第1章整式的乘除计算 题型解读17 用配方法解题题型-北师大版七年级数学下册有答案

七年级数学·下新课标[北师]第一章整式的乘除1.了解正整数指数幂的意义和正整数指数幂的运算性质,掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等有关幂的运算法则,掌握整式乘除法法则.2.熟练运用幂的运算法则、整式乘除法法则进行运算.3.灵活运用整式乘法公式进行运算,综合运用整式运算的知识解决问题.4.掌握零指数幂、负整数指数幂的运算性质.5.会逆用幂的运算法则、乘法公式解决有关问题.1.让学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程,发展学生的符号感和应用意识,提高应用代数方法解决问题的能力.2.在解决综合题目的过程中,进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力,发展有条理的思考及语言表达能力.1.在数学活动中发展学生合作交流的能力和数学表达能力,感受数学与现实生活的密切联系,增强学生的数学应用意识.2.通过数学活动了解数学的价值,发展“用数学”的信心.本章的内容是在已经学习了有理数的四则混合运算、幂的概念、用字母表示数、合并同类项、去括号、整式的加减等内容的基础上进行的,是前面知识的延伸,本章具有承前启后的作用,是以后学习分式和根式运算、方程以及函数等知识的基础.本章既是中学数学中数与式的重要组成部分,又是联系现实世界及其他学科的重要工具.为学习整式的乘除运算,需要首先学习同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方,以及同底数幂的除法运算,即前3节的内容.教科书在这里的处理方法,总的来说是类比数的运算,从数的运算开始,通过观察和进一步体会、运用幂的意义,最终得到以字母为底数的幂的运算法则.教科书还在得到这些运算法则的过程中,通过创设情境问题、穿插应用问题等,使学生从不同角度体会引入这些运算的意义,同时避免单纯代数式运算给学习带来的枯燥感.本章还引入零指数幂和负整数指数幂的意义,并明确指出它们是规定的,教科书所设计的猜想过程,实际上是用来体会规定的合理性.由于负整数指数幂的引入,这里偶尔会有分式形式出现,但它是作为同底数幂除法的一个自然延续,并不是作为知识点出现,在八年级下册,我们有专门的章节研究分式的问题.在探究整式乘法法则(包括乘法公式)的过程中,即第4~6节中,教科书特别注重借助几何图形理解法则,同时进一步强调代数式运算在解决“具有一般性”的问题中的作用,进一步发展学生的符号意识.本章“科学记数法”一课时,是用科学记数法表示小于1的正数,是七年级上册内容的延续.教科书在此还安排了让学生体会“较小数”的活动,把数的表示和具体数的实际意义结合起来,进一步发展学生的数感.本章第7节,整式的除法运算是由整式乘法的“逆运算”引入的.另外特别要注意的是,本章只涉及整式除以单项式结果仍为整式的除法.本章内容的设计注重代数推理与几何直观两个方面的结合,注重学生对算理的理解和运算能力的提高,注重学生数感、符号意识的发展,希望为后续分式、方程、函数等内容的学习奠定坚实的基础.【重点】1.熟练运用幂的运算法则、整式乘除法法则进行运算.2.灵活运用整式乘法公式进行运算,综合运用整式运算的知识解决问题.【难点】1.整式乘法公式的灵活应用.2.逆用幂的运算性质解决问题.1.准确把握教学要求.为减轻学生负担,培养学生的创新精神和实践能力,新课标对于那些对后续学习意义不大、学得很早但用得很晚,以及过繁过难的内容进行了删减或降低了要求.教学中要注意准确把握教学要求,避免将删掉或降低难度的内容重新拣回.在内容减少、要求降低,但课时不变的情况下,组织课堂教学要逐渐由以教师传授知识为主转变为以学生的主动探索学习为主,留给学生足够的时间,让学生进行充分的讨论与探究,发展学生的合作能力和创新精神.2.合理配置问题.本章主要学习正整数指数幂运算性质与整式乘除的运算法则及乘法公式的应用.以运算为主是本章的一个特点,因此本章是培养学生正确使用公式、性质、法则进行运算,提高运算能力的很好的素材.教学时要让学生做一定量的习题,使学生不仅能够根据这些运算公式、性质和法则进行正确的运算,而且能够理解运算的算理,合理安排运算顺序,寻找简捷的运算途径.但习题量要适当,难度要适中,题目要有针对性,避免过多的机械性重复训练和偏题、难题、怪题,对公式、性质、法则等的应用,切忌死记硬背、生搬硬套,真正提高学生的运算能力.3.有关幂的运算法则,教学时要注意导出公式的过程,而不只是要求学生记住结论,导出性质的教学,是一个由特殊到一般的认知过程.学生对于字母表示数的广泛意义已有初步认识,但对于用字母表示幂的指数还是初次遇到,所以他们会感到抽象,不易理解.为此,教学时应从特殊到一般,从具体到抽象,有层次地进行概括抽象,归纳推理.从数的运算过渡到字母,把幂的底数与指数分两步进行概括抽象,就能使学生容易理解.4.在整式的乘除法教学中,一定要通过实际情境让学生体会学习整式乘除法的必要性,鼓励学生运用乘法交换律、结合律和同底数幂的运算性质等知识探索单项式乘单项式的运算法则,及运用乘法分配律、同底数幂的运算性质说明单项式乘多项式以及多项式乘多项式运算结果的合理性.教学中还要重视学生对算理的理解,使学生体会重要的数学思想方法——转化思想,而不必要求学生背诵法则.乘法公式应用非常广泛,一方面可以简化计算,另一方面也是以后学习因式分解等内容的重要基础.乘法公式也是本章的重点之一,教学时要注意引导学生仔细观察分析公式的结构特征,掌握公式的实质,让学生在欣赏数学结构美的同时,体会数学公式的优越性.5.本章的教学中要留充分的时间让学生进行自主探索、观察、分析、交流、概括、抽象、归纳等数学活动,充分认识活动在发展数学中的作用,在解决问题中能够获得成功的体验,无论这种成功是多还是少,要给学生留出足够的思考时间和空间,以及与同伴交流的机会.本章内容的呈现突出了学生的自主探索过程,有的是依据原有的知识基础,有的是运用乘法的各种运算律,有的是借助直观形象的图形面积,得到各种运算的基本法则,所有这一切都要让学生自己进行体验、探索与认识,这也是本章教学的关键.1同底数幂的乘法1.经历探索同底数幂乘法运算性质的过程,进一步体会幂的运算的意义,发展运算能力和有条理的表达能力.2.了解同底数幂乘法的运算性质,并能解决一些实际问题.1.在探索性质的过程中,让学生经历观察、猜想、创新、交流、验证、归纳总结的思维过程.2.在推理和运用的过程中,让学生理解“由特殊到一般”的思维方法.1.在探索和训练的过程中,培养学生细心严谨的学习态度、积极进取的探索精神及团结协作的良好品质.2.引导学生自主探索,体验成功的快乐,增强对数学学习的兴趣,在轻松、和谐、有序的教学氛围中,培养学生健全的个性.【重点】同底数幂的乘法法则及其灵活应用.【难点】理解同底数幂的乘法法则及运算性质.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P2~3.导入一:北京奥运会的很多建筑都做了节能设计.据统计,奥运场馆一平方千米的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧108千克煤所产生的能量.那么105平方千米的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃识.导入二:上学期我们学习了有理数的乘方,同学们回顾一下,什么样的运算叫做乘方?乘方的结果叫做什么?幂的意义是什么?举例说明.,从而为下一步探索同底数幂[设计意图]通过此活动,让学生回忆幂与乘法之间的关系,即a n=个的乘法法则提供了依据,培养学生知识迁移的能力.导入三:太阳光照射到地球表面所需要的时间约是5×102 s,光在真空中的速度约是3×108 m/s,地球与太阳之活的密切联系.思路一活动1:学生独立完成下列题目(1)求n个相同因数积的运算叫做,乘方的结果叫做,n个a相乘写成乘方的形式为,其中a叫,n叫,a n读作.(2)x3表示个相乘,把x3写成乘法的形式为x3=.(3)x3,x5,x,x2的指数相同吗?它们的底数相同吗?[设计意图]让学生回顾乘方的相关知识,为同底数幂的乘法的学习做铺垫.活动2:探究a3×a2(1)指导学生根据乘方的意义可得:103×102=(10×10×10)×(10×10)=10×10×10×10×10=105.[设计意图]让学生感受学习同底数幂的乘法的必要性,并通过有步骤、有依据的计算,为探索同底数幂乘法的运算性质做好知识和方法的铺垫.(2)学生完成填空.①43×42===.②a3×a2===.【师生活动】学生独立完成计算,小组成员互相检查,一位同学在黑板上板书,师生共同分析板书结果.如果学生有困难,教师可以引导学生回顾问题(1)的解答过程,再进行计算.[设计意图](2)中两个特殊的算式具有代表性和层次性,其中算式①底数和指数都是整数,算式②底数为字母,指数为整数.这两个算式和(1)中的算式为抽象概括出一般的结论奠定基础,让学生在每个算式的计算过程中进一步明确算理和算法,进而得出正确结果.活动3:同底数幂的乘法法则请同学们观察下列各式等号左右两边底数与指数分别有什么关系.103×102=103+2=105;43×42=43+2=45;a3×a2=a3+2=a5.猜想:对于任意底数a,a m×a n=(m,n都是正整数).(学生小组讨论,能说出结果即可,教师引导推导过程)a m·a n=个·个=个=a m+n.结论:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.[设计意图]让学生在观察、比较、抽象、概括中总结出同底数幂的乘法运算的本质特征,并猜想出其性质:a m·a n=a m+n(m,n都是正整数).由此得到同底数幂乘法的性质:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.思路二活动1:猜想结果(1)102×103;(2)a2×a3;(3)10m×10n(m,n都是正整数).同学们猜想一下,它们的运算结果各是什么?[处理方式]让同学们发表不同看法.猜想1:(1)的结果是105,(2)的结果是a5,(3)的结果是10m+n.猜想2:(1)的结果是106,(2)的结果是a6,(3)的结果是10mn.[设计意图]在法则的推导过程中,采用了让学生猜想的方式,引起学生的争论,激发了学生进一步探求的欲望,培养学生大胆猜想的数学品质.活动2:验证猜想,获取正确的结论[处理方式]听取学生猜想后老师总结.猜想1的结论是正确的.因为102表示两个10相乘,103表示三个10相乘,那么102×103就表示五个10相乘,所以结果应该是105;a2表示两个a相乘,a3表示三个a相乘,a2×a3就表示5个a相乘,结果为a5;10m表示m个10相乘,10n表示n个10相乘,10m×10n就表示(m+n)个10相乘,结果为10m+n.教师利用多媒体课件展示推理过程:102×103=(10×10)×(10×10×10)=10×10×10×10×10=105;a2×a3=(a×a)×(a×a×a)=a×a×a×a×a=a5;10m×10n=个×个=10m+n.活动3:推导同底数幂的乘法法则根据上述计算可知(m,n都是正整数): (1)2m×2n=;(2)×=;(3)(- 3)m×(- 3)n=;(4)a4×a5=.分析:以上四个算式有以下两个特点:每个算式的底数都相同;每个算式的指数都是正整数.通过这四个算式,可把底数和指数都抽象成用字母去表示.底数和指数都变成一般的字母时,即:a m·a n=个·个=个=a m+n.结论:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.字母表示:a m·a n=a m+n(m,n都是正整数).提醒学生注意:等式左边是积的形式,右边的指数是和的形式.[设计意图]探求新知的过程让学生充分发挥个人的主体作用,使学生初步理解“由特殊到一般”的认知规律,体会数学思想方法,接受数学文化的熏陶,激发学生的探索创新精神.学生通过相互之间的合作,归纳出法则,发展学生合作交流能力、推理能力和有条理的表达能力.[知识拓展]三个或三个以上的同底数幂相乘的运算.(m,n,p都是正整数)a m·a n·a p=个·个·个=个=a m+n+p.或(a m·a n)·a p=a m+n·a p=a m+n+p.[设计意图]本环节主要是让学生通过自己的探究,使法则得到了完善、推广,解决了心中的疑惑,进一步理解法则.探究活动2同底数幂乘法法则的应用(教材例1)计算.(1)(- 3)7×(- 3)6;(2)×;(3)- x3·x5;(4)b2m·b2m+1.【师生活动】让4名学生板演,其余学生先独立完成,然后小组互相检查,核对过程与结果,教师巡视,及时发现学生在解题过程中出现的问题,然后共同纠错.教师最后强调书写要规范,如:当底数为负数或分数时一定要加括号,并且第(1)小题的结果也可以写为- 313,第(3)题的结果容易错写为(- x)8.解:(1)(- 3)7×(- 3)6=(- 3)7+6=(- 3)13.(2)×==.(3)- x3·x5=- x3+5=- x8.(4)b2m·b2m+1=b2m+2m+1=b4m+1.(教材例2)光在真空中的速度约为3×108 m/s,太阳光照射到地球上大约需要5×102 s.地球距离太阳大约有多远?【师生活动】学生认真读题,充分思考分析,一名学生进行板演,其余学生先独立完成,然后同桌互相检查,核对过程与结果,教师巡视,及时发现学生在解题过程中出现的问题.学生完成后教师进行点评,强调结果的书写要符合科学记数法.解:3×108×5×102=15×1010=1.5×1011(m).地球距离太阳大约有1.5×1011 m.[设计意图]以教材中例题为落脚点,让学生学会应用所学知识解决问题,以达到巩固新知的目的.同时让学生感受大数,发展数感,提高对问题的分析、解决能力,使自己在不知不觉中进步.已知a m=4,a n=3,求下列各式的值.(1)a m+n;(2)a3m+n.