10. 一元一次不等式(组)及其解法

一元一次不等式组的概念及其解法班级________ 姓名________【例1】下列四个不等式组，哪一个是一元一次不等式组，并写出这个不等式组的解集．A ．53x x <-⎧⎨->⎩B ．11x y x y +>⎧⎨-<⎩C ．221512x x ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩D ．11527x m ⎧+>⎪⎨⎪+>⎩【例2】（2005·南平市）解下列不等式组．（1）532,314;2x x x -⎧⎪⎨-<⎪⎩…（2）627,328.x x x +<+⎧⎨+<-⎩ 【例3】解不等式组．（1）20,10,50;x x x +>⎧⎪->⎨⎪-<⎩ （2）31374x -<…． 【例4】（2005·成都市）求不等式组()312531342x x x x x ⎧-+<+⎪⎨-+-⎪⎩…①②的自然数解． 【例5】若不等式组232x a x a >+⎧⎨<-⎩元解，求a 的取值范围． 【例6】已知关于x 、y 的方程组39,51x y a x y a +=+⎧⎨-=-⎩的解是一对正数． （1）求a 的取值范围；（2）化简445a a +--．【例7】若不等式组0,1x a x a ->⎧⎨-<⎩的解集中的任何一个x 值均不在18x 剟范围内，则a 的取值范围是什么？ 【例8】某钱币收藏爱好者想把3.5元纸币兑换成1分、2分、5分的硬币，他要求硬币总数为150枚，2分硬币的枚数不少于20枚且是4的倍数，5分的硬币要多于2分的硬币，请你根据此要求，帮忙设计所有的兑换方案．1．（2004·河北省）不等式组21,215x x -<⎧⎨+>⎩的解集是_________． 2．（2004·绵阳市）不等式组310,27x x +⎧⎨<⎩…的整数解有_________个． 3．（2003·重庆市）已知关于x 的不等式组521,0x x a --⎧⎨->⎩…无解，则a 的取值范围为_________．4．（2003·安徽省）已知不等式组2,1x a b x a b +>+⎧⎨-<-⎩的解集为12x -<<，则()2004a b +=_________． 5．已知关于x 的不等式组0,321x a x -⎧⎨->-⎩…的整数解共有5个，则a 的取值范围是_________． 6．如果不等式组3,x x m <⎧⎨>⎩有解，那么m 的取值范围是（） A ．3m > B ．3m … C ．3m < D ．3m …7．若方程组31,33x y k x y +=+⎧⎨+=⎩的解为x 、y ，且24k <<，则x y -的取值范围是（） A ．102x y <-<B ．01x y <-<C ．31x y -<-<-D ．11x y -<-< 8．当方程5252x a x -=-的解在2和6之间时，a 的取值范围是（） A ．92a >B ．372a <C ．392a <D ．93722a << 9．下列不等式组解集为23x <<的是（） A ．1113,22323X x x x ⎧+<-⎪⎨⎪<+⎩B ．1131,32233x x x x ⎧-<+⎪⎨⎪+<⎩C ．1131,22323x x x x ⎧-<+⎪⎨⎪<+⎩D ．1113,22233x x x x ⎧+<-⎪⎨⎪+<⎩10．已知0b a <<，那么下列不等式组中无解的是（多项选择）（）A ．,x a x b >⎧⎨<⎩B ．,x a x b >-⎧⎨<-⎩C ．,x a x b >⎧⎨<-⎩D ．,x a x b >-⎧⎨<⎩11．不等式组1020x x +⎧⎨-<⎩…的整数解是（） A ．1-，0，1 B ．1-，1 C ．1-，0 D ．0，112．有一两位数，其十位上的数字比个位上的数小2，已知这个两位数大于10且小于30，则这个数为（）A ．13B ．24C ．31或42D ．13或24 13．（2004·荆门市）现用甲、乙两种运输车将46t 抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5t ，乙种运输车载重4t ，安排运输车不超过10输，则甲种运输车至少应安排（）A ．4辆B ．5辆C ．6辆D ．7辆14．解下列不等式组：（1）224315x x ⎧+<⎪⎨-⎪⎩…①②（2）52133242x x x x ⎧--⎪⎨--⎪⎩①②……（3）21353x --<…（4）()()2534431521132x x x x x x ⎧⎪-<+⎪⎪-<+⎨⎪-⎪⎪⎩…①②③（5）70503010x x x x ⎧-<⎪-<⎪⎨+>⎪⎪+>⎩①②③④ 15．若方程组21,2x y x y m +=⎧⎨-=⎩得到的x 与y 的值都不大于1，求m 的取值范围． 16．已知关于x 的不等式组,221x a b x a b -⎧⎨-<+⎩…的解集为35x <…，求b a 的值． 17．已知方程512x a x --+=的解适合不等式112x --…和20x -…，求a 的值． 18．对于整数a 、b 、c 、d ，符合ab dc 表示运算ac bd -，已知1134b d <<，求b d +的值． 19．已知方程组256,217x y m x y +=+⎧⎨-=-⎩的解x 、y 都是正数，且x 的值小于y 的值，求m 的取值范围． 20．解不等式()4105x x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，想一想原不等式改为1045x x -<+怎样解？ 21．（2006·枣庄市课标卷）解不等式组，并把其解集在数轴上表示出来：()3321318x x x x -⎧+⎪⎨⎪--<-⎩…1．如果不等式组230,x x m -⎧⎨⎩……无解，则m 的取值范围是_________． 2．不等式组()5231,2143x x x x ⎧->+⎪⎨--⎪⎩…的非负整数解的积为_________． 3．若关于x 的不等式组()0,2111x a x x ->⎧⎪⎨+>-⎪⎩的解集是3x >，则a 的取值范围是_________． 4．已知不等式组()()32128,218123.84x x x x ⎧-<+⎪⎨+-+>-⎪⎩．（1）求此不等式组的整数解．（2）若上述整数解满足方程62ax x a +=-，求a 的值．（3）求代数式200420031a a -的值．5．已知不等式组1,1,1.x x x k >-⎧⎪<⎨⎪<-⎩（1）当12k =时，不等式组的解集为_________． （2）当3k =时，不等式组的解焦为_________．（3）当2k =-时，不等式组的解集为_________．（4）根据（1）、（2）、（3），不等式组的解集随k 值的变化而变化，当k 为任意数时，写出不等式组解集的情况． 6．若不等式组,30x a x >⎧⎨-⎩…有三个整数解，你能确定a 的值吗？ 7．有甲、乙、丙、丁四个人一起讨论一个一元一次不等式组，他们各说出该不等式组的一个性质： 甲：这个不等式组的解在2-与3之间取值（包括2-与3）；乙：这个不等式组没有小于3的解；丙：有一个不等式的解为1x >-；丁：不等式393x -+>-的解为4x <．若这四个人中恰有三个人的说法是正确的，则该不等式组为_________．8．（1）若不等式组237,635x a b b x a -<⎧⎨-<⎩的解集是522x <<，求a ，b 的值． （2）已知不等式组211,3x x a -⎧>⎪⎨⎪>⎩的解集为2x >，求a 的范围．9．先阅读绝对值不等式4x <和4x >的解法，然后完成练习．如图（1）因为4x <，从数轴上（如图（1）所示）可以观察出大于4-而小于4的整的绝对值是小于4的，所以4x <的解集为44x -<<．（2）满足4x >的数用数轴表示为如图（2）所示，也就是说小于4-的数和大于4的数的绝对值大于4的，所以4x >的解集为4x <-或4x >．练习：（1）()0x a a <>的解集应为_________，()0x a a >>的解集应为_________．（2）求54x -<的解集实质上是求不等式组_________的解集．（3）求不等式5x b ->的解集应先求出不等式_________和不等式_________的解集，再得不等式x<4（1） （2）->的解集为_________．x b5。

