4)、(5)各式得 (6)依题意，薄圆盘半径为太阳的像的半径的2倍，即.由透镜成像公式知(7) 于是有 (8)把(8)式代入(6)式得 (9)代入已知数据，注意到T s=(273.15+t s)K，T D=1.4×103K (10)即有t D=T D-273.15=1.1×103℃ (11)八、参考解答：1.根据爱因斯坦质能关系，3H和3He的结合能差为 (1)代入数据，可得△B=0.763MeV (2)2.3He的两个质子之间有库仑排斥能，而3H没有.所以3H与3He的结合能差主要来自它们的库仑能差.依题意，质子的半径为r N，则3He核中两个质子间的库仑排斥能为 (3)若这个库仑能等于上述结合能差，E C=△B，则有 (4)代入数据，可得r N=0.944fm (5)3.粗略地说，原子核中每个核子占据的空间体积是(2r N)3.根据这个简单的模型，核子数为A的原子核的体积近似为V=A(2r N)3=8Ar N3 (6) 另一方面，当A较大时，有 (7)由(6)式和(7)式可得R和A的关系为 (8)其中系数 (9) 把(5)式代入(9)式得r0=1.17fm (10)由(8)式和(10)式可以算出208Pb的半径R Pb=6.93fm。

第25届全国中学生物理竞赛预赛卷 2008-9-71～6 7 8 9 10 总分 11 12 13 14 15 161718192021一、选择题．本题共6小题，每小题6分．在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项正确的，有的小题有多项正确的．把正确的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内．全部选对的得6分，选对但不选全的得3分，有选错或不答的得0分．1．如图所示，两块固连在一起的物块a 和b ，质量分别为m a 和m b ，放在水平的光滑桌面上．现同时施给它们方向如图所示的推力F a 和拉力F b ，已知F a >F b ，则a 对b 的作用力 A ．必为推力B ．必为拉力C ．可能为推力，也可能为拉力D ．可能为零[]2．用光照射处在基态的氢原子，有可能使氢原子电离，下列说法中正确的是 A ．只要光的光强足够大，就一定可以使氢原子电离 B ．只要光的频率足够高，就一定可以使氢原子电离 C ．只要光子的能量足够大，就一定可以使氢原子电离 D ．只要光照的时间足够长，就一定可以使氢原子电离[]3．如图所示，一U 形光滑导轨串有一电阻R ，放置在匀强的外磁场中，导轨平面与磁场方向垂直．一电阻可以忽略不计但有一定质量的金属杆ab 跨接在导轨上，可沿导轨方向平移．现从静止开始对ab 杆施加向右的恒力F ，若忽略杆和U 形导轨的自感，则在杆的运动过程中，下列哪种说法是正确的？A ．外磁场对载流杆ab 作用力对ab 杆做功，但外磁场的能量是不变的B ．外力F 的功总是等于电阻R 上消耗的功C ．外磁场对载流杆ab 作用力的功率与电阻R 上消耗的功率两者的大小是相等的D ．电阻R 上消耗的功率存在最大值[ ] 4．如图所示，放置在升降机地板上的盛有水的容器中，插有两根相对容器位置固定的玻璃管a 和b ，管的上端都是封闭的，下端都有开口的，管内被水各封有一定质量的气体．平衡时a 管内的水面比管个的低，b 管内的水面比管个的高．现令升降机从静止开始加速下降，已知在此过程中管内气体仍被封闭在管内，且经历的过程可视为绝热过程，则在此过程中A ．a 中的气体内能增加，b 中的气体内能减少B ．a 中的气体内能减少，b 中的气体内能增加C ．a 、b 中气体内能都增加D ．a 、b 中气体内能都减少[ ]abF aF babRF ab5．图示为由粗细均匀的细玻璃管弯曲成的“双U 形管”，a 、b 、c 、d 为其中四段竖直的部分，其中a 、d 上端是开口的，处在大气中，管中的水银把一段气柱密封在b 、c 内，达到平衡时，管内水银面的位置如图所示．现缓慢地降低气柱中气体的温度，若c 中的水银上升了一小段高度Δh ，则 A ．b 中的水银面也上升ΔhB ．b 中的水银面也上升，但上升的高度小于ΔhC ．气柱中气体压强的减少量等于高为Δh 的水银柱所产生的压强D ．气柱中气体压强的减少量等于高为2Δh 的水银柱所产生的压强[ ]6．图中L 是绕在铁心上的线圈，它与电阻R 、R 0、电键和电池E 可构成闭合回路．线圈上的箭头表示线圈中电流的正方向，当电流的流向与箭头所示的方向相同，该电流为正，否则为负．电键K 1和K 2都处于断开状态．