变化率与导数习题课学生用

新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答第一章 导数及其应用 3．1变化率与导数 练习（P6）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P8）函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”1的思想. 练习（P9） 函数33()4Vr V π=(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10）1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆. 所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的涵.2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆，所以，(1) 3.3h '=-. 这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆，所以，(5)10s '=.因此，物体在第 5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第 5 s 的动能213101502k E =⨯⨯= J.4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>. 由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π=，于是2258t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆，所以(3.2)20θπ'=. 因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数()f x '的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()f x '恒大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时，()f x '小于零，当x 大于零时，()f x '大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1．2导数的计算 练习（P18）1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=； （2）2x y e '=； （3）4106y x x '=-； （4）3sin 4cos y x x '=--；（5）1sin 33x y '=-； （6）21y x '=-.习题1.2 A 组（P18）1、()()2S S r r S r r r r r π∆+∆-==+∆∆∆，所以，0()lim(2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=. 2、()9.8 6.5h t t '=-+. 3、3213()34r V Vπ'=.4、（1）213ln 2y x x '=+； （2）1n x n x y nx e x e -'=+； （3）2323sin cos cos sin x x x x xy x-+'=； （4）9899(1)y x '=+； （5）2x y e -'=-； （6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++. 5、()82f x x '=-+. 由0()4f x '=有 04822x =-+，解得032x =. 6、（1）ln 1y x '=+； （2）1y x =-. 7、1xy π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少. 习题1.2 B 组（P19） 1、（1）（2）当h 越来越小时，sin()sin x h xy h+-=就越来越逼近函数cos y x =.（3）sin y x =的导数为cos y x =.2、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h.1．3导数在研究函数中的应用 练习（P26）1、（1）因为2()24f x x x =-+，所以()22f x x '=-.当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增；当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减. （2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增； 当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减. （3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增； 当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减. （4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+.（1）当0a >时，()0f x '>，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<，即2bx a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.（2）当0a <时，()0f x '>，即2bx a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<， 因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)是减函数. 练习（P29）1、24,x x 是函数()y f x =的极值点，注：图象形状不唯一.其中2x x =是函数()y f x =的极大值点，4x x =是函数()y f x =的极小值点. 2、（1）因为2()62f x x x =--，所以()121f x x '=-. 令()1210f x x '=-=，得112x =. 当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，当112x =时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-. （2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-. 令2()3270f x x '=-=，得3x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当3x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为54； 当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-. （3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为10-； 当2x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22 （4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. 令2()330f x x '=-=，得1x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为2-； 当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为2 练习（P31）（1）在[0,2]上，当112x =时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-，(2)20f =.因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924-. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且极大值为(3)54f -=； 当3x =时，3()27f x x x =-有极小值，并且极小值为(3)54f =-； 又由于(4)44f -=，(4)44f =-.因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.（3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大值为(2)22f =.又由于155()327f -=，(3)15f =.因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值. 因为(2)2f =-，(3)18f =-.因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-. 习题1.3 A 组（P31）1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<. 因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数.（2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈.因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数. （3）因为()24f x x =--，所以()20f x '=-<. 因此，函数()24f x x =-是单调递减函数. （4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>. 因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数. 2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减. （2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减.（3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>.因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数. （4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减.3、（1）图略. （2）加速度等于0.4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值； （2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值； （3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值； （4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值.5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=，得112x =-. 当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-.（2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-. 