2020年深圳市普通高中高三年级线上统一测试数学(理科)试题

绝密★启用前 试卷类型：A深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数 学（理科） 2020.3本试卷共23小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共 12 小题，每小题5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}3 2 1 0{，，，=A ，}032|{2<--=x x x B ，则A B =A ．)3,1(-B ．]3,1(-C ．)3,0(D ．]3,0(2．设23i32iz +=-，则z 的虚部为 3．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若23a =，59a =，则6S 为 5．若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点(1,2)-，则该双曲线的离心率为 6．已知tan 3α=-，则πsin 2()4α+=7．7)2(xx -的展开式中3x 的系数为A ．1-B ．1C ．2-D ．2A ．25B ．23C．12D. 07A ．36B ．32C ．28D. 24AB C D. 2A ．35B ．35-C ．45D ．45-8．函数()2ln |e 1|x f x x =--的图像大致为9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球表面积为 A ．323π3B ．32πC ．36πD ．48π10．已知动点M 在以1F ，2F 为焦点的椭圆2214y x +=上，动点N 在以M 为圆心，半径长为1||MF 的圆上，则2||NF 的最大值为 11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则 A ．33AB AC HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO +=- C ．24AB AC HM MO +=+D ．24AB AC HM MO +=-12．已知定义在π[0]4，上的函数π()sin()(0)6f x x ωω=->的最大值为3ω，则正实数ω的取值个数 最多为 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分．A ．168B ．84C ．42 D. 21ABCDA ．2B ．4C ．8D ．16A ．4B ．3C ．2D. 1（第9题图）13．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+101022x y x y x ，则y x z 2-=的最小值为 ___________．14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n a S n n -=2，则=6a ___________．15．很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全. 某马拉松赛事报名网站的登录验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”(如0123)，已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是1的概率为___________．16．已知点1(,)2M m m -和点1(,)2N n n -()m n ≠，若线段MN 上的任意一点P 都满足：经过点P 的所有直线中恰好有两条直线与曲线21:2C y x x =+(13)x -≤≤相切，则||m n -的最大值为___．三 、 解答题： 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一) 必考题：共 60 分． 17．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，222+2a b c S -=. （1）求cos C ；（2）若cos sin a B b A c +=，a =，求b .18．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形， 点M ，N 分别在棱1C C ，1A A 上，且12C M MC =，12A N NA =.（1）求证：1//NC 平面BMD ；（2）若13A A =，22AB AD ==，π3DAB ∠=， 求二面角N BD M --的正弦值.19．（本小题满分12分）已知以F 为焦点的抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)P -，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB中点，且OM OP OF λ+=.（1）当3λ=时，求点M 的坐标； （2）当12OA OB ⋅=时，求直线l 的方程.20．（本小题满分12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表. 请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能．．．．（即概率最大．．．．．）是多少？ 附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=.21．（本小题满分12分）已知函数()e ln(1)xf x a x =--.（其中常数e=2.718 28⋅⋅⋅，是自然对数的底数） （1）若a ∈R ，求函数()f x 的极值点个数；（2）若函数()f x 在区间(1,1+e )a-上不单调，证明：111a a a +>+.（二）选考题：共 10 分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,sin ,cos 32ααt y t x （t 为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 4=．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）直线1C 与2C 相交于F E ,两个不同的点，点P 的极坐标为π)，若PF PE EF +=2，求直线1C 的普通方程．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知,,a b c 为正数，且满足 1.a b c ++= 证明： （1）1119a b c++≥； （2）8.27ac bc ab abc ++-≤绝密★启封并使用完毕前试题类型：A1 20 0x 0 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试理科数学试题答案及评分参考一、选择题1. B2. B3. C4. A5. C6. D7. B8. A9. D10. B11. D12. C12. 解析：当ωπ - π > π时，即ω> 8时， f (x )= 1 = ω，解得ω= 3 ； 4 6 23max3ω ω当 ωπ - π ≤ π时，即0 < ω≤ 8时， f (x ) = sin(π - π) = ，4 6 2 3max4 6 3令 g (ω) = sin(ωπ - π) ， h (ω) = ω， 4 6 3如图，易知 y = g (ω) ， y = h (ω) 的图象有两个交点 A (ω1 , y 1 ) ， B (ω2 , y 2 ) ，ωω 所以方程 s in( π - π) = 有两个实根ω，ω ， 4 6 3又 g (8) = 1 > 8 = h (8) ，所以易知有ω < 8 < ω ，3 9 3 1 3 2所以此时存在一个实数ω= ω1 满足题设， 综上所述，存在两个正实数ω满足题设，故应选 C. 二、填空题：13.- 314. 6315.4154 16.316. 解析：由对称性不妨设 m < n ，易知线段 M N 所在直线的方程为 y = x - 1，2又 1 x 2 + x > x - 1，∴点 P 必定不在曲线 C 上， 2 2不妨设 P (t ,t - 1) ， (m ≤ t ≤ n ) ，且过点 P 的直线 l 与曲线 C 相切于点 Q ( x, 1x 2 + x ) ， 2 ( 1 x 2+ x) - (t - 1 )0 2 0 0易知 y ' |x = x = k PQ ，即 x 0 + 1 = 2 2 ，整理得 x - 2tx - 1 = 0 ，0 - t0 0 2x0 0 （法一）显然 x ≠ 0 ，所以 2t = x -1， 0令 f ( x ) = x -1 ， x ∈[-1, 0) U (0,3]，x5 ⎪ ⎨-1 < t < 3 如图，直线 y = 2t 和函数 y = f ( x ) 的图象有两个交点，又 f (-1) = 0 ，且 f (3) =8，30 ≤ 2t ≤ 8，即 0 ≤ t ≤ 4， ∴3 3 ∴ 0 ≤ m < n ≤4 ，∴ | m - n | 的最大值为 4 ，故应填 4．3 3 3（法二）由题意可知 -1 ≤ x 0 ≤ 3 ，令 f ( x ) = x - 2tx - 1 ，∴函数 f ( x ) 在区间[-1, 3] 上有两个零点，⎧ f (-1) = 2t ≥ 0⎪ f (3) = 8 - 6t ≥ 0 则 ⎪⎪⎩V = 4t 2 + 4 > 0，解得 0 ≤ t ≤ 4 ， 3 ∴ 0 ≤ m < n ≤4，∴ | m - n | 的最大值为 4 ，故应填 4． 3 3 3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分 12 分）已知△ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，△ ABC 的面积为 S ，a 2 +b 2 - c 2 = 2S . （1）求c os C ；（2）若 a c os B + b sin A = c ， a = ，求b . 解：（1） S = 1ab sin C ，a 2 + b 2 - c 2 = 2S ，2∴ a 2 + b 2 - c 2 = ab sin C ， …………………………………………………………………2 分 a 2 + b 2 - c 2 ab sin C sin C在△ ABC 中，由余弦定理得 c os C = = =， 2ab 2ab 2 ∴sin C =2cosC ，…………………………………………………………………………4 分又 sin 2C +cos 2C=1 ，∴5cos 2C=1，cosC= ±5 ，5由于 C ∈(0, π) ，则 s in C > 0 ，那么 c osC>0 ，所以 c osC=5 . ………………………6 分5（2）（法一）在△ABC 中，由正弦定理得 s in A c os B + sin B sin A = sin C ，……………7 分 2sin C= sin[π- (A + B)] = sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B ，………………………8 分∴sin A cos B + sin B sin A = sin A cos B + cos A sin B ，即s in B sin A = cos A sin B ，5 5 ⨯ 2 5 5 ⨯ 2 又 A , B ∈(0, π) ，∴sin B ≠ 0 ， s in A =cosA ，得 A = π.