设在t =0时刻，接通电键K 1，经过一段时间，在t =t 1时刻，再接通电键K 2，则能较正确在表示L 中的电流I 随时间t 的变化的图线是下面给出的四个图中的哪个图？A ．图1B ．图2C ．图3D ．图4[]二、填空题和作图题．把答案填在题中横线上或把图画在题指定的地方．只要给出结果，不需要写出求得结果的过程．7．(8分)为了估算水库中水的体积，可取一瓶无毒的放射性同位素的水溶液，测得瓶内溶液每分钟衰变 6×107次，已知这种同位素的半衰期为2天．现将这瓶溶液倒入水库，8天后可以认为已均匀分布在水库中，这时取1．0m 3水库中的水样，测得水样每分钟衰变20次．同此可知水库中水的体积为_________m 3． 8．(8分)在一条笔直的公路上依次设置三盏交通信号灯L 1、L 2和L 3， L 2与L 1相距为80m ， L 3与L 1相距为120m ．每盏信号灯显示绿色的时间间隔都是20s ，显示红色的时间间隔都是40s ， L 1与L 3同时显示绿色，L 2则在L 1显示红色经历10s 时开始显示绿色．规定车辆通过三盏信号灯经历的时间不得超过150s ．若有一辆匀速向前行驶的汽车通过L 1的时刻正好是L 1刚开始显示绿色的时刻，则此汽车能不停顿地通过三盏信号灯的最大速率是_______m/s ．若一辆匀速向前行驶的自行车通过L 1的时刻是L 1显示绿色经历了10s 的时刻，则此自行车能不停顿地通过三盏信号灯的最小速率是_______m/s ．9．(8分)位于水平光滑桌面上的n 个完全相同的小物块，沿一条直线排列，相邻小物块间都存在一定的距离．自左向右起，第1个小物块标记为P 1，第2个小物块标记为P 2，第3个小物块标记为P 3，……，最后一个小物块即最右边的小物块标记为P n ．现设法同时给每个小物块一个方向都向右但大小各不相同的速度，其中最大的速度记作v 1，最小的速度记作v n ，介于最大速度和最小速度间的各速度由大到小依次记为v 2、v 3、……、v n-1．若小物块发生碰撞时，碰撞都是弹性正碰，且碰撞时间极短，则最终小物块P 1、P 2、P 3、……、P n 速度的大小依次为______________________________________________________________．cabdK 1K 2RR 0 ELI tt 1图1 tI t 1图2I tt 1图3 0I tt 1图410．(11分)有两块无限大的均匀带电平面，一块带正电，一块带负电，单位面积所带电荷量的数值相等．现把两带电平面正交放置如图所示．图中直线A 1B 1和A 2B 2分别为带正电的平面和带负电的平面与纸面正交的交线，O 为两交线的交点．(i) 试根据每块无限大均匀带电平面产生的电场(场强和电势)具有对称性的特点，并取O 点作为电势的零点，在右面给的整个图上画出电场(正、负电荷产生的总电场)中电势分别为0V 、1V 、2V 、3V 、−1V 、−2V 、−3V 的等势面与纸面的交线的示意图，并标出每个等势面的电势．(ii) 若每个带电平面单独产生的电场是E 0=1.0V/m ，则求出(i)中相邻两等势面间的距离d=________．11．(10分)一列简谐横波在x 轴上传播(振动位移沿y 轴)．已知x =12cm 处的质元的振动图线如图1所示，x =18cm 处的质元的振动图线如图2所示．根据这两条振动图线，可获得关于这列简谐横波的确定的和可能的信息(如频率、波速、波长等)是哪些？ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________12．(8分)一座平顶房屋，顶的面积S =40m 2．第一次连续下了t=24小时的雨，雨滴沿竖直方向以v=5.0m/s 的速度落到屋顶，假定雨滴撞击屋顶的时间极短且不反弹，并立即流走．第二次气温在摄氏零下若干度，而且是下冻雨，也下了24小时，全部冻雨落到屋顶便都结成冰并留在屋顶上，测得冰层的厚度d=25mm ．已知两次下雨的雨量相等，冰的密度为9×102kg/m 3．由以上数据可估算得第二次下的冻雨结成冰对屋顶的压力为_________N ，第一次下雨过程中，雨对屋顶的撞击使整个屋顶受到的压力为__________N ．13．(10分)在示波器的YY'偏转电极上，加电压u 1=U 0sin2πνt ，式中频率ν=50Hz ．同时在示波器XX'偏转电极上加如图1所示的锯齿波电压u 2，试在图2中画出荧光屏上显示的图线．