【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 平面向量双基限时练19(含解析)北师大版必修4

双基限时练(十九)1．已知两点A (2，－1)，B (3,1)，与AB →平行且方向相反的向量a 可能是( ) A ．(1，－2) B ．(9,3) C ．(－1,2)D ．(－4，－8)解析 AB →＝(3－2,1＋1)＝(1,2)， ∵(－4，－8)＝－4(1,2)， ∴(－4，－8)满足条件． 答案 D2．已知A (3，－6)，B (－5,2)，且A ，B ，C 三点在一条直线上，则C 点坐标不可能是( ) A ．(－9,6) B ．(－1，－2) C ．(－7，－2)D ．(6，－9) 解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x －3，y ＋6)，AB →＝(－8，8)． ∵A ，B ，C 三点在同一直线上，∴x －3－8＝y ＋68，即x ＋y ＋3＝0，将四个选项分别代入x＋y ＋3＝0验证可知，不可能的是C.答案 C3．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)满足(k a ＋b )∥c ，则k ＝( ) A ．3 B ．－3 C.13D ．－13解析 k a ＋b ＝(k －1，k ＋1)，由(k a ＋b )∥c ，得2(k －1)－4(k ＋1)＝0，解得k ＝－3. 答案 B4．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，sin α，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．75° 解析 由a ∥b ，得32³13－sin α²sin α＝0，∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22，又α为锐角，∴α＝45°.故选B. 答案 B5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( )A ．(－5，－10)B ．(－4，－8)C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)解析 ∵a ∥b ，∴m ＋4＝0，∴m ＝－4，b ＝(－2，－4)．则2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)． 答案 B6．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n等于( ) A.12 B ．2 C ．－12D ．－2解析 m a ＋n b ＝m (2,3)＋n (－1,2) ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(2,3)－2(－1,2)＝(4，－1)，又m a ＋n b 与a －2b 平行，∴(2m －n )(－1)－(3m ＋2n )³4＝0，即14m ＋7n ＝0，∴m n ＝－12.答案 C7．向量a ＝(n,1)与b ＝(4，n )共线且方向相同，则n ＝________.解析 ∵a ∥b ，∴n 2－4＝0，∴n ＝2或n ＝－2，又∵a 与b 方向相同，∴n ＝2. 答案 28．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 解析 a ＋b ＝(2－1，－1＋m )＝(1，m －1)，由(a ＋b )∥c ，得1³2－(m －1)³(－1)＝0，解得m ＝－1.答案 －19．若点A ，B 的坐标分别为(2，－2)，(4,3)，向量a ＝(2k －1,7)，且a ∥AB →，则k 的值为________．解析 AB →＝(2,5)，由a ∥AB →可得(2k －1)³5－7³2＝0，解得k ＝1910.答案1910 10．已知△ABC 的顶点A (2,3)和重心G (2，－1)，则BC 边上的中点的坐标是________． 解析 设BC 边上的中点为D (x ，y )，则AG →＝2GD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝2＋2x 1＋2，－1＝3＋2y1＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3.答案 (2，－3)11．已知AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，且BC →∥DA →，试确定x ，y 的关系式．解 因为AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)， 所以AD →＝AB →＋BC →＋CD →， ＝(6,1)＋(x ，y )＋(－2，－3) ＝(4＋x ，y －2)．又因为BC →∥DA →，所以BC →∥AD →. 所以x (y －2)－y (4＋x )＝0，xy －2x －4y －xy ＝0，故x ＋2y ＝0.12．已知a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ； (3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k . 解 (1)3a ＋b －2c ＝(0,6)．(2)∵a ＝m b ＋n c ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(3)由a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，(a ＋k c )∥(2b －a )，得2³(3＋4k )－(－5)³(2＋k )＝0，∴k ＝－1613.13.如图，已知两点P (－1,6)和Q (3,0)，延长线段QP 到A ，使|AP →|＝13|PQ →|，求A 点坐标．解 解法一：若P 为终点，Q 为起点，则A (x ，y )分QP →所成的比λ＝－4. ∴x ＝3－－1－4＝－73，y ＝0－4³61－4＝8，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，8. 解法二：若Q 为起点，A 为终点，则P 分QA →所成的比λ＝3.设A (x ，y )，则－1＝3＋3x 1＋3，∴x ＝－73，6＝3y 1＋3，∴y ＝8，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，8.。

双基限时练(十七)1．给出下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底； ③零向量不可为基底中的向量． 其中正确的说法是( ) A ．①② B ．②③ C ．①③D ．②解析 因为不共线的两个向量都可以作为一组基底，所以一个平面内有无数多个基底，又零向量和任何向量共线，所以基底中不含有零向量．因此本题中，①错，②、③正确，故选B.答案 B2．已知e 1和e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是( )A ．e 1和e 1＋e 2B ．e 1－2e 2和e 2－2e 1C ．e 1－2e 2和4e 2－2e 1D ．e 1＋e 2和e 1－e 2解析 分析四个选项知，在C 中，4e 2－2e 1＝－2(e 1－2e 2)．∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，应选C.答案 C3．在△ABC 中，BC →＝3BD →，则AD →等于( )A.13(AC →＋2AB →) B.13(AB →＋2AC →) C.14(AC →＋3AB →) D.14(AC →＋2AB →)解析 如图所示，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →＝13(AC →＋2AB →)，故选A. 答案 A4．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP →等于( )A ．λ(AB →＋AD →)，λ∈(0,1)B ．λ(AB →＋BC →)，λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 C ．λ(AB →－AD →)，λ∈(0,1)D ．λ(AB →－BC →)，λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 解析 ∵ABCD 是菱形，且AC 是一条对角线，由向量加法的平行四边形法则知，AC →＝AB →＋AD →，而点P 在AC 上，∴三点A ，P ，C 共线，∴AP →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)，显然λ∈(0,1)，故选A.答案 A5．平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形解析 因为OA →＋OC →＝OB →＋OD →， 所以OA →－OB →＝OD →－OC →， 即BA →＝CD →.又A ，B ，C ，D 四点不共线，所以|BA →|＝|CD →|，且BA ∥CD ， 故四边形ABCD 为平行四边形． 答案 B6．如图所示，点P 在∠AOB 的对角区域MON 的阴影内，满足OP →＝xOA →＋yOB →，则实数对(x ，y )可以是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，25 解析 由图观察并根据平面向量基本定理，可知x <0，y <0，故选C. 答案 C7．已知a ，b 不共线，且c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1＝________. 解析 ∵a ，b 不共线，∴a ，b 可以作为一组基底，又c 与b 共线，∴c ＝λ2b ，∴λ1＝0.答案 08．设向量a ，b 不共线，且OC 1→＝k 1a ＋k 2b ，OC 2→＝h 1a ＋h 2b ，若OC 1→＋OC 2→＝m a ＋n b ，则实数m ＝________，n ＝________.