一元一次不等式组的知识点及其经典习题讲解知识点一：一元一次不等式组由含有同一未知数的几个一元一次不等式组合在一起，叫做一元一次不等式组。

如：，。

要点诠释：在理解一元一次不等式组的定义时，应注意两点：(1)不等式组里不等式的个数并未规定，只要不是一个，两个、三个、四个等都行；(2)在同一不等式组中的未知数必须是同一个，不能在这个不等式中是这个未知数，而在另一个不等式中是另一个未知数。

知识点二：一元一次不等式组的解集组成一元一次不等式组的几个不等式的解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解集.(1)求几个一元一次不等式的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定的，公共部分是指数轴上被各个不等式解集的区域都覆盖的部分。

(2)用数轴表示由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，一般可分为以下四种情况：知识点三：一元一次不等式组的解法求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

解一元一次不等式组的一般步骤为：(1)分别解不等式组中的每一个不等式；(2)将每一个不等式的解集在数轴上表示出来，找出它们的公共部分；(3)根据找出的公共部分写出这个一元一次不等式组的解集(若没有公共部分，说明这个不等式组无解).要点诠释：用数轴表示不等式组的解集时，要时刻牢记：大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。

知识点四：利用不等式或不等式组解决实际问题列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式或不等式组；（5）解：解出所列的不等式或不等式组的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案。

要点诠释：在以上步骤中，审题是基础，是根据不等关系列出不等式的关键，而根据题意找出不等关系又是解题的难点，特别要注意结合实际意义对一元一次不等式或不等式组的解进行合理取舍，这是初学者易错的地方。

一元一次不等式(组)知识总结及经典例题分析一元一次不等式和不等式组【知识要点】一、一元一次不等式1. 一元一次不等式定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式。

2.一元一次不等式的解集：使一元一次不等式成立的每一个未知数的值叫做一元一次不等式的解。

一元一次不等式的所有解组成的集合是一元一次不等式的解集。

注：其标准形式： ax+b ＜0或ax+b ≤0， ax+b ＞0或ax+b ≥0(a ≠0)．二、一元一次不等式的解法：解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x a<(x a >或)x a x a ≥≤或或的形式，其一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。

说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．例如：131321≤---x x解不等式： 解：去分母，得 6)13(2)13≤---x x （（不要漏乘！x <a x >a x ≤a x ≥a五、不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型(b a <)①⎩⎨⎧>>b x a x 的解集是b x >，如下图： ②⎩⎨⎧<<b x a x 的解集是a x <，如下图：同大取大 同小取小③⎩⎨⎧<>b xa x 的解集是b x a <<，如下图：④⎩⎨⎧><bx a x 无解，如下图：大小交叉取中间 大小分离解为空六、解一元一次不等式组的步骤(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集．七、一元一次不等式的综合应用1.列不等式解决问题比列方程解决问题的应用更广泛、更实际。

