2017中考数学专题训练--数与式的运算与求值

数与式的运算--初升高数学专项训练专题综述初中阶段“从分数到分式”，通过观察、分析、类比，找出分式的本质特征，及它们与分数的相同点和不同点，进而归纳得出分式的概念及运算性质，我们已经运用的这些思想方法是高中继续学习的法宝.二次根式是在学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对“实数”、“整式”等内容的延伸和补充，对数与式的认识更加完善.二次根式的化简对勾股定理的应用是很好的补充；二次根式的概念、性质、化简与运算是高中学习解三角形、一元二次方程、数列和二次函数的基础.二次根式是初中阶段学习数与式的最后一章，是式的变形的终结章.当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零.本专题内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如类比的思想（指数幂运算律的推广）、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂）n的异同.通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质，掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质.课程要求《初中课程要求》1、认识了实数及相关概念，如有理数、无理数；了解了实数具有顺序性，知道字母表示数的基本代数思想2、初中会比较简单实数的大小，初步接触作差法3、理解了多项式与多项式的乘法，熟悉了平方差、完全平方公式，掌握了不超过三步的数的混合运算4、掌握了平方根、立方根运算；了解了有理式和无理式的概念；了解了整数指数幂的含义《高中课程要求》1、高中必修一中常用数集都用了符号表示，同时为数系的扩充打基础，会运算字母代表数的式子2、掌握用作差法、作商法来比较实数大小，体会变形过程中的技巧3、在高中会常常用到立方和、立方差、三数和的平方的公式，两数和、差的立方公式.高中有很多混合运算都超过三步4、必须掌握分子分母有理化的技巧、二次根式的性质根式的大小比较，会把整数指数幂的运算及其性质推广到分数指数幂知识精讲高中必备知识点1：绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即：,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．高中必备知识点2：乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22()()a b a b ab +-=-；（2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式33223()33a b a a b ab b -=-+-．高中必备知识点3：二次根式0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如32a b212x ++，22x y +，1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如-与a与，+b +与b -互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式0,0)a b ≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩高中必备知识点4：分式1．分式的意义形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B 具有下列性质：A A M B B M ⨯=⨯；A A M B B M÷=÷．上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像a b c d +，2m n p m n p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．典例剖析高中必备知识点1：绝对值【典型例题】阅读下列材料：我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即x =0x -，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为21x x -表示在数轴上数1x 与数2x 对应的点之间的距离；例1解方程|x |=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为2±，所以方程|x |=2的解为2±=x ．例2解不等式|x －1|＞2．在数轴上找出|x －1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|x －1|=2的解为x =－1或x =3，因此不等式|x －1|＞2的解集为x ＜－1或x ＞3．例3解方程|x －1|+|x +2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的x 的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的x 对应的点在1的右边或－2的左边．若x 对应的点在1的右边，可得x =2；若x 对应的点在－2的左边，可得x =－3，因此方程|x －1|+|x +2|=5的解是x =2或x =－3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x +2|=3的解为；（2）解不等式：|x －2|＜6；（3）解不等式：|x －3|+|x +4|≥9；（4）解方程:|x -2|+|x +2|+|x -5|=15.【答案】（1）1x =或x =－5；（2）－4＜x ＜8；（3）x ≥4或x ≤－5；（4）103x =-或203x =.【解析】（1）由已知可得x+2=3或x+2=-3解得1x =或x =－5．（2）在数轴上找出|x －2|=6的解．∵在数轴上到2对应的点的距离等于6的点对应的数为－4或8，∴方程|x －2|=6的解为x =－4或x =8，∴不等式|x －2|＜6的解集为－4＜x ＜8．（3）在数轴上找出|x －3|+|x +4|=9的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和－4对应的点的距离之和等于15的点对应的x 的值．∵在数轴上3和－4对应的点的距离为7，∴满足方程的x 对应的点在3的右边或－4的左边．若x对应的点在3的右边，可得x=4；若x对应的点在－4的左边，可得x=－5，∴方程|x－3|+|x+4|=9的解是x=4或x=－5，∴不等式|x－3|+|x+4|≥9的解集为x≥4或x≤－5．（4）在数轴上找出|x-2|+|x+2|+|x-5|=15的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到2和－2和5对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值．∵在数轴上-2和5对应的点的距离为7，∴满足方程的x对应的点在-2的左边或5的右边．若x对应的点在5的右边，可得203x=；若x对应的点在－2的左边，可得103x=-，∴方程|x-2|+|x+2|+|x-5|=15的解是103x=-或203x=.【变式训练】实数、在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简2+|−U−|−U.【答案】a-2b【解析】解：由数轴知：a＜0，b>0，|a|＞|b|，所以b-a>0，a-b＜0原式=|a|-（b-a）-(b-a)=-a-b+a-b+a=a-2b【能力提升】已知方程组+=5+4−=10−6的解、的值的符号相同.(1)求的取值范围；(2)化简：2+2−2−3.【答案】(1)−1<a<3；(2)4a−4.【解析】(1)+=5+s4−=10−6t，①+②得：5x =15−5a ，即x =3−a ，代入①得：y =2+2a ，根据题意得：xy =(3−a )(2+2a )>0，解得−1<a <3；(2)∵−1<a <3，∴当−1<a <3时，2+2−2−3=2a +2−23−a =2a +2−6+2a =4a −4.高中必备知识点2：乘法公式【典型例题】（1）计算：203212016(2)(2)2-⎛⎫-++-÷- ⎪⎝⎭（2）化简：2(2)(2)(2)a b a b a b +---【答案】（1）3（2）4ab-8b 2【解析】解：（1）原式=4+1+（-8）÷4=5-2=3（2）原式=a 2-4b 2-(a 2-4ab+4b 2)=a 2-4b 2-a 2+4ab-4b 2=4ab-8b 2【变式训练】计算：（1）0221( 3.14)(4)()3π--+--（2）2(3)(2)(2)x x x --+-【答案】（1）8（2）－6x+13【解析】(1)原式=1+16-9=8；(2)原式=x 2-6x+9-(x 2-4)=x 2-6x+9-x 2+4=-6x+13.【能力提升】已知10x ＝a ，5x ＝b ，求：（1）50x 的值；（2）2x 的值；（3）20x 的值．（结果用含a 、b 的代数式表示）【答案】(1)ab;(2)a b ;(3)2a b.【解析】解：（1）50x ＝10x ×5x ＝ab ；（2）2x ＝xx x 1010a 55b ⎛⎫== ⎪⎝⎭；（3）20x ＝x x 2x x 1010a 101055b ⎛⎫⨯=⨯= ⎪⎝⎭．高中必备知识点3：二次根式【典型例题】计算下面各题．（1）2163)1526(-⨯-;（2-【答案】(1)56-;(2)-【解析】（1）（）×3﹣＝﹣﹣3＝﹣（2）x4﹣4x＝2x4x﹣2x．【变式训练】÷时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算：+＝＝+．她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．【答案】不正确，见解析【解析】解：不正确，正确解答过程为：═155-1532.【能力提升】先化简，再求值：(2a b a b -+-b a b -)÷a 2b a b-+，其中．【答案】2a a b -；633+．【解析】解：(2a b a b -+-b a b -)÷a 2b a b-+=()()()()()2a b a b b a b a b a b a b a 2b ---++⋅+--=2222a 3ab b ab b 1a b a 2b-+--⋅--=()2a a 2b 1a b a 2b-⋅--=2a a b -，当+3，-3时，原式2=2=633+．高中必备知识点4：分式【典型例题】先化简，再求值22122(121x x x x x x x x +++-÷--+，其中x 满足x 2+x ﹣1＝0．【答案】21x x -,1.【解析】解：原式＝()()()221-211121x x x x x x x x---=-+210x x + ﹣＝，21x x ∴＝﹣，∴原式＝1.【变式训练】化简：22442x xy y x y-+-÷（4x 2－y 2）【答案】yx +21【解析】22442x xy y x y-+-÷（4x 2－y 2）=2(2)12(2)(2)x y x y x y x y -⨯-+-=yx +21.【能力提升】已知：112a b -=，则ab b a b ab a 7222+---的值等于多少？【答案】43-.【解析】解：∵112a b-=，∴a-b=-2ab ，则2ab 2ab 44ab 7ab 3--=--+对点精练1．下列运算正确的是（）A ．2xy xy y -＝-x x yB =C ．3x 3﹣5x 3＝﹣2D ．8x 3÷4x ＝2x 3解：A ，2()xy xy x xy y y x y x y==---，正确．B ，，不正确．C ，3x 3﹣5x 3＝﹣2x 3，不正确．D ，8x 3÷4x ＝2x 2，不正确．故选：A ．2．下列计算结果正确的是（）A ．321222x x x +=---B ．235()x x =C ．5()xy -÷3()xy -=22x y -D ．22352x y xy xy -=-【答案】A ∵321222x x x +=---，∴选项A 计算正确；∵236()x x =，∴选项B 计算错误；∵5()xy -÷3()xy -=22x y ，∴选项C 计算错误；∵223,5x y xy -不是同类项，无法计算，∴选项D 计算错误；故选A3．若式子1x x +有意义，则下列说法正确的是（）A ．1x >-且0x ≠B ．1x >-C ．1x ≠-D ．0x ≠【答案】C解：由题意可知：10x +≠∴1x ≠-4．计算3311a a a ---的结果是（）A ．3B ．0C ．1a a -D ．11a -【答案】A 解：3311a a a ---=331a a --=3(1)1a a --=3．故选A ．5．若||4=a ，||2=b ，且+a b 的绝对值与相反数相等，则-a b 的值是（）A ．2-B ．6-C ．2-或6-D ．2或6【答案】C解：∵||4=a ，||2=b ，∴4a =±，2b =±，∵+a b 的绝对值与相反数相等，∴+a b ＜0，∴4a =-，2b =±，426a b -=--=-或422a b -=-+=-，故选：C ．6．设有理数a 、b 、c 满足(0)a b c ac >><，且c b a <<，则222a b b c a c xx x ++++++﹣﹣的最小值是（）A ．2a c-B ．22a b c++C ．22a b c++D ．