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第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的基本定理高中数学选修2-1·精品课件引入课题平面向量中包含哪些基本定理形式？能否将平面向量的定理推广到空间向量？其形式又会有怎样的变化？知识点一：共线向量定理规定：零向量与任意向量共线.1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a ∥b .2.共线向量定理:对空间任意两个向量 a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使 a =λb .推论:如果l 为经过已知点A 且平行已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,满足等式OP =OA +t a ,其中 a 叫做直线l 的方向向量.探究点：三点共线如何利用共线向量定理判定三点共线？AC BOAC=λABOC−OA=λ(OB−OA) OC=(1−λ)OA+λOBA、B、C三点共线⇔OC=xOA+yOB(其中O为空间中任意一点，且x+y=1)特别有：当B为线段AC的中点时OB=12(OA+OC)例1 如图所示，已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且CF=23CB，CG=23CD.利用向量法证明四边形EFGH是梯形．[思路探索]只需证EH∥FG，且EH≠FG即证EH∥FG，且|EH|≠|FG|利用BD构建EH与FG的关系∵E、H分别是边AB、AD的中点，∴AE=12AB，AH=12AD，EH=AH−AE=12AD−12AB＝12(AD−AB)＝12BD＝12(CD−CB)＝12(32CG−32CF)＝34(CG−CF)＝34FG，∴EH∥FG，且|EH|≠|FG|,又F不在EH上，∴四边形EFGH是梯形．证明：跟踪训练1.设两非零向量e1、e2不共线，AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1－e2)．试问：A、B、D是否共线，请说明理由．解:∵BD＝BC＋CD＝(2e1＋8e2)＋3(e1－e2)＝5(e1+e2)，∴BD＝5AB又∵B为两向量的公共点，∴A、B、D三点共线．知识点二：共面向量共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.想一想，为什么？说明：空间任意两个向量都是共面向量，但空间任意三个向量既可能是共面的，也可能是不共面的.探究点：共面向量定理1.若 a 与b 为不共线的两个向量， p 、 a 、b 共面，p 能被 a 、b 唯一表示吗？想一想，为什么？存在唯一有序实数对(x , y ) p =x a +y b2.若存在唯一有序实数对(x , y )，使 p =x a +yb ，则 p 、 a 、b 共面吗？ab xayb p 平行四边形的对角线三个向量共面共面向量定理如果两个向量a 、b 不共线,则向量p 与a 、b共面的充要条件是:存在唯一的有序实数对(x , y )使p =x a +y b .知识点四：四点共面类似于共线向量定理可以判定三点共线，利用共面向量定理怎样判定四点共面？AP =mAB +nAC系数和等于1APCBOOP −OA =m(OB −OA)+n(OC −OA )OP =1−m −n OA +mOB +nOCP 、A 、B 、C 四点共面⇔OP =xOA +yOB +zOC (其中O 为空间中任意一点，且x +y +z =1)例2 如图所示，P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连结PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别是△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，分别延长PE，PF，PG，PH，交对边于M，N，Q，R，并顺次连结MN，NQ，QR，RM.应用向量共面定理证明：E、F、G、H四点共面．[思路探索]只需找到EF，EG，EH的线性关系证明：∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心，∴M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连结M、N、Q、R，所得四边形为平行四边形，且有PE=23PM，PF=23PN，PG=23PQ，PH=23PR.∵MNQR为平行四边形，∴EG=PG−PE＝23PQ－23PM＝23MQ＝23(MN＋MR)＝23(PN−PM)＋23(PR−PM)＝23(32PF−32PE)＋23(32PH−32PE)＝EF+EH.∴由共面向量定理得E、F、G、H四点共面.2.已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OE＝k OA，OF＝k OB，OG＝k OC，OH＝k OD＝k，求证：(1)四点E、F、G、H共面；(2)平面EG∥平面AC.证明：(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC=AB+AD，EG=OG−OE＝k OC－k OA＝k AC＝k(AB+AD)＝k(OB−OA+OD−OA)＝OF−OE+OH−OE＝EF+EH.