有些问题用方程不能解决，而用不等式却能轻易解决。

2013年中考数学专题复习第十讲：一元一次不等式（组）【基础知识回顾】一、不等式的基本概念：1、不等式：用连接起来的式子叫做不等式2、不等式的解：使不等式成立的值，叫做不等式的解3、不等式的解集：一个含有未知数的不等的解的叫做不等式的解集【名师提醒：1、常用的不等号有等2、不等式的解与解集是不同的两个概念，不等式的解事单独的未知数的值，而解集是一个包围的未知数的值组成的机合，一般由无数个解组成3、不等式的解集一般可以在数轴上表示出来。

注意“>”“<”在数轴上表示为，而“≥”“≤”在数轴上表示为】二、不等式的基本性质：基本性质1、不等式两边都加上（或减去）同一个或同一个不等号的方向，即：若a<b,则a+c b+c(或a－c b－c)基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个不等号的方向，即：若a<b，c>0则a c b c（或ac—bc）基本性质3、不等式两边都乘以（或除以）同一个不等号的方向，即：若a<b，c <0则a c b c（或ac—bc）【名师提醒：运用不等式的基本性质解题时要主要与等式基本性质的区别与联系，特别强调：在不等式两边都乘以或除以一个负数时，不等号的方向要】三、一元一次不等式及其解法：1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是且系数的不等式叫一元一次不等式，其一般形式为或2、一元一次不等式的解法步骤和一元一次方程的解法相同，即包含等五个步骤【名师提醒：在最后一步系数化为1时，切记不等号的方向是否要改变】一、 一元一次不等式组及其解法：1、定义：把几个含有相同未知数的 合起来，就组成了一个一元一次不等式组2、解集：几个不等式解集的 叫做由它们所组成的不等式组的解集3、解法步骤：先求出不等式组中多个不等式的 再求出他们的 部分，就得到不等式组的解集4、一元一次不等式组解集的四种情况（a <b ） 1【名师提醒：1、求不等式的解集，一般要体现在数轴上，这样不2、一元一次不等式组求解过程中往常出现求特殊解的问题，比如：整数解、非负数解等，这时要注意不要漏了解，特别当出现“≥”或“≤”时要注意两头的数值是否在取值的范围内】五、一元一次不等式（组）的应用： 基本步骤同一元一次方程的应用可分为： 、 、 、 、 、 、 等七个步骤 【名师提醒：列不等式（组）解应用题，涉及的题型常与方案设计型问题相联系如：最大利润，最优方案等】【重点考点例析】 考点一：不等式的基本性质x >b x >a解集 口诀：大大取小X <a X <b 解集 口诀：X >bX >a解集 口诀：X <a X >b解集 口诀：例1 （2012•绵阳）已知a＞b，c≠0，则下列关系一定成立的是（）A．ac＞bc B．C．c﹣a＞c﹣b D．c+a＞c+b考点：不等式的性质。

一元一次不等式（组）知识定位不等式是一个比较重要的知识点，难度不是很大，在理解的基础上，使用适当的技巧即可解决。

知识梳理一、不等式与不等式的性质1、不等式：表示不等关系的式子。

（表示不等关系的常用符号：≠，＜，＞）。

2、不等式的性质：（l ）不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号方向不改变，如a ＞ b ， c 为实数⇒a ＋c ＞b ＋c（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，如a ＞b ， c ＞0⇒ac ＞bc 。

（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，如a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc.注：在不等式的两边都乘以（或除以）一个实数时，一定要养成好的习惯、就是先确定该数的数性（正数，零，负数）再确定不等号方向是否改变，不能像应用等式的性质那样随便，以防出错。

3、任意两个实数a ，b 的大小关系（三种）：（1）a – b ＞0⇔ a ＞b（2）a – b=0⇔a=b（3）a–b ＜0⇔a ＜b4、（1）a ＞b ＞0⇔b a >（2）a ＞b ＞0⇔22b a <二、不等式（组）的解、解集、解不等式1、能使一个不等式（组）成立的未知数的一个值叫做这个不等式（组）的一个解。

不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。

不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集。

2．求不等式（组）的解集的过程叫做解不等式（组）三、不等式（组）的类型及解法1、一元一次不等式：（l ）概念：含有一个未知数并且含未知数的项的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式。

（2）解法：与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边同乘以（或除以）一个负数时，不等号方向要改变。

