等差数列与等比数列的性质

等差数列与等比数列的性质一、等差数列的性质等差数列是指一个数列中，任意相邻两项之差保持不变的数列。

下面将介绍等差数列的几个重要性质。

1. 公差等差数列中任意相邻两项之差称为公差，用d表示。

对于一个等差数列an，其公差可以表示为d=an+1 - an。

2. 通项公式等差数列可以通过通项公式来表示。

对于等差数列an，通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，n为项数。

3. 总和公式等差数列的前n项和可以通过总和公式来计算。

对于等差数列an，前n项和可以表示为Sn = (a1 + an) * n / 2。

4. 关于中项的性质若等差数列的项数为奇数，则中项为唯一的中间项；若项数为偶数，存在两个中项，它们的平均值即为中项。

二、等比数列的性质等比数列是指一个数列中，任意相邻两项之比保持不变的数列。

下面将介绍等比数列的几个重要性质。

1. 公比等比数列中任意相邻两项之比称为公比，用q表示。

对于一个等比数列an，其公比可以表示为q = an+1 / an。

2. 通项公式等比数列可以通过通项公式来表示。

对于等比数列an，通项公式可以表示为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，n为项数。

3. 总和公式等比数列的前n项和可以通过总和公式来计算。

对于等比数列an，前n项和可以表示为Sn = (a1 * (1 - q^n)) / (1 - q)，其中q ≠ 1。

4. 无穷项和若等比数列的公比0 < q < 1，则其无穷项和有限；若公比q > 1或q < -1，则等比数列的无穷项和不存在。

三、等差数列与等比数列的比较1. 增长趋势等差数列的项与项之间的差值保持恒定，因此增长趋势比较线性；而等比数列的项与项之间的比例保持恒定，因此增长趋势是指数型的。

2. 值的大小等差数列的值随着项数的增加而线性增长；而等比数列的值随着项数的增加呈指数级增长或衰减。

3. 总和差异等差数列的前n项和与项数n成正比，即总和随着项数的增加而增加；等比数列的前n项和与项数n无直接关系，总和的计算需要公比q 的取值范围进行判断。

等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列和等比数列是数学中的两个重要概念，它们在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。

以下是关于等差数列和等比数列的主要知识点总结：
等差数列：
1. 定义：一个数列，其中任意两个相邻项的差是一个常数，这个数列被称为等差数列。

2. 通项公式：$a_n = a_1 + (n - 1)d$，其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差，$n$ 是项数。

3. 求和公式：$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d]$，其中 $S_n$ 是前$n$ 项的和。

4. 等差中项：任意两项的算术平均值等于第三项。

5. 等差数列的性质：如果两个数列都是等差数列，那么它们的和也是一个等差数列。

等比数列：
1. 定义：一个数列，其中任意两个相邻项的比是一个常数，这个数列被称为等比数列。

2. 通项公式：$a_n = a_1 \times q^{n-1}$，其中 $a_1$ 是首项，$q$ 是公比，$n$ 是项数。

3. 求和公式：对于 $q \neq 1$，有 $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$；对于 $q = 1$，有 $S_n = na_1$。

4. 等比中项：任意两项的几何平均值等于第三项。

5. 等比数列的性质：如果两个数列都是等比数列，那么它们的乘积是一个等比数列。

以上是关于等差数列和等比数列的主要知识点总结。

在学习这些内容时，可以通过做练习题来加深理解和巩固知识。

等差数列与等比数列的性质在数学的世界里，数列就像是一串有序的数字精灵，按照一定的规律排列着。

其中，等差数列和等比数列是两个非常重要的家族。

它们各自有着独特的性质，就像是家族成员的独特特征一样，让我们能够更好地理解和把握这些数列的规律。

先来聊聊等差数列。

等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。

这个常数被称为公差，通常用字母 d 表示。

比如说，数列2，5，8，11，14……就是一个公差为3 的等差数列。

在这个数列中，每一项都比前一项大 3。

等差数列有很多有趣的性质。

首先，它的通项公式为 an ＝ a1 ＋（n 1)d ，其中 a1 是首项，n 是项数。

这个公式能让我们快速求出数列中任意一项的值。

假设首项 a1 ＝ 2 ，公差 d ＝ 3 ，要求第 10 项的值。

那么根据通项公式，a10 ＝ 2 ＋（10 1)×3 ＝ 2 ＋ 27 ＝ 29 。

其次，如果在等差数列中有 m 、n 、p 、q 这四项，且 m ＋ n ＝ p＋ q ，那么 am ＋ an ＝ ap ＋ aq 。

比如在等差数列 1，3，5，7，9 中，因为 1 ＋ 5 ＝ 3 ＋ 3 ，所以 a1 ＋ a5 ＝ a3 ＋ a3 ，即 1 ＋ 5 ＝ 3 ＋ 3 ＝ 6 。

