九年级开学考试题

2024-2025学年陕西师大附中九年级（上）开学数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的）1．a ， b ，c ，d 是成比例线段，若 a = 3cm ， b = 2cm ，c = 6cm ，则线段d 的长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm2．用配方法解方程2810x x -+=，变形后的结果正确的是（ ）A ．()245x -=B ．()2416x -=C ．()347x -=D ．()2415x -=3．若32x y =，则x y y+的值为（ ）A ．12B ．32C ．25D ．524．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中A 转盘被分成相等的两个扇形，B 转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．165．已知反比例函数()0ky k x=¹与一次函数2y x =-的图象的一个交点的横坐标为3，则k 的值为（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．36．如图，在Rt ABC △中，4AB =，点D 是斜边BC 的中点，以AD 为边作正方形ADEF ．若正方形ADEF 的面积为16，则ABC V 的周长为（ ）A ．B ．12+C ．12D ．247．为执行“两免一补”政策，某地区2010年投入教育经费2500万元，预计2012年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ）A ．()2250013600x +=B ．225003600x =C ．()25001%3600x =+D ．()()225001250013600x x +++=8．若关于x 的一元二次方程2230kx x -+=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．13k <B ．13k £C ．13k <且0k ¹D ．13k £且0k ¹9．密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积y （单位：3m ）变化时，气体的密度r （单位：3kg /m ）随之变化．已知密度p 与体积y 是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法正确的是（ ）A ．函数解析式为7vr =B ．容器内气体密度r 随着气体的体积v 的增大而增大C ．当38kg /m r £时，31.25m v ³D ．当34kg /m r =时，33m v =10．如图，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A 、B 、E 在同一直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG PC ，．若60ABC BEF Ð=Ð=°，则PGPC＝（ ）A B C D 二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分）11．如图，123l l l ∥∥，342DE EF AB ===，，，则BC 的长为 ．12．已知菱形ABCD 的周长为40cm ，它的一条对角线长10cm ，则这个菱形较小的一个内角的度数为 ．13．为了估计暗箱里白球的数量(箱内只有白球)，将6个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现红球出现的频率约为0.4，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为个.14．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，BC 边的中点，连接EF ，若矩形ABFE 与矩形ABCD 相似，4AB =，则矩形ABCD 的面积为 ．15．如图，矩形OABC 的顶点B 和正方形ADEF 的顶点E 都在反比例函数()0ky k x=¹的图象上，点B 的坐标为()3,6，则点E 的坐标为 ．16．如图，已知等腰三角形ABC 中，20cm,30cm AB AC BC ===，点P 从点B 出发沿BA 以4cm/s 的速度向点A 运动；同时点Q 从点C 出发沿CB 以3cm/s 的速度向点B 运动，在运动过程中，当BPQ V 与AQC V 相似时，BP =cm ．17．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，5BC =，点M 是AB 边的中点，点N 是AD 边上任意一点，将线段MN 绕点M 顺时针旋转90°，点N 旋转到点N ¢，则MBN ¢△周长的最小值为．三、解答题（共8小题，共69分）18．解下列方程：(1)()22118x +=；(2)2611x x -=；(3)23420x x --=；(4)()2155x x --=．19．如图，在ABC V 中，AM BC ∥．请用尺规作图法，在射线AM 上求作一点D ，使得DCA ABC :△△．（保留作图痕迹，不写作法）20．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC AD 、上，BE DF =， AC EF =．请判断四边形AECF 的形状，并说明理由．21．已知关于x 的方程()24240x k x k -+++=．(1)求证：无论k 为何值，方程总有实数根；(2)若方程的两个实数根为12,x x ，求代数式()()1222--x x 的值．22．如图，在ABC V 中，90ACB Ð=°，D 为边AB 上一点，且CD CA =，过点D 作DE AB ^．交BC 于点E ．求证：CDE CBD ∽△△．23．我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容．为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）音乐社团、体育社团、美术社团、文学社团、电脑编程社团．(1)小明从中任选一类社团活动，选到“体育社团”的概率是 ；(2)现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．24．某品牌纪念品每套成本为30元，当售价为40元时，平均每天的销售量为500套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品售价每上涨1元，那么平均每天的销售量将减少10套，为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的200%．设这种纪念品每套上涨x 元．(1)平均每天的销售量为______套（用含x 的代数式表示）：(2)商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，求每套纪念品应定价多少元？25．数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．问题情境：在ABCD Y 中，点P 是边AD 上一点，将PDC △沿直线PC 折叠，点D 的对应点为E ．数学思考：（1）“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P 与点A 重合，过点E 作EF AD ∥，与PC 交于点F ，连接DF ，则四边形AEFD 的形状为 ．拓展探究：（2）“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P 为AD 的中点时，延长CE 交AB 于点F ，连接PF ．试判断PF 与PC 的位置关系，并说明理由；问题解决：（3）“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E 恰好落在AB 边上时，6AP =，8PD =，30DC =，求AE 的长为 ．1．B【分析】根据a、b、c、d是成比例线段，得a：b＝c：d，再根据比例的基本性质，求出d 的值即可；【详解】解：∵a、b、c、d是成比例线段，∴a：b＝c：d，∵a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，∴d＝4cm；故选：B．【点睛】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解．2．D【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法．利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答．【详解】解：2810x x-+=，281x x-=-，2816116x x-+=-+，()2415x-=，故选：D．3．D【分析】本题考查了比例的性质，能灵活运用比例的性质进行变形是解此题的关键．根据题意求出32x y=，代入所求式子中，即可求出答案．【详解】解：∵32xy=，∴32 x y =∴3522y yx yy y++==，故选：D．4．D【分析】本题考查列表法或树状图法以及概率的计算方法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．【详解】解：用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果如下：共有6种等可能出现的结果，其中能配成紫色的有1种，所以同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是16，故选：D ．5．A【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出231y =-=-，代入反比例函数求解即可【详解】解：∵反比例函数()0ky k x=¹与一次函数2y x =-的图象的一个交点的横坐标为3，∴231y =-=-，∴13k-=，∴3k =-，故选：A 6．