2013届高三北师大版文科数学一轮复习课时作业(2)命题及其关系、充分条件、必要条件)

课时分层训练(二)命题及其关系、充分条件与必要条件A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是()A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0D[“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.]2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα.则“m∥β”是“α∥β”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[mα，m∥βDα∥β，但mα，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．]3．已知x∈R，则“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[由x2－3x＋2＞0得x＜1或x＞2，所以“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件，故选A.]4．有下列四个命题：①若“xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形是全等三角形”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题为()【导学号：00090006】A．①②B．②③C．①④D．①②③D[①的逆命题：“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题；②的否命题：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；③的逆否命题：“若x 2－2x ＋m ＝0没有实数解，则m ＞1”，由Δ＝4－4m ＜0得m ＞1，故③是真命题；命题④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题．故选D.]5．m ＝－1是直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋9＝0垂直的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 A [由直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0与3x ＋my ＋9＝0垂直可知3m ＋m (2m －1)＝0，∴m ＝0或m ＝－1，∴m ＝－1是两直线垂直的充分不必要条件．]6．设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 A [由2x >1，得x >0，所以p ⇒q ，但qp ，所以p 是q 的充分不必要条件．] 7．若x ＞2m 2－3是－1＜x ＜4的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是()A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1,1]D [由题意知{}x |－1＜x ＜4x |x ＞2m 2－3} 所以2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1，故选D.]二、填空题8．已知a ，b ，c 都是实数，则在命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________．2[由a ＞bD ac 2＞bc 2，但ac 2＞bc 2⇒a ＞b .所以原命题是假命题，它的逆命题是真命题．从而否命题是真命题，逆否命题是假命题．]9．“m ＜14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的________条件． 充分不必要[x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14，因为m ＜14⇒m ≤14，反之不成立． 故“m ＜14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．] 10．已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x ＜a }，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．(4，＋∞)[A ＝{x |x ＜4}，由题意知A B ，所以a ＞4.]B 组能力提升(建议用时：15分钟)1．已知α，β均为第一象限的角，那么α＞β是sin α＞sin β的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件D [如α＝13π6，β＝π3都是第一象限角，且α＞β，但sin α＝12＜sin β＝32，所以α＞β不是sin α＞sin β的充分条件；反之，若sin α＞sin β，也得不出α＞β，如sin π3＞sin 13π6，但π3＜13π6，所以α＞β是sin α＞sin β的既不充分也不必要条件，故选D.]2．已知条件p ：x 2－2ax ＋a 2－1>0，条件q ：x >2，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是()【导学号：00090007】A ．a ≥1B ．a ≤1C ．a ≥－3D ．a ≤－3 B [条件p ：x >a ＋1或x <a －1，条件q ：x >2，又q 是p 的充分不必要条件，故q ⇒p ，pDq ，所以a ＋1≤2，即a ≤1.]3．有下列几个命题：①“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．②③[①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”错误．②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确．]4．已知不等式|x －m |＜1成立的充分不必要条件是13＜x ＜12，则实数m 的取值范围是________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43[由|x －m |＜1得－1＋m ＜x ＜1＋m ， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 13＜x ＜12x |－1＋m ＜x ＜1＋m }，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ≤13，1＋m ≥12，解得－12≤m ≤43， 所以实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43.]。

课时作业(二)　[第2讲　命题及其关系、充分条件、必要条件] [时间：35分钟　分值：80分] 1．下列说法中正确的是( ) A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 B．“a＞b”与“a＋c＞b＋c”不等价 C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0” D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真 2．[2011·陕西卷] 设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( ) A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b| C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b 3．[2011·福州期末] 在ABC中，“·＝·”是“||＝||”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知：A＝，B＝{x|－1<x<m＋1}，若xB成立的一个充分不必要条件是xA，则实数m的取值范围是________． 5．[2011·烟台模拟] 与命题“若aM，则b?M”等价的命题是( ) A．若a?M，则b?M B．若b?M，则aM C．若a?M，则bM D．若bM，则a?M 6．命题“存在xR，使x2＋ax－4a<0为假命题”是命题“－16≤a≤0”的( ) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．[2011·潍坊质检] 已知各项均不为零的数列{an}，定义向量cn＝(an，an＋1)，bn＝(n，n＋1)，nN*.下列命题中真命题是( ) A．若任意nN*总有cnbn成立，则数列{an}是等差数列 B．若任意nN*总有cnbn成立，则数列{an}是等比数列 C．若任意nN*总有cnbn成立，则数列{an}是等差数列 D．若任意nN*总有cnbn成立，则数列{an}是等比数列 8．[2011·山西师大附中一模] 命题“存在xR，使x2＋ax－4a0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________． 12．(13分)[2011·江西白鹭洲中学月考] 已知条件p：|5x－1|>a(a>0)和条件q：>0，请选取适当的实数a的值，分别利用所给的两个条件作为A、B构造命题：“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题．