另外，等差数列的前 n 项和公式也很重要。

Sn ＝ n(a1 ＋ an) ／ 2 。

如果还是以上面的数列为例，要求前 5 项的和。

先求出 a5 ＝ 1 ＋（5 1)×2 ＝ 9 ，然后 S5 ＝ 5×（1 ＋ 9) ／ 2 ＝ 25 。

说完等差数列，再看看等比数列。

等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列。

这个常数被称为公比，通常用字母 q 表示。

例如，数列 2，4，8，16，32……就是一个公比为 2 的等比数列。

等比数列的通项公式为 an ＝ a1 × q^（n 1) 。

等差数列与等比数列的性质1. 等差数列的性质等差数列是指数列中相邻元素之间的差值保持不变的数列。

它具有以下几个重要的性质。

1.1 公差对于等差数列a₁, a₂, a₃, ..., an，相邻两项之间的差值称为公差，用d表示。

即d = a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = ... = an - a(n-1)。

等差数列的公差决定了其增长或减小的速度。

当公差为正数时，数列递增；当公差为负数时，数列递减。

1.2 通项公式等差数列的通项公式可用来表示其任意一项。

设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为an，则通项公式为an = a₁ + (n - 1)d。

利用通项公式，可以快速计算等差数列中任意一项的值。

1.3 前n项和等差数列的前n项和表示为Sn，可用来求等差数列前n项的和。

求解前n项和的公式为Sn = (n/2)(a₁ + an) = (n/2)(2a₁ + (n - 1)d)。

利用前n项和公式，可以快速计算等差数列前n项的和。

1.4 等差数列的性质等差数列具有以下一些重要的性质：- 等差数列的中项为首项与末项的算术平均数。

- 等差数列的前n项和与后n项和相等。

- 若两个数列的差构成一个等差数列，那么两个数列分别也是等差数列。

2. 等比数列的性质等比数列是指数列中相邻元素之间的比值保持不变的数列。

它具有以下几个重要的性质。

2.1 公比对于等比数列a₁, a₂, a₃, ..., an，相邻两项之间的比值称为公比，用r表示。

即r = a₂/a₁ = a₃/a₂ = ... = an/a(n-1)。

等比数列的公比决定了其增长或减小的速度。

当公比大于1时，数列递增；当公比大于0且小于1时，数列递减。

2.2 通项公式等比数列的通项公式可用来表示其任意一项。

设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为an，则通项公式为an = a₁ * r^(n-1)。

利用通项公式，可以计算等比数列中任意一项的值。

2.3 前n项和等比数列的前n项和表示为Sn，可用来求等比数列前n项的和。

等差数列的性质总结1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=；3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．⑶数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。

数列的等差数列与等比数列知识点总结数列是数学中经常出现的概念，它是按照一定规律排列的一组数的集合。

其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。

本文将对等差数列和等比数列的基本概念、性质、求和公式以及应用进行总结。

一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差均相等的数列。

用通项公式表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差。

1. 等差数列的基本概念等差数列中，每一项与它的前一项的差值都相等，这个差值称为公差。

等差数列可以是正差、零差或负差的数列。

2. 等差数列的性质（1）首项和末项之和等于中间项之和的两倍：a1 + an = 2Sn，其中Sn表示前n项和。

（2）任意一项与首项之和等于任意一项与末项之和：ai + aj = a1 + an。

（3）等差数列的前n项和Sn等于首项与末项之和乘以项数的一半：Sn = (a1 + an) × n / 2。

3. 求等差数列的和求解等差数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 + an) × n / 2，其中n 为项数。

4. 等差数列的应用等差数列在实际问题中有广泛的应用，如金融投资、房贷分期还款等均可以利用等差数列的性质进行计算。

二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比均相等的数列。

用通项公式表示为：an = a1 × r^(n-1)，其中an表示第n项，a1为首项，r为公比。

1. 等比数列的基本概念等比数列中，每一项与它的前一项的比值都相等，这个比值称为公比。

等比数列可以是正比、零比或负比的数列。

2. 等比数列的性质（1）相邻两项之商等于任意一项与首项之商等于任意一项与末项之商：ai/aj = a1/ai = ai/an。

（2）等比数列的前n项和Sn等于首项与末项之差除以公比减1：Sn = (a1 - an × r^n) / (1 - r)。

3. 求等比数列的和求解等比数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 - an × r^n) / (1 - r)，其中r不等于1。

高中数学教学等差数列和等比数列的性质高中数学教学：等差数列和等比数列的性质等差数列和等比数列是高中数学中常见的数列类型，它们有着各自独特的性质和应用。

本文将探讨等差数列和等比数列的性质以及它们在高中数学教学中的重要性。

一、等差数列的性质等差数列是一种数学序列，其中每一项与前一项之差都相等。

等差数列的一般形式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

1. 公差的概念公差d是等差数列中相邻两项之间的差值。

等差数列中的任意两项之间的差值都等于公差d。

公差可以为正数、负数或零。

2. 常见等差数列的性质等差数列有以下一些重要性质：- 求和公式：等差数列的前n项和Sn可表示为Sn = (n/2)(2a1 + (n - 1)d)，其中n为项数。