如果由于某种原因，此图线很缓慢地向右移动，则其原因是______________________________________________________________________________________________________________．O+A 1+ B 1B 2 -A 2 -2 4 63 6 9 12 15 18t/s2 4 63 6 9 12 15 18t/s图1图 2u 2/Vt /s0.040.080.12图1图2三、计算题．解答应写出必要的文字说明、方和和重要的演算步骤．只写出最后结果的不能得分．有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位．14．(14分)一电流表，其内阻R g=10.0Ω，如果将它与一阻值R0=49990Ω的定值电阻串联，便可成为一量程U0=50V的电压表．现把此电流表改装成一块双量程的电压表，两个量程分别为U01=5V和U02=10V．当用此电压表的5V挡去测一直流电源两端的电压时，电压表的示数为4.50V；当用此电压表的10V挡去测量该电源两端的电压时，电压表的示数为4.80V．问此电源的电动势为多少？15．(12分)为训练宇航员能在失重状态下工作和生活，需要创造一种失重的环境．在地球表面附近，当飞机模拟某些在重力作用下的运动时，就可以在飞机座舱内实现短时间的完全失重状态．现要求一架飞机在v1=500m/s时进入失重状态的试验，在速率为v2=1000m/s时退出失重状态试验．重力加速度g=10m/s2试问：(i) 在上述给定的速率要求下，该飞机需要模拟何重运动，方可在一定范围内任意选择失重的时间的长短？试定量讨论影响失重时间长短的因素．(ii) 飞机模拟这种运动时，可选择的失重状态的时间范围是多少？16．(12分)假定月球绕地球作圆周运动，地球绕太阳也作圆周运动，且轨道都在同一平面内．已知地球表面处的重力加速度g=9.80m/s2，地球半径R e=6.37×106m，月球质量m m=7.3×1022kg，月球半径R m=1.7×106m，引力恒量G=6.67×10-11N·m2·kg-2，月心地心间的距离约为r em=3.84×108m．(i) 月球的月心绕地球的地心运动一周需多少天？(ii) 地球上的观察者相继两次看到满月需多少天？(iii) 若忽略月球绕地球的运动，设想从地球表面发射一枚火箭直接射向月球，试估算火箭到达月球表面时的速度至少为多少(结果要求两位数字)？17．(12分)如图所示，1和2是放在水平地面上的两个小物块(可视为质点)，与地面的滑动摩擦系数相同，两物块间的距离d=170.00m，它们的质量分别为m1=2.00kg，m2=3.00kg．现令它们分别以初速度v1=10.00m/s 和v2=2.00m/s迎向运动，经过时间t=20.0s，两物块相碰，碰撞时间极短，碰后两者粘在一起运动．求从刚碰后到停止运动过程中损失的机械能．1 218．(11分)磅秤由底座、载物平台Q、杠杆系统及砝码组成，如示为其等效的在竖直平面内的截面图．Q 是一块水平放置的铁板，通过两侧的竖直铁板H和K、压在E、B处的刀口上．杠杆系统由横杆DEF、ABCF 和竖杆CF、MP以及横杆MON组成．另有两个位于A、D处的刀口分别压在磅秤的底座上(Q、K、H、E、B、A、D在沿垂直于纸面的方向都有一定的长度，图中为其断面)．C、F、M、N、O、P都是是转轴，其中O被位于顶部并与磅秤底座固连在支架OL吊住，所以转轴O不能发生移动．磅秤设计时，已做到当载物平台上不放任何待称物品、游码S位于左侧零刻度处、砝码挂钩上砝码为零时，横梁MON处于水平状态，这时横杆DEF、ABCF亦是水平的，而竖杆CF、MP则是竖直的．当重为W的待秤物品放在载物平台Q上时，用W1表示B处刀口增加的压力，W2表示E处刀口增加的压力，由于杠杆系统的调节，横梁MON失去平衡，偏离水平位置．适当增加砝码G或移动游码S的位置，可使横梁MON恢复平衡，回到水平位置．待秤物品的重量(质量)可由砝码数值及游码的位置确定．为了保证待秤物品放在载物台上不同位置时磅秤都能显示出相同的结果，在设计时，AB、DE、AC、DF之间应满足怎样的关系？LNGO SMPD FCQKBAH19．(11分)如图所示，一细长的圆柱形均匀玻璃棒，其一个端面是平面(垂直于轴线)，另一个端面是球面，球心位于轴线上．现有一根很细的光束沿平行于轴线方向且很靠近轴线入射．当光从平端面射入棒内时，光线从另一端面射出后与轴线的交点到球面的距离为a ；当光线从球形端面射入棒内时，光线在棒内与轴线的的交点到球面的距离为b ．试近似地求出玻璃的折射率n ．20．