则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题． 13．(12分)[2011·厦门检测] 已知全集U＝R，非空集合A＝，B＝. (1)当a＝时，求(?UB)∩A； (2)命题p：xA，命题q：xB，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．课时作业(二) 【基础热身】 1．D　[解析] 否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性． 2．D　[解析] 利用原命题和逆命题之间的关系“如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆命题．即原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p”，故答案为D. 3．C　[解析] －π2　[解析] A＝{x|－1<x2. 【能力提升】 5．D　[解析] 命题“若aM，则b?M”的逆否命题是“若bM，则a?M”，又原命题与逆否命题为等价命题，故选D. 6．A　[解析] “x0∈R，使x＋ax0－4a<0”为假，即“任意xR，使x2＋ax－4a≥0”为真，从而Δ≤0，解得－16≤a≤0.故选A. 7．A　[解析] 由cnbn可知＝， 故an＝···…··a1＝···…··a1＝na1，即任意nN*如果cnbn成立，则数列{an}是等差数列． 8．C　[解析] 若存在xR，使x2＋ax－4a<0为假命题，即对任意的xR，x2＋ax－4a≥0恒成立，于是Δ＝a2＋16a≤0，解得－16≤a≤0，同时当－16≤a≤0，恒有Δ≤0，于是可知“存在xR，使x2＋ax－4a<0为假命题”是“－16≤a≤0”的充要条件，选C. 9．充分不必要　[解析] 若a＝(x＋2,1)与b＝(2,2－x)共线，则有(x＋2)(2－x)＝2，解得x＝±，所以“x＝”是“向量a＝(x＋2,1)与向量b＝(2,2－x)共线”的充分不必要条件． 10．“若a≤b，则2a≤2b－1” 11．[－3,0]　[解析] 原命题是真命题，则ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立； 当a≠0时，得解得－3≤a<0， 故－3≤a≤0. 12．[解答] 已知条件p：5x－1a， x； 已知条件q：2x2－3x＋1>0，x1. 令a＝4，则p即x1，此时必有pq成立，反之不然． 故可以选取的一个实数是a＝4，A为p，B为q，对应的命题是若p则q， 由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题． 【难点突破】 13．[解答] (1)当a＝时，A＝，B＝，所以(?UB)∩A＝. (2)若q是p的必要条件，即pq，可知AB. 因为a2＋2>a，所以B＝{x|a时，A＝{x|2<x<3a＋1}， 由解得a≤或a≥，所以。

高考数学一轮复习考点知识专题讲解命题及其关系、充分条件与必要条件考点要求1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．知识梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p常用结论充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．①若p是q的充分条件，则A⊆B；②若p是q的充分不必要条件，则A B；③若p是q的必要不充分条件，则B A；④若p是q的充要条件，则A＝B.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2－2x－3>0”是命题．(×)(2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(√)(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(√)(4)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(√)教材改编题1．“a>b”是“ac2>bc2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当a>b时，若c2＝0，则ac2＝bc2，所以a>b⇏ac2>bc2，当ac2>bc2时，c2≠0，则a>b，所以ac2>bc2⇒a>b，即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．2．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____________________________．答案两直线不平行，同位角不相等3．方程x2－ax＋a－1＝0有一正一负根的充要条件是________．答案a∈(－∞，1)解析依题意得a－1<0，∴a<1.题型一命题及其关系例1(1)(2022·玉林质检)下列四个命题为真命题的个数是()①命题“若x>1，则x2>1”的否命题；②命题“梯形不是平行四边形”的逆否命题；③命题“全等三角形面积相等”的否命题；④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题．A．1B．2C．3D．4答案B解析 ①命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，不正确，例如取x ＝－2.②命题“梯形不是平行四边形”是真命题，因此其逆否命题也是真命题．③命题“全等三角形面积相等”的否命题“不是全等三角形的面积不相等”是假命题． ④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题“若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点”是真命题．综上可得真命题的个数为2.(2)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________________．答案f (x )＝sin x ，x ∈[0,2](答案不唯一)解析设f (x )＝sin x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x ∈(0,2]时，f (x )>f (0)＝sin0＝0，故f (x )＝sin x 满足条件f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不一直都是增函数．教师备选(2022·合肥模拟)设x ，y ∈R ，命题“若x 2＋y 2>2，则x 2>1或y 2>1”的否命题是()A ．若x 2＋y 2≤2，则x 2≤1或y 2≤1B ．若x 2＋y 2>2，则x 2≤1或y 2≤1C ．若x 2＋y 2≤2，则x 2≤1且y 2≤1D ．若x 2＋y 2>2，则x 2≤1且y 2≤1答案C解析根据否命题的定义可得命题“若x 2＋y 2>2，则x 2>1或y 2>1”的否命题是“若x 2＋y 2≤2，则x 2≤1且y 2≤1”．思维升华 判断命题真假的策略(1)判断一个命题为真命题，需要推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．跟踪训练1(1)(2022·安顺模拟)命题“若x ，y 都是奇数，则x ＋y 是偶数”的逆否命题是()A ．若x ，y 都是偶数，则x ＋y 是奇数B ．若x ，y 都不是奇数，则x ＋y 不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x ，y 都不是奇数D ．若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是奇数答案D解析命题“若x ，y 都是奇数，则x ＋y 是偶数”的逆否命题是“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是奇数”．(2)命题p ：若m ≤a －2，则m <－1.若p 的逆否命题为真命题，则a 的取值范围是________． 答案(－∞，1)解析依题意，命题p 的逆否命题为真命题，则命题p 为真命题，即“若m ≤a －2，则m <－1”为真命题，则a －2<－1，解得a <1.题型二 充分、必要条件的判定例2(1)已知p ：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1，q ：log 2x <0，则p 是q 的() A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案B 解析由⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1知x >0，所以p 对应的x 的范围为(0，＋∞)， 由log 2x <0知0<x <1，所以q 对应的x 的范围为(0,1)，显然(0,1)(0，＋∞)，所以p 是q 的必要不充分条件．(2)(2021·全国甲卷)等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .设甲：q >0，乙：{S n }是递增数列，则()A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析当a 1<0，q >1时，a n ＝a 1q n －1<0，此时数列{S n }单调递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{S n }单调递增时，有S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝a 1q n >0，若a 1>0，则q n >0(n ∈N *)，即q >0；若a 1<0，则q n <0(n ∈N *)，不存在．