2、一元一次不等式组：（l ）概念：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

（2）解法：先求出各不等式的解集，再确定解集的公共部分。

注：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。

【例1】 用不等式表示：（1）a 大于0：____________； （2）x y +是负数：_________；（3）5与x 的和比x 的3倍小：___________． 【难度】★【答案】（1）0>a ；（2）0<+y x ；（3）x x 35<+． 【解析】考察不等式的表达．【例2】 根据不等式的性质填空．如果a b >，则a m +______b m +； 如果x y <，则x n -______y n -； 如果p q ≥，则2p ______2q ； 如果m n ≤，则3m -______3n -． 【难度】★【答案】>；<；≥；≥．【解析】不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两 边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【总结】考察不等式的性质的运用．【例3】 根据不等式的性质填空．（填“>”或“<”）如果a b >，则()21m a --g _______()21m b --g ； 如果a b <，则21a m +_____21bm +． 【难度】★★ 【答案】<；<．【解析】因为012<--m ，所以不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；因为012>+m ，所以不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．【总结】考察不等式的性质的运用． 【例4】 用不等式表示下列语句：（1）x 的2倍与3的差的相反数是正数；（2）a 与b 两数和的平方不大于100；（3）x 的14与x 的5倍的和是非负数；（4）x 除以3的商加上4，至多等于8． 【难度】★★【答案】（1）()032>--x ；（2）()1002≤+b a ；（3）0541≥+x x ；（4）843≤+x． 【解析】“不大于”可以转换为“≤”；“至多”可以转换为“≤”． 【总结】考察不等式的表示方法，注意对关键字的理解．【例5】 根据不等式的性质，把下列不等式表示为“x a >”或“x a <”的形式．（1）872x x >+； （2）163x <；（3）59x ->；（4）122x -<．【难度】★★【答案】（1）2>x ；（2）18<x ；（3）59-<x ；（4）21->x ．【解析】利用不等式的基本性质进行加减乘除，则可得到答案． 【总结】考察不等式的基本性质的运用．【例6】 比较下列各对数的大小．（1）若m < 0，比较2m 与3m 的大小；（2）若m > n ，比较233m -+和233n -+的大小；（3）比较2321x x -++和2323x x -+-的大小． 【难度】★★【答案】（1）m m 32>；（2）332332+-<+-n m ；（3）22321323x x x x -++>-+-．【解析】（1）因为32<，m < 0，所以m m 32>； （2）因为m > n ，所以n m 3232-<-，所以332332+-<+-n m ；（3）因为31->，所以22321323x x x x -++>-+-． 【总结】考察不等式的基本性质的运用．注：-1上面的点是空心点1-1-4-5注：-1上面的点是空心点【例7】 比较a b +和a b -的大小． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】当b b -=即0=b 时，b a b a -=+；当b b ->即0>b 时，b a b a ->+； 当b b -<即0<b 时，b a b a -<+．【总结】考察不等式性质的用法，注意分类讨论．【例8】 检验3，3-是否是不等式3212x x +<-的解． 【难度】★【答案】3不是不等式的解；-3是不等式的解【解析】将3代入不等式中，可得不等式不成立，则3不是不等式的解；将-3代入不等式中不等式成立，则-3是不等式的解． 【总结】考察不等式解的定义．【例9】 把下列不等式的解集在数轴上表示出来． （1） 2.5x ≤； （2）1x >-； （3）14x -<≤．【难度】★ 【答案】（1）（2）（3）【解析】考察数轴上不等式的表示．【例10】 根据数轴上表示的不等式的解集，写出满足条件的不等式．（1） （2）【难度】★【答案】（1）答案有无数个，例如42-≥x ；（2）答案有无数个，例如224<≤-x ． 【解析】（1）由数轴可知解集为2-≥x ，则可写成不等式为42-≥x ；（2）由数轴可得解集为12<≤-x ，则可写出不等式为224<≤-x ． 【总结】考察不等式的解集的定义．【例11】 下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A ．21x y +> B ．720-< C ．323x x ->+ D ．24x> 【难度】★ 【答案】C【解析】A 答案中有两个未知数；B 答案中没有未知数；D 答案中有分式．所以均不是一元一次不等式．【总结】考察一元一次不等式的概念．【例12】 填空：（1）满足不等式5x <的最大整数解是______； （2）满足不等式4x ≤的非负整数解是______． 【难度】★【答案】（1）4；（2）0，1，2，3，4． 【解析】（1）满足不等式5x <的最大整数解是4；（2）满足不等式4x ≤的解集为44≤≤-x ，其中非负整数解为0，1，2，3，4． 【总结】考察不等式整数解的求法，注意看清题目的要求．【例13】 填空：不等式315x ≤的解集是___________；不等式315x -≤-的解集是___________． 【难度】★【答案】5≤x ；5≥x ．【解析】不等式315x ≤的两边同时除以3可得解集为5≤x ； 不等式315x -≤-的两边同时除以-3可得解集为5≥x ． 【总结】考察不等式的解集的确定．0 10 1【例14】 解下列不等式，并把它们的解集分别在数轴上表示出来：（1）332x-≥-； （2）()2540.5x x -<+；（3）()()321251x x x --≤+． 【难度】★★【答案】（1）0≥x ；（2）27->x ；（3）27≤x ；数轴上的表示见解析．