B【分析】此题重点考查正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地求出BC 的长是解题的关键．由四边形ADEF 是面积为16的正方形，求得4=AD ，由Rt ABC △中，点D 是斜边BC 的中点，求得28BC AD ==，则AC ==12AB BC AC ++=+【详解】解：∵四边形ADEF 是面积为16的正方形，∴216=AD ，且0AD >，∴4=AD ，∵Rt ABC △中，4AB =，点D 是斜边BC 的中点，∴1,902AD BC BAC =Ð=°，∴28BC AD ==，∴AC ==∴12AB BC AC ++=+∴ABC V 的周长为12+，故选：B ．7．A【分析】由平均增长率公式为()1na xb += (a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量)可列方程．【详解】设这两年投入教育经费的年平均增长率为x ，根据题意有：()2250013600x +=，故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率问题，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为()21a x b +=．8．D【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答．【详解】解：∵2230kx x -+=为一元二次方程，∴0k ¹，∵该一元二次方程有两个实数根，∴()22430k D =--´³，解得13k £，∴13k £且0k ¹，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0．9．C【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据题意确定反比例函数的解析式，难度不大．利用待定系数法确定反比例函数的解析式，再逐一判定即可．【详解】解：设()0kk vr =>，将()2,5代入k vr =得52k =，解得10k =，10vr \=，故A 选项错误，不符合题意；容器内气体密度r 随着气体的体积v 的增大而减小，故B 选项说法错误，不符合题意；将8r =代入108r =得108v=，解得： 1.25v =，\当38kg/m r £时，31.25m v ³，故C 选项正确，符合题意；将34kg/m r =代入10vr =得104v =，解得32.5m v =，故D 选项错误，不符合题意．故选：C ．10．B【分析】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的添加辅助线是解题的关键．延长PG 交CD 于点H ，证明DHP FGP △≌△，继而证明CH CG =，根据三线合一可知CP PG ^，进一步可得60PCG Ð=°，继而 可得答案．【详解】解：如图，延长PG 交CD 于点H ，∵P 是线段DF 的中点，∴FP DP =，由题意可知DC GF AE ∥∥，∴GFP HDP Ð=Ð，∵GPF HPD Ð=Ð，∴GFP HDP △≌△，∴GP HP GF HD ==，，∵四边形ABCD 是菱形，∴CD CB =，∴CG CH =，∴CHG △是等腰三角形，∴PG PC ^，又∵60ABC BEF Ð=Ð=°，∴18060120BCD Ð=°-°=°，∴60GCP Ð=°，∴PG PC=故选：B ．11．83【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．【详解】解：∵123l l l ∥∥，∴DE AB EF BC=，∵342DE EF AB ===，，，∴324BC=，解得：83BC =，故答案为：83．12．60°##60度【分析】此题重点考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，正确地画出图形，并且推导出AB AD BD ==是解题的关键．由菱形的性质得AB CB AD CD ===，则440cm AB CB AD CD AB +++==，所以10cm AB AD ==，而10cm BD =，所以AB AD BD ==，则60A Ð=°，于是得到问题的答案．【详解】解：如图，四边形ABCD 是菱形，10cm BD =，∴AB CB AD CD ===，∵菱形ABCD 的周长为40cm ，∴440cm AB CB AD CD AB +++==，∴10cm AB AD ==，∵AB AD BD ==，∴ABD △是等边三角形，∴60A Ð=°，故答案为：60°．13．9【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【详解】解：设暗箱里白球的数量是n ，则根据题意得：66n +=0.4，解得：n =9，经检验n =9为方程的解且符合题意，故答案为9．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．14．【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【详解】解：设AE ＝x ，则AD ＝2AE ＝2x ，∵矩形ABFE 与矩形ABCD 相似，∴AE AB AB AD=，即442x x =，解得，x 1＝，2x =-舍)，∴AD ＝2x ＝，∴矩形ABCD 的面积为AB •AD ＝，故答案为：【点睛】考查了相似多边形的性质，解题的关键是根据相似多边形的性质列出比例式，难度不大．15．()6,3【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质的应用，求反比例函数的解析式，由题意，首先根据B 的坐标求出k ，然后可设18,E a a æöç÷èø，再由正方形ADEF ，建立关于a 的方程，进而得解．【详解】解：Q 点B 的坐标为()3,6，且在反比例函数()0k y k x=¹的图象上，6318k =´=\，\反比例函数的解析式为18y x=，Q 点E 在反比例函数图像上，\设18,E a a æöç÷èø，183AD a ED a\=-==，16a \=或23a =-，0a >Q ，6a \=，()6,3E \，故答案为：()6,3．16．409或20【分析】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．分两种情况进行讨论．由等腰三角形的性质得出B Ð和C Ð对应相等，那么就要分成BP 和CQ 为对应边以及BP 和AC 为对应边两种情况．【详解】解：设运动时间为s x ，当BPQ CQA ∽V V 时，有BP BQ CQ AC=，即4303320x x x -=，解得：109x =，∴404cm 9BP x ==，当BPQ CAQ ∽V V 时，有BP BQ AC CQ=，即4303203x x x -=，解得：5x =或10x =-（舍去），∴420cm BP x ==，综上所述，当40cm 9BP =或20cm 时，BPQ V 与AQC V 相似，故答案为：409或20．17．4##4+【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，确定点N ¢的轨迹是解题的关键．由旋转的性质结合AAS 证明AMN GMN ¢≌△△，推出4MG AM ==，得到点N ¢在平行于AB ，且与AB 的距离为4的直线上运动，作点M 关于直线EF 的对称点M ¢，连接M B ¢交直线EF 于点N ¢，此时MBN ¢△周长取得最小值，由勾股定理可求解．【详解】解：过点N ¢作EF AB ∥，交AD BC 、于E F 、，过点M 作MG EF ^垂足为G ，∵矩形ABCD ，∴AB CD ∥，∴AB EF CD ∥∥，∴四边形AMGE 和BMGF 都是矩形，∴90A MGN ¢Ð=Ð=°，由旋转的性质得90NMN ¢Ð=°，MN MN ¢=，∴90AMN NMG GMN ¢Ð=°-Ð=Ð，∴()AAS AMN GMN ¢V V ≌，∴142MG AM AB ===，∴点N ¢在平行于AB ，且与AB 的距离为4的直线上运动，作点M 关于直线EF 的对称点M ¢，连接M B ¢交直线EF 于点N ¢，此时MBN ¢△周长取得最小值，最小值为BM BM ¢+，∵142BM AB ==，448MM ¢=+=，∴44BM BM ¢+=+=+，故答案为：4+18．(1)122,4x x ==-(2)1233x x =+=-(3)12x x ==(4)121,6x x ==【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，直接开平方法，准确熟练地进行计算是解题的关键．（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答；（3）利用解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答；（4）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答．【详解】（1）解：()22118x +=()219x +=13x +=±，13x +=或13x +=-，122,4x x ==-；（2）解：2611x x -=269119x x -+=+()2320x -=3x -=±3x -=3x -=-，1233x x =+=-（3）解：23420x x --=，()()24432400D =--´´-=>∴x =1x x =；（4）解：()2155x x --=()()2151x x -=-()()21510x x ---=()()1150x x ---éùû=ë()()160x x --=10x -=或60x -=，121,6x x ==．19．见详解【分析】作ACD B Ð=Ð，交AM 于点D ，点D 即为所求．【详解】如图所示，作ACD B Ð=Ð，交AM 于点D ，点D 即为所求，∵AM BC ∥，∴DAC ACB Ð=Ð，∵ACD B Ð=Ð，∴DCA ABC :△△．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，作一个角等于已知角，掌握以上知识是解题的关键．