- 通项公式：等差数列的第n项可表示为an = a1 + (n - 1)d。

- 任意三项关系：等差数列中，已知任意三项，可以通过关系式解出公差d。

- 对称性质：等差数列中，如果一项等于首项与末项的和，那么它的位置是中间项。

- 逆序数列：等差数列的逆序数列也是等差数列，其公差与原序列相等。

二、等比数列的性质等比数列是一种数学序列，其中每一项与前一项之比都相等。

等比数列的一般形式为an = a1 * r^(n - 1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

1. 公比的概念公比r是等比数列中相邻两项之间的比值。

等比数列中的任意两项之间的比值都等于公比r。

公比可以为正数、负数或零。

2. 常见等比数列的性质等比数列有以下一些重要性质：- 求和公式：等比数列的前n项和Sn可表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中n为项数，且公比r不等于1。

- 通项公式：等比数列的第n项可表示为an = a1 * r^(n - 1)。

- 任意三项关系：等比数列中，已知任意三项，可以通过关系式解出公比r。

- 正比例关系：等比数列中，任意两项的比值都等于公比r。

等差数列与等比数列总结一、等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用小写字母d 表示；等差中项，如果2ba A +=，那么A 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数；等差数列}{a n 的通项公式：）N n （d ）1-n （a a 1n *∈+=； 等差数列}{a n 的递推公式：）2n （d a a 1n n ≥+=-；等差数列}{a n 的前n 项和公式：n S =2n）a a （n 1⨯+=d 2）1-n （n na 1⨯+= 中12na n ）2d-a （n ）2d （=⨯+⨯； 【等差数列的性质】 1、d ）1-n （a a m n +=【说明】n 11m a d ）1-n （a d ）m -n （d ）1-m （a d ）m -n （a =+=++=+ 2、若m 、n 、p 、q *∈N ，且m+n=p+q ，则有q p n m a a a a +=+【说明】q p 11n m a a ）2-q p （a 2d ）2-n m （a 2a a +=++=++=+3、md 成等差数列，公差为、a 、a 、a m 2k m k k ⋯⋯++ 【说明】md a -a a -a m k m 2k k m k =⋯⋯==+++4、k ）1-n （nk k 2k 3k k 2k S -S S -S ，S -S ，S ⋯⋯成等差数列，公差为d n 2【说明】d n ）a a a （-）a a a （S -）S -S （2n 21n 22n 1n n n n 2=+⋯⋯+++⋯⋯++=++，）a a a （-）a a a （）S -S （-）S -S （n 22n 1n n 32n 21n 2n 2n n 2n 3+⋯⋯+++⋯⋯++=++++⋯⋯=，d n 25、数列}{a n 成等差数列Bn An S ，a a a 2，q pn a 2n 1n 1-n n n +=+=+=⇔+【说明】）d -a （dn d ）1-n （a a 1m n +=+=，n S =d 2）1-n （n na 1⨯+= n ）2d -a （n ）2d （12⨯+⨯ 6、若数列}{a n 是等差数列，则}{c n a为等比数列，c>0【说明】d a-a a ac c cc 1-n n 1-n n ==7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S += 当n 为偶数时，d 2nS -S 奇偶⨯=当n 为奇数时，n a S 中n ⨯=，中偶奇a S -S =，1-n 1n S S 偶奇+=【说明】当n 为偶数时，d 2n）a -a （）a -a （）a -a （S -S 123-n 2-n 1-n n 奇偶⨯=+⋯⋯++= 当n 为奇数时，中11-n n 231偶奇a d 21-n a ）a -a （）a -a （a S -S =+=+⋯⋯++=，，1-n 1n 21-n ）a a （2121n ）a a （21S S 1-n 2n 1偶奇+=⨯++⨯+=n a S S -S S S 中n 偶奇偶奇==+8、设1-2n 1-n 2n n n n n n T Sb a 项和，则n 的前}{b 、}{a 分别表示等差数列T 和S = 【说明】nn 中中1-2n 1-n 2b ab ）1-n 2（a ）1-n 2（T S == 【例】等差数列1515n n n n n n b a，求1-n 31n 5T S ，若T 和S 项和分别为n 的前}{b 、}{a += 9、1-d ，0a ），则q p （p a ，q a q p q p ==≠==+q --p a ），则q p （p S ，q S q p q p =≠==+ 0a ），则q p （S S q p q p =≠=+【说明】0q -q qd a a ，1-d q -p d ）q -p （a -a p q p q p ==+==⇒==+ 2-a a p -q 2）q -p ）（a a （）a a （S S p 1q p 1q p 1q q p =+⇒=+=+⋯⋯+=-+++q --p 2）q p ）（a a （2）q p ）（a a （S p 1q q p 1q p =++=++=+++二、等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比常用小写字母q 表示；等比中项，如果ab G 2=，那么G 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等比数列，那么等差中项的平方等于另两项的积；等比数列}{a n 的通项公式：）N n （q a a 1-n 1n *∈=；等比数列}{a n 的递推公式：）2n （q a a 1n n ≥=-；等比数列}{a n 的前n 项和公式：n S =⎪⎩⎪⎨⎧≠==1q ，q -1q a -a q -1）q -1（a 1q ，na n 1n 11 【等比数列的性质】 1、m -n m n q a a ⋅=【说明】n 1-n 1m -n 1-m 1m -n m a q a q q a q a =⋅=⋅⋅=⋅ 2、若m 、n 、k 、l *∈N ，且l k n m a a a a ，l k n m ⋅=⋅⋅=⋅【说明】l k 2-l k 212-n m 21n m a a q a q a a a ⋅===⋅++ 3、m m 2k m k k q ，成等比数列，公比为、a 、a 、a ⋯⋯++ 【说明】m mk m 2k k m k q a aa a ==+++ 4、k ）1-n （nk k 23k k k 2k S -S S -S 、S -S 、S ⋯⋯成等比数列，公比为nq【说明】n n21n22n 1n n n n 2q a a a a a a S S -S =+⋯⋯+++⋯⋯++=++ 5、数列}{a n 成等比数列）1-q （A S ，q p a ，a a a nn n n 1n 1-n 2n =⋅=⋅=⇔+【说明】）1-q （1-q a q -1）q -1（a S ，q q a qa a n 1n1n n 11-n 1n ==⋅=⋅= 6、若数列}{a n 是等比数列，则0a 为等差数列，}a {log n n c > 【说明】q log a a log a log -a log c 1-n nc1-n c n c == 7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S +=；若n 为偶数时，q a a 奇偶=；当n 为奇数时，q S a -S 偶1奇=；【说明】当n 为偶数时，q a a a a a a a a 1-n 41n42奇偶=+⋯⋯+++⋯⋯++=； 当n 为奇数时，q a a a a a a S a -S 1-n 42n 53偶1奇=+⋯⋯+++⋯⋯++=； 8、设偶奇n 偶奇n T T T 表示偶数项的积，则T 表示奇数项的积，T 项积，n 是前T ⋅=当n 为偶数时，n中奇中偶奇2n奇偶a T ，a T T 为奇数时，n ；当q T T ===；【说明】当n 为偶数时，2n1-n 42n42奇偶q a a a a a a T T =⋅⋯⋯⋅⋅⋅⋯⋯⋅⋅=；当n 为奇数时，中1-n 42n421偶奇a a a a a a a a T T =⋅⋯⋯⋅⋅⋅⋯⋯⋅⋅=； n中1-n 2n 1n 21奇a a a a a a a a T =⋯⋯⋅⋅=⋅⋯⋯⋅⋅=。

