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测度论基础知识总结1.集合论1.1 集合与基本运算·概念:具有一定性质的对象构成的全体（不严格定义).中间含有的对象叫元素。
全集：要研究的问题涉及到的最大集合.空集：没有任何元素的集合。
表达方法：｛x(集合元素x）｜x应该有的性质}·元素与集合的关系:x A，x∉A·集合之间的关系只有包含或者不包含若对于任意元素x A，x B则A包含于B（证明就用这个方法)，A是B的子集（A B则为B的真子集）包含的特殊情况相等：A=B就是A包含于B同时B包含于A真子集：A包含于B但A B·集合的运算①单个元素的幂集对于一个集合X，它的幂集表示所有其子集为元素构成的集合。
这种以集合为元素的集合,也叫集合族。
②两个集合的运算交：A B=｛x｜ x A且x B｝并:A B={x｜ x A或x B｝差：A\B(或写成A—B）=｛x｜ x A且x∉B｝补：=U\A（U是问题要研究的全集)于是有等式A\B=A积：（直积）A×B={（x,y）| x A且y B ｝（把A、B中元素构成有序对）③多个元素的运算多个交表示所有以λ为角标的集合的并，要求λ，称为指标集。
类似有多个并注：可以是无穷个【例】x｜ x>,A={x| x>0｝，则A=·集合的分析相关性质①上限集：一列集合｛｝,定义上限集为。
类似于数列的上极限。
②下限集：一列集合{}，定义下限集为。
类似于数列的下极限。
③集合列的极限：当上限集等于下限集时极限存在，就是上限集（或下限集)。
④单调集合列:若始终有包含于,也就是集合越来越大，则为递增集合列；反之，若始终有，则为递减列。
若为递增列，则有极限=;若为递减列，则有=.1.2映射·定义：X、Y是两个集合，对任意x X，存在唯一的y=f（x)Y与之对应，则对应法则f为X到Y的一个映射，记为f:X→Y.像集：对于X的一个子集A,像集{f(x）｜ x A｝记为f(A），显然包含于Y原像集：对于Y的一个子集B，原像集{x｜ x记为·满射：f(X)=Y，即Y中所有元素都是像单射：X中不同元素一定对应Y中不同的像双射：既是单射又是满射。
第一章 集 合1 集合的运算一、集合的概念定义1 设有两个集合A，B。
若x A ∈，必有x B ∈，则称A 是B 的子集或B 包含A，记为A B B A ⊂⊃或。
若A B ⊂，且存在x B ∈满足x A ∉，则称A 是B 的真子集。
若A B B A ⊂⊂且，则称A 与B 相等或相同。
定义2 设Λ是一个非空集合，对于每个α∈Λ，指定一个集合A α，于是得到许多集合，它们的总体称为集合族，记为{}|A αα∈Λ或{}A αα∈Λ。
二、集合的运算定义3 设A，B 是两个集合。
（1） 称集合{}|A B x x A x B ∪=∈∈或为A 与B 的并集，即由A 与B 的全部元素构成的集合；（2） 称集合{}|A B x x A x B ∩=∈∈且为A 与B 的交集，即由A 与B 的公共元素构成的集合；定理1（1）交换律 A B B A ∪=∪，A B B A ∩=∩；（2）结合律 ()()A B C A B C ∩∩=∩∩,()()A B C A B C ∩∩=∩∩; （3）分配律()()()A B C A B A C ∩∪=∩∪∩()()()A B C A B A C ∪∩=∪∩∪。
更一般地有 （4）()()A B A B αααα∈Λ∈Λ∪∩=∩∪；（5）()()A B A B αααα∈Λ∈Λ∩∪=∪∩；（6）设{}n A 和{}n B 为两集列，有()111n n n n n n n A B A B ∞∞∞===⎛⎞⎛⎞∪∪=∪∪∪⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠。
定义4 设A，B 是两个集合，称集合{}\|A B x x A x B =∈∉且是A 和B 的差集，即在集合中而不在集合B 中的一切元素构成的集合。