20．矩形，理由见解析【分析】此题考查了矩形的判定、平行四边形的性质，熟记矩形的判定、平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得AD BC =，AD BC ∥，再根据平行四边形的判定可得四边形AECF 是平行四边形，最后由矩形的判定方法可得结论．【详解】解：四边形AECF 是矩形，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，AD BC ∥，∵BE DF =，∴AD DF BC BE -=-，即AF EC =，∵AF EC ∥，∴四边形AECF 是平行四边形，∵AC EF =，∴平行四边形AECF 是矩形．21．(1)见解析(2)0【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握相关结论即可．（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可求解；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，124x x k +=+，1224x x k ×=+，再整理代入()()()1212122224x x x x x x --=×-++即可求解．【详解】（1）解：∵()()22Δ44240k k k éù=-+-+=³ëû，∴方程总有实数根；（2）解：由根与系数的关系可得，124x x k +=+，1224x x k ×=+，∴()()1222x x --()121224x x x x =×-++()24244k k =+-++0=．22．见解析【分析】此题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．根据直角三角形的性质及垂直定义求出9090A B ADC CDE Ð+Ð=°Ð+Ð=°，，根据等腰三角形的性质求出A ADC Ð=Ð，进而求出CDE B Ð=Ð，再根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证．【详解】证明：∵90ACB Ð=°，∴A B ÐÐ=°+90，∵DE AB ^，∴90ADE ADC CDE Ð=Ð+Ð=°，∵CD CA =，∴A ADC Ð=Ð，∴CDE B Ð=Ð，又∵DCE BCD Ð=Ð，∴CDE CBD ∽△△．23．(1)15(2)16【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式求出事件A 或B 的概率．（1）直接利用概率公式计算；（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出恰好选中甲和乙两名同学的结果数，然后根据概率公式计算．【详解】（1）解：根据题意：小明从中任选一类社团活动，选到“体育社团”的概率是15；（2）解：画树状图为：共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果数为2种，所以恰好选中甲和乙两名同学的概率21126=．24．(1)()50010x -(2)每套纪念品应定价50元．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）由题意即可得出结论；（2）设这种纪念品每套上涨x 元，则每套纪念品应定价为()40x +元，平均每天的销售量为()50010x -套，根据这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．【详解】（1）解：由题意可知，平均每天的销售量为()50010x -套，故答案为：()50010x -；（2）解：设这种纪念品每套上涨x 元，则每套纪念品应定价为(40)x +元，平均每天的销售量为(50010)x -套，由题意得：()()4030500108000x x +--=，整理得：2403000x x -+=，解得：110x =，230x =（不符合题意，舍去），4050x \+=，答：每套纪念品应定价50元．25．（1）菱形；（2）PF PC ^，见解析；（3）152【分析】（1）由折叠的性质可知，AD AE DF EF DAF EAF ==Ð=Ð，，，再根据平行线的性质推出EFA EAF Ð=Ð，则EA EF =，进而推出AD DF EF AE ===，即可证明四边形AEFD 是菱形；（2）连接AE ．由折叠的性质可知，PD PE PEC PDC DPC EPC =Ð=ÐÐ=Ð，，，由180ADC DAB Ð+Ð=°，180PEC PEF Ð+Ð=°，得到DAB PEF Ð=Ð；由点P 是AD 的中点，得到PA PD PE ==，则PAE PEA Ð=Ð，进一步证明AEF EAF Ð=Ð，得到AF EF =，证明PAF PEF △≌△，得到APF EPF Ð=Ð，再根据平角的定义得到90FPC Ð=°，则PF PC ^；（3）延长CP 交BA 的延长线于点T ．设AE x =．由折叠的性质可知，30PCD PCE CD CE Ð=Ð==，，再证明T PCE Ð=Ð，得到30,30EC ET AT x ===-，证明PDC PAT △∽△，得到630830x -=，即可求出152AE =．【详解】解：（1）由折叠的性质可知，AD AE DF EF DAF EAF ==Ð=Ð，，，∵EF AD ∥，∴DAF EFA Ð=Ð，∴EFA EAF Ð=Ð，∴EA EF =，∴AD DF EF AE ===，∴四边形AEFD 是菱形；故答案为：菱形．（2）解：结论：PF PC ^．理由：连接AE ．由折叠的性质可知，PD PE PEC PDC DPC EPC =Ð=ÐÐ=Ð，，，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴180ADC DAB Ð+Ð=°，∵180PEC PEF Ð+Ð=°，∴DAB PEF Ð=Ð，∵点P 是AD 的中点，∴PA PD PE ==，∴PAE PEA Ð=Ð，∴DAB PAE PEF PEA Ð-Ð=Ð-Ð，∴AEF EAF Ð=Ð，∴AF EF =，∵PF PF =，∴()SSS PAF PEF V V ≌，∴APF EPF Ð=Ð，∵180DPC CPE EPF APF Ð+Ð+Ð+Ð=°，∴22180CPE FPE Ð+Ð=°，∴90FPC Ð=°，∴PF PC ^；（3）解：延长CP 交BA 的延长线于点T ．设AE x =．由折叠的性质可知，30PCD PCE CD CE Ð=Ð==，，∵CD BT ∥，∴T DCP Ð=Ð，∴T PCE Ð=Ð，∴30,30EC ET AT x ===-，∵AT CD ∥，∴PDC PAT △∽△，∴AP AT PD CD =，∴630830x -=，∴152x =，∴152AE =．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，菱形的判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．。

浙江省瑞安市安阳实验中学2024-2025学年九年级上开学考试数学试题一、单选题1．23的相反数是（ ）A ．32B ．23C ．32-D ．23-2．下列银行图标，属于中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．2024年巴黎奥运会开幕式选择在塞纳河举行．塞纳河包括支流在内的流域总面积为78700平方公里．其中数据78700用科学记数法表示为（ ） A ．278710⨯B ．37.8710⨯C ．47.8710⨯D ．50.78710⨯4．某校九年级学生中考体育选考项目组合情况的统计图如图所示．若九年级学生共有1000人，则选择跳远、游泳、篮球项目组合的有（ ）A ．350人B ．300人C ．200人D ．150人5．抛物线2(2)1y x =-++的顶点坐标是（ ） A ．(2,1)-B ．(2,1)C ．(1,2)D ．(1,2)-6．下列计算结果正确的是（ ）A ．236x y xy +=B ．112x y x y+=+C D ．222()xy x y =7．把一些图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则缺25本．设这个班有学生x 人，则可以列方程为（ ） A ．320425x x -=+ B ．320425x x +=- C ．202534x x +-=D ．202534x x+=-8．如图，在ABC V 中，AB AC =，AD ，BE 均为ABC V 的高，连结DE 交AB 于点O ．若25C ∠=︒，则OEB ∠的度数为（ ）A ．65︒B ．60︒C ．55︒D ．50︒9．已知反比例函数(0)ky k x=<图象上有三个点()()()123,,1,,2,A b y B b y C b y +-，且满足123y y y <<，则b 的值可以为（ ）A ．2B ．1-C ．1D ．310．如图，在正方形ABCD 中，1AB =，点E 在AB 边上，以BE 为边向上作正方形BEFG ．在AE 上取点H ，连结HF ，以HF 为边作正方形NFHM ，连结DN ．若点M 落在边AD 上，则DN 的最小值为（ ）A ．15B C ．13D二、填空题11．分解因式：29a -=．12．甲，乙两位射箭运动员最近5次射击成绩的平均数均为8环，方差分别为：20.8S =甲环2，20.6S =乙环2，则（填“甲”或“乙”） 的射击成绩更为稳定．三、解答题13．不等式组26010x x -<⎧⎨+≥⎩的解集为．四、填空题14．若关于x 的方程2240x x m -+=有两个相等的实数根，则m 的值为．15．如图，在平面直角坐标系中，已知AOCB Y 的顶点(2,3)A -，顶点B ，C 均在反比例函数6(0)y x x=>图象上，且点B 在C 的左侧，则B 点的横坐标为．16．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，610OA OC ==，，点A ，B 关于直线()0y kx k =>的对称点分别为点E ，F ，当k 为时，直线EF 恰好经过点C ．