广东省广州市2016-2017学年高二12月学业水平测试数学试题 Word版含答案

2016-2017学年第二学期教学质量监测试卷高二数学(理科)本试卷共4页，22小题，满分150分．考试历时120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数212⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．下列命题中的假命题是A ．,lg 0x x R ∈∃>B ．,sin 1x x ∃∈=RC ．2,0x x ∈∀>RD ．,20x x ∈∀>R3．设()ln f x x x =,若0'()2f x =,则0x =A.2eB.eC.ln 22D.ln 24．已知A 是B 的充分没必要要条件，C 是B 是必要不充分条件，A ⌝是D 的充分没必要要条件，则C 是D ⌝的 A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知2~(,)Z N μσ，则()P Z μσμσ-<<+=，(22)P Z μσμσ-<<+=．若 ,~51X N ，则(67)P X <<等于A ．B ．C ．D ．6．在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，且2OM MA =,点N 是BC 的中点，则MN =A ．211322a b c -++ B ．121232a b c -+ C ．111222a b c +- D ．221332a b c +- 7．直线3,,022x x y ππ===及曲线cos y x =所围成图形的面积是 A ．2 B ．3 C ．π D ．π28．从5名男生和4名女生当选出4人去参加辩论竞赛，4人中既有男生又有女生的不同选法共有A ．80种B ．100种C ．120种D ．126种9．抛物线22y px =的核心为F ，M 为抛物线上一点，若OFM ∆的外接圆与抛物线的准线相切（O 为坐标原点），且外接圆的面积为π9，则p =A ．2B ．4C ．6D ．810．以下命题正确的个数为(1)存在无数个∈βα,R ，使得等式βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=-成立；(2)在ABC ∆中，“6A π>”是“1sin 2A >”的充要条件； (3)命题“在ABC ∆中，若sin sin A B =,则A B =”的逆否命题是真命题；(4)命题“若6πα=，则21sin =α”的否命题是“若6πα≠，则21sin ≠α”． A ．1 B ．2 C ．3 D ．411．如图，已知椭圆221:110x C y +=，双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，若以1C 的长轴为直径的圆与2C 的一条渐近线交于,A B 两点，且1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则2C 的离心率为A ．9B ．5C ．5D ．3 12．已知函数)(x f 的导函数为()f x '，且()()f x f x '>对任意的x ∈R 恒成立，则下列不等式均成立的是A ．(1)(0)f ef <，2(2)(0)f e f <B ．(1)(0)f ef >，2(2)(0)f e f <C ．(1)(0)f ef <，2(2)(0)f e f >D ．(1)(0)f ef >，2(2)(0)f e f >二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．若双曲线2221(0)3x y a a -=>的一个核心恰好与抛物线28y x =的核心重合，则双曲线的渐近 线方程为 ．14．代数式⋅⋅⋅+++11111中省略号“…”代表以此方式无穷重复，因原式是一个固定值，能够用如下方式求得：令原式t =,则11t t +=，则210t t --=，取正值得51t +=，用类似方式可得=⋅⋅⋅+++666 ．15．用总长为24m 的钢条制作一个长方体容器的框架,若所制作容器底面为正方形,则那个容器体积的最大值为 ．16．在()()642x x y ++的展开式中，记m n x y 项的系数为(),f m n ，则()()3,45,3f f +＝ ．(用数字作答)三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明进程和演算步骤．17.（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，1112,2(1,2,3...)n na a n a +==-=． （Ⅰ）求234,,a a a 的值，猜想出数列的通项公式n a ；（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．18.（本小题满分12分）已知函数()(,)b f x ax a b x =+∈R 的图象过点))1(,1(f P ，且在点P 处的切线方程为38y x =-． （Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的极值．19.（本小题满分12分）如图四边形ABCD 为边长为2的菱形，G 为AC 与BD 交点，平面BED ⊥平面ABCD ，2,22BE AE ==．（Ⅰ）证明：BE ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若120ABC ∠=，求直线EG 与平面EDC 所成角的正弦值．20.