〔解析〕同底数幂的乘法法则是可以逆用的,也可以把a m+n=a m·a n(m,n都是正整数)当成公式用.解:(1)a m+n=a m·a n=4×3=12.(2)a3m+n=a m·a m·a m·a n=4×4×4×3=192.[知识拓展]同底数幂的乘法法则的逆用:同底数幂的乘法法则用字母表示为a m·a n=a m+n,其中m,n均为正整数,将公式倒过来就是a m+n=a m·a n,在解决有关问题时,公式的逆用会起到事半功倍的效果.(1)同底数幂相乘,底数不变,指数相加.(2)理解法则时一定要注意前提条件是幂的底数要相同,是乘法运算而不是加法运算.(3)公式中的m,n都是正整数.(4)运算法则可以推广到多个同底数幂的乘法运算,以三个同底数幂相乘为例,用字母表示为a m·a n·a p=a m+n+p(m,n,p都是正整数).1.填空.(1)若a m·a4=a20,则m=;(2)若102·10m=102013,则m=.解析:(1)由a m·a n=a m+n,可知m+4=20,所以m=16.(2)由a m·a n=a m+n可知m+2=2013,则m=2011.答案:(1)16(2)20112.计算.(1)y·y2·y3;(2)y m·y m+1;(3)y m- 1·y m+1·y;(4)- b2·(- b)2·(- b)3.解析:运用同底数幂的乘法法则计算,注意不要忽略指数为1的特殊情况.运算的过程中必须注意同底数这个前提,注意确定积的符号.解:(1)y·y2·y3=y1+2+3=y6.(2)y m·y m+1=y m+m+1=y2m+1.(3)y m- 1·y m+1·y=y m- 1+m+1+1=y2m+1.(4)- b2·(- b)2·(- b)3=- b2·(- b)5=b2·b5=b7.3.某种计算机每秒钟可以进行3×108次运算,那么这台计算机3×102秒可以进行多少次运算?解:3×108×3×102=9×1010(次).故3×102秒可以进行9×1010次运算.4.若a m=2,a n=5,求a m+n的值.解析:注意同底数幂乘法法则的逆用.解:a m+n=a m·a n=2×5=10.1同底数幂的乘法探究活动1同底数幂的乘法法则探究活动2同底数幂乘法法则的应用例1例2例3一、教材作业【必做题】教材第4页习题1.1知识技能第1,2题.【选做题】教材第4页习题1.1问题解决第4,5题.二、课后作业【基础巩固】1.下列计算正确的是()A.y3·y5=y15B.y2+y3=y5C.y2+y2=2y4D.y3·y5=y82.下列各式中,结果为(a+b)3的是()A.a3+b3B.(a+b)(a2+b2)C.(a+b)(a+b)2D.a+b(a+b)23.下列各式中,不能用同底数幂的乘法法则化简的是()A.(a+b)(a+b)2B.(a+b)(a- b)2C.- (a- b)(b- a)2D.(a+b)(a+b)3(a+b)24.下列计算中,错误的是()A.2y4+y4=2y8B.(- 7)5·(- 7)3·74=712C.(- a)2·a5·a3=a10D.(a- b)3(b- a)2=(a- b)5【能力提升】5.计算.(1)- x5·x3·(- x)4;(2)(- b)2·(- b)3+b·(- b)4;(3)x3m- n·x2m- 3n·x n- m;(4)(- 2)×(- 2)2×(- 2)3×…×(- 2)100.6.(1)已知a x=2,a y=3,求a x+y的值;(2)已知4·2a·2a+1=29,且2a+b=8,求a b的值.【拓展探究】7.1千克铀235释放的热量相当于2.7×106千克煤燃烧释放的热量.1吨铀235释放的热量相当于多少千克煤燃烧释放的热量?【答案与解析】1.D(解析:由同底数幂相乘,底数不变,指数相加可知D正确.)2.C(解析:将a+b看成一个整体作为底数,再利用法则可以得出.)3.B(解析:选项A和D中底数都是a+b,可以利用法则,C中a- b和b- a互为相反数,可以化为同底数幂的乘法.故选B.)4.A(解析:B,C,D选项可以利用同底数幂的乘法法则得到,选项A不属于同底数幂的乘法,应该是合并同类项.)5.解:(1)- x5·x3·(- x)4=- x5·x3·x4=- x12.(2)(- b)2·(- b)3+b·(- b)4=b2·(- b3)+b5=- b5+b5=0. (3)x3m- n·x2m- 3n·x n- m=x4m- 3n.(4)原式=(- 2)1+2+…+100=(- 2)5050=25050.6.解:(1)a x+y=a x·a y=2×3=6.(2)由题意可知22a+3=29,即2a+3=9,则a=3,由2a+b=8可得b=2,故a b=32=9.7.解:1吨=103千克,103×2.7×106=2.7×109(千克),故相当于2.7×109千克煤燃烧释放的热量.本节课同底数幂乘法公式推导过程中,学生经历了猜想、质疑、推理、论证的学习过程,也渗透了转化和从特殊到一般的数学思想,充分体现了自主探究的学习方式.而在巩固深化环节上精心设计题目,通过学生独立思考,小组合作等手段,让学生个个动手、人人参与,充分调动学生学习数学的积极性.同时也使各层次的学生有不同的收获.课堂节奏把握不够紧凑,最后例题讲解环节时间不够充分.对例题在计算过程中容易出错的地方强调不足,对同底数幂的运算法则的条件强调较少,容易导致学生在计算的过程中发生错误.本节课始终围绕着同底数幂的乘法公式展开,充分调动学生思维,鼓励学生积极探索.在设置习题的时候,在注重基础训练的基础上,强调灵活运用同底数幂的运算法则.在完成第二个例题的时候,可以让学生独立完成后再合作交流.随堂练习(教材第3页)1.解:(1)59.(2)76.(3)- x5.(4)(- c)3+m.2.解:4×109×5×102=2×1012(次).3.解:比邻星与地球的距离约为3×108×3×107×4.22=37.98×108×107=37.98×1015=3.798×1016(m).习题1.1(教材第4页)知识技能1.解:(1)c12.(2)107.(3)- b5.(4)- b5.(5)x2m.(6)a4+n.2.解:a m+n=a m·a n=2×8=16.数学理解3.解:(1)错误,a3·a2=a5.(2)错误,b4·b4=b8. (3)错误,x5+x5=2x5.(4)正确.问题解决4.解:(1.3×108)×(9.6×106)=1.248×1015(千克).5.解:(1)25=32(个).(2)25·2t=25+t(个).本节课的设计,学生要经历从实际情境中抽象出数学问题的过程,在探索中,学生将自然地体会同底数幂运算的必要性,有助于培养学生的数感与符号感,同时也发展了他们的推理能力和有条理的表达能力.在教学过程中,教师可进一步启发要求学生往更深一层次去研究、剖析知识,概括出“底数互为相反数”时的运算方法,培养学生知识的运用能力,加深对所学知识的理解.若m a- 2=6,m b+5=11,求m a+b+3的值.〔解析〕此题主要考察同底数幂的乘法法则的逆用,注意观察待求得幂的指数为a+b+3,恰好为前两个指数a- 2与b+5的和,根据同底数幂的乘法法则,同底数幂相乘时指数相加,所以很容易得到应该将前两个幂的形式相乘.解:m a+b+3=m a- 2·m b+5=6×11=66.2幂的乘方与积的乘方1.了解幂的乘方与积的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题.2.经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的运算的意义,发展运算能力和有条理的表达能力.1.在探索性质的过程中让学生经历观察、猜想、创新、交流、验证、归纳总结的过程.2.在推理和运用的过程中,让学生理解“由特殊到一般,再到特殊”的思维方法和辩证的数学思想.1.在探索和训练的过程中,培养学生细心严谨的学习态度、积极进取的探索精神及团结协作的良好品质.2.引导学生自主探索,体验成功的快乐,增强对数学学习的兴趣,在轻松、和谐、有序的教学氛围中,培养学生健全的个性.【重点】幂的乘方、积的乘方的灵活应用.【难点】幂的乘方、积的乘方的逆运用.第课时学习幂的乘方的运算性质,进一步体会幂的运算的意义,并能解决实际问题.经历探索幂的乘方运算性质的过程,发展推理能力和有条理的表达能力,提高解决问题的能力.培养学习数学的兴趣,建立学习数学的信心,感受数学的内在美.【重点】幂的乘方性质的推导及幂的乘方的应用.【难点】幂的乘方性质的逆运用.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P5~6.导入一:1.填空.(1)(23)2=23×23=2();(2)(72)3=72×()×()=7();323()2.情境引入.【课件展示】地球、木星、太阳可以近似地看做是球体.木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍,它们的体积分别约是地球的多少倍?提示:球的体积公式是V=πr3,其中V是球的体积,r是球的半径[处理方式]让学生思考后,自己得出结论.生:木星的体积是地球的103倍;太阳的体积为地球的(102)3倍.师:那么你知道(102)3等于多少吗?102是幂的形式,因此我们把这样的运算叫做幂的乘方.这节课我们就来研究幂的第二个运算性质——幂的乘方.[设计意图]从地球、木星、太阳的半径关系入手,有效地激发了学生的学习兴趣,唤起了他们的求知欲望,从而顺利导入新课.师:这个问题大家解决得很好,如果这个正方体的棱长为102,你可以求出它的体积吗?生:可以,是106.师:一个正方形的边长为103,你可以求出它的面积吗?生:也是106.师:为什么是这个结果呢?(学生思考2分钟,进行展示)生:(102)3=(100)3=100×100×100=106.(103)2=(1000)2=1000×1000=106.师:这两个式子分别表示什么意义?它也是一种运算,也就是我们这节课要学习的幂的乘方.(板书课题) [设计意图]通过复习知识,直接点出本节课的主题,激发学生的学习兴趣,引导学生体验把实际问题抽象成数学问题的一般方法,为新授内容做准备.思路一1.你知道(102)3等于多少吗?学生展示计算过程:(102)3=102×102×102①=102+2+2②=106=102×3.【思考】推出第①步和第②步的根据是什么呢?点拨:第①步利用了乘方的含义,(102)3表示3个102相乘;第②步利用了同底数幂的乘法:底数不变,指数相加.【思考】观察上面的运算过程,底数和指数发生了怎样的变化?点拨:结果的指数刚好是原式中两个指数的积,而运算前后底数没变.2.做一做:计算下列各式,并说明理由.(1)(62)4;(2)(a2)3;(3)(a m)2;(4)(a m)n.[处理方式]通过观察不难发现,上面的4个小题都是幂的乘方的运算,下面我们就请四位同学到黑板上板演,其余的同学观察他们做的有无错误.【师生活动】展示解答过程:(1)(62)4=62·62·62·62=62+2+2+2=68.(2)(a2)3=a2·a2·a2=a2+2+2=a6.(3)(a m)2=a m·a m=a m+m=.(4)(a m)n=个=个=a mn.【知识归纳】由上面的“做一做”我们可推出幂的乘方的运算性质,即:(a m)n=a mn(m,n都是正整数).用语言表述为:幂的乘方,底数不变,指数相乘.[设计意图]由幂的意义和同底数幂的乘法得出幂的乘方的运算法则,知识自然生成,学生很容易接受.思路二回答下列问题:(1)64的底数是,指数是,它表示个相乘.(2)(62)4的底数是,指数是,它表示个相乘.(3)(a2)3的底数是,指数是,它表示个相乘.[处理方式]学生先独立思考,然后小组内共同探究结果,并归纳总结得到结论,从而得到幂的乘方的法则.教师引导归纳:(62)4=×××==.(a2)3=××==.(a m)2=×==.(a m)n=××…×==,即(a m)n=(m,n都是正整数).【思考】通过上面的探索活动,你发现了什么?幂的乘方,底数,指数.用字母表示:(a m)n=a mn(m,n都是正整数).[知识拓展][(a m)n]p=a mnp(m,n,p都是正整数).[设计意图]通过三个问题由浅入深,由特殊到一般,由猜测到探索、再到理解法则的实际意义,从而从本质上认识、学习幂的乘方的性质,并运用自己的语言进行描述,教师再引导学生归纳总结幂的乘方的法则,充分利用课堂中的一切机会,调动学生探究问题的积极性,发展学生的语言表达能力.[过渡语]在具体问题中怎样运用幂的乘方的运算性质呢?下面通过例题看看同学们有什么高见.(教材例1)计算.(1)(102)3;(2)(b5)5;(3)(a n)3;(4)- (x2)m;(5)(y2)3·y;(6)2(a2)6- (a3)4.[处理方式]请几个同学口答(1)~(3)题,并课件展示解题过程:(1)(102)3=102×3=106.(2)(b5)5=b5×5=b25.(3)(a n)3=a3n.教师点拨(4)~(6)题:(4)- (x2)m表示(x2)m的相反数,所以- (x2)m=- .(5)(y2)3·y中既含有乘方运算,也含有乘法运算,按运算顺序,应先算乘方,再算乘法,所以(y2)3·y=y2×3·y=y6·y=y6+1=y7.(6)2(a2)6- (a3)4按运算顺序应先算乘方,后算减法,所以2(a2)6- (a3)4=2a2×6- a3×4=2a12- a12=a12.[设计意图]例题的设计用来教会学生如何运用幂的乘方法则,同时进一步体会幂的乘方的意义,巩固幂的乘方法则.探究活动3幂的乘方法则的延伸1.判断下面计算是否正确,如有错误请改正.(1)(x3)3=x6;(2)a6·a4=a24.2.计算.(1)(103)3;(2)- [(a- b)2]5;(3)(x3)4·x2.[处理方式]第1题:独立解答,汇报交流.(1)(x3)3=x6不正确,(x3)3表示三个x3相乘,即x3·x3·x3=x3+3+3=x3×3=x9;或直接根据幂的乘方的运算性质:底数不变,指数相乘,得(x3)3=x3×3=x9.。

