三校北京市2018-2019年高三第一次模拟考试数学(理)试题含答案

61北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学（理）2019. 3本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答 无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.A . {x|x 2}B . {x|1 x 2}C . {x|1 x 2}A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限1.已知集合A {x | x 21}，集合 B {x |x 4}, 则AI B 2. 在复平面内，复数1 2i i对应的点位于3. （丄x ）4的展开式中的常数项为 x A . 12 C . 6D . 124. 若函数f（X ）2x , x log 2x, x "则函数1,f （x ）的值域是A . ( ,2)B . ( ,2] C. [0,) ,0) U (0,2)如图，函数f （x ）的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则 以是 A . f(x) si n(2x -) 3 B.f(x) sin(4x ) 6 C . f(x) cos(2x ) 3D. f(x) cos(4x )f （x ）的解析式可y 0,6.记不等式组y X 3,所表示的平面区域为 D •“点（1,1） D ”是“ k 1”的y kxA .充分而不必要条件B •必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件7•某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为C .P |□1正（主）视图侧（左）视图/ Hm&某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是 14, 10 , &若这三天中至少有天开车上班的职工人数是 20，则这三天都开车上班的职工人数至多是C . 7第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分•把答案填在答题卡上29.双曲线中y 2 1的右焦点到其一条渐近线的距离是10•执行如图所示的程序框图，则输出的11.在极坐标系中，直线 cos 1与圆1）,则该三棱锥的体积为12.能说明“函数f(X )的图象在区间0,2上是一条连续不断的曲线•若f(0) f(2) 0,则f (X)在(0,2)内无零点”为假命题的一个函数是 _______________ . 13.天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所.天坛公园中的圜丘台共有三层 (如 图1所示)，上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石(如图2所示).上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环； 第一环的扇面形石有 9块，从第二环起，每环的扇面形石 块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是 ________________ ;上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是 ________ .6小题，共80分•解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)在厶ABC 中，a . 21 , A 120 , △ ABC 的面积等于.3，且b C .(I)求b 的值； (n)求cos2B 的值.16. (本小题满分13分)uur uuuu uuu iur14 •在平面内，点A 是定点，动点B,C 满足| AB| | AC| 1 , AB AC0 ,则集合uuu uui uuu{ P|AP = AB + AC,12｝所表示的区域的面积是 ________三、解答题：本大题共 图1 图2某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间(指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟).将统计数据按[5,10),[10,15),[15,20), L ,[35,40]分组，制成频率分布直方图：(I)在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为A ;从乙站的乘客中随机抽取1人，记为B •用频率估计概率，求“乘客A ,B乘车等待时间都小于20分钟”的概率；(n)从上班高峰时段，从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，X表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量X的分布列与数学期望17. (本小题满分14分)女口图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF 平面ABCD •四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD//BC , BAD 90 , AB AD 1 , BC 3.(I)求证：AF CD ;(n)求直线BF与平面CDE所成角的正弦值；(川)线段BD上是否存在点M ,使得直线CE//平面AFM ?若存在，求型的值；若不存在，请说明理由.BD18. (本小题满分13分)已知函数f(x) ■ln(ax^ (a R 且 a 0).x(I)当a 1时，求曲线y f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(n)当a 1 时，求证：f (x) x 1 ；(川)讨论函数f(x)的极值.19. (本小题满分14分)2已知点M(x o,y o)为椭圆C:— y21上任意一点，直线I：2 2y°y 2与圆假设乘客乘车等待时间相互独立.2 2(x 1) y 6交于A,B两点，点F为椭圆C的左焦点.(I)求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标；(H)求证：直线I与椭圆C相切；(川)判断AFB是否为定值，并说明理由.20. (本小题满分13分)在无穷数列｛a*｝中，a1,a2是给定的正整数，a n 2 |a n 1 a n , n(I)若a1 3,a2 1，写出a9,a10,a100的值；(n)证明：数列｛a n｝中存在值为0的项；(川)证明：若砂卫2互质，则数列｛a n｝中必有无穷多项为1 .北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学（理）答案2019. 3、填空题：（本题满分30 分）15. （本小题满分13分）1 —S= — bcsin A=S /3,解：（I ）由已知得2（「21）2=b 2 c 2 2bccos120.bc=4,.2 2b c =17.16. （本小题满分13分）整理得解得b =1,或 b =4,c=4, c=1.因为b c ,所以b 1..8 分（n ）由正弦定理a sin Ab sin B即 sinB3 _、21 14所以 cos2B=1 2sin 2B13 14.1分解：（I）设M表示事件"乘客A乘车等待时间小于20分钟”，N表示事件"乘客B乘车等待时间小于20分钟”，C表示事件“乘客A,B乘车等待时间都小于20分钟”.故随机变量X 的分布列为EX 3 2 - (13)5 517. (本小题满分14分)解：(I)证明：因为 ADEF 为正方形， 所以AF AD .又因为平面ADEF 平面ABCD , 且平面ADEF I 平面ABCD AD , 所以AF 平面ABCD . 所以AF CD .由题意知，乘客 A 乘车等待时间小于 20分钟的频率为 (0.012 0.040 0.048) 50.5，故 P(M)的估计值为 0.5.乘客B 乘车等待时间小于 20分钟的频率为(0.016 0.028 0.036) 5 0.4，故 P(N)的估计值为 0.4 .又 P(C) P(MN) P(M) P(N) - 2 =-.2 5 51 故事件C 的概率为—.................... ............................................5(n)由(I)可知，乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为0.4 ,.6 分所以乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为-.5显然,X 的可能取值为0,1,2,3且X~B(3,2).5所以 P(X 0) C 0(3)3 工；P(X 1) C 32 (f)25 125 5 554 125 ；P(X 2) C ；(|)2 35 536 125;P(X 3) C 泊358125（n）由（I）可知，AF 平面ABCD，所以AF AD , AF AB .因为BAD 90，所以AB, AD,AF两两垂直.分别以AB, AD, AF为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）因为AB AD 1，BC 3，所以A(0,0,0), B(1,0,0),C(1,3,0), D(0,1,0), E(0,1,1),F(0,0,1)，uuu uuir umr所以BF ( 1,0,1), DC (1,2,0), DE (0,0,1).…器(01]),设M 心％,乙，则x 1, %,乙(1,1,0),所以X1 1 , y1 ,Z1 0，所以M 1 , ,0 ,uuju所以AM 1 , ,0 •uuuu 、—十“人、丄亠曰, m AM 0设平面AFM的一个法向量为m (XhyoH)，贝U uuum AF 0.uuu 因为AF0,0,1，所以(1 Z 0)X) 0.y 。

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集为实数集，集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】根据题中条件可求得，所以，故选C.2.复数满足,则在复平面内复数所对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】由得,在复平面内对应的点为,在第一象限,故选.3.直线的参数方程为（为参数），则直线的倾斜角大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将直线的参数方程化成普通方程可得，所以直线的斜率，从而得到其倾斜角为，故选C.4.已知,为非零向量，则“”是“与夹角为锐角”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据向量数量积的定义式可知，若，则与夹角为锐角或零角，若与夹角为锐角，则一定有，所以“”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.5.某单位安排甲、乙、丙、丁名工作人员从周一到周五值班,每天有且只有人值班每人至少安排一天且甲连续两天值班,则不同的安排方法种数为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】甲连续天上班,共有（周一，周二）,（周二,周三）,（周三,周四）,（周四,周五）四种情况,剩下三个人进行全排列,有种排法因此共有种排法,故选.6.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于( )A. B. C. D.【答案】D【解析】在长方体中抠点,1.由正视图可知:上没有点;2.由侧视图可知:上没有点;3.由俯视图可知:上没有点;4.由正（俯）视图可知:处有点,由虚线可知处有点,点排除.由上述可还原出四棱锥,如右图所示,,,故选.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响7.庙会是我国古老的传统民俗文化活动,又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动,如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋,如果有奖品,则“中奖”）.