……………………………9 分4sin B = sin[π - (A + C )] = sin(A + C ) ，……………………………………………10 分∴sin B = sin A cos C + cos A sin C = 2 ⨯ 5 + 2 ⨯ 2 5 =310， ………………11 分2 5 2 5 10a s in B 10 在△ABC 中，由正弦定理得 b = == 3 . ……………………………12 分（法二）a cos B +b s in A =c ， 又a cos B +b cos A =c ， sin A2 2∴ a cos B + b s in A = a cos B + b cos A ，…………………………………………………8 分即 s in A = cos A ，又 A ∈(0, π) ， ∴ A = π. ……………………………………………9 分4a sin C 5 在△ ABC 中，由正弦定理得 c = == 2 .………………………10 分b = C cos A + a cos C ，sin A2 2∴c = 2 ⨯ 2 + ⨯ 5= 3 . ………………………………………………………12 分2 5（法三）求 A 同法一或法二a sin C 5 在△ABC 中，由正弦定理得 c = == 2 ， ………………………10 分sin A2 2又由余弦定理 c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C ，得 b 2 - 2b - 3 = 0 ，解得 b = -1 或 b = 3 . 所以 b = 3 .……………………………………………………………………………12 分（余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 - 2b cos A ，得 b 2 - 4b + 3 = 0 ，解得b = 1 或 b = 3 . 因为当 b = 1时， a 2 +b 2 -c 2 = -2 < 0 ，不满足c osC>0 (不满足 a 2 +b 2 - c 2 = -2 ≠ 2S )，故舍去，所以 b = 3 ） 【命题意图】综合考查三角函数的基本运算、三角函数性质，考查利用正弦、余弦定理解决三 角形⨯ 32 2 2问题，检验学生的数学知识运用能力.18．（本小题满分 12 分）如图，在直四棱柱 A BCD - A 1B 1C 1D 1 中，底面 A BCD 是平行四边形， 点 M ，N 分别在棱 C1C ，A 1 A 上，且 C 1M = 2MC ， A 1 N = 2NA .（1）求证： N C 1 // 平面 B MD ；A π （2）若 A 1 A = 3，AB = 2AD = 2 ， ∠DAB =，求二面角3MN - BD - M 的正弦值.解：（1）证明：（法一）如图，连接 A C 交 B D 于点GMG ．设 C 1M 的中点为 E ，连接 A E ．………2 分G , M 是在△ ACE 边 C A ,CE 的中点，∴ MG //AE ， ……………………………………3 分又 C 1M = 2MC ，A 1 N = 2NA ， A A 1 //CC 1 ， ∴四边形 A NC 1E 是平行四边形，故 N C 1 //AE ，∴ NC 1 //GM ， …………………………………4 分 GM ⊂ 平面 B MD ，∴ NC 1 // 平面 B MD . …………………………………5 分 （法二）如图，设 E 是 B B 1 上一点，且 B E = 2B 1E ，连接 E C 1 . 设 G 是 B E 的中点，连接G M . ……………………1 分BE = MC 1，BE //MC 1 ，∴四边形 B EC 1M 是平行四边形，故 E C 1 //BM ， ……2 分又 BM ⊂ 平面 B MD ，∴ EC 1 // 平面 B MD ， …………………………………3 分同理可证 N E //AG ， A G //DM ，故 N E //DM ，2 ∴ NE // 平面 B MD ， (4)分 又 EC 1，NE ⊂ 平面 N EC 1 ，且 N E C 1E = E ，∴平面 N EC 1 // 平面 B MD ，又 N C 1 ⊂ 平面 N EC 1 ，所以 N C 1 // 平面 B MD .……………5 分（2）（法一）设二面角 N - BD - M 为α，二面角N - BD - A 为 β，根据对称性，二面角 M - BD - C的大小与二面角 N - BD - A 大小相等，故α= π - 2β，sin α= sin(π - 2β) = sin 2β.下面只需求二面角 M - BD - C 的大小即可. ………7 分 由余弦定理得 B D 2 = AD 2 + AB 2 - 2AD ⋅ AB cos ∠DAB = 3 ，故 AB 2 = AD 2 + BD 2 ，A D ⊥ BD . (8)分四棱柱 A BCD - A 1B 1C 1D 1 为直棱柱，∴ DD 1 ⊥ 底面 A BCD ，D D 1 ⊥ BD ， ……………………9 分 又 AD , D 1D ⊂ 平面 A DD 1 A 1 ， A D D 1D = D ，∴ BD ⊥ 平面B DD 1B 1 ， …………………………………10 分ND ⊂ 平面A DD 1 A 1 ， ∴ND ⊥ BD ，所以二面角 N - BD - A 的大小为 ∠NDA ，即 ∠NDA = β，在 R t ∆NAD 中，s in β = AN= 1 ND = 2 ，…………11 分 2∴ β= π ，α= π，4 2∴二面角N- BD - M 的正弦值为1 . …………………12 分（法二）由余弦定理得B D2 = AD2 + AB2 - 2AD ⋅ AB cos∠DAB = 3 ，故AB2 = AD2 + BD2 ，A D ⊥ BD . ……………………6分以D为坐标原点O，以D A, DC, DD1 分别为x, y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.依题意有 D (0,0,0) ， B (0, ,0) ， M (-1, ,1) ， N (1, ,1) ，DB = (0, ,0) ， DM = (-1, ,1) ， D N = (1, ,1) ，……7 分设平面 M BD 的一个法向量为 n = (x , y , z ) ，⎧⎪n ⋅ DB = 0 ∴⎨ ⎧⎪ ， ∴⎨ 3y = 0 ， ⎪⎩n ⋅ DM = 0⎪⎩-x + y + z = 0令 x = 1 ，则 z = 1， y = 0 ，∴n = (1,0,1) ，……………9 分 同理可得平面 N BD 的一个法向量为 m = (1,0, -1) ，……10 分 所以 c os < m , n >=m ⋅ n 0= | m || n |= 0 ， ……………11 分所以二面角 N - BD - M 的大小为 π，正弦值为1 . …12 分2【命题意图】考察线面平行、线面垂直判定定理等基本知识，考查空间想象能力，计算能力， 考查学生综合运用基本知识处理数学问题的能力.19．（本小题满分 12 分）已知以 F 为焦点的抛物线 C : y 2 = 2 p x ( p > 0) 过点 P (1, -2) ，直线 l 与 C 交于 A ，B 两点，M 为AB 中点，且 O M + OP = λOF .（1）当 λ=3 时，求点 M 的坐标；uur u u u r（2）当 O A ⋅ OB = 12 时，求直线 l 的方程.解：（1）因为 P (1, -2) 在y 2 = 2 p x 上，代入方程可得 p = 2 ， 所以 C 的方程为 y 2 = 4x ，焦点为 F (1, 0) ， (2)分 设 M ( x 0 , y 0 ) ，当 λ=3 时，由 O M + OP = 3OF ，可得M (2, 2) ， ………………4 分 （2）（法一）设A (x 1 , y 1 ) ，B (x 2 , y 2 ) ， M (x 0 , y 0 ) ， 由 O M + OP = λOF ，可得 (x 0 + 1, y 0 - 2) = (λ, 0) ，所以 y 0 =2 ， y - y 所以 l 的斜率存在且斜率k = 1 2=x 1 - x 24 = 2y + y y3 3 3 3 3 33 2 ⋅ 2= 1，……………7分⎧ y = x + b可设l方程为y= x + b ，联立⎨得x2 + (2b - 4)x + b2 = 0 ，⎩ y2 = 4x∆=（2b-2 - 4b2 =16 -16b > 0 ，可得b<1，………………………………9分2则 x 1 + x 2 = 4 - 2b ， x 1x 2 = b， y 1 y 2 = x 1 x 2 + b (x 1 + x 2 ) + b = 4b ，所以 O A ⋅ OB = x x + y y =b 2 + 4b = 12 ，…………………………………11 分1 21 2解得 b = -6 ，或 b = 2 （舍去），所以直线l 的方程为 y = x - 6 . ……………………………………………12 分（法二）设 l 的方程为x = my + n ， A (x 1 , y 1 ) ， B (x 2 , y 2 ) ， M (x 0 , y 0 ) ， ⎧x = my + n 联立 ⎨ ⎩ y 2= 4x得 y 2 - 4my - 4n = 0 ， ∆ =16m 2 +16n > 0 ， ………………6 分则 y 1 + y 2 = 4m ， y 1 y 2 = -4n ， x 1 + x 2 = m ( y 1 + y 2 ) + 2n = 4m+ 2n ，所以 M (2m 2 + n , 2m ) ，…………………………………………………………7 分由 O M + OP = λOF ，得 (2m 2 + n +1, 2m - 2) = (λ, 0) ，所以 m =1， …………8 分 所以 l 的方程为x = y + n ， 由 ∆ = 16 + 16n > 0 可得， n > -1，……………………………………………9 分( y 1 y 2 ) 2由 y 1 y 2 = -4n 得 x 1 x 2 == n ，16所以 O A ⋅ OB = x x + y y =n 2 - 4n = 12 ， ………………………………………11 分1 21 2解得 n = 6 ，或 n = -2 （舍去），所以直线l 的方程为 y = x - 6 . ……………………………………………12 分【命题意图】本题以直线与抛物线为载体，考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系、向量 的数量积运算，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力.20．（本小题满分 12 分） 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000 名患者的 相关信息，得到如下表格：222（1）求这1000 名患者的潜伏期的样本平均数 x （同一组中的数据用该组区间的中点（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否 超过 6 天为标准进行分层抽样，从上述1000 名患者中抽取 200 人，得到如下列联表. 