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高中数学第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理课堂探究新人教A版选修4_1

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一圆周角定理
课堂探究
探究一求线段的长
求圆中线段长时，常先利用圆周角定理及其推论得到相似三角形，从而得到成比例线段，再列方程求得线段长．
【典型例题1】如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，∠BAC的平分线与BC边和⊙O分别交于点D，E.
(1)指出图中相似的三角形，并说明理由；
(2)若EC＝4，DE＝2，求AD的长．
解：(1)∵AE平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠EAC.
又∵∠B＝∠E，
∴△ABD∽△AEC.
∵∠B＝∠E，∠BAE＝∠BCE，
∴△ABD∽△CED，△AEC∽△CED.
(2)∵△CED∽△AEC，
∴CE
AE
＝
ED
EC
.
∴CE2＝ED·AE，
∴16＝2AE，∴AE＝8.
∴AD＝AE－DE＝6.
点评(1)本题证三角形相似，要用三角形相似的判定定理，而其中角的条件由同弧所对的圆周角相等得出；(2)要求线段长度，先由三角形相似得线段成比例，然后再求其长度．探究二证明线段相等
有关圆的题目中，圆周角与它所对的弧经常相互转化，即欲证圆周角相等，可转化为证明它们所对的弧相等，这是证明圆中线段相等的常见策略．
【典型例题2】如图，BC为圆O的直径，AD⊥BC，AF＝AB，BF和AD相交于E，求
证：AE＝BE.
思路分析：要证AE＝BE，只需在△ABE中证明∠ABE＝∠EAB，而要证这两个角相等，只需借助∠ACB即可．
证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC为直角．
又AD⊥BC，∴Rt△BDA∽Rt△BAC.
∴∠BAD＝∠ACB.
∵AB＝AF，∴∠FBA＝∠ACB.
∴∠BAD＝∠FBA.
∴△ABE为等腰三角形．∴AE＝BE.
点评若已知条件中出现直径，则常用到“直径所对的圆周角为直角”这一性质解决问题．
探究三易错辨析
易错点：误认为同弦或等弦所对圆周角相等
【典型例题3】如图所示，∠BAD＝75°，则∠BCD＝__________.
错解：∵∠BAD和∠BCD所对的弦都是BD，∴∠BAD＝∠BCD.
∴∠BCD＝75°.
错因分析：错解中，没有注意到圆周角∠BAD和∠BCD所对的弧不相等，导致得到错误的结论∠BAD＝∠BCD.
正解：∠BAD是BCD所对的圆周角，∠BCD是BAD所对的圆周角，则BCD所对的圆心角为2×75°＝150°.又BCD和BAD所对圆心角的和是周角360°，∴BAD所对圆心角是360°－150°＝210°，
∴BAD 所对圆周角∠BCD ＝12
×210°＝105°.。

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2018_2019学年高中数学第二讲直线与圆的位置关系讲末复习课件新人教A版选修4_1

2018_2019学年高中数学第二讲直线与圆的位置关系讲末复习课件新人教A版选修4_1


(3)解
∵∠B＝∠CAE， ∠AEC＝∠BEA，
∴△AEC∽△BEA. ∴AE2＝EC· EB， AE2 25x2 ∴BE＝ EC ＝ ＝10x. 5 2x ∴BD＝5x，∴5x＝10，∴x＝2. 24 48 从而 AG＝ x＝ . 5 5 5 24 1 1 ∴S△ABC＝ BC· AG＝ 5x＋2x× x＝72. 2 2 5
解 ∵⊙O 与△ABC 各边切于点 D， E， F， ∴AD＝AF，
BD＝BE，CE＝CF.设 AD＝x，BE＝y，CF＝z. x＋y＝7， x＝5， 则x＋z＝5， 解得y＝2， z＋x＝8， z＝3. ∴AD 的长为 5 cm，BE 的长为 2 cm，CF 的长为 3 cm.
题型四 数形结合思想
数形结合思想是将抽象的数学语言与直观图形结合起来， 使抽象思维与形象思维相结合，通过对图形的认识，数与 形的转化，化抽象为具体，化难为易，使问题得到解决.
例4 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm.
(1)求△ABC 内切圆的半径； (2)若移动圆心 O 的位置， 使⊙O 保持与△ABC 的边 AC， BC 都相切. ①求半径 r 的取值范围； 12 ②当⊙O 的半径为 cm 时，求圆心 O 的位置. 7
解析
(1)如图①，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3 cm，
BC＝4 cm.∴AB＝ AC2＋BC2＝5 cm. 设⊙O 与△ABC 三边分别相切于点 D，E，F， 连接 OD，OE，OF，则 OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB. 又∵OD＝OE，∠C＝90°，∴四边形 CEOD 为正方形. AC＋BC－AB 3＋4－5 ∴内切圆的半径 r＝ ＝ ＝1 cm. 2 2
规律方法 本题综合性较强，在(1)的证明中，把
高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 一 圆周角定理课件 新人教A版选修41