今年春节期间,某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会,每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前,甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测,预测结果如下:甲说:“我或乙能中奖”；乙说:“丁能中奖”；丙说:“我或乙能中奖”；丁说:“甲不能中奖”.游戏结束后,这四位同学中只有一位同学中奖,且只有一位同学的预测结果是正确的,则中奖的同学是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】A【解析】由四人的预测可得下表:1.若甲中奖,仅有甲预测正确,符合题意;2.若乙中奖,甲、丙、丁预测正确,不符合题意;3.若丙中奖,丙、丁预测正确,不符合题意;4.若丁中奖,乙、丁预测正确,不符合题意;故只有当甲中奖时,仅有甲一人预测正确,选.8.在平面直角坐标系中,已知点,,动点满足,其中,则所有点构成的图形面积为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】设,则,,,所有点构成图形如图所示（阴影部分）,,故选.【方法点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及线性规划的应用及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，把向量问题转化为线性规划问题解答是解题的关键.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为________．【答案】【解析】第四次时,,所以输出.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10.若三个点中恰有两个点在双曲线上,则双曲线的渐近线方程为__________．【答案】【解析】由于双曲线关于原点对称,故在双曲线上,代入方程解得,又因为,所以渐近线方程为.11.函数（）的部分图象如图所示，则__________；函数在区间上的零点为_________．【答案】(1). 2(2).【解析】从图中可以发现，相邻的两个最高点和最低点的横坐标分别为，从而求得函数的周期为，根据可求得，在结合题中的条件可以求得函数的解析式为，令，解得，结合所给的区间，整理得出.方法点睛：该题属于利用所给的函数图像，抓住其中的关键点，确定出函数的解析式，利用最高点和最低点的纵坐标求得A，利用相邻的两个最高点和最低点的横坐标的差求得其周期，从而求得的值，再利用最高点求得，最后确定出函数的解析式，最后利用函数的性质，求得其满足条件的零点.12.已知点若点是圆上的动点,则面积的最小值为__________．【答案】【解析】将圆化简成标准方程,圆心,半径,因为,所以,要求面积最小值,即要使圆上的动点到直线的距离最小,而圆心到直线的距离为,所以的最小值为,故答案为 . 13.等比数列满足如下条件:①②数列的前项和.试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式__________．【答案】【解析】例如,则，故答案为.14.已知，函数当时，函数的最大值是_____；若函数的图象上有且只有两对点关于轴对称，则的取值范围是______．【答案】(1). (2).【解析】当时，，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，而当时，，此时，分母取最小值，分子取最大值，从而得到该式子取得最大值，故最大值为；函数的图像上有且仅有两对点关于轴对称，等价于作轴左边的图像关于轴的对称图形，与轴右侧的图像有两个不同的交点，即方程有两个正根，即函数有两个零点，利用导数研究函数图像的走向，从而确定出所求的参数的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.在中，已知，，（Ⅰ）若ac=5，求的面积；（Ⅱ）若为锐角，求的值．【答案】（Ⅰ）2;（Ⅱ）．【解析】试题分析：第一问该题是有关解三角形问题，第一问根据题中的条件，结合同角正余弦平方和等于，从而求得，利用正弦定理，结合题中的条件，求得，利用三角形的面积公式求得结果；第二问由第一问中的结果，结合题中的条件为锐角，利用同角正余弦平方和等于，可得，最后根据三角形内角和为，利用诱导公式转化，利用和角公式求得结果.（Ⅰ）由，得，因为，所以.因为，所以．故的面积．（Ⅱ）因为，且为锐角，所以.所以．方法点睛：该题考查的是有关解三角形问题，在解题的过程中，一定要抓住题的条件，死咬同角的正余弦平方和等于1，以及灵活应用正弦定理，熟练应用诱导公式以及正弦和角公式，从而能够正确得出结果. 16.如图,在矩形中,,为的中点,为的中点.将沿折起到,使得平面平面（如图）.图1 图2（Ⅰ）求证:；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据等腰三角形的性质可得,由平面平面可得平面,从而可得；（Ⅱ）取中点为,连结，由矩形性质,,可知，由（Ⅰ）可知,，以为原点,为轴,为轴,为轴建立坐标系，求出平面的一个法向量及直线的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果；（Ⅲ）假设在线段上存在点,满足平面，设，利用直线与平面的法向量垂直，数量积为零，列方程求解即可..试题解析：（Ⅰ）如图,在矩形中, ,为中点,,为的中点,由题意可知,, 平面平面图1 图2平面平面,平面，平面，平面,，（Ⅱ）取中点为,连结，由矩形性质,,可知，由（Ⅰ）可知,，以为原点,为轴,为轴,为轴建立坐标系，在中,由,则,所以,,设平面的一个法向量为，则,令,则，所以，设直线与平面所成角为，，所以直线与平面所成角的正弦值为. （Ⅲ）假设在线段上存在点,满足平面设，由,,所以，,，若平面,则，所以,解得，所以.【方法点晴】本题主要考查面面垂直的性质以及利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 17.某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率；（Ⅲ）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，设随机变量求的分布列及数学期望．【答案】（Ⅰ）140人．（Ⅱ）．（Ⅲ）见解析.【解析】试题分析：第一问根据题中所给的统计表，可以得出选考方案确定的有18人，这18人中，选考生物的有10人，所占比例是，在这30人中，选考方案确定的人所占比例是，该校高一年级共420人，所以可以得出学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有人；第二问从表中可以得出所选男生选考方案含有历史学科的概率为，所选女生选考方案含有历史学科的概率为，根据相互独立事件同时发生的概率公式求得结果；第三问根据统计表写出所选的两名男生所选的科目，找出对应的的取值为，分析取每个值时对应的概率，从而得出分布列，利用离散型随机变量的分布列的期望公式求得结果. （Ⅰ）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有4人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有6人，该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有人．（Ⅱ）由数据可知，选考方案确定的8位男生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为；选考方案确定的10位女生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为．所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为．（Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有4人选择物理、化学和生物；有2人选择物理、化学和历史；有1人选择物理、化学和地理；有1人选择物理、化学和政治．由已知得的取值为．，，或.所以的分布列为所以．18.已知函数.（Ⅰ）当时,（i）求曲线在点处的切线方程;（ii）求函数的单调区间；（Ⅱ）若,求证:.【答案】（Ⅰ）（i），（ii）递增区间是,递减区间是；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）（i）求出,求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（ii）分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）先利用导数证明,则，再利用二次函数的性质证明，则，从而可得结论.试题解析：（Ⅰ）当时,,定义域为（i）所以切点坐标为,切线斜率为所以切线方程为（ii）令,所以在上单调递减,且所以当时,即所以当时,即综上所述,的单调递增区间是,单调递减区间是. (Ⅱ)方法一:,即设设所以在小于零恒成立即在上单调递减因为所以,所以在上必存在一个使得即所以当时,,单调递增当时,,单调递减所以因为所以令得因为,所以,因为,所以恒成立即恒成立综上所述,当时,方法二:定义域为了证明,即只需证明,即令则令,得令,得所以在上单调递增,在上单调递减所以即,则令因为,所以所以恒成立即所以综上所述,即当时,.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与极值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.19.已知椭圆的离心率为,且过点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点,直线过坐标原点且与直线的斜率互为相反数.若直线与椭圆交于两点且均不与点重合,设直线与轴所成的锐角为,直线与轴所成的锐角为,判断与的大小关系并加以证明.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率为,且过点，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、、，即可得椭圆的方程；（Ⅱ）与的大小关系只需看两直线斜率之间的关系，设设，联立,消去得,利用斜率公式以及韦达定理，化简可得，直线的倾斜角互补,可得.试题解析：（Ⅰ）由题可得,解得.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）结论:,理由如下:由题知直线斜率存在,设.联立,消去得,由题易知恒成立,由韦达定理得,因为与斜率相反且过原点,设,,联立消去得,由题易知恒成立,由韦达定理得,因为两点不与重合,所以直线存在斜率,则所以直线的倾斜角互补,所以.20.已知集合是集合的一个含有个元素的子集. （Ⅰ）当时,设（i）写出方程的解；（ii）若方程至少有三组不同的解,写出的所有可能取值.（Ⅱ）证明:对任意一个,存在正整数使得方程至少有三组不同的解.【答案】（Ⅰ）（）,（）；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）（）利用列举法可得方程的解有:；（）列出集合的从小到大个数中相邻两数的差，中间隔一数的两数差，中间相隔二数的两数差，…中间隔一数的两数差,可发现只有出现次,出现次,其余都不超过次,从而可得结果；（Ⅱ）不妨设记,,共个差数，假设不存在满足条件的，根据的取值范围可推出矛盾，假设不成立，从而可得结论.假设不存在满足条件的,则这个数中至多两个、两个、两个、两个、两个、两个,.试题解析：（Ⅰ）（）方程的解有:（）以下规定两数的差均为正,则:列出集合的从小到大个数中相邻两数的差:;中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）:4,5,6,6,5,4;中间相隔二数的两数差:;中间相隔三数的两数差:;中间相隔四数的两数差:;中间相隔五数的两数差:;中间隔一数的两数差:.这个差数中,只有出现次,出现次,其余都不超过次,所以的可能取值有.（Ⅱ）证明:不妨设记,,共个差数.假设不存在满足条件的,则这个数中至多两个、两个、两个、两个、两个、两个,从而又这与矛盾,所以结论成立.。