四、巩固提升归纳第一章《整式的乘除》中出现的三类典型的蕴含重要数学思想的题型，让学生对知识的运用形成体系，明确在具体题目当中出现的数学方式，并能较好的进行分析和解决。

1.公式的灵活应用将多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个形如（a+b）的完全平方，则添加单项式的方法共有多少种2.数形结合思想我们知道，有些代数恒等式可以用平面图形的面积来表示，例如（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用如图所示的面积关系来说明。

（1）根据图形请你写出一个等式：（2）根据等式请你画出一个能说明等式成立的图形：（2a+b）（a+3b）=2a2+7ab+3b2从代数到图形，从图形到代数，彼此是互相支撑互相补充的关系。

对于给出的代数恒等式（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，可以用同一个图形的面积相等去解释等号左右相等，所谓“以形助数”使代数问题几何化。

另外一方面，给出一个图形，学生也可以根据面积相等列出一个代数恒等式，所谓的“以数辅形”，使几何问题代数化。

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，初中数学中实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系。

学情分析学生的知识技能基础：学生在这一章中了解了整数指数幂的意义和正整数指数幂的运算性质，经历了探索整式乘除法法则的过程，理解了整式乘除的算理，运用这些知识解决了一些相关的实际问题。

但这一章的运算法则较多，公式也容易混淆，而且学生对这些知识的理解缺乏整体认知，还没形成体系.学生活动经验基础：在学习整式乘除法的过程中，学生经历了许多数学活动，积累了一定的经验.但是学生有条理的思考和表达能力还比较薄弱，缺乏综合运用知识解决较复杂问题的经验，需要进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力。