令2()3120f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为16； 当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为16-. （3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22； 当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为10-. （4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=，得4x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当4x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为128-； 当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128. 6、（1）在[1,1]-上，当112x =-时，函数2()62f x x x =++有极小值，并且极小值为4724. 由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9，4724. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，并且极大值为16； 当2x =时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-. 由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-.（3）在1[,1]3-上，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值.由于1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，117-. 习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈. 图略（2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增，2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减，2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠. 因为()1x f x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，()1(0)0x f x e x f =-->=；当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，()1(0)0x f x e x f =-->=；综上，1x e x ->，0x ≠. 图略 （4）证明：设()ln f x x x =-，0x >. 因为1()1f x x'=-，0x ≠ 所以，当01x <<时，1()10f x x'=->，()f x 单调递增， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<； 当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln11<. 因此，ln x x <. 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >.. 综上，ln x x x e <<，0x > 图略 2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.（2）因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c '=++. 下面分类讨论：当0a ≠时，分0a >和0a <两种情形： ①当0a >，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a >，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≥，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增. ②当0a <，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a <，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≤，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减 1．4生活中的优化问题举例 习题1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x ，l x -，则这两个正方形的边长分别为4x ，4l x -，两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<.令()0f x '=，即420x l -=，2lx =.当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2lx l ∈时，()0f x '>.因此，2lx =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.所以，当两段铁丝的长度分别是2l时，两个正方形的面积和最小.2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无 盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为x .（1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02ax <<.（2）因为322()44V x x ax a x =-+， 所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6a x =. 当(0,)6a x ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<.因此，6ax =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点.所以，当6ax =时，无盖方盒的容积最大.3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ， 则表面积222S Rh R ππ=+由2V R h π=，得2V h R π=. 因此，2222()222V V S R R R R R R ππππ=+=+，0R >. 令2()40V S R R R π'=-+=，解得R =.当R ∈时，()0S R '<；当)R ∈+∞时，()0S R '>. 因此，R =是函数()S R 的极小值点，也是最小值点. 此时，22V h R R π===. 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑，所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=，得11ni i x a n ==∑，（第3题）可以得到，11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n 个数据的平均值11ni i a n =∑表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2xm ，半圆的面积为28x π2m ，矩形的面积为28x a π-2m ，矩形的另一边长为()8a xx π-m 因此铁丝的长为22()(1)244xa x a l x x x x x πππ=++-=++，0x <<令22()104a l x x π'=+-=，得x =.当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.因此，x ()l x 的极小值点，也是最小值点.时，所用材料最省. 6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-，利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.求导得1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，84q =.当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<；因此，84q =是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84时，利润L 最大,习题1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<.令1()7005L x x '=-+=，解得350x =.当(180,350)x ∈时，()0L x '>；当(350,680)x ∈时，()0L x '>. 因此，350x =是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时，利润4()()(4)()(5)b x L x x a c c c x a x b b-=-+⨯=--，54ba x <<.令845()0c ac bc L x x b b+'=-+=，解得458a bx +=. 当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b bx +∈时，()0L x '<.当458a bx +=是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，销售价为458a b+元／件时，可获得最大利润.1．5定积分的概念 练习（P42） 83. 说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.练习（P45）1、22112()[()2]()i i i i i s s v t n n n n n n'∆≈∆=∆=-+⋅=-⋅+⋅，1,2,,i n =L .于是 111()n n ni i i i i is s s v t n ==='=∆≈∆=∆∑∑∑2112[()]ni i n n n ==-⋅+⋅∑22211111()()()2n n n n n n n n -=-⋅--⋅-⋅+L2231[12]2n n=-++++L31(1)(21)26n n n n ++=-⋅+111(1)(1)232n n =-+++取极值，得1111115lim [()]lim [(1)(1)2]323nnn n i i i s v n n n n →∞→∞====-+++=∑∑说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.2、223km.说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习（P48）2304x dx =⎰. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线3y x =与直线0x =，2x =，0y =所围成的曲边梯形的面积4S =.