如果B A ⊂，则称\A B 为B 相对于A 的补集或余集。
定理2 （1）(),,,,cccc c c A A X A A AA X X ∪=∩=∅==∅∅=；（1）A ζ⊂；（2）任何包含A 的环（或代数，或σ环或σ代数）*ζ，必有*ζζ⊂。
比较无限集合中元素个数的方法(一)比较无限集合中元素个数的方法引言比较无限集合中元素个数是数学中一个常见的问题。
在实际应用中，我们经常需要判断两个集合的大小关系。
本文将介绍一些常用的方法来比较无限集合中元素的个数，并给出每种方法的适用场景和注意事项。
方法一：1-1映射法1-1映射法是最直观的方法之一。
我们可以找到两个集合之间的一个双射（即一一映射）关系，通过比较元素的个数来判断集合的大小关系。
•适用场景：当两个集合的元素可以一一对应时，可以使用1-1映射法。
•注意事项：需要承认无限集合中的元素个数可能大于有限集合的元素个数，即使它们之间存在双射关系。
方法二：有限集合转化法有限集合转化法通过将无限集合转化为有限集合，并比较转化后的有限集合的大小来判断原始无限集合的大小。
•适用场景：当两个集合中至少有一个集合是有限集合时，可以使用有限集合转化法。
•注意事项：需要确保转化过程中不会引入新的重复元素。
方法三：势的比较法势的比较法通过比较集合的势（也称为基数、大小或个数）来判断集合的大小关系。
在集合论中，我们使用无穷基数（Infinity cardinality）来表示无限集合的势。
•适用场景：当两个集合都是无限集合时，可以使用势的比较法。
•注意事项：势的比较法只能给出集合大小的相对关系，无法具体给出两个集合中元素的个数。
方法四：引理的运用法引理的运用法通过引入一些具体的数学引理来比较无限集合中元素的个数。
例如，卡西诺定理（Cantor-Bernstein定理）可以用来比较两个集合的势。
•适用场景：当无限集合的元素具有一些特殊性质时，可以尝试使用引理的运用法。
•注意事项：需要确保所使用的引理合理有效，并正确应用于对比的无限集合。
方法五：抽象推理法抽象推理法是一种基于逻辑推理的方法。
通过进行分析和推理，可以从给定的条件和定义中得出结论，从而比较无限集合的大小关系。
•适用场景：当其他方法无法适用或不够准确时，可以尝试使用抽象推理法。
Cantor定理的证明引言Cantor定理是由德国数学家Georg Cantor在19世纪末提出的重要定理，它揭示了无穷集合的特殊性质。
本文将详细介绍Cantor定理的证明过程，以便读者更好地理解这一定理的背后原理和数学推导过程。
Cantor定理的表述Cantor定理的表述如下：对于任意集合A，集合A的幂集的势大于集合A的势。
换句话说，不存在一个从A到A的满射函数，即不存在一个将A的每个元素映射到A 中的每个元素的函数。
证明思路为了证明Cantor定理，我们将采用反证法的思路。
假设存在一个从集合A到自身的满射函数f，我们将通过构造一个不属于f的元素来推导出矛盾，从而证明Cantor定理。
证明过程1.假设存在一个从集合A到自身的满射函数f。
2.我们构造一个集合B，B的元素由A的所有元素组成，但是每个元素的对应关系与f不同。
具体地，对于A中的任意元素a，我们定义B中对应的元素b为：如果a不属于f(a)，则b=a；如果a属于f(a)，则b不属于f(a)。
3.由于f是一个满射函数，所以对于A中的任意元素a，必然存在一个元素b使得f(b)=a。
4.我们来考虑元素b。
如果b不属于f(b)，根据我们对B的定义，b应该属于f(b)，这与假设矛盾。
5.反之，如果b属于f(b)，根据我们对B的定义，b不应该属于f(b)，同样与假设矛盾。
6.由于无论b是否属于f(b)，都会导致矛盾，因此我们的假设不成立。
7.因此，不存在一个从集合A到自身的满射函数，即Cantor定理成立。
结论根据我们的证明过程，我们可以得出结论：对于任意集合A，不存在一个从A到A 的满射函数。
这意味着集合A的幂集的势大于集合A的势，即Cantor定理成立。