2018~2019学年度北京市大兴区高三第一次综合练习2019.4数学（文）本试卷共4页，满分150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题 共40分）1、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合，，那么等于{}|0A x x =≤{}2,1,0,1,2B =--A B （A ）（B ） {}0,1,2{}1,2（C ）（D ）{}2,1--{}2,1,0--（2）已知，，，则0.43a =31log 2b =0.21()3c =（A ） （B ） a b c >>a c b>>（C ）（D ）c b a >>c a b >>（3）若满足则的最大值为,x y 20,220,2,x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≤≥2x y -（A ）（B ） 6-4（C ）（D ）68（4）执行如图所示的程序框图，则输出的值为16，则判断框内的条件为S （A ）（B ） 6n >7n ≥（C ）（D ）8n >9n >（5）已知抛物线，直线，则“”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的2:C y x =:1l y kx =+0k ≠（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）已知，，若，则0a >0b >4a b += （A ）有最小值 （B22a b +（C ）有最大值 （D有最大值11a b +（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为（A ）（B ）3（C ）（D （8）有10名选手参加某项诗词比赛，计分规则如下：比赛共有6道题，对于每一道题，10名选手都必须作答，若恰有n 个人答错，则答对的选手该题每人得n 分，答错选手该题不得分．比赛结束后，关于选手得分情况有如下结论：①若选手甲答对6道题，选手乙答对5道题，则甲比乙至少多得1分；②若选手甲和选手乙都答对5道题，则甲和乙得分相同；③若选手甲的总分比其他选手都高，则甲最高可得54分④10名选手的总分不超过150分.其中正确结论的个数是（A ）4 （B ）3（C ）2 （D ）1第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2018年北京市朝阳区高三一模数学（理）考试第I 卷 （选择题共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 已知全集为实数集R ,集合2{|30},{|21}x A x x x B x =-<=>, 则()A B =R I ð （A ）(,0][3,)-∞+∞U （B ）(0,1] （C ）[3,)+∞ （D ）[1,)+∞【答案】C【解析】本题考查集合的运算.集合2{|30}{|(3)0}{|03}A x x x x x x x x =-<=-<=<<, 集合0{|21}{|22}{|0}x x B x x x x =>=>=>. 所以{|0A x x =≤R ð或3}x ≥, 所以(){|3}A B x x =≥R I ð,故选C .2. 复数z 满足(1i)i z +=,则在复平面内复数z 所对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】A【解析】本题考查复数的运算与坐标表示.由(1i)i z +=得i i(1i)1i1i (1i)(1i)2z -+===++-,在复平面内对应的点为11(,)22,在第一象限,故选A .3. 直线l的参数方程为,13x y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数),则l 的倾斜角大小为（A ）π6（B ）π3（C ）2π3（D ）5π6【答案】C【解析】本题考查直线的参数方程及倾斜角.由,13,x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩可以得到直线的方程为1y =.所以直线的斜率为倾斜角为2π3,故选C . 4. 已知,a b 为非零向量,则“0⋅>a b ”是“a 与b 夹角为锐角”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】本题考查平面向量数量积与夹角的关系. ∵,a b 为非零向量∴π0cos ,0,[0,)2⋅>⇔>⇔∈a b a b a b,a b 夹角为锐角π,(0,)2⇔∈a b∵ππ(0,)[0,) 22Ü故选B.5. 某单位安排甲、乙、丙、丁4名工作人员从周一到周五值班,每天有且只有1人值班,每人至少安排一天且甲连续两天值班,则不同的安排方法种数为（A）18（B）24（C）48（D）96【答案】B【解析】本题考查排列组合.甲连续2天上班,共有（周一，周二）,（周二,周三）,（周三,周四）,（周四,周五）四种情况,剩下三个人进行全排列,有336A=种排法因此共有4624⨯=种排法,故选B.6. 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于（A）3 4（B）2 3（C）1 2（D）1 3【答案】D【解析】本题考查三视图还原和锥体体积的计算抠点法:在长方体1111ABCD A B C D -中抠点, 1.由正视图可知:11C D 上没有点; 2.由侧视图可知:11B C 上没有点; 3.由俯视图可知:1CC 上没有点;4.由正（俯）视图可知:,D E 处有点,由虚线可知,B F 处有点,A 点排除. 由上述可还原出四棱锥1A BEDF -,如右图所示,111BEDF S =⨯=四边形,1111133A BEDF V -=⨯⨯=.故选D .7. 庙会是我国古老的传统民俗文化活动,又称“庙市”或 “节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动,如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋,如果有奖品,则“中奖”）.今年春节期间,某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会,每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前,甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测,预测结果如下: 甲说:“我或乙能中奖”; 乙说:“丁能中奖”; 丙说:“我或乙能中奖”;丁说:“甲不能中奖”.游戏结束后,这四位同学中只有一位同学中奖,且只有一位同学的预测结果是正确的,则中奖的同学是 （A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）丁【答案】A【解析】本题考查学生的逻辑推理能力. 由四人的预测可得下表:1. 若甲中奖,仅有甲预测正确,符合题意2. 若乙中奖,甲、丙、丁预测正确,不符合题意3. 若丙中奖,丙、丁预测正确,不符合题意4. 若丁中奖,乙、丁预测正确,不符合题意 故只有当甲中奖时,仅有甲一人预测正确.选A8. 在平面直角坐标系xOy 中,已知点A ,(1,2)B ,动点P 满足OP =u u u rOA OB λμ+u u u r u u u r ,其中,[0,1],[1,2]λμλμ∈+∈,则所有点P 构成的图形面积为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）23【答案】C【解析】本题考查向量坐标运算,线性规划.设(,)P x y ,则(3,2)(,)OP OA OB x y λμλμμ=+=+=u u u r u u u r u u u r32x y λμμ⎧+=⎪∴⎨=⎪⎩ 23()32yy x μλ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩01230()13231()2232y y x y yx ⎧≤≤⎪⎪⎪∴≤-≤⎨⎪⎪≤+-≤⎪⎩020223232(31)43y x y x y ≤≤⎧⎪∴≤-≤⎨⎪≤+-≤⎩ 所有点P 构成图形如图所示（阴影部分）13232S =⨯=故选C第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 的值为9. 执行如图所示的程序框图,若输入5,m =则输出k______.【答案】4【解析】本题考查程序框图.m k初始 5 0 第一次 9 1 第二次 17 2 第三次 33 3 第四次654第四次时,6550>,所以输出4k =10.若三个点(2,1),(2,3),(2,1)---中恰有两个点在双曲线222:1(0)x C y a a -=>上,则双曲线C 的渐近线方程为.【答案】22y x =±【解析】本题考查双曲线图象与渐近线方程.由于双曲线关于原点对称,故(2,1),(2,1)--在双曲线上,代入方程解得2a =,又因为1b =,所以渐近线方程为22y x =±11.函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,0,)2A ωϕ>><的部分图象如图所示,则______;ω=函数()f x 在区间π[,π]3上的零点为______.【答案】72,π12【解析】本题考查三角函数图象与性质由图得πππ()3622T--==,即最小正周期πT =又因为2π||T ω=,且0ω>,解得2ω= 由图得π3x =时,2ππ2π()32k k ϕ+=+∈Z 又因为π||2ϕ<,所以π6ϕ=- ()f x 的零点即π()2sin(2)6f x x =-的图象与x 轴交点的横坐标则π2π,6x k k -=∈Z,解得ππ,122k x k =+∈Z因为π[,π]3x ∈,得到7π12x =所以零点为7π1212.已知点(2,0),(0,2),A B -若点M 是圆22220x y x y +-+=上的动点,则ABM !面积的最小值为.【答案】2【解析】本题考查直线与圆位置关系.将圆22:220M x y x y +-+=化简成标准方程22(1)(1)2x y -++= 圆心(1,1)-,半径2r =因为(2,0),(0,2)A B -,所以||22AB = 要求ABM !面积最小值,即要使圆上的动点M 到直线AB 的距离d 最小而圆心(1,1)-到直线AB 的距离为22 所以min 222222d r =-=-= 所以ABMS !的最小值为min 11||222222AB d ⋅⋅=⨯⨯= 13.等比数列{}n a 满足如下条件:①10;a >②数列{}n a 的前n 项和1n S <.试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式______. 【答案】*1()2n n a n =∈N （答案不唯一） 【解析】本题考查等比数列通项公式和前n 项和.例:①111(1)111220,,11122212n n n a q S -=>===-<-,则12n n a = ②121(1)211330,,11133313n n n a q S -=>===-<-,则1212()333n n n a -=⨯= ③131(1)311440,,11144414n n n a q S -=>===-<-,则1313()444n n n a -=⨯= 14.已知,a ∈R 函数211(1),0π()sin 2,022x x x a x x f x x --+⎧++<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩+当0x >时,函数()f x 的最大值是______;若函数()f x 的图象上有且只有两对点关于y 轴对称,则a 的取值范围是______.【答案】11,(1,)22-【解析】本题考查函数综合应用.(1)当0x >时,11πsin2()22x x xf x --+=+令111111()22222x x x x f x --+--=+=+≥,当11122x x --=,即1x =时取等号 即当1x =时,1min ()2f x =令2π()sin [1,1]2xf x =∈-又因为22max π(1)sin 1()2f f x === 则1max max 2min ()1()()2f x f x f x ==(2)()f x 图象仅有两对点关于y 轴对称即()(0)f x x <的图象关于y 轴对称的函数图象与()(0)f x x >仅有两个交点 当0x <时,2()(1)f x x a =++.