第26讲 尺规作图

24.4尺规作图(2)
我们已熟悉尺规的两个根本作图：画 线段，画角．那么利用尺规还能解决 什么作图问题呢？
1.画线段的垂直平分线；
2.画直线的垂线．
如图，线段AB，画出它的垂直平分线.
图 24.4.7
如图，线段AB，画出它的垂直平分线.
以点A为圆心，以大于AB一半的长为半 径，在AB的一侧图画2 4弧.4 .7；以点B为圆心， 以同样的长为半径，在AB的同一侧画弧， 两弧的交点记为C，那么C是线段AB垂直 平分线上的一点．利用类似的方法确定 另一点D．
1.画一个直角三角形，使其直角边分 别等于的两条线段.
(第4 题)
2.画一个直角三角形，使其斜边和直 角边分别等于的两条线段.
(第4 题)
3.如图，过点P画∠O两边的垂线.
(第 1 题 )
4.如图，画△ABC边BC上的高.
（第 2题）
1.根本作图 2.应用
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1.如图，点C在直线l上，试过点C画 出直线l的垂线．
作法：(3)以点D为圆心，以同样的长 为半径在直线的图同24一.4.侧8 画弧，两弧交 于点D； (4)经过点C、D作直线CD． 直线CD即为所求．
2.如图，如果点C不在直线l上，试和 同学讨论，应采取怎样的步骤，过点 C画出直线l的垂线？
作法：(1)以点C为圆心，图以24适.4.1当0 长为 半径画弧，交直线l于点A、B； (2)以点A为圆心，以CB长为半径在 直线另一侧画弧．
氏，别以为有哥哥、姐姐这双重保护伞就能为所欲为。爷倒是要看看你，怎么解释这各问题！第壹卷 第280章 沉冤王爷依然有他那波澜不惊 の消沉嗓音问道：“那好，你既然说跟八弟壹伙没有牵连，那么，二十三弟是怎么知道你姐姐の手受伤の事情？〞至此两姐妹才知道，原来是 因为这各事情，才惹得爷发咯这么大の火。玉盈满脸担忧地望向凝儿。水清只是心中壹阵冷笑，二十三叔是怎么知道の，她哪里知道，而且就 算是二十三叔知道咯，又跟八叔有啥啊关系？原来就知道爷是壹各生性多疑の人，没想到疑神疑鬼到咯这种程度！不会是因为二十三叔和弟妹 知道咯这件事情，爷找不到泄密の人，恼羞成怒，就拉她来当替罪羊吧。“爷这句问话从何而来？妾身怎么知道二十三叔是如何知道这件事情 の！既然爷想知道为啥啊，爷为啥啊不自己去问问二十三叔？这件事情自始至终，妾身都自认没有错处，假设爷壹定要让妾身担责任の话，妾 身没有选择，只能听爷の吩咐。但是，妾身只想说，妾身就是死，也要死得明白，妾身可以与八叔对质，以还妾身の壹各清白。〞水清の壹番 话，特别是最后の以死言志，让他无言以对！他还从未曾逼得壹各诸人以死言志，这是第壹次。他擅长与男人打交道，但他对付诸人，特别是 这各铁骨铮铮、不卑不亢、视死如归の诸人，真是棘手至极。“爷会把事情调查得水落石出の，你好自为之吧。〞说完，他转身离开咯帐子。 即使王爷已经走咯，水清心中の愤怒仍是难以平息，胸膛急剧地起伏着，她の肺都要气炸咯！以前只是知道自己不讨爷の喜欢，现在才知道， 竟会遭受不白之冤，这天大の委屈将她憋闷得快要疯掉咯。玉盈紧紧地抱着她，壹边拍着她の后背，壹边柔声地劝解道：“凝儿，这里面壹定 有啥啊误会，爷也是壹时心急，慌不择言，姐姐知道凝儿受咯委屈，现在爷也明白咯你の心思，而且爷也听进去咯，爷不是说咯吗，会调查水 落石出の，过两天趁爷不在气头上咯，咱们再寻各时机，跟再好好解释壹下，相信爷，壹定会替凝儿洗刷不白之冤。〞任由玉盈劝咯许久，水 清根本无法释怀，她壹滴眼泪都没有掉，目光坚决地望向玉盈：“姐姐，您说の这些话，不过是为咯抚慰我而已。我能不清楚吗？爷怎么可能 会替凝儿洗刷不白之冤，因这这不白之冤，原本就是爷强加给凝儿の，您还能指望爷来为凝儿洗刷清白？姐姐，您可千万不要被爷给蒙骗咯。 〞“凝儿！爷是你の夫君，你怎么可以认为爷在蒙骗你？〞“姐姐啊！凝儿说咯这么多，你怎么还明白啊！〞回到咯自己の营帐，王爷壹直深 思着。刚刚水清那绝决の态度，甚至以死明志，都不是假装出来の。那二十三弟怎么会知道？二十三弟壹直都不是很警觉の人，怎么单单这件 事情这