请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有 95% 的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（3）以这1000 名患者的潜伏期超过 6 天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过 6 天发生的概 率，每名患者的潜伏期是否超过 6 天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了 20 名患者， 其中潜伏期超过 6 天的人数最．有．可．能．（即．概．率．最．大．）是多少？ 附：2n (ad - bc )2K = ，其中 n = a + b + c + d .(a + b )(c + d )(a + c )(b + d )解：（1） x =1 1000⨯（1⨯ 85 + 3⨯ 205 + 5⨯ 310 + 7 ⨯ 250 + 9 ⨯130 +11⨯15 +13⨯ 5）= 5.4 天.……………………………………………………………………………2 分（2）根据题意，补充完整的列联表如下：则 K 2 = (65 ⨯ 45 - 55 ⨯ 35) ⨯ 200 =25 ≈ 2.083 ， ………………………………………5 分120 ⨯ 80 ⨯100 ⨯10012经查表，得 K 2 ≈ 2.083 < 3.841 ，所以没有95% 的把握认为潜伏期与年龄有关. ……6 分（3）由题可知，该地区每 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的概率为400 = 2， ……7 分 1000 5设调查的 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数为 X ，则 X ~ B (20, 2) , P ( X = k ) = C kk⎪  ⎪20-k， k = 0 ，1， 2 ，…， 20 ， ………8 分⎛ 2 ⎫20深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 12 页 共 16页5 2 3 2 3 得 5 2 3 2 320 20 ⎧ ⎝ ⎭ ⎛ 3 ⎫ ⎝ 5 ⎭k 20-k ⎛ ⎫ ⎛ ⎫ k +1 19-k⎛ ⎫ ⎛ ⎫ ⎪C k ⎪  ⎪≥ C k +1 ⎪ ⎪ ⎧P ( X = k ) ≥ P ( X = k + 1) ⎪ 由 ⎨ ⎨ 20⎝ ⎭ ⎝ 5 ⎭ 20 ⎝ 5⎭ ⎝ 5 ⎭ ， …………10 分 ⎩P ( X = k ) ≥ P ( X = k -1) ⎪ k 20-k ⎛ ⎫ ⎛ ⎫ k -1 21-k⎛ ⎫ ⎛ ⎫ ⎪C k ⎪  ⎪ ≥ C k -1 ⎪ ⎪⎩ ⎝ 5 ⎭ ⎝ 5 ⎭⎝ 5 ⎭ ⎝ 5 ⎭深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 13 页 共 16页0 ⎧3(k + 1) ≥ 2(20 - k ) 化简得 ⎨ ⎩2(21 - k ) ≥ 3k ，解得 375 ≤ k ≤ 42 ,5 又 k ∈ N ,所以 k = 8 ,即这 20 名患者中潜伏期超过6 天的人数最有可能是 8 人.…12 分【命题意图】以医学案例为实际背景，考查频数分布表，考查平均数，二项分布的随机变量概 率最大时的取值；考查分析问题、解决问题的能力；处理数据能力、建模能力和核心素养.21．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x ) = e x- a ln(x -1) .（其中常数 e =2.718 28 ⋅ ⋅ ⋅ ，是自然对数的底数）（1）若 a ∈ R ，求函数 f (x ) 的极值点个数；（2）若函数 f (x ) 在区间(1,1+e -a) 上不单调，证明： 1+ 1> a .(x -1)e 解：（1）易知 f '(x ) =x- a a a +1， x > 1 ，………………………………………1 分x -1①若 a ≤ 0 ，则 f '(x ) > 0 ，函数 f (x ) 在 (1, +∞) 上单调递增，∴函数 f (x ) 无极值点，即函数 f (x ) 的极值点个数为 0 ；……………………2 分②若 a > 0 ，（法一）考虑函数 y = (x -1)e x - a (x ≥ 1) ，Q y (1 + a ) = a e 1+a - a > a - a = 0 ，y (1) = -a < 0 ，∴函数 y = (x -1)e x - a (x ≥ 1) 有零点x ，且1< x <1+ a ， 0Q y ' = x e x > 0 ，∴函数 y = (x -1)e x - a (x ≥ 1) 为单调递增函数，∴函数 y = (x -1)e x - a (x ≥ 1) 有唯一零点x ，∴ f '(x ) =(x -1)e - a亦存在唯一零点 x ， …………………………………4 分x -1 0x深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 14 页 共 16页∴当 x ∈(1, x 0 ) 时，易知 f '(x ) < 0 ，即函数 f (x ) 在 (1, x 0 ) 上单调递减，当 x ∈(x 0 , +∞) 时，易知 f '(x ) > 0 ，即函数 f (x ) 在 (x 0 , +∞) 上单调递增，∴ 函数 f (x ) 有极小值点 x 0 ，即函数 f (x ) 的极值点个数为1 ， ……………………5 分 综上所述，当 a ≤ 0 时，函数 f (x ) 的极值点个数为 0 ；当 a > 0 时，函数 f (x ) 的极值点个数为1 .（法二）易知函数 y = e x 的图象与 y =ax -1(a > 0) 的图象有唯一交点 M (x 0 , y 0 ) ，深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 15 页 共 16页∴ e x=a x 0 -1，且 x 0 > 1 ，…………………………………………………………………3 分∴当 x ∈(1, x 0 ) 时，易知 f '(x ) < 0 ，即函数 f (x ) 在 (1, x 0 ) 上单调递减，当 x ∈(x 0 , +∞) 时，易知 f '(x ) > 0 ，即函数 f (x ) 在 (x 0 , +∞) 上单调递增，∴ 函数 f (x ) 有极小值点 x 0 ，即函数 f (x ) 的极值点个数为1 ， ……………………4 分 综上所述，当 a ≤ 0 时，函数 f (x ) 的极值点个数为 0 ；当 a > 0 时，函数 f (x ) 的极值点个数为1 .（注：第（1）问采用法二作答的考生应扣 1 分，即总分不得超过 4 分）（法三）对于 ∀a > 0 ，必存在 n ∈N *，使得 n >2 - ln a，即 2 - na < ln a ，aQ e- na< 1 ，∴ e1-na +e - na- a < e 2 -na- a < e ln a- a = 0 ，e -na e 1+e - na- a ∴ f '(1+ e-na) = < 0 ， e -naa e1+ a又 f '(1 + a ) = a - a =e 1+ a-1 > 0 ， ∴函数 f '(x ) = (x -1)e x- a 有零点，不妨设其为 x ，x -1 0 显然 f '(x ) = e x-a x -1(x > 1) 为递增函数， ∴ x 0 为函数 f '(x ) 的唯一零点， …………………………………………………………4 分∴当 x ∈(1, x 0 ) 时，易知 f '(x ) < 0 ，即函数 f (x ) 在 (1, x 0 ) 上单调递减，当 x ∈(x 0 , +∞) 时，易知 f '(x ) > 0 ，即函数 f (x ) 在 (x 0 , +∞) 上单调递增，深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 16 页 共 16页∴ 函数 f (x ) 有极小值点 x 0 ，即函数 f (x ) 的极值点个数为1 ， ……………………5 分 综上所述，当 a ≤ 0 时，函数 f (x ) 的极值点个数为 0 ；当 a > 0 时，函数 f (x ) 的极值点个数为1 .（2） Q 函数f (x ) 在区间 (1,1+e -a) 上不单调，∴存在 x ∈(1,1+e -a ) 为函数 f (x ) 的极值点， ……………………………………6 分e -a ⋅ e 1+e - a- a∴由（1）可知 a > 0 ，且 f '(1+e -a) => 0 ，即 e1-a +ee -a> a ，两边取对数得1 - a +e - a > ln a ，即1+e - a - ln a > a ， ………………………………7 分深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 11 页 共 16页（法一）欲证1 + 1 > a ，不妨考虑证a a +11 + 1 ≥1+e -a - ln a ， a a +1 先证明一个熟知的不等式： e x ≥ 1 + x ，令 g (x ) = e x - x -1，则 g '(x ) = e x -1，∴ g '(0) = 0 ， 不难知道函数 g (x ) 的极小值（即最小值）为 g (0) = 0 ，∴ e x - x -1 ≥ 0 ，即 e x ≥ 1 + x ，……………………………………………………8 分（思路 1：放缩思想）∴ e -a = 1≤ 1 ， 即 1 ≥ e -a， ………………………9 分1-111- 1e a a +1 1 a +11又 ea≥ ，∴ e a≤ a ，∴1- ≤ ln a ，即 ≥ 1- ln a ，………………………11 分∴ 1+ a a1≥1+e -a- ln a ，∴ 1 + 1a > a . …………………………12 分 a a +1 a a +1（思路 2：构造函数）令ϕ(a ) = 1 + ln a -1 ，则ϕ'(a ) = 1 - 1= a -1 ，a a a 2 a 2不难知道，函数ϕ(a ) 有最小值ϕ(1) = 0 ，∴ϕ(a ) ≥ 0 ，…………………………10 分当 a > 0 时， 1- e - a= e- a -1> 0 ， …………………………………………11 分a + 1 (a + 1)e a∴ 1 + ln a -1 + 1 - e -a 1 1> 0，即 + ≥1+e -a - ln a ， aa +1a a +1∴ 1 + 1 > a .