习题1.5 A 组（P50） 1、（1）10021111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （2）50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （3）100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰. 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.2、距离的不足近似值为：18112171310140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）； 距离的过剩近似值为：271181121713167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）.3、证明：令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=L作和式 11()nni i i b af x b a nξ==-∆==-∑∑， 从而 11lim nban i b adx b a n→∞=-==-∑⎰， 说明：进一步熟悉定积分的概念.4、根据定积分的几何意义，0⎰表示由直线0x =，1x =，0y =以及曲线y =所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此4π=⎰.5、（1）03114x dx -=-⎰. 由于在区间[1,0]-上30x ≤，所以定积分031x dx -⎰表示由直线0x =，1x =-，0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得1133311011044x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,1]上30x ≥，所以定积分131x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质，得202333110115444x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,2]上30x ≥，所以定积分231x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于3x 在区间[1,0]-上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利用定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx-⎰化为02331x dx x dx -+⎰⎰，这样，3x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出031x dx -⎰，230x dx ⎰，进而得到定积分231x dx -⎰的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义.习题1.5 B 组（P50）1、该物体在0t =到6t =（单位：s ）之间走过的路程大约为145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）9.81v t =.（2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242i i =⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）；不足近似值：81111879.819.8168.672242i i =-⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ） （3）49.81tdt ⎰； 49.81d 78.48t t =⎰（m ）.3、（1）分割在区间[0,]l 上等间隔地插入1n -个分点，将它分成n 个小区间：[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n -， 记第i 个区间为(1)[,]i l iln n-（1,2,i n =L ），其长度为 (1)il i l l x n n n-∆=-=.把细棒在小段[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n-上质量分别记作： 12,,,n m m m ∆∆∆L ，则细棒的质量1ni i m m ==∆∑.（2）近似代替当n 很大，即x ∆很小时，在小区间(1)[,]i l iln n-上，可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点(1)[,]i i l il n nξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是，细棒在小段(1)[,]i l iln n -上质量 2()i i i lm x nρξξ∆≈∆=（1,2,i n =L ）.（3）求和得细棒的质量 2111()nnni i i i i i l m m x nρξξ====∆≈∆=∑∑∑. （4）取极限细棒的质量 21lim ni n i lm nξ→∞==∑，所以20l m x dx =⎰..1．6微积分基本定理练习（P55）（1）50； （2）503； （3）533-； （4）24； （5）3ln 22-； （6）12； （7）0； （8）2-.说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 习题1.6 A 组（P55）1、（1）403； （2）13ln 22--； （3）9ln 3ln 22+-；（4）176-； （5）2318π+； （6）22ln 2e e --. 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.2、3300sin [cos ]2xdx x ππ=-=⎰.它表示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和. 习题1.6 B 组（P55）1、（1）原式＝221011[]222x e e =-； （2）原式＝4611[sin 2]22x ππ=； （3）原式＝3126[]ln 2ln 2x =. 2、（1）cos 1sin [][cos cos()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=-=---=⎰；（2）sin 1cos [sin sin()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=|=--=⎰；（3）21cos 2sin 2sin []224mx x mx mxdx dx m πππππππ----==-=⎰⎰；（4）21cos 2sin 2cos []224mx x mx mxdx dx mπππππππ---+==+=⎰⎰.3、（1）0.202220()(1)[]49245245t kt kt t kt t g g g g g gs t e dt t e t e t e k k k k k k----=-=+=+-=+-⎰.（2）由题意得 0.2492452455000t t e -+-=.这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t 的取值围.根据指数函数的性质，当0t >时，0.201t e -<<，从而 5000495245t <<， 因此，500052454949t <<. 因此50000.2749245 3.3610e-⨯-≈⨯，52450.2749245 1.2410e-⨯-≈⨯，所以，70.271.2410245 3.3610t e ---⨯<<⨯.从而，在解方程0.2492452455000t t e -+-=时，0.2245t e -可以忽略不计.因此，.492455000t -≈，解之得 524549t ≈（s ）. 说明：B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握. 1．7定积分的简单应用 练习（P58）（1）323； （2）1.说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程. 练习（P59）1、52533(23)[3]22s t dt t t =+=+=⎰（m ）.2、424003(34)[4]402W x dx x x =+=+=⎰（J ）.习题1.7 A 组（P60）1、（1）2； （2）92.2、2[]b b a a q q q qW k dr k k k r r a b==-=-⎰. 3、令()0v t =，即40100t -=. 解得4t =. 即第4s 时物体达到最大高度.最大高度为 4240(4010)[405]80h t dt t t =-=-=⎰（m ）. 4、设t s 后两物体相遇，则 20(31)105t tt dt tdt +=+⎰⎰，解之得5t =. 即,A B 两物体5s 后相遇.此时，物体A 离出发地的距离为 523500(31)[]130t dt t t +=+=⎰（m ）.5、由F kl =，得100.01k =. 解之得1000k =. 所做的功为 0.120.10010005005W ldl l ==|=⎰（J ）.6、（1）令55()501v t t t=-+=+，解之得10t =. 因此，火车经过10s 后完全停止. （2）1021000551(5)[555ln(1)]55ln1112s t dt t t t t =-+=-++=+⎰（m ）. 习题1.7 B 组（P60）1、（1）a -⎰表示圆222x y a +=与x 轴所围成的上半圆的面积，因此22aa π-=⎰（2）1]x dx ⎰表示圆22(1)1x y -+=与直线y x =所围成的图形（如图所示）的面积，因此，2120111[1(1)]114242x x dx ππ⨯---=-⨯⨯=-⎰. 2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的方程为2y ax =，则2()2b h a =⨯，所以24ha b =.从而抛物线的方程为 224hy x b =.于是，抛物线拱的面积232202204422()2[]33b bh h S h x dx hx x bh b b =-=-=⎰. 3、如图所示.解方程组223y x y x⎧=+⎨=⎩得曲线22y x =+与曲线3y x =交点的横坐标11x =，22x =. 于是，所求的面积为122201[(2)3][3(2)]1x x dx x x dx +-+-+=⎰⎰.4、证明：2[]()R hR h R RMm Mm MmhW Gdr G G r r R R h ++==-=+⎰. 第一章 复习参考题A 组（P65）1、（1）3； （2）4y =-.2、（1）22sin cos 2cos x x xy x+'=； （2）23(2)(31)(53)y x x x '=-+-； （3）22ln ln 2x xy x x '=+； （4）2422(21)x x y x -'=+. 3、32GMm F r '=-. 4、（1）()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.（2）(3)4f '=-表明在3℃附近时，红茶温度约以4℃／min 的速度下降. 图略. 5、因为32()f x x =，所以3()3f x x'=.当3()03f x x'=>，即0x >时，()f x 单调递增；yxh b O（第2题）当()0f x '=<，即0x <时，()f x 单调递减.6、因为2()f x x px q =++，所以()2f x x p '=+. 