（本小题满分12分）某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取50条作为样本进行统计，按海鱼重量（克）取得如下的频率散布直方图：（Ⅰ）若经销商购进这批海鱼100千克，试估量这批海鱼有多少条（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）依照市场行情，该海鱼按重量可分为三个品级，如下表：第19题图D AGCE若经销商以这50条海鱼的样本数据来估量这批海鱼的整体数据，视频率为概率．现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X ，求X 的散布列和数学期望．21.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>()1,3--M ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线02:=--y x l 与椭圆C 交于,A B 两点，点P 为椭圆C 上一动点，当△PAB 的面积最大时，求点P 的坐标及△PAB 的最大面积．22.（本小题满分12分）已知函数21()ln(1)2f x a x x x =++-，其中a 为实数． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：212()0f x x ->．。

2016学年培正中学高二上期末考试数学(文科) 2017.1.9一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分50分.1．已知集合,A B 均为全集{}12U =，，3,4的子集，且()C U A B ⋃={}4,{}1B =，2,则C U A B ⋂=2.下列函数为偶函数的是（ ）.A.2(1)y x =+ B.3y x = C.1y x x=-D.sin y x x = 3．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项和10S =A.85B.135C.95D.234．为了了解参加一次知识竞赛的1 252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 5．以下判断正确的是( )A ．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B ．命题“∀x ∈N ，x 3>x ”的否定是“∃x ∈N ，x 3>x ”C ．“a ＝1”是“函数f (x )＝sin 2ax 的最小正周期为π”的必要不充分条件D ．“b ＝0”是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数”的充要条件 6．已知向量()2,1=→a ，()1,0=→b ，()2,-=→k c ，若（2+→a →b ）⊥→c ，则k = 7．已知焦点坐标为(0，－4)、(0，4)，且过点(0，－6)的椭圆方程为( )A ．1203622=+y xB ．1362022=+y x C ．1163622=+y xD ．1361622=+y x8．设a ∈R ，则“1a =”是“直线21y a x =+与 直线1y x =-平行”的（ ）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 9．某程序框图如图1所示，若该程序运行后输 出的值是95,则 10．将函数()sin(2)6f x x π=+的图像向右平移6π个单位，那么所得的图像所对应的函数解 析式是 11．已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，则此双曲线的 A ．焦距为10 B ．实轴长与虚轴长分别为8与6C ．离心率e 只能是45或35 D ．离心率e 不可能是45或35 12.若函数()f x 的零点与()43xg x e x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，则()f x 可以是（ ）.A.()21f x x =+B.()21f x x =-C.()21xf x =- D.()lg(2)f x x =- 二、填空题：本大题共6小题，每题5分，满分30分．13．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________．14．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温.气温(℃) 14 12 8 6 用电量(度) 2226 34 38由表中数据得回归直线方程y ＝b x ＋a 中b ＝－2，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为______．15. 如果双曲线2288kx ky -=的一个焦点是(0,3)，则k 的值是 .16.已知12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B 两点，若2ABF ∆是正三角形，则该椭圆的离心率是 .17. 已知双曲线22149x y -=,,A B 是其两个焦点，点M 在双曲线上，=120AMB ∠︒则三角形AMB 的面积为 .18．直线l 交椭圆2211612x y +=于A,B 两点，AB 的中点为M （2,1），则直线l 的方程为 .三、解答题：本大题共4小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 19．（满分15分）设命题p :实数x 满足()(3)0x a x a --<，其中0a >，命题q ：实数x满足302x x -≤- （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p q ⌝⌝是的充分不必要条件，求实数a 的取值范围。