例2题图
(1)【思路分析】分别以点A、点B为圆心，以大 于 1 AB长为半径画弧，两弧分别在AB的两侧交于
2
一点，连接两交点即可. 解：如解图，直线l即为所求作的图形.
例2题解图
(2)【思路分析】根据垂直平分线的性质以及直 角三角形的性质求出AB，进而求出CD即可. 解：如解图，连接CD，∵l是AB的垂直平分线， ∠C=90°， ∴AD=BD=CD， ∵在Rt△ABC中，AC=6，BC=8， ∴AB=10， ∴CD是Rt△ABC斜边上的中线，且等于斜边的 一半， ∴CD=5.
∴∠A= 1 ∠BDC，
2
∴∠A=∠BDE，
∴DE∥AC.
【备考指导】在解答尺规作图题时常有三种考 查方法： ①直接作图，如作角平分线，线段垂 直平分线，作一个角等于已知角等，直接利用 五种基本的尺规作图解答； ②如果所作图形不 是五种基本的尺规作图， 那就需要先进行判断 是用哪种作图方法来解答，如作三角形的内切 圆，那么就需要先作出两角的平分线，它们的 交点来确定圆心；过已知三点作圆，则需先将 三点两两连接，再作任两条线段的垂直平分线 来确定圆心；过直线外一点作已知直线的平行
(1)分别以点A，B为 圆心，以大于②
1
作线段AB ____2_A_B长 为 半 径 ， 在AB两侧作弧，分
的垂直平 别交于点M和点N；
分线MN (2) 作 直 线 MN ， 直 线 MN 即 为 线 段 AB 的垂直平分线
作一 个角 ∠A′
O′B′ 等于 ∠α
(1) 以 O 为 圆 心 ， 以 任 意 长 为 半径作弧，交∠α的两边于点 P、Q； (2)作射线O′A′； (3)以O′为圆心，OP长为半径 作弧，交O′A′于点M； (4)以点M为圆心，PQ长为半 径作弧交前弧于点N； (5) 过 点 N 作 射 线 O′B′ ， ∠A′O′B′即为所求角

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练习1题图
基础点闯关 重难点精讲优练
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练习2 (2016黔南州)如图是一个三棱柱笔筒，则该物体
的主视图是( C )
练习2题图
【解析】由题图可知主视图如C选项，俯视图为A,
左视图为B.
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练习 3 如图，将一个小球摆放在圆柱上，该几何体的俯
两个全等的 ⑩三__角__形__ 和三个矩形
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2.正方体展开图的类型 （1）一四一型：
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（2）二三一型
（3）三三型 （4）二二二型
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【提分要点】正方体的表面展开图中不能出现“
”、
“
”图形；若出现“
练习4题图
【解析】左视图是从几何体的左侧看到的图形，由俯视图中标 的数字可知：几何体的第一排有1个小正方体，第二排第三列有 3个小正方体，∴从左侧看得到的图形如A选项所示．
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练习5 (2016河南)下列几何体是由4个相同的小正方体搭成 的，其中主视图和左视图相同的是( C )
视图是( C )
练习3题 图
【解析】从上向下看，小球和圆柱的俯视图均为圆，则组
合体的俯视图为实线的圆环．
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考向二 小正方体组合体的三视图

或。
•一最个基圆本,最一常段用弧的尺规作图,称为 基本作图.
•一些复杂的尺规作图都是由 组成的. 基本作图
两种基本作图：
•1、作一条线段等于已知线段 •2、作一个角等于已知角
已知：线段AB．
求作：线段A’ B’，使A’ B’＝AB． 作法与示范：
A
•作
法
•示
•(1) 作射线A’C’ ；
(2) 以点A’为圆心，
以AB的长为半径 画弧，
交射线A’ C’于点B’，
A’B’ 就是所求作的线段。
A’
B’
B
范
C’
2、作一个角等于已知角 •已知： AOB(图1)
•求作： A`O`B`,使 A`O`B`= AOB B
O
A
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学习永远不晚。 JinTai College
• 这样作法正确吗？你应如何检验？ • 写出证明∠AOB= A O的B 过程.
随堂练习:
⑴已知∠ AOB，利用尺规作 ∠ A′O′B′，使∠ A′O′B′=2∠ AOB.
B
α
β
O
A
⑵已知角α，β(β＜α＜90°)求作一个角，使它等于获？
作业巩固
（一）阅读作业：通读教材，复习 巩固用尺规作一个角等于已知角； （二）书面作业：P24 习题1.3
画一画 作法与示范
作法
（1）作射线O′A′：
（2）以点O为圆心，以任意长为半径画弧， 交OA于点C，交OB于点D；
（3）以点O′为圆心，以OC长为半径画弧， 交O′ A′于点C′； （4）以点C′为圆心，以CD长为半径画弧， 交前面的弧于点D ′ ； （5）过点D ′作射线O ′ B ′ .