【解析】（1）移项可得：02≥x，解得：0≥x ；（2）去括号可得：2452+<-x x ，移项可得72<-x ，解得：27->x ；（3）去括号可得：55423+≤+-x x x ，移项可得72≤x ，解得：27≤x ．【总结】考察不等式的解法和数轴上解集的表示方法．【例15】 解下列不等式：（1）21326x x --≤；（2）121180.50.25x x -++>； （3）0.020.030.50.10.020.3x x -+≥． 【难度】★★【答案】（1）6≥x ；（2）58>x ；（3）194≤x ．-5-4-110注：-3.5上面的点是空心点01-1-4-5-5-4【解析】（1）两边同时乘以6可得：()x x ≤--2318，去括号可得：x x ≤+-6318，移项可得：244-≤-x ，解得：6≥x ∴不等式的解集为6≥x ；（2）两边同时乘以0.5可得：()91221>++-x x去括号可得：9241>++-x x ，移项可得：85>x ，解得：58>x ∴不等式的解集为58>x ； （3）不等式可变形为315232+≥-x x ，两边同时乘以6可得：()()152323+≥-x x 去括号可得：21096+≥-x x ，移项可得：419-≥-x ，解得：194≤x ∴不等式的解集为194≤x ． 【总结】考察不等式的解法．【例16】 求满足不等式11136y y +--≤的非负整数解． 【难度】★★ 【答案】0、1、2、3．【解析】不等式两边同时乘以6可得：()()6112≤--+y y ，去括号可得：6122≤+-+y y ，移项可得：3≤y ， 则满足不等式的非负整数解为0、1、2、3．【总结】考察不等式的解法，注意最终求得是非负整数解．【例17】 已知不等式()()52186117x x -+<-+的最小整数解是方程24x ax -=的解，求a的值． 【难度】★★★ 【答案】4=a ．【解析】不等式去括号可得：176618105+-<+-x x ，移项可得：3<-x ，解得：3->x ，则不等式的最小整数解为2-=x ，所以-2是方程24x ax -=的解，则424=+-a ，解得：4=a ． 【总结】考察不等式的解法和方程解的定义，综合性较强，认真分析．【例18】 解不等式：11315111x x x x ++>+-++． 【难度】★★★【答案】1<x 且1-≠x ．【解析】两边同时减去11+x 可得：1513->+x x ，移项整理可得：22->-x ，解得：1<x ，而01≠+x ，所以1-≠x ，所以不等式的解集为1<x 且1-≠x ． 【总结】考察不等式的解法．注意要考虑分母不能为0．【例19】 利用数轴确定下列不等式组的解集： （1）22x x >-⎧⎨≥⎩；（2）22x x <-⎧⎨≤⎩； （3）22x x >-⎧⎨≤⎩； （4）22x x <-⎧⎨≥⎩； （5）212x x x >-⎧⎪≥⎨⎪≤⎩．【难度】★【答案】（1）2≥x ；（2）2-<x ；（3）22≤<-x ；（4）无解；（5）21≤≤x ． 【解析】由数轴可得解集．【总结】不等式组的解集规律是：“同大取大，同小取小，一大一小取中间”．【例20】 若a < b ，则不等式组x a x b>⎧⎨>⎩的解集是__________．【难度】★ 【答案】b x >．【解析】由数轴可得解集．【总结】不等式组的解集规律是：“同大取大，同小取小，一大一小取中间”．【例21】 解不等式组： （1）230320x x -≤⎧⎨+>⎩；（2）39217531x x x +<⎧⎪-≥⎨⎪-<⎩；（3）53126x--<≤． 【难度】★ 【答案】（1）32≥x ；（2）64<≤x ；（3）31137<≤-x ．【解析】（1）不等式①可得：32≥x ；不等式②可得：23->x ， 则不等式组的解集为32≥x ； （2）不等式①可得：6<x ；不等式②可得：4≥x ；不等式③可得：34>x ， 则不等式组的解集为64<≤x ； （3）不等式组可化为：⎪⎩⎪⎨⎧≤-->-26351635x x，不等式①可得：311<x ；不等式②可得：37-≥x ， 则不等式组的解集为31137<≤-x 【总结】考察不等式组的解法，注意利用性质求出每一个不等式的解集，再求出公共部分．【例22】 解不等式组： （1）()()2341324x x x x -->⎧⎪⎨--≥⎪⎩；（2）()51116313143x x x x ⎧-≤+⎪⎪⎨-⎪-<⎪⎩； （3）24341532736x x x x x x +>+⎧⎪->-⎨⎪+>+⎩．【难度】★★【答案】（1）2<x ；（2）803x <≤；（3）11<<-x ．【解析】（1）不等式①去括号移项可得：2->-x ，解得：2<x ；不等式②去括号移项可得：4112->-x ，解得：211<x ，则不等式组的解集为2<x ；（2）不等式①去括号移项可得：1423x ≤，解得：83x ≤；不等式②移项可得：0121<-x ，解得：0>x ， 则不等式组的解集为803x <≤；（3）不等式①可得：1->x ；不等式②可得：2<x ；不等式③可得：1<x 则不等式组的解集为11<<-x ． 【总结】考察不等式组的解法．【例23】 求不等式组()()714360.5125x x x x ⎧-<+⎪⎨+≥-⎪⎩的整数解．【难度】★★【答案】整数解为-11，-10，-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3．【解析】不等式①去括号移项可得：103<x ，解得：310<x ；不等式②去括号移项可得：11-≥x ；则不等式组的解集为31011<≤-x ．所以不等式组的整数解为-11，-10，-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3． 【总结】考察不等式组的解法，注意审题仔细，需要求整数解．【例24】 不等式组3x x a >⎧⎨>⎩的解集是x > 3，则a 的取值范围是________．【难度】★★ 【答案】3≤a ．【解析】根据“同大取大”的原则可知3≤a ．【总结】考察不等式组的解法及其不等式组的解集的运用．【例25】 解不等式组：（1）()35311520.50.40.4 1.5x x x x x +⎧++>-⎪⎨⎪-≤+⎩；（2）()()()37173410257364171153x x x x x x -++⎧+>-⎪⎨⎪-+-<--⎩；（3）()21311333115445x x x x x⎧---<-⎪⎪⎨-+⎪≥⎪⎩． 【难度】★★【答案】（1）45-≥x ；（2）无解；（3）2123≤<-x ．