设其关于y 轴对称的函数为()g x ∴2()()(1)(0)g x f x x a x =-=-+>∵11πsin2()(0)22x x xf x x --+=>+由（1）可知近似图象如图所示 当()g x 与()f x 仅有两个交点时,112a -<<综上,a 的取值范围是1(1,)2-三、解答题（共6小题,共80分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程） 15.（本小题满分13分）在ABC !中,已知5sin 5A =,2cos b a A =. （Ⅰ）若5ac =,求ABC !的面积; （Ⅱ）若B 为锐角,求sin C 的值.【解析】（Ⅰ）由正弦定理得sin sin a Ab B =,因为2cos b a A =, 所以sin 2sin cos B A A =,cos =02bA a>,因为sin 5A =,所以cos 5A =,所以4sin 2555B =⨯⨯=, 所以114sin 52225ABC S ac B ==⨯⨯=!.（Ⅱ）由（Ⅰ）知4sin 5B =,因为B 为锐角,所以3cos 5B =.所以sin =sin(π)sin()C A B A B --=+sin cos cos sin A B A B =+345555=⨯+⨯=2516.（本小题满分14分）如图1,在矩形ABCD 中,2,4AB BC ==,E 为AD 的中点,O 为BE 的中点.将ABE !沿BE 折起到A BE ',使得平面A BE '⊥平面BCDE （如图2）. （Ⅰ）求证:A O CD '⊥;（Ⅱ）求直线A C '与平面A DE '所成角的正弦值;（Ⅲ）在线段A C '上是否存在点P ,使得//OP 平面A DE '?若存在,求出A PA C''的值;若不存在,请说明理由.【解析】（Ⅰ）如图,在矩形ABCD 中,2,4AB BC ==Q ,E 为AD 中点,2AB AE ∴==,O Q 为BE 的中点,AO BE ∴⊥由题意可知,A O BE '⊥, 平面A BE '⊥平面BCDEQ平面A BE 'I平面BCDE BE =,A O '⊂平面A BE 'A O '∴⊥平面BCDE CD ⊂Q 平面BCDE ,A O CD '∴⊥（Ⅱ）取BC 中点为F ,连结OF由矩形ABCD 性质,2,4AB BC ==,可知OF BE ⊥ 由（Ⅰ）可知,,A O BE A O OF ''⊥⊥以O 为原点,OA '为z 轴,OF 为x 轴,OE 为y 轴建立坐标系 在Rt BAE !中,由2,2AB AE ==,则BE OA ==所以A E F '(0,B C DA C '=u u u u r,ED =u u u r,A E '=u u u r设平面A DE '的一个法向量为(,,)m x y z =u r则00m A E m ED ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r,00-=+=令1y z ==,则1x =- 所以(1,1,1)m =-u r设直线A C '与平面A DE '所成角为θsin cos ,3A C m A C m A C mθ'⋅'=<>=='⋅u u u u r u ru u u u r u r u u u u r u r 所以直线A C '与平面A DE '所成角的正弦值为3. （Ⅲ）假设在线段A C '上存在点P ,满足//OP 平面A DE '设(01)A P A C λλ''=≤≤u u u r u u u u r由A C '=u u u u r ,,所以,)A P '=u u u r)P,)OP =-u u u r若//OP 平面A DE ',则0m OP ⋅=u r u u u r所以0-=,解得1[0,1]2λ=∈所以12A P A C '='. 17.（本小题满分13分）某地区高考实行新方案,规定:语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目,若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.例如,学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目,则学生甲的选考方案确定,“物理、化学和生物”为其选考方案.某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向,随机选取30名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的.从选考方案确定的8位男生随机选出1人,从选考方案确定的10位女生中随机选出1人,试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史科目的概率; （Ⅲ）从选考方案确定的8名男生随机选出2名,设随机变量1,22,2ξ⎧=⎨⎩名男生选考方案相同,名男生选考方案不同,求ξ的分布列及数学期望E ξ. 【解析】（Ⅰ）设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为,x81064354204201408610681059x ++=⨯⨯=⨯⨯=++++（人）所以该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为140人. （Ⅱ）该男生和该女生的选考方案中都含有历史科目的概率为112311108340C C C C ⋅=⋅ （Ⅲ）由题意知ξ的所有可能取值为1,2224228611(,284C C P C ξ++===1)=11111111111142414121211128(28442213284C C C C C C C C C C C C P C ξ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅==+++++==)所以ξ的分布列为ξ期望为137()12444E ξ=⨯+⨯=. 18.（本小题满分13分）已知函数ln 1()x f x ax x-=-. （Ⅰ）当2a =时,（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;（ii ）求函数()f x 的单调区间;（Ⅱ）若12a <<,求证:()1f x <-. 【解析】（Ⅰ）当2a =时,ln 1()2x f x x x-=-,定义域为(0,)+∞ 2222ln 2ln 2()2=x x x f x x x ---'=- （i ）(1)12=3f =---(1)22=0f '=-所以切点坐标为(1,3)-,切线斜率为0 所以切线方程为3y =-（ii ）令22ln ()2x g x x =--,14(0)x x g x '--<=所以()g x 在(0,)+∞上单调递减,且(1)=0g 所以当(0,1)x ∈时,()0g x >即()0f x '> 所以当(1,+)x ∈∞时,()0g x <即()0f x '<综上所述,()f x 的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+)∞. (Ⅱ)方法一:()1f x <-,即ln 11x ax x--<- 设ln 1()1(0)x h x ax x x-=-+> 2222ln ln 2()x ax x h x a x x ---+'=-= 设2()ln 2x ax x ϕ=--+2121()20ax x ax x x ϕ--'=--=<所以()x ϕ'在(0,)+∞小于零恒成立 即()h x '在(0,)+∞上单调递减 因为12a <<所以(1)20h a '=->,2()0h e a '=-< 所以在2(1,)e 上必存在一个0x 使得20002ln 2()=0ax x h x x --+'= 即200ln =2x ax -+所以当0(0,)x x ∈时,()0h x '>,()h x 单调递增当0(,+)x x ∈∞时,()0h x '<,()h x 单调递减 所以0000ln 1()()1max x h x h x ax x -==-+ 因为200ln =2x ax -+ 所以2000021()ax x h x x -++= 令0()=0h x得014x a±= 因为12a <<,所以104a -<,114a+< 因为20(1,)x e ∈,所以0()0h x <恒成立即()0h x <恒成立综上所述,当12a <<时,()1f x <-方法二:()f x 定义域(0,)+∞为了证明()1f x <-,即ln 11x ax x--<- 只需证明2ln 1x ax x --<-,即2ln 1x ax x <-+令()ln 1(0)m x x x x =-+> 则1()1m x x'=- 令()0m x '>,得01x <<令()0m x '<,得1x >所以()m x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减所以()(1)0max m x m ==即ln 10x x -+≤,则ln 1x x ≤-令2()22n x ax x =-+因为12a <<,所以=480a ∆-<所以()0n x >恒成立即2220ax x -+>所以211ax x x -+>-综上所述,2ln 1x ax x <-+即当12a <<时,()1f x <-19.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2,且过点(1,2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）过椭圆C 的左焦点的直线1l 与椭圆C 交于,A B 两点,直线2l 过坐标原点且与直线1l 的斜率互为相反数.若直线2l 与椭圆交于,E F 两点且均不与点,A B 重合,设直线AE 与x 轴所成的锐角为1θ,直线BF 与x 轴所成的锐角为2θ,判断1θ与2θ的大小关系并加以证明.【解析】（Ⅰ）由题可得222222222()121c aa b a b c⎧=⎪⎪⎪⎪⎨+=⎪⎪⎪⎪=+⎩,解得211a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩. 所以椭圆C 的方程为2212x y +=. （Ⅱ）结论:12θθ=,理由如下:由题知直线1l 斜率存在,设11122:(1),(,),(,)l y k x A x y B x y =+.联立22(1)22y k x x y =+⎧⎨+=⎩, 消去y 得2222(12)4220k x k x k +++-=,由题易知0∆>恒成立,由韦达定理得22121222422,1212k k x x x x k k-+=-=++, 因为2l 与1l 斜率相反且过原点,设2:l y kx =-,3344(,),(,)E x y F x y ,联立2222y kx x y =-⎧⎨+=⎩消去y 得22(12)20k x +-=,由题易知0∆>恒成立, 由韦达定理得3434220,12x x x x k -+==+, 因为,E F 两点不与,A B 重合,所以直线,AE BF 存在斜率,AE BF k k , 则13241324AE BF y y y y k k x x x x --+=+-- 13231323(1)(1)k x kx k x kx x x x x +++-=+-+ 132323131323(1)()(1)()()()x x x x x x x x k x x x x ++++-+-=⋅-+ 212312132322()()x x x x x k x x x x +++=⋅-+ 2222213232(22)224121212()()k k k k k k x x x x -⨯-+++++=⋅-+ 0=所以直线,AE BF 的倾斜角互补,所以12θθ=.20.（本小题满分13分）已知集合128={,,,}X x x x L 是集合{2001,2002,2003,,2016,S =L 2017}的一个含有8个元素的子集.（Ⅰ）当{2001,2002,2005,2007,2011,2013,2016,2017}X =时,设,(1,8),i j x x X i j ∈≤≤（i ）写出方程2i j x x -=的解(,)i j x x ;（ii ）若方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解,写出k 的所有可能取值.（Ⅱ）证明:对任意一个X ,存在正整数,k 使得方程(1,i j x x k i -=≤8)j ≤至少有三组不同的解.【解析】（Ⅰ）（i ）方程2i j x x -=的解有:(,)(2007,2005),(2013,2011)i j x x = （ii ）以下规定两数的差均为正,则:列出集合X 的从小到大8个数中相邻两数的差:1,3,2,4,2,3,1;中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）:4,5,6,6,5,4; 中间相隔二数的两数差:6,9,8,9,6;中间相隔三数的两数差:10,11,11,10;中间相隔四数的两数差:12,14,12;中间相隔五数的两数差:15,15;中间相隔六数的两数差:16.这28个差数中,只有4出现3次,6出现4次,其余都不超过2次, 所以k 的可能取值有4,6（Ⅱ）证明:不妨设12820012017x x x ≤<<⋅⋅⋅<≤ 记1(1,2,,7)i i i a x x i +=-=⋅⋅⋅,1i i i b x x +=-(1,2,,6)i =⋅⋅⋅,共13个差数.假设不存在满足条件的k ,则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6,从而127126()()2(126)749a a a b b b ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅++= ① 1271268187218172()()()() 2(-)() 2161a a a b b b x x x x x x x x x x ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=-++--=+-≤⨯+又446= 这与①矛盾,所以结论成立.。

