无序图的邻接矩阵乘幂可以求任意两顶点间给定长度的路的条数

邻接矩阵求最短路径c语言邻接矩阵表示图中各个节点之间的关系，在求解最短路径问题中，邻接矩阵是非常重要的数据结构之一。

下面是一个简单的C语言程序，用于利用邻接矩阵求解最短路径问题。

首先，我们需要定义一个邻接矩阵。

假设我们有一个图，其中有5个节点，节点编号从1到5，邻接矩阵可以表示为一个5x5的二维数组，其中arr[i][j]表示从节点i到节点j的距离。

如果两个节点之间没有直接的边，则arr[i][j]的值为无穷大。

接下来，我们需要使用Dijkstra算法来求解最短路径。

该算法使用贪心策略，在每一次迭代中，选择当前距离源点最近的节点，并以该节点为中心更新其周围的节点的距离。

具体实现如下：1. 定义一个长度为n的数组dist，其中dist[i]表示从源点到节点i的距离。

2. 将dist数组初始化为无穷大，源点的dist值为0。

3. 定义一个长度为n的数组visited，标记已经被访问过的节点。

4. 循环n次，每次选择一个距离源点最近的未被访问过的节点u。

5. 标记节点u为已经访问过。

6. 遍历节点u的所有邻居v，如果从源点到v的距离通过u可以更新，则更新dist[v]的值。

7. 返回dist数组，即为从源点到各个节点的最短距离。

下面是一个简单的C语言程序，用于实现邻接矩阵求最短路径的功能。

```c#include <stdio.h>#define INF 99999#define MAX_N 100int arr[MAX_N][MAX_N]; //邻接矩阵int dist[MAX_N]; //存储最短距离int visited[MAX_N]; //标记已经被访问过的节点int n; //节点数int minDistance() {int minDist = INF;int minIndex = -1;for (int i = 0; i < n; i++) {if (visited[i] == 0 && dist[i] < minDist) {minDist = dist[i];minIndex = i;}}return minIndex;}void dijkstra(int start) {//初始化dist数组和visited数组for (int i = 0; i < n; i++) {dist[i] = INF;visited[i] = 0;}dist[start] = 0;for (int i = 0; i < n - 1; i++) {int u = minDistance();visited[u] = 1;for (int v = 0; v < n; v++) {if (visited[v] == 0 && arr[u][v] != INF && dist[u] + arr[u][v] < dist[v]) {dist[v] = dist[u] + arr[u][v];}}}}int main() {//初始化邻接矩阵n = 5;for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {arr[i][j] = INF;}}arr[0][1] = 10;arr[0][4] = 5;arr[1][2] = 1;arr[1][4] = 2;arr[2][3] = 4;arr[3][2] = 6;arr[3][0] = 7;arr[4][1] = 3;arr[4][2] = 9;arr[4][3] = 2;//执行Dijkstra算法dijkstra(0);//输出结果for (int i = 0; i < n; i++) {printf('从节点0到节点%d的最短距离是%d ', i, dist[i]);}return 0;}```代码中，我们使用了INF表示两个节点之间没有直接的边。

《数据结构（C语言版第2版）》（严蔚敏著）第六章练习题答案第6章图1．选择题（1）在一个图中，所有顶点的度数之和等于图的边数的（）倍。

A．1/2B．1C．2D．4答案：C（2）在一个有向图中，所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和的（）倍。

A．1/2B．1C．2D．4答案：B解释：有向图所有顶点入度之和等于所有顶点出度之和。

（3）具有n个顶点的有向图最多有（）条边。

A．n B．n(n-1)C．n(n+1)D．n2答案：B解释：有向图的边有方向之分，即为从n个顶点中选取2个顶点有序排列，结果为n(n-1)。

（4）n个顶点的连通图用邻接距阵表示时，该距阵至少有（）个非零元素。

A．n B．2(n-1)C．n/2D．n2答案：B所谓连通图一定是无向图,有向的叫做强连通图连通n个顶点,至少只需要n-1条边就可以了,或者说就是生成树由于无向图的每条边同时关联两个顶点,因此邻接矩阵中每条边被存储了两次（也就是说是对称矩阵）,因此至少有2(n-1)个非零元素（5）G是一个非连通无向图，共有28条边，则该图至少有（）个顶点。

