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2016_2017学年高中数学第三章推理与证明章末高效整合课件北师大版选修1_2

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2016_2017学年高中数学第三章推理与证明3.1综合法课件北师大版选修1_2

2016_2017学年高中数学第三章推理与证明3.1综合法课件北师大版选修1_2
第三章——
§3
综合法与分析法 3.1 综合法
[学习目标]
1.了解直接证明的一种基本方法——综合法. 2.理解综合法的思考过程、特点,会用综合法证明数学问题.
1 知识梳理 2 题型探究 3 当堂检测
自主学习
重点突破 自查自纠
知识点一
综合法的定义
从命题的 条件 出发,利用 定义 、 公理 、 定理 及 运算法则 ,
P⇒Q1 ― → Q1⇒Q2 ― → Q2⇒Q3 ― → „― → Qn⇒Q
题型一
例1
综合法证明数列问题
n＋2 数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1＝1,an＋1＝ n Sn(n
＝1,2,3„),
Sn 是等比数列； 证明：(1)数列 n
n＋2 证明 ∵an＋1＝Sn＋1－Sn,an＋1＝ S (n∈N＋), n n
n＋2 n＋1 ∵an＋1＝ S ,∴an＝ Sn－1(n≥2). n n n－1 Sn－1 ∴Sn＋1＝4(n＋1)· ＝4an(n≥2). n－1
又a2＝3S1＝3,故S2＝a1＋a2＝4＝4a1.
因此对于任意正整数n≥1,都有Sn＋1＝4an.
反思与感悟
综合法证明数列问题时的证明依据主要来源于以下
通过 演绎推理 ,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命 题的证明,这种思维方法称为综合法.
思考 综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
答 综合法的推理过程是演绎推理，它的每一步推
综合法证明的思维过程
用P表示已知条件、已知的定义、公理、定理等,Q表示所 要证明的结论,则综合法的思维过程可用框图表示为：
两式,第三式可以由该等式用另两式表示出来.
跟踪训练 2
已知 a,b,c 是正实数,a,b,c 互不相等且 abc＝1.证

北师大版数学选修12 第三章 推理与证明章末归纳总结课件37张

北师大版数学选修12 第三章 推理与证明章末归纳总结课件37张
2．演绎推理及合情推理不同，演绎推理是由一般到特 殊的推理，是数学证明中的基本推理形式，只要前提正确，推 理形式正确，得到的结论就正确．
第三章 章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修1-2
3．合情推理及演绎推理既有联系，又有区别，它们相 辅相成，前者为人们探索未知提出猜想提供科学的方法，后者 为人们证明猜想的正确性提供科学的推理依据．
第三章 章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修1-2
知识结构
第三章 章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修1-2 第三章 章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修1-2
误区警示
第三章 章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修1-2
1．进行类比推理时，可以从①问题的外在结构特征， ②图形的性质或维数．③处理一类问题的方法．④事物的相似 性质等入手进行类比．要尽量从本质上去类比，不要被表面现 象迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就 会犯机械类比的错误．
第三章 章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修1-2
类比推理 若记号“*”表示两个实数 a 与 b 的算术平均的
运算，即 a*b＝a＋2 b，则两边均含有运算符号“*”和“＋”，且 对于任意 3 个实数 a、b、c 都能成立的一个等式可以是________.
第三章 章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修1-2
[解析] x1＝f(x0)＝f(5)＝2， x2 ＝ f(2) ＝ 1 ， x3 ＝ f(1) ＝ 4 ， x4 ＝ f(4) ＝ 5 ， x5 ＝ f(5) ＝ 2，…，数列{xn}是周期为4的数列，所以x2015＝x3＝4，故应选 C．

高中数学第三章推理与证明1.1归纳推理课件北师大版选修1_2

高中数学第三章推理与证明1.1归纳推理课件北师大版选修1_2
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
第三章 §1 归纳与类比
1.1 归纳推理
学习目标
1.了解归纳推理的含义. 2.能用归纳方法进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发 展中的作用.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点 归纳推理
思考 (1)一个人看见一群乌鸦都是黑的，于是说“天下乌鸦一般黑”； (2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电. 以上属于什么推理？ 答案 属于归纳推理.符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些 特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理.
…，那么在前 200
个彩旗中黄旗的个数为
A.111
B.89
C.133
√D.67
解析 观察彩旗排列规律可知，颜色的交替成周期性变化，周期为9， 每9个旗子中有3个黄旗，则200÷9＝22余2， 则200个旗子中黄旗的个数为22×3＋1＝67.故选D.
1 2 34 5
解析 答案
5.按照图1、图2、图3的规律，第10个图中圆点的个数为_4_0__.
解析 答案
反思与感悟 归纳推理在图形中的应用策略
跟踪训练3 如图，在所给的四个选项中，能使两组图呈现一定的规律 性的为
√
解析 答案
达标检测
1.根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于