等差数列与等比数列的性质数列在数学中起着重要的作用，它们是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。

其中，等差数列和等比数列是最常见的两种数列类型，它们都有着自身特定的性质和规律。

本文将介绍等差数列和等比数列的性质以及它们在数学中的应用。

一、等差数列的性质等差数列是指数列中相邻两项之差固定的数列。

设数列的首项为a₁，公差为d，则它的一般项可表示为aₙ = a₁ + (n-1)d，其中n为项数。

1.1 等差数列的通项公式等差数列的通项公式可以通过首项和公差来表示。

假设首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为aₙ = a₁ + (n-1)d。

1.2 等差数列的前n项和等差数列的前n项和可以通过项数和首项、末项之和的一半再乘以项数来表示。

设前n项和为Sₙ，则Sₙ = n * (a₁ + aₙ) / 2。

1.3 等差数列的性质等差数列具有以下性质：（1）相邻两项之差相等；（2）任意三项成等差数列；（3）n个连续的自然数之和为n²；（4）若等差数列的和等于某项的积，则这些项必为等差数列。

二、等比数列的性质等比数列是指数列中相邻两项之比固定的数列。

设数列的首项为a₁，公比为q，则它的一般项可表示为aₙ = a₁ * q^(n-1)，其中n为项数。

2.1 等比数列的通项公式等比数列的通项公式可以通过首项和公比来表示。

假设首项为a₁，公比为q，则等比数列的通项公式为aₙ = a₁ * q^(n-1)。

2.2 等比数列的前n项和等比数列的前n项和可以通过项数和首项、末项之差再除以公比再加1来表示。

设前n项和为Sₙ，则Sₙ = (a₁ * (q^n - 1)) / (q - 1)。

2.3 等比数列的性质等比数列具有以下性质：（1）相邻两项之比相等；（2）任意三项成等比数列；（3）若等比数列的前n项和存在，则当n趋向无穷时，和趋向于无穷；（4）若等比数列的各项均为正数，且和存在，则公比q必定在0到1之间。

三、等差数列与等比数列的应用等差数列与等比数列在数学中有着广泛的应用。

了解等差数列与等比数列的一般性质数列是数学中的一个重要概念，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。