所以甲是乙的必要条件．教师备选在△ABC 中，“AB 2＋BC 2＝AC 2”是“△ABC 为直角三角形”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案A解析在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，则∠B＝90°，即△ABC为直角三角形，若△ABC为直角三角形，推不出∠B＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立，综上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．跟踪训练2(1)“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若a>2，b>2，则a＋b>4，ab>4.当a＝1，b＝5时，满足a＋b>4，ab>4，但不满足a>2，b>2，所以a＋b>4，ab>4⇏a>2，b>2，故“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的充分不必要条件．(2)(2022·成都模拟)若a，b为非零向量，则“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析因为a⊥b，所以a·b＝0，则(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，所以“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充分条件；反之，由(a＋b)2＝a2＋b2得a·b＝0，所以非零向量a，b垂直，“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的必要条件．故“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充要条件．题型三充分、必要条件的应用例3已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B 的必要条件，求m的取值范围．解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴A＝{x|－2≤x≤10}．由x∈A是x∈B的必要条件，知B⊆A.则⎩⎨⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈A 是x ∈B 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．延伸探究本例中，若把“x ∈A 是x ∈B 的必要条件”改为“x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件”，求m 的取值范围．解∵x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，∴A B ，则⎩⎨⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎨⎧ 1－m <－2，1＋m ≥10，解得m ≥9， 故m 的取值范围是[9，＋∞)． 教师备选(2022·泰安检测)已知p ：x ≥a ，q ：|x ＋2a |<3，且p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)C ．[1，＋∞) D．(1，＋∞)答案A解析因为q ：|x ＋2a |<3，所以q ：－2a －3<x <－2a ＋3，记A ＝{x |－2a －3<x <－2a ＋3}，p ：x ≥a ，记为B ＝{x |x ≥a }．因为p 是q 的必要不充分条件，所以AB ，所以a ≤－2a －3，解得a ≤－1.思维升华 求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练3(1)使2x≥1成立的一个充分不必要条件是() A ．1<x <3B ．0<x <2C ．x <2D ．0<x ≤2答案B解析由2x≥1得0<x ≤2， 依题意由选项组成的集合是(0,2]的真子集，故选B.(2)若不等式(x －a )2<1成立的充分不必要条件是1<x <2，则实数a 的取值范围是________． 答案[1,2]解析由(x －a )2<1得a －1<x <a ＋1，因为1<x <2是不等式(x －a )2<1成立的充分不必要条件，所以满足⎩⎨⎧ a －1≤1，a ＋1≥2且等号不能同时取到，解得1≤a ≤2.课时精练1．(2022·韩城模拟)设p：2<x<3，q：|x－2|<1，那么p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析解不等式|x－2|<1得－1<x－2<1，解得1<x<3，因为{x|2<x<3}{x|1<x<3}，因此p是q的充分不必要条件．2．(2022·马鞍山模拟)“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是() A．若x，y∈R，x，y全不为0，则x2＋y2≠0B．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2＝0C．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2≠0D．若x，y∈R，x，y全为0，则x2＋y2≠0答案C解析根据命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，可以写出“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是“若x，y∈R，x，y 不全为0，则x2＋y2≠0”．3．(2021·浙江)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由a·c＝b·c，得到(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．4．已知a，b，c，d是实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当a＝b＝c＝d＝0时，ad＝bc，但a，b，c，d不成等比数列，当a，b，c，d成等比数列时，ad＝bc，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．5．(2022·太原模拟)下列四个命题：①“在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”的逆命题；②“若ab＝0，则a＝0”的逆否命题；③“若ac＝cb，则a＝b”的逆命题；④“若a＝b，则a2＝b2”的否命题．其中是真命题的为()A．①④B．②③C．①③D．②④答案C解析①“在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”的逆命题是“在△ABC中，若∠C>∠B，则AB>AC”，是真命题；②“若ab＝0，则a＝0”是假命题，所以其逆否命题也是假命题；③“若ac＝cb，则a＝b”的逆命题是“若a＝b，则ac＝cb”，是真命题；④“若a＝b，则a2＝b2”的否命题是“若a≠b，则a2≠b2”，是假命题．6．(2022·青岛模拟)“∀x>0，a≤x＋4x＋2”的充要条件是()A．a>2B．a≥2 C．a<2D．a≤2答案D解析因为x>0，所以x＋4x＋2＝x＋2＋4x＋2－2≥2(x＋2)×4x＋2－2＝2，当且仅当x＋2＝4x＋2，即x＝0时等号成立，因为x>0，所以x＋4x＋2>2，所以“∀x>0，a≤x＋4x＋2”的充要条件是a≤2.7．已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题是真命题，则m的取值范围是() A．(1,2) B．[1,2)C．(1,2] D．[1,2]答案D解析命题的逆命题“若1<x<2，则m－1<x<m＋1”成立，则⎩⎨⎧ m ＋1≥2，m －1≤1，得⎩⎨⎧ m ≥1，m ≤2，得1≤m ≤2，即实数m 的取值范围是[1,2]．8．(2022·厦门模拟)已知命题p ：x <2m ＋1，q ：x 2－5x ＋6<0，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为()A ．m >12B ．m ≥12C ．m >1D ．m ≥1答案D解析∵命题p ：x <2m ＋1，q ：x 2－5x ＋6<0，即2<x <3，p 是q 的必要不充分条件，∴(2,3)(－∞，2m ＋1)，∴2m ＋1≥3，解得m ≥1.实数m 的取值范围为m ≥1. 9．(2022·延边模拟)若“方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不相等的实数根”是真命题，则a 的取值范围是________．答案a <98且a ≠0 解析由题意知⎩⎨⎧ Δ＝(－3)2－8a >0，a ≠0，解得a <98且a ≠0. 10．(2022·衡阳模拟)使得“2x >4x ”成立的一个充分条件是________．答案x<－1(答案不唯一)解析由于4x＝22x，故2x>22x等价于x>2x，解得x<0，使得“2x>4x”成立的一个充分条件只需为集合{x|x<0}的子集即可．11．直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝a2(a>0)有公共点的充要条件是________．