2019届高考数学(文)倒计时模拟卷(三)(含答案)

2019年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z=a+i（a∈R）的模为，则a=（）A. 1B. ±1C. 2D. ±22.设命题：∀x∈R，x2-3x+2≤0，则￢p为（）A. ∃x0∈R，x02-3x0+2≤0B. ∀x∈R，x2-3x+2＞0C. ∃x0∈R，x02-3x0+2＞0D. ∀x∈R，x2-3x+2≥03.已知集合A={x|＜0}，B={x|y=），则A∩B=（）A. （-1，2）B. [-1，2）C. [-1，2]D. [-2，2]4.已知函数（f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可以为（）A. y＝2sin（2x+）B. y＝2sin（x+）C. y＝2sin（2x﹣）D. y＝2sin（x﹣）5.过抛物线y2=4x的焦点作一条倾斜角为的直线，与抛物线交于A，B两点，则|AB|=（）A. 4B. 6C. 8D. 166.函数y=4x+2x+1+3（x∈R）的值域为（）A. [2，+∞）B. （3，+∞）C. （，+∞）D. [9，+∞）7.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P，Q两点，且△POQ为等边三角形（其中O为原点），则k的值为（）A. 或-B.C. 或-D.8.已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的表面积是（）cm2A. 20+2πB. 20+3πC. 24+2πD. 24+3π9.在边长为2的正方形ABCD内任取一点P，使得∠APB≤的概率为（）A. 1-B.C.D. 1-10.阅读右面的程序框图，如果输入的实数x的取值范围是（-∞，1]∪[2，+∞），那么输出的函数值f（x）取值范围是（）A. [0，2]B. [，2]C. [，4]D. [，2]∪{4}11.已知函数f（x）=a sin x+b cos x，且f（）是它的最大值（其中a，b为常数，且m≠0），给出下列命题：①函数f（x-）为奇函数②函数f（x）的图象关于x=对称；③函数f（-）是函数的最小值④函数f（x）的图象在y轴右侧与直线y=的交点按横坐标从小至大依次记为P1，P2，P3，P4…则|P2P4|=2π．其中正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 412.函数f（x）=，若存在实数m，使得方程f（x）=m有三个相异实根，则实数a的范围是（）A. [，+∞）B. [0，]C. （-∞，2]D. [，2）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量=（1，-2），=（t，3），若∥，则t=______14.等比数列{a n}中，a1=1，a3•a5=64，则a2019=______15.设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=3x-2y的最小值为______．16.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直，形少数时难入微”．事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解法，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间距离的几何问题．结合上述观点，可得方程=4的解为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差效列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S2+a2=4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列b n=2n+1•a n求{b n}的前项和T n．18.棉花的优质率是以其纤维长度来衡量的，纤维越长的棉龙品质越高．棉花的品质分类标准为纤维长度小于等于28mm的为粗绒棉，纤维长度在（25，33]为细绒棉，纤维长度大于33mm的为长绒棉，其中纤维长度在38mm以上的棉花又名“军海1号”，某采购商从新疆某一棉花基地抽测了100根棉花的纤维长度，得到数据如下图频率分有表所示纤维长度（mm）≤25（25，33]（33，38]＞38根数2384020（）若将频率作为概率，根据以上数据，能否认为该基地的这批棉花符合“长绒棉占全部棉花的50%以上的要求（2）用样本估计总体，若这批棉共有10000kg，基地提出了两种销售方案给采购商参考．方案一：不分等级卖出，每千克按13.5元计算．方案二：对10000kg棉花先分等级再销售，分级后不同等级的棉花售价如表纤维长度（mm）≤25（25，33]（33，38]＞38根数281525从采购商的角度，请你帮他决策一下该用哪个方案．（3）用分层抽样的方法从长绒棉中抽取6根棉花，再从6根棉花中取两根进行检验，求抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”的概率．19.如图，在五棱锥P-ABCDE中，AB∥DE，BC∥AE，AE⊥平面PDE，AB=AE=PD=2DE=2BC=4，∠PDE=60°．（1）证明：PE⊥CD；（2）过点D作平行于平面PAE的截面，与直线AB，PB，PC分别交于F，G，H，求夹在该截面与平面PAE之间的几何体体积．20.已知函数f（x）=x-1--ln x．（1）若a=0，求f（x）在x=1处的切线方程（2）若函数f（x）存在两个极值点x1和x2，求证：f（x1x2）+≥2ln2-1．21.已知定点P（2，0），圆M：x2+y2+4x-60=0，过点P的直线l₁交圆M于R，S两点，过点P作直线l2∥MS交直线MR于Q点（1）求Q点的轨迹方程E（2）若A，B，C，D是曲线E上不重合的四个点，且AC与BD交于点（-2，0），•=0，求||+||的取值范围22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），以坐标原点O为极点，x轴正半籼为极轴；建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与C2交于A，B两点，且|AB|=2，求α的值．23.设函数f（x）=|x-a|，如果不等式f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}．（1）求a的值；（2）当x∈（0，1），证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵z=a+i（a∈R）的模为，∴，解得a=±1．故选：B．直接利用复数模的计算公式列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2.答案：C解析：解：命题为全称命题，命题：∀x∈R，x2-3x+2≤0，则￢p为∃x0∈R，x02-3x0+2＞0，故选：C．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3.答案：B解析：解：集合A={x|＜0}=（-2，2），∵B={x|y=），∴-x2+x+2≥0，解得-1≤x≤2，即B=[-1，2]，∴A∩B=[-1，2），故选：B．化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．4.答案：A解析：解：由函数f（x）=A sin（ωx+φ）的部分图象知，A=2，T=-=，解得T=π.∴ω==2；又ωx+φ=2×+φ=，解得φ=.∴f（x）=2sin（2x+）．故选：A．由函数f（x）的部分图象求得A、T、ω和φ的值，即可写出f（x）．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题.5.答案：D解析：解：抛物线的焦点坐标为F（1，0），p=2，过焦点的直线的斜率k=tan=，则直线方程为y=（x-1），代入y2=4x得（x-1）2=4x，整理得x2-14x+1=0，设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=14，则|AB|=x1+x2+p=14+2=16，故选：D．求出焦点坐标和直线方程，结合过焦点直线方程，利用设而不求的思想进行求解即可．本题主要考查直线和抛物线的应用，联立方程组，利用设而不求思想，结合抛物线的弦长公式进行计算是解决本题的关键．6.答案：B解析：解：令t=2x（t＞0），∴函数y=4x+2x+1+3（x∈R）化为f（t）=t2+2t+3=（t+1）2+2（t＞0），∴f（t）＞3．即函数y=4x+2x+1+3（x∈R）的值域为（3，+∞）．故选：B．令t=2x（t＞0），把原函数转化为关于t的一元二次函数求解．本题考查利用换元法及配方法求函数的值域，是基础题．7.答案：C解析：【分析】本题考查直线和圆的位置关系，是基础题．由已知可得，圆心（0，0）到直线的距离d=，结合点到直线的距离公式可求k．【解答】解：∵y=kx+1与圆x2+y2=1过点（0，1），设P（0，1），∵△POQ为等边三角形，边长为1，∴圆心（0，0）到直线的距离d=，解可得，k=，故选C．8.答案：B解析：解：三视图复原几何体是一个组合体，上部是横卧的圆柱的一半，底面是一个半圆，其中半径为1，高为2的半圆柱；下部是正方体，棱长为：2，半圆柱的侧面积为π×1×2+π×12=3π，正方体部分的侧面积为2×2×5=20，所以组合体的表面积为20+3π（cm2）．故选：B．三视图复原几何体是一个组合体，上部是圆柱的一半，下部是正方体，根据三视图的数据，求出几何体的表面积．本题考查由三视图求组合体的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．9.答案：A解析：解：如图正方形的边长为2，图中白色区域是以AB为直径的半圆，当P落在半圆内时，∠APB＞；当P落在半圆上时，∠APB=；当P落在半圆外时，∠APB＜．故使∠APB＜的概率P==1-．故选：A．由题意画出图形，再由测度比是面积比得答案．本题考查几何概型概率的求法，明确P点的位置是解答该题的关键，是基础题．10.答案：D解析：解：分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．可得当-∞＜x＜-2时，f（x）=2；当-2≤x≤1时，f（x）∈[，2]；当x=2时，f（x）=4；当x＞2时，f（x）=2；综上，可得输入的实数x的取值范围是（-∞，1]∪[2，+∞）时，输出的函数值f（x）取值范围是[，2]∪{4}．故选：D．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值，由已知分类讨论即可求解．本题考查的知识点是选择结构，其中根据函数的流程图判断出程序的功能是解答本题的关键，属于基本知识的考查．11.答案：C解析：解：由于函数f（x）=a sin x+b cos x=sin（x+∅），且f（）是它的最大值，∴+∅=2kπ+，k∈Z，∴∅=2kπ+，∴tan∅==1．∴f（x）=|a|sin（x+）．对于①，由于f（x-）=|a|sin x．是奇函数，故①正确；对于②，由于当x=时，f（x）=|a|，故函数f（x）的图象不关于x=对称，故②不正确；对于③，由于f（-）=|a|sin（-+）=-|a|，为函数f（x）的最小值，故③正确；对于④，函数f（x）的图象即把函数y=|a|sin x的图象向左平移个单位得到的，故|P2P4|等于一个周期2π，故④正确．故选：C．由题意可得f（x）=sin（x+∅），对于①，由于f（x-）=|a|sin x．是奇函数，可判断①；对于②，由于x=时，f（x）=|a|，可判断②；对于③，由f（-）=|a|sin（-+）=-|a|，是函数f（x）的最小值，可判断③；对于④，由题意可得，|P2P4|等于一个周期2π，可判断④．本题考查两角和正弦公式，正弦函数的最值，对称性，奇偶性，函数图象的变换，得到f（x）=|a|sin（x+）是解题的关键，属于中档题．12.答案：D解析：解：当-2≤x≤0时，f（x）=2x3+3x2+1．∴f′（x）=6x2+6x=6x（x+1）令f′（x）=0⇒x=0或x=-1；令f′（x）＞0⇒-2＜x＜-1；令f′（x）＜0⇒-1＜x＜0；且最大值为f（-1）=-2+3+1=2；f（-2）=-16+12+1=-3；f（0）=1；当0≤x≤2时，f′（x）=ae x，则若a＜0时，可得f′（x）＜0恒成立，即f（x）在（0，2）上单调递减且最大值为f（0）＜0，不存在有三个相异实根，故不成立舍掉；同理，当a=0时也不存在舍掉；即实数a必须大于0；故当a＞0时，f′（x）＞0恒成立，即f（x）在（0，2）上单调递增，若想f（x）=m有三个相异实根，必须满足⇒．故选：D．分情况讨论，通过函数的单调性求出满足条件的方程的充要条件，列出不等式求解即可得答案．本题考查了函数与方程的综合应用，直线与抛物线的关系的应用，属于中档题．13.答案：-解析：解：向量=（1，-2），=（t，3），若∥，则3×1-（-2）×t=0，解得t=-．故答案为：-．根据平面向量的共线定理，列方程求出t的值．本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题．14.答案：解析：解：依题意，数列{a n}是等比数列，设其公比为q，则a3•a5=64=，即a6=64=26，所以q=2或q=-2，所以a2019==22018，故答案为：22018．数列{a n}是等比数列，设其公比为q，则a3•a5=64=，即a6=64=26，所以q=2或q=-2，代入即可．本题考查了等比数列的通项公式，等比数列的性质，属于基础题．15.答案：-1解析：解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示；由图形知，当目标函数z=3x-2y过点A时，z取得最小值；由，求得A（1，2），所以z的最小值为z min=3×1-2×2=-1．故答案为：-1．画出不等式组表示的平面区域，结合图形找出最优解，计算目标函数的最小值．本题考查了不等式组表示平面区域的应用问题，也考查了数形结合思想，是中档题．16.答案：解析：解：由=4，得，其几何意义为平面内动点（x，2）与两定点（-3，0），（3，0）距离差的绝对值为4．平面内动点与两定点（-3，0），（3，0）距离差的绝对值为4的点的轨迹为．联立，解得x=．故答案为：．由=4，得，其几何意义为平面内动点（x，2）与两定点（-3，0），（3，0）距离差的绝对值为4．求出平面内动点与两定点（-3，0），（3，0）距离差的绝对值为4的点的轨迹方程，取y=2求得x 值即可．本题考查曲线与方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．17.答案：解：（1）等差效列{a n}的公差设为d，且a1=1，S2+a2=4，可得1+1+d+1+d=4，解得d=，则a n=1+（n-1）=；（2）b n=2n+1•a n=（n+1）•2n，前n项和T n=2•2+3•4+4•8+…+（n+1）•2n，2T n=2•4+3•8+4•16+…+（n+1）•2n+1，相减可得-T n=4+4+8+16+…+2n-（n+1）•2n+1=2+-（n+1）•2n+1，化为T n=n•2n+1．解析：（1）等差效列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得d，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=2n+1•a n=（n+1）•2n，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．