当()20f x x p '=+=，即12px =-=时，()f x 有最小值. 由12p-=，得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=，所以5q =. 7、因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+， 所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--. 当()0f x '=，即3cx =，或x c =时，函数2()()f x x x c =-可能有极值. 由题意当2x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值，所以0c >. 由于所以，当3c x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值. 此时，23c=，6c =. 8、设当点A 的坐标为(,0)a 时，AOB ∆的面积最小. 因为直线AB 过点(,0)A a ，(1,1)P ，所以直线AB 的方程为001y x a x a --=--，即1()1y x a a =--.当0x =时，1a y a =-，即点B 的坐标是(0,)1aa -. 因此，AOB ∆的面积21()212(1)AOBa a S S a a a a ∆===--.令()0S a '=，即2212()02(1)a aS a a -'=⋅=-. 当0a =，或2a =时，()0S a '=，0a =不合题意舍去.由于所以，当2a =，即直线AB 的倾斜角为135︒时，AOB ∆的面积最小，最小面积为2.9、D .10、设底面一边的长为x m ，另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为14.8m. 所以，长方体容器的高为14.844(0.5)12.88 3.2244x x xx --+-==-.设容器的容积为V ，则32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++，0 1.6x <<.令()0V x '=，即26 4.4 1.60x x -++=. 所以，415x =-（舍去），或1x =. 当(0,1)x ∈时，()0V x '>；当(1,1.6)x ∈时，()0V x '<. 因此，1x =是函数()V x 在(0,1.6)的极大值点，也是最大值点. 所以，当长方体容器的高为1 m 时，容器最大，最大容器为1.8 m 3. 11、设旅游团人数为100x +时，旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080)x ≤≤. 令()0f x '=，即105000x -+=，50x =.又(0)100000f =，(80)108000f =，(50)112500f =. 所以，50x =是函数()f x 的最大值点.所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为x cm 时，可使其打印面积最大.因为打印纸的面积为623.7，长为x ，所以宽为623.7x，打印面积623.7()(2 2.54)(2 3.17)S x x x=-⨯-⨯ 23168.396655.9072 6.34x x =--，5.0898.38x <<.令()0S x '=，即23168.3966.340x -=，22.36x ≈（负值舍去），623.727.8922.36≈. 22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.38)唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点. 所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm ，22.36cm 时，可使其打印面积最大. 13、设每年养q 头猪时，总利润为y 元.则 21()20000100300200002y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈.令0y '=，即3000q -+=，300q =.当300q =时，25000y =；当400q =时，20000y =.300q =是函数()y p 在(0,400]唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点. 所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元.14、（1）2； （2）22e -； （3）1；（4）原式＝22222000cos sin (cos sin )[sin cos ]0cos sin x xdx x x dx x x x xπππ-=-=+=+⎰⎰； （5）原式＝22001cos sin 2[]224x x x dx πππ---==⎰. 15、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、2.17、由F kl =，得0.0490.01k =. 解之得 4.9k =.所做的功为 20.30.30.10.14.9 4.90.1962l W ldl ==⨯|=⎰（J ）第一章 复习参考题B 组（P66）1、（1）43()10210b t t '=-⨯. 所以，细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和410-.（2）当05t ≤<时，()0b t '>，所以细菌在增加；当55t <<+时，()0b t '<，所以细菌在减少.2、设扇形的半径为r ，中心角为α弧度时，扇形的面积为S .因为212S r α=，2l r r α-=，所以2lrα=-.222111(2)(2)222l S r r lr r r α==-=-，02l r <<.令0S '=，即40l r -=，4lr =，此时α为2弧度.4l r =是函数()S r 在(0,)2l唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.所以，扇形的半径为4l、中心角为2弧度时，扇形的面积最大.3、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么222r h R +=.因此，222231111()3333V r h R h h R h h ππππ==-=-，0h R <<.令22103V R h ππ'=-=，解得h R =.容易知道，h R =是函数()V h 的极大值点，也是最大值点.所以，当3h R =时，容积最大.把3h R =代入222r h R +=，得3r R =.由2R r απ=，得α=.所以，圆心角为α=时，容积最大. 4、由于28010k =⨯，所以45k =. 设船速为x km ／h 时，总费用为y ，则2420204805y x x x=⨯+⨯ 960016x x=+，0x >令0y '=，即29600160x-=，24x ≈.容易知道，24x =是函数y 的极小值点，也是最小值点.当24x =时，960020(1624)()9412424⨯+÷≈（元／时） 所以，船速约为24km ／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为941元.5、设汽车以x km ／h 行驶时，行车的总费用2390130(3)14360x y x x =++⨯，50100x ≤≤ 令0y '=，解得53x ≈（km ／h ）. 此时，114y ≈（元） 容易得到，53x ≈是函数y 的极小值点，也是最小值点.因此，当53x ≈时，行车总费用最少.所以，最经济的车速约为53km ／h ；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是114元.6、原式＝4404422022[]2xx x x x e dx e dx e dx e e e e -----=+=-+|=+-⎰⎰⎰.7、解方程组 2y kx y x x =⎧⎨=-⎩得，直线y kx =与抛物线2y x x =-交点的横坐标为0x =，1k -.抛物线与x 轴所围图形的面积2312100111()[]23236x x S x x dx =-=-=-=⎰.由题设得 1120()2k k S x x dx kxdx --=--⎰⎰31221001()[]23kkk x x x kx dx x ---=--=-⎰3(1)6k -=.又因为16S =，所以31(1)2k -=. 于是12k =-.说明：本题也可以由面积相等直接得到111220()()kk k x x kx dx kxdx x x dx -----=+-⎰⎰⎰，由此求出k 的值. 但计算较为烦琐.新课程标准数学选修2—2第二章课后习题解答第二章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理 练习（P77）1、由12341a a a a ====，猜想1n a =.2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.3、设111O PQ R V -和222O P Q R V -分别是四面体111O PQ R -和222O P Q R -的体积， 则111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅. 练习（P81） 1、略.2、因为通项公式为n a 的数列{}n a ， 若1n na p a +=，其中p 是非零常数，则{}n a 是等比数列； ……………………大前提 又因为0cq ≠，则0q ≠，则11n n nn a cq q a cq++==； ……………………………小前提所以，通项公式为(0)n n a cq cq =≠的数列{}n a 是等比数列. ……………………结论3、由AD BD >，得到ACD BCD ∠>∠的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD BD >”，而AD 与BD 不在同一个三角形中.习题2.1 A 组（P83）1、21n a n =+()n N *∈. 2、2F V E +=+.3、当6n ≤时，122(1)n n -<+；当7n =时，122(1)n n -=+；当8n =时，122(1)n n ->+()n N *∈.4、212111(2)n n A A A n π++≥-L L （2n >，且n N *∈）. 5、121217n n b b b b b b -=L L （17n <，且n N *∈）. 6、如图，作DE ∥AB 交BC 于E .因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 又因为AD ∥BE ，AB ∥DE . 所以四边形ABED 是平行四边形. 因为平行四边形的对边相等.（第6题）又因为四边形ABED 是平行四边形. 所以AB DE =.因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，又因为AB DE =，AB DC =, 所以DE DC = 因为等腰三角形的两底角是相等的.又因为△DEC 是等腰三角形, 所以DEC C ∠=∠ 因为平行线的同位角相等又因为DEC ∠与B ∠是平行线AB 和DE 的同位角, 所以DEC B ∠=∠ 因为等于同角的两个角是相等的，又因为DEC C ∠=∠，DEC B ∠=∠, 所以B C ∠=∠ 习题2.1 B 组（P84）1、由123S =-，234S =-，345S =-，456S =-，567S =-，猜想12n n S n +=-+.2、略.3、略. 2．