数学（必修） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,4}A =，{1,3,5}B =，则()U C A B =∩（ ） A ．{1} B ．{3,5} C ．{1,3,5} D ．{2,3,4,5}2.已知点(1,1)A -，(2,)B t ，若向量(1,3)AB =u u u r，则实数t =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．-23.已知直线l 过点(1,1)，且与直线6540x y -+=平行，则l 的方程为（ ） A ．56110x y +-= B ．5610x y -+= C ．65110x y --= D ．6510x y --=4.已知角α的始边为x 轴的正半轴，点(1,3)是角α终边上的一点，则tan α=（ ） A ．-3 B ．13-C.13D ．3 5.已知函数32,0,()log ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则1[()]3f f 的值是（ ）A ．1B ．12C.-1 D ．-2 6.执行如图所示的程序框图，若输入1x =，则输出k 的值为（ ）A ．3B ．4 C. 5 D ．67.下列函数()f x 中，满足“对任意12,(0,1)x x ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x <”的是（ ）A ．()|1|f x x =-B ．1()f x x = C. 1()1()2xf x =- D ．()sin 2f x x =8.已知实数,x y 满足约束条件5315,1,53,x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩，则3z x y =-的取值范围是（ ）A ．[5,9]-B ．[7,9]- C.[5,3]- D ．[7,7]- 9.若0x 是函数()ln f x x =与2()g x x=的图象交点的横坐标，则0x 属于区间（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C. (2,3) D ．(3,)+∞10.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m n ，n α⊂，则//m α B ．若m n ⊥，//n α，则 m α⊥ C. 若//m α，//m β，则//αβ D ．若//m α，m β⊥，则a β⊥11.在区间[0,2]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“1x y +≤”的概率，2p 为事件“1xy ≥”的概率，则（ ） A ．1212p p <<B ．2112p p << C.1212p p << D ．2112p p <<12.已知数列{}n a 满足132a =，111n n a a +=-，则数列1{}1na -的前100项和为（ ） A ．4950 B ．5050 C.5100 D ．5150第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.函数()2f x x =+的定义域是__________.14.函数()sin(2)f x x ϕ=+（其中ϕ为常数，||2πϕ=）的部分图象如图所示，则ϕ=_______.15.已知一个四棱锥的底面边长是边长为2的正方形，顶点在底面的正投影为正方形的中心，5__________. 16.在平面四边形ABCD 中，2BC =，4DC =，四个内角的角度比为:::3:7:4:10A B C D =，则边AB 的长为__________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知向量(sin ,1)(1,cos )a x b x x R ==∈r r ，，，设()f x a b =rr •.（1）求函数()f x 的对称轴方程；（2）若2()(0,)432f ππθθ+=∈，求()4f πθ-的值. 18.（本小题满分12分）从某小区随机抽取40个家庭，收集了这40个家庭去年的月均用水量（单位：吨）的数据，整理得到频数分布表和频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a b ，的值；（2）从该小区随机选取一个家庭，试估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率； （3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个家庭，求其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率. 19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足715a =，且点*1(,)()n n a a n N +∈在函数2y x =+的图象上.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20.（本小题满分12分）一个长方体的平面展开图及该长方体的直观图的示意图如图所示.（1）请将字母,,E F G 标记在长方体相应的顶点处（不需说明理由）； （2）在长方体中，判断直线BG 与平面AFH 的位置关系，并证明你的结论； （3）在长方体中，设AB 的中点为M ，且2AB =，2AE =EM ⊥平面AFG .21.（本小题满分12分）已知直线20x y +-=被圆222:C x y r +=所截得的弦长为8. （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 与圆C 切于点P ，当直线l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成的三角形面积最小时，求点P 的坐标. 22.（本小题满分12分）设函数2()2(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当1b a =-时，求函数()f x 在[1,1]-上的最大值()g a 的表达式； （2）当21b a =-时，讨论函数[()]y f f x =在R 上的零点个数.2016学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数学试题参考答案及评分标准一、选择题1-5:BADDB 6-10:CCACD 11、12：AD 二、填空题13. [2,)-+∞ 14. 3π15. 43π 16.32三、解答题17.解：（1）()sin cos f x a b x x ==+rr •222(sin cos )22x x =+所以函数()f x 的对称轴方程为()4x k k Z ππ=+∈.………………4分（2）由（1）得，()2)4f x x π=+.因为2()43f πθ+=， 所以()2)444f πππθθ+=++………………5分 22)223πθθ=+==………………6分所以1cos 3θ=.………………7分 因为(0,)2πθ∈，所以222sin 1cos 3θθ=-=.………………8分 所以()2)2444f πππθθθ-=-+=………………9分433==.………………10分 18.解：（1）因为样本中家庭月均用水量在[4,6)上的频率为100.2540=， 在[6,8)上的频率为160.440=， 所以0.250.1252a ==，0.40.22b ==.………………2分（2）根据频数分布表，40个家庭中月均用水量不低于6吨的家庭共有16+8+4=28个， 所以样本中家庭月均用水量不低于6吨的概率是280.740=. 利用样本估计总体，从该小区随机选取一个家庭，可估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率约为0.7.………………4分（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，则在[6,8)上应抽取167428⨯=人，记为,,,A B C D ，………………5分 在[8,10)上应抽取87228⨯=人，记为,E F ，………………6分在[10,12]上应抽取47128⨯=人，记为G .………………7分设“从中任意选取2个家庭，求其中恰有1个家庭的月均用水量不低于8吨”为事件， 则所有基本事件有：{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}A B A C A D A E A F A G B C ，，，，，，{,}{,}{,}B D B E B F ，，，，{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}B G C D C E C F C G D E D F D G E F E G ，，，，，，，，，{,}F G ，，共21种.…………9分事件包含的基本事件有：{,}{,}{,}A E A F A G ，，，{,}{,}B E B F ，，{,}B G ，{,}{,}{,}{,}{,}{,}C E C F C G D E D F D G ，，，，，，共12种.………………11分所以其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率为124217=.………………12分 19.解：（1）依题意得，得12n n a a +=+，即12n n a a +-=.………………1分 所以数列{}n a 是公差为2的等差数列.………………2分 由715a =，得16215a +⨯=，解得13a =.………………3分所以1(1)n a a n d =+-………………4分3(1)221n n =+-⨯=+.………………5分（2）因为2133na n nb +==，所以127b =.………………6分因为23121393n n n n b b +++==，所以{}n b 是公比为9的等比数列.………………8分所以1(1)1n n b q T q-=-………………10分27(19)27(91)198n n ⨯-==--.………………12分20.解：（1）字母,,E F G 标记如图所示.………………2分（2）//BG 平面AFH ，证明如下：在长方体ABCD EFGH -中，//AB GH ，且AB GH =， 所以四边形ABGH 是平行四边形， 所以//BG AH .………………4分又AH ⊂平面AFH ，BG ⊄平面AFH ，所以//BG 平面AFH .………………6分 （3）在长方体ABCD EFGH -中，FG ⊥平面ABFE ， 又EM ⊂平面ABFE ，所以FG EM ⊥.………………8分 在Rt AEF ∆与Rt MAE ∆中，90AEF MAE ∠=∠=o ，2EF AEAE MA==， 所以Rt AEF Rt MAE ∆∆∽，所以EFA AEM ∠=∠.因为90AEM MEF ∠+∠=o，所以90EFA MEF ∠+∠=o，所以AF EM ⊥.………………10分又AF ⊂平面AFG ，FG ⊂平面AFG ，AF FG F =∩，所以EM ⊥平面AFG .………………12分21.解：（1）因为圆C 的圆心到直线20x y +-=的距离为d ==，………………1分所以222228()4182r d =+=+=.………………2分 所以圆C 的方程2218x y +=.