本题考查等差数列的通项公式，等比数列的求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.答案：解：（1）将频率作为概率，根据以上数据，长绒棉占全部棉花的比例为P==60%，∴该基地的这批棉花符合“长绒棉占全部棉花的50%以上的要求“．（2）方案一：13.5×10000=135000．方案二：2×200+8×3800+15×4000+25×2000=140800．∴从采购商的角度，该用方案一．（3）用分层抽样的方法从长绒棉中抽取6根棉花，其中“军海1号”抽取到：6×=2，再从6根棉花中取两根进行检验，基本事件总数n==15，抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”包含的基本事件个数m==8，∴抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”的概率p=．解析：（1）将频率作为概率，能求出该基地的这批棉花符合“长绒棉占全部棉花的50%以上的要求“．（2）方案一：13.5×10000=135000．方案二：2×200+8×3800+15×4000+25×2000=140800．从采购商的角度，该用方案一．（3）用分层抽样的方法从长绒棉中抽取6根棉花，其中“军海1号”抽取到2根，再从6根棉花中取两根进行检验，利用古典概型能求出抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.答案：（1）证明：∵DE=2，PD=4，∠PDE=60°，∴PE==2，∴PE⊥DE．∵AE⊥平面PDE，PE⊂平面PDE，∴AE⊥PE，又AE∩DE=E，AE⊂平面ABCDE，DE⊂平面ABCDE，∴PE⊥平面ABCDE，又CD⊂平面ABCDE，∴PE⊥CD．（2）解：∵平面PAE∥平面DFGH，∴DF∥AE，PA∥GF，又BC∥AE，AB∥DE，∵AE⊥平面PDE，DE⊂平面PDE，∴AE⊥DE，∴四边形AEDF是矩形，∴V P-AEDF=S矩形AEDF•PE==．∵AP∥GF，∴P到平面DFGH的距离等于A到平面DFGH的距离，由（1）可知PE⊥平面ABCDE，故而PE⊥AF，又AF⊥AE，AE∩PE=E，∴AF⊥平面PAE，∴AF⊥平面DFGH，∵BC∥AE，DF∥AE，∴BC∥DF，又BC⊄平面DFGH，DF⊂平面DFGH，∴BC∥平面DFGH，又BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面DFGH=GH，∴BC∥GH，∵AF=DE=AB，故F为AB的中点，∴G为PB的中点，∴H是PC的中点，∴GH=BC=1，又梯形DFGH的高为PE=，∴V P-DFGH=V A-DFGH=•AF=×（1+4）××2=．∴夹在该截面与平面PAE之间的几何体体积V=V P-AEDF+V P-DFGH=7．解析：（1）根据AE⊥DE，PE⊥DE可得PE⊥平面ABCDE，于是PE⊥CD；（2）求出梯形DFGH的面积，分别计算棱锥P-AEDF和棱锥P-DFGH的体积．本题考查了线面垂直的判定与性质，考查棱锥的体积计算，属于中档题．20.答案：解：（1）函数f（x）=x-1--ln x．若a=0，f（x）=x-1-ln x，f′（x）=1-，f（1）=0，f′（1）=0，f（x）在x=1处的切线方程为y=0，（2）证明：函数f（x）=x-1--ln x．f′（x）=，因为函数f（x）存在两个极值点x1和x2，所以f′（x）=0，x1=1，x2=，a∈（0，）∪（，1），f（x1x2）+=-2-ln，令t=，t∈（0，1）∪（1，+∞），h（t）=4t-ln t-2，h′（t）=4-=0，t=，所以y=h（t）在（0，）单调递减，在（，1），（1，+∞）单调递增；所以h（t）最小值为h（）=2ln2-1；即h（t）≥2ln2-1；即f（x1x2）+≥2ln2-1．解析：（1）将a=0代入函数，求函数的导数和函数的切点的坐标，利用点斜式可求f（x）在x=1处的切线方程；（2）函数f（x）存在两个极值点x1和x2，求证：f（x1x2）+≥2ln2-1．即证明f（x1x2）+=-2-ln≥2ln2-1，令t=，t∈（0，1）∪（1，+∞），转换成新函数h（t）=4t-ln t-2≥2ln2-1，即求函数h（t）的最小值大于等于2ln2-1即可；本题考查了导数的综合应用，属于中档题．21.答案：解：（1）如图，可得QP=QR，所以QM+QP=QM+QR=MR=8＞MP=4，所以Q点的轨迹是以M，P点为焦点的椭圆，其中a=4，c=2，所以b2=12，故点Q的轨迹方程为；（2）由（1）可知左焦点（-2，0），且AC⊥BD，①当直线AC、BD中有一条直线的斜率不存在时，||+||=6+8=14；②当直线AC的斜率为k，k≠0，其方程为：y=k（x+2），联立，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-48=0，设A（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，所以==，同理可得：=，所以||+||=，令1+k2=t（t＞1），||+||==∈[，14），综上，||+||的取值范围是[，14]．解析：（1）根据题意画出图象，可得QM+QP＞MP，即可知Q点的轨迹是以M，P点为焦点的椭圆；（2）由条件可判断出AC、BD过椭圆左焦点，分别讨论AC、BD斜率存在与不存在的情况，表示出||+||，即可求出取值范围．本题考查点的轨迹方程，利用数形结合判断出轨迹为椭圆是关键，属于中档题．22.答案：解：（1）曲线C2的极坐标方程为．利用三角函数的展开式，转换为直角坐标方程为（x-1）2+（y-1）2=4，（2）曲线C1的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），转换为直角坐标方程为y+1=k（x-1），（k=tanα），所以圆心（1，1）到直线l的距离d=，所以，解得k=，所以．解析：（1）直接利用转换关系，把极坐标方程转换为直角坐标方程．（2）利用勾股定理和点到直线的距离公式的应用求出直线的斜率，进一步求出直线的倾斜角．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，勾股定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．23.答案：解：（1）∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，∴0和2为方程|x-a|=1的两实根，∴|a|=1且|2-a|=1，∴a=1，∴a的值为1；（2）证明：当x∈（0，1）时，=====4，当且仅当即x=时取等号，∴．解析：（1）由f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，可知0和2为方程|x-a|=1的两实根，将0和2代入方程|x-a|=1中可求出a的值；（2）由题意可得=，利用基本不等式可得的最小值，从而证明≥4．本题考查了不等式的解集与方程根之间的关系，基本不等式和利用综合法证明不等式，考查了方程思想和转化思想，属中档题．。

绝密 ★ 启用前2019年高考模拟试题（三）文科数学时间：120分钟 分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知命题，，则是成立的（ ）条件． A ．充分不必要B ．必要不充分C ．既不充分有不必要D ．充要2．已知复数，，，是虚数单位，若是实数，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列函数中既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ） A ． B ．C ．D ．4．已知变量，之间满足线性相关关系，且，之间的相关数据如下表所示：则（ ）A ．0.8B ．1.8C ．0.6D ．1.65．若变量，满足约束条件，则的最大值是（ ）A ．0B ．2C ．5D ．6:12p x -<<2:log 1q x <p q 11i z a =+232i z =+a ∈R i 12z z ⋅a =23-13-1323()0,+∞()22xxf x -=-()21f x x =-()12log f x x =()sin f x x x =x y 1.31ˆyx =-x y m =x y 00340x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≥≤32x y +此卷只装订不密封级 姓名 准考证号 考场号 座位号6．已知等差数列的公差和首项都不为，且成等比数列，则（ ） A ． B ． C ． D ．7．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（ ） A ． B． C ．D ．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A ．B ．C ．D ．9（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知，是函数的图象上的相异两点，若点，到直线的距离相等，则点，的横坐标之和的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．11．已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1，1，1，1，且长为的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为（ ）{}n a 0124a a a 、、1143a a a +=2357585960612+2+2+8+()f x ()f x ()f x ()f x A B 2xy =A B 12y =A B (),1-∞-(),2-∞-()1,-+∞()2,-+∞a aABCD12．已知双曲线的左、右两个焦点分别为，，，为其左右顶点，以线段，为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．CD第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分. 13．向量，满足，，与的夹角为，则________．14．抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为____________．15．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且，则面积的最大值为________．16．过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于(、分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长)．已知双曲线（）的左、右焦点分别为、，若点是双曲线上位于第四象限的任意一点，直线是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，于点，且的最小值为，则双曲线的通径为__________．三、解答题：共70分。

2019年高三第三次模拟测试数 学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在相应位置上．．．．．． 1．已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B ＝ ． 2．设a ∈R ，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝ ．3．设a ∈R ，则“1>a ”是“21a >”的 条件． (填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)4．已知平面向量,a b 的夹角为3π，且|a |＝1，|b |＝12，则2+a b 与b 的夹角大小是 ．5．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的焦距为直线20x y +=垂直，则双曲线的方程为 ．6．已知函数()(2+1)e x f x x =(e 是自然对数的底)，则函数()f x 在点(0，1)处的切线方程为 ．7．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某人根据这一思想，设计了如右图所示的程序框图，若输出m 的值为35，则输入的a 的值为 ． 8．若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+= ．9．当实数x ，y满足240,10,1x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩≤≤≥时，14ax y +≤≤恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 10．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221y x a b+=(0a b >>)的左焦点，A ，B分别为C 的左，右AD C BE顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 ．11．已知M 是面积为1的△ABC 内的一点(不含边界)，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分为x ，y ，z ，则1x y x y z+++的最小值分别为．12．若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且1101,55a S ==．记[]=lg n n b a ，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[][]0.90,lg991==．则数列{}n b 的前2017项和为．13．如图，在平面四边形ABCD 中，已知∠A ＝2π，∠B ＝23π， AB ＝6．在AB 边上取点E 使得BE ＝1，连结EC ，ED ，若∠CED ＝23π，EC CD ＝． 14．已知函数4,0,e ()2,0,exx x f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪⎩≥若123123()()()()f x f x f x x x x ==<<，则21()f x x 的范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知函数()4sin cos()3f x x x π=++，0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． (1)求函数()f x 的值域；(2)已知锐角ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别是,,a b c a ，b 分别为函数()f x 的最小值与最大值，且ABC ∆求ABC ∆的面积．A DP MB16．(本小题满分14分) 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA PB =，PA PB ⊥，AB BC ⊥，且平面PAB ⊥平面ABCD ，若2AB =，1BC =，AD BD == (1)求证：PA ⊥平面PBC ；(2)若点M 在棱PB 上，且:3PM MB =，求证//CM 平面PAD ．17．