22a b c+-【答案】C解：∵0ac <，∴a ，c 异号，∵a b c >>，∴0a >，0c <，又∵c b a <<，∴0a b c c b a -<-<<<-<<，又∵222a b b c a c xx x ++++++﹣﹣表示到2a b +，2b c +，2a c +-三点的距离的和，当x 在2b c +时距离最小，即222a b b c a c x x x ++++++﹣﹣最小，最小值是2a b +与2a c +-之间的距离，即22abc ++．故选：C ．7．如果a ，b ，c 是非零有理数，那么a b c abc a b c abc +++的所有可能的值为（）．A ．4-，2-，0，2，4B ．4-，2-，2，4C ．0D ．4-，0，4【答案】D①a 、b 、c 均是正数，原式=1111+++=4；②a 、b 、c 均是负数，原式=1111----=4-；③a 、b 、c 中有一个正数，两个负数，原式=1111--+=0；④a 、b 、c 中有两个正数，一个负数，原式=1111+--=0；故选D ．8．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n （n 是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n 的代数式表示）（）．A B C D 【答案】C 由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n （n-1），∴第n （n 是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n （n-1）+n-3＝n 2-3，∴第n （n 是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3故选：C ．9最接近的整数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B解：原式3，∵49<54<64，∴78<<，∵27.556.25=，∴77.5<<，7，3最接近7-3即4，故选：B ．10．设a 的小数部分，b 的小数部分，则21b a -的值为（）A 1B 1+C 1--D 1+【答案】B∴a ，∴b ，∴21b a -，故选：B ．11．若113-=a b ，则分式2322a ab b a ab b +-=--______﹒【答案】35解：113-=a b 两边都乘ab ，得：3b a ab -=①2322a ab ba ab b+---()232a b aba b ab-+=--()232a b ab a b ab-+=--②将①代入②得：6333==3255ab ab ab ab ab ab -+----故答案为：35﹒12．若分式222x x x ---的值为零，则x 的值为_______．【答案】1-解：∵分式222x x x ---的值为零，∴220x x --=且20x -≠，解方程得，11x =-，22x =；解不等式得，2x ≠，∴1x =-故答案为：1-．13．已知整数a 满足13a <£，则分式2214a a a ⎛⎫-⋅ ⎪-⎝⎭的值为________．【答案】152214a a a ⎛⎫-⋅ ⎪-⎝⎭=()()222a a a a a -⋅+-=12a +，由题意0a ≠且240a -≠，所以0a ≠且2a ≠且2a ≠-，又∵整数a 满足13a <£，∴3a =，当3a =时，原式=11325=+，故答案为：15．14．计算2的结果等于_________．【答案】14-解：2222=-⨯+122=-14=-故答案为：14-．15．计算21)-=__．【答案】3解：原式21=+-3=．故答案为：3．16．化简：23a b =___________【答案】-解：要使该二次根式有意义，则有109ab->22033ab a b a b ∴∴====-＜故答案为：-17____．1解：原式===1=-．1-．18．若有理数x ，y ，z 满足（|x +1|+|x ﹣2|）（|y ﹣1|+|y ﹣3|）（|z ﹣3|+|z +3|）＝36，则x +2y +3z 的最小值是_____．【答案】﹣8解：当x ＜﹣1时，|x +1|+|x ﹣2|＝﹣（x +1）﹣（x ﹣2）＝﹣2x +1＞3，当﹣1≤x ≤2时，|x +1|+|x ﹣2|＝x +1﹣（x ﹣2）＝3，当x ＞2时，|x +1|+|x ﹣2|＝x +1+x ﹣2＝2x ﹣1＞3，所以可知|x +1|+|x ﹣2|≥3，同理可得：|y ﹣1|+|y ﹣3|≥2，|z ﹣3|+|z +3|≥6，所以（|x +1|+|x ﹣2|）（|y ﹣1|+|y ﹣3|）（|z ﹣3|+|z +3|）≥3×2×6＝36，所以|x +1|+|x ﹣2|＝3，|y ﹣1|+|y ﹣3|＝2，|z ﹣3|+|z +3|＝6，所以﹣1≤x ≤2，1≤y ≤3，﹣3≤z ≤3，∴x +2y +3z 的最大值为：2+2×3+3×3＝17，x +2y +3z 的最小值为：﹣1+2×1+3×（﹣3）＝﹣8．故答案为：﹣8．19．已知|2||1|9x x ++-=x y +的最小值为__．【答案】3-．|2||1|9x x ++-=- |2||1||1||5|9x x y y ∴++-+++-=，|2||1|x x ++- 可理解为在数轴上，数x 的对应的点到2-和1两点的距离之和；|1||5|y y ++-可理解为在数轴上，数y 的对应的点到1-和5两点的距离之和，∴当21x -，|2||1|x x ++-的最小值为3；当15y -时，|1||5|y y ++-的最小值为6，x \的范围为21x -，y 的范围为15y -，当2x =-，1y =-时，x y +的值最小，最小值为3-．故答案为：3-．20．已知式子|x+1|+|x ﹣2|+|y+3|+|y ﹣4|＝10，则x+y 的最小值是_____．【答案】4-解：∴123410x x y y ++-+++-=，∴12x -≤≤，34y -≤≤，∴x y +的最小值为4-，故答案为：4-．21．（1）计算：1031(2)|2|(2)2-⎛⎫-+---- ⎪⎝⎭；（2）先化简，再求值：221224x x x x ⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，其中1x =-．【答案】（1）9（2）24x +；5解：（1）原式1228=+-+9=．（2）原式()22422x x x x ⎛⎫=+- ⎪+-⎝⎭，(2)2(2)x x x =-++24x =+．当1x =-时，原式2(1)4=-+5=．22)1．【答案】3解：原式3=3=-+3=23．已知a ，b ，c 满足2|3|(5)0a c ++-=，请回答下列问题：（1）直接写出a ，b ，c 的值．a =_______，b =_______，c =_______．并在数轴上表示．（2）a ，b ，c 所对应的点分别为A ，B ，C ，若点A 以每秒1个单位长度向右运动，点C 以每秒3个单位长度向左运动；①运动1.5秒后，A ，C 两点相距几个单位长度．②几秒后，A ，C 两点之间的距离为4个单位长度．【答案】（1）-3，1，5，数轴见解析；（2）①2；②1秒或3秒解：（1）∵2|3|(5)0a c ++-=，∴a +3=0，b -1=0，c -5=0，∴a =-3，b =1，c =5，数轴表示如下：（2）①由题意可得：1.5秒后，点A 表示的数为：-3+1.5×1=-1.5，点C 表示的数为：5-3×1.5=0.5，0.5-（-1.5）=2，∴A ，C 两点相距2个单位长度；②设t 秒后，A ，C 两点之间的距离为4个单位长度，若点A 在点C 左侧，则-3+t +4=5-3t ，解得：t =1；若点A 在点C 右侧，则-3+t =5-3t +4，解得：t =3，综上：1秒或3秒后，A ，C 两点之间的距离为4个单位长度．24．同学们都知道，|4(2)|--表示4与2-的差的绝对值，实际上也可理解为4与2-两数在数轴上所对应的两点之间的距离：问理|3|x -也可理解为x 与3两数在数轴上所对应的两点之问的距离，试探索：（1）|4(2)|--=_______．（2）找出所有符合条件的整数x ，使|4||2|6x x -++=成立，并说明理由（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x ，|3||6|x x -+-是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．【答案】（1）6；（2）-2，-1，0，1，2，3，4，理由见解析；（3）有最小值为3解：（1）原式=|4+2|=6，故答案为：6；（2）令x -4=0或x +2=0时，则x =4或x =-2，当x ＜-2时，∴-（x -4）-（x +2）=6，∴-x +4-x -2=6，∴x =-2（范围内不成立）；当-2＜x ＜4时，∴-（x -4）+（x +2）=6，∴-x +4+x +2=6，∴6=6，∴x =-1，0，1，2，3；当x ＞4时，∴（x -4）+（x +2）=6，∴x -4+x +2=6，∴x =4（范围内不成立），∴综上所述，符合条件的整数x 有：-2，-1，0，1，2，3，4；（3）|x -3|+|x -6|表示数轴上到3和6的距离之和，∴当x 在3和6之间时（包含3和6），|x -3|+|x -6|有最小值3．25．（1）已知250x x -=，求代数式2210x x --的值；（2）化简：226993x x x x x ++---．【答案】（1；（2）33x -.解：（1）由已知得：25x x -=，∴原式()225x x =-==（2）原式2(3)(3)(3)3+=-+--x x x x x 333+=---x x x x 33x =-．26．先化简，再求值：222111x x x x x x --⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，其中x =【答案】1x x-；555解：222111x x x x x x --⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭()2122111x x x x x x -+-+=⨯+-()()21111x x x x x -+=⨯+-1x x-=．当x =555-==．27．如图，甲、乙两张卡片上均有一个系数为整数的多项式，其中乙中二次项系数因为被污染看不清楚．（1）嘉嘉认为污染的数为3-，计算“A B +”的结果；（2）若33a =“A B -”的结果是整数，请你求出满足题意的被污染的这个数．【答案】（1）2223a a --+；（2）0．解：（1）()2246323A B a a a a +=++-+--2246323a a a a =+-+--2223a a =--+；（2）设污染的数字为m ，∴()()224623A B a a ma a -+-=+--224623a a ma a =+--+-2269a a ma =+--()223a ma =--∵33a =+∴()()2233333a -=-=是整数∵A B -的结果是整数∴2ma 是整数∵(22331263a =+=+是无理数，m 是整数∴0m =即存在整数0满足题意．28．（1）计算：120220311|3|3tan 308(2021)2-⎛⎫-+-+-+ ⎪⎝⎭︒π（2）先化简再求值：2344111x x x x x ++⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，其中2x =-．【答案】（1）2；（2）22x x -+，1解：（1）12022011|3|tan 30(2021)2-⎛⎫-+---+ ⎪⎝⎭︒π3132123=-++--+131212=-++--+2=（2）2344111x x x x x ++⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭23(1)(1)111(2)x x x x x x +-+⎡⎤=-⋅⎢⎥+++⎣⎦=223(1)11(2)x x x x --+=⋅++2(2+)(2)11(2)x x x x x -+=⋅++22x x -=+，当2x =-时，原式1==．29．已知2210a a +-=，求代数式242a a a a⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭的值．【答案】22a a +，1解：242a a a a ⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭2242a a a a -=⨯-2(2)(2)2a a a a a +-=⨯-22a a =+．∵2210a a +-=，∴221a a +=．∴原式221a a =+=．30．计算：（1）()()()345222a a a ⋅÷-（2）()3242(3)2a a a -⋅+-（3）34()()x y y x -⋅-（4）2201901(1)( 3.14)3π-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭【答案】（1）4a -；（2）6a ；（3）7()x y -；（4）9-．解：（1）()()()345222a a a ⋅÷-，=()6810a a a⋅÷-，=6810a +--，=4a -；（2）()3242(3)2a a a -⋅+-，=24698a a a ⋅-，=6698a a -，=6a ；（3）34()()x y y x -⋅-，=34()()x y x y -⋅-，（4）2 201901 (1)( 3.14)3π-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭，=119 -+-，=9-．。