所以E、F、G、H共面．(2)EF＝OF−OE＝k(OB−OA)＝k AB，且由第(1)问的证明中知EG＝k AC，于是EF∥AB，EG∥AC.且EF∩EG＝E，AB∩AC＝A，所以平面EG∥平面AC.知识点五：空间向量基本定理如果三个向量a, b, c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一有序实数组{x，y，z}，使得p=x a+y b+z c.{a, b, c}为空间中的一个基底a, b, c叫做基向量.cabx ay bz c p(1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.(2)基底不同，对于向量的分解形式不同.典例分析解：例3 若{a ，b ， c }是空间的一个基底，判断{a ＋b ，b ＋ c ， c ＋a }能否作为该空间的一个基底．假设a ＋b ，b ＋ c ， c ＋a 共面，则存在实数λ，μ使得a ＋b ＝λ(b ＋ c )＋μ( c ＋a )，∴a ＋b ＝μa ＋λb ＋(λ＋μ) c .∵{a ，b ，c }为基底，∴a ，b ，c 不共面，∴a ＋b ，b ＋ c ， c ＋a 不共面．∴{a ＋b ，b ＋ c ， c ＋a }可以作为空间一个基底．∴λ=1，μ=1，λ+μ=0，此方程组无解．是否共面3.以下四个命题中正确的是________．①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．【解析】因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，故③正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确．【答案】②③例4空间四边形OABC 中，M ，N 是△ABC ，△OBC 的重心，设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝ c ，用向量a ，b ， c 表示向量OM ，ON ，MN .AC BO PNMac b如图，取BC 中点P ，则A 、M 、P ，O 、N 、P 分别共线，连结AP ，OP .AM ＝OA ＋AM ＝a ＋23AP＝a ＋23×12(AB ＋AC )，解：利用线性运算，结合图形，对向量进行分解＝a＋13(OB－OA)＋13(OC－OA)＝a＋13b－13a＋13c－13a＝13a＋13b＋13c.ON＝23OP＝23×12(OB＋OC)＝13b＋13c.MN＝ON－OM＝13b＋13c－13b－13c－13a＝－13a.A CBOPNMa cb4.如图，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设OA＝a，OC＝b，OP＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示BF，BE，AE，EF.解:连结BO，则BF＝12BP＝12(BO＋OP)＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋12c.BE＝BC＋CE＝－a＋12CP＝－a＋12(CO＋OP)＝－a－12b＋12c.AE＝AP＋PE＝AO＋OP＋(PO＋OC)＝－a＋c＋12(－c＋b)＝－a＋12b＋12c.EF＝12CB＝12OA＝12a.归纳小结1.用好已有的定理及推论：如共线向量定理、共面向量定理及推论等，并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题. 2.在解决空间向量问题时，结合图形，以图形为指导不但事半功倍，更是迅速解题的关键！D1．下列命题中正确的个数是()①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线②向量a、b、c共面即它们所在的直线共面③若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb A．1B．2 C．3 D．02.已知三角形ABC中，AB|AB|+AC|AC|=AD|AD|则D点位于( )A.BC边的中线上B.BC边的高线上C.BC边的中垂线上D.∠BAC的平分线上D3.已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是()DA．a B．b C．a＋2b D．a＋2c4．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若OG＝x OA＋y OB＋z OC，则(x，y，z)为()A.(14,14,14) B.(34,34,34)C.(13,13,13) D.(23,23,23)A再见。