五、解答题17．（1）计算：0(2024)|3|-． （2）化简：(3)(3)(1)a a a a +--+． 18．解方程（组）(1)2233x y x y +=⎧⎨+=⎩ (2)2450x x --=19．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，AE BD ⊥于点E ，CF BD ⊥于点F ，连接AF CE ，．(1)求证：四边形AECF 是平行四边形；(2)若608AOB AC ∠=︒=，，求四边形AFCE 的面积．20．在学校组织的计算达人比赛中，每班参赛人数相同，成绩分为五个等级，依次为100分，90分，80分，70分和60分，王老师选取了甲、乙两个班级的成绩整理并绘制了统计图：（单位：分）(1)根据以上信息，求出表中a ，b 的值：a =______，b =______； (2)请分别求出甲、乙两个班级计算成绩的平均分；(3)根据（1）（2）中的统计量，你认为在此次计算比赛中，哪个班级的成绩更好？请说明理由．21．如图，在6×5的方格纸中，A ，B ，C 为三个格点，请按要求画出格点四边形．(1)在图1中作一个以A ，B ，C ，D 为顶点的平行四边形，使点D 落在格点上； (2)在图2中，连结AB ，AC ，作格点BCDE Y ，使BCDE ABC S S =Y △． 22．已知抛物线2y x bx c =++经过(2,0),(4,0)-． (1)求抛物线的表达式及对称轴；(2)若()()123,,,y n y 是抛物线上不同的两点，且1214y y +=，求n 的值；(3)将抛物线沿x 轴向左平移m （0m >）个单位长度，当21x -≤≤时，它的函数值y 的最小值为7，求m 的值．23．曹村灯会于2023年被评为浙江省级非物质文化遗产．为了扩大影响力，曹村镇人民政府准备举办为期1个月左右的花灯会．某商家看准商机，准备购进A ，B 两款音乐发光灯笼．已知B 款灯笼的进价比A 款贵6元，该商家用900元购进的A 款灯笼和用1080元购进的B 款灯笼的数量相同．(1)求A ，B 两款灯笼的进价分别为多少元？(2)该商家计划购进A ，B 两款灯笼共300个，并将A 款灯笼的售价定为35元/个，B 款灯笼的售价定为40元/个．设购进A 款灯笼x 个，售完这两款灯笼可获得利润为w 元． ①求w 与x 的函数关系式；②受市场影响，A 款灯笼进价上调m 元（12m <<），B 款灯笼的进价不变．该商家发现若购进B 款灯笼的数量不少于A 款数量的23时，则销售完这批灯笼至少可获得1110元利润，请求出m 的值？24．如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点A 的坐标为 0,4 ，顶点C 在x 轴的正半轴上，且AB OA =，90ABC ∠=︒．过点C 的直线MN OB ∥，D 是直线MN 上的一个动点，BE OD ∥，交直线MN 于点E ．(1)求证：BC OC =；(2)当90OAB ∠=︒时，D 在x 轴的上方且OD OB =（如图2），求BED ∠的度数； (3)当120OAB ∠=︒时，点F ，G 分别在OC ，BC 上，60FAG ∠=︒（如图3）． ①试猜想OF ，BG ，GF 的数量关系，并加以证明．②当FG OA ∥，点D 正好落在射线AF 上时，求点E 到FG 的距离．。

山东省聊城临清市2024-2025学年九年级数学第一学期开学考试试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心．他们捐款的数额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，50，55，这组数据的众数和中位数分别是（）．A ．50元，30元B ．50元，40元C ．50元，50元D ．55元，50元2、（4分）下列式子为最简二次根式的是（）A ．B ．C ．D ．3、（4分）下列图形中，是轴对称图形的有（）①正方形；②菱形；③矩形；④平行四边形；⑤等腰三角形；⑥直角三角形A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个4、（4分）在下列四个函数中，是一次函数的是（）A ．y 2x =B ．y ＝x 2+1C ．y ＝2x +1D ．y 1x =+65、（4分）如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于两点EF ；②作直线EF 交BC 于点D 连接AD ．若AD ＝AC ，∠C ＝40°，则∠BAC 的度数是（）A ．105°B ．110°C ．I15°D ．120°6、（4分）如图，一客轮以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一客轮同时以12海里/时的速度从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A ．25海里B ．30海里C ．35海里D ．40海里7、（4分）在平面内，下列图案中，能通过图平移得到的是（）A ．B ．C ．D ．8、（4分）对于反比例函数2y x =-，下列说法中不正确的是（）A ．图像经过点（1.-2）B ．图像分布在第二第四象限C ．x >0时，y 随x 增大而增大D ．若点A （11,x y ）B （22,x y ）在图像上，若12<x x ,则12<y y 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，直线y=3x 和y=kx+2相交于点P （a ，3），则关于x 不等式（3﹣k ）x≤2的解集为_____.10、（4分）已知一次函数y x b =-+的图象过点()8,2，那么此一次函数的解析式为__________．11、（4分）如图，平行四边形ABCO 的顶点O ，A ，C 的坐标分别是(0，0)，(a ，0)，(b ，c)，则顶点坐标B 的坐标为_________.12、（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，有两点A（2，4），B（4，0），以原点O 为位似中心，把△OAB 缩小得到△OA'B'．若B'的坐标为（2，0），则点A'的坐标为_____．13、（4分）如图，一次函数y=kx+b 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，则不等式kx+b ﹣1＞0的解集是_____．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）先化简，再求值：22121124a a a a ++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭，其中a=315、（8分）（1）如图甲，从边长为a 的正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形，然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证因式分解公式成立的是________；（2）根据下面四个算式：5232＝（5+3）×（53）＝8×2；11252＝（11+5）×（115）＝16×6＝8×12；15232＝（15+3）×（153）＝18×12＝8×27；19272＝（19+7）×（197）＝26×12＝8×1．请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；（3）用文字写出反映（2）中算式的规律，并证明这个规律的正确性．16、（8分）有这样一个问题：探究函数3y x =(22)x -≤≤的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）下表是y 与x 的几组对应值，则m =.x …2-32-1-12-0121322…y …8-278-1-18-0181m 8…（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象；（3）当0x <时，y 随x 的增大而；当12x -≤≤时，y 的最小值为.17、（10分）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BC ，AF ⊥DC ，垂足分别是E ，F ，并且BE=DF ，求证；四边形ABCD 是菱形．18、（10分）如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，点E 是矩形外的一点，其中//,//AE BD BE AC ．（1）求证：四边形AEBO 是菱形；（2）若030ADB ∠=，连接CE 交于BD 于点F ，连接AF ，求证：AF 平分BAO ∠．B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE，若∠D＝70°，则∠ECF的度数是_________．20、（4分）现有甲、乙两支篮球队，每支球队队员身高的平均数均为1.85米，方差分别为20.32S=甲，20.36S=乙，则身高较整齐的球队是_______队．21、（4分）若数据10，9，a，12，9的平均数是10，则这组数据的方差是_____22、（4分）已知函数y=(k-1)x|k|是正比例函数，则k=________23、（4分）在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC平分∠BAD，AC=8，S四边形ABCD=16，那么对角线BD=______．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）已知一次函数的图象经过点（-2，-7）和（2，5），求该一次函数解析式并求出函数图象与y轴的交点坐标.25、（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．（1）求直线AD及抛物线的解析式；（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m 为何值时，PQ最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．