(13分)光子不仅有能量，而且还有动量，频率为ν的光子能量为hν，动量为ch，式中h 为普朗克常量，c 为光速．光子射到物体表面时将产生压力作用，这就是光压．设想有一宇宙尘埃，可视为一半径R =10.0cm 的小球，其材料与地球相同，它到太阳的距离与地球到太阳的距离相等．试计算太阳辐射对此尘埃作用力的大小与太阳对它万有引力大小的比值．假定太阳辐射射到尘埃时被尘埃全部吸收．已知：地球绕太阳运动可视为圆周运动，太阳辐射在单位时间内射到位于地地球轨道处的、垂直于太阳光线方向的单位面积上的辐射能S=1.37×103W·m 2，地球到太阳中心的距离r ec =1.5×1011m,地球表面附近的重力加速度g =10m ·s -2，地球半径R e =6.4×106，引力恒量G =6.67×10-11N ·m 2·kg -2．21．(16分)设空间存在三个相互垂直的已知场：电场强度为E的匀强电场，磁感应强度为B的匀强磁场和重力加速度为g的重力场．一质量为m、电荷量为q的带正电的质点在此空间运动，已知在运动过程中，质点速度大小恒定不变．(i) 试通过论证，说明此质点作何运动(不必求出运动的轨迹方程)．(ii) 若在某一时刻，电场和磁场突然全部消失，已知此后该质点在运动过程中的最小动能为其初始动能(即电场和磁场刚要消失时的动能)的一半，试求在电场、磁场刚要消失时刻该质点的速度在三个场方向的分量封存．第25届全国中学生物理竞赛卷参考解答与评分标准一、选择题(36分) 答案： 1．C 、D ， 2．B 、C ，3．A 、C 、D ，4．B ，5．A 、D ，6．A ．评分标准：每小题6分．全都选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分． 二、填空题及作图题答案及评分标准： 7． 1．9×105 (8分) 8． 2(4分)、1312(4分) 9． v n 、v n-1、…、v 3、v 2、v 1． (8分) 10． (i)如图所示(8分)(ii)22m (3分)11． (1) 振幅A =4cm (2分)(2) 周期T =12s ，或频率ν=121s -1(2分)(3) 若波沿x 轴方向转播，则此波可能的最大传播速度v m =32cm ·s -1，其他可能的传播速度为1432-⋅+=s cm nv n ，n=1，2，3，…；此波可能的最大波长为λ=8cm ，其它可能波长为n n 4324+=λcm ，n =1，2，3，…（3分）(4) 若波沿负x 轴方向传播，则此波可能的最大传播速度v m =2cm ·s -1， 其它可能的传播速度为3B 2 A 2 –– A 1 B 10 O21 3 -2-1 -3 0-2-121-31412-⋅+=s cm nv n ，n =1，2，3，…；此波可能的最大波长为λ=24cm ，其它可能波长为n n 4124+=λcm ，n =1，2，3，…（3分） 12．9×103（2分）0．058 （6分）13．（6分）锯齿波的周期不正好等于正弦波周期的2倍，而是稍小一点．(4分) 三、计算题 14． 参考解答：设电流表的量程为I g ，当电流表与定值电阻R 0串联改装成电压表时，此电压表的内阻00R R R g +=' ⑴由于此电压表的量程U 0=50V ，故有00U R I g =' ⑵由⑴、⑵两式得A A R R U I g g 30010499901050-=+=+=⑶即电流表的量程为1mA ．电流表改装成双量程电压表的电路如图所示，图中R 1和R 2是为把电流表改装成双量程电压表必须串联的电阻，其值待求．用1R '表示电压表量程U 01=5V 挡的内阻，则有11R R R g +='⑷而011U R I g ='⑸由⑶、⑸式得Ω⨯=Ω=='-33011105105g I U R ⑹同理得电压表量程U 02=10V 挡的内阻Ω⨯===++='-4302212100.11010g g I U R R R R ⑺设电源电动势为E ，内阻为r ，当用电压表量程为5V 挡测电源两端的电压时，电压表的示数为U 1，已知U 1=4．50V ，设此时通过电流表的电流为I 1，有A+5V 15VR g R 1 R 2E r I U =+11 ⑻111R I U '=⑼当用电压表的10V 挡测量该电源两端的电压时，电压表的示数为U 2，已知U 2=4．80V ，设此时通过电流表的电流为I 2，有 E r I U =+22 ⑽222R I U '=⑾解⑻、⑼、⑽、⑾式，并注意到⑹、⑺式得E =5.14V⑿评分标准：本题14分．⑶式3分，⑹式2分，⑺式2分，⑻式、⑼式、⑽式、⑾式共4分，⑿式3分。