2直接证明与间接证明 练习（P89）1、因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos 2θθθθθθθ-=+-=，所以，命题得证.2>，只需证22>，即证1313+>+>，只需要22>，即证4240>，这是显然成立的. 所以，命题得证. 3、因为 222222222()()()(2sin )(2tan )16sin tan a b a b a b αααα-=-+==， 又因为 sin (1cos )sin (1cos )1616(tan sin )(tan sin )16cos cos ab αααααααααα+-=+-=⋅22222222sin (1cos )sin sin 161616sin tan cos cos αααααααα-===， 从而222()16a b ab -=，所以，命题成立.说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.练习（P91）1、假设B ∠不是锐角，则90B ∠≥︒. 因此9090180C B ∠+∠≥︒+︒=︒. 这与三角形的角和等于180°矛盾.所以，假设不成立. 从而，B ∠一定是锐角.2成等差数列，则=所以22=，化简得5=225=，即2540=， 这是不可能的. 所以，假设不成立..说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点. 习题2.2 A 组（P91）1、由于0a ≠，因此方程至少有一个跟bx a=.假设方程不止一个根，则至少有两个根，不妨设12,x x 是它的两个不同的根，则 1ax b = ①2ax b = ②①－②得12()0a x x -=因为12x x ≠，所以120x x -≠，从而0a =，这与已知条件矛盾，故假设不成立. 2、因为 (1tan )(1tan )2A B ++=展开得 1tan tan tan tan 2A B A B +++=，即tan tan 1tan tan A B A B +=-. ①假设1tan tan 0A B -=，则cos cos sin sin 0cos cos A B A B A B -=，即cos()0cos cos A B A B += 所以cos()0A B +=.因为A ，B 都是锐角，所以0A B π<+<，从而2A B π+=，与已知矛盾.因此1tan tan 0A B -≠.①式变形得 tan tan 11tan tan A BA B +=-， 即tan()1A B +=.又因为0A B π<+<，所以4A B π+=. 说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明.3、因为 1tan 12tan αα-=+，所以12tan 0α+=，从而2sin cos 0αα+=.另一方面，要证 3sin 24cos2αα=-， 只要证226sin cos 4(cos sin )αααα=-- 即证 222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=， 即证 (2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=由2sin cos 0αα+=可得，(2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=，于是命题得证. 说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.4、因为,,a b c 的倒数成等差数列，所以211b a c=+. 假设2B π<不成立，即2B π≥，则B 是ABC ∆的最大角，所以,b a b c >>（在三角形中，大角对大边）， 从而11112a c b b b+>+=. 这与211b ac =+矛盾.所以，假设不成立，因此，2B π<.习题2.2 B 组（P91）1、要证2s a <，由于22s ab <，所以只需要2s s b<，即证b s <.因为1()2s a b c =++，所以只需要2b a b c <++，即证b a c <+. 由于,,a b c 为一个三角形的三条边，所以上式成立. 于是原命题成立. 2、由已知条件得 2b ac = ① 2x a b =+，2y b c =+ ② 要证2a cx y+=，只要证2ay cx xy +=，只要证224ay cx xy += 由①②，得 22()()2ay cx a b c c a b ab ac bc +=+++=++， 24()()2xy a b b c ab b ac bc ab ac bc =++=+++=++， 所以，224ay cx xy +=，于是命题得证. 3、由 tan()2tan αβα+= 得sin()2sin cos()cos αβααβα+=+，即sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+. ……①要证 3sin sin(2)βαβ=+即证 3sin[()]sin[()]αβααβα+-=++即证 3[sin()cos cos()sin ]sin()cos cos()sin αβααβααβααβα+-+=+++ 化简得sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+，这就是①式.。

课时作业1 变化率问题知识点一函数的平均变化率1.当自变量从x 0变到x 1(x 0<x 1)时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的导数D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 答案 A解析 由平均变化率的定义，可知当自变量从x 0变到x 1(x 0<x 1)时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数在区间[x 0，x 1]上的平均变化率．2．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( ) A ．2Δt ＋4 B ．－2Δt ＋4 C ．2Δt －4 D ．－2Δt －4答案 D解析 Δs Δt ＝4－2(1＋Δt )2－4＋2×12Δt ＝－4Δt －2(Δt )2Δt＝－2Δt －4.3．函数f (x )＝x 2－1在区间[1，m ]上的平均变化率为3，则实数m 的值为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．4答案 B解析 由已知得m 2－1－(12－1)m －1＝3，∴m ＋1＝3，∴m ＝2.知识点二平均变化率的应用4.将半径为R 的铁球加热，若铁球的半径增加ΔR ，则铁球的表面积增加( ) A ．8πR ·ΔR B ．8πR ·ΔR ＋4π(ΔR )2C ．4πR ·ΔR ＋4π(ΔR )2D ．4π(ΔR )2答案 B解析 ΔS ＝4π(R ＋ΔR )2－4πR 2＝8πR ·ΔR ＋4π(ΔR )2.5．已知函数f (x )的图象如图所示，则函数f (x )在[－2,1]上的平均变化率为________；函数f (x )在[－2,3]上的平均变化率为________．答案2345解析 从题图中可以看出f (－2)＝－1，f (1)＝1，f (3)＝3，所以函数f (x )在[－2,1]上的平均变化率为f (1)－f (－2)1－(－2)＝1－(－1)3＝23；函数f (x )在[－2,3]上的平均变化率为f (3)－f (－2)3－(－2)＝3－(－1)5＝45. 6．求函数y ＝x 3从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并计算当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．解 当自变量从x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝(x 0＋Δx )3－x 30Δx ＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2，当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值为3×12＋3×1×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝194.一、选择题1．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44答案 B解析 Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41.2．一个物体做直线运动，位移s (单位：m)与时间t (单位：s)之间的函数关系为s (t )＝5t 2＋mt ，且这一物体在2≤t ≤3这段时间内的平均速度为26 m/s ，则实数m 的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．6答案 B解析 由已知，得s (3)－s (2)3－2＝26，所以(5×32＋3m )－(5×22＋2m )＝26，解得m ＝1，选B.3．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．－2答案 C解析 根据平均变化率的定义，可知Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b )2－1＝a ＝3.故选C.4．若已知函数f (x )＝－x 2＋10的图象上点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，314及邻近点⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx ，314＋Δy ，则Δy Δx ＝( )A ．3B ．－3C ．－3－(Δx )2D ．－Δx －3答案 D解析 ∵Δy ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－3Δx －(Δx )2，∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx .故选D.5．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为( )A.v 1>v 2>v 3B.v 3>v 2>v 1C.v 2>v 1>v 3D.v 2>v 3>v 1 答案 B 解析 v 1＝s (t 1)－s (t 0)t 1－t 0＝k OA ，v 2＝s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1＝k AB ，v 3＝s (t 3)－s (t 2)t 3－t 2＝k BC ，由图象知k OA <k AB <k BC .选B.二、填空题6．质点运动规律s ＝12gt 2，则在时间区间(3,3＋Δt )内的平均速度等于________．(g ＝10 m/s 2)答案 30＋5Δt解析 Δs ＝12g ×(3＋Δt )2－12g ×32＝12×10×[6Δt ＋(Δt )2]＝30Δt ＋5(Δt )2，v －＝ΔsΔt＝30＋5Δt . 7．在奥运会上，牙买加飞人博尔特刷新了百米世界纪录：9.69秒，通过计时器发现前50米用时5.50秒．那么在后50米他的平均速度是________米/秒．(最后结果精确到0.01)答案 11.93解析 Δs ＝100－50＝50，Δt ＝9.69－5.50＝4.19，v －＝ΔsΔt ≈11.93米/秒．8．甲、乙两人的运动路程与时间的函数关系分别为s ＝s 1(t )，s ＝s 2(t )，图象如图，则在时间段[0，t 0]内甲的平均速度________乙的平均速度(填“大于”“小于”或“等于”)．