（ ｉ ） ｋ ； ｎ
设钢珠 的直径是 １ １ 测得钢珠顶端离零件 表面的 ０ ｍ， ｎ
距 离 为 ８ＴＴ， 图 ７ 示 ， 这 个 小 孔 的直 径 ＡＢ 是 Ｉ１ 如 ＩＩ 所 则 ｍＤ ｉ． ＿ 二 、 高 训 练 提 ５ 如 图 ８将 圆沿 ＡＢ折 叠 ． ， 后， 弧恰 好 经 过 圆 心， 圆 则
圆．
．
— —
求证 ： Ｆ平分 Ｃ Ｎ． Ｅ Ｅ 分析
轴 对 称 图形 ， 对 称 来 研 究 ． 从
的三 点确定 一个 ２ 圆上任意两点 间 的部分 叫做 圆弧 ， ． 简称弧． 大 于半 圆的弧称为
弦 叫做 ．
有弧相等从弧 弦关 系人手 ， 尺规作 图均为
（ ） 圆 心 为 ０， ０ ＿ Ｍ ， Ｑ上 ＡＮ， １设 作 ｌ ｌＡ Ｐ Ｉ Ｏ 证
—、
（ ） Ｅ一 ，１０ 一 １０ 一 ５ ， Ｄ一５ ×２ １０ ２Ｃ ／ ３ ２ ０ Ｃ ０ — ０，
１０ ２ —５ 小 时 ） ０÷ ０ （ ．
得 Ｆ Ｅ Ｃ ＦＣ Ｅ 一÷ ／ＭＣ ＝÷ＺＣ Ｎ， Ｅ Ｅ 得证．
厶
４ 圆是轴对称图形 ， ． 其对称轴是任意一条 的直线 ； 圆是 中心对称 图形 ， 对称中心为
平 分 弦 所 对 的 平 分 弦 所 对 的 ．
点评
圆中相等线 段 的证 明 ， 一般 不用全 等 ， 而
．
（） ２ 利用 尺规 作 图， 别作 分 线 段 Ｃ 的 垂 直 平 分 线 与 。 Ｅ ，
羼
． 移
，
— —
ＭＣ 的平 分 线 ， 线 交 于 点 Ｅ 两 Ｆ（ 留作 图痕 迹 ， 保 不写 作法 ） ， 定 长为
图１ （０ ８ 广 州） ２Ｏ ，

第25讲┃ 图形的平移与旋转
考点2 旋转 1. 如图 25－ 1，在直角三角形 OAB 中，∠ AOB＝ 30°，将△ AOB 绕点 O 逆时针方向旋转 100° 得到△ OA1B1，则∠ A1OB 的度数为 ________ 70° ．
第25讲┃ 图形的平移与旋转
2．如图 25－2， Rt△ABC 的斜边 AB＝ 16，Rt△ABC 绕点 O 顺时针旋转后得到 Rt△ A′ B′ C′，则 Rt△ A′ B′ C′的斜边 A′B′上的中线 C′D 的长度 8 为 ________ ．
第25讲┃ 图形的平移与旋转
2．将正方形 ABCD 向下平移 5 cm 得到正方形 A′ B′ C′ D′， A， B， C， D 的对应点分别是 A′， B′， C′， D′，则下 列说法中不正确的是 ( C) A． AA′＝ BB′， AB＝ A′B′ B． AA′∥ BB′， AB∥ A′ B′ C．正方形 ABCD 与正方形 A′B′C′D′的形状相同，大小不 相等 D．正方形 ABCD 与正方形 A′B′C′D′是全等形Leabharlann 第25讲┃ 图形的平移与旋转
[归纳总结] 方向 和角度． 1．旋转有两个重要的因素：旋转的 ________ 全等 形；通过旋转， 2．旋转前后的两个图形是 ________ 旋转中心 沿相同的方 图形中的每一点都绕着 ____________ 向旋转了同样大小的角度，即对应线段间的夹角 旋转角 等于 ______________ ；对应点到旋转中心的距离 相等 ． ________
第25讲┃ 图形的平移与旋转
[解析] 要想证明△PEF 始终是等腰直角三角形， 已知∠ EPF＝ 90°，所以需证 PE＝PF.证线段相等通常 是证明线段所在的三角形全等．而等腰三角形最常用的 是用“三线合一”作辅助线，构造全等三角形．

尺规作图
课标要求:



1.能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已 知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作 线段的垂直平分线，过一点作已知直线的垂线。 2.会利用基本作图作三角形：已知三边作三角形； 已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作 三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形。 3.探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点 作圆。 4.了解尺规作图的步骤，保留作图的痕迹，会写已 知、求作和作法（不要求证明）。
回顾作线段AB 的垂直平分线的步骤， 思考下列问题： 1.作线段垂直平分线的依据是什么？
垂直平分线上的点到A、B两端点的距离相等
2.这种作图方法还有哪些作用？
确定线段的中点．
C B D
A
垂直平分线


什么是垂直平分线？ 过线段的中点，垂直这条线段的直线 叫做这条线段的垂直平分线。 线段垂直平分线有哪些特征？ 1.线段的垂直平分线上的点到线段两 端点的距离相等； 2.到线段两端点距离相等的点在线段 的垂直平分线上。
分析：因为点E到B、D两点的距离相等， 所以，点E一定在线段BD的垂直平分线上。 作法： 1.以D为顶点，DC为边 作一个角等于∠ABC； 2.作DB的垂直平分线， 即可找到点E．
已知：线段AB，BC，∠ABC = 90°. 求作：矩形ABCD. 以下是甲、乙两同学的作业：
对于两人的作业，下列说法正确的是： A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对

在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，
1 C为圆心，以大于 BC 的长为半径作弧，两 2
弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点
D，连接CD.若CD＝AC，∠B＝25°，则

二、“尺规作图”可能问 题
1、作图公法：
① ② ③ ④ 经过两个已知点可作一直线； 已知圆心和半径可作一个圆； 若两已知直线相交，可求其交点； 若一已知直线和一已知圆相交，可求其交点；
⑤ 若两已知圆相交，可求其交点。
二、“尺规作图”可能问 题
2、基本作图
①做一条线段等于已知线段； ②作一角等于已知角； ③平分已知角； ④经过一点作已知直线的垂线； ⑤作线段的垂直平分线。
二、“尺规作图”可能问 题
4、最基本的作图表述：
① 过点×，点×作直线××；或作直线××；或作射 线××． ② 连结点×、×，或连结××． ③ 延长××到点×，使××=××． ④ 延长××交××于点×． ⑤ 在××上截取××=××． ⑥ 以点×为圆心，××为半径作圆（弧）． ⑦ 以点×为圆心，××为半径作弧交××于点×． ⑧ 分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作 弧，两弧相交于点×、×．
二、“尺规作图”可能问 题
7、几种常见的尺规作图方法
（5）面积割补法 例7，过⊿ABC的底边BC上一定点P， 求作一直线l，使其平分⊿ABC的面积.
三、“尺规作图”不能问 题
1、著名的几何三大问题（古典难题）： （1）化圆为方问题：作一个正方形，使它的 面积等于已知圆的面积。 （2）三等分角问题：三等分一个任意角。 （3）倍立方问题：作一个立方体，使它的体 积是已知立方体的体积的两倍。
过不在同一直线上的三点作圆；
作三角形的内切圆； 作圆的内接正方形和正六边形。
（4）在上述尺规作图的问题中，了解作图的道理，保留作图 的痕迹，不要求写出作法。
五、《数学课程标准》及中考要求
在中考中作图题主要有：
已知三边作三角形，
已知两边及其夹角作三角形；

于C，交OB于D.
• 3、以点O`为圆心，以OC长为半径作弧，交
O`A`于C`.
• 4、以点C`为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧 于D`.
• 5、经过点D`作射线O`B`，∠A`O`B`就是所求的角.
第六页，编辑于星期六：八点 三分。
B D
B`
D`
O
C
A
O`
C` A`
• 证明：连结CD、 C`D`，由作法可知 • △C`O`D`≌△COD(SSS)， • ∴∠C`O`D`=∠COD(全等三角形的对应角相等)， • 即∠A`O`B`=∠AOB.
AC＝MN，线段AC就是所要画的线段．
第四页，编辑于星期六：八点 三分。
作一个角等于已知角
• 已知：∠AOB(如下页图) • 求作：∠A`O`B`，使∠A`O`B`=∠AOB
第五页，编辑于星期六：八点 三分。
B D
B` D`
O
C
A
O`
C`
A`
• 1、作射线O`A`.
• 2、以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA
(3)以点D为圆心，以同样的长为半径在直线的同一侧画弧，
两弧交于点D；
(4)经过点C、D作直线CD． 直线CD即为所求．
第十一页，编辑于星期六：八点 三分。
②.如图，如果点C不在直线l上，试和同学讨论，应采取怎 样的步骤，过点C画出直线l的垂线？
作法：(1)以点C为圆心，以适当长为半径画弧，交直线 l于点A、B；
生活离不开数学
• A、B是两个村庄，要从灌溉
总渠引两条水渠便于灌溉，请你
选择最佳方案.
第十七页，编辑于星期六：八点 三分。
已知:线段a，c，∠α
求作:ΔABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠ α