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2018版高中数学第一章解三角形习题课正弦定理和余弦定理学案新人教A版必修5

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习题课 正弦定理和余弦定理[学习目标] 1.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用.2.提高对正弦、余弦定理应用范围的认识.3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题．知识点一 正弦定理及其变形 1.a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ． 2．a ＝2R sin__A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin__C ．(化角为边) 3．sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ．(化边为角)知识点二 余弦定理及其推论1．a 2＝b 2＋c 2－2bc cos__A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc．(边角互化)2．在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角，c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角．知识点三 解三角形的几类问题和解法已知条件应用定理 一般解法一边和两角(如a ，B ，C )正弦定理由A ＋B ＋C ＝180°，求A ，再由正弦定理求出b 与c两边及其夹角(如a ，b ，C ) 余弦定理和正弦定理 由余弦定理求第三边c ，再由正弦定理求出第二个角，再由A ＋B ＋C＝180°，求出第三个角两边和其中一边所对的角(如a ，b ，B )正弦定理由正弦定理求A ，再由A ＋B ＋C ＝180°求C ，最后由正弦定理求c 三边a ，b ，c余弦定理先由余弦定理的推论求出两个角，再由三角形内角和定理求第三个角知识点四 三角形内的角的函数关系在△ABC 中，边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，则有(1)sin(A ＋B )＝sin__C ，cos(A ＋B )＝－cos__C ，tan(A ＋B )＝－tan__C ， (2)sinA ＋B2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2．题型一 利用正弦、余弦定理解三角形或求值 例1 在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长；(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6的值．解 (1)由cos B ＝45，则sin B ＝1－cos 2B ＝35，又∵C ＝π4，AC ＝6，由正弦定理，得ACsin B＝ABsinπ4， 即635＝AB22⇒AB ＝5 2. (2)由(1)得：sin B ＝35，cos B ＝45，sin C ＝cos C ＝22，则sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝7210，cos A ＝－cos(B ＋C )＝－(cos B cos C －sin B sin C )＝－210，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝72－620.反思与感悟 应用正弦、余弦定理解三角形时，要注意结合题目中的条件，选择适当的定理．在进行求值运算时，要合理运用三角恒等变换的公式进行转化．跟踪训练1 如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________． 答案3解析 ∵sin ∠BAC ＝sin(90°＋∠BAD )＝cos ∠BAD ＝223，∴在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ＝18＋9－2·32·3·223＝3.∴BD ＝ 3.题型二 判断三角形的形状例2 在△ABC 中，b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，试判断△ABC 的形状．解 由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，代入c ＝a cos B ，得c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，所以c 2＋b 2＝a 2，所以△ABC 是以A 为直角的直角三角形． 又因为b ＝a sin C ，所以b ＝a ·c a，所以b ＝c ， 所以△ABC 也是等腰三角形． 综上所述，△ABC 是等腰直角三角形．反思与感悟 (1)判断三角形形状时，要灵活应用正弦、余弦定理进行边角转化．