26、（12分）在Rt ABC ∆中，90,30,2C BAC BC ∠=∠==，以点B 为旋转中心，把ABC ∆逆时针旋转90，得到''A BC ∆，连接'AA ，求'AA 的长.一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C【解析】1出现了3次，出现的次数最多，则众数是1；把这组数据从小到大排列为：20，25，30，1，1，1，55，最中间的数是1，则中位数是1．故选C．2、A【解析】解：选项A，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，A符合题意；选项B，被开方数含能开得尽方的因数或因式，B不符合题意；选项C，被开方数含能开得尽方的因数或因式，C不符合题意；选项D，被开方数含分母，D不符合题意，故选A．3、C【解析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．【详解】解：①正方形，是轴对称图形；②菱形，是轴对称图形；③矩形，是轴对称图形；④平行四边形，不是轴对称图形；⑤等腰三角形，是轴对称图形；⑥直角三角形，不一定，是轴对称图形，故轴对称图形共4个．故选：C．此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．4、C【解析】依据一次函数的定义进行解答即可．【详解】解：A、y＝2x是反比例函数，故A错误；B、y＝x2+1是二次函数，故B错误；C、y＝2x+1是一次函数，故C正确；D、y＝1x+6中，自变量x的次数为﹣1，不是一次函数，故D错误．故选C．本题主要考查的是一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键．5、D【解析】利用基本作图得到EF垂直平分AB，根据垂直平分线的性质可得DA＝DB，根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠DAB，然后利用等腰三角形的性质可得∠ADC＝40°，根据三角形外角性质可得∠B＝20°，根据三角形内角和定理即可得答案．【详解】由作法得EF垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠B＝∠DAB，∵AD＝AC，∠C=40°，∴∠ADC＝∠C＝40°，∵∠ADC＝∠B+∠DAB，∴∠B＝12∠ADC＝20°，∴∠BAC＝180°-∠B-∠C=120°．故选：D．本题考查的是基本尺规作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等的性质是解题的关键．6、D 【解析】首先根据路程=速度×时间可得AC 、AB 的长，然后连接BC ，再利用勾股定理计算出BC 长即可．【详解】解：连接BC ，由题意得：AC=16×2=32（海里），AB=12×2=24（海里），=40（海里），故选：D ．本题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．7、B 【解析】把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移.【详解】解：观察四个选项，可知B 选项为原图经过平移所得，形状和方向均未发生改变.故选择B.理解平移只改变位置，不改变图片的形状、大小和方向.8、D【解析】根据反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质，即函数所在的象限和增减性对各选项作出判断．【详解】A.把点（1，-2）代入2y x =-得：-2=-2，故该选项正确，不符合题意，B.∵k=-2<0，∴函数图像分布在第二第四象限，故该选项正确，不符合题意，C.∵k=-2<0，∴x>0时，y 随x 增大而增大，故该选项正确，不符合题意，D.∵反比例函数2y x =-的图象在二、四象限，∴x<0时，y>0，x>0时，y<0，∴x 1<0<x 2时，y 1>y 2，故该选项错误，符合题意，故选D.本题考查反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质，对于反比例函数k y x =，当k>0时，图象在一、三象限，在各象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，图象在二、四象限，在各象限内，y 随x 的增大而增大；熟练掌握反比例函数的性质是解题关键.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、x≤2.【解析】【分析】先把点P （a ，3）代入直线y=3x 求出a 的值，可得出P 点坐标，再根据函数图象进行解答即可．【详解】∵直线y=3x 和直线y=kx+2的图象相交于点P （a ，3），∴3=3a ，解得a=2，∴P （2，3），由函数图象可知，当x≤2时，直线y=3x 的图象在直线y=kx+2的图象的下方.即当x≤2时，kx+2≥3x ，即：（3-k ）x≤2．故正确答案为：x≤2．【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．10、10y x =-+【解析】用待定系数法即可得到答案.【详解】解：把()8,2代入y x b =-+得82b -+=，解得10b =，所以一次函数解析式为10y x =-+．故答案为10y x =-+本题考查求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法.11、(a+b ，c)【解析】平行四边形的对边相等，B 点的横坐标减去C 点的横坐标，等于A 点的横坐标减去O 点的横坐标，B 点和C 点的纵坐标相等，从而确定B 点的坐标．【详解】∵四边形ABCO 是平行四边形，∴AO=BC ，AO ∥BC ，∴B 点的横坐标减去C 点的横坐标，等于A 点的横坐标减去O 点的横坐标，B 点和C 点的纵坐标相等，∵O ，A ，C 的坐标分别是(0，0)，(a ，0)，(b ，c)，∴B 点的坐标为(a+b ，c)．故答案是：(a+b ，c)．本题考查平行四边形的性质，平行四边形的对边相等，以及考查坐标与图形的性质等知识点．12、（1，2）【解析】根据位似变换的性质，坐标与图形性质计算．【详解】点B 的坐标为（4，0），以原点O 为位似中心，把△OAB 缩小得到△OA'B'，B'的坐标为（2，0），∴以原点O 为位似中心，把△OAB 缩小，得到△OA'B'，∵点A 的坐标为（2，4），∴点A'的坐标为（2×，4×），即（1，2），故答案是：（1，2）．考查的是位似变换，坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．13、x ＜1【解析】由一次函数y=kx +b 的图象过点（1，1），且y 随x 的增大而减小，从而得出不等式kx +b ﹣1＞1的解集．【详解】由一次函数的图象可知，此函数是减函数，即y 随x 的增大而减小，∵一次函数y =kx +b 的图象与y 轴交于点（1，1），∴当x ＜1时，有kx +b ﹣1＞1．故答案为x ＜1本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、14【解析】根据分式的运算法则及运算顺序，把所给的分式化为最简分式，再代入求值即可.【详解】原式=221(2)(2)22(1)1a a a a a a a +-+--⨯=+++当3a =时，原式=321314-=+本题考查了分式的化简求值，根据分式的运算法则及运算顺序，把所给的分式化为最简分式是解决问题的关键.15、（1）a 2-b 2＝（a ＋b ）（ab ）；（2）72-52＝8×3；92-32＝8×9等；（3）规律：任意两个奇数的平方差是8的倍数，证明见解析【解析】（1）利用两个图形，分别求出阴影部分的面积，即可得出关系式；（2）任意写出两个奇数的平方差，右边写出8的倍数的形式即可；（3）两个奇数的平方差一定能被8整除；任意写一个即可，如：（2n+1）2-（2n-1）2=8n．【详解】解：（1）图甲的阴影部分的面积为：a2-b2，图乙平行四边形的底为（a+b），高为（a-b），因此面积为：（a+b）（a-b），所以a2-b2=（a+b）（a-b），故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）；（2）32-12=（3+1）×（3-1）=4×2=8×1，172-52=（17+5）×（17-5）=22×12=8×33，（3）两个奇数的平方差一定能被8整除；设较大的奇数为（2n+1）较小的奇数为（2n-1），则，（2n+1）2-（2n-1）2=[（2n+1）+（2n-1）][（2n+1）-（2n-1）]=8n，∴（2n+1）2-（2n-1）2=8n．即：任意两个奇数的平方差是8的倍数本题考查平方差公式及其应用，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．16、（1）278；（2）详见解析；（3）增大；1【解析】（1）把x=32代入函数解析式即可得到结论；（2）根据描出的点，画出该函数的图象即可；（3）根据函数图象即可得到结论．【详解】解：（1）把x=32代入y=x3得，y=278；故答案为：27 8；（2）如图所示:（3）根据图象得，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；当12x -≤≤时，y 的最小值为-1．故答案为：增大；1-.本题考查了函数的图象与性质，正确的画出函数的图形是解题的关键．17、见解析【解析】平行四边形的对角相等，得∠B=∠D ，结合AE ⊥BC ，AF ⊥DC 和BE=DF ，由角边角定理证明△ABE 全等△ADF ，再由全等三角形对应边相等得DA=AB ，最后根据邻边相等的平行四边形是菱形判定四边形ABCD 是菱形.【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B=∠D ，∵AE ⊥BC ，AF ⊥DC∴∠AEB=∠AFD=90°又∵BE=DF ，∴△ABE ≌△ADF(AAS)∴DA=AB ，∴平行四边形ABCD 是菱形此题主要考查菱形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质及菱形的判定定理.18、（1）见解析；（2）见解析.