题型专项(一) 计算求解题本专题是对计算求解题的巩固和深化，在云南的考题中主要包括实数的运算，分式的化简求值，解方程(组)和不等式(组)，主要考查学生的计算能力，难度不大，但需要熟练掌握绝对值、特殊角的三角函数、零指数幂、负指数幂、二次根式的化简、分式的约分和通分、因式分解、整式的计算等相关知识，并密切注意运算顺序．类型1 实数的运算1．(2016·玉溪模拟)计算：(2 016－π)0－|1－2|＋2cos45°.解：原式＝1－(2－1)＋2×22 ＝1－2＋1＋ 2＝2.2．(2016·邵阳)计算：(－2)2＋2cos60°－(10－π)0.解：原式＝4＋2×12－1 ＝4＋1－1＝4.3．计算：(－1)2 017＋38－2 0170－(－12)－2. 解：原式＝－1＋2－1－4＝－4.4．(2016·宜宾)计算：(13)－2－(－1)2 016－25＋(π－1)0. 解：原式＝9－1－5＋1＝4.5．(2016·曲靖模拟改编)计算：(－12)－3－tan45°－16＋(π－3.14)0. 解：原式＝－8－1－4＋1＝－12.6．(2016·云南模拟)计算：(13)－1－2÷16＋(3.14－π)0×sin30°. 解：原式＝3－2÷4＋1×12＝3－12＋12 ＝3. 7．(2016·广安)计算： (13)－1－27＋tan60°＋|3－23|. 解：原式＝3－33＋3－3＋2 3＝0.8．(2016·云大附中模拟)计算：－2sin30°＋(－13)－1－3tan30°＋(1－2)0＋12. 解：原式＝－2×12＋(－3)－3×33＋1＋2 3 ＝－1－3－3＋1＋2 3＝3－3.类型2 分式的化简求值9．(2016·云南模拟)先化简，再求值：x －32x －4÷x 2－9x －2，其中x ＝－5. 解：原式＝x －32（x －2）·x －2（x ＋3）（x －3）＝12（x ＋3）. 将x ＝－5代入，得原式＝－14. 10．(2016·泸州改编)先化简，再求值：(a ＋1－3a －1)·2a －2a ＋2，其中a ＝2. 解：原式＝（a ＋1）（a －1）－3a －1·2（a －1）a ＋2＝a 2－4a －1·2（a －1）a ＋2＝（a ＋2）（a －2）a －1·2（a －1）a ＋2 ＝2a －4.当a ＝2时，原式＝2×2－4＝0.11．(2016·红河模拟)化简求值：[x ＋2x （x －1）－1x －1]·x x －1，其中x ＝2＋1. 解：原式＝[x ＋2x （x －1）－x x （x －1）]·x x －1＝2x （x －1）·x x －1 ＝2（x －1）2. 将x ＝2＋1代入，得原式＝2（2＋1－1）2＝2（2）2＝22＝1. 12．(2015·昆明二模)先化简，再求值：(a a －b －1)÷b a 2－b2，其中a ＝3＋1，b ＝3－1. 解：原式＝a －（a －b ）a －b ·（a ＋b ）（a －b ）b＝b a －b ·（a ＋b ）（a －b ）b＝a ＋b.当a ＝3＋1，b ＝3－1时，原式＝3＋1＋3－1＝2 3.13．(2016·昆明盘龙区一模)先化简，再求值：x 2－1x 2－x ÷(2＋x 2＋1x)，其中x ＝2sin45°－1. 解：原式＝（x ＋1）（x －1）x （x －1）÷2x ＋x 2＋1x＝（x ＋1）（x －1）x （x －1）·x （x ＋1）2 ＝1x ＋1. 当x ＝2sin45°－1＝2×22－1＝2－1时， 原式＝12－1＋1＝22. 14．(2016·云南考试说明)已知x －3y ＝0，求2x ＋y x 2－2xy ＋y2·(x －y)的值． 解：原式＝2x ＋y （x －y ）2·(x －y) ＝2x ＋y x －y. 由题有：x ＝3y ，所以原式＝6y ＋y 3y －y ＝72.15．(2016·西宁)化简：2x x ＋1－2x ＋4x 2－1÷x ＋2x 2－2x ＋1，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值．解：原式＝2x x ＋1－2（x ＋2）（x ＋1）（x －1）·（x －1）2x ＋2＝2x x ＋1－2x －2x ＋1 ＝2x －2x ＋2x ＋1 ＝2x ＋1.∵不等式x ≤2的非负整数解是0，1，2，∴答案不唯一，如：把x ＝0代入2x ＋1＝2.(注意x ＝1时会使得原分式中分母为零，所以x 不能取1)16．(2016·昆明盘龙区二模)先化简，再求值：(a 2－b 2a 2－2ab ＋b 2＋a b －a )÷b 2a 2－ab，其中a ，b 满足a ＋1＋|b －3|＝0. 解：原式＝[（a ＋b ）（a －b ）（a －b ）2－a a －b ]·a （a －b ）b2 ＝(a ＋b a －b －a a －b )·a （a －b ）b2 ＝b a －b ·a （a －b ）b 2 ＝a b. 又∵a ＋1＋|b －3|＝0，∴a ＝－1，b ＝ 3.∴原式＝－13＝－33. 类型3 方程(组)的解法17．(2016·武汉)解方程：5x ＋2＝3(x ＋2)．解：去括号，得5x ＋2＝3x ＋6.移项、合并同类项，得2x ＝4.系数化为1，得x ＝2. 18．(2015·中山)解方程：x 2－3x ＋2＝0.解：(x －1)(x －2)＝0.∴x 1＝1，x 2＝2.19．(2015·宁德)解方程：1－2x －3＝1x －3. 解：去分母，得x －3－2＝1.解得x ＝6.检验，当x ＝6时，x －3≠0.∴原方程的解为x ＝6.20．(2015·黔西南)解方程：2x x －1＋11－x＝3. 解：去分母，得2x －1＝3(x －1)．去括号、移项、合并同类项，得－x ＝－2.系数化为1，得x ＝2.检验，当x ＝2时，x －1≠0.∴x ＝2是原分式方程的解．21．(2015·重庆)解二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝1，①x ＋3y ＝6.② 解：②－①，得5y ＝5，y ＝1.将y ＝1代入①，得x －2＝1，x ＝3.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1. 22．(2015·荆州)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝－1，①x ＋3y ＝7.②解：②×3，得3x ＋9y ＝21.③③－①，得11y ＝22，y ＝2.把y ＝2代入②，得x ＋6＝7，x ＝1.∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. 23．(2016·山西)解方程：2(x －3)2＝x 2－9.解：原方程可化为2(x －3)2＝(x ＋3)(x －3)．2(x －3)2－(x ＋3)(x －3)＝0.(x －3)[2(x －3)－(x ＋3)]＝0.(x －3)(x －9)＝0.∴x －3＝0或x －9＝0.∴x 1＝3，x 2＝9.类型4 不等式(组)的解法24．(2016·丽水)解不等式：3x －5<2(2＋3x)．解：去括号，得3x －5<4＋6x.移项、合并同类项，得－3x<9.系数化为1，得x ＞－3.25．(2016·淮安)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1<x ＋5，①4x>3x ＋2.② 解：解不等式①，得x<4.解不等式②，得x>2.∴不等式组的解集为2＜x ＜4.26．(2016·苏州)解不等式2x －1>3x －12，并把它的解集在数轴上表示出来． 解：4x －2>3x －1.x>1.这个不等式的解集在数轴上表示如图：27．(2016·广州)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧2x<5，①3（x ＋2）≥x ＋4，②并在数轴上表示解集．解：解不等式①，得x<52. 解不等式②，得x ≥－1.解集在数轴上表示为：28．(2016·南京)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1≤2（x ＋1），①－x<5x ＋12，②并写出它的整数解． 解：解不等式①，得x ≤1.解不等式②，得x>－2.所以不等式组的解集是－2<x ≤1.该不等式组的整数解是－1，0，1.。

