高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二1绝对值三角不等式同步配套教学案新人教A版选修4_5

1．绝对值三角不等式对应学生用书P11绝对值三角不等式(1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．几何解释：用向量a ，b 分别替换a ，b .①当a 与b 不共线时，有|a ＋b|<|a |＋|b |，其几何意义为：三角形的两边之和大于第三边． ②若a ，b 共线，当a 与b 同向时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，当a 与b 反向时，|a ＋b |<|a |＋|b |. 由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式．③定理1的推广：如果a ，b 是实数，则||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.(2)定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |.当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．几何解释：在数轴上，a ，b ，c 所对应的点分别为A ，B ，C ，当点B 在点A ，C 之间时，|a －c |＝|a －b |＋|b －c |.当点B 不在点A ，C 之间时：①点B 在A 或C 上时，|a －c |＝|a －b |＋|b －c |；②点B 不在A ，C 上时，|a －c |<|a －b |＋|b －c |.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．对应学生用书P11[例1] 已知|A －a |<3，|B －b |<3，|C －c |<3. 求证：|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|<s .[思路点拨] 原式――→变形 重新分组――→定理 转化为|A －a |＋|B －b |＋|C －c |―→得出结论 [证明] |(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|＝|(A －a )＋(B －b )＋(C －c )|≤|(A －a )＋(B －b )|＋|C －c |≤|A －a |＋|B －b |＋|C －c |.因为|A －a |<s 3，|B －b |<s 3，|C －c |<s 3， 所以|A －a |＋|B －b |＋|C －c |<s 3＋s 3＋s3＝s .含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式||a |－|b |||a ±b |≤|a |＋|b |，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．1．已知|x |＜a ，|y |＜b ，则下列不等式中一定成立的是( )A ．|x ＋y |＜a ＋bB ．|x －y |＜a －bC ．|x |＋|y |≤a ＋bD ．|x |－|y |≤a －b解析：|x ＋y |≤|x |＋|y |＜a ＋b .答案：A2．设ε>0，|x －a |<ε4，|y －a |<ε6.求证：|2x ＋3y －2a －3b |<ε.证明：|2x ＋3y －2a －3b |＝|2(x －a )＋3(y －b )|≤|2(x －a )|＋|3(y －b )|＝2|x －a |＋3|y －b |<2×ε4＋3×ε6＝ε.[例2] (1)求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值．(2)如果关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|＜a 的解集为空集，求参数a 的取值范围．[思路点拨] 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解．[解] (1)法一：||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4，∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.法二：把函数看作分段函数．y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，x <－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x >3.∴－4≤y ≤4.。

1.2.1 绝对值三角不等式课堂探究1．对绝对值三角不等式的理解剖析：绝对值三角不等式实质是两个实数的和差的绝对值与绝对值的和差的关系，我们可以类比得到另外一种形式：|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |.和差的绝对值与绝对值的和差的关系是由ab ＞0，ab ＜0，ab ＝0三种情况来确定的，其本质是叙述两个实数符号的各种情形下得到的结果，即这个定理本身就是一个分类讨论问题．“数”分正、负、零等不同情况讨论，往往在所难免，因此，对绝对值的认识要有分类讨论的习惯．2．对绝对值三角不等式几何意义的理解剖析：用向量a ，b 替换实数a ，b 时，问题就从一维扩展到二维，当向量a ，b 不共线时，a ＋b ，a ，b 构成三角形，有|a ＋b|＜|a|＋|b|.当向量a ，b 共线时，a ，b 同向(相当于ab ≥0)时，|a ＋b|＝|a|＋|b|；a ，b 异向(相当于ab ＜0)时，|a ＋b|＜|a|＋|b|，这些都是利用了三角形的性质定理，如两边之和大于第三边等，这样处理，可以形象地描绘绝对值三角不等式，更易于记忆定理，并应用定理解题．绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式，但放缩的“尺度”还要仔细把握，如下面的式子：|a |－|b |≤||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.我们较为常用的形式是|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，但有些学生就会误认为只能如此，而实质上，|a ＋b |是不小于||a |－|b ||的．题型一 绝对值三角不等式的性质【例1】若x ＜5，n ∈N ，则下列不等式：①⎪⎪⎪⎪⎪⎪x lg n n ＋1＜5⎪⎪⎪⎪⎪⎪lg n n ＋1； ②|x |lgn n ＋1＜5lg n n ＋1； ③x lg n n ＋1＜5⎪⎪⎪⎪⎪⎪lg n n ＋1； ④|x |lg n n ＋1＜5⎪⎪⎪⎪⎪⎪lg n n ＋1. 其中，能够成立的有______．解析：∵0＜n n ＋1＜1，∴lg nn ＋1＜0.由x ＜5，并不能确定|x |与5的关系，∴①②可能不成立；当x ＝－6时，可知③不成立；由|x |lg n n ＋1＜0,5⎪⎪⎪⎪⎪⎪lg n n ＋1＞0，可知④成立． 答案：④反思 一个不等式成立与否，取决于影响不等号的因素，如一个数的正、负、零等，数(或式子)的积、平方、取倒数等都会对不等号产生影响，注意考查这些因素在不等式中的作用，对于一个不等式是否成立也就比较好判断了.题型二 用绝对值三角不等式的性质证明不等式【例2】设m 等于|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |＞m 时，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2＜2.分析：本题的关键是对题设条件的理解和运用．|a |，|b |和1这三个数中哪一个最大？如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息：m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1.证明：∵|x |＞m ≥|a |，|x |＞m ≥|b |，|x |＞m ≥1，∴|x |2＞|b |， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b x 2＝|a ||x |＋|b ||x |2＜|x ||x |＋|x |2|x |2＝2.∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋bx 2＜2. 故原不等式成立．反思 分析题目时，题目中的语言文字是我们解题信息的重要来源与依据，而解题时的数学符号语言也往往需要从文字语言“翻译”转化而来，那么准确理解题目中的文字语言，适时准确地进行转化也就成了解题的关键，如本题中题设条件中的文字语言“m 等于|a |，|b |和1中最大的一个”转化为符号语言“m ≥|a |，|m |≥|b |，m ≥1”是证明本题的关键.题型三 绝对值三角不等式的综合应用 【例3】已知函数f (x )＝lg x 2－x ＋1x 2＋1. (1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并给出证明．(2)若t ∈R ，求证：lg 710≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16≤lg 1310. 分析：(1)借助定义判别f (x )的单调性；(2)利用绝对值三角不等式解决．解：(1)f (x )在[－1,1]上是减函数．证明：令u ＝x 2－x ＋1x 2＋1＝1－x x 2＋1. 取－1≤x 1＜x 2≤1.则u 1－u 2＝(x 2－x 1)(1－x 1x 2)(x 21＋1)(x 22＋1)， ∵|x 1|≤1，|x 2|≤1，x 1＜x 2，∴u 1－u 2＞0，即u 1＞u 2.又在[－1,1]上u ＞0，故lg u 1＞lg u 2，得f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在[－1,1]上是减函数．(2)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16 ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫t －16－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋16＝13， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16 ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －16＝13， ∴－13≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16≤13. 由(1)的结论，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13. 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝lg 710，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝lg 1310， ∴lg 710≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16≤lg 1310. 此类题目综合性强，不仅用到绝对值不等式的性质、推论及已知条件，还要用到配方等 等价变形．在应用绝对值不等式放缩性质求最值时要注意等号成立的条件，这也是关键精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

二 绝对值不等式2.绝对值不等式的解法1．掌握绝对值不等式的几种解法，并解决绝对值不等式求解问题． 2．了解绝对值不等式的几何解法．1．含有绝对值的不等式的解法(同解性) (1)|x |＜a⎩⎪⎨⎪⎧，a >0， ，a ≤0.(2)|x |＞a ⎩⎪⎨⎪⎧，a >0， ，a ＝0，，a <0.对于不等式|x |＜a (a ＞0)，由绝对值的几何定义知，它表示数轴上到原点的距离小于a 的点的集合．如图：【做一做1】 若集合M ＝{x ||x |≤2}，N ＝{x |x 2－3x ＝0}，则M ∩N ＝( ) A ．{3} B ．{0} C ．{0,2} D ．{0,3} 2．|ax ＋b |≤c (c ＞0)，|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法(1)|ax ＋b |≤c (c ＞0)型不等式的解法是：先化为不等式组__________，再利用不等式的性质求出原不等式的解集．(2)|ax ＋b |≥c (c ＞0)的解法是：先化为________或__________，再进一步利用不等式的性质求出原不等式的解集．【做一做2－1】 若条件p ：|x ＋1|≤4，条件q ：x 2＜5x －6，则p 是q 的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【做一做2－2】 |2x ＋1|＞|5－x |的解集是__________． 3．|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法 有三种不同的解法：解法一可以利用绝对值不等式的________．解法二利用分类讨论的思想，以绝对值的“______”为分界点，将数轴分成几个区间，然后确定各个绝对值中的多项式的______，进而去掉__________．解法三可以通过________，利用__________，得到不等式的解集．|x －a |＋|x －b |≥c 或|x －a |＋|x －b |≤c 型的不等式的三种解法可简述为：①几何意义；②根分区间法；③构造函数法．【做一做3】 不等式|x －1|＋|x －2|＜2的解集是__________．答案：1．(1)－a ＜x ＜a 无解 (2)x ＞a 或x ＜－a x ≠0 x ∈R【做一做1】 B 方法一：由代入选项验证可排除选项A 、C 、D ，故选B. 方法二：M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{0,3}， ∴M ∩N ＝{0}．