解析 OC 1→＋OC 2→＝(k 1＋h 1)a ＋(k 2＋h 2)b ＝m a ＋n b . ∴m ＝k 1＋h 1，n ＝k 2＋h 2. 答案 k 1＋h 1 k 2＋h 29．已知e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a ，b 能作为平面内所有向量的一组基底，则实数λ的取值范围是________．解析 使a 、b 为基底，则使a 、b 不共线，∴λ－2×2≠0.∴λ≠4. 答案 {λ|λ≠4}10．若a ≠0，且b ≠0，且|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角是________． 答案 30°11．设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，它们使BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →，NP →，PM →表示出来．解 如图所示，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13AC →－23(AB →－AC →)＝13AC →－23AB →＝13b －23a . 同理可得NP →＝13a －23b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13a ＋13b .12．如图所示，在▱ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点．已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.解 设AB →＝a ，AD →＝b .由M ，N 分别为DC ，BC 的中点，得BN →＝12b ，DM →＝12a .在△ABN 和△ADM 中，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12b ＝d ， ①b ＋12a ＝c . ②①×2－②，得a ＝23(2d －c )．②×2－①，得b ＝23(2c －d )．∴AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．13．若a ，b 是两个不共线的非零向量，且a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a 、t b 、13(a ＋b )(t ∈R )三向量的终点在同一直线上？ 解 设a －t b ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －13a ＋b (m ∈R )，化简得⎝⎛⎭⎪⎫2m 3－1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3－t b ，∵a 与b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 3－1＝0，m 3－t ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，t ＝12.∴t ＝12时，a 、t b 、13(a ＋b )的终点在同一直线上．。

双基限时练(二十九)一、选择题 1．点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫66，33，－22到原点O 的距离是( ) A.306 B ．1C.336D.356解析 |OP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫662＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝1. 答案 B2．在空间直角坐标系中，已知点P (x ，y ，z )的坐标满足方程(x －2)2＋(y ＋1)2＋(z －3)2＝1，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．直线C ．球面D ．线段解析 (x －2)2＋(y ＋1)2＋(z －3)2＝1表示(x ，y ，z )到点(2，－1，3)的距离的平方为1，它表示以(2，－1,3)为球心，以1为半径的球面．答案 C3．已知点P 到三个坐标平面的距离相等，且皆为3，则点P 到原点的距离是( ) A ．3 B ．3 2 C ．3 3D ．333解析 |OP |＝32＋32＋32＝3 3. 答案 C4．已知三角形的三个顶点A (1，－2，－3)，B (－1，－1，－1)，C (0,0，－5)，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析 ∵|AB |＝22＋1＋4＝3，|BC |＝12＋12＋42＝18，|AC |＝12＋22＋22＝3. ∵|AB |＝|AC |，且|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，故选B. 答案 B5．已知A (1,2，－1)，B (1，t ，t )(t ∈R )，则|AB |的最小值为( ) A.92B ．5C. 5D.322解析 ∵|AB |＝ t －2 2＋ t ＋1 2＝2t 2－2t ＋5， ∴当t ＝12时，|AB |min ＝322.答案 D6．到点A (－1，－1，－1)，B (1,1,1)的距离相等的点C (x ，y ，z )的坐标满足( ) A ．x ＋y ＋z ＝－1 B ．x ＋y ＋z ＝0 C ．x ＋y ＋z ＝1D ．x ＋y ＋z ＝4解析 由题意得(x ＋1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2，即：x ＋y ＋z ＝0.答案 B 二、填空题7．若点P (x ，y ，z )到A (2,3,0)，B (5,1,0)的距离相等，则点P 的坐标(x ，y ，z )满足________．解析 由(x －2)2＋(y －3)2＋z 2＝(x －5)2＋(y －1)2＋z 2，得6x －4y －13＝0. 答案 6x －4y －13＝08．若A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，则|AB |的最小值为________，此时A 点的坐标为________．解析 |AB |＝ x －1 2＋ 5－x －x －2 2＋ 2x －1－2＋x 2＝14x 2－32x ＋19＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －872＋57， ∴当x ＝87时，|AB |min ＝357.此时A ⎝ ⎛⎭⎪⎫87，277，97. 答案357⎝ ⎛⎭⎪⎫87，277，97 9．在xOy 平面上的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使M 到点(6,5,1)的距离最小，则M 点的坐标为________．解析 设M (t,1－t,0)，则M 到(6,5,1)的距离d ＝ t －6 2＋ 4＋t 2＋1＝2t 2－4t ＋53，∴当t ＝1时d 取得最小值， 此时M 点的坐标为(1,0,0)．答案(1,0,0)三、解答题10．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使点M到点N(6,5,1)的距离最小．解∵M是xOy平面内的直线x＋y＝1上的点，则设M的坐标为(x,1－x,0)，由两点间的距离公式|MN|＝ x－6 2＋ 1－x－5 2＋ 0－1 2＝2 x－1 2＋51.∴当x＝1时，|MN|最小，∴M的坐标为(1,0,0)．11．已知A(1,2，－1)，B(2,0,2)，(1)在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|；(2)在xOz平面内的点M到A点与到B点的距离相等，求M点的轨迹．解(1)设P(a,0,0)，由|PA|＝|PB|，可知 a－1 2＋ －2 2＋12＝ a－2 2＋22，即a2－2a＋6＝a2－4a＋8得a＝1，∴P点的坐标为(1,0,0)．(2)设M(x,0，z)，由题意，得x－1 2＋ －2 2＋ z＋1 2＝ x－2 2＋ z－2 2，整理得2x＋6z－2＝0，即x＋3z－1＝0.∴M点的轨迹是xOz平面内的一条直线．12．如图所示，已知四棱锥P—ABCD的底面是边长为4的正方形，PD⊥面ABCD，设PD ＝43，M为PB的中点，N在线段AB上，求当|MN|最短时，N点所处的位置．解建立如图所示的直角坐标系，则A(4,0,0)，B(4,4,0)，P(0,0,43)．∵M点为PB的中点，∴M(2,2,23)．又N在线段AB上，∴N(4，b,0)(0≤b≤4)．∴|MN|＝ 4－2 2＋ b－2 2＋ 0－23 2.∴当b＝2时|MN|min＝4＋12＝4.此时N为AB的中点，∴当N为AB的中点时|MN|最短．思维探究13．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)，试问：(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|?(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标．解(1)假设在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|，因M在y轴上，可设M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|，可得32＋y2＋12＝12＋y2＋32，显然，此式对任意y∈R恒成立．这就是说y轴上所有点都满足关系|MA|＝|MB|.(2)假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．由(1)可知，y轴上任一点都有|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．因为|MA|＝ 3－0 2＋ 0－y 2＋ 1－0 2＝10＋y2，|AB|＝ 1－3 2＋ 0－0 2＋ －3－1 2＝20，于是10＋y2＝20，解得y＝±10.故y轴上存在点M使△MAB等边，M坐标为(0，10，0)，或(0，－10，0)．。