第二章圆锥曲线与方程章末复习学习目标XUEXIMUBIAO1.理解曲线方程的概念，掌握求曲线方程的常用方法.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义法求标准方程.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.4.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.5.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究达标检测1知识梳理PART ONE1.三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹或集合平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹标准方程y2＝2px(p>0)关系式a2－b2＝c2a2＋b2＝c2图形封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，没有渐近线对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率0<e<1e>1e＝1准线方程决定形状的因素e决定扁平程度e决定开口大小2p决定开口大小2.求圆锥曲线的标准方程(1)椭圆、双曲线的标准方程(2)抛物线的标准方程求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小.当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出参数p的值.3.直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点.4.方法、规律归纳(1)直接法求动点的轨迹方程的一般步骤①建系——建立适当的坐标系；②设点——设轨迹上的任一点P(x，y)；③列式——列出动点P所满足的关系式；④代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y 的方程式，并化简；⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．(2)代入(相关点、转移)法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的．当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求轨迹方程：①一个动点P(x，y)在已知方程的曲线上移动；②另一个动点随P(x，y)的变化而变化；③变化过程中P(x，y)满足一定的规律．(3)参数法：求动点轨迹时，有时会出现求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数求出所求轨迹方程，该法要注意以下问题：参数的选取要具有代表性，参数方程是动点的轨迹方程，在化简参数方程为普通方程的时候不能改变方程的解集．1.设A ，B 为两个定点，k 为非零常数，|PA |－|PB |＝k ，则动点P 的轨迹为双曲线.( )2.方程2x 2－5x ＋2＝0的两根x 1，x 2(x 1＜x 2)可分别作为椭圆和双曲线的离心率.( )3.已知方程mx 2＋ny 2＝1，则当m ＞n 时，该方程表示焦点在x 轴上的椭圆.( )4.抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是 .( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√×√2题型探究PART TWO题型一 圆锥曲线定义的应用例1 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为 .过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为___________.由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，故a＝4，∴b2＝8，反思感悟 (1)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用定义来解决；(2)涉及焦点、准线、离心率，圆锥曲线上的点中的三者，常用定义解决问题；(3)求轨迹问题，最值问题，曲线方程也常常结合定义求解.解析 如图，设点B为椭圆的左焦点，点M(2,1)在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，而a＝4，题型二 圆锥曲线的性质√解析 设M(－c，y0)，√解析 若已知方程表示双曲线，则(m2＋n)·(3m2－n)＞0，解得－m2＜n＜3m2.又4＝4m2，所以m2＝1，所以－1＜n＜3.反思感悟 常见具体类型(1)已知基本量求离心率e或求离心率e的取值范围；(2)已知圆锥曲线的方程求参数的取值范围；(3)已知曲线的某些性质求曲线方程或求曲线的其他性质.又∠BFC＝90°，化简可得2a2＝3c2，题型三 直线与圆锥曲线例3 已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，右焦点到直线x－y＋＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；解得a2＝3，(2)设椭圆与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M，N，当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围.