学生在进行完章测试之后，迫切希望知道成绩以及自己知识点上的欠缺，所以讲评课要抓住学生的这种心理，趁热打铁，促进知识的稳固和提升。

北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除难点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、计算02022的结果是（）A．1 B．0 C．2022 D．1 20222、下列计算正确的是（）A．a+3a＝4a B．b3•b3＝2b3C．a3÷a＝a3D．（a5）2＝a73、三个数02，23-，()13--中，负数的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个4、已知并排放置的正方形ABCD和正方形BEFG如图，其中点E在直线AB上，那么DEG∆的面积1S和正方形BEFG的面积的2S大小关系是（）A ．1212=S S B ．12S S C ．122S S = D ．1234S S = 5、计算(1)(2)m m m ++结果中，3m 项的系数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36、下列运算正确的是（ ）A ．（a 2）3＝a 6B ．a 2•a 3＝a 6C ．a 7÷a ＝a 7D ．（﹣2a 2）3＝8a 6 7、()23a -的值是（ ） A ．5a - B ．6a C ．5a D ．6a -8、下列计算中，正确的是（ ）A ．3515a a a ⋅=B ．22a b ab +=C ．()2362a b a b =D ．()2224a a =++ 9、下列计算正确的是( )．A ．()33xy xy =B ．()222455xy x y -=- C ．()22439x x -=- D ．()323628xy x y -=- 10、下列计算中，结果正确的是（ ）A ．3515x x ⋅=B ．248x x x ⋅=C ．()236x x =D ．623x x x ÷=第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、计算：|﹣2|﹣20210＋（12）﹣1＝______________．2、比较大小：4442____33333、若(x +x )(2x −4)的结果中不含x 的一次项，则a 的值为______．4、（﹣2021）0＝_____．5、计算：332a a ＋6a ÷2a ＝____________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知有理数x ，y 满足x ＋y 12=，xy ＝﹣3（1）求（x ＋1）（y ＋1）的值；（2）求x 2＋y 2的值．2、化简：()()()2231x x x -+++．3、计算：20-211(3).93⎛⎫--+--- ⎪⎝⎭ 4、计算（1）（3x ﹣2）（2x +y +1）．（2）62a （13ab ﹣2b ）﹣22a b （a ﹣b ）．5、计算：（1）53(9126)3x x x x +-÷（2）(-2x +1)(3x -2)-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据任何数（除了0以外）的零次幂都为1可直接进行求解．【详解】解：02022=1；故答案为1．【点睛】本题主要考查零次幂，熟练掌握零次幂是解题的关键．2、A【分析】根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的乘法判断B选项；根据同底数幂的除法判断C选项；根据幂的乘方判断D选项．【详解】解：A选项，原式＝4a，故该选项符合题意；B选项，原式＝b6，故该选项不符合题意；C选项，原式＝a2，故该选项不符合题意；D选项，原式＝a10，故该选项不符合题意；故选：A．【点睛】此题考查了整式的计算：合并同类项、同底数幂乘法、同底数幂除法、幂的乘方法则，熟记各法则是解题的关键．3、B【分析】先计算各数，并与0比较大小，根据比0小的个数得出结论即可．【详解】解：021=＞0，2211339-==＞0，()111333--==--＜0， 负数的个数是1个，故选：B ．【点睛】本题考查有理数的幂运算，零指数幂，负指数幂，掌握有理数的幂运算，零指数幂，负指数幂，和比较大小是解题关键．4、A【分析】设正方形ABCD 和正方形BEFG 的边长分别为m 、n ，利用面积和差求出面积即可判断．【详解】解：设正方形ABCD 和正方形BEFG 的边长分别为m 、n ，S 1＝S 正方形ABCD +S 正方形BEFG ﹣（S △ADE +S △CDG +S △GEF ）＝m 2+n 2﹣[12m （m +n ）+ 12m （m ﹣n ）+ 12n 2] ＝12n 2；∴S 1＝12S 2．故选：A ．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是熟练用面积和差求三角形面积，准确进行计算．5、B【分析】根据多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加计算，最后根据要求求解即可．【详解】解：∵(1)(2)m m m ++=232(32)32m m m m m m ++=++，∴3m 项的系数是1．故选：B ．【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则，合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同．6、A【分析】根据同底数幂的乘除运算、幂的乘方、积的乘方可直接进行排除选项．【详解】解：A 、()326a a =，原选项正确，故符合题意； B 、235a a a ⋅=，原选项错误，故不符合题意；C 、76a a a ÷=，原选项错误，故不符合题意；D 、()32628a a -=-，原选项错误，故不符合题意； 故选A ．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除运算、幂的乘方、积的乘方，熟练掌握同底数幂的乘除运算、幂的乘方、积的乘方是解题的关键．【分析】根据幂的乘方法则计算即可．【详解】解：()23a-=6a，故选B．【点睛】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键．幂的乘方底数不变，指数相乘．8、C【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、幂的乘方运算法则以及完全平方公式对各项进行计算即可解答．【详解】解：A. 3583+5=⋅=，故原选项计算错误，不符合题意；a a a aB. 2a与b不能合并，故原选项计算错误，不符合题意；C. ()2362=，计算正确，符合题意；a b a bD. ()22+=++，故原选项计算错误，不符合题意．a a a244故选：C．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方运算法则以及完全平方公式等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．【分析】幂的乘方，底数不变,指数相乘，积的乘方，等于每个因式乘方的积，据此计算即可．【详解】解：A、()333xy x y=，故本选项不合题意；B、()2224-=，故本选项符合题意；xy x y525C、()224-=，故本选项不合题意；x x39D、(−2xy2)3=−8x3y6，故本选项正确故选：D．【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．10、C【分析】根据整式乘法的法则及幂的乘方法则、同底数幂除法法则依次判断．【详解】解：A、3515x x⋅=x2，故该项不符合题意，B、246⋅=，故该项不符合题意，x x xC、()236=，故该项符合题意，x xD、624x x x÷=，故该项不符合题意，故选：C．【点睛】此题考查了整式的计算法则，正确掌握整式乘法的法则及幂的乘方法则、同底数幂除法法则是解题的关键．二、填空题1、3【分析】先化简绝对值、零指数幂和负整数指数幂，再算加减即可【详解】解：|﹣2|﹣20210＋(1)﹣12=2-1+2=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了有理数的意义，熟练掌握绝对值、零指数幂和负整数指数幂的意义是解答本题的关键，非零数的负整数指数幂等于这个数的正整数次幂的倒数；非零数的零次幂等于1．2、【分析】把它们化为指数相同的幂，再比较大小即可．【详解】解：∵2444=（24）111=16111，3333=（33）111=27111，而16111<27111，∴2444<3333，故答案为：<．【点睛】本题主要考查了幂的乘方以及有理数大小比较，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．3、2【分析】将原式化简后，将含有x 的项进行合并，然后令其系数为0即可求出答案．【详解】解：原式=2x 2−4x +2xx −4x=2x 2+(2x −4)x −4x令240a -=，2a ∴=，故答案为：2．【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘以多项式的乘法法则，本题属于基础题型．4、1【分析】根据任何非0的数的零指数幂为1进行求解即可．【详解】解：()020211-=，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了零指数幂，解题的关键在于能够熟练掌握一个非0的数的零指数幂为1．5、47a【分析】由题意先计算同底数幂的乘法和同底数幂的除法，最后合并同类项即可得出答案.【详解】解：332a a ＋6a ÷2a ＝44467a a a +=.故答案为：47a .【点睛】本题考查整式的乘除，熟练掌握同底数幂的乘法和同底数幂的除法运算是解题的关键.三、解答题1、（1）112-（2）164【分析】（1）（x +1）（y +1）=xy +（x +y ）+1，再整体代入计算即可求解；（2）将x 2+y 2变形为（x +y ）2-2xy ，再整体代入计算即可求解．（1）（1）解：（1）（x +1）（y +1）=xy +（x +y ）+1 =-3+12+1 =112- ；（2）（2）解：x 2+y 2=（x +y ）2-2xy4=164．【点睛】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式，解题关键是整体思想的应用．2、227x【分析】先利用完全平方公式，多项式乘以多项式计算整式的乘法，再合并同类项即可.【详解】解：()()()2231x x x -+++224433x x x x x227x 【点睛】本题考查的是整式的乘法运算，完全平方公式的应用，掌握“利用完全平方公式进行简便运算”是解本题的关键.3、8.9【分析】先计算0次幂和负指数幂及绝对值和有理数的乘方运算，然后运用有理数的加减法法则计算即可．【详解】解：()20211393-⎛⎫--+--- ⎪⎝⎭ 1111999=-+-9【点睛】题目主要考查负指数幂、0指数幂、有理数的乘方，去绝对值，有理数的加减混合运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．4、（1）62x+3xy﹣x﹣2y﹣2（2）﹣42a2b【分析】（1）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可；（2）根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可．（1）解：（1）（3x﹣2）（2x+y+1）＝62x+3xy+3x﹣4x﹣2y﹣2＝62x+3xy﹣x﹣2y﹣2．（2）解：原式＝62a×13ab﹣62a×2b﹣22a b×a+22a b×b＝23a b﹣62a2b﹣23a b+22a2b＝﹣42a2b．【点睛】本题考查了了整式的乘法，熟练掌握乘法运算的法则是解题的关键．5、（1）42342x x+-；（2）2672x x-+-【分析】（1）根据多项式除以单项式运算法则计算即可；（2）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可．【详解】（1）53x x x x+-÷(9126)3=53÷+÷+-÷x x x x x x(93)(123)(6)3=42+-；x x342（2）(-2x+1)(3x-2)=2x x x-++-6432=2-+-．x x672【点睛】本题考查了多项式除以单项式，多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．。

2019年北师大七年级（下） 第一章：整式的乘除运算讲义【解题方法与策略】整式的乘法（1）单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．如：23234233ab a b c a b c ⋅=，两个单项式的系数分别为1和3，乘积的系数是3，两个单项式中关于字母a 的幂分别是a 和2a ，乘积中a 的幂是3a ，同理，乘积中b 的幂是4b ，另外，单项式ab 中不含c 的幂，而2323a b c 中含2c ，故乘积中含2c ．（2）单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加．公式为：()m a b c ma mb mc ++=++，其中m 为单项式，a b c ++为多项式．（3）多项式与多项式相乘：将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加．公式为：()()m n a b ma mb na nb ++=+++整式的除法（1）单项式除以单项式：系数、同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．如：2322233a b c ab ab c ÷=，被除式为2323a b c ，除式为ab ，系数分别为3和1，故商中的系数为3，a 的幂分别为2a 和a ，故商中a 的幂为21a a -=，同理，b 的幂为2b ，另外，被除式中含2c ，而除式中不含关于c 的幂，故商中c 的幂为2c ．（2）多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加．公式为：()a b c m a m b m c m ++÷=÷+÷+÷，其中m 为单项式，a b c ++为多项式．典例剖析【例1】 下列计算正确的是（ ）A ．236326a a a ⋅=B ．358248x x x ⋅=C ．44339x x x ⋅=D ．88165510y y y ⋅=【例2】 直接写出结果：（1）23232a b a b ⋅= （2）22558x y xyz ⋅=（3）3263b a b ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭（4）()()2424a b b -⋅-=【例3】 计算：（1）3223152a bc ab ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()()1323443m x yz x y z +⋅-（3）)21).(43).(32(222z xy z yz x -- （4）33332543ab a b abc ⎛⎫⎛⎫⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）()()1245m m a b b a -⎡⎤⎡⎤-⋅--⎣⎦⎣⎦ （6）()()()21536m n m x y x y y x +⎡⎤-⋅-⋅-⎣⎦【练习】计算2332536()()()()1245x y x y x y y x ⎡⎤+⋅--⋅--⋅-⎢⎥⎣⎦．【例4】 计算：（1）()()43322.a ab c （2）()()233222x x y -⋅-（3）()()23226.3xy x y ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭（4）()32223334x x y xy ⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（5）()()2323m n x y x y -⋅ （6）()()()232223m n n x y x y xy -⋅-⋅-【例5】 若()18333m n m n a a b a b ++⋅=，则m = ，n = ．【例6】 如果223a b x y --和35825a b a bx y ++是同类项，那么这两个单项式的积是 ．【例7】 直接写出结果：（1）()62m n ---= （2）()222a a ab b --=（3）()()253a b ab -+⋅-= （4）()21684.2x x x ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭（5）()23413=3x x x ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭ （6）()1=m m na a a --【例8】 计算：（1）()()22324a a b a a ab --- （2）()()222131a b ab ab ab -++-（3）()()2321322m n x x x x ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦ （4）()()3213222m n ab b a b b a b ⎡⎤⎛⎫+--⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（5）()()()()534233515221x x y x x y ⎡⎤--⋅---⎣⎦ （6）12123111264226n n x y xy x y xy ++⎛⎫⎛⎫-⋅--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【例9】 化简求值25365(21)4(3)24m m m n m m n --+-+---，其中12m n =-=，．【例10】 解方程()()()22614116x x x x x x ---=-+．【练习】若2(31)6(3)16x x x x --+-=，则______x =．【例11】 解不等式()()()222224253x x x x x x -+-+-≤．【例12】 对代数式进行恰当的变形求代数式的值 （1）若56x y +=，求2530x xy y ++；（2）若210m m +-=，求3222013m m ++；（3）若20x y +=，求()3342x xy x y y +++．【例13】 直接写出结果：（1）()()a b m n ++= （2）()()2a b m n +-= （3）()()23x x +-= （4）()()34y y --= （5）()()3x y x y -+= （6）()()22a b a b --=【例14】 下列计算正确的是：（ ）A ．()()22222a b a b a b +-=-B ．()()22a b a b a b --+=-C ．()()22333103a b a b a ab b --=-+D ．()()2233a b a ab b a b --+=-【例15】 下列计算正确的是：（ ）A ．()2222a b a ab b --=-+ B ．()222a b a b -=-C ．()()()2244x y x y x y x y +--=-D ．()()222244a b b a a ab b --=-+-【例16】 计算：（1）()()3123a a +- （2）)214)(221(-+x x（3）()(2)x y x y ++ （4）()()43a b a b ---（5）(2)(2)(21)a a a -++； （6）233222()()x y x y x y -⋅-【例17】 计算：（1）(2)(3)a a a +- （2）()()0.10.20.30.4m n m n -+（3）2(23)(2)()x y x y x y -+-+ （4）2(2)(2)()a b a b a b +--+（5）22()()()x y x y y x -+--+ （6）()()22x xy y x y ++-【例18】 已知230a a --=，则(3)(2)a a -+的值是_________．【例19】 （1）若()()22345+x x ax bx c +-=+，则a = ，b = ，c = ．（2）若2(2)()6x x n x mx --=-+，则___________m n ==，．【例20】 已知22()()26x my x ny x xy y ++=+-，求()m n mn +的值．【例21】 先化简再求值：()()()()3123454a a a a +----，其中2a =-．【例22】 直接写出结果：（1）52x x ÷= （2）94y y ÷= （3）88x x ÷= （4）()()106xy xy ÷= （5）()63c c -÷= （6）()1312x x -÷= （7）()323x x ⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭（8）()5122ax x -÷=（9）()()7426=3a b b a -÷- （10）()0π 3.14-=【例23】 计算：（1）()42m m nx x x ÷⋅ （2）42m m n x x x ÷⋅（3）()()233223a b a÷ （4）211528n n a a -⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭（5）()()2483pq m n n m ⎡⎤--÷-⎣⎦ （6）()()21212n n x y x y +⎡⎤⎡⎤+÷+⎢⎥⎣⎦⎣⎦【练习】计算：（1）222(4)8x y y ÷（2）2322393m n m n n m a b c a b ---÷（3）3232213()()34a b ab ÷ （4）2322(0.8)(4)n n x y x y ÷【例24】 若()28332233m n ax y x y x y ÷=，求a m n 、、的值．【例25】 化简求值：()()()43242322422a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⋅-÷-÷-⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，其中5a =-．【例26】 直接写出结果：（1）()269123x x -+÷= （2）()()32281477x x x x --÷-= （3）()()32121866x x x x -+÷-= （4）()()433226892x y x y x y xy -+÷-=【例27】 计算：（1）472632211()()393a b a b ab -÷-（2）()282342336( 1.8)0.655a b a b a b ab --÷（3）()323453360.90.645a x a x ax ax ⎡⎤-+-÷⎢⎥⎣⎦（4）()()2233735322728217m n m m n m n m n ⎡⎤+-÷-⎢⎥⎣⎦【例28】 先化简，再求值：()()()2232a b ab b b a b a b --÷-+- ，其中15a =-，1b =- ．【练习】()()()()32322524a b a b a b a b a +--+--÷⎡⎤⎣⎦，其中23a b =-=，．【例29】 已知2610x x -+=，求221x x +的值．【练习】已知23530x x --=，求221x x +的值．【例30】 已知多项式322x x ax -+的除式为1bx -，商式为22x x -+，余式为2，求a b 、的值．【例31】 将一多项式()()221734x x ax bx c ⎡⎤-+-++⎣⎦，除以()56x +后，得商式为()21x +余式为1 求a b c --= ．【例32】 (3)x +与(2)x m -的积中不含x 的一次项，则________m =．【例33】 如果2(1)(5)x x ax a +-+的乘积中不含2x 项，则a 为_________．【练习】已知23(536)(12)x mx x x -+--的计算结果中不含3x 的项，则m 的值为 ．【例34】 计算322(25)(231)x x x x -+--+．【例35】 已知21ax bx ++与2231x x -+的积不含3x 的项，也不含x 的项，试求a 与b 的值．【练习】使22(8)(3)x px x x q ++-+的积中不含2x 和3x ，求p ，q 的值．【例36】 在()()22231x ax b x x ++--的积中，3x 项的系数是5-，2x 项的系数是6-，求a b 、的值．【练习】已知多项式432222(1)(2)x x x x mx x nx +++≡++++，求m 与n 的值．【例37】 已知实数a b x y 、、、满足35ax by ay bx +=-=，．求()()2222a b x y ++的值．【例38】 规定一种新运算“*”：a *()()()()2534b a b a b =++-++，试化简()1m -*()1n +．【练习】规定一种新运算“*”：对于任意实数()x y ，恒有()x y ，*()()211x y x y x y =++--，，．若实数a b ，满足()a b ，*()()=a b b a ，，，则a b ，的值为多少？【例39】 已知()5543221x ax bx cx dx ex f +=+++++，则a b c d e +++++的值为 ；a b c d e f -+-+-的值 ．【练习】已知()66543232x ax bx cx dx ex fx g -=++++++，则a c e g +++的值为 ； b d f ++的值为 ．知识回顾计算：（1）()()22x x +- （2）()()3131x x +- （3）()()a b a b +- （4）()()2323x x +-（5）()21x + （6）()221x - （7）()2a b + （8）()2a b -【解题方法及策略】平方差公式22()()a b a b a b +-=-平方差公式的特点：即两数和乘以它们的差等于这两数的平方差． ①左边是一个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数． ②右边是乘方中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）． 注意：①公式中的a 和b 可以是具体的数也可以是单项式或多项式． 如：2(2)(2)4a a a +-=-；22(3)(39x y x y x y +-=-）； 22()()()a b c a b c a b c +++-=+-；3535610()()a b a b a b +-=-．②不能直接运用平方差公式的，要善于转化变形．如：97103(1003)(1003)9991⨯=-+=；22()()()()a b b a a b a b a b +-+=+-=-完全平方公式222()2a b a ab b +=++；222()2a b a ab b -=-+即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍．完全平方公式的特点：左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中的每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍，可简单概括为口诀：“首平方，尾平方，积2倍在中央”．注意：①公式中的a 和b 可以是单项式，也可以是多项式。