2．(1)－c ≤ax ＋b ≤c (2)ax ＋b ≥c ax ＋b ≤－c【做一做2－1】 A ∵由p ：|x ＋1|≤4，得－4≤x ＋1≤4，即－5≤x ≤3，又q ：2＜x ＜3，∴p 为x ＞3或x ＜－5，q 为x ≥3或x ≤2.∴p q ，而q p ，∴p 是q 的必要不充分条件．【做一做2－2】 (－∞，－6)∪(43，＋∞)∵|2x ＋1|＞|5－x |，∴(2x ＋1)2＞(5－x )2.∴3x 2＋14x －24＞0. ∴x ＜－6或x ＞43.3．几何意义零点 符号 绝对值符号 构造函数 函数的图象【做一做3】 (12，52) 当x ≤1时，1－x ＋2－x ＜2，即2x ＞1，∴12＜x ≤1；当1＜x＜2时，x －1＋2－x ＜2恒成立，即1＜x ＜2；当x ≥2时，x －1＋x －2＜2，即2x ＜5，∴2≤x ＜52.综上，12＜x ＜52.1．用分段讨论法解含绝对值的不等式 剖析：用分段讨论法解含绝对值的不等式时，先求出使每一个绝对值符号内的数学式子等于零的未知数的值(称为零点)，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的式子在每一个区间上的符号，去掉绝对值符号，使之转化为不含绝对值的不等式去解，求解过程中不要丢掉对区间端点的讨论，以免漏解．在分段讨论过程中，每一段的讨论都有一个“x ”的范围(或值)作为本段讨论的前提，这与解含参数的不等式有些类似，但本质上又不同，每一段的讨论结果，都是“x ”的前提范围与本段含绝对值不等式去掉绝对值号的不等式解集的交集，而最后的不等式的解集应是每一段结果的并集．解含参数的不等式讨论时，每一步的前提条件是参数所取的范围(或值)，每一步间的结果各自独立，不存在“交、并”集的说法，因此最后的结果也必须在参数的不同限制范围下叙述结论．所以解含绝对值不等式与解含参数不等式，虽然用的都是分段讨论法，但实质上是不同的．这就要求准确理解和把握各自不同的解题思路及解题过程，以免出错．2．几个特殊的含绝对值的不等式的区别剖析：(1)|x －4|－|x －3|＞a 有解，则a 的取值范围是______；(2)|x －4|－|x －3|＞a 的解集为R ，则a 的取值范围是______； (3)|x －4|＋|x －3|＜a 的解集为，则a 的取值范围是______； (4)|x －4|＋|x －3|＞a 的解集为R ，则a 的取值范围是______．处理以上这种问题，我们可以与函数y ＝|x －4|－|x －3|，y ＝|x －4|＋|x －3|的最值(值域)等联系起来，第一个函数的值域为[－1,1]，而第二个函数的最小值为1，即|x －4|＋|x －3|≥1，所以(1)|x －4|－|x －3|＞a 有解，只需a ＜1；|x －4|－|x －3|＞a 的解集是R ，则说明是恒成立问题，所以a ＜[|x －4|－|x －3|]min ＝－1，即a ＜－1；|x －4|＋|x －3|＜a 的解集为，说明a ≤[|x －4|＋|x －3|]min ＝1，所以a ≤1；|x －4|＋|x －3|＞a 的解集为R ，说明a ＜[|x －4|＋|x －3|]min ＝1.以上这几种不等式问题，实质是与两种函数的值域或最值相联系的问题，当然也可以借助函数的图象，用数形结合来解得a 的范围．而理解这几种表述方式对掌握本节知识有很好的帮助．题型一 解|ax ＋b |≥c (c ＞0)和|ax ＋b |≤c (c ＞0)型的不等式 【例1】 不等式|3x －2|＞4的解集是( ) A ．{x |x ＞2}B ．{x |x ＜－23}C ．{x |x ＜－23或x ＞2}D ．{x |－23＜x ＜2}【例2】 不等式|5x －x 2|＜6的解集为( )A ．{x |x ＜2或x ＞3}B ．{x |－1＜x ＜2或3＜x ＜6}C ．{x |－1＜x ＜6}D ．{x |2＜x ＜3}反思：形如|f (x )|＜a ，|f (x )|＞a (a ∈R )型不等式的简单解法是等价命题法，即①当a ＞0时，|f (x )|＜a －a ＜f (x )＜a .|f (x )|＞a f (x )＞a 或f (x )＜－a . ②当a ＝0时，|f (x )|＜a 无解． |f (x )|＞a |f (x )|≠0.③当a ＜0时，|f (x )|＜a 无解． |f (x )|＞a f (x )有意义．题型二 解|f (x )|＞g (x )型的不等式【例3】 解不等式|x －x 2－2|＞x 2－3x －4.反思：本题形如|f (x )|＞g (x )，我们可以借助形如|ax ＋b |＞c 的解法转化为f (x )＜－g (x )或f (x )＞g (x )，当然|f (x )|＜g (x )－g (x )＜f (x )＜g (x )．而如果f (x )的正负能确定的话，也可以直接去掉绝对值再解不等式．题型三 解|x ＋a |＋|x ＋b |≥c (c ＞0)型的不等式 【例4】 解不等式|x ＋1|＋|x －1|≥3.分析：本题可以用分段讨论法或数形结合法求解，对于形如|x ＋a |＋|x ＋b |的代数式，可以认为是分段函数．反思：|x －a |＋|x －b |≥c 、|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．①分区间讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解，即|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧xx ≥0－xx ＜0，也即x 为非负数时，|x |为x ；x 为负数时，|x |为－x ，即x 的相反数．②|x －a |＋|x －b |≥c 、|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的图象解法和画出函数f (x )＝|x －a |＋|x －b |－c 的图象是密切相关的，其图象是折线，正确地画出其图象的关键是写出f (x )的分段表达式．不妨设a ＜b ，于是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋b －c x ≤a b －a －c a ＜x ＜b2x －a －b －c x ≥b.这种图象法的关键是合理构造函数，正确画出函数的图象，求出函数的零点，体现了函数与方程结合、数形结合的思想．③几何解法的关键是理解绝对值的几何意义． 题型四 含有参数的绝对值不等式的解法【例5】 (2010福建高考，理21选做3)已知函数f (x )＝|x －a |. (1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值； (2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 反思：含有参数的不等式的求解问题分两类，一类要对参数进行讨论，另一类如本例，对参数a 并没有进行讨论，而是去绝对值时对变量进行讨论，得到两个不等式组，最后把两不等式组的解集合并，即得该不等式的解集．答案：【例1】 C 可以利用|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法进行等价转化，或者利用数形结合法．方法一：由|3x －2|＞4， 得3x －2＜－4或3x －2＞4.即x ＜－23或x ＞2.所以原不等式的解集为{x |x ＜－23或x ＞2}．方法二：(数形结合法)画出函数y ＝|3x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2，x ≥23，2－3x ， x <23的图象，如下图所示：由|3x －2|＝4，解得x ＝2或x ＝－23.在同一坐标系中画出直线y ＝4，所以交点坐标为(2,4)与(－23，4)．所以|3x －2|＞4时，x ＜－23或x ＞2.所以原不等式的解集为{x |x ＜－23或x ＞2}．【例2】 B 可以利用|x |＜a (a ＞0)的结论进行转化，然后解一元二次不等式，取交集可得结果，本题还可以用数形结合法求结果．方法一：由|5x －x 2|＜6，得|x 2－5x |＜6.∴－6＜x 2－5x ＜6.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0x 2－5x －6<0⎩⎪⎨⎪⎧x －2x －3>0x －6x ＋1<0⎩⎪⎨⎪⎧x <2或x >3，－1<x <6.∴－1＜x ＜2或3＜x ＜6.∴原不等式的解集为{x |－1＜x ＜2或3＜x ＜6}．方法二：作函数y ＝x 2－5x 的图象，如下图所示．|x 2－5x |＜6表示函数图象中直线y ＝－6和直线y ＝6之间相应部分的自变量的集合．解方程x 2－5x ＝6，得x 1＝－1，x 2＝6.解方程x 2－5x ＝－6，得x 1′＝2，x 2′＝3.即得到不等式的解集是{x |－1＜x ＜2或3＜x ＜6}．【例3】 解：∵|x －x 2－2|＝|x 2－x ＋2|，而x 2－x ＋2＝(x －12)2＋74＞0，∴|x －x 2－2|＝|x 2－x ＋2|＝x 2－x ＋2， 故原不等式等价于x 2－x ＋2＞x 2－3x －4. ∴x ＞－3.∴原不等式的解集为{x |x ＞－3}．【例4】 解法一：如下图，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点间的距离为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A 点左侧有一点A 1到A ，B 两点的距离和为3，A 1对应数轴上的x .所以－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32.同理设B 点右侧有一点B 1到A ，B 两点的距离和为3，B 1对应数轴上的x ， 所以x －1＋x －(－1)＝3.所以x ＝32.从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都小于3；点A 1的左侧或点B 1的右侧的任何点到A ，B 的距离之和都大于3，所以原不等式的解集是(－∞，－32]∪[32，＋∞)．解法二：当x ≤－1时，原不等式可以化为－(x ＋1)－(x －1)≥3， 解得x ≤－32.当－1＜x ＜1时，原不等式可以化为x ＋1－(x －1)≥3，即2≥3.不成立，无解． 当x ≥1时，原不等式可以化为x ＋1＋x －1≥3.所以x ≥32.综上，可知原不等式的解集为(－∞，－32]∪[32，＋∞)．解法三：将原不等式转化为|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.构造函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|－3，即 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －3， x ≤－1，－1， －1<x <1，2x －3， x ≥1.作出函数的图象(如图)．函数的零点是－32，32.从图象可知，当x ≤－32或x ≥32时，y ≥0，即|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.所以原不等式的解集为(－∞，－32]∪[32，＋∞)．【例5】 解：(1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.所以实数a 的值为2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.所以当x ＜－3时，g (x )＞5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x ＞2时，g (x )＞5.综上可得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立， 则m 的取值范围为(－∞，5]．1．不等式|1||1|x x +-＜1的解集为( )A ．{x |0＜x ＜1}∪{x |x ＞1}B ．{x |0＜x ＜1}C ．{x |－1＜x ＜0}D ．{x |x ＜0}2．|21|2|3|x x --+＞0的解集为( )A ．{x |x ＞32或x ＜12-} B ．{x |1322x -<<} C ．{x |x ＞32或x ＜12-且x ≠－3}D ．{x |x ∈R 且x ≠－3}3．不等式4＜|3x －2|＜8的解集为______．4．解不等式：|x ＋1|＋|x －1|≤1.5．(2012东北四校一模)已知关于x 的不等式|2x ＋1|－|x －1|≤log 2a (其中a ＞0)． (1)当a ＝4时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数a 的取值范围．答案：1．D 1||1x x +-＜1－1＜11x x +-＜1111111x x x x +⎧>-⎪⎪-⎨+⎪<⎪-⎩11011101x x x x x x ++-⎧>⎪⎪-⎨+-+⎪<⎪-⎩2(1)010x x x ->⎧⎨-<⎩x ＜0.2．C |21|2|3|x x --+＞0|21|230x x ->⎧⎨+≠⎩2122123x x x ->-<-⎧⎨≠-⎩或31,223.x x x ⎧><-⎪⎨⎪≠-⎩或 3．{x |2＜x ＜103或－2＜x ＜23-} 本题是由两个绝对值不等式构成的不等式组，可分别解出其解集，然后取交集即可．由4＜|3x －2|＜8，得|32|4|32|8x x ->⎧⎨-<⎩3243248328x x x -<-->⎧⎨-<-<⎩或22,3102.3x x x ⎧<->⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩或 ∴－2＜x ＜23-或2＜x ＜103. ∴原不等式的解集为{x |－2＜x ＜23-或2＜x ＜103}． 4．解：当x ≤－1时，原不等式可化为－(x ＋1)－(x －1)≤1，无解．当－1＜x ＜1时，原不等式可化为 x ＋1－(x －1)≤1， 解得2≤1，无解．当x ≥1时，原不等式可化为x ＋1＋x －1≤1，无解． 综上，可知原不等式的解集为空集．5．解：(1)令|2x ＋1|－|x －1|＝f (x )，当a ＝4时，f (x )≤2，x ＜12-时，－x －2≤2，得－4≤x ＜12-； 12-≤x ≤1时，3x ≤2，得12-≤x ≤23； x ＞1时，x ≤0，此时x 不存在．∴不等式的解集为2|43x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭. (2)∵设f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|＝12, 213, 22, 1x x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩1故f (x )∈3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，即f (x )的最小值为32-，所以f (x )≤log 2a 有解，则log 2a ≥32-， 解得a 2，即a 的取值范围是24⎫+∞⎪⎪⎣⎭.。