解 设点P为弦MN的中点，得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个交点，所以Δ>0，即m2<3k2＋1，①又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN，即2m＝3k2＋1，②把②代入①得2m>m2，解得0<m<2，反思感悟 直线与圆锥曲线的综合问题，主要包括直线与圆锥曲线位置关系的判断问题、弦长问题、面积问题等，求解这类问题时，通常采用代数方法，将直线方程与圆锥曲线的方程联立，消去其中一个未知量，通过讨论所得方程的根的情况来确定位置关系，同时，还经常利用根与系数的关系，采取“设而不求”的办法求解弦长问题、面积问题.解 由椭圆定义得2a＝4，a＝2，解得k ＝－1，则(*)式变为3x 2－4mx ＋2m 2－4＝0，解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0.(*)例4 (1)已知P 为抛物线y ＝ x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(2,0)，则|P A |＋|PM |的最小值是_______.(2)若抛物线x 2＝2y 上距离点A (0，a )的最近点恰好是抛物线的顶点，则a 的取值范围是A.a >0B.0<a ≤1C.a ≤1D.a ≤0题型四 圆锥曲线中参数范围和最值问题√反思感悟 圆锥曲线中最值与范围的求法有两种：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何图形特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值与范围，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等.跟踪训练4 (1)已知点P在直线x＋y＋5＝0上，点Q在抛物线y2＝2x上，则|PQ|的最小值等于______.①求满足上述条件的点M(x，y)的轨迹C的方程；∴a2－3b2＝0，∴x2＋3y2＝3，②设曲线C与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点P，Q，点A(0，－1)，当|AP|＝|AQ|时，求实数m的取值范围.得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0.∵曲线C与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点，∴Δ＝(6km)2－12(1＋3k2)(m2－1)＝12(3k2－m2＋1)>0，即3k2－m2＋1>0.①设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点N(x0，y0)，∵|AP|＝|AQ|，∴PQ⊥AN.设k AN表示直线AN的斜率，又k≠0，∴k AN·k＝－1.得3k2＝2m－1.②将②代入①得2m－1－m2＋1>0，即m2－2m<0，解得0<m<2，3达标检测PART THREE解析 ∵两焦点恰好将长轴三等分，2a ＝18，1.中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 √√2.直线y ＝x ＋1被椭圆x 2＋2y 2＝4所截得的弦的中点坐标是即3x 2＋4x －2＝0，∵c 2＝m 2－n 2＝4，∴n 2＝12.解析 ∵y 2＝8x 的焦点为(2,0)，√4.点P(8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是2x－y－15＝0______________.两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.因为线段AB的中点为P(8,1)，所以x1＋x2＝16，y1＋y2＝2.所以直线AB的方程为y－1＝2(x－8)，代入x2－4y2＝4满足Δ>0.即直线方程为2x－y－15＝0.5.已知双曲线－y2＝1，O为坐标原点，F为双曲线的右焦点，过F的直线与3双曲线的两渐近线交点分别为M，N，若△OMN为直角三角形，则|MN|＝___.∴∠FOM＝30°，直线MN的倾斜角为60°或120°.由双曲线的对称性，设倾斜角为60°，∴|MN|＝3.1.离心率的几种求法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是在y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝ ，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法.(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出离心率，这是求离心率十分重要的方法.(3)几何法：与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质、椭圆(双曲线)的几何性质和定义，建立参数之间的关系.课堂小结KETANGXIAOJIE2.圆锥曲线中的有关最值问题在解决与圆锥曲线有关的最值问题时，通常的处理策略(1)若具备定义的最值问题，可用定义将其转化为几何问题来处理.(2)一般问题可由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解.如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性，亦可利用均值不等式等求解.。