…………………………………………………………………12 分a a +1（法二）令 F (x ) = 1+e - x - ln x - x ，则 F '(x ) = -e - x - 1 -1 < 0 ，x∴函数 F (x ) 为单调递减函数，显然 F (2) < 2 - ln 2 - 2 < 0 ，且 F (a ) > 0 ，∴ 0 < a < 2 ，①若 0 < a < 1 ，则1 + 1 > 1 > a ，即1 + 1> a 成立； …………………………8 分 a a +1a深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 12 页 共 16页②若1≤ a < 2 ，只需证 1+ aa a +1 1≥1+e -a - ln a ，a a +1 111414不难证明 +≥ a a +1 7a + 3，只需证明 7a + 3≥1+e -a - ln a ， …………………………9 分令 G (a ) = 14 7a + 3- e -a + ln a -1，1≤ a ≤ 2 ，则 G '(a ) = e -a + 1 - a 98 (7a + 3)2 > 1 - a 98 ， (7a + 3)2当1≤ a ≤ 2 时， 1 - 98=49a - 56a + 9 ，a (7a + 3)2 a (7a + 3)2显然函数 y = 49a 2 - 56a + 9 在 [1, 2] 上单调递增，且 y (1) = 2 > 0 ，2深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 13 页 共 16页ea∴ G '(a ) > 0 ，即函数 G (a ) 为单调递增函数， ………………………………………10 分∴当1≤ a < 2 时， G (a ) ≥ G (1) = 2 - 1 =2e - 5> 0 ，即 G (a ) > 0 ， ………………11 分5 e 5e∴14 ≥1+e -a- ln a ，即 1 + 1 > a ， 7a + 3 a a +11 1综上所述，必有 +> a 成立. …………………………………………………12 分 a a +1（法三）同（法二）得 0 < a < 2 ，1 11 1 1①若 0 < a < 1 ，则 +> > a ，即 + > a 成立； …………………………8 分a a +1 ②若1≤ a < 2 ，只需证 1 +a a a +11≥1+e -a - ln a ， 令 G (a ) = 1 + 1a a +1- e - a + ln a -1 ，1≤ a ≤ 2 ，a a + 1则 G '(a ) = e -a- 1 + a -1 ≥ e -a - 1， (a +1)2 a 2 (a +1)2下证当1≤ a ≤ 2 时，e -a-1(a +1)2a > 0 ，即证 e a < (a +1)2，即证 e 2< a +1 ， ………9 分a令 H (a ) = e 2- a -1，1≤ a ≤ 2 ，则 H '(a ) = 1 e 2 -1，当 a = 2ln 2 时， H '(a ) = 0 ，2不难知道，函数 H (a ) 在 [1, 2ln 2) 上单调递减，在 (2ln 2, 2] 上单调递增，∴函数 H (a ) 的最大值为 H (1) ，或 H (2) 中的较大值，显然 H (1) =- 2 < 0 ，且 H (2) = e - 3 < 0 ，a∴函数 H (a ) 的最大值小于 0 ，即 H (a ) < 0 ，亦即 e 2 < a +1 ，…………………………10 分∴ e -a -1 (a +1)2> 0 ，即 G '(a ) > 0 ，∴函数 G (a ) = 1 + 1- e - a + ln a -1 ，1≤ a ≤ 2 单调递增，a a + 1易知 G (1) = 1 - 1> 0 ，∴ G (a ) > 0 ，即 1 + 1≥1+e -a - ln a ，………………………11 分深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 14 页 共 16页2 e∴当1≤ a < 2 时，有 1 + 1a a +1> a 成立，a a +111综上所述， +> a .…………………………………………………………12 分a a +1深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 15 页 共 16页3 【命题意图】 本题以基本初等函数及不等式证明为载体，考查学生利用导数分析、解决问题 的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性.22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程⎪⎧x = -2 在直角坐标系 x Oy 中，直线 C 1 的参数方程为 ⎨+ tcos α,（t 为参数，α为倾斜角）， ⎪⎩ y = t sin α,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程为 ρ= 4sin θ．（1）求 C 2 的直角坐标方程；（2）直线 C 1 与 C 2 相交于 E , F 两个不同的点，点 P 的极坐标为 (2, π) ，若 2 EF = PE + PF ，求直线 C 1 的普通方程．解：（1）由题意得， C 2 的极坐标方程为 ρ= 4sin θ，所以 ρ2 = 4ρsin θ，………………1 分 又x = ρcos θ, y = ρsin θ，………………2 分代入上式化简可得， x 2 + y 2 - 4 y = 0 ，………………3 分 所以 C 2 的直角坐标方程 x 2 + ( y - 2)2 = 4 ．………………4 分 （2）易得点 P 的直角坐标为 (-2 ,0) ，⎪⎧x = -2 将 ⎨ + t cos α,代入 C 2 的直角坐标方程，可得⎪⎩ y = t sin α,t 2 - (4∆ = (4 cos α+ 4sin α)t + 12 = 0 ，………………5 分cos α+ 4sin α)2 - 48=[8sin(α+ π)]2 - 48 > 0 ，3 解得 s in(α+ π) > 3 ，或 s in(α+ π) < - 3，3 2 3 2不难知道α必为锐角，故 s in(α+ π) >3， 3 2所以 π <α+ π < 2π ，即 0 < α< π ,………………6 分3 3 3 33333 33设这个方程的两个实数根分别为 t 1 ， t 2 ，则t 1 + t 2 = 4 cos α+ 4sin α， t 1 ⋅ t 2 = 12 ，………………7 分3 3 ) 所以 t 1 与t 2 同号， 由参数t 的几何意义可得，PE + PF = t + t= t + t= 8 sin(α+ π) ， 1 2 1 2 3EF = t - t = ，………………8 分 1 2所以 2 ⨯= 8 sin(α+ π ，3两边平方化简并解得 s in(α+ π ) = 1，所以α= π + 2k π ， k ∈ Z ,3 6 因为 0 < α< π ，所以α= π ，………………9 分3 6 ⎧ ⎪⎪x = -2+ t, 2 所以直线 C 1 的参数方程为 ⎨ ⎪ y = 1 t , ⎩⎪ 2消去参数 t ，可得直线 C 1 的普通方程为 x - y + 2 = 0 ．………………10 分【命题意图】本题主要考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程中参数的 几何意义和三角函数等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养， 考察考生的化归与转化能力．23．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知 a , b , c 为正数，且满足 a + b + c = 1. 证明：（1） 1 + 1 + 1 ≥ 9 ； a b c（2） a c + bc + ab - abc ≤ 8.273 3⎝ ⎭证明：（1）因为 1 + 1 + 1 = (a + b + c ) ⎛ 1+ 1 + 1 ⎫a b c = 3 + b + a + c + a + c + ba b a c b ca b c ⎪3≥ 3 + +1（当且仅当 a = b = c = 时，等号成立）. ………………5 分3（2）（法一）因为 a , b , c 为正数，且满足 a + b + c = 1， 所以 c = 1 - a - b ，且1 - a > 0 ，1 - b > 0 ，1 - c > 0 ， 所以 a c + bc + ab - abc= (a + b - ab )c + ab=(a+b -) 1- a - b ）+ ab = (b -1)(a -1)(a + b )= (1- a )(1- b )(1- c )≤ ⎡(1- a ) + (1- b ) + (1- c ) ⎤ = 8 ，⎣⎢ 3 ⎦⎥ 27所以 a c + bc + ab - abc ≤ 8.271（当且仅当 a = b = c = 时，等号成立）. ………………10 分3（法二）因为 a , b , c 为正数，且满足 a + b + c = 1，所以 c = 1 - a - b ，且1 - a > 0 ，1 - b > 0 ，1 - c > 0 ，ac + bc + ab - abc = 1 - (a + b + c ) + ac + bc + ab - abc= (1 - a ) + b (a - 1) + c (a - 1) + bc (1 - a )= (1- a ) ⎡⎣1- (b + c ) + bc ⎤⎦= (1- a)(1- b)(1- c)⎡3 -(a + b + c) ⎤38≤ ⎢⎥ =⎣ 3 ⎦27所以a c + bc + ab - abc ≤ 8 .271（当且仅当a= b = c =时，等号成立）. ………………10 分3【命题意图】本题以三元不等式为载体考查二元基本不等式（三元均值不等式）的证明，涉及代数恒等变形等数学运算、充分体现了对考生的逻辑推理的核心素养及化归与转化能力的考察．。

绝密★启用前试卷类型：A 深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）2020.3本试卷共23小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共12 小题，每小题5分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}3210{，，，=A，}032|{2<--=xxxB，则A B=UA．)3,1(-B．]3,1(-C．)3,0(D．]3,0(答案：B解析：{|13}B x x=-<<，所以，集合A中，元素0，1，2集合B都有，3不在集合B中，所以，A B=U]3,1(-2．设23i32iz+=-，则z的虚部为答案：B解析：23i32iz+=-＝(23i)(3+2i)6496(32i)(3+2i)13i ii+++-==-，所以，虚部为1。

3．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 8632 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42答案：C解析：如下图，第1行第5列的数字开始，大于30的数字舍去，重复的舍去，取到数字依次为：07、04、08、23、12、所以，第5个编号为12，选C。