1．不等式的基本性质对应学生用书P11．实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小．在数轴上，右边的数总比左边的数大．(2)如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＝0，则a＝b；如果a－b＜0，则a＜b.(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号．2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即a＞b⇔b＜a.(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即a＞b，b＞c⇒a>c.(3)如果a＞b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a＞b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n≥2)．(6)如果a>b>0n∈N，n≥2)．3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得同向不等式；②c＝0时得等式；③c<0时得异向不等式．(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相加，但不可以相减；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除．(3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽条件，a>b⇒a n>b n(n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒na>nb(n＝2k＋1，k∈N＋)．(4)在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：“⇒”与“⇔”，即推出关系和等价关系，或者说“不可逆关系”与“可逆关系”．这要求必须熟记与区别不同性质的条件．如a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b，而反之不成立．对应学生用书P1[例1] 已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y ，试比较m 和n 的大小．[思路点拨] 两式作差――→变形 转化为因式乘积形式――→与0比较判断正负，得出大小 [解] m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y ＝x ＋y xy －4x ＋y ＝x ＋y 2－4xy xy x ＋y ＝x －y 2xy x ＋y ，∵x ，y 均为正数，∴x >0，y >0，xy >0，x ＋y >0，(x －y )2≥0. ∴m －n ≥0，即m ≥n .(当x ＝y 时，等号成立)．比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．1．已知a ，b ∈R ，比较a 4＋b 4与a 3b ＋ab 3的大小． 解：因为(a 4＋b 4)－(a 3b ＋ab 3) ＝a 3(a －b )＋b 3(b －a ) ＝(a －b )(a 3－b 3) ＝(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b 2≥0 (当且仅当a ＝b 时，取“＝”号) 所以a 4＋b 4≥a 3b ＋ab 3.2．在数轴的正半轴上，A 点对应的实数为6a29＋a 4，B 点对应的实数为1，试判别A 点在B 点的左边，还是在B 点的右边？解：因为6a 29＋a 4－1＝－a 2－29＋a 4≤0，所以6a29＋a4≤1.当且仅当a ＝±3时取“＝”，所以当a ≠±3时，A 点在B 点左边，当a ＝±3时，A 点与B 点重合．[例2] 已知a >b >0，c <d <0，e <0. 求证：ea －c >eb －d.[思路点拨] 可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明． [证明] 法一：ea －c －eb －d＝e b －d －a ＋ca －cb －d＝e b －a ＋c －da －cb －d，∵a >b >0，c <d <0， ∴b －a <0，c －d <0. ∴b －a ＋c －d <0. 又∵a >0，c <0，∴a －c >0. 同理b －d >0， ∴(a －c )(b －d )>0. ∵e <0，∴e b －a ＋c －d a －c b －d >0.即e a －c >eb －d.法二：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c <d <0⇒－c >－d >0a >b >0⇒⎭⎪⎬⎪⎫a －c >b －d >0⇒1a －c <1b －d e <0⇒e a －c ＞e b －d.进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．3．判断下列命题的真假，并简述理由． (1)若a >b ，c >d ，则ac >bd ； (2)若a >b >0，c >d >0，则a c >b d； (3)若a >b ，c <d ，则a －c >b －d ；(4)若a >b ，则a n＞b n，n a >nb (n ∈N 且n ≥2)．解：(1)取a ＝3，b ＝2，c ＝－2，d ＝－3，即3>2，－2>－3.此时ac ＝bd ＝－6.因此(1)为假命题．(2)因同向不等式不能相除，取a ＝6，b ＝4，c ＝3，d ＝2，此时a c ＝b d＝2.因此(2)为假命题．(3)∵c <d ，∴－c >－d ，因此(3)为真命题．(4)当a >b >0时，才能成立，取a ＝－2，b ＝－3，当n 为偶数时不成立，因此(4)为假命题．4．已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b，x >y ，求证：xx ＋a >yy ＋b.证明：因为a ，b ，x ，y 都是正数， 且1a >1b .x >y ，所以x a >y b，所以a x <b y. 故a x ＋1<b y＋1， 即x ＋a x <y ＋b y .所以x x ＋a >yy ＋b.[例3] (1)已知：－π2≤α<β≤π2，求α－β的范围．(2)已知：－1≤a ＋b ≤1,1≤a －2b ≤3，求a ＋3b 的范围． [思路点拨] 求代数式的范围应充分利用不等式的基本性质． [解] (1)∵－π2≤α<β≤π2，∴－π2≤α＜π2，－π2≤－β＜π2.且α＜β.∴－π≤α－β＜π且α－β＜0.∴－π≤α－β<0.即α－β的范围为[－π，0)． (2)设a ＋3b ＝λ1(a ＋b )＋λ2(a －2b ) ＝(λ1＋λ2)a ＋(λ1－2λ2)b . 解得λ1＝53，λ2＝－23.∴－53≤53(a ＋b )≤53，－2≤－23(a －2b )≤－23.∴－113≤a ＋3b ≤1.即a ＋3b 的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－113，1.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．5．若8＜x ＜10,2＜y ＜4，则x y的取值范围是________． 解析：∵2＜y ＜4， ∴14＜1y ＜12.又8＜x ＜10， ∴2＜x y＜5.答案：(2,5)6．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范围． 解：设2α－β＝m (α＋β)＋n (α－β)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－1.⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝32.又1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12≤12α＋β，－3≤32α－β－32， ⇒－52≤2α－β≤12.∴2α－β的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12对应学生用书P31．已知数轴上两点A ，B 对应的实数分别为x ，y ，若x <y <0，则|x |与|y |对应的点P ，Q 的位置关系是( )A ．P 在Q 的左边B ．P 在Q 的右边C ．P ，Q 两点重合D ．不能确定解析：∵x <y <0，∴|x |>|y |>0.故P 在Q 的右边． 答案：B2．下列命题中不．正确的是( ) A ．若3a >3b ，则a >b B ．若a >b ，c >d ，则a －d >b －c C ．若a >b >0，c >d >0，则a d >b cD ．若a >b >0，ac >bd ，则c >d解析：当c >0，d >0时，才有a >b >0，ac >bd ⇒c >d .答案：D3．已知a >b >c ，则下列不等式正确的是( ) A ．ac >bcB ．ac 2>bc 2C ．b (a －b )>c (a －b )D ．|ac |>|bc |解析：a >b >c ⇒a －b >0⇒(a －b )b >(a －b )c . 答案：C4．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，若ca ＋b ＜ab ＋c ＜bc ＋a，则( )A ．c ＜a ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．c ＜b ＜a解析：由c a ＋b ＜ab ＋c ＜bc ＋a，可得ca ＋b＋1＜ab ＋c＋1＜bc ＋a＋1，即a ＋b ＋c a ＋b ＜a ＋b ＋cb ＋c＜a ＋b ＋cc ＋a，又a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以a ＋b ＞b ＋c ＞c ＋a .由a ＋b ＞b ＋c 可得a ＞c ；由b ＋c ＞c ＋a 可得b ＞a ，于是有c ＜a ＜b .答案：A5．已知0＜a ＜1，则a ，1a，a 2的大小关系是________．解析：∵a －1a＝a ＋a －a＜0，∴a ＜1a.又a －a 2＝a (1－a )＞0， ∴a ＞a 2.∴a 2＜a ＜1a.答案：a 2＜a ＜1a6．给出四个条件：①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0. 能得出1a ＜1b成立的有________．解析：由1a <1b ，得1a －1b <0，b －a ab <0，故①②④可推得1a <1b成立．答案：①②④7．设x ＝a 2b 2＋5，y ＝2ab －a 2－4a ，若x >y ，则实数a ，b 应满足的条件为________． 解析：∵x >y ，∴x －y ＝a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2>0. ∴ab －1≠0或a ＋2≠0. 即ab ≠1或a ≠－2. 答案：ab ≠1或a ≠－28．若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .证明：∵b 2a ＋a 2b －a －b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝a －b2a ＋bab，(a －b )2≥0恒成立，且已知a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b >0，ab >0. ∴a －b2a ＋bab≥0.∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b .9．若f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围． 解：∵f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，f (－2)＝4a －2b ＝Af (－1)＋Bf (1)，则⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝4，B －A ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3，B ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． ∵2≤f (1)≤4,1≤f (－1)≤2， ∴3≤3f (－1)≤6， ∴5≤f (1)＋3f (－1)≤10， ∴5≤f (－2)≤10. 10．已知a >0，a ≠1. (1)比较下列各组大小．①a 2＋1与a ＋a ；②a 3＋1与a 2＋a ； ③a 5＋1与a 3＋a 2.(2)探讨在m ，n ∈N ＋条件下，am ＋n＋1与a m ＋a n的大小关系，并加以证明．解：(1)∵a>0，a≠1，∴①a2＋1－(a＋a)＝a2＋1－2a ＝(a－1)2>0.∴a2＋1>a＋a.②a3＋1－(a2＋a)＝a2(a－1)－(a－1)＝(a＋1)(a－1)2＞0，∴a3＋1>a2＋a，③a5＋1－(a3＋a2)＝a3(a2－1)－(a2－1)＝(a2－1)(a3－1)．当a>1时，a3>1，a2>1，∴(a2－1)(a3－1)>0.当0<a<1时，0<a3<1,0<a2<1，∴(a2－1)(a3－1)>0.即a5＋1>a3＋a2.(2)根据(1)可探讨，得a m＋n＋1＞a m＋a n.(证明如下) a m＋n＋1－(a m＋a n)＝a m(a n－1)＋(1－a n)＝(a m－1)(a n－1)．当a>1时，a m>1，a n>1，∴(a m－1)(a n－1)>0.当0<a<1时，0<a m<1,0<a n<1，∴(a m－1)(a n－1)>0.综上(a m－1)(a n－1)>0，即a m＋n＋1>a m＋a n.。