《整式的乘除》计算题型解读17 用配方法解题题型【知识梳理】1.题型特点：出现类似完全平方式展开式的代数式；2.解题方法：配方法指的是将一个代数式的某一部分，通过恒等变形（如拆分、分组或等式性质的方法）转化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法。

初一代数中涉及到“配方法”，多拆分常数项，或运用等式性质进行恒等变形，让拆分出来的项与多项式中的某两项组成完全平方式，且多半会结合平方的非负性进行解题。

.【典型例题】例1. 在多项式x 2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是______解析：①x ²若为平方项，则加上的项是：±2x ×3=±6x ；②若x ²为乘积二倍项，则加上的项是：（x ²6）²=x4/36， ③若加上后是单项式的平方，则加上的项是：-x ²或-9．例2.计算：1.23452+0.76552+2.469×0.7655解析：原式=1.23452+2×1.2345×0.7655+0.76552=(1.2345+0.7655)2=4例3.若a，b为有理数，且2a2−2ab+b2+4a+4=0，则a2b+ab2 =__________ 解析：原方程可变形为： (a−b)2+(a+2)2=0,∴a=b=−2,∴原式=-6例4.已知x2+y2+2x−8y+17=0，求x2017+xy的值。

解析：原方程可变形为： (x+1)2+(y−4)2=0 ,∴ x=−1,y=4,,∴原式=1-4=-3例5.已知a2+b2−2a+4b+5=0，则a+b=____________解析：原方程可变形为：(a−1)2+(b+2)2=0 ,∴ a=1,b=−2,∴原式=-1例6.不论x取何数，代数式x2−6x+10的值均为（）A．正数 B．零 C．负数 D．非负数解析：原式=x²-6x+9+1=(x-3)²+1≥1,故选A例7.不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x −4y +7的值（ A ）A ．总不小于2B ．总不小于7C ．可为任何实数D ．可能为负数解析：原式=(x ²+2x+1)+（y ²-4y+4）+2=(x+1)²+(y-2)²+2≥2,故选A例8.先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题。

第一章整式的乘除知识点总结一、单项式：数字与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

一个单项式中，数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

注意：π是数字，而不是字母，它的系数是π，次数是0. 二、多项式几个单项式的代数和叫做多项式。

其中每个单项式叫做这个多项式的项。

多项式中不含字母的项叫做常数项。

多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

三、整式：单项式和多项式统称为整式。

四、整式的加减法：整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项。

五、幂的运算性质：1、同底数幂的乘法：),(都是正整数n m aa a nm nm+=∙2、幂的乘方：),(都是正整数）（n m a a mnn m =3、积的乘方：)()(都是正整数n b a ab nnn= 4、同底数幂的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a nm nm都是正整数六、零指数幂和负整数指数幂： 1、零指数幂：);0(10≠=a a 2、负整数指数幂：),0(1是正整数p a aa p p≠=- 七、整式的乘除法：1、单项式乘以单项式：法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2、单项式乘以多项式：法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

3、多项式乘以多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

4、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

5、多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

八、整式乘法公式：1、平方差公式： 22))((b a b a b a -=-+2、完全平方公式： 2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-七年级数学（下）第一章《整式的运算》一、 知识点：1、都是数与字母的乘积的代数式叫做单项式（单独的一个数或一个字母也是单项式）；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称整式。

北师大版七年级下册数学《第一章整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解！1.完全平方公式：(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

2.派生公式：(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab考点解析完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。

该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。

两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。

为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

理解公式左右边特征(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.(三)这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.(四)两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。

这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。

七年级数学下册第一章整式的乘除1.7整式的除法2说课稿新版北师大版一. 教材分析整式的乘除是初中数学的重要内容，对于培养学生的逻辑思维和运算能力具有重要意义。

在本节课中，学生将学习整式的除法，这是整式乘除的延伸，也是解决实际问题的基础。

教材通过具体的例子引导学生理解整式除法的概念，并通过练习让学生掌握整式除法的运算方法。

二. 学情分析七年级的学生已经学习了整式的乘法，对于整式的概念和运算方法有一定的了解。

但是，学生在进行整式除法运算时，可能会对除法的运算规则理解不深，导致运算错误。

因此，在教学过程中，我需要引导学生理解整式除法的本质，并通过练习让学生熟练掌握运算方法。

三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解整式除法的概念，掌握整式除法的运算方法，并能运用整式除法解决实际问题。

2.过程与方法：通过小组合作、讨论交流的方式，学生能够主动探索整式除法的运算规律，培养学生的逻辑思维和运算能力。

3.情感态度与价值观：学生能够在解决问题中体验到数学的乐趣，增强对数学学习的兴趣和信心。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解整式除法的概念，掌握整式除法的运算方法。

2.教学难点：学生能够灵活运用整式除法解决实际问题，理解整式除法的运算规则。

五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、引导发现法、练习法等多种教学方法，引导学生通过小组合作、讨论交流的方式，主动探索整式除法的运算规律。