【解析】(1)由矩形可知OA=OB ，由AE ∥BD ，BE ∥AC ，即可得出结论；(2)利用矩形和菱形的性质先证△COF ≌△EBF ，得到OF=BF ，再求得∠AOB=60°，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，得到△AOB 为等边三角形，最后利用三线合一的性质得到AF 平分∠BAO ．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AC BD =则1122AC BD =，即∴AO BO =又∵//,//AE BD BE AC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形；（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴,//AO EB AO EB =，∴COF EBF ∠=∠，∵四边形ABCD 是矩形，∴AO OC OB OD ===，∴EB OC =，在COF ∆和EBF ∆中CFO EFBCOF EBF CO EB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()COF EBF AAS ∆≅∆，∴OF BF =，∵030,ADB AO OD ∠==，∴030ADB DAO ∠=∠=，∴060AOB ADB DAO ∠=∠+∠=，∵AO OB =，∴AOB ∆是等边三角形，∵OF BF =，∴AF 平分BAO ∠.本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定，三线合一的性质.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、35°【解析】根据折叠的性质可得∠ECB=∠ECF ，CB=CF ，根据菱形的性质可得CB=CD ，∠B=∠D=70°，∠BCD=180°-∠D=110°，求出等腰三角形DCF 的顶角∠DCF ，即可求出∠ECF 的度数【详解】解：在菱形ABCD 中，CB=CD ，∠B=∠D=70°，∠BCD=180°-∠D=110°，根据折叠可得：∠ECB=∠ECF ，CB=CF ，∴CF=CD ∴∠DCF=180°-70°-70°=40°，∴∠ECF=12（∠BCD-∠DCF ）=35°.故答案为35°.本题考查图形的翻折变换，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．20、甲【解析】根据方差的意义解答．方差，通俗点讲，就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．【详解】∵2S 甲＜2S 乙，∴身高较整齐的球队是甲队。

2024-2025学年德阳市重点中学数学九年级第一学期开学考试试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）的结果是（）A ．B ．C ．D ．22、（4分）一组数据：3，2，5，3，7，5，x ，它们的众数为5，则这组数据的中位数是（）A ．2B ．3C ．5D ．73、（4分）重庆、昆明两地相距700km ．渝昆高速公路开通后，在重庆、昆明两地间行驶的长途客车平均速度提高了25km/h ，而从重庆地到昆明的时间缩短了3小时．求长途客车原来的平均速度．设长途客车原来的平均速度为x km/h ，则根据题意可列方程为（）A ．B ．C ．D ．4、（4分）把一元二次方程x 2﹣6x+1=0配方成（x+m ）2=n 的形式，正确的是（）A ．（x+3）2=10B ．（x ﹣3）2=10C ．（x+3）2=8D ．（x ﹣3）2=85、（4分）能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（）A ．AD //BC ，AB =CD B ．∠A =∠B ，∠C =∠DC ．∠A =∠C ，∠B =∠D D ．AB =AD ，CB =CD6、（4分）若关于x 的不等式组2341x x x a -≤⎧⎨->⎩有三个整数解，且关于y 的分式方程2122yay y =---有整数解，则满足条件的所有整数a 的和是（）A ．2B ．3C ．5D ．67、（4分）如图，a ，b ，c 分别表示苹果、梨、桃子的质量，同类水果质量相等，则下列关系正确的是A ．a c b >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．c a b >>8、（4分）在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则关于21k x k x b <+的不等式的解为（）．A ．1x >-B ．2x <-C ．1x <-D ．无法确定二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）分解因式2242xy xy x ++=___________10、（4分）直线2y x =+上有一点()1,,P m 则P 点关于原点的对称点为P'________________(不含字母m )．11、（4的整数部分是a ，小数部分是b ，则(a b +=________.12、（4分）已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示，则不等式kx+b≥4的解是______．13、（4分）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处，点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG ＝45°；②S △ABG ＝32S △FGH ；③△DEF ∽△ABG ；④AG+DF ＝FG ．其中正确的是_____．（把所有正确结论的序号都选上）三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）已知12b x a -=，22b x a -+=，若32,2a b c ===-，，试求12x x +的值．15、（8分）已知一次函数y =kx +b 的图象经过点（-1，-5），且与正比例函数12y x =于点（2，a ），求:（1）a 的值；（2）k ，b 的值；（3）这两个函数图象与x 轴所围成的三角形的面积．16、（8分）在课外活动中，我们要研究一种四边形--筝形的性质．定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形（如图1）．小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究．下面是小聪的探究过程，请补充完整：（1）根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是；（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明；（3）如图2，在筝形ABCD 中，AB=4，BC=2，∠ABC=120°，求筝形ABCD 的面积．17、（10分）如图1，是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一四柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）.现将甲槽的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y （厘米）与注水时间x （分钟）之间的关系如图2所示，根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）图2中折线ABC 表示槽中水的深度与注水时间关系，线段DE 表示槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点B 的纵坐标表示的实际意义是.（2）注水多长时间时，甲、乙.两个水槽中水的深度相同？（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），则乙槽中铁块的体积为立方厘米.18、（10分）一次函数22y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，画图并求线段AB 的长．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，在直角三角形ABC 中，90BCA ∠=︒，D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，若CD =6厘米，则EF 的长为_________．20、（4分）分解因式：x 2－9＝_▲．21、（4分）某公司测试自动驾驶5G 技术,发现移动中汽车“5G ”通信中每个IP 数据包传输的测量精度大约为0.0000018秒，请将数据0.0000018用科学计数法表示为__________．22、（4分）214x x -+_______2(7)x =-．23、（4分）如图1，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，点E 在AB 的延长线上，在CBE ∠的角平分线上取一点F （含端点B ），连结AF 并过点C 作AF 所在直线的垂线，垂足为G ．设线段AF 的长为x ，CG 的长为y ，y 关于x 的函数图象及有关数据如图2所示，点Q 为图象的端点，则y =x =_____，BF =_____．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）解方程：1x 3--6x 3x --=-1．25、（10分）某市开展“环境治理留住青山绿水，绿色发展赢得金山银山”活动，对其周边的环境污染进行综合治理．2018年对A 、B 两区的空气量进行监测，将当月每天的空气污染指数（简称：API ）的平均值作为每个月的空气污染指数，并将2018年空气污染指数绘制如下表．