东北三省三校高三第一次联合模拟考试理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}21x x A =-<<，{}220x x x B =-≤，则AB =（ ）A ．{}01x x <<B ．{}01x x ≤<C ．{}11x x -<≤D ．{}21x x -<≤ 2、复数212ii+=-（ ） A ．()22i+ B ．1i + C ．iD ．i -3、点()1,1M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，则a 的值为（ ） A ．14 B ．112-C ．14或112-D ．14-或1124、设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n =（ ）A ．6B ．7C ．10D ．95、执行如图所示的程序框图，要使输出的S 值小于1，则输入的t 值不能是下面的（ ）A ．2012B ．2013C ．2014D ．2015 6、下列命题中正确命题的个数是（ ） ①对于命题:p R x ∃∈，使得210x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，均有210x x +->②p 是q 的必要不充分条件，则p ⌝是q ⌝的充分不必要条件 ③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题④“1m =-”是“直线1:l ()2110mx m y +-+=与直线2:l 330x my ++=垂直”的充要条件A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．128、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到一条渐近线的距离为d ，若F 3dB ≥，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2⎤⎦B ．)2,⎡+∞⎣C ．(]1,3D ．)3,⎡+∞⎣9、不等式组2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的点集记为A ，不等式组220x y y x-+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为B ，在A 中任取一点P ，则P∈B 的概率为（ ）A ．932 B ．732 C ．916D ．71610、设二项式12nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭（n *∈N ）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为n a ，n b ，则1212n na a ab b b ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+（ ）A ．123n -+B ．()1221n -+C ．12n +D ．111、已知数列{}n a 满足3215334n a n n m =-++，若数列的最小项为1，则m的值为（ ）A ．14B ．13C ．14-D ．13-12、已知函数())()()0ln 10x f x x x ≥=⎪--<⎩，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k 的取值范围为（ ）A ．()0,1B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、向量a ，b 满足1a =，2b =，()()2a b a b+⊥-，则向量a 与b 的夹角为 ．14、三棱柱111C C AB -A B 各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，C 120∠A B =，C C A =B =，14AA =，则这个球的表面积为 ．15、某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有 种不同选课方案（用数字作答）．16、已知函数()()sin 2cos y x x πϕπϕ=+-+（0ϕπ<<）的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）已知C ∆AB 的面积为2，且满足0C 4<AB⋅A ≤，设AB 和C A 的夹角为θ． ()1求θ的取值范围；()2求函数()22sin 3cos 24f πθθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭的取值范围．18、（本小题满分12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图2．()1频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名市民的平均年龄；()2在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 19、（本小题满分12分）如图，四棱锥CD P -AB 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥底面CD AB ，E 、F 分别为AB 、C P 的中点．()I 求证：F//E 平面D PA ；()II 若2PA =，试问在线段F E 上是否存在点Q ，使得二面角Q D -AP -的余弦值为55？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．20、（本小题满分12分）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F ，点()2,2A 在椭圆上，且2F A 与x 轴垂直．()1求椭圆的方程；()2过A 作直线与椭圆交于另外一点B ，求∆AOB 面积的最大值． 21、（本小题满分12分）已知a 是实常数，函数()2ln f x x x ax =+． ()1若曲线()y f x =在1x =处的切线过点()0,2A -，求实数a 的值；()2若()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <）， ()I 求证：102a -<<； ()II 求证：()()2112f x f x >>-．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在C ∆AB 中，C 90∠AB =，以AB 为直径的圆O 交C A 于点E ，点D 是C B 边的中点，连接D O 交圆O 于点M ． ()I 求证：D E 是圆O 的切线；()II 求证：D C D C D E⋅B =M⋅A +M⋅AB ．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是212x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． ()I 求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；()II 设点(),0m P ，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且1PA ⋅PB =，求实数m 的值． 24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()212f x x x =--+． ()I 解不等式()0f x >；()II 若0R x ∃∈，使得()2024f x m m +<，求实数m 的取值范围．东北三省三校三校第一次联合模拟考试理科数学试题参考答案一．选择题：1.B2.C3.C4.B5.A6.B7.C8.A9.A 10.C 11.B 12.C 二．填空题：13. 9014. 64π 15. 84 16. 54-三．解答题：17.解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，则由已知：2sin 21=θbc ，4cos 0≤<θbc ， 4 分可得1tan ≥θ，所以：)2,4[ππθ∈． 6 分（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭． 8 分)2,4[ππθ∈ ，∴)32,6[32πππθ∈-，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=．所以：函数)(θf 的取值范围是]3,2[12 分18.解：（1）由表知：①，②分别填300.0,35.补全频率分布直方3 分年龄(岁)平均年龄估值为:5.33)1.0853.07535.0652.05505.045(21=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（岁）6 分(2)由表知:抽取的20人中,年龄低于30岁的有5人,X 的可能取值为0,1,2 3821)0(222015===C C XP 3815)1(22011515===C C C X P 382)2(22025===C C X P 9 分X的分布列为X12P3821 3815 38210 分期望2138223815138210)(=⨯+⨯+⨯=X E （人）12 分19.证明: (Ⅰ)取PD 中点M , 连接MA MF ,, 在△CPD 中, F 为PC 的中点, DC MF 21//∴,正方形ABCD 中E 为AB 中点,DC AE 21//∴,MF AE //∴ 故：EFMA为平行四边形 AM EF //∴2 分又⊄EF 平面PAD,⊂AM 平面PAD∴//EF 平面PAD4 分(Ⅱ) 如图：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系:yz111(0,0,2),(0,1,0),(1,1,0),(0,,0),(,,1)222P B C E F由题易知平面PAD 的法向量为)0,1,0(=n ， 6 分 假设存在Q 满足条件：设11,(,0,1),(,,)222EQ EF EF Q λλλ== ,]1,0[∈λ1(0,0,2),(,,),22AP AQ λλ==设平面PAQ 的法向量为(,,)m x y z =,10(1,,0)220x y z m z λλλ⎧++=⎪⇒=-⎨⎪=⎩10 分∴21,cos λλ+-< 由已知：5512=+λλ解得：21=λ 所以：满足条件的Q存在，是EF中点。