A．1-B．1C．2-D．2 A．25B．23C．12 D. 074．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若23a =，59a =，则6S 为答案：A 解析：16256256()6()3()22a a a a S a a ++===+＝36 5．若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点(1,2)-，则该双曲线的离心率为答案：C解析：双曲线的渐近线为：by x a=±，经过点(1,2)-， 所以，2b a =，离心率为：c e a ====6．已知tan 3α=-，则πsin 2()4α+=答案：D解析：πsin 2()4α+=22sin(2)cos 2cos sin 2παααα+==-＝222222cos sin 1tan 194cos sin 1tan 195αααααα---===-+++，选D 。

绝密★启用前2020年深圳市普通高中高三年级线上统一测试(一模)数学（理）试卷学校：___________一、选择题1.已知集合{}{}20,1,2,3,230A B x x x ==--<，则A B =U ( )A. ()1,3-B. (]1,3-C. ()0,3D. (]0,32.设23i32iz +=-，则z 的虚部为( ) A. 1-B.1C. 2-D.23.某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为( )4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若253,9a a ==，则6S 为( ) A.36B.32C.28D.245.若双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线经过点()1,2-，则该双曲线的离心率为( )D.26.已知tan 3α=-，则sin 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A. 35B. 35-C.45 D. 45-7.72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为( )A.168B.84C.42D.218.函数()2ln |e 1|xf x x =--的图像大致为( )A. B.C. D.9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球表面积为( )B. 32πC. 36πD. 48π10.已知动点M 在以12,F F 为焦点的椭圆2214y x +=上，动点N 在以M 为圆心，半径长为1MF 的圆上，则2NF 的最大值为( ) A.2B.4C.8D.1611.著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点,O H 分别是ABC △的外心、垂心，且M 为BC 中点，则( ) A. 33AB AC HM MO +=+u u u r u u u r u u u u u r u u u u r B. 33AB AC HM MO +=-u u u r u u u r u u u u u r u u u u r C. 24AB AC HM MO +=+u u u r u u u r u u u u u u r u u u u r D. 24AB AC HM MO +=-u u u r u u u r u u u u u u r u u u u r12.已知定义在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的函数π()sin()(0)6f x x ωω=->的最大值为3ω，则正实数ω的取值个数最多为( ) A.4 B.3C.2D.1二、填空题13.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2n n S a n =-，则6a =___________．14.很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全. 某马拉松赛事报名网站的登录验证码由0,1,2,,9⋅⋅⋅中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”(如0123)，已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是1的概率为___________．15.已知点1(,)2M m m -和点1(,)2N n n -()m n ≠，若线段MN 上的任意一点P 都满足：经过点P 的所有直线中恰好有两条直线与曲线21:(13)2C y x x x =+-≤≤相切，则m n -的最大值为________. 三、解答题16.若,x y 满足约束条件220101x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为 ___________．17.已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC △的面积为S ，222+2a b c S -=. （1）求cos C ；（2）若cos sin ,a B b A c a +== b.18.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形， 点,M N 分别在棱11,C C A A 上，且112,2C M MC A N NA ==.（1）求证：1//NC 平面BMD ； （2）若13,22,3A A AB AD DAB π===∠=，求二面角N BD M --的正弦值.19.已知以F 为焦点的抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)P -，直线l 与C 交于,A B 两点，M 为MB中点，且OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r.（1）当3λ=时，求点M 的坐标；（2）当12OA OB ⋅=uu r uu u r时，求直线l 的方程.20.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：（1）（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表. 请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95％的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（3）以这天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？ 附：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.21.已知函数()e ln(1)x f x a x -=-.（其中常数e=2.718 28⋅⋅⋅，是自然对数的底数） （1）若R a ∈，求函数()f x 的极值点个数； （2）若函数()f x 在区间(1,1+e )a -上不单调，证明：111a a a +>+. 22.选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为cos ,sin ,x t y t αα⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （1）求2C 的直角坐标方程；（2）直线1C 与2C 相交于,E F 两个不同的点，点P 的极坐标为π)，若2EF PE PF =+，求直线1C 的普通方程． 23.选修4－5：不等式选讲已知,,a b c 为正数，且满足1a b c ++=证明：（1）1119a b c++≥；（2）8.27 ac bc ab abc++-≤。

深圳市2020届普通高中高三年级统一模拟测试数 学（理科）本试卷共23小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共 12 小题，每小题5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则 }3210{，，，=A }032|{2<--=x x x B A B = A ． )3,1(-B ．]3,1(-C ．)3,0(D ．]3,0(2．设，则的虚部为 23i32iz +=-z 3．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 8632 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 4．记为等差数列的前项和，若，，则为n S {}n a n 23a =59a =6S 5．若双曲线（，）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心22221x y a b-=0a >0b >(1,2)-率为6．已知，则tan 3α=-πsin 2()4α+=7．的展开式中的系数为 7)2(xx -3x A ．1-B ．1C ．2-D ．2A ．25B ．23C ．12 D.07A ．36B ．32C ．28 D. 24ABC D.2A ．35B ．35-C ．45D ．45-A ．168B ．84C ．42 D.218．函数的图像大致为()2ln |e 1|xf x x =--9．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某四面体 1的三视图，则该四面体的外接球表面积为AB ． 32πC ．36πD ．48π10．已知动点在以，为焦点的椭圆上，动点在以为圆心，半径长M 1F 2F 2214yx +=N M 为 的圆上，则的最大值为 1||MF 2||NF 11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是△的外心、垂心，且为中点，则O H ABC M BC A ． 33AB AC HM MO +=+B ．33AB AC HM MO +=- C ． 24AB AC HM MO +=+D ．24AB AC HM MO +=-12．已知定义在上的函数的最大值为，则正实数的π[04，π()sin()(0)6f x x ωω=->3ωω取值个数最多为 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分．13．若满足约束条件，则的最小值为 ___________．y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+101022x y x y x y x z 2-=14．设数列的前项和为，若，则___________． {}n a n n S n a S n n -=2=6aA BC DA ．2B ．4C ．8D ．16A ．4B ．3C ． 2 D.1 （第9题图）15．很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全. 某马拉松赛事报名网站的登录验证码由，，，，中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验012…9证码称为“递增型验证码”(如)，已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码0123的首位数字是的概率为___________．