第一讲 不等式和绝对值不等式复习课学习目标 1.梳理本讲的重要知识要点，构建知识网络.2.进一步强化对基本不等式的理解和应用，尤其注意等号成立的条件.3.巩固对绝对值三角不等式的理解和掌握，进一步熟练绝对值三角不等式的应用.4.会解绝对值不等式．1．实数的运算性质与大小顺序的关系：a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＝b ⇔a －b ＝0，a ＜b ⇔a －b ＜0，由此可知要比较两个实数的大小，判断差的符号即可． 2．不等式的基本性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a . (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c . (3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c .(4)可乘性：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc ； 如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc .(5)乘方：如果a ＞b ＞0，那么a n ＞b n(n ∈N ，n ≥2)． (6)开方：如果a ＞b ＞0n a ＞nb n ∈N ，n ≥2)． 3．基本不等式(1)定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)． (2)定理2：如果a ，b ＞0，那么a ＋b2≥ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)．(3)引理：若a ，b ，c ∈R ＋，则a 3＋b 3＋c 3≥3abc (当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立)． (4)定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c3≥3abc (当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立)．(5)推论：若a 1，a 2，…，a n ∈R ＋，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n .当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n时，等号成立；(6)在应用基本不等式求最值时一定要注意考虑是否满足“一正，二定，三相等”的要求． 4．绝对值不等式的解法解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式，或一元二次不等式．去绝对值符号常见的方法(1)根据绝对值的定义．(2)分区间讨论(零点分段法)．(3)图象法．5．绝对值三角不等式(1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，|a－b|的几何意义表示数轴上两点间的距离．(2)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，ab≥0时等号成立)．(3)|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R，(a－b)(b－c)≥0时等号成立)．(4)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≤0，右边“＝”成立的条件是ab≥0)．(5)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≥0，右边“＝”成立的条件是ab≤0).类型一不等式的基本性质的应用例1 “a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析易得当a＞b且c＞d时，必有a＋c＞b＋d.若a＋c＞b＋d，则可能有a＞b且c＞d. 反思与感悟利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值或代数式大小的比较，常用到分类讨论的思想．跟踪训练1 如果a∈R，且a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( )A．a2＞a＞－a2＞－aB．－a＞a2＞－a2＞aC．－a＞a2＞a＞－a2D．a2＞－a＞a＞－a2答案 B解析由a2＋a＜0知，a≠0，故有a＜－a2＜0,0＜a2＜－a.故选B.类型二 基本不等式及其应用命题角度1 用基本不等式证明不等式 例2 已知a ＞b ＞c ＞d ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d. 证明 ∵a ＞b ＞c ＞d ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，c －d ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d (a －d ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d ·[(a －b )＋(b －c )＋(c －d )] ≥331a －b ·1b －c ·1c －d·33(a －b )(b －c )(c －d )＝9. ∴1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d. 反思与感悟 不等式的证明方法很多，关键是从式子的结构入手分析，运用基本不等式证明不等式时，要注意成立的条件，同时熟记一些变形形式． 跟踪训练2 设a ，b ，c 均为正数，证明：(ab ＋a ＋b ＋1)(ab ＋ac ＋bc ＋c 2)≥16abc . 证明 (ab ＋a ＋b ＋1)·(ab ＋ac ＋bc ＋c 2) ＝(b ＋1)(a ＋1)(b ＋c )(a ＋c ) ≥2b ·2a ·2bc ·2ac ＝16abc ， ∴所证不等式成立．命题角度2 求最大、最小值例3 若x ，y ，z ∈R ＋，x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为________．答案 3解析 由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z2，则y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz 4xz＝3， 当且仅当x ＝3z 时取“＝”．反思与感悟 利用基本不等式求最值问题一般有两种类型(1)和为定值时，积有最大值；(2)积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．跟踪训练3 当0＜x ＜π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2xsin2x 的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．4D ．4 3答案 C解析 f (x )＝2cos 2x ＋8sin 2x 2sin x cos x ＝cos x sin x ＋4sin xcos x.∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos x ＞0，sin x ＞0.故f (x )＝cos x sin x ＋4sin xcos x ≥2cos x sin x ·4sin xcos x＝4，当且仅当cos x ＝2sin x ＞0时，等号成立．故选C.类型三 含绝对值的不等式的解法 例4 解下列关于x 的不等式． (1)|x ＋1|＞|x －3|； (2)|x －2|－|2x ＋5|＞2x . 解 (1)方法一 |x ＋1|＞|x －3|，两边平方得(x ＋1)2＞(x －3)2，∴8x ＞8，∴x ＞1. ∴原不等式的解集为{x |x ＞1}． 方法二 分段讨论：当x ≤－1时，有－x －1＞－x ＋3，此时x ∈∅； 当－1＜x ≤3时，有x ＋1＞－x ＋3， 即x ＞1，∴此时1＜x ≤3；当x ＞3时，有x ＋1＞x －3，∴x ＞3. ∴原不等式的解集为{x |x ＞1}．(2)分段讨论：①当x ＜－52时，原不等式变形为2－x ＋2x ＋5＞2x ，解得x ＜7，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－52.②当－52≤x ≤2时，原不等式变形为2－x －2x －5＞2x ，解得x ＜－35，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－52≤x ＜－35. ③当x ＞2时，原不等式变形为x －2－2x －5＞2x ， 解得x ＜－73，∴原不等式无解．综上可知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－35. 反思与感悟 含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．这种方法通常称为零点分段法．跟踪训练4 已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝|x －2|＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|，得－2x ＋6≥4，解得x ≤1； 当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|，得2≥4，无解； 当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|，得2x －6≥4，解得x ≥5. 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，解得a ＝3.类型四 恒成立问题例5 设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －4|－a . (1)当a ＝1时，求函数f (x )的最小值；(2)若f (x )≥4a＋1对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|＋|x －4|－1≥|x ＋1＋4－x |－1＝4，∴f (x )min ＝4.(2)f (x )≥4a＋1对任意的实数x 恒成立⇔|x ＋1|＋|x －4|－1≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立⇔a ＋4a≤4.当a ＜0时，上式成立； 当a ＞0时，a ＋4a≥2a ·4a＝4，当且仅当a ＝4a，即a ＝2时上式取等号，此时a ＋4a≤4成立．综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪{2}．反思与感悟 不等式恒成立问题，通常是分离参数，将其转化为求最大、最小值问题．当然，根据题目特点，还可能用①变更主次元；②数形结合等方法．跟踪训练5 已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．解 (1)由|ax ＋1|≤3，得－4≤ax ≤2， ∵f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，∴当a ≤0时，不合题意． 又当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a，∴a ＝2.(2)令h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝|2x ＋1|－|2x ＋2|，∴h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1＜x ＜－12，－1，x ≥－12，∴|h (x )|≤1，∴k ≥1，即k 的取值范围是[1，＋∞).1．给出下列四个命题：①若a ＞b ，c ＞1，则a lg c ＞b lg c ；②若a ＞b ，c ＞0，则a lg c ＞b lg c ；③若a ＞b ，则a ·2c＞b ·2c；④若a ＜b ＜0，c ＞0，则c a ＞cb. 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 ①正确，c ＞1，lg c ＞0；②不正确，当0＜c ≤1时，lg c ≤0；③正确，2c＞0；④正确，由a ＜b ＜0，得0＞1a ＞1b ，故c a ＞cb.2．设6＜a ＜10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是( )A ．9＜c ＜30B ．0≤c ≤18C ．0≤c ≤30D ．15＜c ＜30答案 A解析 因为a 2≤b ≤2a ，所以3a2≤a ＋b ≤3a .又因为6＜a ＜10，所以3a2＞9,3a ＜30.所以9＜3a2≤a ＋b ≤3a ＜30，即9＜c ＜30.3．不等式4＜|3x －2|＜8的解集为_______________________________________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜－23或2＜x ＜103 解析 由4＜|3x －2|＜8，得⎩⎪⎨⎪⎧|3x －2|＞4，|3x －2|＜8⇒⎩⎪⎨⎪⎧3x －2＜－4或3x －2＞4，－8＜3x －2＜8⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－23或x ＞2，－2＜x ＜103.