东北三省三校2019年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷第Ⅰ卷一、选择题。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部是（）A. 4B. -4C. 2D. -2【答案】D【解析】【分析】先将复数进行化简得，得出答案.【详解】复数=所以虚部为-2故选D【点睛】本题主要考查了复数的化简，属于基础题.2.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再利用交集的定义得出答案.【详解】因为可得，集合，所以故选B【点睛】本题主要考查了交集的定义，属于基础题.3.已知向量的夹角为，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题，先求出，可得结果.【详解】所以故选C【点睛】本题主要考查了数列的运算，属于基础题.4.设，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用是单调递减的，得出；再利用在是单调递增的，得出求得答案. 【详解】因为是单调递减的，且，所以；又因为在是单调递增的，，所以综上，故选A【点睛】本题主要考查了指数函数和幂函数的性质，来比较大小，掌握函数的性质是解题的关键.5.等差数列的前项和为，且，，则（）A. 30B. 35C. 42D. 56【答案】B【解析】【分析】先根据题目已知利用公式求出公差，，再利用求和公式得出结果.【详解】因为是等差数列，所以，所以公差，根据求和公式【点睛】本题主要考查了数列的求和以及性质，对于等差数列的公式的熟练运用是解题的关键，属于基础题.6.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（）A. 30种 B. 50种 C. 60种 D. 90种【答案】B【解析】【分析】先分情况甲选牛共有，甲选马有，得出结果.【详解】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，所以共有若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，所以共有所以共有种故选B【点睛】本题主要考查了排列组合，分情况选择是解题的关键，属于较为基础题.7.执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的的值为4，第二次输入的的值为5，记第一次输出的的值为，第二次输出的的值为，则（）A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】D【解析】根据已知的程序框图，模拟程序的执行过程，可的结果.【详解】当输入x的值为4时，第一次不满足，但是满足x能被b整除，输出；当输入x的值为5时，第一次不满足，也不满足x能被b整除，故b=3第二次满足，故输出则-1故选D【点睛】本题主要考查了程序框图，属于较为基础题.8.如图，在直角坐标系中，过坐标原点作曲线的切线，切点为分别作轴的垂线，垂足分别为，向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先设出切点，利用切线过原点求出切点P的坐标，再用积分求出阴影部分的面积，最后用几何概型求得结果.【详解】设切点，所以切线方程，又因为过原点所以解得因为与轴在围成的面积是则阴影部分的面积为而矩形的面积为故向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为故选A【点睛】本题主要考查了几何概型，但是解题的关键是在于对于切点和积分的运用是否熟练，属于中档题.9.已知是不重合的平面，是不重合的直线，则的一个充分条件是（）A.， B. ，C.，， D. ，，【答案】C【解析】【分析】由题意，分别分析每个答案，容易得出当，，得出，再得出，得出答案.【详解】对于答案A：，，得出与是相交的或是垂直的，故A错；答案B：，，得出与是相交的、平行的都可以，故B错；答案C：，，得出，再得出，故C正确；答案D:，，，得出与是相交的或是垂直的，故D错故选C【点睛】本题主要考查了线面位置关系的知识点，熟悉平行以及垂直的判定定理和性质定理是我们解题的关键所在，属于较为基础题.10.双曲线的左焦点为，点的坐标为，点为双曲线右支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】先根据双曲线的定义求出，然后据题意周长的最小值是当三点共线，求出a的值，再求出离心率即可.【详解】由题易知双曲线的右焦点，即，点P为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义可知所以周长为：当点共线是，周长最小即解得故离心率故选D【点睛】本题主要考查了双曲线的定义和性质，熟悉性质和图像是解题的关键，属于基础题.11.各项均为正数的等比数列的前项和，若，，则的最小值为（）A. 4B. 6C. 8D. 12【答案】C【解析】【分析】由题意，根据等比中项得出，然后求得公比首项，再利用公式求得，通项带入用基本不等式求最值.【详解】因为，且等比数列各项均为正数，所以公比首项所以，通项所以当且紧当所以当时，的最小值为8故选C【点睛】本题考查了等比数列的通项、求和以及性质，最后还用到基本不等式，属于小综合题型，属于中档题，需要注意的是利用基本不等式要有三要素“一正、二定、三相等”.12.中，，，，中，，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，建立直角坐标系，设点D的坐标，然后分析点D的位置，利用直线的夹角公式，求得点D的轨迹方程为圆的一部分，然后利用圆的相关知识求出最大最小值即可.【详解】由题，以点B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立直角坐标系；设点，因为，所以由题易知点D可能在直线AB的上方，也可能在AB的下方；当点D可能在直线AB的上方；直线BD的斜率；直线AD的斜率由两直线的夹角公式可得：化简整理的可得点D的轨迹是以点为圆心，半径的圆，且点D在AB的上方，所以是圆在AB上方的劣弧部分；此时CD的最短距离为：当当点D可能在直线AB的下方；同理可得点D的轨迹方程：此时点D的轨迹是以点为圆心，半径的圆，且点D在AB的下方，所以是圆在AB下方的劣弧部分；此时CD的最大距离为：所以CD的取值范围为【点睛】本题主要考察了直线与圆的综合知识，建系与直线的夹角公式是解题的关键，属于难题.第Ⅱ卷二、填空题（将答案填在答题纸上）13.已知满足约束条件：，则的最大值是______．【答案】3【解析】根据约束条件，画出可行域，再求出与的交点，带入求出答案.【详解】满足约束条件：，可行域如图：解得由题，当目标函数过点A时取最大值，即故答案为3【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，画出可行域是解题的关键，属于基础题.14.甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴，甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”，如果这三句话，只有一句是真的，那么会弹钢琴的是_____．【答案】乙【解析】【分析】根据题意，假设结论，根据他们所说的话推出与题意矛盾的即为错误结论，从而得出答案.【详解】假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意矛盾，所以甲不会；假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的是真话，符合题意，假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意矛盾；故答案是乙【点睛】本题主要考查了推理证明，属于基础题.15.已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，当时，，则__．【答案】【解析】【分析】先由题意，是定义域为的偶函数，且为奇函数，利用函数的奇偶性推出的周期，可得，然后带入求得结果.【详解】因为为奇函数，所以又因为是定义域为的偶函数，所以即所以的周期因为所以故答案为【点睛】本题主要考查了函数的性质，函数性质的变形以及公式的熟记是解题的关键，属于中档题.16.四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为____．【答案】【解析】【分析】根据题意，证明出CD平面ABC，从而证明出CD AC，然后取AD的中点O，可得OC=OA=OB=OD，求出O为外接球的球心，然后求得表面积即可.【详解】由题意，可得BC CD，又因为底面，所以AB CD，即CD平面ABC，所以CD AC取AD的中点O，则OC=OA=OB=OD故点O为四面体外接球的球心，因为所以球半径故外接球的表面积故答案为【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球知识，找出球心的位置是解题的关键，属于中档题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设函数.（1）当时，求函数的值域；（2）中，角的对边分别为，且，，，求的面积.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）先将函数利用和差角、降幂公式、辅助角公式进行化简得，再根据x的取值，求得值域；（2）根据第一问求得角A，再根据正弦定理求得角B，然后再求得角C的正弦值和边b，利用面积公式求得面积.【详解】（Ⅰ）∵，∴∴∴函数的值域为．（Ⅱ）∵∴∵，∴，∴，即由正弦定理，，∴∴，，∴∴【点睛】本题主要考查了三角函数综合和解三角形，解题的关键是在于三角恒等变化公式的利用（和差角、降幂、辅助角公式的合理利用）以及正弦定理的变化应用，属于较为基础题.18.世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达6亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：（1）在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中，随机抽取2名，求其中恰有一名学生不近视的概率；（2）若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完成如下列联表，并根据（2）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？附:【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】(1)根据题意，时间不少于28小时的4名学生中，近视1名，不近视3名，所以恰好一名近视：，4名学生抽2名共有：，然后求得其概率.(2)先根据表格得出在户外的时间与近视的人数分别是多少，完成联表，然后根据公式求得的观测值，得出结果.【详解】（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件，则故随机抽取2名，中恰有一名学生不近视的概率为.（Ⅱ）根据以上数据得到列联表：所以的观测值，故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系.【点睛】本题主要考查了概率和统计案例综合，属于基础题.19.如图，在三棱锥中，与都为等边三角形，且侧面与底面互相垂直，为的中点，点在线段上，且，为棱上一点.（1）试确定点的位置，使得平面；（2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】(1)根据题意，延长交于点，要使得平面；即，然后确定出点E的位置即可；(2)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后根据二面角的夹角公式求得余弦值即可.【详解】（Ⅰ）在中，延长交于点，,是等边三角形为的重心平面, 平面，,即点为线段上靠近点的三等分点（Ⅱ）等边中，，，，交线为，如图以为原点建立空间直角坐标系点在平面上，所以二面角与二面角为相同二面角.设,则，设平面的法向量，则即，取，则又平面，,则,又二面角为钝二面角，所以余弦值为 .【点睛】本题主要考查了立体几何，熟练线面之间的平行、垂直的判定定理和性质定理是证明的关键，以及求出平面的法向量是解决第二问的关键，属于中档题.20.