答案 小于解析 由图象知s 1(t 0)＝s 2(t 0)，s 1(0)>s 2(0)，所以s 1(t 0)－s 1(0)t 0<s 2(t 0)－s 2(0)t 0，即v －甲<v －乙． 三、解答题9．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T (t )＝120t ＋5＋15，其中T (t )为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．(1)从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ 解 (1)在t ＝0和t ＝10时，蜥蜴的体温分别为T (0)＝1200＋5＋15＝39，T (10)＝12010＋5＋15＝23，故从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温下降了16 ℃. (2)平均变化率为T (10)－T (0)10＝－1610＝－1.6.它表示从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃.10．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？解 山路从A 到B 高度的平均变化率为h AB ＝Δy Δx ＝10－050－0＝15，山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝Δy Δx ＝20－1070－50＝12，∴h BC >h AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 陡峭．。

人教新课标版（A ）选修1-1 3.1 变化率与导数同步练习题【基础演练】题型一：变化率问题与导数概念一般地，()()1212x x x f x f x f --=△△我们称为平均变化率，如果0x →△时，()()x x f x x f limx flim000x 0x △△△△△△-+=→→存在，称此极限值为函数()x f y =在0x 处的导数，记作()0x f '，请根据以上知识解决以下1~5题。

1. 一质点运动的方程为2t 35s -=，则在一段时间[]t 1,1△+内相应的平均速度为 A. 6t 3+△ B. 6t 3+-△ C. 6t 3-△ D. 6t 3--△2. 将半径为R 的球加热，若球的半径增加△R ，则球的体积增加△y 约等于A.R R 343△πB. R R 42△πC. 2R 4πD. R R 4△π3. 已知函数1x y +=2的图象上一点（1，2）及邻近一点()y 2,x 1△△++，则xy△△等于A. 2B. 2xC. 2+△xD. 2+△2x4. 自变量0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数A. 在区间[]10x ,x 上的平均变化率B. 在0x 处的变化率C. 在1x 处的变化量D. 在区间[]10x ,x 上的导数5.若函数()x f 在a x =处的导数为A ，求()()x2x a f x a f lim 0x △△△△--+→。

题型二：导数的物理意义在物体的运动规律中，如果()t s s =，那么物体的瞬时速度()()tt s t t s limt s limv 0t 0t △△△△△△-+==→→；如果()t v v =，那么物体的加速度()()t t v t t v lim t v lim a 0t 0t △△△△△△-+==→→，请根据以上知识解决以下6~7题。

6. 若一物体运动方程如下：()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≤+=3t 3t 3293t 02t 3s 22 求物体在1t =或3t =时的速度。

课时作业1 变化率与导数一、选择题1．已知函数y ＝3x －x 2在x 0＝2处的增量为Δx ＝0.1，则Δy 的值为( )A ．－0.11B ．1.1C ．3.89D ．0.29 f (2＋0.1)－f (2)＝3×2.1－2.12－6＋4＝－0.11.故应选A.A2．如果某物体作运动方程为s ＝2(1－t 2)的直线运动(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( )A ．－4.8 m/sB ．－0.88 m/sC ．0.88 m/sD ．4.8 m/s物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．故应选A.A3．设函数f (x )可导，则lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx 等于( ) A ．f ′(1) B ．不存在C.13f ′(1) D ．以上都不对 lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx＝13limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝13f′(1)．故应选C.C4．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(x)＝3，则a等于() A．2 B．－2 C．3 D．－3∵f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx＝limΔx→0a(x＋Δx)＋3－(ax＋3)Δx＝a，∴f′(1)＝a＝3. 故应选C.C5．设函数f(x)＝1x，则limx→a f(x)－f(a)x－a等于()A．－1a B.2a C．－1a2 D.1a2lim x→a f(x)－f(a)x－a＝limx→a1x－1ax－a＝limx→a ⎝⎛⎭⎪⎫－1xa＝－1a2.故应选C.C6．函数y ＝－1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线方程是( ) A ．y ＝4x B ．y ＝4x －4C ．y ＝4x ＋4D ．y ＝2x －4∵y ′＝lim Δx →0 －1x ＋Δx ＋1x Δx ＝lim Δx →0Δx x (Δx ＋x )Δx ＝1x 2，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4.∴切线方程是y ＋2＝4⎝⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝4x －4. 故应选B.B7．曲线y ＝x 2在x ＝0处的( )A ．切线斜率为1B ．切线方程为y ＝2xC ．没有切线D ．切线方程为y ＝0∵f ′(0)＝lim Δx →0 f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2Δx ＝lim Δx →0Δx ＝0， ∴过点(0,0)的切线方程为：y －0＝0(x －0)，∴y ＝0.故应选D.D8．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为( ) A ．x －y －1＝0 B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝0∵Q (2,1)在抛物线y ＝14x 2上， ∴Q 本身是切点，∴切线斜率k＝f′(2)＝limΔx→014(Δx＋2)2－14×22Δx＝limΔx→014Δx2＋ΔxΔx＝limΔx→0⎝⎛14Δx＋1)＝1.∴切线方程为y－1＝1×(x－2)．故应选A.A二、填空题9．y＝x3－2x＋1在x＝2处的导数是________．f(2＋Δx)＝(2＋Δx)3－2(2＋Δx)＋1＝23＋3·22·Δx＋3·2·Δx2＋Δx3－4－2Δx＋1.∴f(2＋Δx)－f(2)＝8＋12Δx＋6·Δx2＋Δx3－2·Δx－3－(8－4＋1)＝Δx3＋6Δx2＋10Δx.∴lim Δx→0f(2＋Δx)－f(2)Δx＝limΔx→0(Δx2＋6Δx＋10)＝10.1010．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于________．lim Δx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝lim Δx →0a (1＋Δx )＋4－(a ＋4)Δx ＝lim Δx →0a ＝2.∴a ＝2.211．已知P (1,2)为函数f (x )＝1＋x 3图象上一点，以P 点为切点的切线的斜率为________．由定义可知f ′(1)＝3，所以切线斜率为3.312．曲线y ＝x 3－4x 在点(1,3)处的切线倾斜角为________．由导数定义知，k ＝－1，tan α＝－1，α＝34π. 34π 三、解答题13．求函数y ＝4x 2在x ＝2处的导数． ∵Δy ＝4(Δx ＋2)2－422 ＝4(Δx ＋2)2－1＝－(Δx )2＋4Δx (Δx ＋2)2， ∴Δy Δx ＝－Δx ＋4(Δx ＋2)2， ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝－lim Δx →0Δx ＋4(Δx ＋2)2＝－1.14．求曲线y ＝x 2＋1过点P (1,2)的切线方程．(1,2)在曲线上，过点P (1,2)的切线的斜率为f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0(1＋Δx )2＋1－(12＋1)Δx ＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2.由直线方程的点斜式，得切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .15．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切．(1)求a 的值；(2)求切点的坐标．(1)设直线l 与曲线C 相切于P (x 0，y 0)点，∵f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝ lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx＝3x 2－4x ，由题意可知，k ＝4，即3x 20－4x 0＝4，解得x 0＝－23或x 0＝2， ∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2,3)． 当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ，即a ＝12127. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，即a ＝－5.∴所求的a 的值为：(1)a ＝12127，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927； (2)a ＝－5，切点为(2,3)．16．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线的方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？(1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，∴切点为P (1,1)．∵y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )3－x 3Δx ＝lim Δx →03x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx ＝lim Δx →0[3x 2＋3xΔx ＋(Δx )2]＝3x 2，∴y ′|x ＝1＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎨⎧ y ＝3(x －1)＋1，y ＝x 3，可得(x －1)(x 2＋x －2)＝0，解得x1＝1，x2＝－2.从而求得公共点为P(1,1)或P(－2，－8)．说明切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的点．。