(本小题满分14分) 有一块以点O 为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离OD 点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D 修一条笔直小路交草坪圆周于A ，B 两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA ，OB ，其中小路的宽度忽略不计．(1)若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；(2)若要在△ABO 区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．(结果保留根号和π)18．(本小题满分16分) 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210y x a b a b+=＞＞ 的，抛物线E ∶24x y =的焦点F 是C 的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设与坐标轴不重合的动直线l 与C 交于不同的两点A 和B ，与x 轴交于点M ，且1(,2)2P 满足2PA PB PM k k k +=，试判断点M 是否为定点？若是定点求出点M 的坐标；若不是定点请说明理由．19．(本小题满分16分) 各项为正的数列{}n a 满足2*111,()2n n n a a a a n λ+==+∈N ，(1)当1n a λ+=时，求证：数列{}n a 是等比数列，并求其公比；(2)当2λ=时，令12n n b a =+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项之积为n T ，求证：对任意正整数n ，12n n n T S ++为定值．20．(本小题满分16分) 已知函数2ln )(ax x x f +=（a ∈R ），)(x f y =的图象连续不间断．(1)求函数)(x f y =的单调区间；(2)当1=a 时，设l 是曲线)(x f y =的一条切线，切点是A ，且l 在点A 处穿过函数)(x f y =的图象(即动点在点A 附近沿曲线)(x f y =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧)，求切线l 的方程．数学参考答案一、填空题1．{-101}，， 2．1- 3．充分不必要 4．6π5．2214x y -=6．310x y -+= 7．48．64259．3[1,]210．1311．312．4944 13．7 14．(1,0)-二、解答题15．(1)1()4sin (cos )22f x x x x =⋅-22sin cos x x x =-sin 2x x =2sin(2)3x π=+ (4)分 因为06x π≤≤，所以22333x πππ+≤≤，sin(2)123x π+≤， ……………………………6分 所以函数()f x的值域为⎤⎦． (7)分(2)依题意a =2b =，ABC ∆的外接圆半径4r =，sin 232a A r ===， ……………………………9分sin 232b B r ===cos 3A =，1cos 3B =，………………………11分sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=， (13)分所以11sin 2223ABCS ab C ∆==⨯=． (14)分16．(1)证明：因为平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD于AB ， 又BC AB ⊥，所以BC ⊥平面PAB ．………3分 又PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥PA ． ……………5分 由已知PA PB ⊥，且PB BC B =，所以PA ⊥平面PAB ． ……………………………7分 (2)证明：如图，取AD 的中点E ，连结CE ， 在平面PAB 内，过点M 作//MF AB 交PA 于F ， 连结,FM FE . 在△PAB 中，由作法知//MF AB ，且3342MF AB ==， (9)分PM BCDAF E在底面ABCD 中，易证//CE AB 且32CE =， 所以//MF CE 且MF CE =， ………………………11分 所以四边形MCEF 是平行四边形，所以//CM EF ， ………………………12分 又EF ⊂平面APD ，CM ⊄平面APD ，所以//CM 平面PAD ．……………14分17．建立如图所示的平面直角坐标系，则D (1)小路的长度为OA OB AB ++，因为,OA OB长为定值，故只需要AB 最小即可． 作OM AB ⊥于M ，记OM d =，则AB ==又d OD =≤，故AB =≥ 此时点D 为AB 中点． 故小路的最短长度为4+(百米)(2)显然，当广场所在的圆与△ABC 面积最大，设△ABC 的内切圆的半径为则△ABC 的面积为1()22ABC S AB AC BC r AB d ∆=++⋅=⋅，……………6分 由弦长公式AB =可得2244AB d =-，所以2222(16)4(4)AB AB r AB ⋅-=+， (8)分设AB x =，则22222(16)(4)()444(4)x x x x r f x x x ⋅-⋅-===++（）， 所以3222228322(416)'()4(4)4(4)x x x x x x f x x x --+-⋅+-==++， (10)分 又因为0d CD<≤，即0d <，所以)x AB ⎡==⎣，……………12分所以222(416)'()04(4)x x x f x x -⋅+-=<+，所以max ()6f x f ==-， 即△ABC 的内切圆的面积最大值为(6-π．………………………………………14分18．(1)由题意c a=1c =， …………………2分所以2,1a b ==，故椭圆的方程为2214x y +=． …………………4分设直线1122:(,),(,)AB x ty m A x y B x y =+，，代入2214x y +=得22()14ty m y ++=，即222(4)240()t y tmy m +++-=*，212122224,44tm m y y y y t t -+=-=++，……………6分22222222222412112(2)42(8)164242241211514424242m tm t m t m t m t m t t m tm t t m m t m t t -⎛⎫⎛⎫-----+--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，……………10分又241122PMk mm ==--，8212PM k m =-． (12)分因为2PA PBPM k k k +=，所以2158241280181416.2122m m m m m ⎧⎪-⋅=-⎪⎪-=⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪-=-- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎩，，解得8m =．……………15分经检验()*有解时恒成立，存在定点(8,0)M 符合条件．……………16分19．证明：(1)由1n a λ+=，得211n n n n a a a a ++=+，所以22110n n n n a a a a ++--=，两边同时除以2n a 可得：21110n n n n a a a a ++⎛⎫--= ⎪⎝⎭，……………2分解得1n n aa +=． ……………4分121212*********212122222111122221122()()42211()22PA PB y y y y k k x x ty m ty m ty y t y y m y y m t y y t m y y m ----+=+=+--+-+-⎛⎫⎛⎫-++-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为0n a >，所以1n n a a +=为常数，故数列{}n a是等比数列，公比为12．……6分(2)当2λ=时，212n n n a a a +=+，得12(2)n n n a a a +=+，所以11122nn n n a b a a +==+．……………8分 11211223111111111()()()()()22222n n n n n n n n a a a a T b b b a a a a a ++++=⋅=⋅⋅==，……10分又211111122n n n n n n n n a a b a a a a a +++===-⋅；……………12分 所以121111112n n n n S b b b a a a ++=+++=-=-， ……………14分 故1111111122()222n n n n n n n T S a a ++++++=⋅⋅+-=为定值． ……………………16分20．解:(1)2121'()2(0)ax f x ax x x x+=+=>，………………………1分①0≥a 时，)(x f 的单调增区间是),0(+∞； (3)分②<a 时，)(x f 的单调增区间是)21,0(a-，减区间是),21(+∞-a．……………6分(2)设切点))(,(00x f x A ,00>x x xx f 21)(+=',所以在点A 处切线的斜率是0021x x + 所以切线方程为))(21()(0000x x x x x f y -+=-，………………………7分即02000ln 1)21(x x x x x y +--+=．l 在点A 处穿过函数)(x f y =的图象，即在点A 的两侧，曲线)(x f y =在直线的两侧．令02000ln 1)21()(x x x x x x g +--+=，设)()()(x g x f x h -=，所以在0x x =附近两侧)(x h 的值异号． (8)分设020002ln 1)21(ln )(x x x x x x x x h -+++-+=，注意到0)(0=x h ．下面研究函数的单调性：002121)(x x x x x h --+='=)12)((00xx x x --=xx x x x x x x x x x )21)((212)(00000--=--． ………………10分当021x x <时：)(),,0(0x h x x ∈0)()(0=<x h x h当)(),21,(00x h x x x ∈是减函数,所以0)()(0=<x h x h 所以)(x h 在0x x =处取极大值，两侧附近同负，与题设不符． ……………12分同理，当0021x x >时，)(x h 在0x x =处取极小值，两侧附近同正，与题设不符．故0021x x =,即220=x 时，22(2()0x h x x'=≥，所以)(x h 在),0(+∞内单调增所以当)()(),,0(00=<∈x h x h x x ，当0)()(),,21(00=>+∞∈x h x h x x 符合题设．………14分所以220=x ，切线方程为13ln 222y =--． (16)分21．A ．证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC DC FAEA=，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EF A ．因为B ，E ，F ，C 四点共圆， ……………5分 所以∠CFE ＝∠DBC ， 故∠EF A ＝∠CFE ＝90°． 所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．……………10分21．B ．解：设矩阵=a b M c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2311,1002a b a b c d c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以23,1,,20 2.a b a c d c -+==⎧⎧⎨⎨-+==⎩⎩且解得1,5,2,4a b c d ====.所以1524M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．……………5分M 的特征多项式15()(1)(4)10(1)(6)024f λλλλλλλ--==---=+-=--, 所以λ＝6错误!未找到引用源。

备战冲刺预测卷（三）1、复数421ii-=+ ( ) A. 13i + B. 13i - C. 13i -+ D. 13i --2、已知集合{}{}|24,|35A x x B x x =<<=≤≤,则( )A. {}|25x x <≤B. {|4x x <或5}x >C. {}|23x x <<D. {|2x x <或5}x ≥3、已知奇函数() f x 在区间[]1,6上是增函数,且最大值为10,最小值为4,则在区间[]6,1--上() f x 的最大值、最小值分别是( ) A. 4,10-- B. 4,10- C. 10,4 D.不确定4、设a R ∈,则“ 1a =-”是“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5、等比数列{}n a 中, 5145a a ⋅=,则891011a a a a ⋅⋅⋅= ( ) A. 10 B. 25 C. 50 D. 75 6已知实数,执行如图所示的程序框图,则输出的不小于的概率为( )A. B. C. D.7、设不等式组2222x yx yy⎧-≤⎪⎪+≥-⎨⎪≤⎪⎩所表示的区域为M,函数24y x=--的图象与x轴所围成的区域为N,向M内随机投一个点,则该点落在N内的概率为( ) A.4πB.8πC.16πD. 2π8、已知一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.34B.22C.12D.309、图是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的,在我国最早的数学著作《周髀算经》中有详细的记载,若图中大正方形的边长为5,小正方形的边长为2,现做出小正方形的内切圆,向大正方形所在区域随机投掷n 个点,有m 个点落在圆内,由此可估计n 的近似值为( )A.254mn B. 4m nC. 425m nD. 25m n10、已知双曲线()222105x y a a -=>的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( ) A.31414 B.324C.32 D. 4311、在△ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且1cos 2a C cb +=,则A ∠= ( )A.34π B. 23πC. 4πD. 3π12、已知函数()2122x f x x =+-()0x <与()()22log g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( )A. (),2-∞-B. (),2-∞C. (),22-∞D. 222,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭13、已知腰长为2的等腰直角三角形ABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为ABC △所在平面内一动点，若||2PC =,则()()PA PB PC PM ⋅⋅⋅的最小值是__________. 14、若0,0,2a b a b >>+=,则下列不等式①1ab ≤;②2a b +≤;③222a b +≥;④112a b+≥,对满足条件的,a b 恒成立的是__________.