等差数列和等比数列是数学中常见的两种数列，它们具有一些特定的性质和规律。

在本文中，我们将深入探讨等差数列和等比数列的一般性质，以帮助读者更好地理解和应用这两种数列。

一、等差数列的一般性质等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

比如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，其中公差为2。

等差数列具有以下一般性质：1. 公差的性质：等差数列的公差是指相邻两项之差，用字母d表示。

公差d决定了等差数列的增量大小和方向。

如果d>0，则数列递增；如果d<0，则数列递减；如果d=0，则数列为常数数列。

2. 通项公式：等差数列的通项公式可以用来表示数列中任意一项的值。

设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则通项公式为aₙ = a₁ + (n-1)d。

通项公式可以帮助我们快速计算等差数列中任意一项的值。

3. 数列求和：等差数列的前n项和可以用求和公式来表示。

设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和为Sₙ，则求和公式为Sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ)。

求和公式可以帮助我们快速计算等差数列的前n项和。

4. 等差数列的性质：等差数列具有反向性、对称性和平均性。

反向性指的是等差数列的反向数列仍然是等差数列；对称性指的是等差数列关于中项对称；平均性指的是等差数列的任意三项的和等于这三项的平均数乘以3。

二、等比数列的一般性质等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。

比如，1，2，4，8，16就是一个等比数列，其中公比为2。

等比数列具有以下一般性质：1. 公比的性质：等比数列的公比是指相邻两项之比，用字母q表示。

公比q决定了等比数列的增长速度和方向。

如果q>1，则数列递增；如果0<q<1，则数列递减；如果q=1，则数列为常数数列。

2. 通项公式：等比数列的通项公式可以用来表示数列中任意一项的值。

3.4等差数列与等比数列的性质一、.等差数列的性质 1若公差 ，则为递增等差数列，若公差 ,则为递减等差数列,若公差 ,则为常数列.2．若数列{a n }成等差数列，则数列{Aa n ＋B }也成等差数列．3．在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N *)， 则 特别地，若m+n=2k ，则与首末两项距离相等的两项之和相等,即 a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=…4．若数列{a n }成等差数列，则数列{a 2n －1}， {a 2n }、。

