第四章 第5讲 尺规作图

2.4尺规作图1.定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．注意：（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度．（3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度．直尺的功能（1）在两点间连接一条线段;（2）过平面上的两点画直线;（3）作射线或线段.圆规的功能（1）以任意一点为圆心，任意长为半径作圆或圆弧;（2）在直线上截取一条线段，使它等于已知线段.2.做已知角示例：题型1：识别尺规作图1.在下列各题中，属于尺规作图的是（）A．利用三角板画45°的角B．用直尺和三角板画平行线C．用直尺画一工件边缘的垂线D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段【变式1-1】下列作图属于尺规作图的是（）A．用量角器画出∠AOB的平分线OCB．借助直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠αC．画线段AB＝3cmD．用三角尺过点P作AB的垂线【变式1-2】下列属于尺规作图的是（）A．用刻度尺和圆规作△ABCB．用量角器画一个300°的角C．用圆规画半径2cm的圆D．作一条线段等于已知线段题型2：用尺规做一个角等于已知角2.如图，已知∠AOB，求作∠ECF，使∠ECF＝∠AOB．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【变式2-1】已知：∠AOB．利用尺规作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝2∠AOB．【变式2-2】如图，已知∠AOB，点P是OA边上的一点．（1）在OA的右侧作∠APC＝∠AOB（用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线PC与直线OB的位置关系，并说明理由．题型3：用尺规作已知角的和差3.如图，已知∠1，∠2，求作一个角，使它等于2∠1+∠2．（不写作法，保留作图痕迹）【变式3-1】如图，已知∠1，∠2，求作一个角，使它等于2∠1﹣∠2．（不写作法，保留作图痕迹）题型4：利用转化思想做已知直线的平行线4.如图，按要求作图：（1）过点P作直线CD平行于AB；（2）过点P作PE⊥AB，垂足为O．【变式4-1】如图，在△ABC中，点D为AB中点，请用尺规作图方法，在线段AC上找一点E，使得DE ∥BC．（请保留作图痕记，不写作法）题型5：利用尺规作长方形5.已知：如图，∠MAN＝90°，线段a和线段b求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD的两条边长分别等于线段a和线段b．下面是小东设计的尺规作图过程．作法：如图，①以点A为圆心，b为半径作弧，交AN于点B；②以点A为圆心，a为半径作弧，交AM于点D；③分别以点B、点D为圆心，a、b长为半径作弧，两弧交于∠MAN内部的点C；④分别连接BC，DC．所以四边形ABCD就是所求作的矩形．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB＝；AD＝；∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠MAN＝90°；∴四边形ABCD是矩形（填依据）．【变式5-1】已知∶线段a，b（a>b）和一个大小为90°的角，求作∶长方形 ABCD，使其长与宽分别等于a和b.。

第5讲 尺规作图A 级 基础题1．(2016年湖北宜昌)任意一条线段EF ，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图4-5-12.若连接EH ，HF ，FG ，GE ，则下列结论中，不一定正确的是( )图4-5-12A ．△EGH 为等腰三角形B ．△EGF 为等边三角形C ．四边形EGFH 为菱形D ．△EHF 为等腰三角形 2．数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图4-5-13，已知直线l 和l 外一点P ，用直尺和圆规作直线PQ ，使PQ ⊥l 于点Q .”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是( )图4-5-13A. B. C. D.3．如图4-5-14，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以点A 和B 为圆心，以相同的长⎝⎛⎭⎫大于12AB 为半径作弧，两弧相交于点M 和N ，作直线MN 交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接CD ，下列结论错误的是( )图4-5-14A ．AD ＝BDB ．BD ＝CDC ．∠A ＝∠BED D ．∠ECD ＝∠EDC4．已知△ABC ，AB ＜BC ，用尺规作图的方法在BC 上取一点P ，使得P A ＋PC ＝BC ，则下列选项正确的是( )A. B. C. D. 5．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图4-5-15，能得出∠A ′O ′B ′＝∠AOB 的依据是( )图4-5-15A ．SASB ．SSSC ．ASAD ．AAS6．数学课上，老师让学生尺规作图画Rt △ABC ，使其斜边AB ＝c ，一条直角边BC ＝a .小明的作法如图4-5-16，你认为这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是( )图4-5-16A ．勾股定理B ．直径所对的圆周角是直角C ．勾股定理的逆定理D ．90°的圆周角所对的弦是直径 7．如图4-5-17，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝20°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则∠ADB ＝________.图4-5-178．(2016年广东梅州)如图4-5-18，在平行四边形ABCD 中，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交AD 于点F ，再分别以点B ，F 为圆心，大于12BF 长为半径画弧，两弧交于一点P ，连接AP 并延长交BC 于点E ，连接EF .图4-5-18(1)四边形ABEF 是__________；(选填矩形、菱形、正方形、无法确定)(直接填写结果) (2)AE ，BF 相交于点O ，若四边形ABEF 的周长为40，BF ＝10，则AE 的长为________，∠ABC ＝________.(直接填写结果)9．如图4-5-19，已知线段AB ，分别以点A ，B 为圆心，大于线段AB 长度一半的长为半径画弧，相交于点C ，D ，连接AC ，BC ，BD ，CD 和AD .其中AB ＝4，CD ＝5，则四边形ABCD 的面积为________．图4-5-1910．如图4-5-20，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD .若△ADC 的周长为10，AB ＝7，则△ABC 的周长为________．图4-5-2011．两个城镇A ，B 与两条公路l 1，l 2的位置如图4-5-21.电信部门需在C 处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A ，B 的距离必须相等，到两条公路l 1，l 2的距离也必须相等，那么点C 应选在何处？请在下图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C .(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹)图4-5-2112．(2016湖北孝感)如图4-5-22，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°.(1)请用直规按下列步骤作图，保留作图痕迹： ①作∠ACB 的平分线，交斜边AB 于点D ； ②过点D 作AC 的垂线，垂足为点E .(2)在(1)作出的图形中，若CB ＝4，CA ＝6，则DE ＝__________.图4-5-22B 级 中等题13．如图4-5-23，在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，适当的长度为半径画弧，交x轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P .若点P 的坐标为(6a,2b －1)，则a 和b 的数量关系为( )图4-5-23A ．6a －2b ＝1B ．6a ＋2b ＝1C ．6a －b ＝1D ．6a ＋b ＝114．(2016年浙江衢州)如图4-5-24，已知BD是矩形ABCD的对角线．(1)用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F.(保留作图痕迹，不写作法和证明)(2)连接BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．图4-5-2415．(2015年山西)如图4-5-25，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.(1)尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母；(2)在你按(1)中要求所作的图中，若BC＝3，∠A＝30°，求DE的长．图4-5-2516．(2016年山东青岛)如图4-5-26，已知：线段a及∠ACB.求作：⊙O，使⊙O在∠ACB 的内部，CO＝a，且⊙O与∠ACB的两边分别相切．图4-5-26C级拔尖题17．(2016年湖北咸宁节选)如图4-5-27(1)，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,1)，取一点B(b,0)，连接AB，作线段AB的垂直平分线l1，过点B作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P.(1)当b＝3时，在图4-5-27(1)中补全图形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)小慧多次取不同数值b，得出相应的点P，并把这些点用平滑的曲线连接起来，发现：这些点P竟然在一条曲线L上！图4-5-27。