但究竟是化边为角还是化角为边，应视具体情况而定． (2)常用的几种转化形式：①若cos A ＝0，则A ＝90°，△ABC 为直角三角形； ②若cos A <0，则△ABC 为钝角三角形；③若cos A >0且 cos B >0且cos C >0，则△ABC 为锐角三角形； ④若sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C ，则C ＝90°，△ABC 为直角三角形； ⑤若sin A ＝sin B 或sin(A －B )＝0，则A ＝B ，△ABC 为等腰三角形；⑥若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝90°，△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 跟踪训练2 在△ABC 中，cos A ＝45，且(a －2)∶b ∶(c ＋2)＝1∶2∶3，试判断三角形的形状．解 由已知设a －2＝x ，则b ＝2x ，c ＋2＝3x ， 所以a ＝2＋x ，c ＝3x －2，由余弦定理得cos A ＝4x 2＋（3x －2）2－（x ＋2）24x （3x －2）＝45.解得x ＝4，所以a ＝6，b ＝8，c ＝10， 所以a 2＋b 2＝c 2，所以三角形为直角三角形． 题型三 有关创新型问题例3 已知x >0，y >0，且x 2－xy ＋y 2＝1，求x 2－y 2的最大值与最小值． 解 构造△ABC ，使AB ＝1，BC ＝x ，AC ＝y ，C ＝60°， 由余弦定理知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ， ∴1＝x 2＋y 2－xy ，即x ，y 满足已知条件，由正弦定理得x sin A ＝y sin B ＝1sin 60°＝233.∴x ＝233sin A ，y ＝233sin B ，x 2－y 2＝43(sin 2A －sin 2B )＝23(1－cos 2A －1＋cos 2B ) ＝23(cos 2B －cos 2A ) ＝23[cos(240°－2A )－cos 2A ] ＝23(－32cos 2A －32sin 2A ) ＝－233sin(2A ＋60°)．∵0°<A <120°，∴60°<2A ＋60°<300°， 当2A ＋60°＝90°时，x 2－y 2有最小值－233.当2A ＋60°＝270°时，x 2－y 2有最大值233.反思与感悟 解答此类题目，我们可以根据条件，构造三角形，利用正弦、余弦定理将问题予以转化．如本题中将x 2－y 2转化为三角恒等变换及y ＝A sin(ωx ＋φ)的值域的问题． 跟踪训练3 已知x ，y 均为正实数，且x 2＋y 2－3＝xy ，求x ＋y 的最大值．解 构造△ABC ，角A ，B ，C 的对边分别为x ，y ，3，C ＝60°，由余弦定理知x 2＋y 2－3＝xy ，即x ，y 满足已知条件．∵xsin A ＝y sin B ＝3sin 60°＝2， ∴x ＝2sin A ，y ＝2sin B ， ∴x ＋y ＝2(sin A ＋sin B ) ＝2[sin A ＋sin(120°－A )] ＝2(sin A ＋32cos A ＋12sin A ) ＝23(32sin A ＋12cos A ) ＝23sin(A ＋30°)． ∵0°<A <120°，∴当A ＝60°时，x ＋y 有最大值2 3.例4 在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a ＋b a ＝cos B ＋cos Acos B，试判断三角形的形状．错解 由已知得1＋b a ＝1＋cos Acos B，即a cos A ＝b cos B .由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b ·a 2＋c 2－b 22ac，整理得c 2(a 2－b 2)＝a 4－b 4＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2)， ∴c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 为直角三角形．错因分析 利用余弦定理把角转化成边之间的关系，其思路是正确的，但在结果的判断上出现了严重的失误，由(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0得a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，而不是a ＝b 且a 2＋b 2＝c 2.正解 由已知得1＋b a ＝1＋cos Acos B，即a cos A ＝b cos B .由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b ·a 2＋c 2－b 22ac，整理得(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， 所以a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0， 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．误区警示 在转化的过程中，一定要注意转化的合理性与等价性．跟踪训练4 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解 (1)由2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C 得 2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即 a 2＝b 2＋c 2＋bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，∵A ∈(0°，180°)，∴A ＝120°. (2)由(1)得a 2＝b 2＋c 2＋bc ，由正弦定理得 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C . ∴sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝34，又sin B ＋sin C ＝1， ∴sin B ＝sin C ＝12，∵B ，C ∈(0°，90°)，∴B ＝C ＝30°， ∴△ABC 为等腰三角形．1．在钝角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则最大边c 的取值范围是( ) A ．1＜c ＜3 B ．2＜c ＜3 C.5＜c ＜3 D ．22＜c ＜3 答案 C解析 在钝角△ABC 中，由于最大边为c ，所以角C 为钝角．所以c 2＞a 2＋b 2＝1＋4＝5，即c ＞5，又因c ＜a ＋b ＝1＋2＝3，所以5＜c ＜3.2．在△ABC 中，若c ＝2a cos B ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 答案 C解析 ∵c ＝2a cos B ，由正弦定理得 2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0， 又∵－π<A －B <π，∴A －B ＝0，∴A ＝B . ∴△ABC 是等腰三角形．3．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6.则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19 答案 D解析 由余弦定理的推论知：cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝1935.所以AB→·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B ) ＝7×5×(－1935)＝－19，故选D.4．在△ABC 中，B ＝60°，a ＝1，S △ABC ＝32，则c sin C＝________． 答案 2解析 S △＝12ac sin B ＝12·1·c ·32＝32，∴c ＝2，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋4－2·1·2·(12)＝3，∴b ＝3，∴csin C ＝b sin B ＝332＝2. 5．在△ABC 中，若acos A ＝bcos B ＝ccos C ，则△ABC 是________三角形．答案 等边解析 ∵a cos A ＝bcos B，∴sin A cos B －sin B cos A ＝0，∴sin(A －B )＝0， ∵A ，B ∈(0，π)，∴A －B ∈(－π，π)， ∴A －B ＝0，∴A ＝B . 同理B ＝C ，∴A ＝B ＝C ， ∴△ABC 为等边三角形．1.判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)．对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系，再利用三角形的有关知识、三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论．2．解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正弦、余弦定理求解．。

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高中数学第一章解三角形第1节正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课件新人教A版必修53

高中数学第一章解三角形第1节正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课件新人教A版必修53


45°＝
23，
∴C＝60°或 C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，
b＝cssiinnCB＝ s6isnin607°5°＝ 3＋1； 当 C＝120°时，B＝15°， b＝cssiinnCB＝ s6insi1n2105°°＝ 3－1. ∴b＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°或 b＝ 3 －1，B＝15°，C＝120°.
代入已知式子得
cos ksin
AA＝kcsoisn
BB＝kcsoisn
CC.
∴csoins
AA＝csoins
BB＝csoins
C C.
∴tan A＝tan B＝tan C.
又∵A、B、C∈(0，π)，
∴A＝B＝C.∴△ABC 为等边三角形．
法二：化边为角
由正弦定理得sina A＝sinb B＝sinc C.
提示：sina A＝sinb B＝sinc C
2．归纳总结，核心必记 (1)正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的
比相等，即 (2)解三角形
一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它 们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素．已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形．
[问题思考] (1)在△ABC 中 sin A＝sin B，则 A＝B 成立 吗？ (2)在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c 成立吗？ (3)在△ABC 中，若 A>B，是否有 sin A>sin B？ 反之，是否成立？
—————————[课堂归纳·感悟提升]————————— 1．本节课的重点是正弦定理的应用，难点是正
弦定理的推导．
2．本节课要牢记正弦定理及其常见变形：
(1)sina A＝sinb B＝sinc C＝2R(其中 R 为△ABC 外
2018版高中数学(人教B版)必修五学案：第一章 习题课 正弦定理和余弦定理

2018版高中数学(人教B版)必修五学案：第一章 习题课 正弦定理和余弦定理

习题课　正弦定理和余弦定理[学习目标]　1.进一步熟练掌握正、余弦定理在解决各类三角形中的应用.2.提高对正、余弦定理应用范围的认识.3.初步应用正、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题．[知识链接]下列结论正确的是．(1)在△ABC 中，已知一边的长为6，这条边上的高为4，则△ABC 的面积为12.(2)在▱ABCD 中，一边的长为a ，这边上的高为h ，则▱ABCD 的面积为ah .12(3) 已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，若2p ＝a ＋b ＋c ，则S △ABC ＝.p (p －a )(p －b )(p －c )(4)设△ABC 的内切圆的半径为r ，三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S ＝r (a ＋b ＋c )．12答案　(1)(3)(4)[预习导引]1．三角形常用面积公式(1)三角形面积公式S ＝ah .12(2)三角形面积公式的推广S ＝ab sin C ＝bc sin A ＝ca sin B .1212122．三角形内的角的函数关系在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有(1)sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，tan(A ＋B )＝－tan C ，(2)sin ＝cos ，cos ＝sin .A ＋B2C2A ＋B2C23．余弦定理的推论在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角，c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角.要点一　利用正、余弦定理求值例1　在△ABC 中，若c ·cos B ＝b ·cos C ，且cos A ＝，求sin B 的值．23解　由c ·cos B ＝b ·cos C ，结合正弦定理得，sin C cos B ＝sin B cos C ，故sin(B －C )＝0，易知B ＝C ，故b ＝c .因为cos A ＝，23所以cos A ＝＝＝，得3a 2＝2b 2，所以a ＝b .b 2＋c 2－a 22bc2b 2－a 22b 22363所以cos B ＝＝＝，故sin B ＝.a 2＋c 2－b 22ac23b 22×63b 266306规律方法　正、余弦定理的变形形式比较多，解题时应根据题目条件的不同，灵活选择．跟踪演练1　在△ABC 中，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc .(1)求A 的大小；(2)求的值．b sin B c解　(1)由已知b 2＝ac ⇒cos A ＝＝＝.b 2＋c 2－a 22bcac ＋bc －ac2bc12∵A ∈(0，π)，∴A ＝.π3 (2)由b 2＝ac ，得＝，∴＝sin B ·＝sin B ·＝sin A ＝.b c ab b sin Bc ab sin Asin B 32要点二　正、余弦定理与三角变换的综合应用例2　在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，4sin 2－cos 2A ＝.B ＋C272 (1)求A 的度数．(2)若a ＝，b ＋c ＝3，求b 和c 的值．3解　(1)由4sin 2 －cos 2A ＝及A ＋B ＋C ＝180°，得2[1－cos(B ＋C )]－2cos 2 A ＋1＝，B ＋C272724(1＋cos A )－4cos 2 A ＝5，即4cos 2A －4cos A ＋1＝0，∴(2cos A －1)2＝0，解得cos A ＝.12∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°.(2)由余弦定理，得cos A ＝.b 2＋c 2－a 22bc∵cos A ＝，∴＝，12b 2＋c 2－a 22bc12化简并整理，得(b ＋c )2－a 2＝3bc ，所以32－()2＝3bc 3则由Error!解得Error!或Error!规律方法　本题解题关键是通过三角恒等变换借助于A ＋B ＋C ＝180°，求出A ，并利用余弦定理列出关于b 、c 的方程组．跟踪演练2　在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝ac .65求2sin 2＋sin 2B 的值．A ＋C2解　由已知＝，a 2＋c 2－b 22ac35所以cos B ＝，又B ∈(0，π)，则35sin B ＝＝，1－cos2B 45所以2sin 2＋sin 2B ＝2cos 2＋sin 2B ＝1＋cos B ＋2sin B cos B A ＋C 2B2＝1＋＋2××＝.3535456425要点三　正、余弦定理与平面向量的综合应用例3　在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cos B ＝，且·＝－21.35AB→ BC → (1)求△ABC 的面积；(2)若a ＝7，求角C .解　(1)∵·＝－21，AB→ BC → ∴·＝21.BA→ BC → ∴·＝||·||·cos B ＝ac cos B ＝21.BA→ BC → BA → BC → ∴ac ＝35，∵cos B ＝，又B ∈(0，π)，35∴sin B ＝.45∴S △ABC ＝ac sin B ＝×35×＝14.121245(2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32，∴b ＝4.2由正弦定理＝，∴sin C ＝sin B ＝×＝.csin C bsin B cb 5424522∵c <b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角．∴C ＝.π4规律方法　这是一道向量，正、余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系．跟踪演练3　△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ＋b ，sin C )，n ＝(a ＋c ，sin B －sin A )，若m ∥n ，则角B 的大小为 ．3答案　150°解析 ∵m ∥n ，∴(a ＋b )(sin B －sin A )－sin C (a ＋c )＝0，由正弦定理有(a ＋b )(b －a )3＝c (a ＋c )，3即a 2＋c 2－b 2＝－ac ，再由余弦定理，得cos B ＝－，又0°<B <180°，∴B ＝150°.332要点四　三角形的面积公式的拓展例4　如图，在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝4，cos ∠CAD ＝，且3132AD ＝BD ，求△ABC 的面积．解　设CD ＝x ，则AD ＝BD ＝5－x ，在△CAD 中，由余弦定理可知cos ∠CAD ＝＝.(5－x )2＋42－x 22×(5－x )×43132解得x ＝1.在△CAD 中，由正弦定理可知＝，ADsin C CDsin ∠CAD ∴sin C ＝·＝4＝，ADCD 1－cos2∠CAD 1－(3132)2378∴S △ABC ＝AC ·BC ·sin C ＝×4×5×＝.12123871574∴△ABC 的面积为.1574规律方法　在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积．跟踪演练4　在△ABC 中，AB ＝，AC ＝1，B ＝30°，求△ABC 的面积．3解　由正弦定理得＝，1sin 30°3sin C ∴sin C ＝.32∵0°＜C ＜180°，∴C ＝60°或120°.(1)当C ＝60°时，A ＝90°，∴BC ＝2，此时，S △ABC ＝；32(2)当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝××1×sin 30°＝.123341．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝b ，则A 等于( )3A. B. C. D.π12π6π4π3答案　D解析　由正弦定理，得2sin A sin B ＝sin B ，即sin A ＝，因为△ABC 为锐角三角形，所以332A ＝.π32．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，，，则此人能( )11311115A ．不能作出这样的三角形 B ．作出一个锐角三角形C ．作出一个直角三角形 D ．作出一个钝角三角形答案　D解析　假设能作出△ABC ，不妨设高，，对应的边分别为a ＝26S ，b ＝22S ，c ＝10S ，cos 11311115A ＝＝＝－<0，∴A 为钝角．b 2＋c 2－a 22bc(22S )2＋(10S )2－(26S )22×22S ×10S 231103．已知三角形面积为，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )14A ．1 B ．2 C. D ．412答案　A解析　设三角形外接圆半径为R ，则由πR 2＝π，∴R ＝1，由S △＝ab sin C ＝＝＝，∴abc ＝1.12abc 4R abc 4144．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝，则·＝.10AB → CA → 答案　－32解析　根据余弦定理，cos A ＝22＋32－(10)22×2×3＝＝.31214·＝－·＝－3×2×＝－.AB → CA → AB → AC→ 14321．判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)．2．对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系，再利用三角形的有关知识、三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论．3．解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正、余弦定理求解．。

高中数学 第一章 解三角形全套教案 新人教A版必修5

高中数学 第一章 解三角形全套教案 新人教A版必修5

高中数学：新人教A 版必修5全套教案第一章 解三角形课题: 1．1．1正弦定理●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。

A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c==, A则sin sin sin abcc ABC=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcABC==C a B(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin a b A B=sin cC=A cB (图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

高中数学第一章解三角形教学设计新人教A版必修5

高中数学第一章解三角形教学设计新人教A版必修5

（新课标）高中数学第一章解三角形教学设计新人教A版必修5从容说课本章主要学习了正弦定理和余弦定理、应用举例以及实习作业．正弦定理、余弦定理是反映三角形边、角关系的重要定理．利用正弦定理、余弦定理，可以将三角形中的边的关系与角的关系进行相互转化，许多几何问题也可以转化为解三角形的问题来研究．本节课是人教版数学必修五第一章解三角形的全章复习.教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形.2.三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用.3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．教学难点定理及有关性质的综合运用．教具准备多媒体投影仪三维目标一、知识与技能1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形确良；2.三角形各种类型的判定方法；3.三角形面积定理的应用.二、过程与方法通过引导学生分析，解答典型例题，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．三、情感态度与价值观通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．教学过程导入新课师本章我们共学习了哪些内容？生 本章我们学习了正弦定理与余弦定理. 师 你能讲出正弦定理、余弦定理的具体内容吗？生 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即R CcB b A a 2sin sin sin ===； 余弦定理: a 2=b 2+c 2-2bcco s A ，b 2=a 2+c 2-2acco s B ， c 2=b 2+a 2-2baco s C ;abc b a C ac b c a cisB bc a c b A 2cos ,2,2cos 222222222-+=-+=-+=.师 很好！哪位同学来说说运用正弦定理、余弦定理可以解决哪些类型的问题？ 生 正弦定理可以解决以下两类问题：（1）已知两角和一边解三角形；（2）已知两边及其中一边的对角解三角形.余弦定理可以解决以下两类问题:(1)已知三边解三角形；（2）已知两边及其夹角解三角形.生 老师，我来补充.利用正弦定理的解题的类型（1）在有解时只有一解，类型（2）可有解、一解和无解；利用余弦定理的解题的两种类型有解时只有一解. 师 very good ！除了以上这些，我们还学习了什么？ 生 除了正弦定理、余弦定理我们还学习了三角形面积公式：C ab B ac A bc S sin 21sin 21sin 21===C ，利用它我们可以解决已知两边及其夹角求三角形的面积.师 你说的非常完善，你是我们全班同学学习的榜样.希望我们全班同学都向他学习.推进新课 多媒体投影解斜三角形时可用的定理公式 适用类型 备注余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A b 2=a 2+c 2-2ac cos B c 2=b 2+a 2-2ba cos C(1) 已知三边 （2）已知两边及其夹角类型（1）（2）有解时只有一解正弦定理（3）已知两角和一边类型（3）在有解时只有一解，类型（4）可有解、一解和无R CcB b A a 2sin sin sin === （4）已知两边及其中一边的对角解三角形面积公式S ＝21bc sin A =21ac sin B =21ab sin C(5)已知两边及其夹角生 老师，我也来补充.利用正弦定理、余弦定理我们还可以解决实际生活中的一些问题:有关测量距离、高度、角度的问题．师 看来同学们对解三角形这一章掌握得都不错．下面，我们来看一下例题与练习． ［例题剖析］【例１】在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A 与B 的大小关系为_________. 生 这个题目以前做过的，A 与B 的大小关系不定． 师 对吗？生 我认为不对．我以前做过的题目中没有“在△ABC 中”这个条件． （其他学生一致认可） 师 那本题应该怎么做呢？生 我觉得答案应该是A ＞B ，但是理由我说不上来． 生 我来说．因为在△ABC 中，由正弦定理得R CcB b A a 2sin sin sin ===,所以 a =2Rsin A ,B =2Rsin B .又因为sin A ＞sin B ，所以A ＞B ． 又因为在三角形中，大边对大角，所以A ＞B ． 师 好，你解得非常正确．【例２】在△ABC 中，若△ABC 的面积为S ，且2S=(a +b )2-C 2，求t a n C 的值． 师 拿到题目你怎么考虑，从哪里下手？生 利用三角形的面积公式，代入已知条件2S=(A +B )2-C 2中，再化简. 师 用面积公式S=21 bc in A =21ac sin B =21ab sin C 中的哪一个呢？ 生 用哪一个都可以吧. 生 不对，应该先化简等式右边，得(A +B )2-C 2=A 2+2AB +B 2-C 2，出现了A 与B 的乘积：AB ，而2abco s C =a 2+b 2-c 2，因此面积公式应该用S=21ab sin C ，代入等式得 ab sin C =a 2+b 2+2ab -C 2=2ab -2abco s C .化简得tan 2C=2．从而有344142tan12tan2tan2-=-=-=CCC．师思路非常清晰，请同学们思考本题共涉及到了哪些知识点？生正弦定理、余弦定理与三角形面积公式．生还有余切的二倍角公式．师你能总结这类题目的解题思路吗？生拿到题目不能盲目下手，应该先找到解题切入口．师对，你讲得很好．生正弦定理、余弦定理都要试试．【例3】将一块圆心角为120°，半径为20 c m的扇形铁片裁成一块矩形，有如图（1）、（2）的两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径OA上，或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？并求出这个最大值.师本题是应用题，怎么处理？生由实际问题抽象出数学模型，找到相应的数学知识来解决.分析:这是一个如何下料的问题，从图形的特点来看，涉及到线段的长度和角度，将这些量放置在三角形中，通过解三角形求出矩形的边长，再计算出两种方案所得矩形的最大面积，加以比较，就可以得出问题的结论.解：按图（1）的裁法：矩形的一边O P在OA上，顶点M在圆弧上，设∠M OA=θ，则|MP|=20sinθ,|OP|=20co sθ,从而S=400sinθco sθ=200sin2θ，即当4πθ=时，S m a x=200.按图（2）的裁法：矩形的一边PQ与弦AB平行，设∠M O Q=θ，在△M O Q中，∠O QM=90°+30°=120°,由正弦定理，得|MQ|=θθsin2340120sinsin20=︒.又因为|MN |=2|OM |sin(60°-θ)，=40sin(60°-θ),所以 S=|MQ |·|MN |=331600sinθsin(60°-θ)=331600｛-21［co s60°-co s(2θ-60°)］｝=33800［cos(2θ-60°)-co s60°］. 所以当θ=30°时，S m a x =33400. 由于33400＞200，所以用第二种裁法可裁得面积最大的矩形，最大面积为33400c m 2. 评注:正弦定理、余弦定理在测量（角度、距离）、合理下料、设计规划等方面有广泛应用.从解题过程来看，关键是要找出或设出角度，实质是解斜三角形，将问题涉及的有关量集中在某一个或者几个三角形中，灵活地运用正弦定理、余弦定理来加以解决.【例4】如果一个三角形的三边是连续的三个自然数，求所有这些三角形中的最大角的度数．（精确到°） 师 已知什么，要求什么？生（齐答）已知三角形的三边，要求三角形中的角． 师 怎么处理呢？生用正弦定理或余弦定理实现三角形中边与角的转化，可是三条边的值不知道啊． 生条件中三角形的三边是连续的三个自然数，那么我们可以设这三个连续的自然数为n-1，n ，n+1，最大的角为θ，则)1(2321)1(24)1(2)1()1(cos 2222--=--=-+--+=n n n n n n n n n n θ.师 接下来怎么做呢？生 因为co sθ是［0°,180°］内的减函数，所以要求θ的最大值即求co sθ的最小值． 师cosθ的最小值怎么求呢？ 生 因为cosθ＞－１，从而有)1(2321--n ＞-1)1(23-⇒n ＜23n-1＞1⇒n ＞2. 又因为n 为自然数，所以当n=3时，（cosθ）min =-41，所以θ的最大值为°． （教师用多媒体投影）解：设这三个连续的自然数为n-1，n ，n+1，最大的角为θ，则)1(2321)1(24)1(2)1()1(cos 2222--=--=-+--+=n n n n n n n n n n θ.因为cosθ是［0°,180°］内的减函数，所以要求θ的最大值即求co s θ的最小值，且cosθ＞－１，从而有)1(2321--n ＞-1)1(23-⇒n ＜⇒23n-1＞1⇒n ＞2． 因此，当n=3时，（cosθ）min =-41，所以θ的最大值为°． 师 下面我们来看一组练习 多媒体投影1.在△ABC 中，若A =30°,B =45°,C =6，则A 等于（ ） A.26- B.26(2-C.)26(3-D.)26(4-2.在△ABC 中，若a =7,b =4,c =5, 则△ABC 的面积为（精确到0.１）（ ） A ．7B ．C ．D ． 3.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离D 1与第二辆车与第三辆车的距离D 2之间的关系为（ ） ＞d 2=d 2 ＜d 2 D.大小确定不了4.在△ABC 中，若A ·co t A =bco t B ，则△ABC 是_______三角形．5.在异面直线A ,B 上有两点M 、N ，EF 是直线A ,B 的公垂线段，若EM ＝５，EF ＝３，FN ＝４，MN ＝６，则异面直线A ,B 所成的角为___________．（精确到1°） 练习题答案：4.等腰°课堂小结同学们本节课你的收获是什么？生 正弦定理、余弦定理都是联系三角形边和角的关系式.生 凡是可用正弦定理的时候，都可以用余弦定理；当关系式中有边的平方项时，可以考虑余弦定理.生 已知两边一对角求解三角形时用余弦定理讨论二次方程，更容易判断是无解、一解还是两解的问题.生 利用正弦定理和余弦定理解决几何问题的关键还是在于找出图形中的边角关系，然后假设有关的边和角，利用正弦定理和余弦定理建立边或角的关系式.生 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.其基本步骤是: （1）分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理、余弦定理解这些三角形，求得数学模型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.布置作业1.已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是__________．2.在△ABC 中，已知t a n A =21,t a n B =31，试求最长边与最短边的比． 3.某人坐在火车上看风景，他看见远处有一座宝塔在与火车前进方向成30°角的直线上，1分钟后，他看见宝塔在与火车前进方向成45°角的直线上，设火车的速度是100 km/h ，求宝塔离开铁路线的垂直距离． 答案：1.(5,13)2.解：因为t a n A =21,t a n B =31，所以1312113121tan tan 1tan tan )tan(=•-+=-+=+BA B A B A ． 因为0°＜A ＜45°，0°＜B ＜45°，所以A +B = 45°． 所以3510103135sin sin sin =︒==B C b c ，所以最长边与最短边的比为35． ３.解：如图，设宝塔在C 点，先看时的位置为A ，再看时的位置为B ，由题意知∠BAC =45°-30°=15°,AB =3560100=（km ），AC =)13(3513515sin 53sin sin +=︒︒=∠•∠=ABC BCA AB AC ,所以C 点到直线AB 的距离为d =AC ·sin30°=65(3+1)（km ）．板书设计 本章复习例1 例3 例2 例4(投影区)备课资料解三角形三角形的三条边和三个内角是三角形的六个基本元素．已知其中的三个基本元素(至少有一个是边)求其余的基本元素叫做解三角形． 1.直角三角形的解法因为直角三角形中有一个是直角，例如△ABC 中，C ＝90°，角A 、B 、C 的对边分别是A 、B 、C ．那么利用以下关系式：（1）A +B =90°；（2）A 2＋B 2=C 2；（3）A =c sin A =cco s B ＝B ·t a n A ；（4）B =cco s A =c sin B =acxtana ． 可分四种情况来解直角三角形． （1）已知斜边和一锐角； （2）已知一条直角边和一锐角； （3）已知一斜边和一直角边； （4）已知两条直角边． 2.斜三角形的解法在一个三角形中，如果没有一个角是直角，那么这个三角形叫做斜三角形．斜三角形的解法可分以下四种情况：（1）已知两角和一边；（2）已知两边和其中一边的对角；（3）已知两边和它们的夹角；（4）已知三边．解斜三角形常常利用以下基本关系式： 1．三角形内角和为180°，即A ＋B ＋C =180°； 2．正弦定理，即R CcB b A a 2sin sin sin ===3．余弦定理，即(1)⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=;cos cos ,cos cos ,cos cos B a A b c A c C a b C b B c a(2)⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2,cos 2222222222一般地说，在已知两边和其中一边的对角的情况下，解三角形时，问题不一定有解，如果有解也不一定有唯一解．对这类问题进行讨论，可得如下结论．90°≤A ＜180°0°＜A ＜90°a ＞b 一解 一解 a =b 无解 一解a ＜b无解A ＞B sin A A =B sin A A ＜B sin A两解 一解 无解。