据了解，空气污染指数50≤时，空气质量为优：50<空气污染指数100≤时，空气质量为良：100<空气污染指数150≤时，空气质量为轻微污染．月份地区123456789101112A 区1151088510095508070505010045B 区1059590809060908560709045（1）请求出A 、B 两区的空气污染指数的平均数；（2）请从平均数、众数、中位数、方差等统计量中选两个对A 区、B 区的空气质量进行有效对比，说明哪一个地区的环境状况较好．26、（12分）如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 从点B 出发沿射线BA 移动，同时，点E 从点C 出发沿线段AC 的延长线移动，已知点D 、E 的移动速度相同，DE 与直线BC 相交于点F .（1）如图1，当点D在线段AB上时，过点D作AC的平行线交BC于点G，连接CD、GE，求证：点F是DE的中点；（2）如图2，过点D作直线BC的垂线，垂足为M，当点D、E在移动过程中，线段BM、MF、CF有何数量关系？请直接写出你的结论：.参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、A【解析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【详解】.故选A．此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．2、C【解析】分析：众数是指一组数据中出现次数最多的那个数据，一组数据可以有多个众数，也可以没有众数；中位数是指将数据按大小顺序排列起来形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据．根据定义即可求出答案．详解：∵众数为5，∴x=5，∴这组数据为：2,3,3,5,5,5,7，∴中位数为5，故选C．点睛：本题主要考查的是众数和中位数的定义，属于基础题型．理解他们的定义是解题的关键．3、A【解析】设长途客车原来的平均速度为xkm/h，根据从重庆地到昆明的时间缩短了3小时，得出方程即可．【详解】解：设长途客车原来的平均速度为xkm/h，则原来从重庆地到昆明的时间为，平均速度提高了25km/h后所花时间为，根据题意提速后所花时间缩短3个小时，∴，故选：A．此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意得出正确等量关系是解题关键．4、D【解析】直接利用配方法进行求解即可.【详解】解：移项可得：x2-6x=-1，两边加9可得：x2-6x+9=-1+9，配方可得：（x-3）2=8，故选：D.本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方的过程是解题的关键.5、C【解析】根据平行四边形的判定定理依次确定即可.【详解】A.AD//BC，AB=CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；B.∠A=∠B，∠C=∠D，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；C.∠A=∠C，∠B=∠D，能判定四边形ABCD是平行四边形，故符合题意；D.AB=AD，CB=CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；故选：C.此题考查平行四边形的判定定理，熟记定理内容即可正确解答.6、B【解析】先解不等式组，根据有三个整数解，确定a的取值-1≤a＜3，根据a是整数可得a符合条件的值为：-1，0，1，2，根据关于y的分式方程2122y ay y=---，得y=1-a，根据分式方程有意义的条件确定a≠-1，从而可得a的值并计算所有符合条件的和．【详解】解：2341x x x a -≤⎧⎨->⎩，解得：314x a x ≤⎧⎪⎨+⎪⎩＞，∴不等式组的解集为：134a x +≤＜，∵关于x 的不等式组2341x x x a -≤⎧⎨->⎩有三个整数解，∴该不等式组的整数解为：1，2，3，∴0≤14a +＜1，∴-1≤a ＜3，∵a 是整数，∴a=-1，0，1，2，2122y a y y =---，去分母，方程两边同时乘以y-2，得，y=-2a-（y-2），2y=-2a+2，y=1-a ，∵y≠2，∴a≠-1，∴满足条件的所有整数a 的和是：0+1+2=3，故选：B ．本题考查一元一次不等式组组的解、分式方程的解，此类题容易出错，根据整数解的个数确定字母系数a 的值有难度，要细心．7、C【解析】根据图形就可以得到一个相等关系与一个不等关系，就可以判断a ，b ，c 的大小关系．【详解】解：依图得3b ＜2a ，∴a ＞b ，∵2c=b ，∴b ＞c ，∴a ＞b ＞c 故选C ．本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．8、C 【解析】求关于x 的不等式12k x b k x +>的解集就是求：能使函数1y k x b =+的图象在函数2y k x =的上边的自变量的取值范围．【详解】解：能使函数1y k x b =+的图象在函数2y k x =的上边时的自变量的取值范围是1x <-．故关于x 的不等式12k x b k x +>的解集为：1x <-．故选：C ．本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数y ax b =+的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y kx b =+在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．利用数形结合是解题的关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、22(1)x y +【解析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【详解】原式＝2x （y 2＋2y ＋1）＝2x （y ＋1）2，故答案为2x （y ＋1）2此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10、（-1，-3）．【解析】根据一次函数图象上点的坐标性质得出P 点坐标，再利用关于原点的对称点的性质得出答案．【详解】解：∵直线y=x+2上有一点P （1，m ），∴x=1，y=1+2=3，∴P （1，3），∴P 点关于原点的对称点P′的坐标为：（-1，-3）．故答案为：（-1，-3）．此题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质以及关于原点的对称点的性质，正确把握相关定义是解题关键．11、2【解析】因为12的整数部分a ，再进一步表示出其小数部分b ．【详解】因为，所以a=1，−1.故(a b +=（））=2，故答案为：2.的整数部分a.12、x≤1【解析】根据图形得出k ＜1和直线与y 轴交点的坐标为（1，4），即可得出不等式的解集．【详解】∵从图象可知：k ＜1，直线与y 轴交点的坐标为（1，4），∴不等式kx +b ≥4的解集是x ≤1．故答案为：x ≤1．本题考查了一次函数与一元一次不等式，能根据图形读出正确信息是解答此题的关键．13、①②④．【解析】利用折叠性质得∠CBE=∠FBE ，∠ABG=∠FBG ，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH ，则可得到∠EBG=12∠ABC ，于是可对①进行判断；在Rt △ABF 中利用勾股定理计算出AF=8，则DF=AD-AF=2，设AG=x ，则GH=x ，GF=8-x ，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到x 2+42=（8-x ）2，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可对②④进行判断；接着证明△ABF ∽△DFE ，利用相似比得到43DE AF DF AB ==，而623AB AG ==，所以AB DE AG DF ≠，所以△DEF 与△ABG 不相似，于是可对③进行判断.【详解】解：∵△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，∴∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，BF ＝BC ＝10，BH ＝BA ＝6，AG ＝GH ，∴∠EBG ＝∠EBF+∠FBG ＝12∠CBF+12∠ABF ＝12∠ABC ＝45°，所以①正确；在Rt △ABF 中，AF ＝8，∴DF ＝AD ﹣AF ＝10﹣8＝2，设AG ＝x ，则GH ＝x ，GF ＝8﹣x ，HF ＝BF ﹣BH ＝10﹣6＝4，在Rt △GFH 中，∵GH 2+HF 2＝GF 2，∴x 2+42＝（8﹣x ）2，解得x ＝3，∴GF ＝5，∴AG+DF ＝FG ＝5，所以④正确；∵△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处，∴∠BFE ＝∠C ＝90°，∴∠EFD +∠AFB ＝90°，而∠AFB +∠ABF ＝90°，∴∠ABF ＝∠EFD ，∴△ABF ∽△DFE ，∴AB DF ＝AF DE ，∴DE DF ＝AF AB ＝86＝43，而AB AG ＝63＝2，∴AB AG ≠DE DF ，∴△DEF 与△ABG 不相似；所以③错误．∵S △ABG ＝12×6×3＝9，S △GHF ＝12×3×4＝6，∴S △ABG ＝32S △FGH ，所以②正确．故答案是：①②④．本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算线段的长．也考查了折叠和矩形的性质．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、23-【解析】首先利用12x x +，代入进行化简，在代入参数计算.