Cantor定理的证明过程相对简单明了，但却揭示了无穷集合的特殊性质。
它深刻地影响了数学的发展，并且在集合论、数论等领域中有着广泛的应用。
通过理解Cantor定理，我们可以更好地理解无穷集合的结构和性质，进一步拓展数学的边界。
高数集合的概念知识点
1. 集合的定义和表示：集合是具有某种特定性质的事物的总体。
例如，所有的水果，所有的偶数等。
2. 集合的元素和包含关系：集合中的事物被称为元素。
如果一个元素在某个集合中，则说这个元素属于这个集合。
如果所有在A集合中的元素也在B集合中，则说A集合是B集合的子集。
3. 空集：不包含任何元素的集合被称为空集。
4. 集合的并和交：两个集合的并集是包含这两个集合的所有元素的集合。
这两个集合的交集是同时在这两个集合中的元素组成的集合。
5. 集合的补集：如果A集合是全集U的一个子集，那么U集合中不属于A集合的元素组成的集合称为A集合的补集。
6. 集合的差集：如果A和B是两个集合，那么属于A但不属于B的元素组成的集合称为A和B的差集，记作A-B。
7. 无穷集合：如果一个集合的元素可以和自然数一一对应，那么这个集合就叫做可数集。
可数集包括有穷集和无穷集。
8. 集合的等价和相等：如果两个集合的元素可以一一对应，那么这两个集合就是等价的。
如果两个集合的元素完全相同，那么这两个集合就是相等的。
9. 基数：一个集合的基数是表示该集合包含的元素个数的一个数。
对于有限集，其基数为集合元素的数量。
映射提供了度量无限集合大小的方法，如果两个集合的元素可以构造一一对应，那么它们具有相同的基数。
10. 势：用于比较无穷集合“大小”的概念。
同基数一样，两个集合的势相等意味着它们的元素可以一一对应。
11. 序偶和笛卡尔积：序偶是有顺序的元素对，笛卡尔积是两个集合中所有可能的序偶构成的集合。
第二章 函数、函数的极限与函数的连续性第二节 集合的势（集合中元素个数的计数法，阵势，架势，形势）一 、 集之间等势的概念及性质设A 与B 是两个集合，如果存在一个由A 到B 上的一对一的映射，我们就称集A 与B 有相同的势，或者说A 与B 等价，用B A ~来表示。
这就在某些集之间建立了一种关系。
例如 正整数集*N ，正偶数集A ，正奇数集B ，显然有A N ~*，B N ~* 。
很明白，刚才定义的关系具有下列性质：自反性：A A ~；对称性：B A ~，则A B ~； 传递性：若B A ~且C B ~， 则C A ~ 。
二 集中元素个数的计数法我们给出如下的定义：定义 2.8 令*N 是正整数的全体，且},,2,1{n N n（1）如果存在一个正整数n ，使得n N A ~，那么A 叫做有限集。
空集也被认为是有限集。
（2）如果集A 不是有限集，称A 为无限集。
（3）若*~N A ，则称A 为可数集（或可列集）。
（4）若A 既不是有限集，也不是可数集，则称A 为不可数集。
（5）若A 是有限集或者A 是可数集，则称A是至多可数的。
对于两个有限集A与B，显然，A与B有相等的势的充分必要条件是它们的元素个数相同。
但是，对于无限集而言，“元素个数相同”这样的话就变得十分含混。
而一一对应的概念是明确的、毫不含糊的。
在有限集之间，利用一一对应可以完全决定出元素个数的多寡。
设想在一个大礼堂中，恰有2000个座位，在一次演出中所有座位都有观众坐着，并且还有人站着，我们立刻知道到场的观众多于2000；如果不但没人站着而且还有位子空着，便知道到场的人数不足2000。
只有当既没有空着的位子又没有站着的人的时侯，观众的人数正好是2000。
由此可见，集合的势是有限集中“元素个数”这一概念的推广，并且“势”是一切互相等价的集合中惟一共有的属性。
利用一一对应可以完全决定出元素个数的多寡在社会生活中的智慧闪现。
在原始社会或现在一些地方部落，没有更大数的概念（也不会数数），但他们在大量的物对物的交换中，仍能使交换顺利进行，他们是用了一个物对另一个物的一次次交换。