双基限时练(十五) 向量的加法一、选择题1．下列结论中，正确的是( ) A ．0＋0＝0B ．对于任意向量a ，b ，则a ＋b ＝b ＋aC ．对于任意a ，b ，则|a ＋b |>0D ．若a ∥b ，且|a |＝1001，|b |＝1010，则|a ＋b |＝2011解析 A 显然不正确；对于C ，当a ＝b ＝0时，a 与b 为相反向量，|a ＋b |＝0，故C 不正确；对于D ，当a 与b 方向相反时，|a ＋b |＝9，故D 不正确．答案 B2．已知P 是线段AB 的中点，PB →＝CD →，则AP →＋CD →＝( ) A.AP →B.CD →C.PB →D.AB →解析 ∵PB →＝CD →，∴AP →＋CD →＝AP →＋PB →＝AB →. 答案 D3．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于( ) A.BC → B.AB → C.AC →D.AM →解析 AB →＋MB →＋BO →＋BC →＋OM →＝AB →＋BO →＋OM →＋MB →＋BC →＝AC →. 答案 C4．已知四边形ABCD 为平行四边形，则下列等式成立的是( ) A. AB →＋BC →＝CA →B. AC →＋BA →＝AD →C. AC →＋AD →＝DC →D. AB →＋AC →＝BC →解析 由平行四边形法则可知BA →＋AC →＝BC →＝AD →答案 B 5．下列命题：①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一的方向相同；②△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；④若a 、b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等．其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 对于①中若a ＝－b ，则a ＋b ＝0，0的方向是任意的；对于③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 可能在一条直线上，故③不正确；∵|a ＋b |≤|a |＋|b |，故④不正确；②显然正确，故正确的只有②，答案为B.答案 B6．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.PA →＋PB →＝0 B.PB →＋PC →＝0 C.PC →＋PA →＝0 D.PA →＋PB →＋PC →＝0解析 BC →＋BA →＝2BP →＝BP →＋BP →，由平行四边形法则，知点P 是AC 的中点，故选项C 成立． 答案 C7．如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A. 0B. BE →C. AD →D. CF →解析 ∵正六边形ABCDEF ，∴CD →＝AF →，BF →＝CE →故BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋EF → ＝BF →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →. 答案 D 二、填空题8．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，则下列结论中：①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |<|a |＋|b |；⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |.其中正确的是________．解析 ∵a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴a ∥b ，a ＋b ＝b ，|a ＋b |＝|a |＋|b |.故①③⑤正确．答案 ①③⑤9．当非零向量a ，b (a ，b 不共线)满足________时，能使a ＋b 平分a 与b 的夹角． 解析 菱形、正方形的对角线平分四边形的夹角． 答案 |a |＝|b |10．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝12BC ，则OA →＋DO →＋BO →＋OC →与AD →的关系为__________．解析 ∵OA →＋DO →＝DA →，BO →＋OC →＝BC →， 故原式＝DA →＋BC →＝AD →. 答案 OA →＋DO →＋BO →＋OC →＝AD → 三、解答题11．(1)如图①，利用向量加法的三角形法则作出a ＋b ；(2)如图②，利用向量加法的平行四边形法则作出a ＋b .解 (1)如图，作向量OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →即为a ＋b .(2)如图，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则OC →即为所求向量．12．化简下列各式： (1)AB →＋BC →＋CA →； (2)(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →； (3)OA →＋OC →＋BO →＋CO →. 解析 (1)AB →＋BC →＋CA →＝0；(2)(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →＝AB →＋BO →＋OM →＋MB →＝AB →； (3)OA →＋OC →＋BO →＋CO →＝BO →＋OA →＋OC →＋CO →＝BA →.13．已知OA →＝a ，OB →＝b ，|a |＝|b |＝3，∠AOB ＝60°，求|a ＋b |.解 ∵|OA →|＝|OB →|∴以OA ，OB 为邻边作的平行四边形OACB 为菱形，且OC →＝a ＋b ，又∠AOB ＝60°，∴|a ＋b |＝2|OA →|·sin60°＝3 3.。

双基限时练(十九) 平面向量的坐标表示及线性运算的坐标表示一、选择题1．下列向量组中能作为它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34解析 只有B 选项中的两个向量不平行，可作为基底． 答案 B2．下列各式正确的是( )A ．若a ＝(－2,4)，b ＝(5,2)，则a ＋b ＝(3,6)B ．若a ＝(5,2)，b ＝(2,4)，则a －b ＝(－3，－2)C ．若a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，则a ＋b ＝(1,0)D ．若a ＝(1,1)，b ＝(1,2)，则2a ＋3b ＝(4,8)解析 当a ＝(－2,4)，b ＝(5,2)时，a ＋b ＝(－2＋5，4＋2)＝(3,6)． 答案 A3．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)解析 12a －32b ＝(12，12)－(32，－32)＝(－1,2)．答案 D4．已知A (x,2)，B (5，y －2)，若AB →＝(4,6)，则x ，y 的值分别为( ) A ．x ＝－1，y ＝0 B ．x ＝1，y ＝10 C ．x ＝1，y ＝－10D ．x ＝－1，y ＝－10解析 由题意得AB →＝(5－x ，y －4)＝(4,6)，∴⎩⎪⎨⎪⎧5－x ＝4，y －4＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝10.答案 B5．已知直线上有三点P 1，P 2，P ，其中P 1(2，－1)，P 2(－1,3)，且P 1P →＝23PP 2→，则点P的坐标为( )A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，－35解析 设P (x ，y )，由P 1P →＝23PP 2→，知⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝23－1－x ，y ＋1＝233－y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝35.答案 B6．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，c ＝(11,7)，若c ＝k a ＋l b ，则k ，l 的值( ) A. －2,3 B. －2，－3 C. 2，－3D. 2,3解析 由c ＝k a ＋l b ，知(11,7)＝k (1,2)＋l (3,1)＝(k ＋3l,2k ＋l )，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋3l ＝11，2k ＋l ＝7，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，l ＝3.答案 D7．已知a ＝AB →，B (1,0)，b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，且a ＝3b －2c ，则A 的坐标为( ) A. (8，－10) B. (6，－7) C. (－7,10)D. (－6,8)解析 因为b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，所以a ＝3b －2c ＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－7,10)，即AB →＝(－7,10)．又因为B (1,0)，设A (x ，y )， 则AB →＝(1－x ，－y )＝(－7,10)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－7，－y ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－10，即A (8，－10)． 答案 A 二、填空题8．