∴－2＜x ＜－23或2＜x ＜103.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜－23或2＜x ＜103. 4．解不等式3≤|x －2|＜4.解 方法一 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≥3， ①|x －2|＜4. ②由①得x －2≤－3或x －2≥3， ∴x ≤－1或x ≥5. 由②得－4＜x －2＜4， ∴－2＜x ＜6.∴原不等式的解集为{x |－2＜x ≤－1或5≤x ＜6}．方法二 3≤|x －2|＜4⇔3≤x －2＜4或－4＜x －2≤－3⇔5≤x ＜6或－2＜x ≤－1. ∴原不等式的解集为{x |－2＜x ≤－1或5≤x ＜6}．1．本讲的重点是均值不等式和绝对值不等式，要特别注意含绝对值不等式的解法． 2．重点题型有利用不等式的基本性质、均值不等式、绝对值三角不等式证明不等式或求函数最值问题；解绝对值不等式．3．重点考查利用不等式性质，均值不等式求函数的最值，含参数的绝对值不等式有解、解集是空集或恒成立问题．一、选择题1．若a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＞2b B ．－b a＞－1 C ．2a ＞2bD ．lg(a －b )＞1答案 C解析 ∵y ＝2x 是增函数，又a ＞b ，∴2a ＞2b. 2．设a ，b 为正实数，以下不等式恒成立的为( ) ①ab ＞2aba ＋b； ②a ＞|a －b |－b ； ③a 2＋b 2＞4ab －3b 2； ④ab ＋2ab＞2.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④答案 D解析 ①不恒成立，因为a ＝b 时取“＝”； ②恒成立，因为a ，b 均为正数； ④是恒成立的，因为ab ＋2ab≥22＞2.3．若a ＞b ，b ＞0，则下列与－b ＜1x＜a 等价的是( )A ．－1b ＜x ＜0或0＜x ＜1aB ．－1a＜x ＜1bC ．x ＜－1a 或x ＞1bD ．x ＜－1b或x ＞1a答案 D解析 －b ＜1x ＜a ，当x ＜0时，－bx ＞1＞ax ，解得x ＜－1b；当x ＞0时，－bx ＜1＜ax ，解得x ＞1a，故选D.4．不等式|x ＋3|－|x －3|＞3的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪32＜x ≤3 C ．{x |x ≥3} D ．{x |－3＜x ≤0}答案 A解析 ①由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－3，－(x ＋3)＋(x －3)＞3，无解；②由⎩⎪⎨⎪⎧－3＜x ＜3，x ＋3＋x －3＞3，得32＜x ＜3； ③由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x ＋3－(x －3)＞3，得x ≥3.综上，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32. 5．“a ＜4”是“对任意实数x ，|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 成立”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 ∵|2x －1|＋|2x ＋3|≥|2x －1－(2x ＋3)|＝4， ∴当a ＜4时⇒|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 成立，即充分条件成立；对任意实数x ，|2x －1|＋|2x ＋3|≥a ⇒a ≤4，不能推出a ＜4，即必要条件不成立． 二、填空题 6．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 解析 令f (x )＝xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3， ∵x >0，∴x ＋1x≥2，∴f (x )≤12＋3＝15，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，即f (x )的最大值为15. 若使不等式恒成立，只需a ≥15即可． 7．已知不等式|x ＋2|－|x |≤a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－2，＋∞)解析 ∵||x ＋2|－|x ||≤|x ＋2－x |＝2，∴2≥|x ＋2|－|x |≥－2，∵不等式|x ＋2|－|x |≤a 的解集不是空集，∴a ≥－2.8．定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．答案 2解析 因为x ⊗y ＝x 2－y 2xy ，所以(2y )⊗x ＝4y 2－x 22xy. 又x ＞0，y ＞0，故x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ≥22xy 2xy ＝2，当且仅当x ＝2y 时，等号成立． 9．不等式14(3|x |－1)≤12|x |＋3的解集为________． 答案 {x |－13≤x ≤13}解析 当x ＜0时，不等式为14(－3x －1)≤－12x ＋3， 解得－13≤x ＜0，当x ≥0时，不等式为14(3x －1)≤12x ＋3， 解得0≤x ≤13，∴不等式的解集为{x |－13≤x ≤13}．10．若f (x )＝2|x ＋1|－|x －1|且f (x )≥22，则x 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 解析 ∵f (x )＝2x 是增函数，∴f (x )≥22，即|x ＋1|－|x －1|≥32，①⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，2≥32，∴x ≥1，②⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜x ＜1，2x ≥32，∴34≤x ＜1， ③⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1，－2≤32，无解．综上x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 11．已知函数f (x )＝|x －a |，若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，则实数a 的值为________．答案 2解析 由f (x )≤3，得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2，所以实数a 的值为2.三、解答题12．已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝－3时，f (x )＝|x －3|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2＜x ＜3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3，得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2＜x ＜3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3，得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |，当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a ， 由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．13．(2017·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|.(1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2.所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ，而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54. 当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54， 故m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54. 四、探究与拓展14．已知关于x 的不等式|2x ＋1|－|x －1|≤log 2a (其中a ＞0)．(1)当a ＝4时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数a 的取值范围．解 (1)令f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|，当a ＝4时，f (x )≤2，当x ＜－12时，f (x )＝－x －2≤2，得－4≤x ＜－12； 当－12≤x ≤1时，f (x )＝3x ≤2，得－12≤x ≤23； 当x ＞1时，f (x )＝x ＋2≤2，此时x 不存在．所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －4≤x ≤23.(2)设f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －2，x ＜－12，3x ，－12≤x ≤1，x ＋2，x ＞1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞，即f (x )的最小值为－32， 若f (x )≤log 2a 有解，则log 2a ≥－32，解得a ≥24， 即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞. 15．已知不等式|2x －3|＜x 与不等式x 2－mx ＋n ＜0的解集相同．(1)求m －n ；(2)若a ，b ，c ∈(0,1)，且ab ＋bc ＋ac ＝m －n ，求a ＋b ＋c 的最小值． 解 (1)|2x －3|＜x ，即－x ＜2x －3＜x ，解得1＜x ＜3， ∴1,3是方程x 2－mx ＋n ＝0的两根，∴由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ＝3.∴m －n ＝1.(2)由(1)得ab ＋bc ＋ac ＝1，∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋a 2＋c 22＋2.∵a 2＋b 22≥ab ，b 2＋c 22≥bc ，a 2＋c 22≥ac ， ∴a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋a 2＋c 22≥ab ＋bc ＋ac ＝1. ∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋a 2＋c 22＋2≥3(当且仅当a ＝b ＝c ＝33时取等号)， ∴a ＋b ＋c 的最小值是 3.。

2．绝对值不等式的解法对应学生用书P131．|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法只需将ax ＋b 看成一个整体，即化成|x |≤a ，|x |≥a (a >0)型不等式求解．|ax ＋b |≤c (c >0)型不等式的解法：先化为－c ≤ax ＋b ≤c ，再由不等式的性质求出原不等式的解集．不等式|ax ＋b |≥c (c >0)的解法：先化为ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集．2．|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．②以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图像(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．对应学生用书P13|ax ＋b |≤c 与|ax ＋b |≥c (c >0)型的不等式的解法[例1] 解下列不等式：(1)|5x －2|≥8；(2)2≤|x －2|≤4.[思路点拨] 利用|x |>a 及|x |<a (a >0)型不等式的解法求解． [解] (1)|5x －2|≥8⇔5x －2≥8或5x －2≤－8⇔x ≥2或x ≤－65，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2或x ≤－65.(2)原不等式价于⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≥2，|x －2|≤4.由①得x －2≤－2，或x －2≥2， ∴x ≤0，或x ≥4. 由②得－4≤x －2≤4， ∴－2≤x ≤6.∴原不等式的解集为{x |－2≤x ≤0，或4≤x ≤6}．|ax ＋b |≥c 和|ax ＋b |≤c 型不等式的解法： ①当c >0时，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ， |ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c .②当c ＝0时，|ax ＋b |≥c 的解集为R ，|ax ＋b |<c 的解集为∅. ③当c <0时，|ax ＋b |≥c 的解集为R ，|ax ＋b |≤c 的解集为∅.1．解下列不等式：(1)|3－2x |<9；(2)4＜|3x －2|＜8； (3)|x 2－3x －4|>x ＋1.解：(1)∵|3－2x |<9，∴|2x －3|<9. ∴－9<2x －3<9. 