A．7B．8C．9D．10答案：C解释：8个顶点的无向图最多有8*7/2=28条边，再添加一个点即构成非连通无向图，故至少有9个顶点。

（6）若从无向图的任意一个顶点出发进行一次深度优先搜索可以访问图中所有的顶点，则该图一定是（）图。

A．非连通B．连通C．强连通D．有向答案：B解释：即从该无向图任意一个顶点出发有到各个顶点的路径，所以该无向图是连通图。

（7）下面（）算法适合构造一个稠密图G的最小生成树。

A．Prim算法B．Kruskal算法C．Floyd算法D．Dijkstra算法答案：A解释：Prim算法适合构造一个稠密图G的最小生成树，Kruskal算法适合构造一个稀疏图G的最小生成树。

（8）用邻接表表示图进行广度优先遍历时，通常借助（）来实现算法。

A．栈 B.队列 C.树D．图答案：B解释：广度优先遍历通常借助队列来实现算法，深度优先遍历通常借助栈来实现算法。

邻接矩阵的乘法邻接矩阵是图论中最基本的数据结构之一，它用于表示有向图和无向图中的顶点和边。

邻接矩阵乘法是计算两个邻接矩阵相乘的算法，它在图论和计算机科学领域中都有广泛应用。

本文将详细介绍邻接矩阵乘法的概念、实现方法和应用场景。

一、概念1. 邻接矩阵邻接矩阵是一个二维数组，其中每个元素表示两个顶点之间是否存在一条边。

对于无向图而言，邻接矩阵是一个对称矩阵；对于有向图而言，邻接矩阵则不一定是对称的。

2. 邻接矩阵乘法邻接矩阵乘法是指将两个有向图或无向图的邻接矩阵相乘得到一个新的邻接矩阵。

在计算机科学中，通常使用这种方法来计算两个图之间的路径或者连接关系。

二、实现方法1. 常规算法常规的邻接矩阵乘法算法需要进行三重循环操作。

具体来说，就是先将第一个邻接矩阵的每一行和第二个邻接矩阵的每一列相乘，然后将结果相加得到新的邻接矩阵。

这种算法的时间复杂度为O(n^3)。

2. Strassen算法Strassen算法是一种优化的邻接矩阵乘法算法，它将三重循环操作转换成了七个子问题。

通过递归调用自身来解决这些子问题，可以将时间复杂度降低到O(n^2.81)。

3. Coppersmith-Winograd算法Coppersmith-Winograd算法是目前已知的最快的邻接矩阵乘法算法，它将时间复杂度降低到了O(n^2.376)。

该算法使用了分治和线性代数的技巧，并且需要大量的预处理和内存空间。

三、应用场景1. 图论中的最短路径问题在图论中，最短路径问题是指找到两个顶点之间距离最短的路径。

通过使用邻接矩阵乘法可以计算出两个图之间所有可能的路径，并且找出其中距离最短的一条路径。

2. 计算机网络中的路由选择在计算机网络中，路由选择是指选择从一个网络节点到另一个网络节点的最佳路径。

通过使用邻接矩阵乘法可以计算出网络中所有节点之间的距离，并且找出最佳的路由选择方案。

3. 机器学习中的矩阵运算在机器学习中，矩阵运算是非常常见的操作。

数据结构第六章图练习题及答案详细解析（精华版）第一篇：数据结构第六章图练习题及答案详细解析(精华版) 图1.填空题⑴ 设无向图G中顶点数为n，则图G至少有（）条边，至多有（）条边；若G为有向图，则至少有（）条边，至多有（）条边。

【解答】0，n(n-1)/2，0，n(n-1)【分析】图的顶点集合是有穷非空的，而边集可以是空集；边数达到最多的图称为完全图，在完全图中，任意两个顶点之间都存在边。

⑵ 任何连通图的连通分量只有一个，即是（）。

【解答】其自身⑶ 图的存储结构主要有两种，分别是（）和（）。

【解答】邻接矩阵，邻接表【分析】这是最常用的两种存储结构，此外，还有十字链表、邻接多重表、边集数组等。

⑷ 已知无向图G的顶点数为n，边数为e，其邻接表表示的空间复杂度为（）。

【解答】Ｏ(n+e)【分析】在无向图的邻接表中，顶点表有n个结点，边表有2e个结点，共有n+2e个结点，其空间复杂度为Ｏ(n+2e)=Ｏ(n+e)。

⑸ 已知一个有向图的邻接矩阵表示，计算第j个顶点的入度的方法是（）。

【解答】求第j列的所有元素之和⑹ 有向图G用邻接矩阵A[n][n]存储，其第i行的所有元素之和等于顶点i的（）。

【解答】出度⑺ 图的深度优先遍历类似于树的（）遍历，它所用到的数据结构是（）；图的广度优先遍历类似于树的（）遍历，它所用到的数据结构是（）。

【解答】前序，栈，层序，队列⑻ 对于含有n个顶点e条边的连通图，利用Prim算法求最小生成树的时间复杂度为（），利用Kruskal算法求最小生成树的时间复杂度为（）。

【解答】Ｏ(n2)，Ｏ(elog2e)【分析】Prim算法采用邻接矩阵做存储结构，适合于求稠密图的最小生成树；Kruskal算法采用边集数组做存储结构，适合于求稀疏图的最小生成树。

⑼ 如果一个有向图不存在（），则该图的全部顶点可以排列成一个拓扑序列。

【解答】回路⑽ 在一个有向图中，若存在弧、、，则在其拓扑序列中，顶点vi, vj, vk的相对次序为（）。

习题7 图7.1 单项选择题1．在一个图中，所有顶点的度数之和等于所有边数的____倍。