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因为∠AOB＝120°，所以A︵EB的度数为 120°， A︵CB的度数为 240°.
所以∠AEB＝12×240°＝120°. 所以此弦所对的圆周角为 60°或 120°.
规律方法 弦所对的圆周角有两个，易 丢掉120°导致错误，另外求圆周角时易 应用到解三角形的知识.
跟踪演练 1 如图，已知：△ABC 内接于⊙O，D，E 在 BC 边上，且 BD＝CE，∠1＝∠2. 求证：AB＝AC. 证明 延长 AD，AE，分别交⊙O 于 F，G，
要点三 直径上的圆周角 例 3 如图所示，已知 AB 为⊙O 的直径，AC
为弦，OD∥BC，交 AC 于 D，BC＝4 cm. (1)试判断 OD 与 AC 的位置关系； (2)求 OD 的长； (3)若 2sin A－1＝0，求⊙O 的直径.
解 (1)OD⊥AC.理由如下： ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. ∵OD∥BC，∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∴OD⊥AC. (2)∵△AOD∽△ABC，∴OBCD＝AAOB＝12， ∴OD＝12BC＝2(cm). (3)∵2sin A－1＝0，∴sin A＝12.又∵sin A＝BACB， ∴AB＝2BC＝8 cm，即⊙O 的直径为 8 cm.
3.关于圆周角定理推论的理解 (1)在推论1中，注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦” 的话结论就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两种可 能，在一般情况下是不相等的. (2)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是“圆 心角等于它所对的弧”. (3)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同 圆或等圆中”. (4)在同圆或等圆中，由弦相等⇒弧相等时，这里的弧要求 同是优弧或同是劣弧，一般选劣弧.
所以B︵C＝A︵E.
规律方法 证明弧相等只需证明弧所对 的圆心角相等，通常用圆周角定理或平 行来转化.
2018_2019学年高中数学第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理课件新人教A版选修4_1

2018_2019学年高中数学第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理课件新人教A版选修4_1

解析 ∵AB∶BC∶CA＝3∶4∶5，
︵
︵
︵
︵
︵
︵
∴AB的度数为 90°， BC的度数为 120°， CA的度数为 150°， ∴∠A＝60°，∠B＝75°，∠C＝45°.
︵
︵
︵
答案 60°
75°
45°
4.如图所示，在⊙O 中，直径 AB＝10 cm，BC ＝8 cm，CD 平分∠ACB，求 AC 和 DB 的长.
一半 角的______
图形语言
符号语言 作用
在⊙O 中，BC所对的圆周角和圆心角分别是
1 2∠BOC ∠BAC，∠BOC，则有∠BAC＝________
︵
确定圆中两个角的大小关系
2.圆心角定理
文字语言
所对弧 圆心角的度数等于它_______
的度数
图形语言
符号语言 作用
A，B 是⊙O 上两点，则AB的度
1.圆周角定理揭示了圆周角与圆心角的关系，把角和
弧两种不同类型的图形联系起来.在几何证明的过程
中，圆周角定理为我们解决角和弧之间的问题提供 了一种新方法. 2.圆心角的度数等于它所对的弧的度数，它与圆的半 径无关，也就是说在大小不等的两个圆中，相同度
数的圆心角，它们所对的弧的度数相等；反过来，
弧的度数相等，它们所对的圆心角的度数也相等.
∴AC的度数为 140°.∵AD＝CD， ∴CD的度数为 70°.∴∠DAC＝35°.
︵
︵
︵
︵
答案 B
2.如图所示，在⊙O 中，∠BAC＝25°，则∠BOC 等于( A.25° C.30° ) B.50° D.12.5°
解析 根据圆周角定理，得∠BOC＝2∠BAC＝50°.
答案 B
高中数学 2.2 第二讲 直线与圆的位置关系课件 新人教A版选修41

高中数学 2.2 第二讲 直线与圆的位置关系课件 新人教A版选修41

第二十八页，共42页。
规律技巧 本例的证明应用了分类讨论的思想和反证法．
第二十九页，共42页。
变式2
已知：如图，在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点 F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于点G，求证：
(1)D，E，F，G四点共圆； (2)G，B，C，F四点共圆．
第三十页，共42页。
证明 (1)连接GF，由DF⊥AB，EG⊥AC，知∠GDF＝∠ GEF＝90°.
第二十页，共42页。
规律技巧 本题除了运用圆内接四边形的性质定理，还运 用了垂径定理及圆周角定理的推论2解决问题．
第二十一页，共42页。
变式1
如图所示，已知⊙O的内接四边形ABCD，AB和DC的延长 线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q.如果∠A＝50°，∠P＝ 30°，求∠Q的度数．
第二十二页，共42页。
第十四页，共42页。
3．四点共圆的应用 在证明有关几何问题中，当题目的结论直接证明较为繁杂 或无法证明时，可以根据条件，先证明某四点共圆，再利用圆 的性质加以解决．这种方法常称为“作辅助圆”法．对于一些 难以解决的几何问题，可以通过与圆结合，利用四点共圆，再 利用圆的有关性质定理，很可能使问题迎刃而解．因此，合理 巧妙地利用四点共圆，往往可以开拓解题思路，提高解题速 度．解题时可以从如下角度进行探究：
第十八页，共42页。
【分析】 可先利用圆内接四边形的性质定理求得∠BCD. 然后由题意判断出AC为直径，进而求得∠ABC与∠ADC.
第十九页，共42页。
【解】 ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠BAD＋∠BCD＝180°. 又∵∠BAD＝72°，∴∠BCD＝108°. 又∵AC平分BD，并且AC⊥BD， ∴AC是四边形ABCD外接圆的直径． ∴∠ABC＝∠ADC＝90°.