第2章 §1 变化的快慢与变化率A 级 基础巩固一、选择题1.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率等于( B )A ．1B ．－1C ．2D ．－2[解析] 平均变化率为1－33－1＝－1. 2．已知函数f (x )＝－x 2＋x ，则f (x )从－1到－0.9的平均变化率为( D )A ．3B ．0.29C ．2.09D ．2.9 [解析] f (－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2.f (－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71.∴平均变化率为f (－0.9)－f (－1)－0.9－(－1)＝－1.71－(－2)0.1＝2.9，故应选D. 3．一运动物体的运动路程S (x )与时间x 的函数关系为S (x )＝－x 2＋2x ，则S (x )从2到2＋Δx 的平均速度为( B )A ．2－ΔxB ．－2－ΔxC ．2＋ΔxD ．(Δx )2－2·Δx [解析] ∵S (2)＝－22＋2×2＝0，∴S (2＋Δx )＝－(2＋Δx )2＋2(2＋Δx )＝－2Δx －(Δx )2，∴S (2＋Δx )－S (2)2＋Δx －2＝－2－Δx ，故应选B. 4．(2019·长春期末)对于函数y ＝1x，当Δx ＝2.018时，Δy 的值是( D ) A ．2018B ．－2018C ．0D ．不能确定[解析] ∵函数y ＝1x， ∴Δy ＝1x ＋Δx －1x ＝－Δx x (x ＋Δx )∵Δx ＝2.018，∴Δy ＝－2.018x (x ＋2.018)，不确定．故选D.5．函数y ＝f (x )＝x 2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为k 1，在区间[x 0－Δx ，x 0]上的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( A )A ．k 1＞k 2B ．k 1＜k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定[解析] k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ， k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx . 由题意知：Δx >0，∴k 1>k 2，选A.二、填空题6．物体做匀速运动，其运动方程是s ＝v t ，则该物体在运动过程中的平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是相等．[解析] 物体做匀速运动，所以任何时刻的瞬时速度都是一样的．7．若物体运动方程为s (t )＝－2t 2＋t ，则其初速度为1_.[解析] 物体的初速度即t ＝0时的瞬时速度，Δs Δt ＝[－2(0＋Δt )2＋(0＋Δt )]－0Δt＝－2Δt ＋1，当Δt 趋于0时，Δs Δt趋于1，即初速度为1. 8．在自行车比赛中，运动员的位移s 与比赛时间t 存在函数关系s ＝10t ＋5t 2(s 单位：m ，t 单位：s)，则t ＝20 s 时的瞬时速率为210_m/s__.[解析] 由导数的定义知在t ＝20 s 时的瞬时速度为v ＝Δs Δt ＝10(t ＋Δt )＋5(t ＋Δt )2－10t －5t 2Δt＝10＋10t ＋5Δt .当Δt 趋于0时，v 趋于10＋10 t ，则v ＝10×20＋10＝210.三、解答题9．求函数y ＝f (x )＝1x在区间[1,1＋Δx ]内的平均变化率． [解析] ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －1 ＝1－1＋Δx 1＋Δx＝1－1－Δx (1＋1＋Δx )1＋Δx＝－Δx (1＋1＋Δx )1＋Δx .∴Δy Δx ＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx10．已知质点M 按规律s ＝3t 2＋2做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)．(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时，求Δs Δt ； (2)求质点M 在t ＝2时的瞬时速度．[解析] Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt＝3(t ＋Δt )2＋2－(3t 2＋2)Δt＝6t ＋3Δt .(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时，Δs Δt＝6×2＋3×0.01＝12.03cm/s. (2)当Δt 趋于0时，6t ＋3Δt 趋于6t ，∴质点M 在t ＝2时的瞬时速度为12cm/s.B 级 素养提升一、选择题1．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3、④y ＝1x中，平均变化率最大的是( B )A ．④B ．③C ．②D ．①[解析] Δx ＝0.3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx ＝2.3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2＝3.99；④y ＝1x 在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx＝－1013.∴k 3＞k 2＞k 1＞k 4，故应选B. 2．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图像如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为( C )A ．v 2＝v 3<v 1B ．v 1<v 2＝v 3C ．v 1<v 2<v 3D ．v 2<v 3<v 1[解析] ∵v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ，由图像易知k OA <k AB <k BC ，∴v 1<v 2<v 3，故选C.二、填空题3．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为：s ＝18t 2，则t ＝2时，此木块的瞬时速度为12. [解析] Δs Δt ＝18(t ＋Δt )2－18t 2Δt ＝14t ＋18Δt . 当t ＝2，且Δt 趋于0时，Δs Δt 趋于12. 4．过曲线f (x )＝2x 2的图像上两点A (1,2)，B (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线AB ，当Δx ＝14时割线的斜率为－7225. [解析] 割线AB 的斜率k ＝(2＋Δy )－2(1＋Δx )－1＝Δy Δx ＝2(1＋Δx )2－2Δx ＝－2(Δx ＋2)(1＋Δx )2＝－7225. 三、解答题5．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T (t )＝120t ＋5＋15，其中T (t )为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．(1)从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？[解析] (1)在t ＝0和t ＝10时，蜥蜴的体温分别为T (0)＝1200＋5＋15＝39，T (10)＝12010＋5＋15＝23，故从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温下降了16℃.(2)平均变化率为T (10)－T (0)10＝－1610＝－1.6. 它表示从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6℃.6．若函数y ＝f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的取值范围．[解析] ∵函数y ＝f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均率为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx ＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx＝－3－Δx ， ∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2.又∵Δx >0，∴Δx >0，即Δx 的取值范围是(0，＋∞)．C 级 能力拔高质点M 按规律s (t )＝at 2＋1作直线运动(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)．问是否存在常数a ，使质点M 在t ＝2时的瞬时速度为8 m/s?[解析] 假设存在常数a ，则Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ×22－1＝4a ＋4aΔt ＋a (Δt )2＋1－4a －1＝4aΔt ＋a (Δt )2，所以Δs Δt ＝4aΔt ＋a (Δt )2Δt＝4a ＋aΔt . 当Δt 趋于0时，4a ＋aΔt 趋于4a,4a ＝8，解得a ＝2.所以存在常数a ＝2，使质点M 在t ＝2时的瞬时速度为8m/s.由Ruize收集整理。

班级：高二（ ）班 姓名：
第三章 《变化率与导数》 课后练习
1.质点运动规律 ，则在时间 中，相应的平均速度是
2.运动物体的位移 ，则此物体在 时的瞬时速度为
3.曲线 在点 处的瞬时变化率等于
4.已知等于
5.函数 的导数为
6.已知函数 ，则
7.已知 ，则 为
8.已知函数 ，则
9.曲线 在点 处的切线方程为
10.曲线 在 处的切线方程为
11.过原点作曲线 的切线，则切点坐标为
12.已知 ，则
13.求下列函数的导函数
（5）3sin 1
42π
++=x x y （6）x y x ++=22π
（7）52log 32-+=x e x y （8）3221)12(x n x y +++=
14.已知函数 在 处的切线l 与直线 垂直
(1)求实数a 的值； (2)求切线l 的方程
15.已知函数
(1)求曲线 在点（0，0）处的切线方程
(2)过点 作曲线 的切线，求此切线的方程。