【解析】（1）不等式①左右两边同时乘以10可得：()()102532130->+++x x x ，移项整理可得：467->x ，解得：746->x ，不等式②两边同时乘以10可得：15445+≤-x x ，移项整理可得：108≤-x ，解得：45-≥x ，所以不等式组的解集为45-≥x ；（2）不等式①左右两边同时乘以10可得：()()x x x 372401573+->++-， 移项整理可得：184>x ，解得：29>x ， 不等式②去括号可得：155114684221+-<-+-x x x ， 移项整理可得：022<x ，解得：0<x ，所以不等式组无解； （3）不等式①左右两边同时乘以3可得：()129313--<--x x x ，移项整理可得：64<-x ，解得：23->x ，不等式②两边同时乘以20可得：⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-414515x x ， 去括号移项整理可得：12-≥-x ，解得：21≤x ， 所以不等式组的解集为2123≤<-x ． 【总结】考察不等式组的解法，注意对不等式组的解集的准确理解．【例26】 解不等式组：（1）()354112142322x x x x x +>-⎧⎪⎨+<-≤⎪⎩； （2）()273321831312x x x x x x -⎧<⎪⎪-≥-⎨⎪-⎪-<-⎩； （3）()()3121211421345x x x x x x ⎧-≥+-⎪⎪⎪-≤+⎨⎪-+⎪>⎪⎩． 【难度】★★ 【答案】（1）635<<x ；（2）61≤<x ；（3）17>x ． 【解析】（1）不等式①可得：6<x ，不等式②可变为：()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤--<+2221324132421x x x x ，由（1）可得：35>x ；由（2）可得：524-≥x ，所以不等式组的解集为635<<x ；（2）解不等式①可得：1->x ，解不等式②可得6≤x ，解不等式③可得1>x ， 所以原不等式组的解集为61≤<x ；（3）解不等式①可得：3≥x ，解不等式②可得10-≥x ，解不等式③可得17>x ， 所以原不等式组的解集为17>x ．【总结】考察不等式组的解法，注意不等式组的解集是各个不等式的解集的公共部分．【例27】 求使方程组24563x y m x y m +=+⎧⎨+=+⎩的解x 、y 都是正数的m 的取值范围． 【难度】★★★ 【答案】572m <<． 【解析】将第一个方程乘以4与第二个方程相减可得：52-=m y ，代入第一个方程可得：m x -=7，因为x 、y 都是正数，所以⎩⎨⎧>->-05207m m ，解得：725<<m ． 【总结】考察方程组和不等式组的解法，注意对题意的正确理解．【例28】 若不等式组2224x a x a -≥⎧⎨+<⎩无解，求a 的取值范围． 【难度】★★★【答案】2≤a ．【解析】不等式①可得：22+≥a x ；不等式②可得：24-<a x ，因为不等式组无解，所以2224+≤-a a ，解得：2≤a ．【总结】考察不等式组的解法以及对不等式组无解的理解．【例29】 不等式组21x a b x a b+>+⎧⎨-<-⎩的解集是32x -<<，求()2017a b +的值． 【难度】★★★【答案】-1．【解析】不等式①可得：2-+>b a x ；不等式②可得：1+-<b a x ，因为不等式组的解集是32x -<<，所以⎩⎨⎧=+--=-+2132b a b a ，解得：⎩⎨⎧-==10b a ， 所以()()2017201711a b +=-=-．【总结】考察不等式组的解法及对不等式组的解集的理解和运用．【例30】 当37a ≤≤，59b ≤≤时，下列各不等式是否成立？为什么？（1）816a b ≤+≤；（2）62a b -≤-≤； （3）1563ab ≤≤；（4）537b a ≤≤． 【难度】★★★【答案】都成立．理由见解析．【解析】（1）因为73≤≤a ，所以b b a b +≤+≤+73，因为95≤≤b ，所以1238≤+≤b ，16712≤+≤b ，所以816a b ≤+≤；（2）因为73≤≤a ，所以b b a b -≤-≤-73，因为95≤≤b ，所以59-≤-≤-b ，所以236-≤-≤-b ，272≤-≤-b ，所以62a b -≤-≤；（3）因为73≤≤a ，0>b ，所以b ab b 73≤≤，因为95≤≤b ，所以27315≤≤b ，63735≤≤b ，所以1563ab ≤≤；（4）因为59b ≤≤，0>a ，所以aa b a 95≤≤， 因为37a ≤≤，所以11173a ≤≤，所以55573a ≤≤，9937a ≤≤，所以537b a≤≤． 【总结】考察不等式的性质的综合运用．【习题1】 已知1a <-，在下列各式中错误的是（ ）A ．10a +<B ．0a <C ．21a a <-D ．32a a >【难度】★【答案】D随堂检测【解析】D 答案可得：0>a ，不符合1a <-．【总结】考察不等式的解集．【习题2】 如图，数轴表示的解集是不等式组（ ）A ．23x x ≥⎧⎨<-⎩B ．23x x >⎧⎨<-⎩C ．23x x ≤⎧⎨>-⎩D ．23x x <⎧⎨≥-⎩【难度】★【答案】D【解析】注意左边的是实心点，右边的是空心点．【总结】考察不等式组的解法．【习题3】 用不等式表示：（1）x 与y 的一半的和是非负数；（2）a 的3倍与b 的10倍的和不等于6；（3）比b 的18%少19的数比19小．【难度】★【答案】（1）02≥+yx ；（2）6103≠+b a ；（3）191918<-b ％．【解析】考察不等式的表示．【习题4】 满足不等式5213x -≤-<的所有整数解的和等于________．【难度】★★【答案】2-【解析】不等式变形为⎩⎨⎧<--≥-312512x x ，解得：22x -≤<，则不等式的整数解为2101--、、、，则其和为2-．【总结】考查不等式的解法，注意对整数解的理解．【习题5】 已知关于x 的不等式组2x x a <⎧⎨>⎩的解集是2a x <<，则a 的取值范围是（）A ．2a >B ．2a <C ．2a ≥D ．2a ≤【难度】★★【答案】B【解析】考察对等式组的解集的理解．【习题6】 解不等式：（1）212567234x x x -+--≤； （2）()()11435023x x ⎡⎤---+>⎢⎥⎣⎦． 【难度】★★【答案】（1）145-≥x ；（2）1411x <． 【解析】（1）不等式两边同时乘以12可得：()()()763524126-≤+--x x x ，去括号移项可得：514≤-x ，解得：145-≥x ， 所以不等式组的解集为145-≥x ； （2）不等式两边同时乘以-2可得：()053134<+--x x ， 去括号移项可得：111433x <，解得：1411x <， 所以不等式组的解集为1411x <． 