116．已知点和点，若线段上的任意一点都满足：经1(,)2M m m -1(,2N n n -()m n ≠MN P 过点的所有直线中恰好有两条直线与曲线相切，则P 21:2C y x x =+(13)x -≤≤的最大值为___．||m n -三 、 解答题： 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分． 17．（本小题满分12分）已知△的内角，，的对边分别为，，，△的面积为，ABC A B C a b c ABC S .222+2a b c S -=（1）求；cos C （2）若，，求. cos sin a B b A c +=a =b18．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形， 点，分别1111ABCD A B C D -ABCD M N 在棱，上，且，.1C C 1A A 12C M MC =12A N NA =（1）求证：平面；1//NC BMD （2）若，，， 13A A =22AB AD ==π3DAB ∠=求二面角的正弦值. N BD M --19．（本小题满分12分）已知以为焦点的抛物线过点，直线与交于，两点，F 2:2(0)C y px p =>(1,2)P -l C A B 为中点，且.M AB OM OP OF λ+=u u u r u u u r u u u r （1）当时，求点的坐标；3λ=M （2）当时，求直线的方程. 12OA OB ⋅=u u r u u u rl 20．（本小题满分12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表. 请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期天6≤潜伏期天6>总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？20附：0.05 0.025 0.0103.8415.0246.635，其中. ))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=d c b a n +++=)(02k K P ≥0k21．（本小题满分12分） 已知函数.（其中常数，是自然对数的底数） ()e ln(1)xf x a x =--e=2.718 28⋅⋅⋅（1）若，求函数的极值点个数；a ∈R ()f x （2）若函数在区间上不单调，证明：. ()f x (1,1+e )a-111a a a +>+（二）选考题：共 10 分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，为倾斜xOy 1C ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,sin ,cos 32ααt y t x t α角），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为x 2C ．θρsin 4=（1）求的直角坐标方程；2C（2）直线与相交于两个不同的点，点的极坐标为，若1C 2C F E ,P π)，求直线的普通方程．PF PE EF +=21C23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知为正数，且满足 证明： ,,a b c 1.a b c ++=（1）； 1119a b c++≥（2） 8.27ac bc ab abc ++-≤理科数学试题答案及评分参考一、选择题1.B2.B3.C4.A5.C6.D7.B8.A9.D10.B11.D12.C12.解析：当πππ462ω->时，即83ω>时，max ()13f x ω==，解得3ω=；当πππ462ω-≤时，即803ω<≤时，max ππ()sin()463f x ωω=-=，令ππ()sin()46g ωω=-，()3h ωω=，如图，易知()y g ω=，()y h ω=的图象有两个交点11(,)A y ω，22(,)B y ω，所以方程ππsin()463ωω-=有两个实根12ωω，，又888()1()393g h =>=，所以易知有1283ωω<<，所以此时存在一个实数1ωω=满足题设，综上所述，存在两个正实数ω满足题设，故应选C.二、填空题：13.3-14.6315.41516.4316.解析：由对称性不妨设m n <，易知线段MN 所在直线的方程为12y x =-，又21122x x x +>-，∴点P 必定不在曲线C 上，不妨设1(,)2P t t -，()m t n ≤≤，且过点P 的直线l 与曲线C 相切于点20001(,)2Q x x x +，易知0|x x PQ y k ='=，即2000011()()221x x t x x t +--+=-，整理得200210x tx --=，（法一）显然00x ≠，所以0012t x x =-，令1()f x x x=-，[1,0)(0,3]x ∈-U ，如图，直线2y t =和函数()y f x =的图象有两个交点，又(1)0f -=，且8(3)3f =，∴8023t ≤≤，即403t ≤≤，∴403m n ≤<≤，∴||m n -的最大值为43，故应填43．（法二）由题意可知013x -≤≤，令2()21f x x tx =--，∴函数()f x 在区间[1,3]-上有两个零点，则2(1)20(3)86013440f t f t t t -=≥⎧⎪=-≥⎪⎨-<<⎪⎪=+>⎩V ，解得403t ≤≤，∴403m n ≤<≤，∴||m n -的最大值为43，故应填43．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，222+2a b c S -=.（1）求cos C ；（2）若cos sin a B b A c +=，a =，求b .解：（1）2221=sin 22S ab C a b c S +-= ，，222sin a b c ab C ∴+-=，…………………………………………………………………2分在△ABC 中，由余弦定理得222sin sin cos 222a b c ab C CC ab ab +-===，sin =2cosC C ∴，…………………………………………………………………………4分又22sin +cos C=1C，25cos C=1cosC=5∴±，，由于(0,π)C ∈，则sin 0C >，那么cosC>0，所以cosC=5.………………………6分（2）（法一）在△ABC 中，由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=，……………7分sin sin[π()]sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B =-+=+=+ ，………………………8分sin cos sin sin sin cos cos sin A B B A A B A B ∴+=+，即sin sin cos sin B A A B =，又,(0,π)A B ∈ ，sin 0B ∴≠，sin =cosA A ，得4A π=.……………………………9分sin sin[π()]sin()B A C A C =-+=+，……………………………………………10分sin sin cos cos sin 252510B AC A C ∴=+=⨯+⨯=，………………11分在△ABC中，由正弦定理得310sin 103sin 22a Bb A==.……………………………12分（法二）cos sin a B b A c += ，又cos cos a B b A c += ，cos sin cos cos a B b A a B b A ∴+=+，…………………………………………………8分即sin cos A A =，又(0,π)A ∈ ，π4A ∴=.……………………………………………9分在△ABC中，由正弦定理得25sin 5sin 22a Cc A===………………………10分cos cos b C A a C =+，325c ∴==.………………………………………………………12分（法三）求A 同法一或法二在△ABC中，由正弦定理得25sin 5sin 22a Cc A===………………………10分又由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得2230b b --=，解得1b =-或3b =.所以3b =.……………………………………………………………………………12分（余弦定理2222cos a b c b A =+-，得2430b b -+=，解得1b =或3b =.因为当1b =时，222+-20a b c -=<，不满足cosC>0(不满足222+22a b c S -=-≠)，故舍去，所以3b =）【命题意图】综合考查三角函数的基本运算、三角函数性质，考查利用正弦、余弦定理解决三角形问题，检验学生的数学知识运用能力.E GMDN 1D 1C 1B 1A CBAGEMDN1D 1C 1B 1A CBAMDN1D 1C 1B 1A CBA （第18题图）18．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点M ，N 分别在棱1C C ，1A A 上，且12C M MC =，12A N NA =.（1）求证：1//NC 平面BMD ；（2）若1322A A AB AD ===，，π3DAB ∠=，求二面角N BD M --的正弦值.解：（1）证明：（法一）如图，连接AC 交BD 于点G ，连接MG ．设1C M 的中点为E ，连接AE ．………2分,G M 是在△ACE 边,CA CE 的中点，∴//MG AE ，……………………………………3分又 12C M MC =，12A N NA =，11//AA CC ，∴四边形1ANC E 是平行四边形，故1//NC AE ，∴1//NC GM ，…………………………………4分 GM ⊂平面BMD ，∴1//NC 平面BMD .…………………………………5分（法二）如图，设E 是1BB 上一点，且12BE B E =，连接1EC .设G 是BE 的中点，连接GM .……………………1分11//BE MC BE MC =，，∴四边形1BEC M 是平行四边形，故1//EC BM ，……2分又 BM ⊂平面BMD ，∴1//EC 平面BMD ，…………………………………3分同理可证//NE AG ，//AG DM ，故//NE DM ，MDN1D 1C 1B 1A CBA ∴//NE 平面BMD ，…………………………………4分又 1EC NE ⊂，平面1NEC ，且1NE C E E = ，∴平面1//NEC 平面BMD ，又1NC ⊂平面1NEC ，所以1//NC 平面BMD .……………5分（2）（法一）设二面角N BD M --为α，二面角N BD A --为β，根据对称性，二面角M BD C--的大小与二面角N BD A --大小相等，故π2αβ=-，sin sin(π2)sin 2αββ=-=.下面只需求二面角M BD C --的大小即可.