人教A 版选修2-2 变化率与导数 课时作业1.已知()f x 为可导函数，且)4(2f '=，则02()l )i (2mh f h f h h→--+=A ．8B ．8-C ．4D ．4-【答案】B2.如图所示，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+，则(5)(5)f f +'=A ．12B ．1C ．2D ．0【答案】C【解析】易知(5)583f =-+=．由导数的几何意义知(5)1f '=-．故(5)(5)312f f +'=-=．故选C ．3.已知函数2()21f x x =-的图象上一点(1,1)及邻近一点(1,1)x y +∆+∆，则yx∆∆等于 A ．4B ．42x +∆C ．4x +∆D ．24()x x ∆+∆【答案】B【解析】因为2()21f x x =-，所以22(1)2(1)12()41f x x x x +∆=+∆-=∆+∆+，(1)1f =，则2(1)(1)(1)(1)2()4114211y f x f f x f x x x x x x x∆+∆-+∆-∆+∆+-====+∆∆+∆-∆∆，故选B ．4.已知曲线2()y f x x ==在点P 处的切线斜率为k ，则当2k =时，点P 的坐标为 A ．(2,8)-- B ．(1,1)-- C ．(1,1)D ．11(,)28--【答案】C二、填空题：请将答案填在题中横线上．5.已知函数()21f x x =+，则()f x 在区间[0,2]上的平均变化率为________________． 【答案】2【解析】由平均变化率的定义得(2)(0)512202f f --==-．6.若函数()f x 在点00(,)x y 处的切线方程为21y x =+，则000))lim((x f x f x x x∆→--∆=∆________________．【答案】2【解析】由题意可得0000(())lim ()2x f x f x x f x x ∆→--'∆==∆．7.设函数()f x 满足0(1)(1)lim1x f f x x→-+=-，则(1)f '=________________． 【答案】1【解析】由题意可得0(1)(1)(1)lim1x f x f f x→+-'==．8.曲线2()f x x=在点(2,1)--处的切线方程为________________． 【答案】240x y ++=三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知21()2s t gt =，其中g ＝10m/s 2． （1）求t 从3秒到3.1秒的平均速度； （2）求t 从3秒到3.01秒的平均速度； （3）求t ＝3秒时的瞬时速度．【答案】（1）30.5(m /s)；（2）30.05(m /s)；（3）30(m /s)． 【解析】（1） 3.130.1(s)t ∆=-=，2211(3.1)(3) 3.13 3.05(m)22s s s g g ∆=-=⋅⋅-⋅⋅=， 则1 3.0530.5(m /s)0.1s v t ∆===∆． （2） 3.0130.01(s)t ∆=-=，2211(3.01)(3) 3.0130.3005(m)22s s s g g ∆=-=⋅⋅-⋅⋅=， 则20.300530.05(m /s)0.01s v t ∆===∆． （3）由瞬时速度的定义，可知222111(3)(3)(3)33()222s s t s g t g g t g t ∆=+∆-=+∆-⋅=∆+∆， 132s g g t t ∆=+⋅∆∆，则0lim 330(m /s)t sv g t ∆→∆===∆瞬时．12．设函数1()(,)f x ax a b x b=+∈+Z ，曲线()y f x =在点(2,)(2)f 处的切线方程为3y =． （1）求函数()f x 在0x x =处的导数； （2）求函数()f x 的解析式；（3）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 【答案】（1）201()a x b -+；（2）1()1f x x x =+-；（3）证明见解析．由0201()1(1)f x x '=--知，过此点的切线方程为20020011[1]()1(1)x x y x x x x -+-=----． 令1x =得0011x y x +=-，则切线与直线1x =的交点为001(1,)1x x +-． 令x y =得021y x =-，则切线与直线y x =的交点为0021,1(2)x x --． 又直线1x =与直线y x =的交点为(1,1)，从而所围三角形的面积为000001112|1||211|2222121x x |||x |x x +-⋅--=⋅-=--． 所以，所围成的三角形的面积为定值2．。

课时训练1 变化率与导数1.函数f (x )=x 2-1在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率为( ).A.2x 0-1B.2x 0+ΔxC.2x 0Δx+(Δx )2D.(Δx )2-Δx+1 解析:220000(Δ)-()(Δ)11ΔΔΔΔf x x f x x x x y x x x++--+===2x 0+Δx. 答案:B2.已知f (x )=x 3-5,则f'(0)=( ).A.-1B.1C.12D.0 解析:f'(0)=3Δ0Δ0Δ0Δ0Δ(0Δ)-(0)(Δ)lim lim lim lim ΔΔΔx x x x y f x f x x xx →→→→+===(Δx )2=0.答案:D3.若曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程是2x-y+3=0,则f'(x 0)的值为( ).A.2B.-2C.12D.-12解析:依题意曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线的斜率等于2,亦即f'(x 0)=2.答案:A4.已知f (x )=2x ,且f'(m )=-12,则m 的值等于( ). A.-4B.2C.-2D.±2 解析:f'(x )=Δ0(Δ)-()lim Δx f x x f x x →+=-22x ,于是有-22m =-12,m 2=4,解得m=±2. 答案:D5.(2011山东高考,文4)曲线y=x 3+11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ).A.-9B.-3C.9D.15解析:由已知得切线的斜率k=y'|x=1=3,∴切线方程为y-12=3(x-1),即3x-y+9=0.令x=0,得y=9,∴切线与y 轴交点的纵坐标为9.答案:C6.若曲线y=x 2+ax+b 在点(0,b )处的切线方程是x-y+1=0,则( ).A .a=1,b=1B .a=-1,b=1C .a=1,b=-1D .a=-1,b=-1 解析:∵点(0,b )在直线x-y+1=0上,∴b=1.又y'=22Δ0(Δ)a(x Δ)1ax 1lim Δx x x x x x→++++---=2x+a ,∴过点(0,b )的切线的斜率为y'|x=0=a=1.答案:A7.如图,函数f (x )的图象是折线段ABC ,其中A ,B ,C 的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f (f (0))= ;Δ0(1Δ)-(1)lim Δx f x f x→+= .(用数字作答)解析:由A (0,4),B (2,0)可得线段AB 所在直线的方程为f (x )=-2x+4(0≤x ≤2).同理BC 所在直线的方程为f (x )=x-2(2<x ≤6).所以f (x )=24,02,2,26,x x x x -+≤≤⎧⎨-<≤⎩所以f (0)=4,f (4)=2.Δ0(1Δ)-(1)lim Δx f x f x →+=f'(1)=-2. 答案:2 -28.已知函数y=f (x )的图象在点M (1,f (1))处的切线方程是y=12x+2,则f (1)+f'(1)= . 解析:由导数几何意义知f'(1)=k=12,又f (1)=12×1+2=52,于是f (1)+f'(1)=5122+=3. 答案:39.求函数f (x )=x+2x在x=1处的导数. 解:f'(1)=Δ0Δ0Δ0Δ0Δ021Δ3Δ(1Δ)-(1)Δ23Δ11Δlim lim lim lim lim ΔΔΔ1Δ1Δx x x x x x y f x f x x x x xxx x →→→→→++-++--+====++=-1. 即f (x )在x=1处的导数f'(1)=-1.10.过点P (-1,0)作抛物线y=x 2+x+1的切线,求切线方程.解:∵f (x )=x 2+x+1,设抛物线上一点M (x 1,y 1),则该点处的切线斜率k=f'(x 1)=11Δ0(Δ)-()lim Δx f x x f x x→+=2x 1+1,于是过点(x 1,y 1)的切线方程是y-y 1=(2x 1+1)(x-x 1).又∵y 1=f (x 1)=21x +x 1+1,①且点(-1,0)在切线上,∴-y 1=(-1-x 1)(2x 1+1).②由①②联立方程组,可解得x 1=0或x 1=-2,于是y 1=1或y 1=3,即切点为(0,1)或(-2,3).过(0,1)的切线方程为y-1=x ,即x-y+1=0;过点(-2,3)的切线方程为y-3=-3(x+2),即3x+y+3=0.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第二章 变化率与导数 同步练习(二)1. 曲线y =x 3－3x 2+1在点（1，－1）处的切线方程为（ ）A ．y =3x －4B ．y =－3x +2C ．y =－4x +3D ．y =4x －52. 函数)1()1(2+-=x x y 在2=x 处的导数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 83. 如图，已知质点P 在半径为cm 2的圆上做匀角速度运动（逆时针），角速度s rad /1=ω，设)0,2(A 为起点，则在时刻)(3s t π=时，点P 在x 轴上的摄影点M 的速度是（ ）A. s cm /1-B. s cm /1xOPMC. s cm /3-D. s cm /34. 已知函数x x x f +-=2)(的图像上一点（-1，-2）及邻近一点（)2,1f x ∆+-∆+-则=∆∆xf（ ） A ．3 B. 2)(3x x ∆-∆ C. 2)(3x ∆- D.x ∆-35. 汽车在笔直公路上行驶，如果)(t v 表示时刻t 的速度，则)(0t v '的意义是（ ）A. 表示当0t t =时汽车的加速度B. 表示当0t t =时汽车的瞬时速度C. 表示当0t t =时汽车的路程变化率D. 表示当0t t =时汽车与起点的距离6. 若曲线12-=x y 与31x y -=在0x x =处的切线互相垂直，则0x 的值为A ．32B. 361C. 361- D. 32-或07. 如图，当点)4,3,2,1())(,(=j x f x P j j j 沿着曲线)(x f y =趋近于点))(,(000x f x P y时，函数)(x f 从点j P 到点0P 的平均变化率的大小关系是（ ）Ａ．40201030P P P P P P P P k k k k <<< Ｂ．40302010P P P P P P P P k k k k ===Ｃ．30102040P P P P P P P P k k k k <<< Ｄ．40302010P P P P P P P P k k k k <<<8. 已知命题)(:x f p 的导函数是常数函数，且命题p 是q 的必要不充分条件，则q 不可能是（ ）A. 3)(=x fB. 2)(x x f =C. x x f 2)(=D. x x f +=3)(9. 函数2cos 2sin xxx y -=的导数为（ ） A.4)cos 2(sin 2x x x x -- B.4)sin 2(cos 2x x x x --C. 42)cos 2(sin 2)sin 2(cos x x x x x x x --- D. 42)cos 2(sin 2)sin 2(cos xx x x x x x --+10. 函数n m mx x f +=2)(的导数为34)(x x f ='，则_________=+m n 。