(填序号)15、已知()2,1M -,设()0,1N x ,若22:1O x y +=上存在点P ,使得60MNP ∠=︒,则0x 的取值范围是__________.16、设函数()sin()(0)8f x x πωω=+>,若()()4f x f π≤对任意的实数 x 都成立,则ω的最小值为______.17、已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且233n n S a +=. 1.数列{}n a 的通项公式；2.若32log n n n b a a +=⋅，求{}n b 的前n 项和n T .18、如图所示的多面体中,四边形ABCD 是菱形、BDEF 是矩形, ED ⊥面ABCD ,3BAD π∠=.1.求证:平面//BCF 平面AED ;2.若BF BD a ==,求四棱锥A BDEF -的体积.19、对某居民最近连续几年的月用水量进行统计，得到该居民月用水量T (单位：吨)的频率分布直方图，如图一．1.根据频率分布直方图估计该居民月平均用水量T 月；2.已知该居民月用水量T 与月平均气温t (单位：C ︒)的关系可用回归直线0.42T t =+模拟．2017年当地月平均气温t 统计图如图二，把2017年该居民月用水量高于和低于T 月的月份作为两层，用分层抽样的方法选取5个月，再从这5个月中随机抽取2个月，求这2个月中该居民恰有1个月用水量超过T 月的概率．20、已知椭圆的离心率为,直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切.1.求椭圆的方程;2.是否存在直线与椭圆交于两点,交轴于点,使成立?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由.21、已知函数()2ln 2af x x x =-的图象在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线斜率为0.1.求函数() f x 的单调区间;2.若()()12g x f x mx =+在区间()1,+∞上没有零点,求实数 m 的取值范围.22、在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线1C 的参数方程为12{?22x ty t=+=- (t 为参数),以 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴,曲线2C 的极坐标方程为: 22cos sin θρθ=. 1.将曲线1C 的方程化为普通方程;将曲线2C 的方程化为直角坐标方程; 2.若点,曲线()1,2P 与曲线1C 的交点为,?A B ,求PA PB +的值. 23、选修4—5：不等式选讲已知函数()()0,0f x x a x b a b =-++>>． 1.当1a b ==时，解不等式()2f x x >+； 2.若()f x 的值域为[2)+∞，，求证：11111a b +≥++. 答案1.B解析：()()()()22421424422261311121i i i i i i i i ii i i -----+-====-++--故选B 2.B解析：因为{}|35B x x =≤≤, 所以或5}x >,又因为集合{}|24A x x =<<, 所以或5}x >,故选B.3.A4.A5.B6. B 解析： 设实数,经过第一次循环得到经过第二次循环得到,经过第三次循环得到,此时结束循环,输出的值为,令,得,由几何概型得到输出的不小于55的概率为。

广东省高考数学三模试卷（文科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x|lgx≥0}，B={x|x≤1}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B2．若复数z满足（1+2i）z=（1﹣i），则|z|=（）A．B．C．D．3．一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，3，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…10．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k号码的个位数字相同，若m=6，则在第7组中抽取的号码是（）A．66 B．76 C．63 D．734．在函数y=xcosx，y=e x+x2，，y=xsinx偶函数的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．05．直线l：x﹣2y+2=0过椭圆的一个顶点．则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．已知数列{a n}满足a1=1，a n﹣a n﹣1=n（n≥2），则数列{a n}的通项公式a n=（）A．B．C．n2﹣n+1 D．n2﹣2n+27．如图是计算+++…+的值的一个程序框图，其中在判断框中应填入的条件是（）A ．i ＜10B ．i ＞10C ．i ＜20D ．i ＞208．已知，且α为第二象限角，则=（ ）A ．B ．C ．D ．9．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．cm 3 B ． cm 3 C ． cm 3 D ．7cm 310．在△ABC 中，，则边AC 上的高为（ ）A ．B ．C ．D ．11．在球内有相距1cm 的两个平行截面，截面面积分别是5πcm 2和8πcm 2，球心不在截面之间，则球面的面积是（ ）A ．36πcm 2B ．27πcm 2C ．20πcm 2D ．12πcm 212．已知函数f （x ）=满足条件，对于∀x 1∈R ，存在唯一的x 2∈R ，使得f（x 1）=f （x 2）．当f （2a ）=f （3b ）成立时，则实数a+b=（ ）A．B．﹣C．+3 D．﹣+3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．已知x，y满足不等式，则函数z=2x+y取得最大值等于．14．在△ABC中，若，则cos∠BAC的值等于．15．以﹣=﹣1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为．16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象向右平移个单位所得的图象重合，则ω的最小值为．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=6，S5=15．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和T n．18．某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A、B两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如表：B校样本数据统计表：（Ⅱ）从A校样本数据成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样方法抽取6人，若从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，求这2人成绩之和大于或等于15的概率．19．如图，ABCD是平行四边形，已知，BE=CE，平面BCE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：BD⊥CE；（Ⅱ）若，求三棱锥B﹣ADE的高．20．已知点P1（﹣2，3），P2（0，1），圆C是以P1P2的中点为圆心，|P1P2|为半径的圆．（Ⅰ）若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线方程；（Ⅱ）若P（x，y）是圆C外一点，从P向圆C引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．21．已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx，g（x）=f（x）﹣2ax（a∈R）．（1）当a=0时，求f（x）在区间[，e]上的最大值和最小值；（2）若对∀x∈（1，+∞），g（x）＜0恒成立，求a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O的切线，B、D为切点．（1）求证：AD∥OC；（2）若⊙O的半径为1，求AD•OC的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣4=0．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，且a+b=1．（Ⅰ）求ab的最大值；（Ⅱ）求证：．参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x|lgx≥0}，B={x|x≤1}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由lgx≥0，解得x≥1，再利用集合运算性质即可得出．【解答】解：由lgx≥0，解得x≥1．∴A=[1，+∞）．又B={x|x≤1}，∴A∩B={1}≠∅，A∪B=R，故选：B．2．若复数z满足（1+2i）z=（1﹣i），则|z|=（）A．B．C．D．【考点】复数求模．【分析】由（1+2i）z=（1﹣i），得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再根据复数求模公式则答案可求．【解答】解：由（1+2i）z=（1﹣i），得=，则|z|=．故选：C．3．一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，3，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…10．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k号码的个位数字相同，若m=6，则在第7组中抽取的号码是（）A．66 B．76 C．63 D．73【考点】系统抽样方法．【分析】根据总体的容量比上样本的容量求出间隔k的值，再根据系统抽样方法的规定，求出第7组中抽取的号码是：m+60的值．【解答】解：由题意知，间隔k==10，∵在第1组随机抽取的号码为m=6，6+7=13，∴在第7组中抽取的号码63．故选C．4．在函数y=xcosx，y=e x+x2，，y=xsinx偶函数的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据函数奇偶性的定义分别进行判断即可．【解答】解：①f（﹣x）=﹣xcos（﹣x）=﹣xcosx=﹣f（x），则y=xcosx是奇函数，不满足条件．②当x=1时，f（1）=e+1，当x=﹣1时，f（﹣1）=+1≠f（1），则y=e x+x2，不是偶函数，不满足条件．③由x2﹣2＞0得x＞或x＜﹣，此时f（﹣x）=lg=lg，则y=lg，是偶函数，④f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）=xsinx=f（x），则y=xsinx是偶函数，满足条件．故偶函数的个数为2个，故选：B．5．直线l：x﹣2y+2=0过椭圆的一个顶点．则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】求出直线在y轴上的截距，可得b=1，求得a和c，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：直线l：x﹣2y+2=0过点（0，1），由题意可得b=1，则椭圆方程为+y2=1，即有a=，b=1，c==2，即有e===．故选：D．6．已知数列{a n}满足a1=1，a n﹣a n﹣1=n（n≥2），则数列{a n}的通项公式a n=（）A．B．C．n2﹣n+1 D．n2﹣2n+2【考点】数列递推式．【分析】利用数列的递推关系式，通过累加法求解即可．【解答】解：数列{a n}满足：a1=1，a n﹣a n﹣1=n（n≥2，n∈N*），可得a1=1a2﹣a1=2a3﹣a2=3a4﹣a3=4…a n﹣a n﹣1=n以上各式相加可得：a n=1+2+3+…+n=n（n+1），故选：A．7．如图是计算+++…+的值的一个程序框图，其中在判断框中应填入的条件是（）A ．i ＜10B ．i ＞10C ．i ＜20D ．i ＞20【考点】程序框图．【分析】根据算法的功能是计算+++…+的值，确定终止程序运行的i=11，由此可得判断框中应填入的条件．【解答】解：根据算法的功能是计算+++…+的值，∴终止程序运行的i=11，∴判断框中应填入的条件是：i ＞10或i ≥11． 故选：B ．8．已知，且α为第二象限角，则=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由题意和同角三角函数基本关系和二倍角公式可得tan2α，再由两角和的正切公式代入计算可得．【解答】解：∵，且α为第二象限角， ∴cosα=﹣=﹣，∴tanα==﹣，∴tan2α==﹣，∴==﹣，故选：D．9．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．cm3 B．cm3C．cm3D．7cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是棱长为2的正方体截取三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是棱长为2的正方体截取三棱锥A﹣BCD，其中B、D分别中点，则BC=CD=1，且AC⊥平面BCD，∴几何体的体积V==（cm3），故选：A．．10．在△ABC中，，则边AC上的高为（）A．B．C．D．【考点】三角形中的几何计算．【分析】由点B向AC作垂线，交点为D，设AD=x，则CD=4﹣x，利用勾股定理可知BD==进而解得x的值，再利用勾股定理求得AD．【解答】解：由点B向AC作垂线，交点为D．设AD=x，则CD=4﹣x，∴BD==，解得x=∴BD==故选B11．在球内有相距1cm的两个平行截面，截面面积分别是5πcm2和8πcm2，球心不在截面之间，则球面的面积是（）A．36πcm2B．27πcm2C．20πcm2D．12πcm2【考点】球内接多面体．【分析】画出图形，求出两个截面圆的半径，即可解答本题．【解答】解：由题意画轴截面图，截面的面积为5π，半径为，截面的面积为8π的圆的半径是2，设球心到大截面圆的距离为d，球的半径为r，则5+（d+1）2=8+d2，∴d=1，∴r=3，∴球面的面积是4πr2=36π故选：A．12．已知函数f（x）=满足条件，对于∀x1∈R，存在唯一的x2∈R，使得f （x1）=f（x2）．当f（2a）=f（3b）成立时，则实数a+b=（）A．B．﹣C．+3 D．﹣+3【考点】分段函数的应用．【分析】根据条件得到f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调，得到a，b的关系进行求解即可．【解答】解：若对于∀x1∈R，存在唯一的x2∈R，使得f（x1）=f（x2）．∴f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调，则b=3，且a＜0，由f（2a）=f（3b）得f（2a）=f（9），即2a2+3=+3=3+3，即a=﹣，则a+b=﹣+3，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．