………………3分 （2）设直线l 与圆C 切于点0000(,)(0,0)P x y x y >>，则220018x y +=.………………4分因为00OP y k x =，所以圆的切线的斜率为00xy -.………………5分 则切线方程为0000()x y y x x y -=--，即0018x x y y +=.………………6分 则直线l 与x 轴正半轴的交点坐标为018(,0)x ，与y 轴正半轴的交点坐标为018(0,)y . 所以围成的三角形面积为0000118181622S x y x y =⨯⨯=.………………9分 因为220000182x y x y =+≥，所以009x y ≤.当且仅当003x y ==时，等号成立.………………10分 因为00x >，00y >,所以00119x y ≥， 所以00162162189S x y =≥=. 所以当003x y ==时，S 取得最小值18.………………11分 所以所求切点P 的坐标为(3,3).………………12分 22.当1b a =-时，222()21()1f x x ax a x a a a =++-=+-+-，对称轴为直线x a =-.当1a -<-即1a >时，()f x 在[1,1]-上是增函数，所以()(1)3g a f a ==.………………1分 当10a -≤-≤即01a ≤≤时，()f x 在[1,]a --上是减函数，在[,1]a -上是增函数， 且(1)(1)3f a f a -=-<=，所以()(1)3g a f a ==.………………2分当01a <-≤即10a -≤<时，()f x 在[1,]a --上是减函数，在[,1]a -上是增函数， 且(1)(1)3f a f a -=->=，所以()(1)g a f a =-=-.………………3分 当1a ->即1a <-时，()f x 在[1,1]-上是减函数，所以()(1)g a f a =-=-.综上所述，,0,()3,0.a a g a a a -<⎧=⎨≥⎩.………………4分（2）当21b a =-时，22()21(1)(1)f x x ax a x a x a =++-=+++-.令[()]0f f x =，即(()1)(()1)0f x a f x a +++-=， 解得()1f x a =--或()1f x a =-+.………………5分当()1f x a =--时，22211x ax a a ++-=--，即2220x ax a a +++=.因为221(2)4()4a a a a ∆=-+=-，所以当10∆>即0a <时，方程2220x ax a a +++=有两个实数解.………………6分 当10∆=即0a =时，方程2220x ax a a +++=有且只有一个实数解0x = (7)分当10∆<即0a >时，方程2220x ax a a +++=没有实数解.………………8分当()1f x a =-+时，22211x ax a a ++-=-+，即22220x ax a a +++-=.因为222(2)4(2)48a a a a ∆=-+-=-+，所以当20∆>即2a <时，方程22220x ax a a +++-=有两个实数解.………………9分 当20∆=即2a =时，方程22220x ax a a +++-=有且只有一个实数解2x =.………………10分当20∆<即2a >时，方程22220x ax a a +++-=没有实数解.………………11分综上所述，当0a <时，函数[()]y f f x =在R 上的零点个数是4； 当0a =时，函数[()]y f f x =在R 上的零点个数是3；当02a <<时，函数[()]y f f x =在R 上的零点个数是2；当2a =时，函数[()]y f f x =在R 上的零点个数是1；当2a >时，函数[()]y f f x =在R 上的零点个数是0.………………12分。

荔湾区2016-2017学年第二学期教学质量监测试卷高二数学(理科)本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数212⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列命题中的假命题是 A ．,lg 0x x R ∈∃>B ．,sin 1x x ∃∈=RC ．2,0x x ∈∀>R D ．,20xx ∈∀>R 3．设()ln f x x x =,若0'()2f x =,则0x = A.2e B.e C.ln 22D.ln 24．已知A 是B 的充分不必要条件，C 是B 是必要不充分条件，A ⌝是D 的充分不必要条件，则C 是D ⌝的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知2~(,)Z N μσ，则()P Z μσμσ-<<+=0.6826，(22)P Z μσμσ-<<+=0.9544．若 (),~51X N ，则(67)P X <<等于A ．0.3413B ．0.4772C ．0.1359D ．0.81856．在四面体OABC 中，OA a =uu r r ，OB b =uu u r r ，OC c =uuu r r，点M 在OA 上，且2OM MA =,点N 是BC 的中点，则MN =uuu rA ．211322a b c -++r r rB ．121232a b c -+r r rC ．111222a b c +-r r rD ．221332a b c +-r r r7．直线3,,022x x y ππ===及曲线cos y x =所围成图形的面积是 A ．2 B ．3 C ．π D ．π28．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛，4人中既有男生又有女生的不同选法共有 A ．80种 B ．100种 C ．120种 D ．