中档题型专训(一)数与式的运算与求值实数的运算【例1】(2017乐山中考)计算：2sin 60°＋|1－3|＋2 0170－27.【解析】特殊角三角函数要牢记．【答案】解：原式＝2×32＋3－1＋1－3 3 ＝－ 3.1．(2017达州中考)计算： 2 0170－|1－2|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＋2cos 45°.解：原式＝1－2＋1＋3＋2×22 ＝5－2＋ 2＝5.2．(2017泸州中考)计算：(－3)2＋2 0170－18×sin 45°.解：原式＝9＋1－32×22 ＝10－3＝7.3．(2017桂林中考)计算：(－2 017)0－sin 30°＋8＋2－1.解：原式＝1－12＋22＋12＝1＋2 2.4．(2017兰州中考)计算： (2－3)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2－|－2|－2cos 60°.解：原式＝1＋4－2－2×12 ＝2.整式的运算与求法【例2】(2017怀化中考)先化简，再求值：(2a －1)2－2(a ＋1)(a －1)－a(a －2)，其中a ＝2＋1.【解析】先利用公式及去括号法则化简，再代入求值．【答案】解：原式＝4a 2－4a ＋1－2a 2＋2－a 2＋2a＝a 2－2a ＋3，当a ＝2＋1时，原式＝3＋22－22－2＋3＝4.5．(2017常州中考)先化简，再求值：(x ＋2)(x －2)－x(x －1)，其中x ＝－2.解：原式＝x 2－4－x 2＋x＝x －4，当x ＝－2时，原式＝－6.6．(2017长春中考)先化简，再求值：3a(a 2＋2a ＋1)－2(a ＋1)2，其中a ＝2.解：原式＝3a 3＋6a 2＋3a －2a 2－4a －2＝3a 3＋4a 2－a －2，当a ＝2时，原式＝24＋16－2－2＝36.7．(2017河南中考)先化简，再求值：(2x ＋y)2＋(x －y)(x ＋y)－5x(x －y)，其中x ＝2＋1，y ＝2－1.解：原式＝4x 2＋4xy ＋y 2＋x 2－y 2－5x 2＋5xy＝9xy ，当x ＝2＋1，y ＝2－1时，原式＝9(2＋1)(2－1)＝9×(2－1)＝9×1＝9.8．已知(x －2＋3)2＋|y ＋2＋3|＝0，求(x ＋2y)2－(x －2y)2的值．解：∵(x－2＋3)2＋|y ＋2＋3|＝0，∴x ＝2－3，y ＝－2－3，又∵(x＋2y)2－(x －2y)2＝x 2＋4xy ＋4y 2－x 2＋4xy －4y 2＝8xy ，把x ＝2－3，y ＝－2－3代入得，原式＝8×(2－3)×(－2－3)＝－8.分式的化简求值【例3】(2017鄂州中考)先化简，再求值： ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋3－3x x ＋1÷x 2－x x ＋1，其中x 的值从不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2－x≤3，2x －4＜1的整数解中选取． 【解析】先化简，再解不等式组．【答案】解：原式＝(x 2－1x ＋1＋3－3x x ＋1)÷x （x －1）x ＋1＝x 2－3x ＋2x ＋1·x ＋1x （x －1）＝（x －1）（x －2）x ＋1·x ＋1x （x －1） ＝x －2x ， 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2－x≤3，2x －4＜1，得－1≤x＜52， ∴不等式组的整数解有－1，0，1，2，∵不等式有意义时x≠±1、0，∴x ＝2，则原式＝0.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－4x ＋3x －3－13－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－2x ＋1x 2－3x ＋2－2x －2，其中x ＝4. 解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－4x ＋3x －3＋1x －3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －1）2（x －1）（x －2）－2x －2 ＝（x －2）2x －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2－2x －2 ＝（x －2）2x －3·x －3x －2＝x －2，当x ＝4时，原式＝4－2＝2.10．(2017东营中考)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1－a ＋1÷a 2－4a ＋4a ＋1＋4a －2－a ，并从－1，0，2中选一个合适的数作为a 的值代入求值． 解：原式＝3－（a －1）（a ＋1）a ＋1·a ＋1（a －2）2＋4a －2－a ＝－（a ＋2）（a －2）（a －2）2＋4a －2－a ＝－a －2a －2＋4a －2－a ＝－（a －2）a －2－a ＝－a －1，当a ＝0时，原式＝－0－1＝－1.11．(2017聊城中考)先化简，再求值：2－3x ＋y x －2y ÷9x 2＋6xy ＋y 2x 2－4y 2，其中x ＝3，y ＝－4. 解：原式＝2－3x ＋y x －2y ·（x ＋2y ）（x －2y ）（3x ＋y ）2 ＝2－x ＋2y 3x ＋y＝2（3x ＋y ）－（x ＋2y ）3x ＋y ＝6x ＋2y －x －2y 3x ＋y ＝5x 3x ＋y ， 当x ＝3，y ＝－4时，原式＝5×33×3＋（－4）＝159－4＝155＝3. 12．(2017玉林中考)化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1－3a －1÷a －22a －2，然后给a 从1，2，3中选取一个合适的数代入求值． 解：原式＝（a ＋1）（a －1）－3a －1·2（a －1）a －2＝（a ＋2）（a －2）a －1·2（a －1）a －2＝2(a ＋2)＝2a ＋4，当a ＝3时，原式＝6＋4＝10.x ＋3x －2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2－5x －2，其中x ＝3＋ 3. 解：原式＝x ＋3x －2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－4x －2－5x －2 ＝x ＋3x －2÷x 2－9x －2＝x ＋3x －2·x －2（x ＋3）（x －3） ＝1x －3， 当x ＝3＋3时，原式＝13＋3－3＝13＝33. 14．(2017荆州中考)先化简，再求值： x ＋1x －1－1x 2－1÷1x ＋1，其中x ＝2. 解：原式＝x ＋1x －1－1（x －1）（x ＋1）·(x ＋1) ＝x ＋1x －1－1x －1 ＝x x －1， 当x ＝2时，原式＝22－1＝21＝2.。