高中数学第三章推理与证明章末高效整合课件北师大版选修1_2

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•
给出一个“三角形”的数表如下：
• 此表构成的规则是：第一行是0,1,2，…，999，以后
下一行的数是上一行相邻两个数的和．问：第四行 的数中能被999整除的数是什么？
• 解析： 首先找出第四行数的构成规律．
• 通过观察、分析，可以看出：第四行的任一个数都 和第一行中相应的四个相邻的数有关，具体关系可 以 么a从n＝上8表n＋看4出. ：如果用an表示第四行的第n个数，那
肯定条件p， 否定结论q
―推―理→
导致逻 辑矛盾
矛―盾 ―→律
“既
p
又 ¬q” 为 假
排―中 ―→律“若 p 则 q”为真． (3)在应用反证法证题时，一定要用到“反证”进行推理，
否则就不是反证法．
• 7．反证法适用范围
• 反证法主要适用于以下三种情形：
• (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条 件推出结论的线索不够清晰；
综合法与分析法证题
• 综合法是我们在已经储存了大量知识，积累了丰富 经验的基础上所用的一种方法，其优点是叙述起来 简洁、直观、条理清楚，综合法可使我们从已知的 知识中进一步获得新知识．
• 分析法是一种从未知到已知的逻辑推理方法．在探 求问题时，它可以帮助我们构思，因而在一般分析 问题时较多地采用分析法，只是找到思路后，往往 用综合法加以叙述，正如恩格斯所说“没有分析就
证明：
1 由题图可知，phaa＝212BBCC··phaa＝SS△ △PABBCC，
同理，phbb＝SS△△APABCC，phcc＝SS△△APABBC， ∵S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝S△ABC， ∴phaa＋phbb＋phcc＝S△PBC＋SS△△APBACC＋S△PAB＝1.

高中数学 第三章 推理与证明 归纳推理教案 北师大版选修1-2(1)

高中数学 第三章 推理与证明 归纳推理教案 北师大版选修1-2(1)

3.1归纳与类比归纳推理教材依据“归纳推理”是北京师范大学出版社出版的普通中学课程标准实验教科书数学（选修1－2）第三章第一节的内容。

教学目标：1.知识与技能目标：理解归纳推理的原理，并能运用解决一些简单的问题。

2.过程与方法目标：通过自主、合作与探究实现“一切以学生为中心”的理念。

3.情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。

教学重点：归纳推理的原理教学难点：归纳推理的具体应用。

教法学法：自主、合作探究教学教学准备：多媒体电脑、课件、空间多面体模型等教学过程：1.创设情景：1．情景㈠：苹果落地的故事，正是基于这个发现，牛顿大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“万有引力定理”思考：整个过程对你有什么启发？教师：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。

2．情景㈡：陈景润和他在“歌德巴赫猜想”证明中的伟大成就：任何一个大于4的偶数都可以写成两个奇素数之和。

如：6＝3+3，8＝3+5，10＝5+5, 12＝5+7，14＝7+7， 16＝5+11,…，1000＝29＋971，1002＝139＋863，……2.探求研究:探究1．学生根据自备的多面体进行观察，统计多面体的面数、顶点数和棱数；（学生实验与教师课件演示结合）探究2．观察、猜想它们之间是否有稳定的数量关系？探究3．整理所得结论，并尝试证明；若得证，则改写成定理，否则修改猜想，进一步尝试证明。

教师指导，合作交流，归纳：22V V V =棱柱棱台棱锥＝－，32EE E =棱柱棱台棱锥＝，1F F F 棱柱棱台棱锥＝＝＋，F+V-E=2等等，其中“F+V -E=2”为“欧拉公式”。

3.概念讲解结合情景问题和探究过程所得，教师引导学生完成归纳推理的概念及分析。

定义：根据一类事物的部分事物具有某种属性,推断该类事物的每一个都具有这种属性的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).说明：⑴归纳推理的作用：发现新事实，获得新结论；(2)归纳推理的一般步骤：试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论→证明；⑶归纳推理的结论不一定成立。