已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，则a ＋b ＝________，2a －3b ＝________. 解析 a ＋b ＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)．2a －3b ＝2(2,1)－3(－3,4)＝(4,2)－(－9,12)＝(13，－10)．答案 (－1,5) (13，－10)9．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1,2)，求满足条件的x ，y ，使x ＋a ＝(2,5)，b －y ＝(－1，－3)，则x ＝________，y ＝________.解析 由x ＋a ＝(2,5)，得x ＝(－1,6)， 由b －y ＝(－1，－3)，得y ＝(2,5)． 答案 (－1,6) (2,5)10．在▱ABCD 中，A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则D 点的坐标为________．解析 ∵ABCD 为平行四边形，设D (x ，y )， ∴AB →＝DC →，∴(4,1)＝(5－x,6－y )∴⎩⎪⎨⎪⎧5－x ＝4，6－y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.答案 (1,5) 三、解答题11．在直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向如图所示，且|a |＝2，|b |＝2，|c |＝4，分别求出a ，b ，c 的坐标．解 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，c ＝(x 3，y 3)， 则x 1＝|a |·cos45°＝2×22＝1，y 1＝|a |·sin45°＝1，∴a ＝(1,1)．x 2＝|b |·cos150°＝2×(－32)＝－3， y 2＝|b |·sin150°＝2×12＝1，∴b ＝(－3，1)．x 3＝|c |·cos(－60°)＝4×12＝2， y 3＝|c |·sin(－60°)＝－32×4＝－2 3. ∴c ＝(2，－23)．12．已知A (－1,2)，B (2,8)及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C 、D 和CD →的坐标．解 设C (x ，y )，D (a ，b ).AB →＝(3,6)，AC →＝13AB →＝(1,2)．又AC →＝(x ＋1，y －2)＝(1,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y －2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4，所以C (0,4)．因为DA →＝－13BA →＝13AB →＝(1,2)，又DA →＝(－1－a,2－b )＝(1,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1－a ＝1，2－b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝0，所以D (－2,0)．所以CD →＝(－2,0)－(0,4)＝(－2，－4)．13．已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)，若AP →＝AB →＋λAC →， (1)试求λ的值，使点P 在一、三象限的角平分线上； (2)试求λ的值，使点P 在第三象限内． 解 设P (x ，y )，由AP →＝AB →＋λAC →， 得(x －2，y －3)＝(3,1)＋λ(5,7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ.(1)∵P 在一、三象限角平分线上，∴x ＝y 得λ＝12.(2)由P 在第三象限内，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<0，4＋7λ<0，得λ<－1.。

双基限时练(二十)1．已知|a |＝6，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a ²b 等于( ) A ．6＋ 3 B ．6－ 3 C ．6D ．7解析 a ²b ＝|a ||b |cos60°＝6³2³cos60°＝6. 答案 C2．已知|a |＝2，|b |＝4，a ²b ＝－4，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．150° D ．120°解析 cos θ＝a ²b |a ||b |＝－42³4＝－12，∵θ∈[0°，180°]， ∴θ＝120°，故选D. 答案 D3．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影为32，则a ²b ＝( )A ．3 B.92 C ．2D.12解析 由题意，得|a |cos 〈a ，b 〉＝32，∴a ²b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝3³32＝92.答案 B4．已知向量a ，b 满足a²b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝( ) A ．0 B ．2 2 C ．4D ．8解析 |2a －b |2＝4a 2－4a ²b ＋b 2＝8， ∴|2a －b |＝2 2. 答案 B5．若非零向量a 与b 的夹角为2π3，|b |＝4，(a ＋2b )²(a －b )＝－32，则向量a 的模为( )A ．2B ．4C ．6D ．12解析 (a ＋2b )²(a －b )＝a 2＋2a ²b －a ²b －2b 2＝a 2＋a ²b －2b 2＝－32，又a ²b ＝|a ||b |cos 2π3＝|a |³4³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2|a |， ∴|a |2－2|a |－2³42＝－32. ∴|a |＝2，或|a |＝0(舍去)． 答案 A6．在△ABC 中，若AB →2＝AB →²AC →＋BA →²BC →＋CA →²CB →，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．直角三角形解析 因为AB →2＝AB →²AC →＋BA →²BC →＋CA →²CB →＝AB →²(AC →－BC →)＋CA →²CB →＝AB →²AB →＋CA →²CB →，所以CA →²CB →＝0，即CA →⊥CB →，所以三角形为直角三角形，选D.答案 D7．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b ＝________.解析 设b ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ，x 2＋y 2＝45.∴x 2＝9.∴x ＝±3，又a ＝(－1,2)与b 方向相反． ∴b ＝(3，－6)． 答案 (3，－6)8．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，且|k a ＋b |＝3|a －k b|(k >0)．若a 与b 的夹角为60°，则k ＝________.解析 由|k a ＋b |＝3|a －k b|，得k 2a 2＋2k a ²b ＋b 2＝3a 2－6k a ²b ＋3k 2b 2， 即(k 2－3)a 2＋8k a ²b ＋(1－3k 2)b 2＝0. ∵|a |＝1，|b |＝1，a ²b ＝1³1cos60°＝12，∴k 2－2k ＋1＝0，∴k ＝1. 答案 19．若向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a ²(a ＋b )＝1，则向量a ，b 的夹角的大小为________．解析 ∵|a |＝2，a ²(a ＋b )＝1， ∴a 2＋a ²b ＝2＋a ²b ＝1.∴a ²b ＝－1.设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ²b |a ||b |＝－12³1＝－22， 又θ∈[0，π]，∴θ＝3π4.答案3π410．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →²BE →＝1，则AB 的长为________．解析 因为BE →＝BA →＋AD →＋DE →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝AD →－12AB →，所以AC →²BE →＝(AB →＋AD →)²⎝⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝AD →2＋12AD →²AB →－12AB →2＝1＋12³1³|AB →|cos60°－12|AB →|2＝1，所以14|AB →|－12|AB →|2＝0，解得|AB →|＝12.答案 1211．在△ABC 中，|BC →|＝4，|CA →|＝9，∠ACB ＝30°，求BC →²CA →. 解 如图所示，BC →与CA →所成的角为∠ACB 的补角即150°，又因为|BC →|＝4，|CA →|＝9，所以BC →²CA →＝|BC →|²|CA →|cos150°＝4³9³⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－18 3. 12．已知|a |＝1，a ²b ＝12，(a －b )²(a ＋b )＝12，求：(1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值． 解 (1)∵(a －b )²(a ＋b )＝12，∴|a |2－|b |2＝12.∵|a |＝1，∴|b |＝|a |2－12＝22.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ²b |a ||b |＝121²22＝22，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.(2)∵(a －b )2＝a 2－2a ²b ＋b 2＝12，∴|a －b |＝22. ∵(a ＋b )2＝a 2＋2a ²b ＋b 2＝52，∴|a ＋b |＝102. 设a －b 与a ＋b 的夹角为α，则cos α＝a －b a ＋b|a －b ||a ＋b |＝1222³102＝55. 13．已知a ，b 是两个非零向量，当a ＋t b (t ∈R )的模取得最小值时． (1)求t 的值(用a ，b 表示)； (2)求证：b 与a ＋t b 垂直．(1)解 |a ＋t b |2＝a 2＋t 2b 2＋2t a ²b ＝b 2⎝⎛⎭⎪⎫t ＋a ²b b 22＋a 2－a ²b 2b 2.当t ＝－a ²bb 2时，|a ＋t b |取最小值．(2)证明 (a ＋t b )²b ＝a ²b ＋t b 2＝a ²b －a ²b b 2³b 2＝0，所以a ＋t b 与b 垂直．。