答案a∈[1，＋∞)解析直线y＝kx＋1过定点(0,1)，依题意知点(0,1)在圆x2＋y2＝a2内部(包含边界)，∴a2≥1.又a>0，∴a≥1.12．给出下列四个命题：①命题“在△ABC中，sin B>sin C是B>C的充要条件”；②“若数列{a n}是等比数列，则a22＝a1a3”的否命题；③已知a，b是非零向量，“若a·b>0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题；④命题“直线l与平面α垂直的充要条件是l与平面α内的两条直线垂直．”其中真命题是________．(填序号)答案①③解析对于①，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C⇔b>c⇔B>C，①是真命题；②“若数列{a n}是等比数列，则a22＝a1a3”的否命题是“若数列{a n}不是等比数列，则a22≠a1a3”，取a n＝0，可知②是假命题；③已知a，b是非零向量，“若a·b>0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题“若a与b的夹角为锐角，则a ·b >0”为真命题；④直线l 与平面α内的两条直线垂直是直线l 与平面α垂直的必要不充分条件，④是假命题．13．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p 和q 中有且只有一个为真命题，则实数a 的取值范围是()A ．0<a <1或a ≥2B．0<a <1或a >2C ．1<a ≤2D．1≤a ≤2答案C解析若p 和q 中有且只有一个为真命题，则有p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，则⎩⎨⎧ －2－a <1<a ≤2，a >0，解得1<a ≤2；当p 假q 真时，则⎩⎨⎧ 1≤－2－a <2<a ，a >0，无解，综上，1<a ≤2.14．若“x 2－4x ＋3<0”是“x 2－mx ＋4<0”的充分条件，则实数m 的取值范围为________． 答案m ≥5解析依题意有 x 2－4x ＋3<0⇒1<x <3，x 2－mx ＋4<0⇒mx >x 2＋4，∵1<x <3，∴m >x ＋4x，设f (x )＝x ＋4x(1<x <3)，则函数f (x )在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增， ∴f (1)＝5，f (2)＝4，f (3)＝133， 因此函数f (x )＝x ＋4x(1<x <3)的值域为[4,5)， ∵“x 2－4x ＋3<0”是“x 2－mx ＋4<0”的充分条件，∴m ≥5.15．若“x >1”是“不等式2x >a －x 成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是()A ．a >3B ．a <3C ．a >4D ．a <4答案A解析若2x >a －x ，即2x ＋x >a .设f (x )＝2x ＋x ，则函数f (x )为增函数．由题意知“2x ＋x >a 成立，即f (x )>a 成立”能得到“x >1”，反之不成立．∵当x >1时，f (x )>3，∴a >3.16．已知r >0，x ，y ∈R ，p ：|x |＋|y |2≤1，q ：x 2＋y 2≤r 2，若p 是q 的必要不充分条件，则实数r 的取值范围是________．答案⎝⎛⎦⎥⎤0，255 解析画出|x |＋|y |2≤1表示的平面区域(图略)，由图可得p 对应的平面区域是一个菱形及其内部，当x >0，y >0时，可得菱形的一边所在的直线的方程为x ＋y 2＝1，即2x ＋y －2＝0.由p 是q 的必要不充分条件，可得圆x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线2x ＋y －2＝0的距离d ＝222＋1＝255≥r ，又r >0，所以实数r 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，255.。

第2节命题及其关系、充分条件和必要条件课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.“若b2-4ac<0,则ax2+bx+c=0没有实根”,其否命题是( C )(A)若b2-4ac>0,则ax2+bx+c=0没有实根(B)若b2-4ac>0,则ax2+bx+c=0有实根(C)若b2-4ac≥0,则ax2+bx+c=0有实根(D)若b2-4ac≥0,则ax2+bx+c=0没有实根解析:由原命题与否命题的关系知选C.2.(2013潮州市质检)不等式x-1>0成立的充分不必要条件是( D )(A)-1<x<0或x>1 (B)0<x<1(C)x>1 (D)x>2解析:x-1>0⇔x>1,故x>2是x>1的一个充分不必要条件,故选D.3.(2013年高考安徽卷)“(2x-1)x=0”是“x=0”的( B )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:设p:(2x-1)x=0,q:x=0;则p:x=0或x=,∴p是q的必要不充分条件,故选B.4.(2012年高考山东卷)设a>0且a≠1,则“函数f(x)=a x在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的( A )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:∵函数f(x)=a x在R上递减,∴0<a<1,∵函数g(x)=(2-a)x3在R上递增,∴2-a>0,得a<2,即0<a<2且a≠1,0<a<1是0<a<2且a≠1的充分不必要条件.故选A.5.(2012年高考四川卷)设a、b都是非零向量.下列四个条件中,使=成立的充分条件是( D )(A)|a|=|b|且a∥b (B)a=-b(C)a∥b (D)a=2b解析:由=可知向量a与b的单位向量相等,故其充分条件为D项,故选D.6.(2013湛江测试(一))“a2-a=0”是“函数f(x)=x3-x+a是奇函数”的( C )(A)充要条件 (B)充分不必要条件(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件解析:因为a2-a=0⇒a=0或a=1.而函数f(x)为奇函数的充要条件为a=0,故a2-a=0是函数f(x)为奇函数的必要但不充分条件.故选C. 7.(2013佛山质检)设等比数列{a n}的前n项和为S n,则“a1>0”是“S3>a2”的( C )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若S3>a2,则a1+a2+a3>a2,得a1(1+q2)>0,即得a1>0,反之也成立,即可得“a1>0”是“S3>a2”的充分必要条件,故应选C.二、填空题8.在命题“若m>-n,则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是.解析:原命题为假命题,逆否命题也为假命题,逆命题也是假命题,否命题也是假命题.故假命题个数为3.答案:39.(2013年高考湖南卷改编)“1<x<2”是“x<2”成立的条件.解析:{x|1<x<2}⫋{x|x<2},所以“1<x<2”是“x<2”成立的充分不必要条件.答案:充分不必要10.下列命题:①若ac2>bc2,则a>b;②若sin α=sin β,则α=β;③“实数a=0”是“直线x-2ay=1和直线2x-2ay=1平行”的充要条件;④若f(x)=log2x,则f(|x|)是偶函数.其中正确命题的序号是.解析:对于命题②,sin 0=sin π,但0≠π,命题②不正确;命题①③④均正确.答案:①③④三、解答题11.写出命题“若a≥0,则方程x2+x-a=0有实根”的逆命题,否命题和逆否命题,并判断它们的真假.解:逆命题:“若方程x2+x-a=0有实根,则a≥0”.否命题:“若a<0,则方程x2+x-a=0无实根.”逆否命题:“若方程x2+x-a=0无实根,则a<0”.其中,原命题的逆命题和否命题是假命题,逆否命题是真命题.12.已知集合A=,B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x ∈B”的充分条件,求实数m的取值范围.解:y=x2-x+1=+,∵x∈,∴≤y≤2,∴A=,由x+m2≥1,得x≥1-m2,∴B={x|x≥1-m2},∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件,∴A⊆B,∴1-m2≤,解得m≥或m≤-,故实数m的取值范围是∪.B组13.已知p:≥1,q:|x-a|<1,若p是q的充分不必要条件,则实数a 的取值范围为( C )(A)(-∞,3] (B)[2,3](C)(2,3] (D)(2,3)解析:由≥1得2<x≤3;由|x-a|<1得a-1<x<a+1.由p是q的充分不必要条件得解得2<a≤3,∴实数a的取值范围为(2,3],选C.14.若方程x2-mx+2m=0有两根,其中一根大于3一根小于3的充要条件是.解析:方程x2-mx+2m=0对应二次函数f(x)=x2-mx+2m,若方程x2-mx+2m=0有两根,其中一根大于3一根小于3,则f(3)<0,解得m>9,即方程x2-mx+2m=0有两根,其中一根大于3一根小于3的充要条件是m>9.答案:m>915.(2013江苏无锡市高三期末)已知p:|x-a|<4;q:(x-2)(3-x)>0,若⫋p是⫋q的充分不必要条件,则a的取值范围为.解析:∵⫋p是⫋q的充分不必要条件,∴q是p的充分不必要条件.对于p,|x-a|<4,∴a-4<x<a+4,对于q,2<x<3,∴(2,3)⫋(a-4,a+4),∴(等号不能同时取到),∴-1≤a≤6.答案:[-1,6]16.设p:2x2-3x+1≤0,q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若⫋p是⫋q的必要不充分条件,求实数a的取值范围. 解:p为,q为{x|a≤x≤a+1},⫋p对应的集合A=,⫋q对应的集合B={x|x>a+1或x<a},∵⫋p是⫋q的必要不充分条件,∴B⫋A,∴a+1>1且a≤或a+1≥1且a<,∴0≤a≤.。