2016_2017学年高中数学第三章推理与证明1归纳与类比1.1归纳推理课件北师大版选修1_2

2016_2017学年高中数学第三章推理与证明1归纳与类比1.1归纳推理课件北师大版选修1_2

当n＝5时，a5＝(52－5×5－5)2＝25.
【纠错心得】 归纳得出的结论不一定正确，需要进行验 证．另外说明一个命题正确要进行证明，而说明其错误则举出
一个反例即可．
52＋5＋2 所以 n＝5 时，f(5)＝25，g(5)＝ ＝16. 2
(2)根据题意猜想： 圆内两两相交的 n(n≥2)条线段，彼此最多分割为 f(n)＝n2 n2＋n＋2 条线段，将圆最多分割为 g(n)＝ 部分． 2
方法二：(1)求 f(n)同方法一， ∵g(2)－g(1)＝2，g(3)－g(2)＝3，g(4)－g(3)＝4， ∴g(5)－g(4)＝5，g(5)＝g(4)＋5＝11＋5＝16. (2)由(1)归纳猜测 g(n)－g(n－1)＝n， ∴累加得 g(n)－g(1)＝2＋3＋4＋…＋n. ∴g(n)＝(1＋2＋3＋…＋n)＋1 nn＋1 n2＋n＋2 ＝ 2 ＋1＝ . 2
第 三 章
推理与证明
§1 归纳与类比
1．1 归纳推理
课前预习学案
有下列几个结论 ①若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件； 1 ②抛物线 y ＝4x 关于直线 x＝y 对称的抛物线的焦点坐标
2
1 是0，16；
③x>3 是 x≥3 的充分但不必要条件； 1 ④函数 f(x)＝ 2(x∈R)的值域是[0,1]． 1＋x 其中正确的是________．(填序号) 提示： ①②③
a4＝a3＋5＝9. 由a1＝02，a2＝12，a3＝22，a4＝32，
可归纳猜想出an＝(n－1)2.
an (2)当 n＝1，a1＝1，由 an＋1＝ (n∈N*)，得 1＋2an 1 a2 1 a3 1 a2＝3，a3＝ ＝ ，a ＝ ＝ . 1＋2a2 5 4 1＋2a3 7 1 1 1 1 由 a1＝1＝1，a2＝3，a3＝5，a4＝7， 1 可归纳猜想出 an＝ (n∈N*) 2n－1

高中数学 第三章 推理与证明 综合法名师点拨课件 北师大版选修1-2(1)

B1、B2等，可由B、B1、B2能推演出的进一步的中间结论则可能 更多，如C、C1、C2、C3、C4等等．最终能有一个(或多个)可推 演出结论D即可．
4．在综合法中，每个推理都必须是正确的，每个论断都应
当是前面一个论断的必然结果．因此所用语气必须是肯定的．
◎如图，正方体 ABCD － A1B1C1D1 中， O 是底面 ABCD 的中
心，B1H⊥D1O，H是垂足，
求证：B1H⊥AD1
【错解】
证明：∵B1H⊥D1O，D1O⊂面AD1C
∴B1H⊥面AD1C 又∵AD1⊂面AD1C
∴B1H⊥AD1
Байду номын сангаас 【错因】
上述证法错在对线面垂直的判定定理掌握不准
确，而出现了由 B1H⊥D1O 推出 B1H⊥ 面 AD1C. 事实上要得线面
垂直，必须直线垂直于平面内的两条相交直线．
【正解】
证明：连结BD，
∵ABCD是正方形， ∴AC⊥BD， 又B1B⊥面ABCD，AC⊂面ABCD， ∴B1B⊥AC， ∵B1B∩BD＝B， ∴AC⊥面BB1D1D， 而B1H⊂面BB1D1D，
∴AC⊥B1H， 又B1H⊥D1O， D1O∩AC＝O，
∴B1H⊥面AD1C.
又∵AD1⊂面AD1C，
综合法的基本思路是“由因导果”，由已知走向求证， 即从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达 到待证结论或需求的问题，有如从长江源头顺流而下，一直 到达上海的长江口． 若 P 表示已知条件，已有的定义，定理，公理等，Q 表 示所要证明的结论，则综合法可以用以下的框图表示： P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →„→ Qn⇒Q
1．从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，

高中数学 第三章 推理与证明 数学证明典例导航课件 北师大版选修1-2(1)