………7分由余弦定理得2222cos 3BD AD AB AD AB DAB =+-⋅∠=，故222AB AD BD =+，AD BD ⊥.……………………8分四棱柱1111ABCD A B C D -为直棱柱，∴1DD ⊥底面ABCD ，1DD BD ⊥，……………………9分又 1,AD D D ⊂平面11ADD A ，1AD D D D = ，BD ∴⊥平面11BDD B ，…………………………………10分ND ⊂ 平面11ADD A ，ND BD ∴⊥，所以二面角N BD A --的大小为NDA ∠，即NDA β∠=，在Rt NAD ∆中，sin 2AN ND β===，…………11分∴π4β=，π2α=，∴二面角N BD M --的正弦值为1.…………………12分（法二）由余弦定理得2222cos 3BD AD AB AD AB DAB =+-⋅∠=，故222AB AD BD =+，AD BD ⊥.……………………6分以D 为坐标原点O ，以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.zyxMDN1D 1C 1B1A CBA依题意有(0,0,0)D ，B ，(M -，N ，DB = ，(DM =-，DN =，……7分设平面MBD 的一个法向量为(,,)n x y z=，00n DB n DM⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，00x z=∴-+=⎪⎩，令1x =，则1z =，0y =，(1,0,1)n∴=，……………9分同理可得平面NBD 的一个法向量为(1,0,1)m=-，……10分所以cos ,0||||m nm n m n ⋅<>===，……………11分所以二面角N BD M --的大小为π2，正弦值为1.…12分【命题意图】考察线面平行、线面垂直判定定理等基本知识，考查空间想象能力，计算能力，考查学生综合运用基本知识处理数学问题的能力.19．（本小题满分12分）已知以F 为焦点的抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)P -，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 中点，且OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r.（1）当=3λ时，求点M 的坐标；（2）当12OA OB ⋅=uur uu u r时，求直线l 的方程.解：（1）因为(1,2)P -在22y px =上，代入方程可得2p =，所以C 的方程为24y x =，焦点为(1,0)F ，…………………………………2分设00(,)M x y ，当=3λ时，由3OM OP OF +=uuu r uu u r uu u r，可得(2,2)M ，………………4分（2）（法一）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，由OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r，可得00(1,2)(,0)x y λ+-=，所以0=2y ，所以l 的斜率存在且斜率121212042=1y y k x x y y y -===-+，……………7分可设l 方程为y x b =+，联立24y x by x=+⎧⎨=⎩得22(24)0x b x b +-+=，2244=16160b b b ∆=--->（2），可得1b <，………………………………9分则1242x x b +=-，212x x b =，2121212()4y y x x b x x b b =+++=，所以21212=412OA OB x x y y b b ⋅=++=uur uu u r，…………………………………11分解得6b =-，或2b =（舍去），所以直线l 的方程为6y x =-.……………………………………………12分（法二）设l 的方程为x my n =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，联立24x my n y x=+⎧⎨=⎩得2440y my n --=，216160m n ∆=+>，………………6分则124y y m +=，124y y n =-，21212()242x x m y y n m n +=++=+，所以2(2,2)M m n m +，…………………………………………………………7分由OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r，得2(21,22)(,0)m n m λ++-=，所以1m =，…………8分所以l 的方程为x y n =+，由16160n ∆=+>可得，1n >-，……………………………………………9分由124y y n =-得221212()16y y x x n ==，所以21212=412OA OB x x y y n n ⋅=+-=uu r uu u r，………………………………………11分解得6n =，或2n =-（舍去），所以直线l 的方程为6y x =-.……………………………………………12分【命题意图】本题以直线与抛物线为载体，考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系、向量的数量积运算，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力.20．（本小题满分12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位:天）]2,0[]4,2(]6,4(]8,6(]10,8(]12,10(]14,12(人数85205310250130155（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期6≤天潜伏期6>天总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，．．．．（即概率最大其中潜伏期超过6天的人数最有可能．．．．．）是多少？附：)(02k K P ≥0.050.0250.0100k 3.8415.0246.635))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=.解：（1） 5.45131511130925073105205385110001=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=）（x 天.……………………………………………………………………………2分（2）根据题意，补充完整的列联表如下：潜伏期6<天潜伏期6≥天总计50岁以上（含50岁）653510050岁以下5545100总计12080200则212510001080120200)35554565(22=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯=K 2.083≈，………………………………………5分经查表，得 3.8412 2.083<≈K ，所以没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关.……6分（3）由题可知，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为521000400=，……7分设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为X ，则)52,02(~B X ,kk k C k X P -⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==02025352)(，0=k ，1，2，…，20，………8分由⎩⎨⎧-=≥=+=≥=)1()()1()(k X P k X P k X P k X P 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-----++-k k k k k k kk k kk k C C C C 121102020291110202025352535253525352，…………10分化简得⎩⎨⎧≥--≥+kk k k 3)12(2)02(2)1(3，解得542537≤≤k ,又N ∈k ,所以8=k ,即这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是8人.…12分【命题意图】以医学案例为实际背景，考查频数分布表，考查平均数，二项分布的随机变量概率最大时的取值；考查分析问题、解决问题的能力；处理数据能力、建模能力和核心素养.21．（本小题满分12分）已知函数()e ln(1)xf x a x =--.（其中常数e=2.71828⋅⋅⋅，是自然对数的底数）（1）若a ∈R ，求函数()f x 的极值点个数；（2）若函数()f x 在区间(1,1+e )a-上不单调，证明：111a a a +>+.解：（1）易知(1)e ()1x x af x x --'=-，1x >，………………………………………1分①若0a ≤，则()0f x '>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，∴函数()f x 无极值点，即函数()f x 的极值点个数为0；……………………2分②若0a >，（法一）考虑函数(1)e (1)x y x a x =--≥，Q 1(1)e 0a y a a a a a ++=->-=，(1)0y a =-<，∴函数(1)e (1)x y x a x =--≥有零点0x ，且011x a <<+，Q e 0x y x '=>，∴函数(1)e (1)x y x a x =--≥为单调递增函数，∴函数(1)e (1)x y x a x =--≥有唯一零点0x ，∴(1)e ()1x x af x x --'=-亦存在唯一零点0x ，…………………………………4分∴当0(1,)x x ∈时，易知()0f x '<，即函数()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，易知()0f x '>，即函数()f x 在0(,)x +∞上单调递增，∴函数()f x 有极小值点0x ，即函数()f x 的极值点个数为1，……………………5分综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的极值点个数为0；当0a >时，函数()f x 的极值点个数为1.（法二）易知函数e x y =的图象与1ay x =-(0)a >的图象有唯一交点00(,)M x y ，∴00e 1x ax =-，且01x >，…………………………………………………………………3分∴当0(1,)x x ∈时，易知()0f x '<，即函数()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，易知()0f x '>，即函数()f x 在0(,)x +∞上单调递增，∴函数()f x 有极小值点0x ，即函数()f x 的极值点个数为1，……………………4分综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的极值点个数为0；当0a >时，函数()f x 的极值点个数为1.