【总结】考察不等式的解法，注意对性质的准确运用．【习题7】 解不等式组：（1）()512632145233x x x x +>-⎧⎪+⎨+->-⎪⎩；（2）()()2211232242x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪++≤⎪⎩． 【难度】★★【答案】（1）5>x ； （2）010≤≤-x ．【解析】（1）解不等式①可得：43->x ， 解不等式②两边乘以3可得：()x x +->-+126154，去括号移项整理可得：153>x ，解得：5>x ，所以不等式组的解集为5>x ；（2）解不等式①可得：10-≥x ，解不等式②可得：0≤x ，所以不等式组的解集为010≤≤-x ．【总结】考察不等式组的解法，注意对不等式组的解集的准确理解．【习题8】 a 取什么负整数时，关于x 的方程28x a =+的解是正整数．【难度】★★★【答案】246---、、． 【解析】解方程可得：28a x +=． ∵方程的解为正整数，所以028>+a ，解得：8->a ， 因为a 取负整数，且方程的解为正整数，所以a 的值可取246---、、．【总结】考察一元一次方程的解法和整数解的讨论方法．【习题9】 如果不等式20.532x a ->与()5120x a -<-的解集完全相同，求a 及不等式的解集．【难度】★★★【答案】5=a ；不等式的解集为4>x ．【解析】不等式①两边同时乘以6可得：()a x 35.022>-，去括号移项可得134+>a x ，解得：413+>a x ， 不等式②去括号移项可得：255-<-a x ，解得：525-->a x ， 因为不等式的解集相同，所以525413--=+a a ， 解得：5=a ，不等式的解集为4>x ．【总结】考察对不等式的解集的运用及理解．【习题10】 如果关于x 的不等式30x a -<的正整数解是1、2，那么a 的取值范围是多少？【难度】★★★【答案】96≤<a ． 【解析】不等式的解集为3a x <，因为不等式的正整数解是1、2，所以332≤<a ， 解得：96≤<a ．【总结】考察不等式的解法及对正整数解得准确理解及运用．【作业1】 由x < y 得到ax > ay ，则a 应满足（ ）A ．0a <B ．0a ≤C ．0a >D ．0a ≥【难度】★【答案】A【解析】不等号方向改变，则a 为负数．【总结】考察不等式的性质．【作业2】 满足不等式337x x +<+的最小整数为________．【难度】★【答案】-1【解析】解不等式可得：2->x ，则其最小的整数为-1．【总结】考察不等式的解法和整数解．【作业3】 （1）不等式组23x x >⎧⎨>⎩的解集是____________； （2）不等式组22x x <⎧⎨≥-⎩的解集是___________． 【难度】★【答案】（1）3>x ；（2）22<≤-x ．【解析】考察不等式组的解集的求法．【作业4】 用不等式表示：（1）比m 的30%少11的数是负数；（2）a 与b 的平方和的相反数不为正数；（3）a 的40%与b 的70%的差至少为1000．【难度】★★【答案】（1）01130<-m ％；（2）()022≤+-b a ；（3）10007040≥-b a ％％．【解析】“不为正数”可以转换为“0≤”；“至少为1000”可以转换为“1000≥”【总结】考察不等式的表示方法．课后作业【作业5】 已知01a <<，则下列各式中正确的是（ ）A ．11a a <<B ．11a a <<C ．11a a<< D ．11a a << 【难度】★★【答案】C 【解析】取21=a ，则21=a ，21=a ，所以aa 11<<． 【总结】比较有理数的大小．【作业6】 解不等式：（1）()311211423x x x -++-≥-； （2）4 1.550.5 1.20.50.20.1x x x ---->． 【难度】★★【答案】（1）1123≥x ；（2）1425-<x ． 【解析】（1）不等式左右两边乘以12可得：()()()124161219+-+≥--x x x去括号移项可得：2311≥x ，解得：1123≥x ，所以不等式的解集为1123≥x ； （2）方程两边同时乘以1可得：()()()x x x ->---2.1105.0555.142 去括号移项可得：5.127>-x ，解得：1425-<x ，所以不等式的解集为1425-<x ． 【总结】考察不等式的解法，注意性质的准确运用．【作业7】 求不等式组350177433x x x ->⎧⎪⎨-<+⎪⎩的整数解． 【难度】★★【答案】2、3、4、5． 【解析】解不等式①可得：35>x ，解不等式②可得：6<x ， 所以不等式组的解集为635<<x ，则整数解为2、3、4、5． 【总结】考察不等式组的解法，注意题目中求的是不等式组的整数解．【作业8】 解不等式组：（1）()1631143422x x x +-≤<-+； （2）11141010372x x x x x ⎧-+>+⎪⎪--⎨⎪+>+⎪⎩． 【难度】★★【答案】（1）13>x ； （2）8>x 且10≠x ．【解析】（1）不等式组可转换为：()1631426314322x x x x +⎧-≤⎪⎪⎨+⎪<-+⎪⎩①② 不等式①两边同时乘以4可得：()3624+≤-x x去括号移项整理可得：1011≤-x ，解得：1110-≥x 不等式②两边同时乘以2可得：()13836+-<+x x去括号移项整理可得：262-<-x ，解得：13>x所以不等式组的解集为13>x ．（2）不等式①可转换为：41>-x 且010≠-x ，解得：5>x 且10≠x ， 不等式②解得：8>x ，所以不等式组的解集为8>x 且10≠x ．【总结】考察不等式组的解法，注意第二个不等式组中要强调分母不为零．【作业9】 求不等式组20x x a >⎧⎨≥⎩的解集． 【难度】★★★【答案】见解析．【解析】因为02≥a ，所以当0=a 时，不等式组可化为：⎩⎨⎧≥>00x x ，则其解集为0>x ， 当0≠a 时，02>a ，则不等式组的解集为2a x ≥．【总结】考察不等式组的解法，注意分类讨论．【作业10】已知2+与ab的大小．b>，试比较a ba>，2【难度】★★★【答案】ba>．ab+【解析】因为()b-aab+()()()()()1+=ba-=---ab+ab，abababb+11111111-1---=---=-且2b>，所以()()1a>，2a，即()0>-b+-bab，a---1>1-b1>11a，所以()()0所以b>．ab+a【总结】考察有理数比较大小，注意利用因式分解的思路去解题．。