推理．
[证明过程]
(1)连结AC.
(2)平面几何中的三角形“边边边”定理是：有三边对应相 等的两个三角形全等，这一定理相当于： 对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，则这两 个三角形全等， 大前提
△ABC和△CDA的三边对应相等，
则这两个三角形全等．
小前提
结论
符号表示为：
AB＝CD BC＝DA⇒△ABC≌△CDA. CA＝AC
(3)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}
为等差数列．
通项公式an＝2n＋3时，若n≥2.
大前提
则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)．
通项公式an＝2n＋3表示的数列为等差数列．
小前提
结论
在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD(如图)，
求证：ABCD为平行四边形，写出三段论形式的演绎
解析： 于 y 轴对称．
显然 f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，其图像关
x2＋1 1 当 x>0 时，f(x)＝lg ＝lg x＋ x . x
1 设 g(x)＝x＋ ，可知其在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞) x 上是增函数，∴f(x)在 (0,1)上是减函数，在 (1，＋∞)上是增 函数．f(x)min＝f(1)＝lg 2. ∵f(x)为偶函数，∴f(x)在(－1,0)上是增函数．
大前提
大前提
大前提
1.用三段论的形式写出下列演绎推理． (1)若两角是对顶角，则此两角相等．所以若两角 不相等，则此两角不是对顶角． (2)三角函数都是周期函数，y＝tanα是三角函数， 因此y＝tanα是周期函数． (3)通项公式an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．

高中数学 第三章 推理与证明 归纳推理名师点拨课件 北师大版选修1-2

律，一系列式子中共同的运算特点等等．
第二步：将第一步中观察到的共性进行推广，形成 一般化的结论使之能够涵盖所有，如图形的结构或变 化的规律，数列的通项公式，式子的运算结果等等．
◎设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N*，计算：f(1)，f(2)，
f(3)，f(4)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并判
断猜想是否正确．
【错解】
f(1)＝12＋1＋41＝43，
f(2)＝22＋2＋41＝47，
f(3)＝32＋3＋41＝53，
f(4)＝42＋4＋41＝61，
f(5)＝52＋5＋41＝71，
f(6)＝62＋6＋41＝83，
f(7)＝72＋7＋41＝97， f(8)＝82＋8＋41＝113， f(9)＝92＋9＋41＝131， f(10)＝102＋10＋41＝151， 43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都是质数． 由此可得，当 n取任何非负整数时． f(n) ＝ n2＋ n＋ 41的值 都是质数．由此可判断猜想是正确的．
f(6)＝62＋6＋41＝83，f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＝41＝ 113，f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151. ∵43,47,53,61,71,83,97,113,151都为质数， ∴归纳猜想：当n∈N*时，f(n)＝n2＋n＋41的值都为质数．
发现是十分有用的．观察、实验，对有限的资料作归
纳整理，提出带有规律的说法，正是科学研究的最
基本的方法之一．
1 ．完全归纳推理：由某类事物的全部对象推出
结论，显然该结论一定正确．
2 ．不完全归纳推理：由某类事物的部分对象推
出结论，该结论不一定正确．

高中数学第三章推理与证明3.1归纳与类比3.1.1归纳推理课件北师大版选修120830380


探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
不等式中的归纳推理
【例
1
1 1
1 1 1 1 1 1
3】已知:1> ;1+ + >1;1+ + + + + +
2
2 3
2 3 4 5 6 7
1
1
+…+ >2;……
3
15
>
3
1
;1+ +
2
2
根据以上不等式的结构特点,请你归纳一般结论.
思路分析:观察不等式左边最后一项分母的特点为 2n-1,不等式
解析:由 N(n,4)=n ,N(n,6)=2n
2
2
-2 2 4-
-n,可以推测:N(n,k)= n + n,故
的结论不一定正确.
(2)归纳时数据偏少,不一定具有一致性,无法得出一般性的结论.
解:f(1)=12+1+41=43,f(2)=22+2+41=47,
f(3)=32+3+41=53,f(4)=42+4+41=61,
f(5)=52+5+41=71,f(6)=62+6+41=83,
43,47,53,61,71,83都是质数,由此猜想对于任何n∈N+,