同时，利用多媒体教学手段，展示整式除法的运算过程，帮助学生形象直观地理解知识。

六. 说教学过程1.导入：通过复习整式的乘法，引导学生自然过渡到整式的除法，激发学生的学习兴趣。

2.讲解：讲解整式除法的概念和运算方法，引导学生理解整式除法的本质。

3.练习：设计不同难度的练习题，让学生在实践中掌握整式除法的运算方法。

4.拓展：引导学生运用整式除法解决实际问题，提高学生的应用能力。

5.总结：对本节课的内容进行总结，强调整式除法的运算规则。

《整式的乘除》全章复习与巩固【要点梳理】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方：(m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：(n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：1n na a -=（a ≠0，n 是正整数）. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；需灵活地双向应用运算性质.要点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项包含前面的“＋”“－”号．根据多项式的乘法，能得出一个应用广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 4.单项式相除单项式相除、把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：1.在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.2.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是三项，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一、幂的运算1、已知：2m +3n ＝5，则4m •8n ＝（ ）A ．16B ．25C ．32D ．64 【解答】解：4m •8n ＝22m •23n ＝22m +3n ＝25＝32，故选：C ．2．下列各式正确的有（ ）①x 4+x 4＝x 8；②﹣x 2•（﹣x ）2＝x 4；③（x 2）3＝x 5；④（x 2y ）3＝x 3y 6；⑤（﹣3x 3）3＝﹣9x 9；⑥2100×（﹣0.5）99＝﹣2；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①x 4+x 4＝2x 4，此计算错误；②﹣x 2•（﹣x ）2＝﹣x 4，此计算错误；③（x 2）3＝x 6，此计算错误；④（x 2y ）3＝x 6y 3，此计算错误；⑤（﹣3x 3）3＝﹣27x 9，此计算错误；⑥2100×（﹣0.5）99＝2×299×（﹣0.5）99＝2×（﹣0.5×2）99＝2×（﹣1） ＝﹣2，此计算正确；故选：A ．3、阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较322和411的大小．解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2∴322＞222，即322＞411小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小材料二：比较28和82的大小解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6∴28＞26，即28＞82小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小【方法运用】（1）比较344、433、522的大小（2）比较8131、2741、961的大小（3）已知a 2＝2，b 3＝3，比较a 、b 的大小（4）比较312×510与310×512的大小【解答】解；（1）∵344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，522＝（52）11＝2511， ∵81＞64＞25，∴8111＞6411＞2511，即344＞433＞522；（2）∵8131＝（34）31＝3124，2741＝（33）41＝3123，961＝（32）61＝3122，∵124＞123＞122，∴3124＞3123＞3122，即8131＞2741＞961；（3）∵a 2＝2，b 3＝3，∴a 6＝8，b 6＝9，∵8＜9，∴a 6＜b 6，∴a ＜b ；（4）∵312×510＝（3×5）10×32，310×512＝（3×5）10×52，又∵32＜52，∴312×510＜310×512．类型二、整式的乘除法运算1、要使()()621x a x -+的结果中不含x 的一次项，则a 等于( )A.0B.1C.2D.3【答案】D ；【解析】先进行化简，得：，要使结果不含x 的一次项，则x 的一次项系数为0，即：62a -＝0.所以3a =.【总结升华】代数式中不含某项，就是指这一项的系数为0.2．如图，一个边长为（m +2）的正方形纸片剪去一个边长为m 的正方形，剩余的部分可以拼成一个长方形，若拼成的长方形的一边长为2，则另一边长为 2m +2 ．【解答】解：设另一边长为x ，根据题意得，2x ＝（m +2）2﹣m 2，解得x ＝2m +2．故答案为：2m +2．3．如图，现有A ，C 两类正方形卡片和B 类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方形．如果要拼成一个长为（3a+2b），宽为（a+b）的长方形，那么需要B类长方形卡片5张．【解答】解：长为3a+2b，宽为a+b的长方形的面积为：（3a+2b）（a+b）＝3a2+5ab+2b2，∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为ab，C类卡片的面积为b2，∴需要A类卡片3张，B类卡片5张，C类卡片2张，故答案为：5．类型三、乘法公式1．如果x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，则m＝．【解答】解：∵x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，∴﹣2（m+1）＝±4，则m＝﹣3或1．故答案为：﹣3或1．2、用简便方法计算：（1）1002﹣200×99+992（2）2018×2020﹣20192 （3）计算：（x﹣2y+4）（x+2y﹣4）【解答】解：（1）1002﹣200×99+992＝1002﹣2×100×（100﹣1）+（100﹣1）2＝[100﹣（100﹣1）]2＝12＝1；（2）2018×2020﹣20192＝（2019﹣1）（2019+1）﹣20192＝20192﹣1﹣20192＝﹣1．（3）原式＝x2﹣（2y﹣4）2＝x2﹣4y2+16y﹣16；3．图①是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称抽）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．ab B．a2+2ab+b2C．a2﹣b2D．a2﹣2ab+b2【解答】解：图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，∴正方形的边长为：a +b ，∴正方形的面积为（a +b ）2，∵原矩形的面积为4ab ，∴中间空的部分的面积＝（a +b ）2﹣4ab ＝a 2﹣2ab +b 2．故选：D ．4、已知222246140x y z x y z ++-+-+=，求代数式2012()x y z --的值.【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出,,x y z .【答案与解析】解：222246140x y z x y z ++-+-+= ()()()2221230x y z -+++-= 所以1,2,3x y z ==-=所以20122012()00x y z --==.【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能得出正确答案.类型四、综合类大题1．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．请你利用上述方法解决下列问题：（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2【拓展应用】提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：证明上述速算方法的正确性．【解答】解：（1）图（1）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x＝2x2+2xy，图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2．（2）几何图形如图所示：拓展应用：（1）①几何模型：②用文字表述57×53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果；即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；2．阅读下列材料并解决后面的问题材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣﹣1783）才发现指数与对数之间的联系，我们知道，n个相同的因数a相乘a•a…，a记为a n，如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28，即log28＝3一般地若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b，即log a b＝n．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381，即log381＝4．（1）计算下列各对数的值：log24＝，log216＝，log264＝（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是；（3）拓展延伸：下面这个一股性的结论成立吗？我们来证明log a M+log a N＝log，a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m•a n＝a m+n＝M•N，∴log a MN＝m+n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M+log a N＝log a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）仿照（3）的证明，你能证明下面的一般性结论吗？log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）计算：log34+log39﹣log312的值为．【解答】解：（1）log24＝log222＝2，log216＝log224＝4，log264＝log226＝6；故答案为：2，4，6；（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是：log24+log216＝log264；（4）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m÷a n＝a m﹣n＝，∴log a＝m﹣n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）log34+log39﹣log312，＝log3，＝log33，＝1，故答案为：1．。

1．1同底数幂的乘法1．理解并掌握同底数幂的乘法法则；（重点)2．运用同底数幂的乘法法则进行相关运算．（难点)一、情境导入问题：2015年9月24日，美国国家航空航天局（下简称:NASA）对外宣称将有重大发现宣布，可能发现除地球外适合人类居住的星球，一时间引起了人们的广泛关注．早在2014年，NASA就发现一颗行星，这颗行星是第一颗在太阳系外恒星旁发现的适居带内、半径与地球相若的系外行星,这颗行星环绕红矮星开普勒186,距离地球492光年。

1光年是光经过一年所行的距离，光的速度大约是3×105km/s.问：这颗行星距离地球多远(1年＝3.1536×107s）?3×105×3。

1536×107×492＝3×3。

1536×4.92×105×107×102＝4.6547136×10×105×107×102.问题：“10×105×107×102”等于多少呢?二、合作探究探究点：同底数幂的乘法【类型一】底数为单项式的同底数幂的乘法计算：(1)23×24×2；(2）－a3·（－a)2·(－a)3；(3）m n＋1·m n·m2·m.解析：（1)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；(2）先算乘方，再根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；(3)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．解：(1）原式＝23＋4＋1＝28；（2)原式＝－a3·a2·(－a3)＝a3·a2·a3＝a8;(3）原式＝m n＋1＋n＋2＋1＝a2n＋4.方法总结：同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1的幂，进行运算时,不能忽略了幂指数1.【类型二】底数为多项式的同底数幂的乘法计算:（1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3·(2a＋b）n－4；(2）（x－y)2·(y－x)5.解析：将底数看成一个整体进行计算．解：（1)原式＝（2a＋b）(2n＋1）＋3＋（n－4）＝（2a＋b)3n；（2)原式＝－(x－y）2·（x－y）5＝－（x－y）7.方法总结：底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算．(a－b)n＝错误!【类型三】运用同底数幂的乘法求代数式的值若82a＋3·8b－2＝810，求2a＋b的值．解析:根据同底数幂的乘法法则,底数不变指数相加，可得a、b的关系，根据a、b的关系求解．解：∵82a＋3·8b－2＝82a＋3＋b－2＝810，∴2a＋3＋b－2＝10，解得2a＋b＝9。

新北师大版七年级数学下册整式的乘除知识点梳理一、概述新北师大版七年级数学下册整式的乘除知识点是整个数学体系中的重要组成部分，为学生后续学习代数表达式、方程、函数等奠定基础。

本章节主要围绕整式的概念、性质以及乘除法的运算规则进行展开，帮助学生理解和掌握整式的基本运算技巧。

通过本章的学习，学生可以更好地理解数学中的代数结构，为后续学习复杂的数学问题做好准备。

在学习过程中，学生需要掌握整式的定义、性质以及乘法公式和法则，并理解整式除法的基本原理和方法。

通过大量的练习和实践，学生能够熟练掌握整式的乘除运算技巧，并能够独立解决相关数学问题。

在学习过程中，教师的作用也不可忽视，需要通过恰当的教学方法和手段，帮助学生理解和掌握这些知识点，激发学生的学习兴趣和动力。

整式的乘除知识点不仅是数学学习的基础，也是日常生活中的应用工具，学生需要认真对待并熟练掌握。

1. 介绍新北师大版七年级数学下册整式的乘除知识点的重要性和应用场景。

《新北师大版七年级数学下册整式的乘除知识点梳理》之开篇概述：整式的乘除的重要性与应用场景在代数世界中，整式的乘除是学生初步接触代数运算的关键一步。

它是多项式运算的基础，为学生后续的复杂数学问题求解提供工具和基础方法。

通过整式的乘除学习，学生不仅能够掌握基本的代数运算技巧，还能够理解代数表达式和方程在实际问题中的应用方式。

整式乘除的学习有助于培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力，为未来的数学学习和生活做好准备。

整式的乘除在现实生活中有着广泛的应用场景。

在物理学的力学、几何学等领域中，很多问题都可以转化为整式方程来求解。

在经济学的统计、数据分析等方面，整式的乘除也是进行数据建模和问题解决的重要工具。

在学习自然科学、社会科学甚至日常生活方面，我们遇到的问题经常需要运用整式乘法来解决，比如求解几何图形的面积、解决物体运动的位移问题等。

通过对整式的学习和应用，学生不仅能在学校中获得丰富的知识，更能在日后的生活中运用所学的数学知识解决实际问题。

word整理版七年级数学下册——第一章整式的乘除（复习）单项式整式多项式整同底数幂的乘法幂的乘方式积的乘方的幂运算同底数幂的除法零指数幂运负指数幂整式的加减算单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法多项式与多项式相乘整式运算平方差公式完整平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式第1章整式的乘除单元测试卷一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）1.以下运算正确的选项是（）A .a4a5a9 B.a3a3a33a3C. 2a43a56a9D.a34a7 2012320122 .5（）135A.1B.1 C.0D.19973 .设5a3b25a3b2A，则A=（）A.30abB.60abC.15abD.12ab4 .已知x y 5,xy3,则x2y2（）A.25.B2519、195 .已知x a3,x b5,则x3a2b（）、27B 、9C、3D、52215506 ..如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四a b种表示该长方形面积的多项式：m学习参照资料nword整理版①(2a+b)(m+n); ②2a(m+n)+b(m+n);③m(2a+b)+n(2a+b); ④2am+2an+bm+bn，你以为此中正确的有A 、①②B、③④C、①②③D、①②③④（）7．如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）A 、–3B、3C、0D、18．已知.(a+b)=9，ab=－12，则a2+b的值等于（）A 、84、78C、12D、64）9．计算（a－b）（a+b）（a+b）（a－b）的结果是（A．a8+2a4 b4+b8B．a8－2a4b4+b8．a8+b8D．a8－b81 0.已知P m 1,Qm28m（m为随意实数），则P、Q的大小关系为1515（）A、P Q B 、P Q、PQ D、不可以确立二、填空题（共6小题，每题4分，共24分）1 1.设4x2mx121是一个完整平方式，则m=_______。