也成等差数列．（下标成等差，对应的项也成等差）5．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列S m, S 2m －S m, S 3m －S 2m ¡­构成等差数列．a k , a k+m a k+2m , a k+3m ,…成等差数列S 2k-1=（2k-1）a k6 若{a n }、{b n }是等差数列，S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则{pa n +qb n }、{s n / n}是等差数列， （其中p 、q 是常数）7 若{a n }是等差数列，则 (a ≠0)成等比数列；若{a n }是等比数列，且a n >0，则{lg a n }是等差数列.8 在等差数列{a n }中，当项数为偶数 2n 时;S 偶-S 奇= nd ;项数为奇数 2n -1 时; S 奇-S 偶= a 中，S 2n -1=(2n -1)·a 中(这里a 中 即a n );S 奇∶S 偶=(k +1)∶k .9若等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为Sn 、Tn ,且 =f (n ),则 = = =f (2n -1).10“首正”的递减等差数列中,前n 项和的最大值是所有非负项 之和;“首负”的递增等差数列中,前n 项和的最小 值是所有非正项之和.思考：类比等差数列的基本性质，归纳总结等比数列的基本性质．二.等比数列的性质(1)当m +n =p +q 时，则有 , 特别地，当 m +n =2p 时，则有 与首末两项距离相等的两项之积相等,即 a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…(2)若{a n }是等比数列，则{ka n }、{a n 2}、{1/a n }成等比数列；注意： 下标成等差，对应的项成等比(3)若{a n }、{b n }成等比数列，则{a n b n }、{ n na b }成等比数列; (4)若{a n }是等比数列,且公比q ≠-1,则数列 S n S 2n -S n S 3n - S 2n … 也是 数列.当 q = -1,且n 为偶数时,数列S n S 2n -S n S 3n -S 2n …是常数数列 0,它不是等比数列.(5)若a 1>0,q >1,则{a n }为 数列；若a 1<0,q >1,则{a n }为 数列;若a 1>0,0<q <1,则{a n }为递减数列；若a 1<0,0<q <1，则{a n }为递增数列；若q <0,则{a n }为摆动数列；若q =1,则{a n }为 数列.(6)当q ≠１时,S n = 11a q --q n +11a q-= aq n +b ,这里 a +b =0，但a ≠0，b ≠0，这是等比数列前n项和公{}n a a n n S T n n a b (21)(21)n n n a n b --2121n n S T --式的一个特征，据此很容易根据S n 判断数列{a n }是否为等比数列.(7) S m+n =S m +q m S n =S n +q n S m .(8) 在等比数列{a n }中，当项数为偶数2n 时，S 偶= qS 奇 ；项数为奇数2n -1时,S 奇=a 1+qS 偶.(9) 如果数列{a n }既成等差数列又成等比数列，那么数列{a n }是非零常数数列，故常数数列{a n }仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.1．等差数列{a n }中，已知前15项的和S 15=90，则a 8等于（ ） A 452 B 12 C 454D 6 2．等比数列{a n }中，如果 346781a a a a ⋅⋅⋅=,则a 1a 9的值为（ ）A ．3B ．9C ．±3D ．±93．设2a =3，2b =6，2c =12，那么数列a 、b 、c （ ） A ．是等比数列，但不是等差数列 B ．是等差数列，但不是等比数列C ．既是等比数列，又是等差数列D ．既不是等比数列，又不是等差数列4．(2009·海南)等差数列{a n }的前n 项和为S n ， 已知a m －1＋a m ＋1－a ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝( )A ．38B ．20C ．10D ．95．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于( )A ．12B ．18C ．24D ．426．有2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( )7．若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则数列 b n ＝ (n ∈N *)也为等差数列．类比上 述性质，相应地：若数列{c n }是等比数列，且c n ＞0(n ∈N *)，则有d n ＝______ _____(n ∈N *)也是等比数列．8.已知等比数列{a n }中，有a 3a 11=4a 7，数列{b n }是等差数列,且b 7=a 7,则b 5+b 9等于（ ）A.2B.4C.8D.161. 若三个数a ，A ，b 成等差⇔2A ＝a ＋b ；2．若三个数a ，G ，b 成等比⇒G 2＝ab .例1 设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和． 若{S n }是等差数列，则q ＝________.1. 在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n .若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于 ( ) A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2n D ．3n－1虽然等差(比)数列的有关计算和证明，都可围绕其首项和公差(比)进行，但是熟练地掌握等变式差(比)数列的性质，则可以大幅度地减少运算量，以达到事半功倍的作用．比如在等差数列中 S 2n －1＝(2n －1)a n ；在等比数列中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n (q ≠1)时，也构成等比数列等． “成对下标和”性质(1)已知数列{θn }为等差数列,且θ1+θ8+θ15=2π，则tan(θ2+θ14)的值是（ ）A.B.C.D.-(2)(2009广东卷)已知等比数列{a n }满足a n >0,n =1,2,…，且a 5a 2n-5=22n (n ≥3),则当n ≥1时,log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n-1=( )A. n(2n-1)B. (n+1)2C. n 2D. (n-1)2本题是等差、等比的求值题，难点是找条件和目标之间的对应关系.解题时，根据等差、等比数列的成对下标和的性质，列出方程或多个恒等式是解题的关键.一般的，对于涉及等差、等比数列的通项公式的条件求值题，合理利用通项或相关性质进行化归是基本方法. 2 (2010湖北省模拟)设数列{a n }、{b n }都是正项等比数列，S n 、T n 分别为数列{lg a n }与{lg b n }的前n 项和,且n n S T =21n n + ,则log b5a 5= . “和与部分和”性质（1）两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和的比是(7n ＋2)∶(n ＋3)，这两个数列中第7项的比a 7∶b 7.= ，(2) 已知数列{a n }是等比数列，且S m ＝10，S 2m ＝30，则S 3m ＝________. (3) 等差数列的前n 项和为54，前2n 项的和为60， 则前3n 项的和为 .巧用性质，减少运算，在有关等差、等比数列的计算中非常重要. 巧用性质，构造一个新的等差或等比数列求解.对于有穷的等差、等比数列的相关计算问题有着特殊的计算方法，比如在一个项数n 为奇数的等差数列中 (其中 为中项)．(1) 项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求该数列的中间项和项数． (2) 一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为 32∶27，求等差数列的公差． 例2 点评变式例3 点评例43.已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数．【方法规律】1 知三求二：在等差（比）数列中，a 1,d (q ),n ,a n ,S n 共五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个.解这类问题时，一般是转化为首项a 1和公差d (公比q )这两个基本量的有关运算.2 了解和掌握等差数列和等比数列的基本性质，有利于更深刻地理解等差数列和等比数列问题，使有关的计算和证明问题能做到更简洁、明了、快速和准确．巧用性质、减少运算量：在等差、等比数列的计算中，巧用性质非常重要，同时树立“目标意识”，需要什么，就求什么，既要充分合理地利用条件，又要时刻注意问题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果.3．除去以上所列出的等差数列和等比数列的基本性质之外，还要注意以下的一些常见情况：(1)若等差数列{a n }的项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ；(2)若等差数列{a n }的项数为2n ，公差为d ，则S 偶－S 奇＝nd ；(3)若等比数列{a n }的项数为2n ，公比为q ， 则 ＝q .(4)等比数列的相关结论可以看作是等差数列结论的¡°运算升级¡±.(本题满分12分)若S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，(1)求数列S 1，S 2，S 4的公比；(2)若S 2＝4，求{a n }的通项公式.【考卷实录】【分析点评】 变式1.考题对等差数列和等比数列进行综合考查，考卷实录中第(1)问很好把握了等差数列前n项和的特征S n＝An2＋Bn.而第(2)问利用了已知S n求a n，要注意a n＝要注意对a1＝S1是否适合a n＝S n－S n－1，n≥2的检验．2．本题的一般解法具体如下：(1)由已知条件得S22＝S1S4，即(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)，整理得：d2＝2a1d，又d≠0，则d＝2a1，＝4，数列S1，S2，S4的公比为4.(2)由已知条件4a1＝4，则a1＝1，d＝2，a n＝a1＋(n－1)d＝2n－1.【课后作业】天府数学活页练习3.2 1—9 题 3.3 1—9题。