§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件2014高考会这样考 1.考查四种命题的意义及相互关系；2.考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解，主要以客观题的形式出现；3.在解答题中考查命题或充分条件与必要条件．复习备考要这样做 1.在解与命题有关的问题时，要理解命题的含义，准确地分清命题的条件与结论；2.注意条件之间关系的方向性、充分条件与必要条件方向正好相反；3.注意等价命题的应用．1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．[难点正本疑点清源]1．等价命题和等价转化(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假；(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．2．集合与充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件；(2)若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件，若B A ，则p 是q 的必要不充分条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件； (4)若A B ，且B A ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．1． 下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题； ②“若ab ＝0，则a ＝0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题． 其中真命题的序号是________． 答案 ②③解析 ①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②“若ab ＝0，则a ＝0”的否命题为“若ab ≠0，则a ≠0”，而由ab ≠0，可得a ，b 都不为零，故a ≠0，所以该命题是真命题；③因为原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是一个真命题． 2． “x >2”是“1x <12”的________条件．答案 充分不必要 解析 ①x >2⇒2x >0⇒x 2x >22x ⇒1x <12， ∴“x >2”是“1x <12”的充分条件．②1x <12⇒x <0或x >2D ⇒/x >2. ∴“x >2”是“1x <12”的不必要条件．3． 已知a ，b ∈R ，则“a ＝b ”是“a ＋b2＝ab ”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 因为若a ＝b <0，则a ＋b2≠ab ，所以充分性不成立；反之，因为a ＋b2＝ab ⇔a＝b ⇔a ＝b ≥0，所以必要性成立，故“a ＝b ”是“a ＋b2＝ab ”的必要不充分条件．4． (2011·天津)设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析因为A＝{x|x－2>0}＝{x|x>2}＝(2，＋∞)，B＝{x|x<0}＝(－∞，0)，所以A∪B＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，C＝{x|x(x－2)>0}＝{x|x<0或x>2}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．即A∪B＝C.故“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.5．(2012·天津)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若φ＝0，则f(x)＝cos x是偶函数，但是若f(x)＝cos(x＋φ) (x∈R)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件.题型一四种命题的关系及真假例1 已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )A．否命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”是真命题B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题C．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题D．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题思维启迪：根据四种命题的定义判断一个原命题的逆命题、否命题、逆否命题的表达格式．当命题较简单时，可直接判断其真假，若命题本身复杂或不易直接判断时，可利用其等价命题——逆否命题进行真假判断．答案 D解析 命题“若函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题． 探究提高 (1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数 答案 C解析 由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，故选C. 题型二 充要条件的判断例2 已知下列各组命题，其中p 是q 的充分必要条件的是( )A ．p ：m ≤－2或m ≥6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点 B ．p ：f －xf x＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数C ．p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan βD ．p ：A ∩B ＝A ；q ：A ⊆U ，B ⊆U ，∁U B ⊆∁U A思维启迪：首先要分清条件和结论，然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题，做出判断． 答案 D解析 对于A ，由y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点，可得Δ＝m 2－4(m ＋3)>0，从而可得m <－2或m >6.所以p 是q 的必要不充分条件； 对于B ，由f －xf x＝1⇒f (－x )＝f (x )⇒y ＝f (x )是偶函数，但由y ＝f (x )是偶函数不能推出f －xf x＝1，例如函数f (x )＝0，所以p 是q 的充分不必要条件；对于C ，当cos α＝cos β＝0时，不存在tan α＝tan β，反之也不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件；对于D ，由A ∩B ＝A ，知A ⊆B ，所以∁U B ⊆∁U A ； 反之，由∁U B ⊆∁U A ，知A ⊆B ，即A ∩B ＝A . 所以p ⇔q .综上所述，p 是q 的充分必要条件的是D.探究提高 判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件； ②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件； ③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件． 其中真．命题的序号是________． 答案 ①④解析 对于①，当数列{a n }为等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列，但当数列 {a n a n ＋1}为等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m ＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m ＝3，也可能m ＝0.因此③不正确；对于④，由题意得b a ＝sin B sin A ＝3，若B ＝60°，则sin A ＝12，注意到b >a ，故A ＝30°，反之，当A ＝30°时，有sin B ＝32，由于b >a ，所以B ＝60°或B ＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④. 题型三 利用充要条件求参数例3 已知集合M ＝{x |x <－3或x >5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}．(1)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件；(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件． 