已知x，y满足不等式，则函数z=2x+y取得最大值等于12 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合求出最值即可．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，使目标函数z=2x+y取得最大值时过点B，联立，解得，故z的最大值是：z=2×5+2=12，故答案为：12．14．在△ABC中，若，则cos∠BAC的值等于．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再求出•，||，||，代入数量积求夹角公式得答案【解答】解：∵，∴=+=（1，﹣2），∴•=2×1+（﹣1）×（﹣2）=4，||==，||==，∴cos∠BAC===，故答案为：．15．以﹣=﹣1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】由题意设所求的椭圆方程为，且，由此能求出所求的椭圆的方程．【解答】解：∵﹣=﹣1的标准方程为，∴该双曲线的焦点坐标为F1（0，﹣4），F2（0，4），顶点坐标为A1（0，﹣2），A2（0，2），由题意设所求的椭圆方程为，且，∴b2=42﹣=4，∴所求的椭圆的方程为．故答案为：．16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象向右平移个单位所得的图象重合，则ω的最小值为 4 ．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，终边相同的角的特征，求得ω的最小值．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），把f（x）的图象向左平移个单位所得的图象为y=sin[ω（x+）+φ]=sin（ωx++φ），把f（x）的图象向右平移个单位所得的图象为y=sin[ω（x﹣）+φ]=sin（ωx﹣+φ），根据题意可得，y=sin（ωx++φ）和y=sin（ωx﹣+φ）的图象重合，故+φ=2kπ﹣+φ，求得ω=4k，故ω的最小值为4，故答案为：4．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=6，S5=15．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）利用等差数列的前n项和公式即可得出．（II）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵S3=6，S5=15．∴=6，=15，解得a1=d=1．∴a n=1+（n﹣1）=n．（II）=，∴数列{b n}的前n项和T n=++…+，=++…++，∴S n=+…+﹣=﹣=1﹣．∴S n=2﹣．18．某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A、B两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如表：B校样本数据统计表：（Ⅱ）从A校样本数据成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样方法抽取6人，若从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，求这2人成绩之和大于或等于15的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）分别求出A校样本的平均成绩、方差和B校样本的平均成绩、方差，从而得到两校学生的计算机成绩平均分相同，A校学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比较集中，（Ⅱ）根据分成抽样求出故抽取的7分有4人即为A，B，C，D，8分和9分的学生中各为1人，记为a，b，一一列举所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）从A校样本数据的条形图知：成绩分别为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有：6人、15人、21人、12人、3人、3人A校样本的平均成绩为：=（4×6+5×15+6×21+7×12+8×3+9×3）=6（分），A校样本的方差为S A2=[6（4﹣6）2+15（5﹣6）2+21（6﹣6）2+12（7﹣6）2+3（8﹣6）2+3（9﹣6）2]=1.5．从B校样本数据统计表知：B校样本的平均成绩为：=（4×9+5×12+6×21+7×9+8×6+9×3=6（分），B校样本的方差为S B2=[9（4﹣6）2+12（5﹣6）2+21（6﹣6）2+9（7﹣6）2+6（8﹣6）2+3（9﹣6）2]=1.8．∵=，S A2＜S B2，∴两校学生的计算机成绩平均分相同，A校学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比较集中．（Ⅱ）A校样本数据成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样方法抽取6人，由于7分、8分、9分的学生分别有12人，3人，3人，故抽取的7分有6×=4人即为A，B，C，D，8分和9分的学生中各为1人，记为a，b，故从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，共有AB，AC，AD，BC，BD，CD，Aa，Ba，Ca，Da，Ab，Bb，Cb，Db，ab共有15种，其中2人成绩之和大于或等于15的分的有Aa，Ba，Ca，Da，Ab，Bb，Cb，Db，ab共9种，故这2人成绩之和大于或等于15的概率P==19．如图，ABCD是平行四边形，已知，BE=CE，平面BCE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：BD⊥CE；（Ⅱ）若，求三棱锥B﹣ADE的高．【考点】平面与平面垂直的性质．【分析】（I）根据勾股定理的逆定理可证BD⊥BC，由面面垂直的性质可得BD⊥平面EBC，故BD⊥CE；（II）取BC中点F，连接EF，DF，AF．则EF⊥平面ABCD，利用勾股定理求出EF，AF，DF，AE，DE，得出V E﹣ABD，S△ADE，根据等体积法计算棱锥的高．【解答】证明：（I）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=4，∵BC=2，BD=2，∴BD2+BC2=CD2，∴BD⊥BC，又平面BCE⊥平面ABCD，平面BCE∩平面ABCD=BC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面BCE，∵CE⊂平面BCE，∴BD⊥CE．（II）取BC的中点F，连接EF，DF，AF．∵EB=EC，∴EF⊥BC，∵平面EBC⊥平面ABCD，平面EBC∩平面ABCD=BC，∴EF⊥平面ABCD．∵BE=CE=，BC=2，∴EF=，DF==，AF==，∴DE==，AE==．∴V E﹣ABD===2．cos∠AED==，∴sin∠AED=．∴S△ADE===．设B到平面ADE的高为h，则V B﹣ADE===2，∴h=．∴三棱锥B﹣ADE的高位．20．已知点P1（﹣2，3），P2（0，1），圆C是以P1P2的中点为圆心，|P1P2|为半径的圆．（Ⅰ）若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线方程；（Ⅱ）若P（x，y）是圆C外一点，从P向圆C引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（Ⅰ）求出圆心与半径，可得圆C的方程，再分类讨论，设出切线方程，利用直线是切线建立方程，即可得出结论；（Ⅱ）先确定P的轨迹方程，再利用要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．【解答】解：（Ⅰ）∵点P1（﹣2，3），P2（0，1），圆C是以P1P2的中点为圆心，|P1P2|为半径的圆∴C（﹣1，2），|P1P2|=∴圆C的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=2，当切线过原点时，设切线方程为y=kx，则=，∴k=2±，即切线方程为y=（2±）x．当切线不过原点时，设切线方程为x+y=a，则=，∴a=﹣1或a=3，即切线方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0．综上知，切线方程为y=（2±）x或x+y+1=0或x+y﹣3=0；（Ⅱ）因为|PO|2+r2=|PC|2，所以x12+y12+2=（x1+1）2+（y1﹣2）2，即2x1﹣4y1+3=0．要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．当直线PO垂直于直线2x﹣4y+3=0时，即直线PO的方程为2x+y=0时，|PM|最小，此时P点即为两直线的交点，得P点坐标（﹣，）．21．已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx，g（x）=f（x）﹣2ax（a∈R）．（1）当a=0时，求f（x）在区间[，e]上的最大值和最小值；（2）若对∀x∈（1，+∞），g（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出f（x）的导数，通过讨论b的范围，确定函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值；（2）求出g（x）的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，从而求出a的范围．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），当a=0时，，；当，有f'（x）＞0；当，有f'（x）＜0，∴f（x）在区间[，1]上是增函数，在[1，e]上为减函数，又，，，∴，．（2），则g（x）的定义域为（0，+∞），．①若，令g'（x）=0，得极值点x1=1，，当x2＞x1=1，即时，在（0，1）上有g'（x）＞0，在（1，x2）上有g'（x）＜0，在（x2，+∞）上有g'（x）＞0，此时g（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g（x）∈（g（x2），+∞），不合题意；当x2≤x1=1，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；②若，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上是减函数；要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，∴a的范围是，综合①②可知，当时，对∀x∈（1，+∞），g（x）＜0恒成立．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O的切线，B、D为切点．（1）求证：AD∥OC；（2）若⊙O的半径为1，求AD•OC的值．【考点】圆的切线的性质定理的证明．【分析】（1）要证明AD∥OC，我们要根据直线平行的判定定理，观察已知条件及图形，我们可以连接OD，构造出内错角，只要证明∠1=∠3即可得证．（2）因为⊙O的半径为1，而其它线段长均为给出，故要想求AD•OC的值，我们要将其转化用半径相等或相关的线段积的形式，结合（1）的结论，我们易证明Rt△BAD∽Rt△ODC，根据相似三角形性质，不们不难得到转化的思路．【解答】解：（1）如图，连接BD、OD．∵CB、CD是⊙O的两条切线，∴BD⊥OC，∴∠2+∠3=90°又AB为⊙O直径，∴AD⊥DB，∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3，∴AD∥OC；（2）AO=OD，则∠1=∠A=∠3，∴Rt△BAD∽Rt△ODC，AD•OC=AB•OD=2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣4=0．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）把把C1的参数方程先消去参数化为直角坐标方程，再化为极坐标方程．（Ⅱ）把曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，先求出它们的交点的直角坐标，再把它化为极坐标．【解答】解：（Ⅰ）把C1的参数方程（t为参数），先消去参数化为直角坐标方程为x=y2，化为极坐标方程为ρcosθ=（ρsinθ）2．（Ⅱ）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣4=0化为直角坐标方程为x2+y2+2x﹣4=0，即（x+1）2+y2=5，由，求得或，C1与C2交点的直角坐标为（1，1）或（1，﹣1），再把它们化为极坐标为（，）或（，）．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，且a+b=1．（Ⅰ）求ab的最大值；（Ⅱ）求证：．【考点】不等式的证明．【分析】（Ⅰ）由a＞0，b＞0，运用均值不等式a+b≥2，可得ab的最小值；（Ⅱ）将不等式的左边化为ab+++，运用均值不等式和对勾函数的单调性，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）由a＞0，b＞0，1=a+b≥2，即有0＜ab≤，当且仅当a=b=时，ab取得最大值；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得a，b＞0，且0＜ab≤，（a+）（b+）=ab+++≥+4+2=6+=，当且仅当a=b=时，等号成立．。