126种9．抛物线22y px =的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若OFM ∆的外接圆与抛物线的准线相切（O 为坐标原点），且外接圆的面积为π9，则p = A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 10．以下命题正确的个数为(1)存在无数个∈βα,R ，使得等式βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=-成立； (2)在ABC ∆中，“6A π>”是“1sin 2A >”的充要条件； (3)命题“在ABC ∆中，若sin sin A B =,则A B =”的逆否命题是真命题； (4)命题“若6πα=，则21s i n =α”的否命题是“若6πα≠，则21s i n ≠α”． A ．1 B ．2 C ．3 D ．411．如图，已知椭圆221:110x C y +=，双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，若以1C 的长轴为直径的圆与2C 的一条渐近线交于,A B 两点，且1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则2C 的离心率为 A ．9 B ．5 C ．5 D ．312．已知函数)(x f 的导函数为()f x '，且()()f x f x '>对任意的x ∈R 恒成立，则下列不等式均成立的是A ．(1)(0)f ef <，2(2)(0)f e f <B ．(1)(0)f ef >，2(2)(0)f e f < C ．(1)(0)f ef <，2(2)(0)f e f > D ．(1)(0)f ef >，2(2)(0)f e f >二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．若双曲线2221(0)3x y a a -=>的一个焦点恰好与抛物线28y x =的焦点重合，则双曲线的渐近线方程为 ． 14．代数式⋅⋅⋅+++11111中省略号“…”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式t =,则11t t+=，则210t t --=，取正值得t =，用类似方法可得=⋅⋅⋅+++666 ．15．用总长为24m 的钢条制作一个长方体容器的框架,若所制作容器底面为正方形,则这个容器体积的最大值为 ．16．在()()642x x y ++的展开式中，记m nx y 项的系数为(),f m n ，则()()3,45,3f f +＝ ．(用数字作答)三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，1112,2(1,2,3...)n na a n a +==-=． （Ⅰ）求234,,a a a 的值，猜想出数列的通项公式n a ； （Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．18.（本小题满分12分）已知函数()(,)bf x ax a b x=+∈R 的图象过点))1(,1(f P ，且在点P 处的切线方程为38y x =-．（Ⅰ）求b a ,的值； （Ⅱ）求函数)(x f 的极值．19.（本小题满分12分）如图四边形ABCD 为边长为2的菱形，G 为AC 与BD 交点，平面BED ⊥平面A B C D，2,BE AE == （Ⅰ）证明：BE ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）若120ABC ∠=，求直线EG 与平面EDC 所成角的正弦值．20.（本小题满分12分）某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取50条作为样本进行统计，按海鱼重量（克）得到如下的频率分布直方图：第19题图DAGCE（Ⅰ）若经销商购进这批海鱼100千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表：若经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X ，求X 的分布列和数学期望． 21.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3()1,3--M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线02:=--y x l 与椭圆C 交于,A B 两点，点P 为椭圆C 上一动点，当△PAB 的面积最大时，求点P 的坐标及△PAB 的最大面积． 22.（本小题满分12分）已知函数21()ln(1)2f x a x x x =++-，其中a 为实数． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：212()0f x x ->．2016-2017学年广州市荔湾区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数（+i）2所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A4：复数的代数表示法及其几何意义．【专题】38 ：对应思想；4R：转化法；5N ：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数（+i）2=+i=+i对应的点（，）位于第二象限．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，lgx＞0 B．