第一章常用逻辑用语1.3.1 推出与充分条件、必要条件高中数学选修2-1·精品课件引入课题观察下面四个电路图，开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q.在上面四个电路中，你能说出p，q之间的推出关系吗？解：①开关A闭合，灯泡B一定亮，灯泡B亮，开关A不一定闭合，即p⇒q，q⇏p；②开关A闭合，灯泡B不一定亮，灯泡B亮，开关A 必须闭合，即p⇏q，q⇒p；③开关A闭合，灯泡B亮，反之灯泡B亮，开关A一定闭合，即p⇔q；④开关A闭合与否，不影响灯泡B，反之，灯泡B亮与否，与开关A无关，即p⇏q，且q⇏p.课前热身1．充分条件和必要条件当命题“如果p ，则q ”经过推理证明断定是真命题时，就说由p 可以推出q ，记作 ，读作“ ”，称p 是q 的 ，q 是p 的 .2．充要条件如果 且 ，则称p 是q 的充分且必要条件，简称p 是q 的 ，记作 ，显然q 也是p 的 ．p 是q 的充要条件，又常说成“”或“ ”.p ⇒q p 推出q 充分条件 必要条件 p ⇒q q ⇒p 充要条件 p ⇔q 充要条件 q 当且仅当p p 与q 等价1.对充分条件、必要条件的理解①一般地，若p⇒q，则p是q的充分条件．“充分”的意思是：要使q成立，条件p成立就足够了．即是说有条件p成立，q就一定成立．另一方面，q又是p的必要条件．“必要”是说缺少q，p就不会成立．②可以用集合的关系来理解：若A⊆B，则A是B的充分条件，同时B是A的必要条件．例如A＝[0,1]，B＝[0,2]．若x∈A，则x∈B，所以A是B的充分条件．若x∉B，则一定有x∉A，也就是说，若B不成立，A也就不成立了．因此，B是A的必要条件．BA2．充分不必要条件，必要不充分条件如果“p⇒q，且q⇏p ”，那么称p是q的充分不必要条件．例如，x＝2⇒x2＝4，反过来x2＝4⇏x＝2，所以称x＝2是x2＝4的充分不必要条件．qp如果“p⇏q，且q⇒p”，那么称p是q的必要不充分条件．例如，p：“四边形对角线相等”,q：“四边形为正方形”显然p⇏q，且q⇒p，所以p是q的必要不充分条件.p q“p是q的充分不必要条件”等价于“q是p必要不充分条件”题型一 用定义判定充分条件与必要条件例1 下列命题中，p是q的充分条件的是( )①p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；②p：x>5，q：x>3；③p：四边形是矩形；q：四边形对角线相等；④已知α，β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b无公共点，命题q：α∥β.A．①② B．②③ C．③④ D．②③④【解析】①∵a＋b＝0⇏a2＋b2＝0，即p⇏q，∴p不是q的充分条件．②∵x>5⇒x>3，即p⇒q，∴p是q的充分条件．③∵四边形是矩形⇒对角线相等，即p⇒q，∴p是q的充分条件．④∵a，b无公共点不能推出α，β无公共点，即p⇏q，∴p不是q的充分条件．【答案】②③提升习题A题型二 充分不必要条件，必要不充分条件的判定例2 指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；(2)p：x>1，q：x2>1；(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；(4)p：|a·b|＝a·b，q：a·b>0.解：(1)∵p⇒q，且q⇏p，∴p是q的充分不必要条件．(2)∵p⇒q，且q⇏p，∴p是q的充分不必要条件．(3)∵p⇏q，且q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．(4)∵a·b＝0时，|a·b|＝a·b，|a·b|＝a·b⇏a·b>0，而a·b>0时，有|a·b|＝a·b，∴p是q的必要不充分条件．提升习题提升习题解：(1)在△ABC中，A>B⇏tan A>tan B.反过来tan A>tan B⇏A>B.∴p是q的既不充分也不必要条件． (2)∵x＝3⇒(x＋2)(x－3)＝0，而(x＋2)(x－3)＝0⇒x＝－2或x＝3.∴p⇒q，但q⇏p.∴p是q的充分不必要条件．提升习题典例分析题型三充要条件的判断例3 指出下列各组命题中，p是q的什么条件.(1)p：△ABC中，b2＞a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形；(2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0.(1)p是q的充分不必要条件．解：(2)p是q的必要不充分条件．(3)p是q的充要条件．提升习题在下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：a＞b，q：a2＞b2；(2)p：两直线平行，q：内错角相等；(3)p：直线l与平面α所成角大小为90°，q：l⊥α；(4)函数f(x)＝log a x(a＞1)，p：f(x1)＞f(x2)，q：x1＞x2＞0.解：在(1)中，p⇏q，q⇏p，∴(1)中的p不是q的充要条件．