即－6<2x <12. ∴－3<x <6.∴原不等式的解集为{x |－3<x <6}．(2)由4＜|3x －2|＜8，得⎩⎪⎨⎪⎧|3x －2|＞4，|3x －2|＜8⇒⎩⎪⎨⎪⎧3x －2＜－4或3x －2＞4，－8＜3x －2＜8⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－23或x ＞2，－2＜x ＜103.∴－2＜x ＜－23或2＜x ＜103.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜－23或2＜x ＜103. (3)不等式可转化为x 2－3x －4>x ＋1或x 2－3x －4<－x －1， ∴x 2－4x －5>0或x 2－2x －3<0. 解得x >5或x <－1或－1<x <3，∴不等式的解集是(5，＋∞)∪(－∞，－1)∪(－1,3)．|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法[例2] 解不等式|x ＋7|－|x －2|≤3.[思路点拨] 解该不等式，可采用三种方法：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用各绝对值的零点分段讨论；(3)构造函数，利用函数图像分析求解．解：法一：|x ＋7|－|x －2|可以看成数轴上的动点(坐标为x )到－7对应点的距离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x ＝－1.由图易知不等式|x ＋7|－|x －2|≤3的解为x ≤－1，即x ∈(－∞，－1]．法二：令x ＋7＝0，x －2＝0得x ＝－7，x ＝2. ①当x ＜－7时，不等式变为－x －7＋x －2≤3， ∴－9≤3成立，∴x ＜－7.②当－7≤x ≤2时，不等式变为x ＋7＋x －2≤3， 即2x ≤－2，∴x ≤－1，∴－7≤x ≤－1. ③当x ＞2时，不等式变为x ＋7－x ＋2≤3， 即9≤3不成立，∴x ∈∅.∴原不等式的解集为(－∞，－1]．法三：将原不等式转化为|x ＋7|－|x －2|－3≤0， 构造函数y ＝|x ＋7|－|x －2|－3，即 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12， x ＜－7，2x ＋2， －7≤x ≤2，6， x ＞2.作出函数的图像，从图可知，当x ≤－1时，有y ≤0，即|x ＋7|－|x －2|－3≤0， 所以，原不等式的解集为(－∞，－1]．|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图像法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图像法直观，但只适用于数据较简单的情况．2．解不等式|2x －1|＋|3x ＋2|≥8. 解：(1)x ≤－23时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔1－2x －(3x ＋2)≥8. ⇔－5x ≥9⇔x ≤－95，∴x ≤－95；(2)－23<x <12时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔1－2x ＋3x ＋2≥8⇔x ＋3≥8⇔x ≥5，∴x ∈∅；(3)x ≥12时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔5x ＋1≥8⇔5x ≥7⇔x ≥75，∴x ≥75.∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－95∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫75＋∞. 3．解不等式|x －1|＋|2－x |＞3＋x . 解：把原不等式变为|x －1|＋|x －2|＞3＋x ， (1)当x ≤1时，∴原不等式变为－(x －1)－(x －2)＞3＋x ，解得x ＜0； (2)当1＜x ≤2时，∴原不等式变为x －1－(x －2)＞3＋x ，解得x ∈∅； (3)当x ＞2时，∴原不等式变为x －1＋x －2＞3＋x ，解得x ＞6. 综上，原不等式解集为(－∞，0)∪(6，＋∞).含绝对值不等式的恒成立问题[例3] 已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m.(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为∅，分别求出m的范围．[思路点拨] 解答本题可以先根据绝对值|x－a|的意义或绝对值不等式的性质求出|x ＋2|－|x＋3|的最大值和最小值，再分别写出三种情况下m的范围．[解] 法一：因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.由图像知(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m<1，m的范围为(－∞，1)．(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m＜－1，m的范围为(－∞，－1)．(3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的范围为[1，＋∞)．法二：由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，则m∈(－∞，1)．(2)若不等式解集为R，则m∈(－∞，－1)．(3)若不等式解集为∅，则m∈[1，＋∞)．问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式解集为R或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，属于恒成立问题，恒成立问题f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a，f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.4．把本例中的“>”改成“<”，即|x ＋2|－|x ＋3|<m 时，分别求出m 的范围． 解：由例题知－1≤|x ＋2|－|x ＋3|≤1，所以(1)若不等式有解，m 只要比|x ＋2|－|x ＋3|的最小值大即可，即m ∈(－1，＋∞)． (2)若不等式的解集为R ，即不等式恒成立，m 只要比|x ＋2|－|x ＋3|的最大值大即可，即m ∈(1，＋∞)．(3)若不等式的解集为∅，m 只要不大于|x ＋2|－|x ＋3|的最小值即可，即m ∈(－∞，－1]．5．把本例中的“－”改成“＋”，即|x ＋2|＋|x ＋3|>m 时，分别求出m 的范围． 解：|x ＋2|＋|x ＋3|≥|(x ＋2)－(x ＋3)|＝1， 即|x ＋2|＋|x ＋3|≥1.(1)若不等式有解，m 为任何实数均可， 即m ∈R .(2)若不等式解集为R ，即m ∈(－∞，1)． (3)若不等式解集为∅，这样的m 不存在，即m ∈∅.对应学生用书P151．不等式|x ＋1|>3的解集是( ) A ．{x |x <－4或x >2} B ．{x |－4<x <2} C ．{x |x <－4或x ≥2}D ．{x |－4≤x <2}解析：|x ＋1|>3，则x ＋1>3或x ＋1<－3，因此x <－4或x >2. 答案：A2．不等式|2x －1|－2|x ＋3|＞0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32或x ＜－12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜32C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32或x ＜－12且x ≠－3D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜32 解析：原不等式⇒⎩⎪⎨⎪⎧|2x －1|＞2x ＋3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＜－2或2x －1＞2x ≠－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12或x ＞32，x ≠－3.答案：C3．不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<5的所有实数解的集合是( ) A ．(－3,2) B ．(－1,3)C ．(－4,1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，72解析：|x ＋1|＋|x ＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到－2，－1距离和为5的点是－4,1.因此|x ＋1|＋|x ＋2|<5解集是(－4,1)．答案：C4．不等式1≤|2x －1|<2的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12＜x ＜0或1≤x ≤32 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12＜x ≤0或1≤x ≤32 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x ≤0且1≤x ≤32 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x ≤0或1≤x <32 解析：1≤|2x －1|<2则1≤2x －1<2或－2<2x －1≤－1，因此－12<x ≤0或1≤x <32.答案：D5．不等式|x ＋2|≥|x |的解集是________．解析：因不等式两边是非负实数，所以不等式两边可以平方，两边平方得(x ＋2)2≥x 2，∴x 2＋4x ＋4≥x 2.即x ≥－1.∴原不等式的解集为{x |x ≥－1}． 答案：{x |x ≥－1}6．不等式|2x －1|－x <1的解集是__________． 解析：原不等式等价于|2x －1|<x ＋1⇔－x －1<2x －1<x ＋1⇔⎩⎪⎨⎪⎧3x >0，x <2⇔0<x <2.答案：{x |0<x <2}7．若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|＜a 的解集为∅，则a 的取值范围为________． 解析：法一：由|x ＋2|＋|x －1|＝|x ＋2|＋|1－x |≥|x ＋2＋1－x |＝3，知a ≤3时，原不等式无解．法二：数轴上任一点到－2与1的距离之和最小值为3.所以当a ≤3时，原不等式的解集为∅. 答案：(－∞，3]8．解不等式|3x －2|＋|x －1|＞3.解：(1)当x ≤23时，|3x －2|＋|x －1|＝1－x ＋2－3x ＝3－4x ，由3－4x ＞3得x ＜0.(2)当23＜x ＜1时，|3x －2|＋|x －1|＝3x －2＋1－x ＝2x －1，由2x －1＞3得x ＞2，∴x∈∅.(3)当x ≥1时，|3x －2|＋|x －1|＝3x －2＋x －1＝4x －3，由4x －3＞3得x ＞32，∴x ＞32. 故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜0或x ＞32. 9．已知f (x )＝|ax －2|＋|ax －a |(a ＞0)． (1)当a ＝1时，求f (x )≥x 的解集；(2)若不存在实数x ，使f (x )＜3成立，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －2|＋|x －1|≥x ，当x ≥2时，原不等式可转化为x －2＋x －1≥x ，解得x ≥3；当1＜x＜2时，原不等式可转化为2－x＋x－1≥x，解得x≤1，∴x∈∅；当x≤1时，原不等式可转化为2－x＋1－x≥x，解得x≤1.综上可得，解集为{x|x≤1或x≥3}．(2)依题意，对∀x∈R，都有f(x)≥3，则f(x)＝|ax－2|＋|ax－a|≥|(ax－2)－(ax－a)|＝|a－2|≥3，∴a－2≥3或a－2≤－3，∴a≥5或a≤－1(舍)，∴a的取值范围是[5，＋∞)．。

高中数学第一讲不等式和绝对值不等式第1节不等式创新应用教学案新人教A版选修4_5[核心必知]1．实数的大小顺序与实数的运算性质之间的关系(1)设a，b∈R，则①a＞b⇔a－b＞0；②a＝b⇔a－b＝0；③a＜b⇔a－b＜0．(2)设b∈(0，＋∞)，则①＞1⇔a＞b；②＝1⇔a＝b；③＜1⇔a＜b.2．不等式的基本性质1．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b ＞y－a，⑤＞这五个不等式中，恒成立的不等式有哪些？提示：令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题设条件x＞y，a＞b，则∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，∴a－x＝b－y，因此①不成立．又∵ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by，因此③也不正确．又∵＝＝－1，＝＝－1，∴＝，因此⑤不正确．由不等式的性质可推出②④恒成立．即恒成立的不等式有②④．2．已知三个不等式：ab＞0，bc－ad＞0，－＞0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题有几个？提示：由已知可组成三个命题．①若ab＞0，bc－ad＞0，则－＞0，此命题正确，只需在不等式bc－ad＞0两侧同除以ab，根据不等式性质，整理即得结论；②若ab＞0，－＞0，则bc－ad＞0，此命题正确，只需在不等式－＞0两侧同乘以ab，根据不等式性质，整理即得结论；③若－＞0，bc－ad＞0，则ab＞0，此命题正确，因为－＞0⇔＞0，又因为bc－ad＞0，故ab＞0．即可组成的正确命题有3个．x3－1与2x2－2x的大小．[精讲详析] 本题考查利用作差法比较两个代数式的大小．解答本题需要将作差后的代数式分解因式，然后根据各因式的符号判断x3－1与2x2－2x的大小．(x3－1)－(2x2－2x)＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)．∵x2－x＋1＝＋≥＞0，∴当x＞1时，(x－1)(x2－x＋1)＞0.即x3－1＞2x2－2x；当x＝1时，(x－1)(x2－x＋1)＝0，即x3－1＝2x2－2x；当x＜1时，(x－1)(x2－x＋1)＜0，即x3－1＜2x2－2x.(2)在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断．变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．(3)在定号中，若为几个因式的积，需每个因式均先定号，当符号不确定时，需进行分类讨论．。