北师大版七年級（下）数学第一章整式的乘除教案：整式乘法讲义（含答案）1、掌握单项式与单项式相乘的算理。

2、掌握积的乘方、幂的乘方等单项式乘法公式。

3、灵敏运用公式，简化计算。

1、单项式乘以单项式法那么：单项式与单项式相乘，应用乘法交流律和结合律，把它们的系数、相反字母的幂区分相乘，其他的字母连同它的指数不变，一同作为积的因式.注：单项式乘以单项式，实践上是运用了乘法结合律和同底数的幂的运算法那么完成的。

2、单项式乘以多项式的运算法那么单项式与多项式相乘，就是依据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，转化为单项式与单项式的乘法，然后再把所得的积相加.3、多项式乘以多项式法那么：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.方法总结：在探求多项式乘以多项式时，是把某一个多项式看成一个全体，应用分配律停止计算，这里再一次说明了全体性思想在数学中的运用。

4、幂的运算法那么：①同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

即：nmnm aaa+=⋅〔m、n为正整数〕②幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即：nmnm aa⋅=）（〔m、n为正整数〕③积的乘方等于把积的每一个因式区分乘方，再把所得的幂相乘。

即：nnn ba)ba(⋅=⋅〔n为正整数〕④同底数的幂相除，底数不变，指数相减。

n -m n m a a a =÷〔m>n ，m 、n 为正整数〕5、乘法的运算律：①乘法的结合律：〔a×b〕×c=a×〔b×c〕②乘法的分配律：a 〔b+c 〕=ab+ac1、单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，应用乘法交流律和结合律，把它们的系数、相反字母的幂区分相乘，其他的字母连同它的指数不变，一同作为积的因式.注：单项式乘以单项式，实践上是运用了乘法结合律和同底数的幂的运算法那么完成的。

【例1】计算：〔1〕〔2xy 2〕·〔13xy 〕; 〔2〕〔－2a 2b 3〕·〔－3a 〕; 〔3〕〔4×105〕·〔5×104〕; 解：〔1〕〔2xy 2〕·〔13xy 〕 = 〔2×13〕·〔x ·x 〕〔y 2·y 〕 = 23x 2 y 3; 〔2〕〔－2a 2b 3〕·〔－3a 〕 =［〔－2〕·〔－3〕］〔a 2a 〕·b 3=6a 3b 3;〔3〕〔4×105〕·〔5×104〕 = 〔4×5〕·〔105×104〕=20×109=2×1010;留意：①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算相对值.这时容易出现的错误是，将系数相乘与指数相加混杂，如2a 3·3a 2=6a 5，而不要以为是6a 6或5a 5.②相反字母的幂相乘，运用同底数幂的乘法运算性质.③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式.④单项式乘法法那么关于三个以上的单项式相乘异样适用.⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式.练1、〔－3a 2b 3〕2·〔－a 3b 2〕5;答案：〔－3a 2b 3〕2·〔－a 3b 2〕5=［〔－3〕2 · 〔a 2〕2 ·〔b 3〕2］·［〔－1〕5 · 〔a 3〕5 ·〔b 2〕5］= 〔9a 4b 6〕·〔－a 15b 10〕= －9·〔a 4·a 15〕·〔b 6·b 10〕= －9a 19b 16;练2、〔－23a 2bc 3〕·〔－34c 5〕·〔13ab 2c 〕. 答案：〔－23 a 2bc 3〕·〔－34c 5〕·〔13ab 2c 〕 =［〔－23〕×〔－34〕×〔34〕］·〔a 2·a 〕〔b ·b 2〕〔c 3·c 5·c 〕 =16a 3b 3c 9【例2】一种电子计算机每秒可做4×109次运算，它任务5×102秒，可做多少次运算？ 解： 〔4×109〕×〔5×102〕= 〔4×5〕×〔109×102〕= 20×1011 = 2×1012〔次〕答：任务5×102秒，可做2×1012次运算.练4、以下计算正确的选项是〔 〕A ．3a 2·2a 2=5a 2B ．2a 2·3a 2=6a 2C ．3a 2·4b 2=12a 2b2 D ．3a 3·4a 4=12a 12 练5、以下计算正确的选项是〔 〕 A ．5y ·4yx 2＝9x 3y 3B ．〔-2x 3y n z 〕〔-4x n+1y n-3〕=8x n+4y2n-3 C ．〔-x n-2y 2〕〔-xy m 〕2=-x n y2m+2 D ．〔-7a 2b 3〕〔5ab 2c 〕＝-2a 2b 6c 练6、假定〔a n bab m 〕5=a 10b 15那么3m 〔n+1〕的值为〔 〕A ．15B ．8C ．12D ．10答案： C D C2、单项式乘以多项式【例3】计算：〔1〕 2ab 〔5ab 2+3a 2b 〕; 〔2〕 〔32ab 2－2ab 〕·21ab; 〔3〕 －6x 〔x －3y 〕; 〔4〕 －2a 2〔21ab+b 2〕. 解：〔1〕 2ab 〔5ab 2+3a 2b 〕= 2ab ·〔5ab 2〕+2ab ·〔3a 2b 〕——乘法分配律= 10a 2b 3+6a 3b 2——单项式与单项式相乘〔2〕 〔23ab 2－2ab 〕·12ab = 〔23ab 2〕·12ab+〔－2ab 〕·12ab ——乘法分配律 =13a 2b 3－a 2b 2——单项式与单项式相乘 〔3〕 －6x 〔x －3y 〕= 〔－6x 〕·x+〔－6x 〕·〔－3y 〕——乘法分配律= －6x 2+18xy ——单项式与单项式相乘〔4〕 －2a 2〔12ab+b 2〕 = －2a 2·〔12ab 〕+〔－2a 2〕·b 2——乘法分配律 = －a 3b －2a 2b 2——单项式与单项式相乘 练7、计算：()2213266x x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭． 练8、计算：()223412a b ab ab -⨯ 答案：322221123x y x y xy -+ 32233648a b a b - 【例4】计算：6mn 2〔2－31mn 4〕+〔－21mn 3〕2.剖析：在混合运算中，要留意运算顺序，结果有同类项的要兼并同类项.解：原式=6mn 2×2+6mn 2·〔－31mn 4〕+41m 2n 6 =12mn 2－2m 2n 6+41m 2n 6 =12mn 2－47m 2n 6练9、计算()222++3m m m a a a a -+⋅ 练10、计算()()3225+-x x x x ⋅答案： 2+4m m a a + 3x【例5】ab 2=－6，求－ab 〔a 2b 5－ab 3－b 〕的值.剖析：求－ab 〔a 2b 5－ab 3－b 〕的值，依据题的条件需将ab 2的值全体代入.因此需灵敏运用幂的运算性质及单项式与多项式的乘法.解：－ab 〔a 2b 5－ab 3－b 〕= 〔－ab 〕·〔a 2b 5〕+〔－ab 〕〔－ab 3〕+〔－ab 〕〔－b 〕= －a 3b 6+a 2b 4+ab 2= 〔－ab 2〕3+〔ab 2〕2+ab 2当ab 2=－6时原式=〔－ab 2〕3+〔ab 2〕2+ab 2=［－〔－6〕］3+〔－6〕2+〔－6〕=216+36－6=246练11、假定〔a m+1b n+2〕·〔a2n-1·b 2m 〕＝a 5·b 3那么m+n 的值为〔 〕 A ．1 B ．2C ．3D ．-3 剖析：先算等式的左边，再依据题意得m ，n 的方程组，将方程组整理后相加得出m+n 的值．解：由〔a m+1b n+2〕·〔a2n-1·b 2m 〕=a 5·b 3得 a m+2n b 2m+n+2=a 5b 3所以⎩⎨⎧=++=+ ② ①32252n m n m ①+②得3m+3n=6 即m+n=2应选B3、多项式乘以多项式【例6】计算：〔1〕〔1－x 〕〔0.6－x 〕 〔2〕〔2x+y 〕〔x －y 〕 〔3〕〔x －y 〕2 〔4〕〔－2x+3〕2 〔5〕〔x+2〕〔y+3〕－〔x+1〕〔y －2〕.剖析：在做题的进程中，要明白每一步算理.因此，不要求直接应用法那么停止运算，而要应用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化为单项式与多项式相乘.解：〔1〕〔1－x 〕〔0.6－x 〕 〔2〕〔2x+y 〕〔x －y 〕=〔0.6－x 〕－x 〔0.6－x 〕 = 2x 〔x －y 〕+y 〔x －y 〕=0.6－x －0.6x+x2 = 2x 2－2xy+xy －y 2 =0.6－1.6x+x 2 = 2x 2－xy －y 2或 〔1－x 〕〔0.6－x 〕 或 〔2x+y 〕〔x －y 〕=1×0.6－1×x －0.6x+x ·x = 2x ·x －2x ·y+xy －y 2=0.6－x －0.6x+x2 = 2x 2－xy －y 2 =0.6－1.6x+x 2〔3〕〔x －y 〕2=〔x －y 〕〔x －y 〕 或〔x －y 〕2=〔x －y 〕〔x －y 〕=x 〔x －y 〕－y 〔x －y 〕 =x ·x －x ·y －x ·y+y ·y=x 2－xy －xy+y2 =x 2－2xy+y 2 =x 2－2xy+y 2〔4〕〔－2x+3〕2〔5〕〔x+2〕〔y+3〕－〔x+1〕〔y －2〕= 〔－2x+3〕〔－2x+3〕 = 〔xy+3x+2y+6〕－〔xy－2x+y－2〕= －2x〔－2x+3〕+3〔－2x+3〕 = xy+3x+2y+6－xy+2x－y+2= 4x2－6x－6x+9 = 5x+y+8= 4x2－12x+9评注：〔3〕〔4〕题应用乘方运算的意义化成多项式与多项式的乘法运算.〔5〕整式的混合运算，一定要留意运算顺序.练12、计算：〔1〕〔m+2n〕〔m－2n〕; 〔2〕〔2n+5〕〔n－3〕;〔3〕〔x+2y〕2〔4〕〔ax+b〕〔cx+d〕.解：〔1〕〔m+2n〕〔m－2n〕〔2〕〔2n+5〕〔n－3〕=m·m－m·2n+2n·m－2n·2n = 2n·n－3·2n+5n－5×3=m2－2mn+2mn－4n2 = 2n2－6n+5n－15=m2－4n2 = 2n2－n－15〔3〕〔x+2y〕2 〔4〕〔ax+b〕〔cx+d〕= 〔x+2y〕〔x+2y〕 = ax·cx+ax·d+b·cx+bd= x2+2xy+2xy+4y2 = acx2+adx+bcx+bd= x2+4xy+4y2想一想：由计算失掉27×23=621，发现积的末两位上的数21=7×3，前面的数6=2×〔2+1〕.换两个数84×86=7224异样具有这一特点，于是我们猜想：十位数字相反，个位数字之和为10的两位数的积能否也有这样的规律？剖析：依据题意，可以发现这样的两位数除了十位数字相反外，个位数字是补数，即个位数字的和是10.因此，我们设这样的两位数区分为10a+b和10a+c〔a，b，c都是正整数，并且b+c=10〕.依据多项式与多项式的乘法，经过对结果变形，就可说明.解：设这样的两位数区分为10a+b和10a+c〔a、b、c都是正整数，并且b+c=10〕.依据多项式与多项式相乘的运算法那么可知，这两个数的乘积为〔10a+b〕〔10a+c〕=100a2+10a〔b+c〕+bc=100a2+100a+bc=100a〔a+1〕+bc结论：这个式子通知我们：求十位数相反，个位数字之和等于10的两个两位数的积，可以用十位上的数a去乘比它大1的数〔a+1〕，然后在乘积的前面添上两位数，在这两个数位上写上个位数字的乘积，所得的结果就是原来这两位数的乘积.【例7】计算：〔1〕32×38 〔2〕54×56 〔3〕73×77解：〔1〕3×〔3+1〕=12，2×8=16 〔2〕5×〔5+1〕=30，4×6=24∴32×38=1216 ∴54×56=3024〔3〕7×〔7+1〕=56，3×7=21∴73×77=56214、综合运用【例8】规律探求题〔1〕研讨以上等式：①1×3+1=4=22;②2×4+1=9=32;③3×5+1=16=42;④4×6+1=25=52…你发现有什么规律？依据你的发现，找出表示第n个等式的公式并证明.〔2〕计算以下各式，你能发现什么规律吗？〔x－1〕〔x+1〕= .〔x－1〕〔x2+x+1〕= .〔x－1〕〔x3+x2+x+1〕= .〔x－1〕〔x4+x3+x2+x+1〕= .〔x －1〕〔x n +x n－1+…+x+1〕= .答案：〔1〕n 〔n+2〕+1=〔n+1〕2，证明略〔2〕x 2－1，x 3－1，x 4－1，x 5－1，…x n+1－1〔3〕A =987654321×123456789， B =987654322×123456788.试比拟A 、B 的大小.剖析：这么复杂的数字经过计算比拟它们的大小，十分冗杂.我们观察就可发现A 和B 的因数是有关系的，假设借助于这种关系，用字母表示数的方法，会给处置效果带来方便.解：设a=987654321，那么a+1=987654322; b=123456788， b+1=123456789，那么A=a 〔b+1〕=ab+a; B=〔a+1〕b=ab+b.而依据假定可知a>b 所以A>B.1. 以下各式计算正确的选项是〔 〕 〔A 〕()()2322623b a ab b a =-- 〔B 〕()()5321021106102⨯-=⨯⨯⨯-. 〔C 〕223222212b a b a b ab a --=⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 〔D 〕()6332b a ab -=-2. 假定992213y x y x y x n n m m =⋅++-，那么n m 43-的值为〔 〕〔A 〕3 〔B 〕4 〔C 〕5 〔D 〕63. 假定()()1532-+=++kx x m x x ，那么m k +的值为〔 〕〔A 〕7- 〔B 〕5 〔C 〕2- 〔D 〕24. 化简()()()233232+---x x x 的结果是〔 〕 〔A 〕x 11 〔B 〕x 11- 〔C 〕12862+-x x 〔D 〕12-x5.如图是长10cm ，宽6cm 的长方形，在四个角剪去4个边长为x cm 的小正方形，按折痕做一个有底无盖的长方体盒子，这个盒子的容积是〔 〕〔A 〕()()x x 21026-- 〔B 〕()()x x x --106〔C 〕()()x x x 21026-- 〔D 〕()()x x x --10266. 假定72)43)((2++=+-cx bx x b ax ，那么()c b a -⨯+)(的值为〔 〕〔A 〕36 〔B 〕72 〔C 〕108 〔D 〕7207. 032=-+a a ，那么()42+a a 的值是〔 〕〔A 〕9 〔B 〕12- 〔C 〕15- 〔D 〕18-8. 将〔1〕中的梯形沿虚线剪开，拼成一个缺角的正方形，如图〔2〕所示.依据这两个图形的面积关系，以下式子成立的是〔 〕〔A 〕()()22b a b a b a -=-+ 〔B 〕()2222b a b ab a +=++〔C 〕()2222b a b ab a -=+- 〔D 〕()222b a b a -=-9. 假定单项式m y x 26-与3131y x n -是同类项，那么这两个单项式的积是 . 10. 32-=ab ，那么()=---b ab b a ab 352 . 11. 假定212=++a a ，那么()()=+-a a 65 .12.观察以上等式：()1212112⨯+=+⨯，()2222222⨯+=+⨯，()3232332⨯+=+⨯，…… ，那么第n 个等式可以表示为 ．13. 一个多项式除以122-x ，商式为2-x ，余式为1-x 那么这个多项式是 .14. ()()q x x px x +-++3822展开后不含2x 与3x 的项，那么=p ，=q .15. 数学家发明了一个魔术盒，当恣意数对()b a ,进入其中时，会失掉一个新的数：()()21--b a .现将数对()1,m 放入其中失掉数n ，再将数对()m n ,放入其中后，失掉的数是 .16. 1km 2的土地上，一年内从太阳失掉的能量相当于熄灭1.3×108 km 2煤所发生的能量，那么我国9.6×106km 2的土地上，一年内从太阳失掉的能量相当于熄灭煤 千克.17. 计算：〔1〕3423332435⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅c ab b a ab〔2〕()()()131312-++-+-x x x x x x 18. 先化简下面的代数式，再求值： )4()2)(2(a a a a -+-+，其中1+=πa .19. 解方程组：⎩⎨⎧-=-=-+123)4)(5(y x xy y x20. 下面是小明和小红的一段对话：小明说：〝我发现，关于代数式()()()x x x x x 1033231++-+-，当2008=x 和2009=x 时，值居然是相等的.〞小红说：〝不能够，关于不同的值，应该有不同的结果.〞在此效果中，你以为谁说的对呢？说明你的理由.21. ()()()y x x x A 31112---+=，12-+-=xy x B ，且B A 63+的值与x 有关，求y 的值.参考答案当堂检测1. D2. B3. A4. B5. C6. D7. A8. A家庭作业9. 642y x - 10. 21- 11. 2912. ()n n n n 222+=+13. 14223+-x x 14. 3=p ，1=q 15. 22m m -+ 16.1510248.1⨯17. 〔1〕3177910c b a 〔2〕12-x 18. 44a -，π4 19. ⎩⎨⎧==85y x 20. 原式化简的结果是2-，因此小明说的对.21. 96363--=+x xy B A 9)615(--=x y当15y-6=0，即52=y 时，其值与x 有关.。