思维启迪：解决此类问题一般是先把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，再根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解． 解 (1)由M ∩P ＝{x |5<x ≤8}，得－3≤a ≤5， 因此M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件是{a |－3≤a ≤5}．(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a |－3≤a ≤5}中取一个值，如取a ＝0，此时必有M ∩P ＝{x |5<x ≤8}；反之，M ∩P ＝{x |5<x ≤8}未必有a ＝0，故“a ＝0”是“M ∩P ＝{x |5<x ≤8}”的一个充分但不必要条件．探究提高 利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，准确地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的检验． 变式训练3 已知p ：x 2－4x －5≤0，q ：|x －3|<a (a >0)．若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．解 设A ＝{x |x 2－4x －5≤0}＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |－a ＋3<x <a ＋3}，因为p 是q 的充分不必要条件，从而有A B .故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3<－1，a ＋3>5，解得a >4.等价转化思想在充要条件关系中的应用典例：(12分)已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m >0)，且綈p 是綈q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．审题视角 (1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简．(2)再利用命题间的关系列出关于m 的不等式或不等式组，得出结论． 规范解答解 方法一 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0， 得1－m ≤x ≤1＋m ，[2分]∴綈q ：A ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}，[3分] 由p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10，[5分] ∴綈p ：B ＝{x |x >10或x <－2}．[6分] ∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件．∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，即m ≥9或m >9.∴m ≥9.[12分]方法二 ∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件， ∴p 是q 的充分而不必要条件，[2分] 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m ，∴q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，[4分] 由p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}．[6分] ∵p 是q 的充分而不必要条件，∴P Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，即m ≥9或m >9.∴m ≥9.[12分]温馨提醒 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键.方法与技巧1．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提．2．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的． 3． 命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ，B ⇒A 与綈A ⇒綈B ，A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 失误与防范1．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p 则q ”的形式．2．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q ”等语言．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·湖南)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α ≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4答案 C解析 由原命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题：若tan α≠1，则α≠π4.2． (2012·福建)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0答案 D解析 ∵a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)， ∴a ·b ＝2(x －1)＋2×1＝2x . 又a ⊥b ⇔a ·b ＝0，∴2x ＝0，∴x ＝0.3． 已知集合M ＝{x |0<x <1}，集合N ＝{x |－2<x <1}，那么“a ∈N ”是“a ∈M ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B 解析 因为MN ，所以a ∈M ⇒a ∈N ，反之，则不成立，故“a ∈N ”是“a ∈M ”的必要而不充分条件．故选B. 4． 下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题B ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题 答案 A解析 对于A ，其逆命题：若x >|y |，则x >y ，是真命题，这是因为x >|y |＝⎩⎪⎨⎪⎧y y ≥0－y y ，必有x >y ；对于B ，否命题：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，因为x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x >0或x <0，不一定有x >1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A. 二、填空题(每小题5分，共15分) 5． 下列命题：①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 其中正确命题的序号是________． 答案 ①③④解析 对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，∴a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°D ⇒/30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1，所以③对；对于④显然对．6． 已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________． 答案 [3,8)解析 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0， 解得m ≥3；又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0， 解得m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8.7． (2011·陕西)设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．根的充要条件是n ＝________.答案 3或4解析 ∵x 2－4x ＋n ＝0有整数根， ∴x ＝4±16－4n 2＝2±4－n ，∴4－n 为某个整数的平方且4－n ≥0，∴n ＝3或n ＝4. 当n ＝3时，x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3； 当n ＝4时，x 2－4x ＋4＝0，得x ＝2. ∴n ＝3或n ＝4. 三、解答题(共22分)8． (10分)判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假．解 原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根． 逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0. 