2017中考数学专题训练(一)数与式的运算与求值本专题主要考查实数的运算、整式与分式的化简与求值，纵观5年中考往往以计算题、化简求值题的形式出现，属基础题．复习时要熟练掌握实数的各种运算，并注意混合运算中的符号与运算顺序；在整式化简时要灵活运用乘法公式及运算律；在分式的化简时要灵活运用因式分解知识，分式的化简求值，还应注意整体思想和各种解题技巧．类型1 实数的运算【例1】计算：|－3|＋2sin 45°＋tan 60°－(－13)－1－12＋(π－3)0.【解析】先理清和熟悉每项小单元的运算方法，把握运算的符号技巧． 【学生解答】原式＝3＋2×22＋3－(－3)－23＋1＝3＋1＋3＋3－23＋1＝5. 针对练习1．(2016莆田中考)计算：|2－3|－16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫130. 解：原式＝3－2－4＋1＝－ 2.2．(2016丹东中考)计算：4sin 60°＋|3－12|－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋(π－2 016)0.解：原式＝4×32＋ (23－3)－2＋1 ＝23＋23－3－2＋1 ＝43－4.3．(2016茂名中考)计算：(－1)2 016＋8－|－2|－(π－3.14)0.解：原式＝1＋22－2－1 ＝22－ 2 ＝ 2.4．(2016岳阳中考)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－12＋2tan 60°－(2－3)0.解：原式＝3－23＋23－1＝2.类型2 整式的运算与求法【例2】先化简，再求值：(x ＋y )(x －y )－(4x 3y －8xy 3)÷2xy ，其中x ＝－1，y ＝33. 【解析】认真观察式子特点，灵活运用乘法公式化简，再考虑代入求值． 【学生解答】原式＝x 2－y 2－2x 2＋4y 2＝－x 2＋3y 2，当x ＝－1，y ＝33时，原式＝－1＋1＝0. 针对练习5．(2016茂名中考)先化简，再求值：x (x －2)＋(x ＋1)2，其中x ＝1. 解：原式＝x 2－2x ＋x 2＋2x ＋1＝2x 2＋1.当x ＝1时，原式＝2×12＋1＝3.6．(2016吉林中考)先化简，再求值(x ＋2)(x －2)＋x (4－x )，其中x ＝14.解：原式＝x 2－4＋4x －x 2＝4x －4.当x ＝14时，原式＝4×14－4＝－3.7．已知x 2－4x －1＝0，求代数式(2x －3)2－(x ＋y )(x －y )－y 2的值．解：原式＝4x 2－12x ＋9－x 2＋y 2－y 2＝3x 2－12x ＋9＝3(x 2－4x ＋3)，∵x 2－4x －1＝0，即x 2－4x ＝1，∴原式＝12.8．已知多项式A ＝(x ＋2)2＋(1－x )(2＋x )－3. (1)化简多项式A ；(2)若(x ＋1)2＝6，求A 的值．解：(1)A ＝x 2＋4x ＋4＋2－2x ＋x －x 2－3＝3x ＋3；(2)(x ＋1)2＝6，则x ＋1＝±6，∴A ＝3x ＋3＝3(x ＋1)＝±3 6.类型3 分式的化简求值【例3】已知x 2－4x ＋1＝0，求2（x －1）x －4－x ＋6x的值．【解析】先化简所求式子，再看其结果与已知条件之间的联系，能否整体代入．【学生解答】原式＝2x （x －1）－（x －4）（x ＋6）x （x －4）＝x 2－4x ＋24x 2－4x ，∵x 2－4x ＋1＝0，∴x 2－4x ＝－1.原式＝－1＋24－1＝－23. 针对练习9．(2016随州中考)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1－x ＋1÷x 2＋4x ＋4x ＋1，其中x ＝2－2.解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋1－（x ＋1）（x －1）x ＋1·x ＋1（x ＋2）2＝－（x ＋2）（x －2）x ＋1·x ＋1（x ＋2）2＝2－x x ＋2，当x ＝2－2时，原式＝2－2＋22－2＋2＝4－22＝22－1.10．先化简代数式 (3a a －2－a a ＋2)÷aa 2－4，再从0，1，2三个数中选择适当的数作为a 的值代入求值．解：原式＝3a （a ＋2）－a （a －2）（a ＋2）（a －2）·（a ＋2）（a －2）a ＝2a 2＋8a （a ＋2）（a －2）·（a ＋2）（a －2）a ＝2a （a ＋4）a＝2a ＋8.当a ＝1时，2a ＋8＝10.11.先化简，再求值：(a ＋1a ＋2)÷(a －2＋3a ＋2)，其中a 满足a －2＝0.解：原式＝a （a ＋2）＋1a ＋2÷a 2－4＋3a ＋2＝（a ＋1）2a ＋2·a ＋2（a ＋1）（a －1）＝a ＋1a －1，当a －2＝0，即a ＝2时，原式＝312．(2016烟台中考)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－y x －x －1÷x 2－y 2x 2－2xy ＋y 2，其中x ＝2，y ＝ 6.解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－y x －x 2x －x x ×（x －y ）2（x ＋y ）（x －y ）＝－y －x x ×x －y x ＋y ＝－x －y x ，把x ＝2，y ＝6代入得：原式＝－2－62＝－1＋ 3.13．(2016张家界中考)先化简，后求值：⎝⎛⎭⎪⎫x x －2－4x 2－2x ÷x ＋2x 2－x，其中x 满足x 2－x －2＝0.解：原式＝x 2－4x （x －2）·x （x －1）x ＋2＝（x ＋2）（x －2）x （x －2）·x （x －1）x ＋2＝x －1，解方程x 2－x －2＝0，得x 1＝－1，x 2＝2，当x ＝2时，原分式无意义，所以当x ＝－1时，原式＝－1－1＝－2.14．(2016河南中考)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋x －1÷x 2－1x 2＋2x ＋1，其中x 的值从不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－x≤1，2x －1<4的整数解中选取．解：原式＝x －x 2－x x （x ＋1）·x ＋1x －1＝－x x ＋1·x ＋1x －1＝x 1－x ，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－x≤1，2x －1<4得－1≤x <52，当x ＝2时，原式＝21－2＝－2.。