2008年第25届全国中学生物理竞赛复赛试卷本卷共八题，满分160分 一、（15分） 1、（5分）蟹状星云脉冲星的辐射脉冲周期是0.033s 。

假设它是由均匀分布的物质构成的球体，脉冲周期是它的旋转周期，万有引力是唯一能阻止它离心分解的力，已知万有引力常量113126.6710G m kg s ---=⨯⋅⋅，由于脉冲星表面的物质未分离，故可估算出此脉冲星密度的下限是 3kg m -⋅。

2、（5分）在国际单位制中，库仑定律写成122q q F kr =，式中静电力常量9228.9810k N m C -=⨯⋅⋅，电荷量q 1和q 2的单位都是库仑，距离r 的单位是米，作用力F 的单位是牛顿。

若把库仑定律写成更简洁的形式122q q F r =，式中距离r 的单位是米，作用力F 的单位是牛顿。

若把库仑定律写成更简洁的形式122q qF r=，式中距离r 的单位是米，作用力F 的单位是牛顿，由此式可这义一种电荷量q 的新单位。

当用米、千克、秒表示此新单位时，电荷新单位= ；新单位与库仑的关系为1新单位= C 。

3、（5分）电子感应加速器（betatron ）的基本原理如下：一个圆环真空室处于分布在圆柱形体积内的磁场中，磁场方向沿圆柱的轴线，圆柱的轴线过圆环的圆心并与环面垂直。

圆中两个同心的实线圆代表圆环的边界，与实线圆同心的虚线圆为电子在加速过程中运行的轨道。

已知磁场的磁感应强度B 随时间t 的变化规律为0cos(2/)B B t T π=，其中T 为磁场变化的周期。

B 0为大于0的常量。

当B 为正时，磁场的方向垂直于纸面指向纸外。

若持续地将初速度为v 0的电子沿虚线圆的切线方向注入到环内（如图），则电子在该磁场变化的一个周期内可能被加速的时间是从t= 到t= 。

二、（21分）嫦娥1号奔月卫星与长征3号火箭分离后，进入绕地运行的椭圆轨道，近地点离地面高22.0510n H km =⨯，远地点离地面高45.093010f H km =⨯，周期约为16小时，称为16小时轨道（如图中曲线1所示）。