判断如下：∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a <0，∴a <－14<0，∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0”为真命题．9． (12分)已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解 由题意得p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5. ∴綈p ：x <1或x >5.q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴綈q ：x <m －1或x >m ＋1.又∵綈p 是綈q 的充分而不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1，m ＋1≤5，且等号不能同时取到，∴2≤m ≤4.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·上海)对于常数m 、n ，“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 ∵mn >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n <0，当m >0，n >0且m ≠n 时，方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆， 当m <0，n <0时，方程mx 2＋ny 2＝1不表示任何图形， 所以条件不充分；反之，当方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆时有mn >0，所以“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件． 2． 已知p ：1x －2≥1，q ：|x －a |<1，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，3]B ．[2,3]C ．(2,3]D ．(2,3)答案 C 解析 由1x －2≥1，得2<x ≤3； 由|x －a |<1，得a －1<x <a ＋1.若p 是q 的充分不必要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤2a ＋1>3，即2<a ≤3.所以实数a 的取值范围是(2,3]，故选C.3． 集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 A ＝{x |－4≤x ≤4}，若A ⊆B ，则a >4.a >4D /⇒a >5，但a >5⇒a >4.故“A ⊆B ”是“a >5”的必要不充分条件． 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 设有两个命题p 、q .其中p ：对于任意的x ∈R ，不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立；命题q ：f (x )＝(4a －3)x 在R 上为减函数．如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a的取值范围是____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪(1，＋∞)解析 当a ＝0时，不等式为2x ＋1>0，显然不能恒成立，故a ＝0不适合； 当a ≠0时，不等式ax2＋2x ＋1>0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝22－4a <0， 解得a >1.若命题q 为真，则0<4a －3<1，解得34<a <1.由题意，可知p ，q 一真一假． 当p 真q 假时，a 的取值范围是 {a |a >1}∩{a |a ≤34或a ≥1}＝{a |a >1}；当p 假q 真时，a 的取值范围是{a |a ≤1}∩{a |34<a <1}＝{a |34<a <1}；所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪(1，＋∞)．5． 若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________．答案 [1,2)解析 x ∉[2,5]且x ∉{x |x <1或x >4}是真命题．由⎩⎪⎨⎪⎧x <2或x >5，1≤x ≤4，得1≤x <2.点评 “A 或B ”的否定是“綈A 且綈B ”．6． “m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件．答案 充分不必要解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0， 即m ≤14，∵m <14⇒m ≤14，反之不成立．故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．三、解答题7． (13分)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2x －a ＋<0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －a 2－2x －a <0.(1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝12时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x －2x －52<0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2<x <52， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －94x －12<0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <94， ∴∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥94. ∴(∁U B )∩A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |94≤x <52.(2)∵a 2＋2>a ，∴B ＝{x |a <x <a 2＋2}．①当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}．∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤23a ＋1≤a 2＋2，即13<a ≤3－52.②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，不符合题意；③当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1a 2＋2≥2，∴－12≤a <13.综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，3－52.。

[时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．已知命题p ：若x ＝y ，则x ＝y ，那么下列叙述正确的是( ) A ．命题p 正确，其逆命题也正确 B ．命题p 正确，其逆命题不正确 C ．命题p 不正确，其逆命题正确 D ．命题p 不正确，其逆命题也不正确2．若命题“存在x 0∈R ，使x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．1≤a ≤3 B．－1≤a ≤1 C ．－3≤a ≤1 D．－1≤a ≤33．记等比数列{a n }的公比为q ，则“q >1”是“a n ＋1>a n (n ∈N *)”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．“a ＝2”是“直线(a 2－a )x ＋y ＝0和直线2x ＋y ＋1＝0互相平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 能力提升5．已知a ，b ，c ，d 为实数，且c ＞d ，则“a ＞b ”是“a －c ＞b －d ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．[2011·山西师大附中一模] 命题“存在x 0∈R ，使x 20＋ax 0－4a <0为假命题”是“－16≤a ≤0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．[2011·长沙一中月考] 已知命题p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q ：关于x 的函数y ＝(2a －1)x在R 上为减函数，若p 且q 为真命题，则a 的取值范围是( )A ．a ≤23B ．0<a <12C.12<a ≤23D.12<a <1 8．[2011·锦州模拟] 已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量c n ＝(a n ，a n ＋1)，b n ＝(n ，n ＋1)，n ∈N *.下列命题中真命题是( )A ．若对任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列B ．若对任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等比数列C ．