双基限时练(二十一) 从力做的功到向量的数量积一、选择题 1．下列命题①a ＋(－a )＝0；②(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )；③(a ²b )²c ＝a ²(b ²c )；④(a ＋b )²c ＝a ²c ＋b ²c .其中正确命题的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析 正确的有②④. 答案 C2．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ²(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 解析 ∵a ∥b ，则b ＝λa ，λ∈R .∴c ²(a ＋2b )＝c ²(a ＋2λa )＝c²a (1＋2λ)． ∵a ⊥c ，∴a²c ＝0.∴c ²(a ＋2b )＝0. 答案 D3．如图，在Rt△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，则AB →²BC →的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析 AB →²BC →＝AB →²(AC →－AB →)＝AB →²AC →－AB →2＝－|AB →|2＝－1.答案 B4．平面向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B ．2 3C ．4D ．12解析 (a ＋2b )2＝a 2＋4b 2＋4a ²b ＝4＋4＋4³2³1³12＝12.∴|a ＋2b |＝2 3.答案 B5．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则a 与b 的夹角θ为( ) A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°解析 |a |＝|b |＝|c |且a ＋b ＝c ，得|a ＋b |＝|b |，平方得：|a |2＋|b |2＋2ab ＝|b |2⇒2ab ＝－|a |2⇒2|a |²|b |²cos θ＝－|a |2⇒cos θ＝－12⇒θ＝120°.答案 B6．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ²b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π解析 |a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a²b ＝0有实根，则|a |2－4a²b ≥0.设向量a ，b 的夹角为θ，所以cos θ＝a²b |a ||b |≤14|a |212|a |2＝12.所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.故选B. 答案 B7．在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OD →是AB 边上的高，若AD →＝λAB →，则λ等于( ) A.a ² b －a|a －b |2B.a ² a －b|a －b |2C.a ²b －a|a －b |D.a ² a －b|a －b |解析 由题意知OD →²AB →＝0，即AB →²(OA →＋AD →)＝0， ∴AB →²(OA →＋λAB →)＝0，∴λ＝－AB →²OA→AB →2＝－ OB →－OA →²OA → OB →－OA →2＝a ² a －b|a －b |2，故选B. 答案 B 二、填空题8．已知e 1，e 2是夹角为23π的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ²b ＝0，则实数k 的值为________．解析 由a ²b ＝0，得k －2＋(1－2k )³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，得k ＝54. 答案 549．已知|a |＝3，a ²b ＝2，则b 在a 方向上的射影为________． 解析a ²b |a |＝23. 答案 2310．若AB →²BC →＋AB →2＝0，则△ABC 为________三角形．解析 由AB →²BC →＋AB →2＝0，得AB →²(AB →＋BC →)＝0，即AB →²AC →＝0，∴AB →⊥AC →，故三角形为直角三角形．答案 直角 三、解答题11．已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a ＋k b 与a －k b 互相垂直．解 要使向量a ＋k b 与a －k b 互相垂直，则要满足(a ＋k b )²(a －k b )＝0，即(a ＋k b )²(a －k b )＝a 2－k 2b 2＝|a |2－k 2|b |2＝9－16k 2＝0，解得k ＝±34.∴当k ＝±34时，向量a ＋k b 与a －k b 互相垂直．12．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )²(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |与|a －b |. 解 (1)设a 与b 的夹角为θ， 由(2a －3b )²(2a ＋b )＝61， 得4a 2－3b 2－4a ²b ＝61，即64－27－4³4³3co s θ＝61，得cos θ＝－12，又θ∈[0，π]，∴θ＝23π.(2)|a ＋b |＝ a ＋b 2＝a 2＋b 2＋2a ²b ＝16＋9－2³4³3³12＝13；|a －b |＝ a －b 2＝a 2＋b 2－2a ²b ＝16＋9＋2³4³3³12＝37.13．如图所示，以△ABC 两边AB ，AC 为边向外作正方形ABGF ，ACDE ，M 为BC 的中点．求证：AM ⊥EF .证明 因为M 是BC 的中点， 所以AM →＝12(AB →＋AC →)，EF →＝AF →－AE →，所以AM →²EF →＝12(AB →＋AC →)²(AF →－AE →)＝12(AB →²AF →＋AC →²AF →－AB →²AE →－AC →²AE →) ＝12(0＋AC →²AF →－AB →²AE →－0) ＝12(AC →²AF →－AB →²AE →)＝12[|AC →|²|AF →|cos(90°＋∠BAC )－|AB →||AE →|²cos(90°＋∠BAC )]＝0，所以AM →⊥EF →， 即AM ⊥EF .。

双基限时练(二十三) 向量应用举例一、选择题1．已知三个力F 1→＝(－2，－1)，F 2→＝(－3,2)，F 3→＝(4，－3)，同时作用于某物体上同一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F 4→，则F 4→等于( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)解析 ∵F 1→＋F 2→＋F 3→＝(－2－3＋4，－1＋2－3)＝(－1，－2)，又F 1→＋F 2→＋F 3→＋F 4→＝0，∴F 4→＝(1,2)．答案 D2．过点P (2,1)，且垂直于向量a ＝(－1,2)的直线方程为( ) A ．x －2y ＝0 B ．x －2y －4＝0 C ．2x －y ＝0D ．2x －y －4＝0解析 设Q (x ，y )为直线上异于P 的任意一点，由题意得PQ →·a ＝0，得x －2y ＝0，又P (2,1)在直线x －2y ＝0上，故选A.答案 A3．若向量OF 1→＝(2,2)，OF 2→＝(－2,3)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( )A ．(0,5)B ．(4，－1)C ．2 2D ．5解析 OF 1→＋OF 2→＝(0,5)，∴|F 1＋F 2|＝5.答案 D4．设O 为△ABC 所在平面内一点，且满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OA →·OC →，则O 是△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心 解析 由OA →·OB →＝OB →·OC →得OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·CA →＝0，∴OB ⊥AC ，同理，OA ⊥BC ，OC ⊥AB ，∴O 为△ABC 的垂心．答案 C5．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成120°角，且F 1，F 2的大小分别为1和2，则有( )A ．F 1，F 3成90°角B ．F 1，F 3成150°角C ．F 2，F 3成90°角D ．F 2，F 3成60°角解析 由F 1＋F 2＋F 3＝0⇒F 3＝－(F 1＋F 2)⇒F 23＝(F 1＋F 2)2＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos120°＝1＋4＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3⇒|F 3|＝3，由|F 1|＝1，|F 2|＝2，|F 3|＝3知，F 1，F 3成90°角，故选A.