1等差数列和等比数列的性质1、等差数列的性质：（11条）（1）首尾项性质：在有穷等差数列中，距首末两项等距离的两项之和就等于首末两项之和，即：n n n a a a a a a --+=+=+=12132特别的，若总项数为奇数，则等于中间项的两倍，即：n a a a +=12中 推广：1、若(),,,*p q r s p q r s N +=+∈，则P q r s a a a a +=+ 2、若m n p +=2，则m n p a a a +=2（2）若{}{},n n a b 均为等差数列，则{}{}(),,n n n ma ma kb m n R ±∈也为等差数列；依次将等差数列{}n a 中间隔相同的项抽取出来所得新数列仍为等差数列；依次将等差数列{}n a 中连续的间隔相同的项作和所得新数列仍为等差数列；（3）{}n a 是有限项公差为d 的等差数列，则1、若总项数为n -21，则()(),-,+-,n n n S na S n a S S n a ===121奇偶奇偶,-,n S n S S a S n ==-1奇奇偶偶（其中n a 为中间项） 2、若总项数为n 2，则(),,+,n n n n S na S na S S n a a ++===+11奇偶奇偶 ,-,n n S a S S nd S a +==1奇偶奇偶（其中n a 和n a +1为中间两项）（4）顺次n 项和性质：若{}n a 为等差数列，则其前n 项和n S 、次n 项和n nS S -2、末n项和n nS S -32仍成等差数列，即()()n n n n n S S S S S -=+-2322（5）若等差数列{}n a 和等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，则有,n n n n a S b T --=2121（6）若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若有()()m n m SS n ---=-2212212121，则有,m n a m a n -=-2121（7）若{}n a 为等差数列，且,p q a q a p ==，则p q a +=0（8）若{}n a 为等差数列，且,p q S q S p ==，则()p q S p q +=-+ （9）若{}n a 为等差数列，若()p q S S p q =≠，则p q S +=0 （10）若{}n a 为等差数列，则{}(),na Cc c >≠01是等比数列。

初中数学知识归纳等差数列和等比数列的性质初中数学知识归纳：等差数列和等比数列的性质数列是数学中重要的概念之一，它是一系列按照特定规律排列的数的集合。

在初中数学中，等差数列和等比数列是两种常见的数列形式。

本文将归纳总结等差数列和等比数列的性质，以帮助初中学生更好地理解和应用这两种数列。

一、等差数列的性质等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ。

1. 公差的计算相邻两项之差为公差d，可以通过计算任意两项的差值来求得：d = aₙ - aₙ₋₁2. 通项公式等差数列可以通过通项公式来表示第n项：aₙ = a₁ + (n - 1)d3. 等差数列的性质（1）前n项和公式等差数列的前n项和Sn可以通过以下公式计算：Sn = (a₁ + aₙ) * n / 2（2）等差中项等差数列中，存在着一些特殊的项，被称为等差中项。

等差数列的任意三项aₙ、aₙ₋ₙ+₁、aₙ之间满足以下性质：aₙ + aₙ₋ₙ+₁ = aₙ（3）等差数列的倒数和若一个等差数列是1, 2, 3, ... ，则其倒数和为1/1 + 1/2 + 1/3 + ...，等差数列的倒数和具有一些特殊的性质。

二、等比数列的性质等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。

设等比数列的首项为a₁，公比为q，第n项为aₙ。

1. 公比的计算相邻两项之比为公比q，可以通过计算任意两项的商值来求得：q = aₙ / aₙ₋₁2. 通项公式等比数列可以通过通项公式来表示第n项：aₙ = a₁ * q^(n - 1)3. 等比数列的性质（1）前n项和公式等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式计算：Sn = a₁ * (1 - q^n) / (1 - q)（2）等比中项等比数列中，存在着一些特殊的项，被称为等比中项。

等比数列的任意三项aₙ、aₙ₋ₙ+₁、aₙ之间满足以下性质：aₙ * aₙ₋ₙ+₁ = aₙ（3）等比数列的倒数和若一个等比数列是1, 1/2, 1/4, ... ，则其倒数和为1 + 1/2 + 1/4 + ...，等比数列的倒数和具有一些特殊的性质。

等差等比数列的简单性质高考常用的知识,也是基本知识1．数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。

记作an，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，，序号为n 的项叫第n项（也叫通项）记作an；数列的一般形式：a1，a2，a3，，an，，简记作an 。

（2）通项公式的定义：如果数列{an}的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

数列①的通项公式是an= n（n 7，n N ），数列②的通项公式是an= （n N ）。

说明：① an 表示数列，an表示数列中的第n项，an= f n 表示数列的通项公1n1,n 2k 1式；② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。