【详解】解：原式=2b b a -=b a -=23-本题主要考查分式的化简计算，注意这是二元一次方程的解，利用根与系数的关系也可以计算.15、（1）a =1；（2）k =2，b =-3；（3）34.【解析】（1）由题知，点（2，a ）在正比例函数图象上，代入即可求得a 的值；（2）把点（-1，-5）及点（2，a ）代入一次函数解析式，再根据（1）即可求得k ，b 的值；（3）由于正比例函数过原点，又有两个函数交点，求面积只需知道一次函数与x 轴的交点即可．【详解】（1）由题知，把（2，a ）代入y=12x ，解得a=1；（2）由题意知，把点（-1，-5）及点（2，a ）代入一次函数解析式，得：52k b k b a -+=-⎧⎨+=⎩，又由（1）知a=1，解方程组得到：k=2，b=-3；（3）由（2）知一次函数解析式为：y=2x-3，y=2x-3与x 轴交点坐标为（32，0）∴所求三角形面积S=12×1×32=34.本题考查了一次函数图象上点的坐标的性质以及正比例函数图象上点的坐标的性质，是基础题型．16、（1）菱形；（2）筝形是轴对称图形；筝形的对角线互相垂直；筝形的一组对角相等．证明见解析；（3）【解析】（1）根据筝形的定义解答即可；（2）根据全等三角形的判定和性质证明；（3）连接AC ，作CE ⊥AB 交AB 的延长线于E ，根据正弦的定义求出CE ，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】（1）∵菱形的四条边相等，∴菱形是筝形，故答案为：菱形；（2）筝形是轴对称图形；筝形的对角线互相垂直；筝形的一组对角相等．已知：四边形ABCD 是筝形，求证：∠B=∠D ，证明：如图1，连接AC ，在△ABC 和△ADC 中，AB AD BC DC AC AC ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABC ≌△ADC ，∴∠B=∠D ；（3）如图2，连接AC ，作CE ⊥AB 交AB 的延长线于E ，∵∠ABC=120°，∴∠EBC=60°，又BC=2，∴CE=BC×sin ∠EBC=∴S △ABC =12×AB×CE=2，∵△ABC ≌△ADC ，∴筝形ABCD 的面积=2S △ABC ．本题考查的是筝形的定义和性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，正确理解筝形的性质、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．17、（1）乙；甲；乙槽中铁块的高度为14cm ；（2）当2分钟时两个水槽水面一样高；（3）84.【解析】（1）根据题目中甲槽向乙槽注水可以得到折线ABC 是乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，点B 表示的实际意义是乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平；（2）分别求出两个水槽中y 与x 的函数关系式，令y 相等即可得到水位相等的时间；（3）用水槽的体积减去水槽中水的体积即可得到铁块的体积；【详解】解：（1）根据图像可知，折线ABC 表示乙槽中水的深度与注水时间关系，线段DE 表示甲槽中水的深度与注水时间之间的关系，点B 的纵坐标表示的实际意义是：乙槽中铁块的高度为14cm ；故答案为：乙；甲；乙槽中铁块的高度为14cm ；（2）设线段AB 、DE 的解析式分别为：y 1=k 1x+b 1，y 2=k 2x+b 2，∵AB 经过点（0，2）和（4，14），DE 经过（0，12）和（6，0）∴1112414b k b =⎧⎨+=⎩，2221260b k b =⎧⎨+=⎩解得：121232212k k b b ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，∴解析式为y=3x+2和y=-2x+12，令3x+2=-2x+12，解得x=2，∴当2分钟时两个水槽水面一样高．（3）由图象知：当水槽中没有没过铁块时4分钟水面上升了12cm ，即1分钟上升3cm ，当水面没过铁块时，2分钟上升了5cm ，即1分钟上升2.5cm ，设铁块的底面积为acm 2，则乙水槽中不放铁块的体积分别为：2.5×36cm 3，∴放了铁块的体积为：3×（36-a ）cm 3，∴1×3×（36-a ）=1×2.5×36，解得a=6，∴铁块的体积为：6×14=84（cm 3），故答案为：84.本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y 随x 的变化，结合自变量的取值范围确定最值．18、AB .【解析】先求A，B 的坐标，再画图象，由勾股定理可求解.【详解】解：因为当x=0时，y=2;当y=0时，x=1,所以，与x 轴的交点A(1,0),与y 轴的交点B （0，2），所以，线段AB 的图象是所以，=本题考核知识点：一次函数的图象.解题关键点：确定点A ，B 的坐标，由勾股定理求AB.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、6厘米【解析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半算出AB,再根据中位线的性质求出EF 即可．【详解】∵∠BCA=90°,且D 是AB 的中点,CD=6,∴AB=2CD=12,∵E 、F 是AC 、BC 的中点,∴EF=1=62AB ．故答案为:6厘米本题考查直角三角形中线的性质、中位线的性质,关键在于熟练掌握相关基础知识．20、(x ＋3)(x －3)【解析】x 2-9=（x+3）（x-3），故答案为（x+3）（x-3）.21、61.810-⨯【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】60.0000018 1.810-=⨯．故答案为：61.810-⨯．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中110a ≤＜，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．22、1【解析】用配方法解题即可．【详解】2214+7=x x -2(7)x -214+49=x x -2(7)x -故答案为：1．本题主要考查配方法，掌握规律是解题关键．23、8【解析】先根据Q 为图象端点，得到Q 此时与B 点重合，故得到AB=4，再根据60CBE ∠=︒，根据CG AE ⊥，得到sin 60CG BC ︒=,从而得到y x =，再代入y =x ，过点F 作FH AE ⊥于H ．设BF m =，根据1302FBE EBC ∠=∠=︒，利用三角函数表示出12FH m =，32BH m =，故在Rt AFH 中，利用222AF AH FH =+得到方程即可求出m 的值．【详解】解∵Q 为图象端点，∴Q 与B 重合，∴4AB =．∵四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，∴60CBE ∠=︒，此时CG AE ⊥，∵sin 60CG BC ︒==2∴2CG ==，即y x =．∴当y =8x =，即8AF =；过点F 作FH AE ⊥于H ．设BF m =．∵1302FBE EBC ∠=∠=︒，∴1sin 302FH BF m =︒=，3cos302BH BF =︒=．在Rt AFH 中，∴222AF AH FH =+，即223164422m m ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴m =-，即BF =．故答案为：8； ．此题主要考查菱形的动点问题，解题的关键是熟知菱形的性质、勾股定理及解直角三角形的方法．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、x=-1【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：1+6-x=-1x+6，解得：x=-1，经检验x=-1是分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．25、（1）A区的的空气污染指数的平均数是79，B区的的空气污染指数的平均数是80；（2）A区【解析】（1）根据平均数的计算公式分别进行计算即可；（2）根据平均数和众数的定义先求出各地区的平均数和众数，再进行比较即可得出答案．【详解】（1）A区的空气污染指数的平均数是：112（115+108+85+100+95+50+80+70+50+50+100+45）=79；B区的空气污染指数的平均数是：112（105+95+90+80+90+60+90+85+60+70+90+45）=80；（2）∵A区的众数是50，B区的众数是90，∴A地区的环境状况较好．∵A 区的平均数小于B 区的平均数，∴A 区的环境状况较好．此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义，熟记定义和计算公式是解题的关键．26、（1）见解析；（2）BM MF CF =-或BM MF CF =+.【解析】（1）由题意得出BD=CE ，由平行线的性质得出∠DGB=∠ACB ，由等腰三角形的性质得出∠B=∠ACB ，得出∠B=∠DGB ，证出BD=GD=CE ，即可得出结论；（2）由（1）得：BD=GD=CE ，由等腰三角形的三线合一性质得出BM=GM ，由平行线得出GF=CF ，即可得出结论．【详解】（1）四边形CDGE 是平行四边形．理由如下：∵D 、E 移动的速度相同，∴BD=CE ，∵DG ∥AE ，∴∠DGB=∠ACB ，∵AB=AC ，∴∠B=∠ACB ，∴∠B=∠DGB ，∴BD=GD=CE ，又∵DG ∥CE ，∴四边形CDGE 是平行四边形；（2）当点D 在AB 边上时，BM+CF=MF ；理由如下：如图2，由（1）得：BD=GD=CE ，∵DM ⊥BC ，∴BM=GM ，∵DG ∥AE ，∴GF=CF ，∴BM+CF=GM+GF=MF ．同理可证，当D 点在BA 的延长线上时，可证BM MF CF =+，如图3，4.本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．。