1.2.2 绝对值不等式的解法课堂导学三点剖析一、绝对值不等式的典型类型和方法(一)【例1】解下列不等式:(1)1<|x+2|<5;(2)|3-x|+|x+4|>8.解析：(1)法一:原不等式||x2|1x21或x1xx 2|55x257x3.3,故原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<-3}.法二:原不等式0,x21x 2x20,或,51x 2 5x2, 1xx2,或-1<x<3或-7<x<-3.37x 3∴原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<3}.(2)法一:原不等式x4,3x x4x3,4或83x x48,x 或x 3,3x48x4,12x或8748x 3,3,x或2x 7.79∴x>或x<.229∴原不等式的解集为{x|x<或x>272}.法二:将原不等式转化为|x-3|+|x+4|-8>0, 构造函数y=|x-3|+|x+4|-8,即y=2x94, 1,4x3,2x 7,x 3.作出函数的图象如图.从图象可知当x> 温馨提示729或x<时,y>0,故原不等式的解集为{x|x>272或x<9}.21在本例中主要利用了绝对值的概念,|x|<a(或|x|>a)的解集以及数形结合的方法,这些方 法都是解绝对值不等式的典型方法. 各个击破 类题演练 1 解下列不等式:(1)| 3x x 24|≤1;(2)|x+3|-|2x-1|> x 2+1.解析:(1)原不等式2x 4 0 9x(x22229x (x4) 2x2x17x4216x2x 2 x 1或216-1≤x≤1 或 x≤-4 或 x≥4. 故原不等式的解集为{x|-1≤x≤1 或 x≤-4 或 x≥4}. (2)由 x+3=0,得 x 1=-3, 1由 2x-1=0,得 x 2= .2x①当 x<-3时,不等式化为 x-4> +1,解得 x>10,而 x<-3,故此时无解;21 x2 2②当-3≤x< 时,不等式化为 3x+2> +1,解得 x>,这时不等式的解为 <x< 2 25 51x1③当 x≥ 时,不等式化为-x+4> +1,即 x<2,这时不等式的解为 ≤x<2.22 22 综合上述,原不等式的解集为{x|<x<2}. 5变式提升 1(1)解不等式|x 2-5x+5|<1.解析:不等式可化为-1<x 2-5x+5<1,1 2;2x 即5x 5x5 51,1.2x解之,得1<x<2或3<x<4.所以原不等式的解集为{x|1<x<2或3<x<4}.(2)求使不等式|x-4|+|x-3|<a有解的a的取值范围. 解法一:将数轴分为(-∞,3),［3,4］,(4,+∞)三个区间.当x<3时,得(4-x)+(3-x)<a,x> 7a2有解条件为7a2<3,即a>1;当3≤x≤4,得(4-x)+(x-3)<a,即a>1;当x>4时,得(x-4)+(x-3)<a,则x< a272有解条件为a27>4.∴a>1.以上三种情况中任何一个均可满足题目要求,故是它们的并集,即仍为a>1.解法二:设数x、3、4在数轴上对应的点分别为P、A、B,由绝对值的几何意义,原不等式即求|PA|+|PB|<a成立.因为|AB|=1,故数轴上任一点到A、B距离之和大于(等于)1,即|x-4|+|x-3|≥1,故当a>1时,|x-4|+|x-3|<a有解.另外,本题还可利用绝对值不等式性质求函数的最值方法处理:∵|x-4|+|x-3|=|x-4|+|3-x|≥|x-4+3-x|=1,∴a的取值范围是a>1.二、绝对值不等式的典型类型和方法(二)【例2】解不等式|x2-9|≤x+3.解析：方法一:原不等式22xx990,x 32x9或x290,x3由①得x=-3或3≤x≤4,由②得2≤x<3,∴原不等式解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.方法二:原不等式x3x(x3)x9x23xx333x或2≤x≤4.4∴原不等式的解集为{x|x=-3或2≤x≤4}.温馨提示对于|f(x)|≤g(x)型的不等式,通常有两种思路,一种是利用绝对值的意义,将其转化为f(x)≥0,f f (x)(x)0,(f x)或g(x)f(x)0,g(x).)g(x0,另一种则是转化为f(x)来求.g(x)g(x)当然也可直接转化为-g(x)≤f(x)≤g(x)来解(为什么?请同学们思考). 类题演练2解不等式|2x-1|>3x.解析:①当x<0时,原不等式显然成立;②当x≥0时,两端平方,得(2x-1)2>9x2,即5x2+4x-1<0,解之,得-1<x< 1 5 ,∴0≤x<1 5 .由①②知原不等式的解集为{x|x< 变式提升215 }.(1)解不等式|x2-3x+2|>x2-3|x|+2.3解析:在同一坐标系内分别画出函数y=|x2-3x+2|和y=x2-3|x|+2=|x|2-3|x|+2的图象(如图所示).由图可知,原不等式的解集为{x|x<0或1<x<2}.(2)解不等式|x+1|(x-1)≥0.解析:1°x+1=0,适合不等式;2°x+1≠0,则|x+1|>0,故原不等式等价于x-1≥0,∴x≥1,显然x+1≠0.∴原不等式的解集为{x|x≥1或x=-1}.三、绝对值不等式的证明【例3】设f(x)=ax2+bx+c,当|x|≤1时,总有|f(x)|≤1,求证:当|x|≤2时,|f(x)|≤7.证明:由于f(x)是二次函数,|f(x)|在［-2,2］上的最大值只能是|f(2)|,|f(-2)|或b b|f()|,故只要证明|f(2)|≤7,|f(-2)|≤7;当||≤2时,有|f( 2a2a由题意有|f(0)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1.b)|≤7. 2a由fffa(0c,)(1)abb c,得(1)a b c,c1212[f(1)[f(1)f(0).f (1)2f (1)],f(0)],∴|f(2)|=|4a+2b+c|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|≤3+1+3=7, |f(-2)|=|4a-2b+c|=|f(1)+3f(-1)-3f(0)|≤|f(1)|+3|f(-1)|+3|f(0)|≤1+3+3=7.∵|b|=12|f(1)-f(-1)|≤12(|f(1)|+|f(-1)|)≤12(1+1)=1,∴当|b|≤2时,|f(2a b)|=|2a4acb24a|=|cb2|=|c4ab·2ab2|≤|c|+|b2a|·|b|21+2×12=2<7.因此当|x|≤2时,|f(x)|≤7.类题演练3已知f(x)=x2+ax+b(x、a、b∈R,a、b是常数),求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不1小于.211证明:假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|全都小于,即有|f(1)|< ,|f(2)|<22111于是|f(1)+f(3)-2f(2)|≤|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|<+ +2×=2.22212,|f(3)|<12.4又f(1)+f(3)-2f(2)=2,二者产生矛盾,故|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于变式提升312. 已知函数f(x)=ax+b,满足|x|≤1,a2+b2=1,求证:|f(x)|≤2.证法一:|f(x)|≤22≤f(x)≤2f(x)min≥2且f(x)max≤2.若a>0,则f(x)max=f(1)=a+b≤2(a2b2)2,f(x)min=f(-1)=-a+b≥2[(a2)b2]2.若a=0,则f(x)=b且b2=1,∴|f(x)|≤2.若a<0,则f(x)max=f(-1)=-a+b≤2(a2b2)2,f(x)min=f(1)=a+b≥2(a2b2)2.综上,知不等式成立.证法二:|f(x)|2-( 2)2=(ax+b)2-2(a2+b2)=a2x2+b2+2abx-2(a2+b2)≤a2+b2+2abx-2(a2+b2)=2abx-a2-b2≤2abx-a2x2-b2=-(ax-b)2≤0,∴|f(x)|≤2.5。

第一课时 绝对值三角不等式[基础达标]1.若实数a ，b ，c 满足|a －c |＜|b |，则下列不等式中成立的是 A.|a |＞|b |－|c |B.|a |＜|b |＋|c |C.a ＞c －bD.a ＜b ＋a解析 由|a |－|c |≤|a －c |＜|b |知|a |－|c |＜|b |， 即|a |＜|b |＋|c |. 答案B2.已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |，则m ，n 之间的大小关系是A.m >nB.m <nC.m ＝nD.m ≤n解析 由绝对值不等式的性质，知 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |. ∴|a |－|b ||a －b |≤1≤|a |＋|b ||a ＋b |.∴m ≤n .答案D3.已知a 和b 是任意非零实数，则|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为________.解析|2a ＋b |＋|2a －b ||a |≥|2a ＋b ＋2a －b ||a |＝4.答案 44.若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值X 围是________. 解析 利用绝对值不等式的性质求解.∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|， 要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4. 答案 －2≤a ≤45.已知|A －a |<s 3，|B －b |<s 3，|C －c |＝s3，求证|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|<s .证明 ∵|A －a |<s 3，|B －b |<s 3，|C －c |<s3， ∴|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|＝|(A －a )＋(B －b )＋(C －c )|≤|A －a |＋|B －b |＋|C －c |<s 3＋s 3＋s3＝s .∴|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|<s .[能力提升]1.对于|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，下列结论正确的是 A.当a 、b 异号时，左边等号成立 B.当a 、b 同号时，右边等号成立 C.当a ＋b ＝0时，两边等号均成立D.当a ＋b ＞0时，右边等号成立；当a ＋b ＜0时，左边等号成立 答案B2.若对任意实数x ，不等式|x ＋1|－|x －2|>a 恒成立，则a 的取值X 围是 A.(－∞，3)B.(－∞，3]C.(－∞，－3)D.(－∞，－3]解析 恒成立问题，往往转化为求最值问题，本题中a <|x ＋1|－|x －2|对任意实数恒成立，即a <[|x ＋1|－|x －2|]min ，也就转化为求函数y ＝|x ＋1|－|x －2|的最小值问题.∵||x ＋1|－|x －2||≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3， ∴－3≤|x ＋1|－|x －2|≤3.∴[|x ＋1|－|x －2|]min ＝－3，∴a <－3. 答案C3.函数y ＝|x ＋1|＋|2－x |的最小值是 A.3B.2C.1D.0解析 ∵y ＝|x ＋1|＋|2－x |≥|(x ＋1)＋(2－x )|＝3，∴y min ＝3. 答案A4.若1＜1a ＜1b，则下列结论中不正确的是A.log a b ＞log b aB.|log a b ＋log b a |＞2C.(log b a )2＜1D.|log a b |＋|log b a |＞|log a b ＋log b a |答案D5.正数a 、b 、c 、d 满足a ＋d ＝b ＋c ，|a －d |<|b －c |，则 A.ad ＝bcB.ad <bcC.ad >bcD.ad 与bc 大小不定答案C6.若关于x 的不等式|x |＋|x －1|<a (a ∈R)的解集为∅，则a 的取值X 围是 A.[－1，1]B.(－1，1)C.(－∞，1]D.(－∞，1)解析 ∵|x |＋|x －1|≥|x －(x －1)|＝1，∴若关于x 的不等式|x |＋|x －1|的解集为∅，则a 的取值X 围是a ≤1.答案C7.设x 1、x 2是函数f (x )＝2 011x定义域内的两个变量，且x 1＜x 2，若α＝12(x 1＋x 2)，那么下列不等式恒成立的是A.|f (α)－f (x 1)|＞|f (x 2)－f (α)|B.|f (α)－f (x 1)|＜|f (x 2)－f (α)|C.|f (α)－f (x 1)|＝|f (x 2)－f (α)|D.f (x 1)f (x 2)＞f 2(α) 答案B8.对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________. 解析解法一 |x －1|≤1⇒0≤x ≤2，|y －2|≤1⇒1≤y ≤3，可得可行域如图(阴影部分).