∃x∈R，sinx=1 C．∀x∈R，x2＞0 D．∀x∈R，2x＞0【考点】2I：特称命题；2H：全称命题．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5L ：简易逻辑．【分析】根据对数函数，正弦函数及指数函数的性质，分别判断，A，B，D为真命题，由当x=0时，x2=0，故C为假命题．【解答】解：对于A：当x＞1时，lgx＞0，故∃x∈R，lgx＞0为真命题；对于B：当x=2kπ+，k∈Z时，sinx=1，则∃x∈R，sinx=1，为真命题；对于C：当x=0时，x2=0，故∀x∈R，x2＞0，为假命题，对于D，由指数函数的性质可知：∀x∈R，2x＞0，故为真命题，故选：C．【点评】本题考查逻辑语言与指数数、二次函数、对数函数、正弦函数的性质，属容易题．3．（5分）（2008•海南）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（）A．e2B．e C．D．ln2【考点】65：导数的乘法与除法法则．【分析】利用乘积的运算法则求出函数的导数，求出f'（x0）=2解方程即可．【解答】解：∵f（x）=xlnx∴∵f′（x0）=2∴lnx0+1=2∴x0=e，故选B．【点评】本题考查两个函数积的导数及简单应用．导数及应用是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．4．已知A是B的充分不必要条件，C是B是必要不充分条件，￢A是D的充分不必要条件，则C是￢D的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的递推关系进行递推即可．【解答】解：∵￢A是D的充分不必要条件，∴￢D是A的充分不必要条件，则￢D⇒A∵C是B是必要不充分条件，∴B是C是充分不必要条件，B⇒C∵A是B的充分不必要条件，∴A⇒B，则￢D⇒A⇒B⇒C，反之不成立，即C是￢D的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义进行递推是解决本题的关键．5．已知Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．若X～N（5，1），则P（6＜X＜7）等于（）A．0.3413 B．0.4772 C．0.1359 D．0.8185【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】38 ：对应思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．【分析】计算P（4＜X＜6），P（3＜X＜7），于是P（6＜X＜7）=（P（3＜X＜7）﹣P（4＜X＜6））．【解答】解：P（4＜X＜6）=0.6826，P（3＜X＜7）=0.9544，∴P（6＜X＜7）=（0.9544﹣0.6826）=0.1359．故选C．【点评】本题考查了正态分布的对称性特点，属于基础题．6．如图，空间四边形OABC中，=，=，=，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（）A．﹣++B．﹣+C．+﹣D．+﹣【考点】M3：空间向量的加减法．【专题】5H ：空间向量及应用．【分析】由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．【解答】解：=，=+﹣+，=++﹣，=﹣++，∵=，=，=，∴=﹣++，故选：A．【点评】本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题．7．直线x=，x=，y=0及曲线y=cosx所围成图形的面积是（）A．2 B．3 C．πD．2π【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；52 ：导数的概念及应用．【分析】直接利用定积分公式求解即可．【解答】解：直线x=，x=，y=0及曲线y=cosx所围成图形的面积S=（﹣cosx）dx=﹣sinx|=2，故选：A．【点评】本题考查定积分的应用，考查计算能力．8．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛，4人中既有男生又有女生的不同选法共有（）A．80种B．100种C．120种D．126种【考点】D8：排列、组合的实际应用．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；5O ：排列组合．【分析】根据题意，先计算从9人中选出4人的选法数目，再排除其中“只有男生没有女生的选法”和“只有女生没有男生的选法”，即可得答案．【解答】解：根据题意，从5名男生和4名女生共9人中选出4人去参加辩论比赛，有C94=126种选法，其中只有男生没有女生的选法有C54=5种，只有女生没有男生的选法有C44=1种，则4人中既有男生又有女生的不同选法共有126﹣5﹣1=120种；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的实际应用，可以使用间接法分析，避免分类讨论．9．抛物线y2=2px的焦点为F，M为抛物线上一点，若△OFM的外接圆与抛物线的准线相切（O 为坐标原点），且外接圆的面积为9π，则p=（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】K8：抛物线的简单性质．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．【解答】解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．