北师大版七年级数学下册说课稿（含解析）：第一章整式的乘除4整式的乘法一. 教材分析北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除4整式的乘法，这部分内容是学生在学习了整式的加减法之后，进一步深化对整式的运算法则的理解。

本节内容主要包括整式乘法的基本概念、运算法则以及具体的运算方法。

通过这部分的学习，使学生能够熟练掌握整式的乘法运算，为后续学习分式的乘除法和函数的初步概念打下基础。

二. 学情分析学生在学习这部分内容时，已经有了一定的数学基础，例如整式的加减法、有理数的乘除法等。

但是，对于整式的乘法，学生可能还存在着一定的困惑，例如整式乘法的运算法则、如何快速准确地进行计算等。

因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，用学生熟悉的生活实例引入整式的乘法，让学生在理解的基础上掌握整式的乘法运算。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解整式乘法的概念，掌握整式乘法的运算法则，能够熟练地进行整式的乘法运算。

2.过程与方法目标：通过合作交流、自主探究的学习过程，培养学生解决问题的能力，提高学生的数学思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和细心，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 说教学重难点1.教学重点：整式乘法的概念、运算法则以及运算方法。

2.教学难点：整式乘法的运算方法，尤其是如何正确地合并同类项。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作交流法、自主探究法等，引导学生主动参与学习，提高学生的学习兴趣和积极性。

2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片等辅助教学，使学生更直观地理解整式的乘法运算。

六. 说教学过程1.引入新课：通过生活实例，引导学生思考如何计算两个多项式的乘积，激发学生的学习兴趣。

2.讲解整式乘法的概念和运算法则：引导学生通过合作交流、自主探究的方式，总结整式乘法的运算法则。

3.演示整式乘法的运算方法：通过多媒体课件或教学卡片，展示整式乘法的具体运算过程，让学生更直观地理解。

《整式的乘除》计算题型解读16 三项完全平方式题型【知识梳理】1.题型特点：出现三个数的平方2.解题方法：记熟公式①(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc(a−b−c)2=a2+b2+c2−2ab−2ac+2bc(a−b+c)2=a2+b2+c2−2ab+2ac−2bc(a+b−c)2=a2+b2+c2+2ab−2ac−2bc[(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2]②a2+b2+c2+ab+ac+bc=12[(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2]a2+b2+c2−ab−ac−bc=12【典型例题】例1.已知a=999x+2000,b=999x+2001,c=999x+2002,，则多项式a2+b2+c2−ab−ac−bc的值为____ [(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2]解析：原式=12[1+4+1]=12=3例2.若x−y=5,y−z=4,，则x2+y2+z2−xy−yz−xz的值是_____________________[(x−y)2+(x−z)2+(y−z)2]解析：原式=12[25+81+16]=12=61例3.已知a −b =b −c =35，a 2+b 2+c 2=1,则ab +bc +ac =____________解析：原式=12[(a −b )2+(a −c )2+(b −c )2]−(a 2+b 2+c 2) =12[925+3625+925]−1=−225例 4.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如利用图1可以得到()2222b ab a b a ++=+，那么利用图2所得到的数学等式是（ ）。

A ．()2222c b a c b a ++=++ B ．()bc ac ab c b a c b a 2222222+++++=++ C ．()bc ac ab c b a c b a +++++=++2222D ．()c b a c b a 2222++=++解析：由等量关系式“大正方形面积=9个小长方形面积之和”列式可解答，选B.例5.计算：()()z y x z y x --++解析：原式= [x+(y+z)][x-(y+z)]=x2−(y+z)2=x2−y2−2yz−z2例6.（1）若(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=0，则a、b、c之间的关系是____________ （2）若(a−b)2+(b−c)2−(c−a)2=0，则a、b、c之间的关系是____________ （3）若a=2016,b=2017,c=2018，求a2+b2+c2−ab−bc−ca的值。