答案 A6．点P 在平面上做匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同)，且每秒移动的距离为|v |个单位．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10)解析 设所求点P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋10，y －10)＝(20，－15)． ∴x ＝10，y ＝－5.∴点P 的坐标为(10，－5)． 答案 C 二、填空题7．在△ABC 中，|AB →|＝|AC →|＝2，且AB →·AC →＝2，则△ABC 的形状是________．解析 ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝4cos A ＝2，∴cos A ＝12，又∠A 为△ABC 的内角．∴∠A ＝60°.又|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 为等边三角形． 答案 等边三角形8．如图所示，一力作用在小车上，其中力F 的大小为10N ，方向与水平面成60°，当小车向前运动10 m ，则力F →做的功是__________． 解析 W ＝F ·cos60°·s ＝5×10＝50 (J)． 答案 50 J9．已知平面上三点A ，B ，C 满足|AB →|＝2，|BC →|＝1，|CA →|＝3，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝__________.解析 由题可知，△ABC 为直角三角形，∠C 为直角，故AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝AB →·BC →＋CA →·AB →＝AB →·(BC →＋CA →)＝AB →·BA →＝－|AB →|2＝－4.答案 －410．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，则四边形ABCD 的面积为________．解析 由题意知四边形ABCD 为平行四边形，且有|AB →|＝|DC →|＝2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →|BA →|＋BC →|BC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 BD →|BD →|，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →|BA →|＋BC →|BC →|＝3，两边平方，得1＋2BA →·BC→|BA →||BC →|＋1＝3，∴BA →·BC→|BA →||BC →|＝12，则cos BA →，BC →＝12，即∠B ＝60°，∴S ＝|AB →|·|BC →|sin60°＝2×2×32＝ 3. 答案3三、解答题11．已知A (3，－2)与B (－3，4)，若PA ＝PB ，求动点P 的轨迹方程． 解 设AB 的中点为M ，则M (0,1)，设P (x ，y )，则PM →＝(－x,1－y )，AB →＝(－23，6)．∵PA ＝PB ，∴PM ⊥AB .∴PM →⊥AB →. ∴23x ＋6－6y ＝0，即所求轨迹方程为3x －3y ＋3＝0.12．一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4 m/s ，这时气象台报告的实际风速为2 m/s ，试求风的实际方向和汽车速度的大小．解 依据物理知识，有三对相对速度，车对地的速度为v车地，风对车的速度为v风车，风对地的速度为v 风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v 风地＝v风车＋v 车地，如图所示．根据向量求和的平行四边形法则，可知表示向量v 风地的有向线段AD →对应▱ABDC 的对角线，因为|AC →|＝4，∠ACD ＝30°，|AD →|＝2，所以∠ADC ＝90°，在Rt △ADC 中，|DC →|＝|AC →|cos30°＝23，所以风的实际方向是正南方向，汽车速度的大小为2 3 m/s.13．如图，D 为△ABC 内的一点，且AB 2－AC 2＝DB 2－DC 2，求证：AD ⊥BC .证明 如图所示，设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝e ，DB →＝c ，DC →＝d .则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d ， ∴a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e·c －2e·d －d 2. 由条件知a 2＝c 2－d 2＋b 2， ∴e·c ＝e·d ，即e·(c －d )＝0. ∴AD →·BC →＝0.∴AD →⊥BC →.。

双基限时练(十五)1．若非零向量a ，b 互为相反向量，则下列说法错误的是( ) A ．a ∥b B ．a ≠b C ．|a |≠|b |D ．b ＝－a解析 根据相反向量的定义：大小相等，方向相反，可知|a |＝|b |. 答案 C2．给出下列四个结论： ①AB →＝AO →＋OB →； ②AB →－AC →＝BC →； ③AB →＋BC →＋CA →＝0; ④|a ＋b |≥|a －b |. 其中错误的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个 解析 ①正确，②错误，∵AB →－AC →＝AB →＋CA →＝CB →≠BC →.③错误，∵AB →＋BC →＋CA →＝0≠0.④错误，当a 与b 方向相反时，有|a ＋b |<|a －b |.综上知，仅①正确，故选C.答案 C3．在△ABC 中，BC →＝a ，AC →＝b ，则AB →等于( )A ．a ＋bB ．a －bC ．－a －(－b )D ．－a ＋(－b )解析 AB →＝AC →＋CB →＝AC →－BC →＝b －a .故选C.答案 C4．如图，P 是△ABC 所在平面内一点，且满足BA →＋BC →＝BP →，则( ) A.BA →＝PC → B.BC →＝PA → C.BC →＋CP →＝BP →D.BA →－BP →＝AP →解析 由题意知，BP 是以BA →，BC →为邻边所作平行四边形的对角线，BC →＋CP →＝BC →＋BA →＝BP →.答案 C5．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0解析 ∵D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点， ∴BE →＝DF →，CF →＝FA →，∴AD →＋BE →＋CF →＝AD →＋DF →＋FA →＝0.答案 A6．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC →|2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝( )A ．8B ．4C ．2D ．1解析 以AB ，AC 为邻边作平行四边形ACDB ，则由加减法的几何意义可知AD →＝AB →＋AC →，CB →＝AB →－AC →，因为|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以|AD →|＝|CB →|.又四边形ACDB 为平行四边形，所以四边形ACDB 为矩形，故AC ⊥AB ，则AM 为Rt △ABC斜边BC 上的中线，因此，|AM →|＝12|BC →|＝2.答案 C7．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →－DC →|＝________________________________________________________.解析 |AB →－CB →－DC →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AD →|＝2.答案 28．如图，平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状是________．解析 ∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →， ∴OA →－OB →＝OD →－OC →.即BA →＝CD →.又A ，B ，C ，D 四点不共线， ∴|BA →|＝|CD →|，且BA ∥CD ，故四边形ABCD 为平行四边形． 答案 平行四边形9．已知a 与b 均为非零向量，若|a －b |＝||a |－|b ||，则a 与b 方向________．解析 当a 与b 不共线时，如图1，a －b ＝BC →，|BC →|>||AC →|－|AB →||可得|a －b |>||a |－|b ||；当a 与b 反向时，如图2，知a －b ＝CB →，|CB →|>||AB →|－|AC →||，∴|a －b |>||a |－|b ||.当a 与b 同向时，如图3，a －b ＝CB →，|CB →|＝||AB →|－|AC →||，∴|a －b |＝||a |－|b ||.答案 相同 10．给出下列命题：①若OD →＋OE →＝OM →，则OM →－OE →＝OD →； ②若OD →＋OE →＝OM →，则OM →＋DO →＝OE →； ③若OD →＋OE →＝OM →，则OD →－EO →＝OM →； ④若OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝MO →. 其中所有正确命题的序号为________． 答案 ①②③④11．如图，解答下列各题：(1)用a ，d ，e 表示DB →；(2)用b ，c 表示DB →；(3)用a ，b ，e 表示EC →；(4)用d ，c 表示EC →.解 ∵AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e ，∴(1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a . (2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e . (4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d .12.如图所示，O 为△ABC 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，求作向量b ＋c －a .解 以OB →，OC →为邻边作▱OBDC ，连接OD ，AD ，则OD →＝OB →＋OC →＝b ＋c ，AD →＝OD →－OA →＝b ＋c－a .13．已知|a |＝6，|b |＝8，且|a ＋b |＝|a －b |，求|a －b |.解 如下图，设AB →＝a ，AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作▱ABCD ，则AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b .由|a ＋b |＝|a －b |知，|AC →|＝|DB →|， ∴四边形ABCD 是矩形，故AD ⊥AB . 在Rt △ABD 中，。