2019届高三文科数学测试题(三)附答案2019届高三文科数学测试题（三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}|1A x x =<，{}|e 1xB x =<，则（ ）A ．{}|1A B x x =<B ．R AB=RC ．{}|e AB x x =<D ．{}R |01AB x x =<<2．为了反映国民经济各行业对仓储物流业务的需求变化情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数．如图所示的折线图是2016年1月至2017年12月的中国仓储指数走势情况．根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A ．2016年各月的仓储指数最大值是在3月份 B ．2017年1月至12月的仓储指数的中位数为54% C ．2017年1月至4月的仓储指数比2016年同期波动性更大D ．2017年11月份的仓储指数较上月有所回落，显示出仓储业务活动仍然较为活跃，经济运行稳中向好 3．下列各式的运算结果为实数的是（ ） A ．2(1i)+B ．2i (1i)-C ．2i(1i)+D ．i(1i)+4．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法．如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形的概率为（ ）A．332π B ．332πC ．322πD ．32π5．双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的离心率是5，过右焦点F 作渐近线l 的垂线，垂足为M ，若OFM △的面积是1，则双曲线E 的实轴长是（ ） A ．1B ．2C ．2D ．226．如图，各棱长均为1的直三棱柱111C B A ABC -，M ，N 分别为线段1A B ，1B C 上的动点，且MN ∥平面11A ACC ，则这样的MN 有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数条7．已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+≥-04242y y x y x ，则y x z 23-=的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．78．函数()()22cos xx f x x-=-在区间[]5,5-上的图象大致为（ ）9．已知函数()lg 4xf x x =-，则（ ） A ．()f x 在()0,4单调递减 B ．()f x 在()0,2单调递减，在()2,4单调递增C ．()y f x =的图象关于点()2,0对称D ．()y f x =的图象关于直线2=x 对称10．如图是为了求出满足201822221>+++n 的最小整数n ， ）19．（12分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D （单位：分贝）与声音能量I （单位：2/cm W ）之间的关系，将测量得到的声音强度iD 和声音能量iI ，()1,2,,10i =数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值．表中iiI W lg =，∑==101101i iW W ．（1）根据散点图判断，I b a D 11+=与Ib aD lg 22+=哪一个适宜作为声音强度D 关于声音能量I 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据表中数据，求声音强度D 关于声音能量I 的回归方程；（3）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点P 共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是1I 和2I ，且10211041=+I I ．已知点P 的声音能量等于声音能量1I 与2I 之和．请根据（1）中的回归方程，判断P 点是否受到噪音污染的干扰，并说明理由． 附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，，(),nnu v 其回归直线αβ+=u v 的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()ˆ()nii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，ˆˆav u β=-．20．（12分）过抛物线()2:20C xpy p =>的焦点F 作直线l 与抛物线C交于A ，B 两点，当点A 的纵坐标为1时，2AF =． （1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 的斜率为2，问抛物线C 上是否存在一点M ，使得MB MA ⊥，并说明理由．21．（12分）已知a ∈R ，函数()()2e2xf x x a ax =--．（1）若()f x 有极小值且极小值为0，求a 的值；（2）当x ∈R 时，()()0f x f x +-≥，求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：⎩⎨⎧==θθsin cos y x （θ为参数，[]0,θ∈π），将曲线1C 经过伸缩变换：⎩⎨⎧==yy xx 3''得到曲线2C ．（1）以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求2C 的极坐标方程；（2）若直线l ：⎩⎨⎧==ααsin cos t y t x （t 为参数）与1C ，2C 相交于A ，B 两点，且1AB =，求α的值．23．（10分）选【修4-5：不等式选讲】 已知函数()12f x x x =+--，2()g x xx a=--．（1）当5=a 时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]2,3，求a 的取值范围．高三文科数学（三）答案一、选择题．1．【答案】B2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】B6．【答案】D7．【答案】C8．【答案】B9．【答案】C10．【答案】A11．【答案】D12．【答案】A二、填空题．13．【答案】1014．【答案】012=+-yx15．【答案】552 16．【答案】3三、解答题．17．【答案】（1）见解析；（2）12-=nna，是．【解析】∵37a=，3232a a=-，∴32=a，∴121+=-nnaa，∴11=a，()11221-nnana+=≥+，∴{}1na+是首项为2公比为2的等比数列．（2）由（1）知，nna21=+，∴12-=nna，∴22212211--=---=++nnS nnn，∴()12222210n nn nn S a n n++-=+----=，∴nnaSn2=+，即n，n a，n S成等差数列．18．【答案】（1）见解析；（2）623S=+．【解析】（1）证明：三棱柱111CBAABC-的侧面B BAA11中，1AAAB=，∴四边形B BAA11为菱形，∴B AAB11⊥，又⊥BC平面B BAA11，⊂1AB平面B BAA11，∴BCAB⊥1，∵1A B BC B=，∴⊥1AB平面BCA1，⊂1AB平面CAB1，∴平面⊥CAB1平面BCA1（2）过1A在平面B BAA11内作⊥D A11BB于D，∵⊥BC 平面B B AA 11，⊂BC 平面C C BB 11，∴平面⊥C C BB 11平面B B AA 11于1BB ，⊂D A 1平面B B AA 11，∴⊥D A 1平面C C BB 11．在11Rt A B D △中，211==AB B A ，11160A B B A AB ∠=∠=︒，∴31=D A ，∵11AA BB ∥，∴A 点到平面C C BB 11的距离为3．又四棱锥-A C C BB 11的体积332233131111=⨯⨯⨯==BC D A S V C C BB ，∴1=BC在平面C C BB 11内过点D 作DE BC ∥交1CC 于E ，连接E A 1，则1==BC DE ，22211=+=DE D A E A ，∴())1111226S A D DE A E AA =++⋅=+⨯=+19．【答案】（1）Ib a D lg 22+=更适合；（2）7.160ln 10ˆ+=I D ；（3）是，见解析． 【解析】（1）Ib aD lg 22+=更适合．（2）令iiI W lg =，先建立D 关于W 的线性回归方程， 由于10121()()5.1ˆ0.51()iii nii W W D D WW β==--==-∑∑，∴7.160ˆˆ=-=W D aβ， ∴D 关于W 的线性回归方程是7.16010ˆ+=W D，即D 关于I 的回归方程是7.160ln 10ˆ+=I D． （3）点P 的声音能量21I I I +=，∵10211041=+I I ，∴21I II +=()1010102112121241410105910I I I I I I I I ---⎛⎫⎛⎫=++=++≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据（2）中的回归方程，点P 的声音强度D 的预报值()10minˆ10lg 910160.710lg960.760D -=⨯+=+>，∴点P 会受到噪声污染的干扰． 20．【答案】（1）C ：yx42=；（2）存在M 点，见解析．【解析】（1）由抛物线的定义可得2212=⇒=+p p，故抛物线方程为yx42=．（2）假设存在满足条件的点()0,M x y ，则设直线1:+=kx y AB ， 代入yx 42=可得0442=--kx x，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x xk+=，124x x=-，因为()11,MA x x y y =--，()2020,MB xx y y =--，则由MB MA ⊥可得()()()()12010200x x xx y y y y --+--=，即()()()()120102011016x x xx x x x x ⎡⎤--+++=⎢⎥⎣⎦，也即()()1020160x x xx --+=，所以012402=++kx x，由于判别式()2164816430k∆=-=->，此时12x =-，26x =-，则存在点()2,1M -，()6,9M -，即存在点()0,M x y 满足题设．21．【答案】（1）21=a ；（2）(],1-∞．【解析】（1）()()()()'e2e 21e 2xx x f x a x ax x a=-+-=+-，x ∈R ，①若0≤a ，则由()'0f x =解得1-=x ，当(),1x ∈-∞-时，()'0f x <，()f x 递减；当()1,x ∈-+∞时，()'0f x >，()f x 递增；故当1-=x 时，()f x 取极小值()11e f a --=-，令1ea --=，得1ea =（舍去），若0>a ，则由e 20xa -=，解得()ln 2x a =．（i ）若()ln 21a <-，即102e a <<时，当()(),ln 2x a ∈-∞，()'0f x >，()f x 递增；当()()ln 2,1x a ∈-，()'0f x >，()f x 递增；故当1-=x 时，()f x 取极小值()11e f a --=-，令1e0a --=，得1ea =（舍去）． （ii ）若()ln 21a =-，即12e a =时，()'0f x ≥，()f x 递增不存在极值； （iii ）若()ln 21a >-，即12e a >时，当(),1x ∈-∞-时，()'0f x >，()f x 递增；当()()1,ln 2x a ∈-时，()'0f x <，()f x 递减；当()()ln 2,x a ∈+∞时，()'0f x >，()f x 递增；故当()ln 2x a =时，()f x 取极小值()()()2ln 2ln 20f a a a =-=，得21=a 满足条件，故当()f x 有极小值且极小值为0时，21=a ． （2）()()0f x f x +-≥等价于()2ee 20xx x ax ---≥，即()2ee 2xx x ax --≥，当0=x 时，①式恒成立；当0≠x 时，()e e 0xx x -->，故当0≤a 时，①式恒成立；以下求当0>x 时，不等式()2ee 20xx x ax ---≥恒成立，且当0<x 时不等式()2e e 20xxx ax ---≤恒成立时正数a 的取值范围，令e xt =，()12ln g t t a t t =--以下求当1>t ，()12ln 0g t t a t t =--≥恒成立，且当10<<t ，()12ln 0g t t a t t =--≤恒成立时正数a 的取值范围， 对()g t 求导，得()22212211a t at g t t t t -+'=+-=，记()221h t tat =-+，244a∆=-，（i ）当10≤<a 时，0442≤-=∆a，()2210h t tat =-+≥，()'0g t >，故()g t 在()0,+∞上递增，又()10g =，故1>t ，()()10g t g >=，01t <<，()()10g t g <=，即当10≤<a 时，()2ee 2xx x ax --≥式恒成立；（ii ）当1>a 时，()010h =>，()1220h a =-<，故()h t 的两个零点即()'g t 的两个零点()10,1t ∈和()21,t∈+∞，在区间()12,t t 上，()0h t <，()'0g t <，()g t 是减函数， 又11<t，所以()()110g t g >=，当1>a 时①式不能恒成立．综上所述，所求a 的取值范围是(],1-∞．22．【答案】（1）[]()2222230,3cos sin 2cos 1ρθθθθ==∈π++；（2）3απ=或23απ=． 【解析】（1）1C 的普通方程为()2210xy y +=≥，把⎩⎨⎧==yy xx 3''代入上述方程得，()22''1'03y x y +=≥，∴2C 的方程为()22103y x y +=≥，令cos x ρθ=，sin y ρθ=，第7页（共8页） 第8页（共8页） 所以2C 的极坐标方程为[]()2222230,3cos sin 2cos 1ρθθθθ==∈π++． （2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ，由⎩⎨⎧==αθρ1，得1=A ρ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=αθθρ1cos 2322，得1cos 232+=αρB ， 而1211cos 232-=-+α，∴21cos ±=α，而[]0,α∈π，∴3απ=或23απ=．23．【答案】（1）⎡-⎢⎣⎦；（2）[)3,+∞．【解析】（1）当5=a 时，不等式()()f x g x ≥等价于2125x x x x +--≥--，①当1-<x 时，①式化为022≤--x x ，无解； 当21≤≤-x 时，①式化为0432≤--x x ，得21≤≤-x ； 当2>x 时，①式化为082≤--x x ，得23312+≤<x ，所以()()f x g x ≥的解集为⎡-⎢⎣⎦．（2）当[]2,3x ∈时，()3f x =，所以()()f x g x ≥的解集包含[]2,3，等价于[]2,3x ∈时，()3g x ≤， 又()2g x x x a =--在[]2,3上的最大值为()36g a =-， 所以()33g ≤，即36≤-a ，得3≥a ，所以a 的取值范围为[)3,+∞．。