题型专项(一) 计算求解题 本专题是对计算求解题的巩固和深化，在云南的考题中主要包括实数的运算，分式的化简求值，解方程(组)和不等式(组)，主要考查学生的计算能力，难度不大，但需要熟练掌握绝对值、特殊角的三角函数、零指数幂、负指数幂、二次根式的化简、分式的约分和通分、因式分解、整式的计算等相关知识，并密切注意运算顺序． 类型1 实数的运算1．(2016·玉溪模拟)计算：(2 016－π)0－|1－2|＋2cos45°.解：原式＝1－(2－1)＋2×22 ＝1－2＋1＋ 2＝2.2．(2016·邵阳)计算：(－2)2＋2cos60°－(10－π)0.解：原式＝4＋2×12－1 ＝4＋1－1＝4.3．计算：(－1)2 017＋38－2 0170－(－12)－2. 解：原式＝－1＋2－1－4＝－4.4．(2016·宜宾)计算： (13)－2－(－1)2 016－25＋(π－1)0. 解：原式＝9－1－5＋1＝4.5．(2016·曲靖模拟改编)计算：(－12)－3－tan45°－16＋(π－3.14)0. 解：原式＝－8－1－4＋1＝－12.6．(2016·云南模拟)计算： (13)－1－2÷16＋(3.14－π)0×sin30°. 解：原式＝3－2÷4＋1×12＝3－12＋12＝3.7．(2016·广安)计算： (13)－1－27＋tan60°＋|3－23|.解：原式＝3－33＋3－3＋2 3＝0.8．(2016·云大附中模拟)计算：－2sin30°＋(－13)－1－3tan30°＋(1－2)0＋12. 解：原式＝－2×12＋(－3)－3×33＋1＋2 3 ＝－1－3－3＋1＋2 3 ＝3－3.类型2 分式的化简求值9．(2016·云南模拟)先化简，再求值：x －32x －4÷x 2－9x －2，其中x ＝－5. 解：原式＝x －32（x －2）·x －2（x ＋3）（x －3）＝12（x ＋3）. 将x ＝－5代入，得原式＝－14. 10．(2016·泸州改编)先化简，再求值：(a ＋1－3a －1)·2a －2a ＋2，其中a ＝2. 解：原式＝（a ＋1）（a －1）－3a －1·2（a －1）a ＋2＝a 2－4a －1·2（a －1）a ＋2＝（a ＋2）（a －2）a －1·2（a －1）a ＋2 ＝2a －4.当a ＝2时，原式＝2×2－4＝0.11．(2016·红河模拟)化简求值：[x ＋2x （x －1）－1x －1]·x x －1，其中x ＝2＋1. 解：原式＝[x ＋2x （x －1）－x x （x －1）]·x x －1＝2x （x －1）·x x －1 ＝2（x －1）2. 将x ＝2＋1代入，得 原式＝2（2＋1－1）2＝2（2）2＝22＝1. 12．(2015·昆明二模)先化简，再求值：(a a －b －1)÷b a 2－b2，其中a ＝3＋1，b ＝3－1. 解：原式＝a －（a －b ）a －b ·（a ＋b ）（a －b ）b＝b a －b ·（a ＋b ）（a －b ）b＝a ＋b.当a ＝3＋1，b ＝3－1时，原式＝3＋1＋3－1＝2 3.13．(2016·昆明盘龙区一模)先化简，再求值：x 2－1x 2－x ÷(2＋x 2＋1x)，其中x ＝2sin45°－1. 解：原式＝（x ＋1）（x －1）x （x －1）÷2x ＋x 2＋1x＝（x ＋1）（x －1）x （x －1）·x （x ＋1）2 ＝1x ＋1. 当x ＝2sin45°－1＝2×22－1＝2－1时， 原式＝12－1＋1＝22. 14．(2016·云南考试说明)已知x －3y ＝0，求2x ＋y x 2－2xy ＋y2·(x －y)的值． 解：原式＝2x ＋y （x －y ）2·(x －y) ＝2x ＋y x －y . 由题有：x ＝3y ， 所以原式＝6y ＋y 3y －y ＝72.15．(2016·西宁)化简：2x x ＋1－2x ＋4x 2－1÷x ＋2x 2－2x ＋1，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值． 解：原式＝2x x ＋1－2（x ＋2）（x ＋1）（x －1）·（x －1）2x ＋2＝2x x ＋1－2x －2x ＋1 ＝2x －2x ＋2x ＋1 ＝2x ＋1. ∵不等式x ≤2的非负整数解是0，1，2， ∴答案不唯一，如：把x ＝0代入2x ＋1＝2.(注意x ＝1时会使得原分式中分母为零，所以x 不能取1)16．(2016·昆明盘龙区二模)先化简，再求值：(a 2－b 2a 2－2ab ＋b 2＋a b －a )÷b 2a 2－ab，其中a ，b 满足a ＋1＋|b －3|＝0. 解：原式＝[（a ＋b ）（a －b ）（a －b ）2－a a －b ]·a （a －b ）b2 ＝(a ＋b a －b －a a －b )·a （a －b ）b 2 ＝b a －b ·a （a －b ）b2 ＝a b. 又∵a ＋1＋|b －3|＝0，∴a ＝－1，b ＝ 3.∴原式＝－13＝－33. 类型3 方程(组)的解法17．(2016·武汉)解方程：5x ＋2＝3(x ＋2)．解：去括号，得5x ＋2＝3x ＋6.移项、合并同类项，得2x ＝4.系数化为1，得x ＝2.18．(2015·中山)解方程：x 2－3x ＋2＝0.解：(x －1)(x －2)＝0.∴x 1＝1，x 2＝2.19．(2015·宁德)解方程：1－2x －3＝1x －3. 解：去分母，得x －3－2＝1.解得x ＝6.检验，当x ＝6时，x －3≠0.∴原方程的解为x ＝6.20．(2015·黔西南)解方程：2x x －1＋11－x＝3. 解：去分母，得2x －1＝3(x －1)．去括号、移项、合并同类项，得－x ＝－2.系数化为1，得x ＝2.检验，当x ＝2时，x －1≠0.∴x ＝2是原分式方程的解．21．(2015·重庆)解二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝1，①x ＋3y ＝6.② 解：②－①，得5y ＝5，y ＝1.将y ＝1代入①，得x －2＝1，x ＝3.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1. 22．(2015·荆州)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝－1，①x ＋3y ＝7.② 解：②×3，得3x ＋9y ＝21.③③－①，得11y ＝22，y ＝2.把y ＝2代入②，得x ＋6＝7，x ＝1.∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. 23．(2016·山西)解方程：2(x －3)2＝x 2－9.解：原方程可化为2(x －3)2＝(x ＋3)(x －3)．2(x －3)2－(x ＋3)(x －3)＝0.(x －3)[2(x －3)－(x ＋3)]＝0.(x －3)(x －9)＝0.∴x －3＝0或x －9＝0.∴x 1＝3，x 2＝9.类型4 不等式(组)的解法24．(2016·丽水)解不等式：3x －5<2(2＋3x)．解：去括号，得3x －5<4＋6x.移项、合并同类项，得－3x<9.系数化为1，得x ＞－3.25．(2016·淮安)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1<x ＋5，①4x>3x ＋2.② 解：解不等式①，得x<4.解不等式②，得x>2.∴不等式组的解集为2＜x ＜4.26．(2016·苏州)解不等式2x －1>3x －12，并把它的解集在数轴上表示出来． 解：4x －2>3x －1.x>1.这个不等式的解集在数轴上表示如图：27．(2016·广州)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧2x<5，①3（x ＋2）≥x ＋4，②并在数轴上表示解集． 解：解不等式①，得x<52. 解不等式②，得x ≥－1.解集在数轴上表示为：28．(2016·南京)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1≤2（x ＋1），①－x<5x ＋12，②并写出它的整数解． 解：解不等式①，得x ≤1.解不等式②，得x>－2.所以不等式组的解集是－2<x ≤1.该不等式组的整数解是－1，0，1.。

