9.2-随机变量的模拟

主题一、Matlab中的统计学图形化工具为便于初学者快速认识各种分布的特征，窥探matlab统计学工具箱的性能，首先我们来试用Matlab统计学工具箱中提供的三个图形化工具：disttool,randtool,dfittool一、概率分布绘制工具在Matlab命令行中输入>> disttool图中各项：Distribution：分布类型Function：函数类型（概率密度函数／累积分布函数）Probability：当前数据点的概率值X：当前数据点坐标值（概率分布的统计变量）Mu：期望Sigma：方差Upper/Lower bound：期望和方差的可调范围例：二项分布对泊松分布的逼近1. 打开disttool，选择Distribution=Binomial; FunctionType=PDF;Trials=10;Probability=0.5。

选择菜单Edit－> Axis Properties，将X limits设为0到20，Y limits设为0到0.42.在命令行再次输入disttool，打开新的窗口，同样选择Binomial, PDF, Trials=20;Probability=0.25。

同样将X limits设为0到20,Y limits设为0到0.43.打开第三个disttool,选择Binomial,PDF,Trials=100,Probability=0.05。

同样将X limits设为0到20,Y limits设为0到0.44.打开第四个disttool,选择Distribution=Poisson;FunctionType=PDF;Lambda=5;同样将X limits设为0到20,Y limits设为0到0.4此时前面所打开的四个窗口应该已经嵌入为一个窗口中的四个标签页（见下图底部）。

如果没有，请选择菜单Desktop－>Dock Figures将他们叠嵌在一起。

三、随机数的生成

我们知道对于丢硬币的随机结果可以用以下的离散 随机变量的改里函数来描述
X P(x) 0 0.5 1 0.5
如果我们需要模拟随机变量的以个值或一个集合， 可以用丢硬币然后记录其其结果的方法来得到，然 而这具又相当的局限性，这里我们用数学程序来产 生拟随机变量。即看上去是随机出现的，但并非真 正的随家便朗，它们产生于一个梯推公式。不过这 些拟随机数并没有明显的规律，当给于适当的伸缩 之后，它们非常接近于在 0,1 区间的均匀分布。
600
1030 3408 2520
382.5
489 1808 859
3.137
3.1595 3.141592 3.1795

由此可以看出蒙特卡罗方法的基本步骤：首先，建立 一个概率模型，使它的某个参数等于问题的解。然后按 照假设的分布，对随机变量选出具体的值（这一过程又 叫着抽样），从而构造出一个确定性的模型，计算出结 果。再通过几次抽样实验的结果，的到参数的统计特性， 最终算出解的近似值。 蒙特卡罗方法主要用再难以定量分析的概率模型，这 种模型一般的不到解析的结果，或虽然又解析结果，但 计算代价太大以至不可用。也可以用在算不出解析结果 的定性模型中。 用蒙特卡罗方法解题，需要根据随机变量遵循的分布 规律选出具体的至，即抽样。随机变量的抽样方法很多， 不同的分布采用的方法不尽相同。在计算机上的各种分 布的随机数事实上都是按照一定的确定性方法产生的伪 随机数。
X 1 [2 ln( RND1 )]1/ 2 cos(2 RND2 )
和
X 2 [2 ln( RND1 )]1/ 2 cos(2 RND2 )
来给出 X 的两个值，令X X 2 或 X X1 可以生成 ( , ) 型的正态分布。

有了前面的准备工作，我们现在就可以着手学习，研究现代金融理论所必须也是最重要 的数学工具——随机过程理论了。为什么金融理论研究中一定要使用随机过程理论呢？这是 因为在金融现象中一些主要价格指标例如利率、汇率、股票指数、价格等等都表现出一定的 随机性(randomness)。股票价格明天会是多少，一直吸引和困惑了最富有头脑的理论家和实 践者，早期金融思考就是试图对这个问题作出令人信服的回答1，越来越多的证据显示：人 们倾向认识到，试图超越市场去预测价格走势，总体上是徒劳的，只有通过使用随机过程理
这三种形式的效率构造出整个可获得信息的嵌套结构。但是很不幸，迄今为止它还不 能被经验检验所证实。这是因为市场效率必须和一个市场均衡模型同时被联合检验，研 究者无法分辨究竟哪一个因素对结论更有说服力或者反面作用。在经验研究产生任何有 决定性的结论之前，市场效率与其说是作为一种理论，还不如说是作为一个信念而存在。
6 也可以称之为一次实现(realization)或者轨迹(trajectory)。它实际上是随机过程的一个历史记录，是现代模 拟(simulation)技术的基础。
7 这时的时间参数集为 T = {tk : k = 0,1,2......}，有时就直接简化为 T = {k : k = 0,1,2......} 。
微观金融学中使用上述随机微积分技术来研究诸如衍生金融产品定价、动态消费/投资 决策等问题。以随机过程为基础的最优化方法归属于动态随机规划方法之下，以 Samuelson、 Merton、Black、Scholes 等人的研究成果为最杰出的代表。本章中就提供它们的最重要两种 应用——为欧式看涨期权定价和求解动态消费/投资问题。
9．1．1 定义 假设 Ω = {ω} 是随机试验的样本空间， T 是一个参数集(往往是时间)，如果对于每一个 t ∈T ，都有随机变量 X (ω, t) 与之对应，则称依赖于 t 的一族随机变量 X (ω,t) 为随机过程， 也可以称为随机函数。 我们可以把一个随机过程看成两个自变量，即状态和时间的函数。ω 的定义域是整个样 本空间， t 的定义域是整个时间轴 [0, ∞) 或者其中的一个时间段 [0,T ] ，即：

812 832 569 683 271 989 730 537 925 907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为( A )
A．0.2
B．0.3
C．0.4
D．0.5
【解析】 由10组随机数知，3个随机数都在4～9中的有569，989两组，故 所求的概率为P＝120＝0.2.
课后巩固
1．用随机模拟方法估计概率时，其准确程度取决于( B ) A．产生的随机数的大小 B．产生的随机数的个数 C．随机数对应的结果 D．产生随机数的方法
探究1 (1)产生随机数的方法有抽签法、利用计算机或计算器产生随机数的 随机模拟方法等．抽签法产生的随机数能保证机会均等，而计算器或计算机产 生的随机数是伪随机数，不能保证等可能性，但是后者较前者速度快，操作简 单，省时省力．
(2)用产生随机数的方法抽取样本要注意以下两点：①进行正确的编号，并 且编号要连续；②正确把握抽取的范围和容量．
题型三 利用随机模拟估计事件的概率
例3 (1)袋子中有四个小球，分别写有“春、夏、秋、冬”四个字，从中任 取一个小球，取到“冬”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概 率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1，2，3，4表示取出的 小球上分别写有“春、夏、秋、冬”四个字，每两个随机数为一组，代表两次 的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
3．袋中有2个黑球，3个白球，除颜色外小球完全相同，从中有放回地取出
一球，连取三次，观察球的颜色．用计算机产生0到9的数字进行模拟试验，用
0，1，2，3代表黑球，4，5，6，7，8，9代表白球，产生下列随机数：
160 288 905 467 589 239 079 146 351 其中表示结果为二白一黑的组数为( B )