已知椭圆：的左、右两个顶点分别为，点为椭圆上异于的一个动点，设直线的斜率分别为，若动点与的连线斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线. （1）当时，求曲线的方程；（2）已知点，直线与分别与曲线交于两点，设的面积为，的面积为，若，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由题意设，，再表示出得出.然后求得结果.(2) 由题求出直线的方程为：，直线的方程为：，然后分别与曲线联立，求得点E、F的纵坐标，然后再带入面积公式表示出再利用函数的单调性求得范围.【详解】（Ⅰ）设，则，因为，则所以，整理得.所以，当时，曲线的方程为.（Ⅱ）设. 由题意知，直线的方程为：，直线的方程为：.由（Ⅰ）知，曲线的方程为，联立，消去，得，得联立，消去，得，得设则在上递增又，的取值范围为【点睛】本题主要考查了圆锥曲线的综合，审题仔细以及计算细心是解题的关键，属于较难题. 21.已知（为自然对数的底数），.（1）当时，求函数的极小值；（2）当时，关于的方程有且只有一个实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【解析】 【分析】 (1)由题意，当时，然后求导函数，分析单调性求得极值；(2)先将原方程化简，然后换元转化成只有一个零点，再对函数进行求导，讨论单调性，利用零点存在性定理求得a 的取值. 【详解】（Ⅰ）当时，令解得（Ⅱ）设，令，，，设，，由得，，在单调递增，即在单调递增，，①当，即时，时，，在单调递增,又，故当时，关于的方程有且只有一个实数解.②当，即时，，又故，当时，，单调递减，又，故当时，，在内，关于的方程有一个实数解.又时，，单调递增，且，令，,,故在单调递增，又故在单调递增，故，故，又，由零点存在定理可知，.【点睛】本题主要考查了导函数的应用，讨论单调性和零点的存在性定理是解题的关键点，属于难题.如果函数y= f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)<0,那么，函数y= f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)= 0的根.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）曲线与直线交于两点，若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，然后再化为极坐标方程；（2）由题意，写出直线的参数方程，然后带入曲线的普通方程，利用韦达定理表示出求得结果即可.【详解】（1）由题，曲线的参数方程为（为参数），化为普通方程为：所以曲线C的极坐标方程：（2）直线的方程为，的参数方程为为参数)，然后将直线得参数方程带入曲线C的普通方程，化简可得：，所以故解得【点睛】本题主要考查了极坐标和参数方程的综合，极坐标方程，普通方程，参数方程的互化为解题的关键，属于基础题.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；（2）设实数为（1）中的最大值，若实数满足，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由不等式性质，解出a的值即可；（2）先求得m的值，然后对原式配形，可得再利用柯西不等式，得出结果.【详解】（1）因为函数恒成立，解得；（2）由第一问可知，即由柯西不等式可得：化简：即当且紧当：时取等号，故最小值为【点睛】本题主要考查了不等式选讲，不等式的性质以及柯西不等式，熟悉柯西不等式是解题的关键，属于中档题.。

2018年石景山区高三统一测试数 学（理）本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合}0|{≥=x x A ，且A B B = ，则集合B 可能是（ ） A ．}2,1{ B ．}1|{≤x x C ．}1,0,1{- D ． R2．在极坐标系中，圆2ρ=被直线ρ截得的弦长为（ ）A ．2 C ．．33则输入k 的值可以为 （ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．104．已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．二项式621(2)x x+的展开式中，常数项的值是（ ） A ．240 B ．60 C ．192 D ．180 6．等差数列{}n a 中，11,m k a a km==()m k ≠，则该数列前mk 项之和为（ ）A ．12mk- B ．2mk C ．12mk + D ．12mk+ 7．在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）① ② ③ ④A ．①和② B．③和① C．③和④ D．④和②8．如果双曲线的离心率215+=e ，则称此双曲线为黄金双曲线．有以下几个命题： ①双曲线115222=--y x 是黄金双曲线； ②双曲线115222=+-x y 是黄金双曲线；③在双曲线22221x y a b-=中， F 1为左焦点， A 2为右顶点， B 1（0，b ），若∠F 1 B 1 A 290=︒,则该双曲线是黄金双曲线；④在双曲线22221x y a b-=中，过焦点F 2作实轴的垂线交双曲线于M 、N两点，O 为坐标原点，若∠MON 120=︒，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确命题的序号为（ ）A ．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．1z i =+，z 为复数z 的共轭复数，则1z z z ⋅+-=___________．10．如图，AB 是半径等于3的圆OCD 是圆O 的弦，BA 、DC 的延长线交于点若PA ＝4，PC ＝5，则∠CBD ＝11．设不等式组1,0,20y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一点M ，则点M 落在圆221x y +=内的概率为___________．12．如图，在66⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量 ,,a b c 满足,(,)c xa yb x y R =+∈，则=x y． 13．若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的 课程中恰有2门相同的选法．．有 种（用数字作答）． 14．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M∈，都存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合： ①1{(,)|}Mx y y x==； ②2{(,)|log }M x y y x ==；③{(,)|2}x M x y y e ==-； ④{(,)|sin 1}M x y y x ==+． 其中是“垂直对点集”的序号是 ．ab c三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记(f (Ⅰ)求函数()f α的值域；(Ⅱ)设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 若()f C =a =1c =，求b .16．（本小题满分13分）国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI ）与空气质量等级对应关系如下表：下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市2018年3月某时刻实时监测到的数据：CDEF(Ⅰ) 求x 的值，并根据上表中的统计数据，判断东、西部城市AQI 数值的方差的大小关系（只需写出结果）；(Ⅱ)环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取3个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 17．（本小题满分14分）如图，多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，正方形ADEF 的边长为2，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB ＝2，CD ＝4．(Ⅰ)求证：BC ⊥平面BDE ；(Ⅱ)试在平面CDE 上确定点P ，使点P 到 直线DC 、DE 的距离相等，且AP 与平面BEF 所成的角等于30°．18．（本小题满分13分）已知函数1()ln ,()(0)a f x x a x g x a x+=-=->．(Ⅰ)若1a =，求函数()f x 的极值； (Ⅱ)设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(Ⅲ)若存在0[1,]x e ∈，使得00()()f x g x <成立，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>离心率2e =，短轴长为(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ) 如图，椭圆左顶点为A ，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与y轴交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．20．（本小题满分13分） 设数列{}n a 满足： ①11a =； ②所有项*N a n ∈； ③ <<<<<=+1211n n a a a a ．设集合{},*m n A n|a m m N =≤∈，将集合m A 中的元素的最大值记为m b ，即m b 是数列{}n a 中满足不等式n a m ≤的所有项的项数的最大值．我们称数列{}n b 为数{}n a 的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．(Ⅰ)若数列{}n a 的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{}n a ； (Ⅱ)设13n n a -=，求数列{}n a 的伴随数列{}n b 的前30项之和； (Ⅲ)若数列{}n a 的前n 项和2n S n c =+（其中c 常数），求数列{}n a 的伴随数列{}m b 的前m 项和m T ．2018年石景山区高三统一测试数 学（理）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 三、解答题共6小题，共80分．15．（本小题共13分） （Ⅰ）由题意，得12sin ,sin()cos 2y y πααα==+=， (3)分所以()sin cos )4f παααα=+=+， (5)分因为(0,)2πα∈，所以3(,)444πππα+∈，故()(1f α∈. (7)分（Ⅱ）因为()sin()4f C C π=+=(0,)2C π∈，所以4C π=， ………………9分在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即2122b =+-，解得1b =. (13)分16．（本小题共13分） （Ⅰ）x =82 ………………2分D东部<D西部………………4分（Ⅱ）“优”类城市有2个，“轻度污染”类城市有4个． 根据题意ξ的所有可能取值为：1,2,3． (5)分1242361(1)5C C P C ξ=== ,2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===． (11)分ξ∴的分布列为：Array所以131Eξ=⨯+⨯+⨯=．…………1232555……13分17．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：因为平面ABEF⊥平面ABCD，ED⊥AB．所以ED⊥平面ABCD………………1分又因为BC⊂平面ABCD，所以ED⊥BC．………………2分在直角梯形ABCD中,由已知可得BC2=8，BD2=8，CD2=16，所以，CD2=BC2+BD2，所以，BD⊥BC……………4分又因为ED BD=D，所以BC⊥平面BDE．