例如，an= ( 1)= (k Z)；1,n 2kn③不是每个数列都有通项公式。

例如，1，1.4，1.41，1.414，2．等差数列1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

用递推公式表示为an an 1 d(n 2)或an 1 an d(n 1)。

2）等差数列的通项公式：an a1 (n 1)d；说明：等差数列（通常可称为AP数列）的单调性：d 0为递增数列，d 0为常数列，d 0 为递减数列。

3）等差中项的概念：定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。

其中Aa b2a，A，b成等差数列Aa b。

2n(a1 an)n(n 1)na1 d 22（4）等差数列的前n和的求和公式：Sn例1．根据数列前4项，写出它的通项公式：（1）1，3，5，7 ；22 132 142 152 1（2），，，；2345（3）1111，，，。

3*44*51*22*3n2 n 1(n N )，例2．数列an 中，已知an (1)写出a10，an 1，an2；（2）3279是否是数列中的项？若是，是第几项？3高考常用的知识,也是基本知识五．思维总结1．数列的知识要点：（1）数列是特殊的函数，数列是定义在自然数集N（或它的有限子集｛1，2，3，，n，｝）上的函数f（n），当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值：f（1），f（2），f（3），，f（n），。

数列的等差与等比性质在数学中，数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。

在数列中，常常出现两种重要的性质，即等差性质和等比性质。

本文将讨论这两种性质，并且介绍它们在实际生活中的应用。

一、等差性质等差数列是指数列中每个相邻的数之间的差都相等的数列。

具体地说，如果一个数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d 为公差，n为数列中的第n项，那么它就是一个等差数列。

等差数列的性质有很多，下面介绍其中几个重要的性质：1. 公差求和公式对于等差数列的前n项和Sn，可以使用公式Sn = n(a1 + an)/2来计算。

其中，a1为首项，an为数列的第n项，n为项数。

2. 通项公式对于等差数列，可以通过第一项和公差来确定第n项的值。

通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

3. 等差中项对于等差数列中的两个项，可以通过求平均数的方式得到它们的等差中项。

具体地说，对于第m项和第n项，m+n的平均数就是它们的中项。

等差数列的应用广泛。

例如，在日常生活中，我们常常碰到每天存入固定金额的储蓄账户。

这种储蓄方式可以看作是一个等差数列，每个月的存款金额都相差固定数值，通过等差性质可以方便地计算出未来的存款总额。

二、等比性质等比数列是指数列中每个相邻的数之间的比值都相等的数列。

具体地说，如果一个数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r 为公比，n为数列中的第n项，那么它就是一个等比数列。

等比数列也有一些重要的性质，如下所示：1. 公比求和公式对于等比数列的前n项和Sn，可以使用公式Sn = a1 * (1-r^n)/(1-r)来计算。

其中，a1为首项，r为公比，n为项数。

2. 通项公式对于等比数列，可以通过第一项和公比来确定第n项的值。

通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

3. 等比中项对于等比数列中的两个项，可以通过求它们的平方根来得到它们的等比中项。

等差数列与等比数列的概念与性质等差数列和等比数列是数学中常见且重要的数列类型。

它们在各个领域中都有广泛的应用，从金融到物理，从自然科学到社会科学。

本文将介绍等差数列和等比数列的概念、性质和应用，以帮助读者更好地理解这两个数列的特点与应用。

一、等差数列的概念和性质1. 概念：等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的差相等。

这个差被称为等差数列的公差，常用字母d表示。

2. 性质：- 等差数列的通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项aₙ可由以下公式表示：aₙ = a₁ + (n-1)d 。

- 等差数列的前n项和公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和为Sₙ，则Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2。

- 等差数列的性质：（1）若首项相同，公差不同的两个等差数列相交，其交点仍为等差数列。

（2）若两个等差数列的公差之比为整数，则其和仍为等差数列。

（3）等差数列的前n项和与项数n成正比，即Sₙ与n成一次函数关系。

二、等比数列的概念和性质1. 概念：等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比相等。

这个比被称为等比数列的公比，常用字母q表示。

2. 性质：- 等比数列的通项公式：设等比数列的首项为a₁，公比为q，则第n项aₙ可由以下公式表示：aₙ = a₁ * q^(n-1)。

- 等比数列的前n项和公式：设等比数列的首项为a₁，公比为q，前n项和为Sₙ，则Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ)/(1 - q)。

- 等比数列的性质：（1）若首项相同，公比不同的两个等比数列相交，其交点仍为等比数列。

（2）若两个等比数列的公比之比为整数，则其和仍为等比数列。

（3）等比数列的前n项和与项数n成正比，但比值不为常数。

三、等差数列与等比数列的应用1. 等差数列的应用：（1）在金融领域中，等差数列用于计算复利的增长情况。

（2）在物理学中，等差数列可以用来描述物体在匀速运动中的位置和速度变化。