第25届全国中学生物理竞赛复赛试卷本卷共八题，满分160分 一、（15分） 1．（5分）蟹状星云脉冲星的辐射脉冲周期是0．033s 。

假设它是由均匀分布的物质构成的球体，脉冲周期是它的旋转周期，万有引力是唯一能阻止它离心分解的力，已知万有引力常量113126.6710G m kg s ---=⨯⋅⋅，由于脉冲星表面的物质未分离，故可估算出此脉冲星密度的下限是 3kg m -⋅。

2．（5分）在国际单位制中，库仑定律写成122q q F kr =，式中静电力常量9228.9810k N m C -=⨯⋅⋅，电荷量q 1和q 2的单位都是库仑，距离r 的单位是米，作用力F 的单位是牛顿。

若把库仑定律写成更简洁的形式122q q F r=，式中距离r 的单位是米，作用力F 的单位是牛顿。

若把库仑定律写成更简洁的形式122q qF r=，式中距离r 的单位是米，作用力F 的单位是牛顿，由此式可这义一种电荷量q 的新单位。

当用米、千克、秒表示此新单位时，电荷新单位= ；新单位与库仑的关系为1新单位= C 。

3．（5分）电子感应加速器（betatron ）的基本原理如下：一个圆环真空室处于分布在圆柱形体积内的磁场中，磁场方向沿圆柱的轴线，圆柱的轴线过圆环的圆心并与环面垂直。

圆中两个同心的实线圆代表圆环的边界，与实线圆同心的虚线圆为电子在加速过程中运行的轨道。

已知磁场的磁感应强度B 随时间t 的变化规律为0cos(2/)B B t T π=，其中T 为磁场变化的周期。

B 0为大于0的常量。

当B 为正时，磁场的方向垂直于纸面指向纸外。

若持续地将初速度为v 0的电子沿虚线圆的切线方向注入到环内（如图），则电子在该磁场变化的一个周期内可能被加速的时间是从t= 到t= 。

二、（21分）嫦娥1号奔月卫星与长征3号火箭分离后，进入绕地运行的椭圆轨道，近地点离地面高22.0510n H km =⨯，远地点离地面高45.093010f H km =⨯，周期约为16小时，称为16小时轨道（如图中曲线1所示）。

第25届全国中学生物理竞赛复赛试卷本卷共八题，满分160分一、（15分）1、（5分）蟹状星云脉冲星的辐射脉冲周期是0.033s 。

假设它是由均匀分布的物质构成的球体，脉冲周期是它的旋转周期，万有引力是唯一能阻止它离心分解的力，已知万有引力常量113126.6710G m kg s ---=⨯⋅⋅，由于脉冲星表面的物质未分离，故可估算出此脉冲星密度的下限是 3kg m -⋅。

2、（5分）在国际单位制中，库仑定律写成122q q F k r =，式中静电力常量9228.9810k N m C -=⨯⋅⋅，电荷量1q 和2q 的单位都是库仑，距离r 的单位是米，作用力F 的单位是牛顿。

若把库仑定律写成更简洁的形式122q q F r=，式中距离r 的单位是米，作用力F 的单位是牛顿。

若把库仑定律写成更简洁的形式122q q F r =，式中距离r 的单位是米，作用力F 的单位是牛顿，由此式可这义一种电荷量q 的新单位。

当用米、千克、秒表示此新单位时，电荷新单位= ；新单位与库仑的关系为1新单位= C 。

3、（5分）电子感应加速器（betatron ）的基本原理如下：一个圆环真空室处于分布在圆柱形体积内的磁场中，磁场方向沿圆柱的轴线，圆柱的轴线过圆环的圆心并与环面垂直。

圆中两个同心的实线圆代表圆环的边界，与实线圆同心的虚线圆为电子在加速过程中运行的轨道。

已知磁场的磁感应强度B 随时间t 的变化规律为0cos(2/)B B t T π=，其中T为磁场变化的周期。

B 0为大于0的常量。

当B 为正时，磁场的方向垂直于纸面指向纸外。

若持续地将初速度为v 0的电子沿虚线圆的切线方向注入到环内（如图），则电子在该磁场变化的一个周期内可能被加速的时间是从t = 到t = 。

二、（21分）嫦娥1号奔月卫星与长征3号火箭分离后，进入绕地运行的椭圆轨道，近地点离地面高22.0510n H km =⨯，远地点离地面高45.093010f H km =⨯，周期约为16小时，称为16小时轨道（如图中曲线1所示）。