"【名师一号】2014-2015学年高中数学第二章推理与证明双基限时练3（含解析）新人教A版选修1-2 "1．下列关于归纳推理的说法中错误的是( )A．归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C．归纳推理得出的结论具有偶然性，不一定正确D．归纳推理具有由具体到抽象的认识功能答案A2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排列起来，那么第36颗珠子的颜色是( )○○○●●○○○●●○○○●●○○……A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大答案A3．由数列1,10,100,1000，…猜测该数列的第n项可能是( )A．10n B．10n－1C．10n＋1D．11n答案B4．n个连续自然数按规律排列如下：根据规律，从2010到2012，箭头的方向依次是( )A．↓→ B．→↑C．↑→ D．→↓解析观察特例的规律知：位置相同的数字是以4为公差的等差数列，由11↑1012可知从2010到2012为↑→.答案C5．已知数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的一个表达式为( )A．n2－1 B．n2－2n＋2C ．2n －1D ．2n －1＋1解析 ∵a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1，∴a 2＝2×1＋1＝3，a 3＝2×3＋1＝7，a 4＝2×7＋1＝15，归纳猜想知a n ＝2n－1.答案 C6．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A .n n －4＋8－n8－n －4＝2 B .n ＋1 n＋1 －4＋ n＋1 ＋5n＋1 －4＝2C .n n －4＋n ＋4 n＋4 －4＝2 D .n ＋1 n＋1 －4＋n ＋5n＋5 －4＝2解析 观察等式知，左边分子之和等于8，分母之和等于0，右边都是2，只有选项A 适合．答案 A7．顺次计算数列：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，……的前4项的值，由此猜测：a n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1的结果为________． 解析 a 1＝1＝12，a 2＝1＋2＋1＝4＝22， a 3＝1＋2＋3＋2＋1＝9＝32， a 4＝1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42， …，由此可以猜想a n ＝n 2. 答案 n 28．由三角形的内角和是180°，凸四边形的内角和是360°＝2×180°，凸五边形的内角和是540°＝3×180°，归纳出结论：______________________________________________________. 答案 凸n 边形的内角和是(n －2)×180°(n≥3) 9．观察以下各等式：sin 230°＋cos 260°＋sin 30°cos 60°＝34， sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°＝34，sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，为_________________________________________________________．答案 sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos (α＋30°)＝3410．(1)如图所示为四个平面图形，数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们将平面分成了多少个区域？(2)(3)现已知某个平面图形有1006个顶点，且围成了1006个区域，试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边？解 (1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为：(2)3＋2－3＝2； 8＋6－12＝2； 6＋5－9＝2； 10＋7－15＝2.通过观察发现，它们的顶点数V ，边数E ，区域数F 之间的关系为V ＋F －E ＝2.(3)由已知V ＝1006，F ＝1006，代入(2)中关系式，得E ＝2010. 故这个平面图形有2010条边．11．设a n 是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n≥1，n ↔N )，试归纳出这个数列的一个通项公式．解 当n ＝1时，a 1＝1，且2a 22－a 21＋a 2·a 1＝0， 即2a 22＋a 2－1＝0解得a 2＝12；当n ＝2时，由 3a 23－2(12)2＋12a 3＝0，即6a 23＋a 3－1＝0， 解得a 3＝13，…由此猜想：a n ＝1n.12．已知：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32，通过观察上述等式的规律，请写出一般性的命题：________________＝32(*)，并给出(*)式的证明．解 一般式为：sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32.证明如下：左边＝1－cos2α2＋1－cos 2α＋120° 2＋1－cos 2α＋240°2＝32－12[cos2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)] ＝32－12(cos2α＋cos2αcos120°－sin2αsin120°＋cos2αcos240°－sin2αsin240°)＝32－12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos2α－12cos2α－32sin2α－12cos2α＋32sin2α ＝32＝右边， 所以sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32成立．(注：将一般式写成sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝32等均正确．)。

双基限时练(十)1．等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n ＝( ) A ．9 B ．10 C ．11D ．12解析 a 1＝1，a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝14， ∴d ＝2，∴S n ＝n ＋n n －12×2＝100.∴n ＝10. 答案 B2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝35，则a 4＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 解析 S 7＝a 1＋a 72×7＝35，∴a 1＋a 7＝10，∴a 4＝a 1＋a 72＝5.答案 D3．设数列{a n }是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝12，a 1·a 2·a 3＝48，∵a 1＋a 3＝2a 2，∴a 2＝4. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝8，a 1·a 3＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a 3＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6，a 3＝2.∵{a n }是递增数列，∴a 1＝2. 答案 B4．若数列{a n }为等差数列，公差为12，且S 100＝145，则a 2＋a 4＋…＋a 100的值为( )A ．60B ．85 C.1452D ．其他值解析 设a 1＋a 3＋…＋a 99＝S 1， 则a 2＋a 4＋…＋a 100＝S 1＋50d .依题意，有S 1＋S 1＋50d ＝145. 又d ＝12，∴S 1＝60.∴a 2＋a 4＋…＋a 100＝60＋25＝85. 答案 B5．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．7解析 由题意，有a 1＋a 2＝4，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝20， ∴a 3＋a 4＝16. ∴a 1＋2d ＋a 2＋2d ＝16. ∴4d ＝12，d ＝3. 