（注：第（1）问采用法二作答的考生应扣1分，即总分不得超过4分）（法三）对于0a ∀>，必存在*n N ∈，使得2ln an a->，即2ln na a -<，Q e 1na -<，∴1e 2ln e e e 0nana na a a a a --+--<-<-=，∴1e e e (1e )0e nana nanaa f --+---'+=<，又11e (1)=e 10a aa a f a a++-'+=->，∴函数(1)e ()1x x af x x --'=-有零点，不妨设其为0x ，显然()e (1)1xa f x x x '=->-为递增函数，∴0x 为函数()f x '的唯一零点，…………………………………………………………4分∴当0(1,)x x ∈时，易知()0f x '<，即函数()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，易知()0f x '>，即函数()f x 在0(,)x +∞上单调递增，∴函数()f x 有极小值点0x ，即函数()f x 的极值点个数为1，……………………5分综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的极值点个数为0；当0a >时，函数()f x 的极值点个数为1.（2）Q 函数()f x 在区间(1,1+e )a-上不单调，∴存在0(1,1+e )a x -∈为函数()f x 的极值点，……………………………………6分∴由（1）可知0a >，且1+e e e (1+e )0eaa aaa f ----⋅-'=>，即1+e e aa a -->，两边取对数得1+e ln a a a -->，即1+e ln a a a -->，………………………………7分（法一）欲证111a a a +>+，不妨考虑证111+e ln 1a a a a -+≥-+，先证明一个熟知的不等式：e 1x x ≥+，令g()e 1x x x =--，则g ()e 1x x '=-，∴g (0)0'=，不难知道函数g()x 的极小值（即最小值）为g(0)0=，∴e 10x x --≥，即e 1x x ≥+，……………………………………………………8分（思路1：放缩思想）∴11e =e 1a a a -≤+，即1e 1a a -≥+，………………………9分又111eaa-≥，∴11e a a -≤，∴11ln a a -≤，即11ln a a ≥-，………………………11分∴111+e ln 1a a aa -+≥-+，∴111a a a +>+.…………………………12分（思路2：构造函数）令1()ln 1a a a ϕ=+-，则22111()a a a a aϕ-'=-=，不难知道，函数()a ϕ有最小值(1)0ϕ=，∴()0a ϕ≥，…………………………10分当0a >时，1e 1e 01(1)ea aaa a a ----=>++，…………………………………………11分∴11ln 1e 01a a a a -+-+->+，即111+e ln 1a a a a -+≥-+，∴111a a a +>+.…………………………………………………………………12分（法二）令()1+e ln x F x x x -=--，则1()e 10x F x x-'=---<，∴函数()F x 为单调递减函数，显然(2)2ln 220F <--<，且()0F a >，∴02a <<，①若01a <<，则1111a a a a +>>+，即111a a a +>+成立；…………………………8分②若12a ≤<，只需证111+e ln 1a a a a -+≥-+，不难证明1114173a a a +≥++，只需证明141+e ln 73a a a -≥-+，…………………………9分令14()e ln 173a G a a a -=-+-+，12a ≤≤，则22198198()e (73)(73)a G a a a a a -'=+->-++，当12a ≤≤时，22219849569(73)(73)a a a a a a -+-=++，显然函数249569y a a =-+在[1,2]上单调递增，且(1)20y =>，∴()0G a '>，即函数()G a 为单调递增函数，………………………………………10分∴当12a ≤<时，212e 5()(1)05e 5eG a G -≥=-=>，即()0G a >，………………11分141+e ln 73a a a -∴≥-+，即111a a a +>+，综上所述，必有111a a a +>+成立.…………………………………………………12分（法三）同（法二）得02a <<，①若01a <<，则1111a a a a +>>+，即111a a a +>+成立；…………………………8分②若12a ≤<，只需证111+e ln 1a a a a -+≥-+，令11()e ln 11a G a a a a -=+-+-+，12a ≤≤，则222111()e e (1)(1)a a a G a a a a ---'=-+≥-++，下证当12a ≤≤时，21e 0(1)aa -->+，即证2e (1)a a <+，即证2e 1aa <+，………9分令2()e 1a H a a =--，12a ≤≤，则21()e 12aH a '=-，当2ln 2a =时，()0H a '=，不难知道，函数()H a 在[1,2ln 2)上单调递减，在(2ln 2,2]上单调递增，∴函数()H a 的最大值为(1)H ，或(2)H 中的较大值，显然(1)20H =-<，且(2)e 30H =-<，∴函数()H a 的最大值小于0，即()0H a <，亦即2e 1a a <+，…………………………10分∴21e 0(1)a a -->+，即()0G a '>，∴函数11()e ln 11a G a a a a -=+-+-+，12a ≤≤单调递增，易知11(1)02eG =->，∴()0G a >，即111+e ln 1a a a a -+≥-+，………………………11分∴当12a ≤<时，有111a a a +>+成立，综上所述，111a a a +>+.…………………………………………………………12分【命题意图】本题以基本初等函数及不等式证明为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性.22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,sin ,cos 32ααt y t x （t 为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 4=．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）直线1C 与2C 相交于F E ,两个不同的点，点P 的极坐标为π)，若PF PE EF +=2，求直线1C 的普通方程．解：（1）由题意得，2C 的极坐标方程为θρsin 4=，所以θρρsin 42=，………………1分又θρθρsin ,cos ==y x ，………………2分代入上式化简可得，0422=-+y y x ，………………3分所以2C 的直角坐标方程4)2(22=-+y x ．………………4分（2）易得点P 的直角坐标为)0,32(-，将⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,sin ,cos 32ααt y t x 代入2C 的直角坐标方程，可得012)sin 4cos 34(2=++-t t αα，………………5分22π4sin )48=[8sin()]4803ααα∆=+-+->，解得πsin()3α+>πsin()3α+<，不难知道α必为锐角，故π3sin()32α+>，所以ππ2π333α<+<，即π03α<<,………………6分设这个方程的两个实数根分别为1t ，2t ，则ααsin 4cos 3421+=+t t ，1221=⋅t t ，………………7分所以1t 与2t 同号，由参数t 的几何意义可得，1212π8sin()3PE PF t t t t α+=+=+=+，12EF t t =-==，………………8分所以π28sin()3α⨯=+，两边平方化简并解得πsin()13α+=，所以π2π6k α=+，k ∈Z ,因为π03α<<，所以π6α=，………………9分所以直线1C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=,21,2332t y t x 消去参数t ，可得直线1C 的普通方程为0323=+-y x ．………………10分【命题意图】本题主要考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义和三角函数等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养，考察考生的化归与转化能力．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知,,a b c 为正数，且满足 1.a b c ++=证明：（1）1119a b c++≥；（2）8.27ac bc ab abc ++-≤证明：（1）因为()111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭3b a c a c ba b a c b c=++++++3≥++（当且仅当13a b c ===时，等号成立）.………………5分（2）（法一）因为,,a b c 为正数，且满足1a b c ++=，所以1c a b =--，且10a ->，10b ->，10c ->，所以ac bc ab abc++-()a b ab c ab =+-+()1a b ab a b ab=+---+（）(1)(1)()b a a b =--+(1)(1)(1)a b c =---3(1)(1)(1)8327a b c -+-+-⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦，所以8.27ac bc ab abc ++-≤（当且仅当13a b c ===时，等号成立）.………………10分（法二）因为,,a b c 为正数，且满足1a b c ++=，所以1c a b =--，且10a ->，10b ->，10c ->，()1ac bc ab abc a b c ac bc ab abc ++-=-+++++-()()()()1111a b a c a bc a =-+-+-+-()()11a b c bc =--++⎡⎤⎣⎦()()()111a b c =---()338327a b c -++⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦所以8.27ac bc ab abc ++-≤（当且仅当13a b c===时，等号成立）.………………10分【命题意图】本题以三元不等式为载体考查二元基本不等式（三元均值不等式）的证明，涉及代数恒等变形等数学运算、充分体现了对考生的逻辑推理的核心素养及化归与转化能力的考察．深圳市2020年普通高中高三年级统一测试数学（理科）试题参考答案第16页共16页。