《一元一次不等式组》教案教学目标1．理解一元一次不等式组和它的解集的概念．2．掌握一元一次不等式组的解法，会用数轴确定一元一次不等式组的解集．3．在积极参与探索一元一次不等式组解法的学习活动中，体会一元一次不等式组在实际问题中的应用，发展应用数学知识的意识与能力．教学重难点重点：两个一元一次不等式所组成的一元一次不等式组的解法．难点：确定两个不等式解集的公共部分．教学过程一．创设情境1．什么叫做一元一次不等式？解一元一次不等式的一般步骤是什么？2．提出问题：用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水在1200吨到1500吨之间，那么大约需要多少时间能将污水抽完？二．探索归纳1．分析问题：问：求解应用题时，在很多情况下，我们可以将某些适当的量设为未知数．此题中我们如何来设元呢？答：可以直接设元，设需要x 分钟才能将污水抽完．问：总的抽水量可表示成什么形式？答：总的抽水量为______吨．问：依据题中的条件，你能列出什么式子？答：由题意，积存的污水在1200吨到1500吨之间，应有1200≤30x ≤1500．这实际上包括了两个不等式30x ≥1200和30x ≤1500．⎩⎨⎧≤≥ ②． ①， 150030120030x x像这样，由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组就叫做一元一次不等式组．⎩⎨⎧≤≥ ②． ①， 150030120030x x分别求这两个不等式的解集，得:⎩⎨⎧≤≥．，5040x x同时满足不等式①，②的未知数x 应是这两个不等式解集的公共部分．要求学生在同一数轴上表示这两个不等式的解集，并找出公共部分．如图，公共部分是40和50之间的数（包括40和50），记作40≤x ≤50．这就是所列不等式组的解集．所提问题的答案为：大约需要40到50分钟能将污水抽完．2．概念与方法：不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集．求不等式组解集的过程叫做解不等式组．方法：解一元一次不等式组，通常可以先分别求出不等式中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，利用数轴可以直观地帮助我们求出不等式组的解集．三．例题解析：例1：解不等式组23-x ＜52-x212-x ＜32-x . 例2：解不等式组5x -6≥2x +63x -4＞4（x -1）.例3：求适合不等式-11＜-2a -5≤3的a 的整数解.课堂总结：本节课你学会了什么？。