答案 B6．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763D ．663解析 被7除余2的自然数，构成等差数列，其首项a 1＝2，公差d ＝7.最大的a n ＝93，由2＋(n －1)×7＝93得n ＝14.∴这些数的和为S ＝2＋932×14＝665.答案 B7．在数列{a n }中，a n ＝4n －52，a 1＋a 2＋…＋a n ＝an 2＋bn ，(n ∈N *)，其中a ，b 为常数，则ab ＝________.解析 ∵a n ＝4n －52，∴a 1＝32.又知{a n }为等差数列，且d ＝4， ∴an 2＋bn ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝32n ＋n n －1 2×4＝2n 2－12n . ∴a ＝2，b ＝－12，∴ab ＝－1.答案 －18．在等差数列{a n }中，S 4＝6，S 8＝20，则S 16＝________. 解析 S 4＝6，S 8＝S 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝20， ∴a 1＋…＋a 4＝6，a 5＋…＋a 8＝14. ∴a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝22，a 13＋…＋a 16＝30，∴S 16＝72.答案 729．在数列{a n }中，a n ＋1＝2a n 2＋a n (n ∈N *)，且a 5＝12，则a 3＝________.解析 由a n ＋1＝2a n 2＋a n ，得1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公差为12的等差数列，故1a 3＝1a 5－2d ＝2－2×12＝1，即a 3＝1.答案 110．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50. (1)求通项a n ； (2)若S n ＝242，求n .解 (1)设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.∴通项a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10＋2n . (2)由S n ＝na 1＋n n －12d ，S n ＝242，可得方程12n ＋n n －12×2＝242.解得n ＝11或n ＝－22(舍去)，∴n ＝11.11．已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }的前n 项和S n 的最大值． 解 (1)设{a n }的公差为d ，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5. (2)S n ＝na 1＋n n －1 2d＝－n 2＋4n ＝－(n －2)2＋4，所以，当n ＝2时，S n 取得最大值4.12．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .∵a 3＝7，a 5＋a 7＝26，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，S n ＝3n ＋n n －12×2＝n 2＋2n .即a n ＝2n ＋1，S n ＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1， ∴b n ＝1a 2n －1＝1 2n ＋1 2－1＝14×1n n ＋1 ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴T n ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n4 n ＋1 ， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4 n ＋1.。

双基限时练(十八)基 础 强 化1．直线mx －y －m ＋2＝0经过一定点，则该点的坐标为( ) A ．(－1,2) B ．(1,2) C ．(2，－1)D ．(2,1)解析 m (x －1)－y ＋2＝0，∴当x ＝1时，y 恒等于2，故该直线恒过(1,2)． 答案 B2．若直线mx ＋ny ＋12＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是－3和4，则m 和n 的值分别是( )A ．4,3B ．－4,3C ．4，－3D ．－4，－3解析 令x ＝0，则y ＝－12n＝4，∴n ＝－3.令y ＝0，则x ＝－12m＝－3，∴m ＝4.答案 C3．若方程(6a 2－a －2)x ＋(3a 2－5a ＋2)y ＋a －1＝0表示平行于x 轴的直线，则a 的值为( )A.23 B ．－12C.23或－12D ．1解析 ⎩⎪⎨⎪⎧6a 2－a －2＝0，3a 2－5a ＋2≠0，a －1≠0，∴a ＝－12.答案 B4．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限解析 直线方程可以变式为y ＝－a b x ＋c b， ∵ab <0，bc <0，∴－a b >0，c b<0， ∴直线过一、三、四象限． 答案 C5．若直线l 与直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A 、B 两点，且AB 的中点为P (1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.32 B ．－32C.23D ．－23解析 设直线l 与直线y ＝1交于A (x 1,1)，与直线x －y －7＝0交于B (x 2，y 2)，∵AB 中点为P (1，－1)，∴y 2＝－3，代入直线x －y －7＝0中可得x 2＝4，∴B (4，－3)，∴k ＝－3－ －1 4－1＝－23.答案 D6．设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2x －y －4＝0D ．2x ＋y －7＝0解析 ∵P 点在直线PA 上，故P (2,3)，A (－1,0)． 设B (x,0)(x ≠－1)，∵|PA |＝|PB |， ∴ 2＋1 2＋32＝ 2－x 2＋32.∴x ＝5. ∴B (5,0)．∴直线PB 的方程为x ＋y －5＝0. 答案 A7．已知两点A (－1，－2)，B (2,4)，直线l ：ax ＋3y －5＝0通过线段AB 的中点，则a ＝__________.解析 由中点公式得AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴12a ＋3－5＝0，∴a ＝4. 答案 48．已知3a ＋2b ＝5，其中a 、b 是常数，则直线ax ＋by －10＝0必过定点________． 解析 ∵3a ＋2b ＝5，∴6a ＋4b －10＝0，∴直线ax ＋by －10＝0过定点(6,4)． 答案 (6,4)能 力 提 升9．已知A (2,1)，B (－4,7)，则经过AB 中点且在y 轴上的截距为－2的直线方程为____________________．解析 AB 中点(－1,4)，设直线方程为y ＝kx －2，∵该直线过AB 中点，∴4＝－k －2，∴k ＝－6，∴直线方程为6x ＋y ＋2＝0.答案 6x ＋y ＋2＝010．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率为3，且经过点A (5,3)； (2)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (3)经过C (－1,5)，D (2，－1)两点． 解 (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)， 即3x －y ＋3－53＝0. (2)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0.(3)由两点式方程得y －5－1－5＝x － －12－ －1，即2x ＋y －3＝0.11．设直线l 的方程为(m ＋1)x ＋y ＋(2－m )＝0，证明：l 恒过第四象限． 证明 直线l 的方程可化为(x －1)m ＋x ＋y ＋2＝0， 令⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋y ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3.∴l 过定点(1，－3)．∵点(1，－3)在第四象限，∴l 恒过第四象限．12．已知△ABC 的顶点A (5，－2)，B (7,3)且边AC 的中点M 在y 轴上，边BC 的中点N 在x 轴上．(1)求顶点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程． 解 (1)设M (0，m )，N (n,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x C ＋x A ＝2x M ，y C ＋y A ＝2y M ，⎩⎪⎨⎪⎧x C ＋x B ＝2x N ，y C ＋y B ＝2y N ，∴x C ＝0－5＝－5，y C ＝0－3＝－3. ∴点C 的坐标为(－5，－3)．(2)∵2m ＝y C ＋y A ＝－3＋(－2)＝－5，故m ＝－52.2n ＝x C ＋x B ＝－5＋7＝2，故n ＝1. ∴直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.品 味 高 考13．把直线x －y ＋3－1＝0绕点(1，3)逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是( )A．y＝－3x B．y＝3xC．x－3y＋2＝0 D．x＋3y－2＝0 解析∵x－y＋3－1＝0的斜率为1，∴倾斜角为45°.∴l的斜率为tanα＝tan60°＝3，l的方程为y－3＝3(x－1)，即y＝3x.答案 B。