若对任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等差数列D ．若对任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等比数列9．设命题p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，命题q ：m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．在下列四个结论中，正确的有________(填序号)．①若A 是B 的必要不充分条件，则非B 也是非A 的必要不充分条件； ②“⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件；③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件； ④“x ≠0”是“x ＋|x |>0”的必要不充分条件．11．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．12．[2011·福州期末] 在△ABC 中，“AB →·AC →＝BA →·BC →”是“|AC →|＝|BC →|”的________条件．13．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________(填序号)．14．(10分)[2011·白鹭洲中学月考] 已知条件p ：|5x －1|>a (a >0)和条件q ：12x 2－3x ＋1>0，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A 、B 构造命题：“若A ，则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题．则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．15．(13分)已知a ，b 是实数，求证：a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2－b 2＝1.难点突破16．(12分)[2011·厦门检测] 已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －2x －3a －1<0，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －a 2－2x －a <0.(1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．课时作业(二)【基础热身】1．C [解析] 当x 、y 为负值时，命题p 不正确，而当x ＝y 时，有x ＝y ，故p 的逆命题正确．2．D [解析] x 2＋(a －1)x ＋1≥0恒成立，所以(a －1)2－4≤0，得－1≤a ≤3.3．D [解析] 可以借助反例说明：①如数列：－1，－2，－4，－8公比为2，但不是增数列；②如数列：－1，－12，－14，－18是增数列，但是公比为12<1.4．A [解析] 因为两直线平行，则：(a 2－a )×1－2×1＝0，解得a ＝2或a ＝－1. 【能力提升】5．B [解析] 显然，充分性不成立．若a －c ＞b －d 和c ＞d 都成立，则同向不等式相加得a ＞b ，即由“a －c ＞b －d ”⇒“a ＞b ”．6．C [解析] 若存在x 0∈R ，使x 20＋ax 0－4a <0为假命题，即对任意的x ∈R ，x 2＋ax －4a ≥0恒成立，于是Δ＝a 2＋16a ≤0，解得－16≤a ≤0，同时当－16≤a ≤0，恒有Δ≤0，于是可知“存在x 0∈R ，使x 20＋ax 0－4a <0为假命题”是“－16≤a ≤0”的充分必要条件．7．C [解析] 已知命题p 为真，则3a 2≤1，∴a ≤23；已知命题q 为真，则0<2a －1<1，∴12<a <1；综合以上得12<a ≤23. 8．A [解析] 由c n ∥b n 可知a n ＋1a n ＝n ＋1n，故a n ＝a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1·a 1＝21·32·43·…·n n －1·a 1＝na 1，即对任意n ∈N *如果c n∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列．9．B [解析] f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x 2＋4x ＋m ≥0对任意x 恒成立，故Δ≤0，即m ≥43；m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，即m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫8x x 2＋4max ，8x x 2＋4＝8x ＋4x≤824＝2，即m ≥2.则因为{m |m ≥2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≥43，正确选项B.10．①②④ [解析] 根据命题的等价性，结论①正确；根据二次函数图像与不等式的关系，结论②正确；结论③即x 2＝1是x ＝1的充分不必要条件，显然错误；x ≠0也可能x ＋|x |＝0，故条件不充分，反之x ≠0，结论④正确．11．[－3,0] [解析] ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0， 故－3≤a ≤0.12．充要 [解析] AB →·AC →＝BA →·BC →⇔AB →·AC →－BA →·BC →＝0⇔AB →(AC →＋BC →)＝0⇔(AC →－BC →)(AC →＋BC →)＝0⇔BC →2＝AC →2⇔|AC →|＝|BC →|，于是“AB →·AC →＝BA →·BC →”是“|AC →|＝|BC →|”的充要条件．13．② [解析] ①的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体AC 1做模型来观察：上底面A 1B 1C 1D 1中A 1、B 1、C 1、D 1任何三点都不共线，但A 1、B 1、C 1、D 1四点共面，所以①的逆命题不真．②的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点．由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线没有公共点．所以②的逆命题是真命题．14．[解答] 已知条件p 即5x －1<－a 或5x －1>a ，∴x <1－a 5或x >1＋a5，已知条件q 即2x 2－3x ＋1>0，∴x <12或x >1；令a ＝4，则p 即x <－35或x >1，此时必有p ⇒q 成立，反之不然．故可以选取的一个实数是a ＝4，A 为p ，B 为q ，对应的命题是若p ，则q ， 由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，而它的逆命题为假命题．15．[解答] 证法一：证明：充分性：若a 2－b 2＝1，则a 4－b 4－2b 2＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)－2b 2＝a 2＋b 2－2b 2＝a 2－b 2＝1，所以a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的充分条件．必要性：若a 4－b 4－2b 2＝1，则a 4－(b 2＋1)2＝0，即(a 2＋b 2＋1)(a 2－b 2－1)＝0，因为a ，b 是实数，所以a 2＋b 2＋1≠0，所以a 2－b 2－1＝0，即a 2－b 2＝1，所以a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的必要条件．综上所述，a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2－b 2＝1.证法二：证明：a 4－b 4－2b 2＝1⇔a 4＝b 4＋2b 2＋1⇔a 4＝(b 2＋1)2⇔a 2＝b 2＋1，∴a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2＝b 2＋1.【难点突破】16．[解答] (1)当a ＝12时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2<x <52，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <94，所以(∁U B )∩A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪94≤x <52. (2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知B ⊇A . 因为a 2＋2>a ，所以B ＝{x |a <x <a 2＋2}．当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3a ＋1，解得13<a ≤3－52.当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅符合题意；当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，解得－12≤a <13.综上，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3－52.。