2
3
1
是 2n-1,因此可以猜想,当 n≥2 时,满足的不等式为 1+
1
1
+…+ 2

32
<
2-1
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7．反证法适用范围
反证法主要适用于以下三种情形：
(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出 结论的线索不够清晰； (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而 从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．
(3)直观判断显然成立的结论，否定性命题，唯一性命题，
含“至多、至少”等字眼的存在性命题.
综合法与分析法证题
综合法是我们在已经储存了大量知识，积累了丰富经验的 基础上所用的一种方法，其优点是叙述起来简洁、直观、条理 清楚，综合法可使我们从已知的知识中进一步获得新知识． 分析法是一种从未知到已知的逻辑推理方法．在探求问题 时，它可以帮助我们构思，因而在一般分析问题时较多地采用 分析法，只是找到思路后，往往用综合法加以叙述，正如恩格 斯所说“没有分析就没有综合”，在数学证明中不能把分析法 与综合法绝对分开．
热点考点例析
合情推理和演绎推理
合情推理又包括归纳推理和类比推理，这两种推理得出的 结论都不一定正确，有待证明；而演绎推理又叫逻辑推理，在
大前提、小前提及推理过程都正确的情况下，得出的结论一定
正确．
给出一个“三角形”的数表如下：
此表构成的规则是：第一行是 0,1,2 ，„， 999 ，以后下一 行的数是上一行相邻两个数的和．问：第四行的数中能被 999 整除的数是什么？
解析： 首先找出第四行数的构成规律．
通过观察、分析，可以看出：第四行的任一个数都和第一 行中相应的四个相邻的数有关，具体关系可以从上表看出：如 果用an表示第四行的第n个数，那么an＝8n＋4.
现在要找出an＝8n＋4＝999k的an， 显然k应是4的倍数． 注意到第四行中最大的数是7 980<999×8，所以k＝4.
设α，β为其中的两个实根．
因为α≠β，不妨设α>β. 又因为函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，
所以f(α)>f(β)．
这与假设f(α)＝f(β)＝0矛盾， 所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根．
1．下列表述：
①综合法是执因导果法； ③分析法是执果索因法； ⑤反证法是逆推法． A．2个 C．4个 答案： B ②综合法是顺推法； ④分析法是间接证法； )
证明：
1 BC· pa S △PBC pa 2 由题图可知，h ＝1 ＝ ， S △ABC a BC · h a 2
pb S△PAC pc S△PAB 同理，h ＝ ， ＝ ， S△ABC hc S△ABC b ∵S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝S△ABC， pa pb pc S△PBC＋S△PAC＋S△PAB ∴h ＋h ＋h ＝ ＝1. S △ABC a b c
(1)概念：根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命 题为真的推理，叫演绎推理． (2)特征：前提为真时，结论必然为真． 5．归纳推理和类比推理的特点与区别
类比推理和归纳推理的结论都是有待于证明的．归纳推理
是由特殊到一般的推理，类比推理是由个别到个别或一般到一 般的推理．
6．反证法 (1)反证法不直接证明命题“若p，则q”，而且先肯定命题 的条件p，并否定命题的结论 q，即从原题的反设证出“既p 又 ¬q”为假；从而根据排中律，两个互相矛盾的判断不能同假， 必有一真，从而肯定命题“若p，则q”为真．
由此求出第四行中能被999整除的数是999×4＝3 996，
它的第四行的第(3 996－4)÷8＝499(项)， 即a499＝3 996.
1．如图所示，在平面上，设 ha，hb， hc 分别是△ABC 三条边上的高， P 为△ABC 内任意一点， P 到相应三边的距离分别为 pa pb pc pa，pb，pc.可以得到结论h ＋h ＋h ＝1.证明 a b c 此结论，并通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．
3．类比推理 (1) 概念：根据两类不同事物之间具有某些类似 ( 或一致 ) 性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质 的推理，叫类比推理． (2)类比推理的一般步骤：
①找出两类事物之间的相似性或一致性．
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个 明确的命题(猜想)．
4．演绎推理
(2)用反证法证明命题“若 p，则 q”，它的全部过程和逻 辑根据可以表示如下： 肯定条件p， 推理 导致逻 矛盾律 ――→ ――→ “ 既 p 又 ¬q” 为 假 辑矛盾 否定结论q 排中律 ――→ “若 p 则 q”为真． (3)在应用反证法证题时，一定要用到“反证”进行推理， 否则就不是反证法．
类比上述结论得出以下结论：如右图所 示，在四面体 ABCD 中，设 ha，hb，hc，hd 分别是四面体 ABCD 的四个顶点到对面的距 离，P 为四面体 ABCD 内任意一点，P 到相 应四个面的距离分别为 pa，pb，pc，pd，可以 pa pb pc pd 得到结论h ＋h ＋h ＋h ＝1. a b c d
章末高效整合
知能整合提升
1．合情推理 合情推理包括归纳推理和类比推理．
2．归纳推理
(1)概念：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这 类事物的所有对象都具有这种性质的推理叫做归纳推理． (2)特点：归纳是从特殊到一般的过程． (3)归纳推理的一般步骤： ①通过观察个别情况发现某些相同性质． ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 (猜想)．
∴2(ax＋by)≤2，∴ax＋by≤1.