在(2)(3)(4)中，p⇔q，所以(2)(3)(4)中的p是q的充要条件．典例分析题型四充要条件的证明例4 试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.证明：提升习题求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2的充要条件是4a＋2b＋c＝0.证明：先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2，∴x＝2满足方程ax2＋bx＋c＝0，∴a·22＋b·2＋c＝0，即4a＋2b＋c＝0，∴必要性成立．题型五 充分条件、必要条件、充要条件的应用例5 是否存在实数m，使“4x＋m<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出m的取值范围．【分析】“4x＋m<0”是条件，“x2－x－2>0”是结论，先解出这两个不等式，再利用集合间的包含关系探求符合条件的m的范围．解：-12提升习题B 使不等式x2－2x－3>0成立的充分不必要条件是( )A．x>3，或x<－1 B．x>5C．x>0 D．x<1【解析】∵x2－2x－3>0⇔x>3或x<－1，∴x>3是x2－2x－3>0成立的充分不必要条件，而x>5⇒x>3.∴x>5是使不等式成立的充分不必要条件．归纳小结1.充分条件的特征是：当p成立时，必有q成立，但当p不成立时，未必有q不成立.因此要使q成立，只需要条件p即可，故称p是q成立的充分条件.2.必要条件的特征是：当q不成立时，必有p不成立，但当q成立时，未必有p 成立.因此要使p成立，必须具备条件q，故称q是p成立的必要条件.。
第一章常用逻辑用语1.1.1命题高中数学选修2-1·精品课件自主学习1.命题的定义是什么？在定义中有哪些关键字？2.命题是如何分类的？3.研究了命题的哪种结构形式？要点初探符号判断真假真假条件结论对命题概念的两点认识(1)命题是对一个结论的判断:所谓判断,就是肯定一个事物是什么或不是什么,不能含糊不清.命题的实质是对某一前提条件下相应结论的一个判断,这个判断可能正确,也可能错误,所以不能认为只有真命题才是命题而假命题不是命题.(2)命题都由条件和结论构成:任何命题都有条件和结论,数学中,一些命题表面上看不具有“若p,则q”的形式,如“对顶角相等”,但是适当改变叙述方式,就可以写成“若p,则q”的形式,即“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”,这样,命题的条件和结论就十分清楚了.一般地,在命题中,已知的事项为“条件”,由已知推出的事项为“结论”.核心归纳：类型一例1 指出下列语句中哪些是命题,哪些不是命题.(1)若a=b,则ac=bc. (2)若ac=bc,则a=b.(3)x2-3x+2>0. (4)素数都不是偶数吗?(5)两条平行直线的斜率相等. (6)平行的两个向量方向相同.核心归纳：类型一根据命题的概念(1)(2)(5)(6)是命题,而(3)是一个含有变量解：的不等式,故不能判断真假,(4)是疑问句不是命题.【拓展提升】判断命题的依据及注意点(1)依据:命题的概念是判断一个语句是否为命题的依据.(2)注意点:①一般地,能判断真假的陈述句是命题,而疑问句、祈使句、感叹句不是命题.②一个命题不是真命题就是假命题,不能无法判断真假.核心归纳：类型一变式训练判断下列语句哪些是命题:(1)若a>b,则ac>bc.(2)x2+1>2x.(3)空集是任何集合的真子集.(4)一个整数不是偶数就是奇数.(5)正弦函数的图象关于原点对称.核心归纳：类型一解：(2)是含有变量的不等式,当x=1时,不等式不成立,当x≠1时,不等式成立,由于不能判断真假,所以不是命题；其余4个都是陈述句,且分别能判断真假,所以(1)(3)(4)(5)是命题.核心归纳：类型二例2 把下列命题改写为“若p,则q”的形式,指出条件和结论:(1)直角三角形的两个锐角互余.(2)正弦值相等的两个角的终边相同.解：(1)“若一个三角形是直角三角形,则它的两个锐角互余”,条件是“一个三角形是直角三角形”,结论是“两个锐角互余”.(2)“若两个角的正弦值相等,则它们的终边相同”,条件是“两个角的正弦值相等”,结论是“它们的终边相同”.拓展提升将命题改写为“若p,则q”形式的方法及原则变式训练命题“等腰三角形的两个底角相等”的条件为,结论为.【答案】“等腰三角形”“两个底角相等”例3 “正数的倒数仍是正数”是命题(填真、假).【解析】非零实数与其倒数的符号相同,所以“正数的倒数仍是正数”是真命题.【答案】真【拓展提升】命题真假判断的四种常用方法方法一:对于常见命题直接判断.方法二:根据已学过的定义、公理、定理证明.方法三:根据已知的正确结论推证.方法四:要说明一个命题是假命题,只要举出在条件具备的情况下,结论不成立的例子即可.变式训练“常数列是等差数列”是命题,“常数列是等比数列”是命题.(填真、假)【解析】“常数列是等差数列”是真命题,“常数列是等比数列”是假命题.【答案】特例：各项均为0的常数列真假1.下列为真命题的是()BA.-2014不是偶数B.0和负数没有对数C.正比例函数是增函数D.无理数的平方是有理数2.命题“不等式<0与(x +1)(x -2)<0同解”是命题(填真、假).真12x x ++归纳小结定义：陈述句、真假结构：若p，则q命题真假：p是否能推出q再见。