……………5分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D-xyz……6分则()()()()(0,0,02,0,0,0,0,2,2,2,0,D A E B F ()()2,0,0,2,2,2EF EB ==-设()0,,P y z ，则y z=令(),,n x y z '''=是平面BEF 则00n EF n Eb ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以202220x x y z '=⎧⎨'''+-=⎩，令1y '=，得011x y z '=⎧⎪'=⎨⎪'=⎩所以()0,1,1n =…………9分因为AP 与平面BEF 所成的角等于30 ， 所以AP 与(0,1,1)n =所成的角为60 或120所以1cos ,2AP n AP n AP n ⋅<>===⋅………11分所以22440(*)y z yz ++-= 又因为y z=，所以y z=或y z =- (12)分当y z =-时，（*）式无解 当y z=时，解得：y z == (13)分 所以，P 或(0,)33P --. ………14分18.（本小题共13分） （Ⅰ）()ln f x x a x=-的定义域为(0,)+∞． (1)分当1a =时，1()x f x x-'=． ………2分由()0f x '=，解得1x =.当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减； 当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增； 所以当1x =时，函数()f x 取得极小值，极小值为(1)1ln11f =-=； ……..4分（Ⅱ）1()()()ln ah x f x g x x a x x+=-=-+，其定义域为(0,)+∞． 又222(1)(1)[(1)]()x ax a x x a h x x x--++-+'==． …………..6分由0a >可得10a +>，在(0,1)x a ∈+上()0h x '<，在(1,)x a ∈++∞上()0h x '>， 所以()h x 的递减区间为(0,1)a +；递增区间为(1,)a ++∞． ……..……7分（III ）若在[1,]e 上存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立，即在[1,]e 上存在一点0x ，使得0()0h x <．即()h x 在[1,]e 上的最小值小于零． …8分①当1a e +≥，即1a e ≥-时，由（II ）可知()h x 在[1,]e 上单调递减． 故()h x 在[1,]e 上的最小值为()h e ， 由1()0ah e e a e+=+-<，可得211e a e +>-． ………9分因为2111e e e +>--．所以211e a e +>-； ………10分②当11a e <+<，即01a e <<-时，由（II ）可知()h x 在(1,1)+a 上单调递减，在(1,)a e +上单调递增．()h x 在[1,]e 上最小值为(1)2ln(1)h a +a a a +=-+． (11)分因为0ln(1)1a <+<，所以0ln(1)a a a <+<．2ln(1)2+a a a ∴-+>，即(1)2h a +>不满足题意，舍去． …………12分 综上所述:a ∈21(,)1e e ++∞-．………13分19．（本小题共14分） （Ⅰ）由短轴长为，得b = ………………1分由c e a ===224,2a b ==． ∴椭圆C的标准方程为22142x y +=． ………………4分 （Ⅱ）以MN为直径的圆过定点(F ． ………………5分证明如下：设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=，∵(2,0)A -，∴直线PA方程为：0(2)2y y x x =++，∴002(0,)2y M x +……………6分 直线QA方程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -， ………………7分 以MN为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-………………10分【或通过求得圆心00202(0,)4x y O x '-，0204||4y r x =-得到圆的方程】 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--，∵220042x y -=-，∴220220x x y y y ++-=， ………………12分令0y =，则220x -=，解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F ． (14)分20．（本小题共13分） （Ⅰ）1,4,7 ……………………3分（Ⅱ）由13n n a m -=≤，得*31log ()n m m N ≤+∈当*12,m m N ≤≤∈时，121b b == (4)分当*38,m m N ≤≤∈时，3482b b b ==⋅⋅⋅== (5)分当*∈≤≤N m m ,269时，326109==⋅⋅⋅==b b b (6)分当*∈≤≤N m m ,3027时，430292827====b b b b (7)分∴844418362213021=⨯+⨯+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++b b b ……………………8分（III ）∵1111a S c ==+= ∴0c =当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=- ∴*21()n a n n N =-∈ ……………………9分由21n a n m =-≤得：*1()2m n m N +≤∈因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ， 所以*12342121,2,,()t t b b b b b b t t N -====⋅⋅⋅==∈当*21()m t t N =-∈时：221(1)12(1)(1)24m t T t t t m +-=⋅⋅-+==+……………………11分 当*2()m tt N =∈时：2112(2)24m t T t t t m m +=⋅⋅=+=+……………………12分 所以2**(1)(21,)4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩……………………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

大兴区2018-2019学年度第一学期期末检测试卷高三数学（理）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.设集合，，则等于( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算得答案．【详解】解：∵x2﹣3x≤0，∴0≤x≤3，∴B＝[0，3]，A＝（2，+∞），∴A∩B＝（2，3]．故选：C．【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．2.已知，则下列不等式成立的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用不等式的基本性质、函数的单调性即可得出．【详解】解：∵a＞b＞0，∴，，lga＞lgb，2﹣a＜2﹣b．只有B正确．故选：B．【点睛】本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.在复平面内，复数对应的点的坐标为，则等于( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意求得z，进一步得到z+1，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：由题意，z＝2﹣i，则|z+1|＝|2﹣i+1|＝|3﹣i|．故选：D．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．4.执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则输入的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得S＝0，n＝1满足条件1＜i，执行循环体，S，n＝2满足条件2＜i，执行循环体，S，n＝3满足条件3＜i，执行循环体，S，n＝4满足条件4＜i，执行循环体，S（1）+（）+（）+（），n＝5由题意，此时应该不满足条件5＜i，退出循环，输出S的值为，可得4＜i≤5，可得i的值为5．故选：B．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.已知数列，则“存在常数，对任意的，且，都有”是“数列为等差数列”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由等差数列的定义不妨令m＝n+1，则有：a n+1﹣a n＝c，可知，数列{a n}是以c为公差的等差数列，由等差数列的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d，a m＝a1+（m﹣1）d，（d为公差）得：，故得解．【详解】①由已知：“存在常数c，对任意的m，n∈N*，且m≠n，都有”不妨令m＝n+1，则有：a n+1﹣a n＝c，由等差数列的定义，可知，数列{a n}是以c为公差的等差数列，②由“数列{a n}为等差数列”则a n＝a1+（n﹣1）d，a m＝a1+（m﹣1）d，（d为公差）所以：，即存在“存在常数c，对任意的m，n∈N*，且m≠n，都有”此时，c＝d，综合①②得：“存在常数c，对任意的m，n∈N*，且m≠n，都有”是“数列{a n}为等差数列”的充分必要条件，故选：C．【点睛】本题考查了数列的定义及等差数列的通项，充分必要条件，属简单题．6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为三棱锥，再由棱锥体积公式求解．【详解】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥P﹣ABC，则该几何体的体积V．故选：A．【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．7.已知，，为共面的三个单位向量，且，则的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】运用向量垂直的条件：数量积为0，及向量模的公式，和向量数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可计算得到．【详解】解：由⊥，则0，又，为单位向量，则||，则（）•（）（）＝（）1＝||cos1cos1，由﹣1≤cos1，则（）•（）的取值范围是[1，1]．故选：D．【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量垂直的条件，考查余弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题．8.A、B两种品牌各三种车型2017年7月的销量环比(与2017年6月比较)增长率如下表：根据此表中的数据，有如下关于7月份销量的四个结论①A1车型销量比B1车型销量多；②A品牌三种车型总销量环比增长率可能大于14.70%；③B品牌三款车型总销量环比增长率可能为正；④A品牌三种车型总销量环比增长率可能小于B品牌三种车型总销量环比增长率．其中正确结论的个数是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据表中数据，对关于7月份销量的四个结论，分析正误即可．【详解】解：根据表中数据，对关于7月份销量的四个结论：对于①，A1车型销量增长率比B1车型销量增长率高，但销量不一定多，①错误；对于②，A品牌三种车型中增长率最高为14.70%，所以总销量环比增长率不可能大于14.70%，②错误；对于③，B品牌三款车型中有销量增长率为13.25%，所以它的总销量环比增长率也可能为正，③正确；对于④，由题意知A品牌三种车型总销量环比增长率，也可能小于B品牌三种车型总销量环比增长率，④正确；综上所述，其中正确的结论序号是③④．故选：B．【点睛】本题考查了合情推理与命题真假的判断，也考查了销售量与增长率的应用问题，是基础题．第二部分 (非选择题共110分）二、填空题共6小题，每题5分，共30分。