∵|x －2y ＋1|＝5·|x －2y ＋1|5.其中z ＝|x －2y ＋1|5为点(x ，y )到直线x －2y ＋1＝0的距离.当(x ，y )为(0，3)时z 取得最大值|0－2×3＋1|5＝55.故|x －2y ＋1|max ＝5.解法二 |x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －2)－2|≤|x －1|＋2|y －2|＋2≤1＋2＋2＝5，当且仅当x ＝0，y ＝3时，|x －2y ＋1|取最大值为5.答案 59.已知|a ＋b |＜－c (a 、b 、c ∈R)，给出下列不等式： ①a ＜－b －c ；②a ＞－b ＋c ；③a ＜b －c ；④|a |＜|b |－c ； ⑤|a |＜－|b |－c .其中一定成立的不等式是________(注：把成立的不等式的序号都填上). 答案 ①②④10.对于任意实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |(|x －1|＋|x －2|)恒成立，试某某数x 的取值X 围.解析 由题知，|x －1|＋|x －2|≤|a ＋b |＋|a －b ||a |恒成立，则|x －1|＋|x －2|小于或等于|a ＋b |＋|a －b ||a |的最小值，∵|a ＋b |＋|a －b |≥|a ＋b ＋a －b |＝2|a |， 当且仅当(a ＋b )(a －b )≥0时取等号， ∴|a ＋b |＋|a －b ||a |的最小值等于2，∴x 的X 围即为不等式|x －1|＋|x －2|≤2的解.∵|x －1|＋|x －2|表示数轴上的x 对应点到1和2对应点的距离之和，又数轴上的12，52对应点到1和2对应点的距离之和等于2，∴不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，52. 11.已知f (x )＝x 2－x ＋c 定义在区间[0，1]上，x 1，x 2∈[0，1]，且x 1≠x 2，求证： (1)f (0)＝f (1)；(2)|f (x 2)－f (x 1)|＜|x 1－x 2|. 证明 (1)f (0)＝c ，f (1)＝c ， 故f (0)＝f (1). (2)|f (x 2)－f (x 1)| ＝|x 22－x 2＋c －x 21＋x 1－c |＝|x 2－x 1||x 2＋x 1－1|，∵0≤x 1≤1，0≤x 2≤1，0＜x 1＋x 2＜2(x 1≠x 2)， ∴－1＜x 1＋x 2－1＜1， ∴|x 2＋x 1－1|＜1，∴|f (x 2)－f (x 1)|＜|x 1－x 2|.12.设x 、y ∈R，求证：|2x－x |＋|2y－y |＋|x ＋y |≥2x ＋y2＋1.证明 由绝对值不等式的性质得： |2x－x |＋|2y－y |≥|2x＋2y －(x ＋y )| ≥|2x＋2y|－|x ＋y |， ∴|2x－x |＋|2y－y |＋|x ＋y | ≥|2x＋2y|＝2x＋2y. 又∵2x＋2y≥22x·2y＝2x ＋y2＋1，∴|2x－x |＋|2y－y |＋|x ＋y |≥2x ＋y2＋1.。

二绝对值不等式1．绝对值三角不等式学习目标：1.理解绝对值的几何意义，能利用绝对值的几何意义证明绝对值不等式的性质定理．(重点)2.会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式，会求简单绝对值不等式的最值．(难点、易错易混点)教材整理1 绝对值的几何意义阅读教材P11～P11“思考”以上部分，完成下列问题．1．实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离．2．对于任意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点分别为A，B，那么|a－b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离，即线段AB的长度．教材整理2 绝对值三角不等式阅读教材P11～P14“定理2”以上部分，完成下列问题．1．定理1 如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．在定理1中，实数a，b替换为向量a，b，当向量a，b不共线时，有向量形式的不等式|a＋b|<|a|＋|b|，它的几何意义是三角形的两边之和大于第三边．对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是( )A．当a，b异号时，左边等号成立B．当a，b同号时，右边等号成立C．当a＋b＝0时，两边等号均成立D．当a＋b＞0时，右边等号成立；当a＋b＜0时，左边等号成立B[当a，b异号且|a|＞|b|时左边等号才成立，A不正确；显然B正确；当a＋b＝0时，右边等号不成立，C不正确；D显然不正确．]教材整理3 三个实数的绝对值不等式阅读教材P14～P15“2.绝对值不等式的解法”以上部分，完成下列问题．定理2 如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．设|a|＜1，|b|＜1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是( )A．|a＋b|＋|a－b|＞2B．|a＋b|＋|a－b|＜2C ．|a ＋b |＋|a －b |＝2D ．不可能比较大小B [当(a ＋b )(a －b )≥0时，|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |＜2； 当(a ＋b )(a －b )＜0时，|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )－(a －b )|＝2|b |＜2.]运用绝对值不等式求最值与范围【例1】 对任意x ∈R ，求使不等式|x ＋1|＋|x ＋2|≥m 恒成立的m 的取值范围． [精彩点拨] 令t ＝|x ＋1|＋|x ＋2|，只需m ≤t min . [自主解答] 法一 对x ∈R ，|x ＋1|＋|x ＋2| ≥|(x ＋1)－(x ＋2)|＝1， 当且仅当(x ＋1)(x ＋2)≤0时， 即－2≤x ≤－1时取等号．∴t ＝|x ＋1|＋|x ＋2|的最小值为1，故m ≤1. ∴实数m 的取值范围是(－∞，1]． 法二 t ＝|x ＋1|＋|x ＋2| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(2x ＋3) ， x <－2，1， －2≤x ≤－1，2x ＋3， x >－1.∴t ≥1，则t ＝|x ＋1|＋|x ＋2|的最小值为1，故m ≤1. 因此实数m 的取值范围是(－∞，1]．1．本题也可利用绝对值的几何意义求解．2．对于含有两个绝对值及以上的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质求函数最值．1．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6，得－1≤x ≤3. 所以f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ， 当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.①当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解． 当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞)．含绝对值不等式的证明【例2】 设m 等于|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |>m 时，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋bx2<2. [精彩点拨] 不管|a |，|b |,1的大小，总有m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1，然后利用绝对值不等式的性质证明．[自主解答] 依题意m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1. 又|x |>m ，∴|x |>|a |，|x |>|b |，|x |>1，从而|x |2>|b |.因此⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b x 2＝|a ||x |＋|b ||x 2|<|x ||x |＋|x |2|x 2|＝2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2<2.1．将文字语言“m 等于|a |，|b |,1中最大的一个”转化为符号语言“m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1”是证明本题的关键．2．运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意放缩的方向和“尺度”，切忌放缩过度．2．若f (x )＝x 2－x ＋c (c 为常数)，且|x －a |<1，求证：|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)． [证明] |f (x )－f (a )| ＝|(x 2－x ＋c )－(a 2－a ＋c )|＝|x 2－x －a 2＋a |＝|(x －a )(x ＋a －1)| ＝|x －a |·|x ＋a －1|<|x ＋a －1| ＝|(x －a )＋(2a －1)|≤|x －a |＋|2a －1|. 又|x －a |<1，∴|f (x )－f (a )| <|x －a |＋|2a －1| ≤|x －a |＋|2a |＋1<1＋2|a |＋1 ＝2(|a |＋1)．绝对值不等式的理解与应用[探究问题]1．不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中“＝”成立的条件是怎样的？[提示] 不等式|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |右侧“＝”成立的条件是ab ≥0，左侧“＝”成立的条件是ab ≤0且|a |≥|b |；不等式|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |右侧“＝”成立的条件是ab ≤0，左侧“＝”成立的条件是ab ≥0且|a |≥|b |.2．你能给出定理2的几何解释吗？[提示] 在数轴上，a ，b ，c 的对应的点分别为A ，B ，C .当点B 在点A ，C 之间时，|a －c |＝|a －b |＋|b －c |；当点B 不在点A ，C 之间时，|a －c |<|a －b |＋|b －c |.【例3】 已知a ，b ∈R ，则有(1)|a |－|b ||a －b |≤1成立的充要条件是________；(2)|a |＋|b ||a ＋b |≥1成立的充要条件是________．[精彩点拨] 利用绝对值三角不等式定理分别求解．[自主解答] (1)因为|a |－|b |≤|a －b |恒成立，所以有|a －b |＞0⇔a ≠b ⇔||a |－|b |||a －b |≤1，因此|a |－|b ||a －b |≤1成立的充要条件是a ≠b .(2)因为|a |＋|b |≥|a ＋b |恒成立， 所以有|a ＋b |＞0⇔a ≠－b ⇔|a |＋|b ||a ＋b |≥1.因此|a |＋|b ||a ＋b |≥1成立的充要条件是a ≠－b .[答案] (1)a ≠b (2)a ≠－b1．本题求解的关键在于|a |－|b |≤|a －b |与|a |＋|b |≥|a ＋b |的理解和应用． 2．解决此类问题应从两个方向推出关系来进行求解．3．条件不变，试求：(1)||a |－|b |||a －b |＜1成立的充要条件；(2)|a |＋|b ||a ＋b |＞1成立的充要条件．[解] (1)因为ab ＜0⇔||a |－|b ||＜|a －b |⇔|a |－|b ||a －b |＜1，所以||a |－|b |||a －b |＜1成立的充要条件是ab ＜0.(2)因为|a |＋|b ||a ＋b |＞1⇔|a |＋|b |＞|a ＋b |且a ＋b ≠0⇔ab ＜0且a ≠－b ，所以|a |＋|b ||a ＋b |＞1成立的充要条件是ab ＜0且a ≠－b .1．已知实数a ，b 满足ab ＜0，则下列不等式成立的是( ) A ．|a ＋b |＞|a －b | B ．|a ＋b |＜|a －b | C ．|a －b |＜||a |－|b ||D ．|a －b |＜|a |＋|b |B [∵ab ＜0，∴|a －b |＝|a |＋|b |＞|a ＋b |＝||a |－|b ||，故应选B.] 2．若a ，b ∈R ，则使|a |＋|b |>1成立的充分不必要条件可以是( ) A ．|a |≥12且|b |≥12B ．|a ＋b |≥1C ．|a |≥1D ．b <－1D [当b <－1时，|b |>1， ∴|a |＋|b |>1，但|a |＋|b |>1D ⇒/b <－1(如a ＝2，b ＝0)，∴“b <－1”是“|a |＋|b |>1”的充分不必要条件．] 3．已知四个命题：①a >b ⇒|a |>b ；②a >b ⇒a 2>b 2；③|a |>b ⇒a >b ；④a >|b |⇒a >b .其中正确的命题是________． [解析] 当a >b 时，|a |≥a >b ，①正确．显然②③不正确．又当a>|b|时，有a>|b|≥b，④正确．[答案]①④4．|x＋1|＋|2－x|的最小值是________．[解析]∵|x＋1|＋|2－x|≥|(x＋1)＋(2－x)|＝3，当且仅当(x＋1)(2－x)≥0，即－1≤x≤2时，取等号．因此|x＋1|＋|2－x|的最小值为3.[答案] 35．f(x)＝|x－10|＋|x－20|(x∈R)，求f(x)的最小值，并求当f(x)有最小值时，实数x 的取值范围．[解]∵|x－10|＋|x－20|＝|x－10|＋|20－x|≥|(x－10)＋(20－x)|＝10.当且仅当(x－10)(20－x)≥0时取等号，即10≤x≤20.因此f(x)的最小值为10，此时实数x的取值范围是[10,20]．。