○…………外………○…………装…………○学校:___________姓名：___________班○…………内………○…………装…………○浙江省2019 年高考模拟训练卷数学（三）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合U={1,2,3,4,5}，A ={0,1,2,3}，B ={1,2,3,4}，则C U (A ∩B )=（ （A. {1,2,3}B. {3,4,5}C. {4,5}D. ∅ 2.已知双曲线C:x 2a 2−y 2a 2=1，则C 的离心率是（ ）A. √52B. √2C. 2D. √5 3.已知a +bi =2−i 1+i（i （（（（（（（（√a 2+b 2（ （A.3√22 B. √102 C. 92 D. 524.函数f (x )=cosx x 2的图像可能是（ ）A. B.C. D.5.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）答案第2页，总17页…………○……※※在※※装※※订※※线…………○……A. 2 B. √3 C. √32 D. √366.已知5辆不同的白颜色和3辆不同的红颜色汽车停成一排，则白颜色汽车至少2辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有（ ） A. 1880 B. 1440 C. 720 D. 2567.在ΔABC 中，“sinA<cosB ”是“ΔABC 为钝角三角形”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.设函数f (x )={e x +x 2(x ≥0)1ex+x 2(x <0) .已知对任意的a ∈[√3,2√3]，若x 1∈[a −k a ,a −k 2a ]（x 2∈[a −k 3a ,a −k4a ]，恒有f (x 1)≥f (x 2)，则正实数k 的取值范围是（ ）A. (0,4]B. (0,8]C. [8,+∞)D. [32,+∞)9.如图，C,D 是以AB 直径的圆O 上的动点，已知|AB |=2，则AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值是（ ）A. 12B. √5−√3C. √22 D. √3−1 10.已知数列{a n }满足a 1>0（a 11=4（a n+1=a n +12a n 2，数列{b n }满足b n >0（b 1=a 12（b n =b n+1+12b n+12，n ∈N ∗若存在正整数m,n (m ≤n )，使得b m +b n =14，则（ ） A. m=10,n =12 B. m =9,n =11 C. m =4,n =6 D. m =1,n =3第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）11.已知函数f (x )={log 2x,x >02x ,x ≤0，则f (4)=__________；f (f (13))=__________（12.若实数x,y （（（（（（{2x +y +2≥0x +y −1≤0y ≥0，则z =y −2x （（（（（__________（13.若(x −2)8=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯+a 8(x −1)8，则a 0+a 1+a 2+⋯+……外……………○…………订……___班级：___________考号：___……内……………○…………订……a 8=__________（14.在ΔABC 中，角A,B,C 所对的边a,b,c ，点E 为边AC 上的中点，已知a=2，b =4，c =3，则cosC =__________；BE =__________（15.（（x,y∈R ，若x +2y =4（（x 2+4y 2（（（（（__________（（x 2+4y 2=4，则x +y （（（（（__________（16.已知直线l:y=x +1与抛物线C:x 2=y 交于A,B 两点，点P (0,1)，Q (−1,0)，且PQ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λQA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =μQB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ (λ,μ∈R )，则λ+μ=__________（ 17.如图，在三棱锥P−ABC 中，点O 为AB 的中点，点P 在平面ABC 的投影恰为OB 的中点.已知AB =2PO =2，点C 到OP 的距离为√3，则当∠ACB 最大时，二面角P −AC −B 的余弦值是__________（三、解答题（题型注释）18.已知函数f (x )=√2sin (2x +π4),x ∈R .（1）求函数f (x )在[0,π4]上的值域； （2）若f (x 0)=13，求tanx 0.19.在三棱锥P−ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，AQ =QC ，PA =PC =AB =2，BC =1，PB =√3.（1）证明：BC ⊥BQ （（2）求直线AC 与平面PAB 所成角的正弦值. 20.已知数列{a n }的前n 项为S n=3a n −2n ,n ∈N ∗.答案第4页，总17页订…………○………※※答※※题※※订…………○………（1）证明：{a nn−1}为等比数列； （2（（（（{na n2n}的前n （（（T n . 21.如图，直线l:y =kx +m (k >0,m <0)交椭圆C:x 24+y 23=1于A,B 两点，点E 是线段AB 的中点，连接EO 并延长EO 交椭圆C 于点F .（1）设直线EF 的斜率为k ′，求kk ′的值； （2）若k=32，求ΔFAB 面积的最大值.22.知函数f (x )=x 2+a x+a，g (x )=2lnx +2a (a ∈R ).（1）求f (x )的单调区间； （2）证明：存在a∈(0,1)，使得方程f (x )=g (x )在(1,+∞)上有唯一解.参数答案1.C【解析】1.先求出A ∩B ，然后再在全集U ＝{1，2，3，4，5}下求∁U （A ∩B ）． ∵A ＝{0,1,2,3}，B ＝{1,2,3,4}，∴A ∩B ＝{1，2，3}，又∵全集U ＝{1，2，3，4，5}， ∴∁U （A ∩B ）＝{4，5}． 故选：C ． 2.B【解析】2.由题意知双曲线为等轴双曲线，由此得离心率. ∵双曲线方程为C:x 2a 2−y 2a 2=1，∴双曲线为等轴双曲线， ∴e=√2. 故选B. 3.B【解析】3. 由于a +bi ＝1−3i 2，故有a ＝12，b ＝-32，即可得结果． 由于a +bi ＝2−i 1+i =（2−i ）（1−i ）（1+i ）（1−i ）=1−3i 2， ∴a +bi ＝1−3i2，∴a ＝12，b ＝-32，∴√a 2+b 2=√102故选B ． 4.C答案第6页，总17页装…………○………※※要※※在※※装※※订※※线装…………○………【解析】4.利用奇偶性及函数值的正负进行排除即可. ∵f (x )=cosx x 2=cos （−x ）（−x)2=f (−x )，∴函数f (x )为偶函数，排除A 、B ， 又当0<x<π2时，f (x )>0，排除D ，故选C. 5.D【解析】5.由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面高为1的棱锥，利用锥体体积公式可得到答案． 由三视图可知：该几何体是如下的一个三棱锥，如图：∴该几何体的体积=13×12×1×√3×1=√36．故选：D ． 6.B【解析】6.先从5辆白色汽车选3辆全排列后视为一个整体，再将剩余2辆白色汽车全排列后视为一个整体，再将这两个整体全排列，共有3个空，3辆不同的红颜色汽车插空排列即可．由题意知，白颜色汽车按3，2分两组，先从5辆白色汽车选3辆全排列共A 53种排法，再将剩余2辆白色汽车全排列共A 22种排法，再将这两个整体全排列，共A 22种排法，排完后有3个空，3辆不同的红颜色汽车插空共A 33种排法，由分步计数原理得共A 53A 22A 22A 33=1440 种.故选B. 7.A【解析】7.先由诱导公式将正弦化余弦，利用余弦函数的单调性得到角A 或角C 为钝角，再举反例说明必要性不成立即可. ∵sinA<cosB ⇔cos (π2−A)<cosB ，且B 必为锐角，可得π2−A >B 或A −π2>B ，即角A 或角C 为钝角；反之，当A=100°，B =30°时，cosB =√32，而sinA>sin120°=√32=cosB ，所以sinA <cosB 不成立，所以“sinA <cosB ”是“ΔABC 为钝角三角形”的充分不必要条件，故选A . 8.D【解析】8.利用函数的性质将不等式转化为|x 1|≥|x 2|，由对称性结合区间端点的大小得到a 与k 的关系，即8a 2≤3k 在a ∈[√3,2√3]上恒成立，求得8a 2的最值即可得到k 的范围. 因为f (−x )={e −x +（−x ）2(−x ≥0)1e−x+（−x ）2(−x <0) ={e x +x 2(x >0)1e x +x 2(x ≤0) =f (x ), ∴f (x )为偶函数且在(0,+∞)上单调递增， 由对称性得在(−∞,0)上单调递减， ∴f (x 1)≥f (x 2)⇔|x 1|≥|x 2|，又a −k 3a>a −k 2a，只需-（a −k 2a）≥a −k 4a，即2a −3k 4a≤0，即8a 2≤3k 在a ∈[√3,2√3]上恒成立，∴3k≥8×12，则正实数k 的取值范围是[32,+∞).答案第8页，总17页…………订………※订※※线※※内※※答※※题…………订………故选D. 9.A【解析】9.过点O 作AC 的平行线交圆O 于点E ，交BC 于M ，且M 为垂足，设D 在OE 的投影为N ，由向量的几何意义可知，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |∙|MN |，只需当N 落在E 处时，MN 最大，求得AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2cosθ∙(1−cosθ)，再由θ∈[0，π2）求得最值即可. 如图，先将C 视为定点，设∠CAB ＝θ，θ∈[0，π2），则AC=2cosθ，连接CB ，则CB ⊥AC ，过O 作AC 的平行线交圆O 于E ，交BC 于M ，且M 为垂足， 又知当D 、C 在AB 同侧时，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 取最大值， 设D 在OE 的投影为N ，当C 确定时，M 为定点，则当N 落在E 处时，MN 最大，此时AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 取最大值， 由向量的几何意义可知，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |∙|MN |，最大时为|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |∙|ME |， 又OM=|OB |cosθ, ∴|ME |=1−cosθ，∴AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 最大为|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |∙|ME |=2cosθ∙(1−cosθ)≤2×[cosθ+(1−cosθ)2]2=12,当且仅当cosθ=12时等号成立，即θ=π3， ∴ AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为12.故选A. 10.D【解析】10.由题意得a n+1>a n >⋯>a 1>0，b 1>b 2>⋯>b n >0，利用单调性可得b 1=a 12，代入已知求得b 2=a 11=4，b 3=a 10=2,…,b m =a 13−m ，又a 12=12，得到b m +b n =a 10+a 12，可得所求. 因为a n+1=a n +12a n 2，b n =b n+1+12b n+12，则有a n+1>a n >⋯>a 1>0，b 1>b 2>⋯>b n >0，且函数y =12x 2+x 在(0,+∞)上单调递增，故有b 1=a 12=b 2+12b 22=a 11+12a 112，得b 2=a 11=4， 同理有b 3=a 10=2,…,b m =a 13−m ， 又因为a 12=a 11+12a 112=12， 故b m +b n =a 10+a 12，所以m=1,n =3.故选D. 11.2 13【解析】11.由已知利用分段函数及对数函数的性质求解．∵函数f (x )={log 2x,x >02x ,x ≤0，∴f （4）＝log 24＝2，f (f (13))＝f （log 213）＝2log 213＝13， 故答案为：(1). 2 (2). 1312.10【解析】12.作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论． 由z ＝y ﹣2x ，得y ＝2x +z ， 作出不等式对应的可行域， 平移直线y ＝2x +z ，由平移可知当直线y ＝2x +z 经过点A 时，答案第10页，总17页线y ＝2x +z 的截距最大，此时z 取得最大值， 由{2x +y +2=0x +y −1=0，得{x =−3y =4 ，即A （-3，4）代入z ＝y ﹣2x ，得z ＝4﹣2×（-3）＝10， 即z ＝y ﹣2x 的最大值为10． 故答案为：10． 13.0【解析】13.利用二项式定理可知，对已知关系式中的x 赋值，即可求得a 0+a 1+a 2+⋯+a 8的值． ∵(x −2)8=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯+a 8(x −1)8令x ＝2得：0＝a 0+a 1+a 2+⋯+a 8，即a 0+a 1+a 2+⋯+a 8＝0； 故答案为：0． 14.1116 √102【解析】14.直接利用余弦定理可得cosC ，利用中线定理的向量表示法将BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 表示出，平方可得模. 在ΔABC 中，cosC=a 2+b 2−c 22ab=1116，同理可得cosB =-14， 又BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )，平方得BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=14(4+9+2×2×3×cosB )=104， 所以BE=√102，故答案为(1). 1116 (2). √102 15.8 √5【解析】15.根据题意，由基本不等式的性质可得4＝x +2y ≥2√2xy ，变形可得2xy ≤4，进而可得x 2+4y 2＝（x +2y ）2﹣4xy ＝16﹣4xy ，分析可得第一个空；再利用柯西不等式求得第二个式子的最值.根据题意，x ，y ∈R +，且x +2y ＝4，则有4＝x +2y ≥2√2xy ，变形可得2xy ≤4，（当且仅当x ＝2y =2时等号成立）x 2+4y 2＝（x +2y ）2﹣4xy ＝16﹣4xy ，又由4xy ≤8，则有x 2+4y 2≥8， 即x 2+4y 2的最小值为8； 若x 2+4y 2=4，则由柯西不等式得（x 2+4y 2）（1+14）≥(x +y)2，（当且仅当x ＝4y =4√55时等号成立），所以(x +y)2≤4×54即x+y 的最大值为√5，故答案为：(1). 8 (2). √5． 16.-3【解析】16.设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，将条件坐标化，利用向量相等与点在抛物线上，得到λ2+3λ+1=0，μ2+3μ+1=0，构造方程x 2+3x +1=0，求得结果.设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则PQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,−1)，λQA ⃑⃑⃑⃑⃑ =λ(x 1+1,y 1)，μQB⃑⃑⃑⃑⃑ =μ(x 2+1,y 2)，则有x 1=−1λ−1,y 1=−1λ，代入方程x 2=y ，故有λ2+3λ+1=0，同理μ2+3μ+1=0，有，即可视λ,μ为方程x 2+3x +1=0的两根，则λ+μ=−3.故答案为-3. 17.3√1313【解析】17.由条件得到点C 的轨迹是以AB 为长轴的椭圆，利用椭圆的对称性知当∠ACB 最大时有AC =BC ，做出二面角P −AC−B 的平面角，在ΔPFE 中求解即可.因为点C 到OP 的距离为√3，则点C 是以OP 为旋转面的轴的圆柱与平面ABC 的公共点，答案第12页，总17页即点C 的轨迹是以AB 为长轴，以2√3为短轴长的椭圆，又由椭圆的对称性可知， 则当∠ACB 最大时有AC=BC =2.如图，在AC 上取一点F ，满足|AF |=34， 连接EF,PF ，则有EF ⊥AC ，又因为PE ⊥AC ，则∠PFE 是二面角P−AC −B 的平面角，在ΔPEO 中，OP=1,OE=12, ∴PE=√32, ∴PF=√PE 2+EF 2,在ΔPFE 中，EF =3√34,∴PF =√394，故二面角的余弦值是3√1313. 