题型专项(一) 数与式的运算类型1 实数的运算1．计算：|3－3|－16＋(13)0. 解：原式＝3－3－4＋1＝－ 3.2．(2016·孝感)计算：9＋|－4|＋2sin 30°－32.解：原式＝3＋4＋2×12－9＝－1.3．(2016·山西)计算：(－3)2－(15)－1－8×2＋(－2)0. 解：原式＝9－5－4＋1＝1.4．(2016·成都涪城区二诊)计算：8＋|(3－1)0－2sin 45°|＋2－1.解：原式＝22＋|1－2|＋12＝22＋2－1＋12＝32－12.5．计算：38－(－2 017)0＋|－3|－4cos 45°.解：原式＝2－1＋3－4×22＝4－2 2.6．(2016·自贡)计算：(12)－1＋(sin 60°－1)0－2cos 30°＋||3－1. 解：原式＝2＋1－2×32＋3－1＝2.7．(2016·眉山改编)计算：(2＋1)0－3tan 30°＋(－1)2 017－(13)－1. 解：原式＝1－3×33－1－3 ＝1－3－1－3＝－3－3.8．(2016·德阳中江模拟)计算：（－3）2＋3×|1－3|＋(－12)－1＋3tan 60°. 解：原式＝3＋3×(3－1)＋(－2)＋3× 3 ＝63－2.9．计算：|－3|－(－1)2 017×(π－2 016)0－327＋(13)－3. 解：原式＝3－(－1)－3＋27＝28.10．(2015·广元)计算：(2 015－π)0＋(－13)－1＋|3－2|－3tan 30°＋613. 解：原式＝1＋(－3)＋(2－3)－3×33＋6×33 ＝1－3＋2－3－3＋2 3＝0.类型2 分式的运算11．(2016·南充二诊)化简：(1－a a ＋1＋1)÷2a 2－1. 解：原式＝1－a ＋1＋a a ＋1·（a ＋1）（a －1）2 ＝2a ＋1·（a ＋1）（a －1）2 ＝a －1.12．(2016·雅安中学三诊)化简：(a －1a 2－4a ＋4－a ＋2a 2－2a )÷(4a－1)． 解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a （a －1）a （a －2）2－（a ＋2）（a －2）a （a －2）2÷4－a a ＝4－a a （a －2）2·a 4－a ＝1（a －2）2.13．(2016·资阳乐至县模拟)先化简，再求值：1x ＋1－3－x x 2－6x ＋9÷x 2＋x x －3，其中x ＝ 2. 解：原式＝1x ＋1－3－x （x －3）2·x －3x （x ＋1） ＝1x ＋1＋1x （x ＋1） ＝x x （x ＋1）＋1x （x ＋1）＝1x. 当x ＝2时，原式＝12＝22.14．(2016·广安)先化简，再求值：(x x －3－1x －3)÷x 2－1x 2－6x ＋9，其中x 满足2x ＋4＝0.解：原式＝x －1x －3·（x －3）2（x ＋1）（x －1）＝x －3x ＋1. 由2x ＋4＝0，得x ＝－2.∴原式＝5.15．(2016·眉山仁寿县二模)先化简，再求值：a 2－2ab ＋b 2a 2－b 2÷(1a －1b )，其中a ＝2＋1，b ＝2－1. 解：原式＝（a －b ）2（a ＋b ）（a －b ）÷b －a ab＝－a －b a ＋b ·ab a －b＝－ab a ＋b. 当a ＝2＋1，b ＝2－1时，原式＝－122＝－24.16．(2016·齐齐哈尔)先化简，再求值：(1－2x )÷x 2－4x ＋4x 2－4－x ＋4x ＋2，其中x 2＋2x －15＝0. 解：原式＝x －2x ÷（x －2）2（x ＋2）（x －2）－x ＋4x ＋2 ＝x －2x ·（x ＋2）（x －2）（x －2）2－x ＋4x ＋2 ＝x ＋2x －x ＋4x ＋2 ＝4x 2＋2x . ∵x 2＋2x －15＝0，∴x 2＋2x ＝15.∴原式＝415.17．(2016·毕节)已知A ＝(x －3)÷（x ＋2）（x 2－6x ＋9）x 2－4－1. (1)化简A ；(2)若x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＜x ，①1－x 3＜43，②且x 为整数时，求A 的值． 解：(1)A ＝(x －3)·（x ＋2）（x －2）（x ＋2）（x －3）2－1＝x －2x －3－1＝x －2－x ＋3x －3＝1x －3. (2)由①，得x ＜1.由②，得x ＞－1∴不等式组的解集为－1＜x ＜1.∵x 为整数，∴x ＝0.则A ＝－13.18．(2016·朝阳)先化简，再求值：x 2＋x x 2－2x ＋1÷(2x －1－1x)，请你从－1≤x ＜3的范围内选取一个你喜欢的整数作为x 的值．解：原式＝x （x ＋1）（x －1）2÷2x －x ＋1x （x －1）＝x （x ＋1）（x －1）2·x （x －1）x ＋1＝x 2x －1. ∵－1≤x ＜3，x 为整数， ∴x ＝－1，0，1或2.经检验x ＝0，1不合题意，舍去． 则当x ＝2时，原式＝4.。