分析法：要证ax＋by≤1成立， 只要证1－(ax＋by)≥0， 只要证2－2ax－2by≥0， 又∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝1， 只要证a2＋b2＋x2＋y2－2ax－2by≥0， 即证(a－x)2＋(b－y)2≥0，显然成立， ∴ax＋by≤1成立．
论的否定是“存在多面体的面没有一个是三角形或四边形或五
7．已知a2＋b2 ＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋ by≤1.(分别用 综合法、分析法证明) 证明： 综合法：∵2ax≤a2＋x2,2by≤b2＋y2， ∴2(ax＋by)≤(a2＋b2)＋(x2＋y2)，
又∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，
q ＝ logc
1 1 1 1 2 ＝ logc >logc ＝ logc 4 a＋ b a ＋ b ＋ 2 ab 4 ab
>0，∴q>p.
答案： B
3．对于 a，b∈(0，＋∞)，a＋b≥2 ab，大前提 1 x＋x ≥2 1 x· x ，小前提
1 所以 x＋x ≥2，结论 以上推理过程中的错误为( A．大前提 C．结论
这些数目的点可以排成正三角形(如图所示)，则三角形数的一 般表达式f(n)＝________.
1×2 2×3 解析： 当 n＝1 时，1＝ 2 ；当 n＝2 时，3＝ 2 ；当 3×4 4×5 nn＋1 n＝3 时， 6＝ 2 ； 当 n＝4 时， 10＝ 2 ； „， 猜想： f(n)＝ 2 .
解析： 答案：
)
B．小前提 D．无错误
大前提中 a 、 b∈(0 ，＋ ∞ ) ，而小前提中 x∈R ， B
故小前提出错，应添加x∈(0，＋∞)．选B.
4．定义A*B、B*C、C*D、D*B分别对应下列图形，
那么下面的图形中，可以表示A*D，A*C的分别是(
)
A．(1)、(2)
B．(2)、(3)
(2) 如果点 D 在△ ABC 之外 ( 如图② ) ，根据假设 ∠ BAD ， ∠ B ， ∠ BCD ， ∠ D 都小于 90°，这与四边形内角之和等于 360°矛盾． 综上所述，原结论成立．
3．用反证法证明：若函数 f(x)在区间[a， b]上是增函数， 那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根． 证明： 假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个根，
互为逆 否 命题的两 个命题是 等价命题 ，即若 p⇒q 成立， 则 ¬q⇒¬p成立，这里得出的矛盾可以与某个已知条件矛盾，可以 是与某个事实、定理、公理相矛盾，也可以是自身相矛盾．反 证法的使用范围：唯一性问题，“至少”“至多”问题，问题 本身是否定语气提出的问题．
平面上有四个点，假设无三点共线，证明：以每
三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．
证明： 假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角，记 这四个点为 A，B ， C ， D. 分点 D 在△ABC 之内或之外两种情况
讨论．
(1)如果点D在△ABC之内(如图①)，根据假设以D为顶点的 三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个圆周角等于360° 矛盾．
8．已知 a，b，c 都是小于 1 的正数，求证：(1－a)b，(1 1 －b)c，(1－c)a 中至少有一个不大于4.
1 1 1 证明： 假设(1－a)b>4，(1－b)c>4，(1－c)a>4. ∵a，b，c 都是小于 1 的正数， 1 1 1 ∴ 1－ab>2， 1－bc>2， 1－ca>2， 3 从而 1－ab＋ 1－bc＋ 1－ca>2.
因为b＝－a－c，
故只需证(a＋c)2－ac<3a2， 即证2a2－ac－c2>0， 即证(2a＋c)(a－c)>0. ∵2a＋c>a＋b＋c＝0，a－c>0， ∴(2a＋c)(a－c)>0成立． ∴原命题成立．
反证法
反证法是假设原命题不成立，经过正确的推理最后推出矛
盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．理论根据是
nn＋1 答案： 2
6．用反证法证明命题“任意多面体的面至少有一个是三 角形或四边形或五边形”时，第一步要假设结论的否定成立， 那么结论的否定是：__________________. 解析： 边形”． 答案： 边形 存在多面体的面没有一个是三角形或四边形或五 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结
正确的语句有( B．3个 D．5个
解析： 其中正确的是①②③.