故答案为3√1313. 18.（1）[1,√2]（2）3±√174【解析】18.（1）根据正弦函数的定义域求得2x+π4的范围，利用正弦函数在[π4，3π4]的图像特点求得函数f （x ）=√2sin （2x +π4）的值域．（2）将f (x )展开，结合二倍角公式及同角基本关系式，将弦化切，直接解方程即可. （1）因为x ∈[0,π4],∴π4≤2x +π4≤3π4， 当2x +π4=π2时，f (x )最大为√2，当2x+π4=π4时，f (x )最小为1，所以f (x )在[0,π4]的值域为[1,√2]； （2）因为f (x )=√2sin (2x +π4)=sin2x +cos2x =2sinxcosx+cos 2x−sin 2xcos 2x+sin 2x=13，即2tan 2x −3tanx −1=0， 所以tanx =3±√174.∴tanx 0=3±√174.19.（1）详见解析（2）3√9191【解析】19.（1）利用面面垂直，可证PQ⊥平面ABC ，从而有PQ ⊥BC ，再利用勾股定理证明PB ⊥BC ，可证BC ⊥平面PQB ，证得结论.（2）先证得平面PHQ⊥平面PAB ，过点Q 作QO ⊥PH 于点O ，有QO ⊥平面PAB ，可证明∠QAO 是AC 与平面PAB 所成的角，在△ABC 中，求得QH ，可得PH ，由等面积法知OQ ，即可求解直线AC 与平面PAB 所成角的正弦值. （1）由题意平面PAC ⊥平面ABC ，PQ ⊂平面PAC ，平面PAC⋂平面ABC =AC ，又PA =PC ，AQ =QC （ ∴PQ ⊥AC ，∴PQ⊥平面ABC ，从而有PQ ⊥BC ，又由勾股定理得PB ⊥BC ，PB ∩PB =P ，∴BC⊥平面PQB ，即BC ⊥BQ ；（2）设BO=x ，则AQ =QC =2+1，在ΔABC 中，222=4(x 2+1)+4−12，即BO =x =√32.故AQ=√72，PQ =32，过Q 作QH ⊥AB 于点H ，连接PH ，过点Q 作QO ⊥PH 于点O ，连接AO ，因为PQ ⊥AB 且QP ∩QH =Q ，故AB⊥平面PQH ，又因为AB ⊂平面PAB ，所以平面PHQ ⊥平面PAB ， 进而有QO⊥平面PAB ，故∠QAO 是AC 与平面PAB 所成的角， 在ΔABC 中，有cos∠CAB =2√7=AH AQ，得AH =54，故QH=√34，PH =√394， 由等面积法知OQ =3√1326，所以sin∠QAO=OQ AQ=3√9191，故直线AC 与平面PAB 所成角的正弦值为3√9191.答案第14页，总17页20.（1）详见解析（2）T n =12−(12+3n )(34)n+n 2+n2.【解析】20.（1）由已知数列递推式求出数列首项，进一步可得当n ≥2时，S n ﹣1＝3a n ﹣1﹣2n−1，与原递推式联立可得结论；（2）把（1）中求得的数列通项公式代入na nn，利用分组求和及错位相减法即可求得T n ． （1）当n =1时，a 1=12，当n ≥2时，S n ﹣1＝3a n ﹣1﹣2n−1， ∴a n=S n −S n−1=3a n −3a n−1−2n−1， 即2a n =3a n−1+2n−1，故a n2n=34•a n−12n−1+14， 所以a n2n−1=34(a n−12n−1−1)， 故{a n 2n −1}是−34为首项，以34为公比的等比数列； （2）由（1）知a n2n=1−(34)n ，故na n2n=n −n (34)n，令数列{n }，{n (34)n}的前n 和为A n ,B n ，则T n=A n −B n ，因为A n =n 2+n2， B n =1•(34)1+2•(34)2+⋯+n (34)n，34B n =1•(34)2+2•(34)3+⋯+(n −1)(34)n +n (34)n+1， 则14B n =34+(34)2+(34)3+⋯+(34)n −n (34)n+1，即B n =12−(12+3n )(34)n ，故T n=12−(12+3n )(34)n+n 2+n2. 21.（1）−34（2）92【解析】21.（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆方程，利用点差法能得到kk ′的值．（2）由（1）知k ′，则可求点F 坐标，利用点F 到直线AB 的距离公式求得ΔFAB 的高，联立{y =32x +m 3x 2+4y 2=12，由韦达定理求得|AB |，将面积表示为关于m 的函数，求导求得最值. （1）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)， 则E (x 1+x 22,y 1+y 22)，将A 、B 点坐标代入椭圆方程，有x 124+y 123=1……①，x 224+y 223=1……②，①-②得x 12−x 224+y 12−y 223=0，即y 1−y 2x 1−x 2•y 1+y2x 1+x 2=−34，即kk ′=−34；（2）由（1）知，当k =32时，有k ′=12，则有直线l:y =32x +m ，直线EF:y =−12x ， 不妨设m<0，则有F (−√3,√32)，故点F 到直线AB 的距离d =√3−2m|13，联立方程组{y =32x +m 3x 2+4y 2=12， 即3x 2+3mx +m 2−3=0，则|AB |=√132√m 2−4m 2−33=√132√12−m 23，故ΔFAB 面积S =12(2√3−√12−m 2√3=2√3(2√3−m)2(12−m 2)，令f (m )=(2√3−m)2(12−m 2)，则f ′(m )=2(2√3−m )(2m 2−2√3m −12)，令f ′(m )=0，则m =−√3或2√3（舍去）∴m=−√3时，f (m )有最大值243，即ΔFAB 面积的最大值为92. 22.（1）详见解析（2）详见解析【解析】22.（1）求出函数f （x ）的定义域，对函数f （x ）求导得到y=x 2+2ax −a ，分Δ≤0与Δ>0,得到导函数在各区间段内的符号,得到函数f （x ）的单调区间； （2）构造ℎ(x )=f (x )−g (x )，求导分析ℎ(x )的单调性，找到12≤a<1时，ℎ(x )<0在(1,1+√1+a )上恒成立，在(1+√1+a,+∞)上递增，而h(x 1)<0，ℎ(e 2)>0,由函数零点存答案第16页，总17页在定理得到存在a 0∈(0,1)，使得方程ℎ(x )=0在(1,+∞)上有唯一解，即证得结论.（1）函数f （x ）的定义域为(−∞,−a )∪(−a,+∞)， 因为f ′(x )=x 2+2ax−a(x+a )2， 令y =x 2+2ax −a ，则Δ=4a 2+4a ≤0，即−1≤a ≤0，则f ′(x )≥0在(−∞,−a )∪(−a,+∞)上恒成立， 当a<−1或a >0，由x 2+2ax −a >0有x >−a +√a 2+a 或x <−a −√a 2+a ，由x 2+2ax −a <0有−a −√a 2+a <x <−a +√a 2+a ，综上，当−1≤a ≤0时，f (x )的递增区间是(−∞,−a ),(−a,+∞)，当a<−1或a >0时，f (x )的递增区间是(−∞,−a −√a 2+a ),(−a +√a 2+a,+∞)，递减区间是(−a −√a 2+a,−a ),(−a,−a +√a 2+a )； （2）令ℎ(x )=f (x )−g (x )=x 2+a x+a−2lnx −2a ， 当a∈(0,1)时，则ℎ′(x )=x 2+2ax−a (x+a )2−2x=(x+2a )(x 2−2x−a )(x+a )2x=(x+2a )[x−(1−√1+a)][x−(1+√1+a)](x+a )2x，因为x∈(1,+∞)，故当1<x <1+√1+a 时，ℎ′(x )<0，当1+√1+a <x 时，ℎ′(x )>0，所以ℎ(x )在(1,1+√1+a )上递减，在(1+√1+a,+∞)上递增，即当x 1=1+√1+a 时，ℎ(x )有最小值，又h （1）=1-2a ， 当12≤a<1时，h （1）≤0，即ℎ(x )<0在(1,1+√1+a )上恒成立，又12≤a<1时,ℎ(x )=x 2+a x+a−2lnx −2a >x 2x−2lnx −2a >x 2x−2lnx −2=x −2lnx −2，取x=e 2,则x−2lnx −2=e 2−4−2=e 2−6>0，即ℎ(e 2)>0，又ℎ(x )在(1+√1+a,+∞)上递增，而h(x 1)<0，由函数零点存在定理知ℎ(x )在(1+√1+a,+∞)上存在唯一零点， 所以当12≤a<1时即存在a∈(0,1)，使得方程ℎ(x )=0在(1,+∞)上有唯一解，即方程f (x )=g (x )在(1,+∞)上有唯一解.。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ）数学（文科）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． （1）【2017年全国Ⅲ，文1，5分】已知集合{}1,2,3,4A =，{}2,4,6,8B =，则A B 中的元素的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】B【解析】集合A 和集合B 有共同元素2，4，则{}2,4A B =I 所以元素个数为2，故选B ．（2）【2017年全国Ⅲ，文2，5分】复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】C【解析】化解i(2i)z =-+得22i i 2i 1z =-+=--，所以复数位于第三象限，故选C ． （3）【2017年全国Ⅲ，文3，5分】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（ ）（A ）月接待游客量逐月增加 （B ）年接待游客量逐年增加 （C ）各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月（D ）各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A【解析】由折线图可知，每年月接待游客量从8月份后存在下降趋势，故选A ．（4）【2017年全国Ⅲ，文4，5分】已知4sin cos ,3αα-=，则sin2α=（ ）（A ）79- （B ）29- （C ）29（D ）79【答案】A【解析】()2167sin cos 12sin cos 1sin 2,sin 299αααααα-=-=-=∴=-，故选A ．（5）【2017年全国Ⅲ，文5，5分】设,x y 满足约束条件3260,0,0,x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则z x y =-的取值范围是（ ） （A ）[]3,0- （B ）[]3,2- （C ）[]0,2 （D ）[]0,3【答案】B【解析】由题意，画出可行域，端点坐标()0,0O ，()0,3A ，()2,0B ．在端点,A B 处分别取的最 小值与最大值． 所以最大值为2，最小值为3-，故选B ．（6）【2017年全国Ⅲ，文6，5分】函数1()sin()cos()536f x x x ππ=++-的最大值为（ ）（A ）65 （B ）1 （C ）35 （D ）15【答案】A【解析】11113()sin()cos()(sin cos cos sin sin 5365225f x x x x x x x x xππ=++-=⋅++⋅=6sin()53x π=+，故选A ．（7）【2017年全国Ⅲ，文7，5分】函数2sin 1xy x x=++的部分图像大致为（ ） （A ）（B ）（C ）（D ） 【答案】D【解析】当1x =时，()111sin12sin12f =++=+>，故排除A ，C ，当x →+∞时，1y x →+，故排除B ，满足条件的只有D ，故选D ．（8）【2017年全国Ⅲ，文8，5分】执行右面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 【答案】D【解析】若2N =，第一次进入循环，12≤成立，100100,1010S M ==-=-，2i =2≤成立，第二次进入循环，此时101001090,110S M -=-==-=，3i =2≤不成立，所以输出9091S =<成立，所以输入的正整数N 的最小值是2，故选D ．（9）【2017年全国Ⅲ，文9，5分】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）（A ）π （B ）3π4（C ）π2 （D ）π4【答案】B【解析】如果，画出圆柱的轴截面，11,2AC AB ==，所以r BC ==22314V r h πππ==⨯⨯=⎝⎭，故选B ． （10）【2017年全国Ⅲ，文10，5分】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（ ）（A ）11A E DC ⊥ （B ）1A E BD ⊥ （C ）11A E BC ⊥ （D ）1A E AC ⊥ 【答案】C【解析】11A B ⊥平面11BCC B 111A B BC ∴⊥，11BC B C ⊥又1111B C A B B =，1BC ∴⊥平面11A B CD ，又1A E ⊂平面11A B CD 11A E BC ∴⊥，故选C ．（11）【2017年全国Ⅲ，文11，5分】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）（A（B（C（D ）13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离d a ==，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a =，c e a =选A ．（12）【2017年全国Ⅲ，文12，5分】已知函数()()2112x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =（ ） （A ）12- （B ）13 （C ）12 （D ）1【答案】C【解析】()()11220x x f x x a e e --+'=-+-=，得1x =，即1x =为函数的极值点，故()10f =，则1220a -+=，12a =，故选C ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（13）【2017年全国Ⅲ，文13，5分】已知向量()2,3a =-，()3,b m =，且a b ⊥，则m =______． 【答案】2【解析】因为a b ⊥0a b ∴⋅=，得630m -+=，2m ∴=．（14）【2017年全国Ⅲ，文14，5分】双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =，则a =__ ____． 【答案】5【解析】渐近线方程为by x a=±，由题知3b =，所以5a =．（15）【2017年全国Ⅲ，文15，5分】ABC ∆内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知3,6,600===c b C ，则=A _______． 【答案】075【解析】根据正弦定理有：3sin 60=sin B ∴，又b c > 045=∴B 075=∴A ． （16）【2017年全国Ⅲ，文16，5分】设函数1,0,()2,0,xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_______．【答案】1(,)4-+∞【解析】由题意得：当12x >时12221x x-+> 恒成立，即12x >；当102x <≤时12112x x +-+> 恒成立，即102x <≤；当0x ≤时1111124x x x ++-+>⇒>-，即104x -<≤；综上x 的取值范围是1(,)4-+∞． 三、解答题：共70分。