中考专题数与式(1.实数与二次根式)一．选择题1.实数﹣2015的绝对值是（ ）2.﹣2的相反数是（ ）3.的倒数是（ ）9.的相反数是（ ） 4.比较大小：3__________ －2(填>、<或=）5. 64的立方根是（ ）A ． 4B ． ±4C ． 8D ． ±8 6.与无理数 31 ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）77. 4的算术平方根是( )A . ±2B . 2C . −2 8.下列说法正确的是（ ）A ．22-=- B ．0的倒数是0 C ．4的平方根是2 D ．－3的相反数是3 10.以下四个选项表示某天四个城市的平均气温，其中平均气温最低的是（ ） A .－3℃ B .15℃ C .－10℃ D .－1℃ 11.在 这四个数中，最大的数是（ ）12.在－4，2，－1，3这四个数中，比－2小的数是（ ） 24.（2015•浙江滨州,第2题3分） 下列运算：3sin 302=82=02,24ππ-==- .其中运算结果正确的个数为( )A .4 B.3 C .2 D .113．(2015•江苏苏州,第4题3分)若 ，则有( ) A ．0＜m ＜1 B ．－1＜m ＜0 C ．－2＜m ＜－1 D ．－3＜m ＜－216．据中国新闻网报道，在2014年11月17日公布的全球超级计算机500强榜单中，国防科技大学研制的“天河”二号超级计算机，以峰值计算速度每秒5.49亿亿次、持续计算速度每秒3.39亿亿次双精度浮点运算的优异性能位居榜首，第四次摘得全球运行速度最快的超级计算机桂冠．用科学记数法表示“5.49亿”，记作（ ） 17．（2015•山东威海，第1题3分）检验4个工件，其中超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数．从轻重的角度看，最接近标准的工件是（ ） A ． ﹣2 B ． ﹣3 C ． 3 D ． 518．2015年5月17日是第25个全国助残日，今年全国助残日的主题是“关注孤独症儿童，走向美好未来”．第二次全国残疾人抽样调查结果显示，我国0～6岁精神残疾儿童约为11.1万人．11.1万用科学记数法表示为（ ）19．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料 ，其理论厚度仅是0．00000000034m ,这个数用科学记 数法表示正确的是（ ）二．计算1.计算：()()()12015019333tan 30π---+-+ 2．计算：.(0412220154cos 60--+-+--()222m =-()03.14π-()00,2,3,5--2.整式【考点链接】1. 代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把 或表示 连接而成的式子叫做代数式.2. 代数式的值：用 代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的 叫做代数式的值.3. 整式 （1）单项式：由数与字母的 组成的代数式叫做单项式（单独一个数或 也是单项式）.单项式中的 叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的 叫做这个单项式的次数.(2) 多项式：几个单项式的 叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫 做多项式的 ,其中次数最高的项的 叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做 .(3) 整式： 与 统称整式.4. 同类项：在一个多项式中，所含 相同并且相同字母的 也分别相等的项叫做同类项. 合并同类项的法则是 相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数 。

滚动小专题(一) 数与式的计算求值题类型1 实数的运算1．(2016·苏州)计算：(5)2＋|－3|－(π＋3)0.解：原式＝5＋3－1＝7.2．(2016·邵阳)计算：(－2)2＋2cos60°－(10－π)0.解：原式＝4＋2×12－1 ＝4＋1－1＝4.3．(2016·广东)计算：|－3|－(2 016＋sin30°)0－(－12)－1. 解：原式＝3－1－(－2)＝3－1＋2＝4.4．(2016·宜宾)计算：(13)－2－(－1)2 016－25＋(π－1)0. 解：原式＝9－1－5＋1＝4.5．(2016·泉州)计算：(π－3)0＋|－2|－20÷5＋(－1)－1.解：原式＝1＋2－205－1 ＝1＋2－2－1＝0.6．(2016·广安)计算：(13)－1－27＋tan60°＋|3－23|. 解：原式＝3－33＋3－3＋2 3＝0.7．(2016·毕节)计算：(π－3.14)0＋|2－1|－(22)－1－2sin45°＋(－1)2 016. 解：原式＝1＋2－1－2－2×22＋1 ＝1－ 2.类型2 整式的运算8．(2015·嘉兴)化简：a(2－a)＋(a ＋1)(a －1)．解：原式＝2a －a 2＋a 2－1＝2a －1.9．(2015·重庆B 卷)化简：2(a ＋1)2＋(a ＋1)(1－2a)．解：原式＝(a ＋1)(2a ＋2＋1－2a)＝3(a ＋1)＝3a ＋3.10．(2016·邵阳)先化简，再求值：(m －n)2－m(m －2n)，其中m ＝3，n ＝ 2.解：原式＝m 2－2mn ＋n 2－m 2＋2mn＝n 2.当n ＝2时，原式＝2.11．(2016·衡阳)先化简，再求值：(a ＋b)(a －b)＋(a ＋b)2，其中a ＝－1，b ＝12. 解：原式＝a 2－b 2＋a 2＋2ab ＋b 2＝2a 2＋2ab.当a ＝－1，b ＝12时， 原式＝2×(－1)2＋2×(－1)×12＝2－1＝1.类型3 分式的运算12．(2016·资阳)化简：(1＋1a －1)÷a a 2－2a ＋1. 解：原式＝a a －1÷a （a －1）2 ＝a a －1·（a －1）2a＝a －1.13．(2016·聊城)计算：(x ＋8x 2－4－2x －2)÷x －4x 2－4x ＋4. 解：原式＝x ＋8－2（x ＋2）（x ＋2）（x －2）·（x －2）2x －4＝－（x －4）（x ＋2）（x －2）·（x －2）2x －4＝－x －2x ＋2. 14．(2016·舟山)先化简，再求值：(1＋1x －1)÷x 2，其中x ＝2 016. 解：原式＝x －1＋1x －1·2x＝x x －1·2x ＝2x －1. 当x ＝2 016时，原式＝22 016－1＝22 015. 15．(2016·广东)先化简，再求值：a ＋3a ·6a 2＋6a ＋9＋2a －6a 2－9，其中a ＝3－1.解：原式＝a ＋3a ·6（a ＋3）2＋2（a －3）（a ＋3）（a －3）＝6a （a ＋3）＋2a a （a ＋3） ＝2（a ＋3）a （a ＋3）＝2a. 当a ＝3－1时，原式＝23－1＝3＋1.16．(2016·滨州)先化简，再求值：a －4a ÷(a ＋2a 2－2a －a －1a 2－4a ＋4)，其中a ＝ 2. 解：原式＝a －4a ÷[a 2－4a （a －2）2－a 2－a a （a －2）2] ＝a －4a ÷a －4a （a －2）2 ＝a －4a ·a （a －2）2a －4＝(a －2)2.当a ＝2时，原式＝(2－2)2＝6－4 2.17．(2016·烟台)先化简，再求值：(x 2－y x －x －1)÷x 2－y 2x 2－2xy ＋y2，其中x ＝2，y ＝ 6. 解：原式＝(x 2－y x －x 2x －x x )·（x －y ）2（x ＋y ）（x －y ） ＝－y －x x ·x －y x ＋y ＝－x －y x. 当x ＝2，y ＝6时，原式＝－2－62＝－1＋ 3.18．(2016·娄底)先化简，再求值：(1－2x －1)·x 2－x x 2－6x ＋9，其中x 是从1，2，3中选取的一个合适的数． 解：原式＝x －3x －1·x （x －1）（x －3）2＝x x －3. 当x ＝2时，原式＝22－3＝－2.。

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题型专项（一）数与式的运算类型1 实数的运算1．计算：｜3－错误!|－错误!＋（错误!)0。

解:原式＝3－错误!－4＋1＝－错误!。

2．(2016·孝感)计算:9＋｜－4|＋2sin30°－32。

解：原式＝3＋4＋2×错误!－9＝－1。

3．（2016·山西)计算：(－3）2－(错误!）－1－错误!×错误!＋（－2）0.解：原式＝9－5－4＋1＝1。

4．（2016·成都涪城区二诊)计算：错误!＋|（错误!－1）0－2sin45°|＋2－1。

解：原式＝22＋｜1－错误!|＋错误!＝2错误!＋错误!－1＋错误!＝32－错误!。

5．计算：错误!－(－2 017)0＋｜－3|－4cos45°.解：原式＝2－1＋3－4×错误!＝4－2错误!。

6．（2016·自贡）计算：(错误!)－1＋(sin60°－1）0－2cos30°＋错误!.解：原式＝2＋1－2×错误!＋错误!－1＝2。

7．（2016·眉山改编)计算：(错误!＋1）0－3tan30°＋（－1)2 017－(错误!)－1.解:原式＝1－3×错误!－1－3＝1－错误!－1－3＝－3－3。