A. 1/2B. 1C. 2D. 42．任何一个无向连通图的最小生成树。

A.只有一棵B3．在一个有向图中，所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和的____倍。

A. 1/2B. 1C. 2D. 44．一个有n个顶点的无向图最多有____条边。

A. nB. n(n-1)C. n(n-1)/2D. 2n5．具有4个顶点的无向完全图有____条边。

A. 6B. 12C. 16D. 206．具有6个顶点的无向图至少应有____条边才能确保是一个连通图。

A. 5B. 6C. 7D. 87．在一个具有n个顶点的无向图中，要连通全部顶点至少需要____条边。

A. nB. n+1C. n-1D. n/28．对于一个具有n个顶点的无向图，假设采用邻接矩阵表示，那么该矩阵的大小是____。

A. nB. (n-1)2C. n-1D. n29．对于一个具有n个顶点和e条边的无向图，假设采用邻接表表示，那么表头向量的大小为_①___；所有邻接表中的接点总数是_②___。

①A. n B. n+1 C. n-1 D. n+e②A. e/2 B. e C.2e D. n+e10．一个图如图7.1所示，假设从顶点a出发按深度搜索法进行遍历，那么可能得到的一种顶点序列为__①__；按宽度搜索法进行遍历，那么可能得到的一种顶点序列为__②__。

①A. a,b,e,c,d,f B. e,c,f,e,b,d C. a,e,b,c,f,d D. a,e,d,f,c,b②A. a,b,c,e,d,f B. a,b,c,e,f,d C. a,e,b,c,f,d D. a,c,f,d,e,b图 7.1 一个无向图11．一有向图的邻接表存储结构如图7.2所示。

图7.2 一个有向图的邻接表存储结构⑴根据有向图的深度优先遍历算法，从顶点v1出发，所得到的顶点序列是____。

邻接矩阵的定义
邻接矩阵是一种表示图形的数据结构，它是一个二维数组，其中每个元素代表两个顶点之间是否存在边。

如果两个顶点之间存在一条边，则该元素的值为1，否则为0。

邻接矩阵的大小取决于图形中顶点的数量。

对于n个顶点的图形，邻接矩阵将是一个n x n的方阵。

邻接矩阵可以用来表示有向图和无向图。

在无向图中，邻接矩阵是一个对称矩阵，因为当两个顶点之间存在一条边时，它们之间都会有相同的关系。

使用邻接矩阵可以方便地进行许多基本操作，例如查找两个顶点之间是否存在一条边、计算每个顶点的度数、查找与给定顶点相邻的所有顶点等等。

此外，在某些情况下使用邻接矩阵可以提高算法效率。

但是，在某些情况下使用邻接矩阵可能会占用过多的内存空间。

如果图形中有很少的边，则大部分元素将为0，并且这些元素仍然需要存储在内存中。

因此，在这种情况下使用稀疏矩阵可能更为适合。

总之，邻接矩阵是一种简单而有效的数据结构，可以用来表示图形，
并且在许多情况下都能够提供高效的算法。

但是，在使用时需要考虑内存空间占用的问题，并选择适合具体情况的数据结构。

图论基础图的表示与常见算法图论是数学的一个分支，研究的是图这种数学结构。

图由节点（顶点）和边组成，是研究网络、关系、连接等问题的重要工具。

在图论中，图的表示和算法是非常重要的内容，本文将介绍图的表示方法以及一些常见的图算法。

一、图的表示1. 邻接矩阵表示法邻接矩阵是表示图的一种常见方法，适用于稠密图。

对于一个有n 个节点的图，邻接矩阵是一个n×n的矩阵，其中第i行第j列的元素表示节点i到节点j是否有边相连。

如果有边相连，则该元素的值为1或边的权重；如果没有边相连，则该元素的值为0或者无穷大。

邻接矩阵的优点是可以方便地进行边的查找和修改，但缺点是对于稀疏图来说，会浪费大量的空间。

2. 邻接表表示法邻接表是表示图的另一种常见方法，适用于稀疏图。

对于一个有n 个节点的图，邻接表是一个长度为n的数组，数组中的每个元素是一个链表，链表中存储了与该节点相连的其他节点。

邻接表的优点是节省空间，适用于稀疏图，但缺点是查找边的时间复杂度较高。

3. 关联矩阵表示法关联矩阵是表示图的另一种方法，适用于有向图。

对于一个有n个节点和m条边的图，关联矩阵是一个n×m的矩阵，其中第i行第j列的元素表示节点i和边j的关系。

如果节点i是边j的起点，则该元素的值为-1；如果节点i是边j的终点，则该元素的值为1；如果节点i与边j无关，则该元素的值为0。

关联矩阵适用于有向图，可以方便地表示节点和边之间的关系。

二、常见图算法1. 深度优先搜索（Depth First Search，DFS）深度优先搜索是一种用于遍历或搜索图的算法。

从起始节点开始，沿着一条路径一直向下搜索，直到到达叶子节点，然后回溯到上一个节点，继续搜索其他路径。

DFS可以用递归或栈来实现。

2. 广度优先搜索（Breadth First Search，BFS）广度优先搜索是另一种用于遍历或搜索图的算法。

从起始节点开始，先访问起始节点的所有邻居节点，然后再依次访问邻居节点的邻居节点，以此类推。