∵圆面积为9π，∴圆的半径为3，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=3，∴p=4．故选B．【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．10．以下命题正确的个数为（）（1）存在无数个α，β∈R，使得等式sin（α﹣β）=sinαcosβ+cosαsinβ成立；（2）在△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的充要条件；（3）命题“在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B”的逆否命题是真命题；（4）命题“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】38 ：对应思想；48 ：分析法；5L ：简易逻辑．【分析】（1），利用正弦的和差公式验证即可．（2），A＞30°得不出sinA＞，比如A=160°，若sinA＞，根据正弦函数在（0，π）上的图象可得：30°＜A＜150°，能得到A＞30°；（3），命题“在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B”是真命题，其逆否命题是真命题；（4），利用原命题与其否命题的关系判定．【解答】解：对于（1），sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣sinβcosα=sinαcosβ+cosαsinβ．可得sinβcosα=0，所以只要β=kπ，α任意，或者α=2kπ+，β任意．故正确．对于（2），A＞30°得不出sinA＞，比如A=160°，若sinA＞，∵sin30°=sin150°=，∴根据正弦函数在（0，π）上的图象可得：30°＜A＜150°，∴能得到A＞30°；得A＞30°是sinA＞的必要不充分条件，故错；对于（3），命题“在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B”是真命题，其逆否命题是真命题，故正确对于（4），命题“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”，正确．故选：C【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到了三角、命题的否命题等基础知识，属于中档题．11．如图，已知椭圆C1：+y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C2的离心率为（）A．9 B．5 C．D．3【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5E ：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】由已知，|OA|=a=，设OA所在渐近线的方程为y=kx（k＞0），则A（，），AB的一个三分点坐标为（，），由该点在椭圆C1上，求出=2，从而c==3a，由此能求出离心率．【解答】解：由已知，|OA|=a=，设OA所在渐近线的方程为y=kx（k＞0），∴A点坐标可表示为A（x0，kx0）（x0＞0）∴=，即A（，），∴AB的一个三分点坐标为（，），该点在椭圆C1上，∴，即=1，得k=2，即=2，∴c==3a，∴离心率e=．故选：D．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，考查椭圆性质、双曲线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．12．已知函数F的导函数为f′（x），且f′（x）＞f（x）对任意的x∈R恒成立，则下列不等式均成立的是（）A．f（1）＜ef（0），f（2）＜e2f（0）B．f（1）＞ef（0），f（2）＜e2f（0）C．f（1）＜ef（0），f（2）＞e2f（0）D．f（1）＞ef（0），f（2）＞e2f（0）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【专题】33 ：函数思想；4R：转化法；52 ：导数的概念及应用．【分析】令g（x）=，求出函数g（x）的导数，判断函数的单调性，从而求出答案．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=＞0，故g（x）在R递增，故g（1）＞g（0），g（2）＞g（0），即f（1）＞ef（0），f（2）＞e2f（0），故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、导数的应用，构造函数g（x）=是解题的关键，本题是一道中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．若双曲线﹣=1（a＞0）的一个焦点恰好与抛物线y2=8x的焦点重合，则双曲线的渐近线方程为y=±x ．【考点】KC：双曲线的简单性质．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，由抛物线的标准方程求出其焦点坐标，即可得双曲线的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得a2+3=4，解可得a=1，即可得双曲线的标准方程，由双曲线的渐近线方程即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），其双曲线﹣=1（a＞0）的一个焦点也为（2，0），则有a2+3=4，解可得a=1，故双曲线的方程为：x2﹣=1，则双曲线的渐近线方程为：y=±x；故答案为：y=±x．【点评】本题考查双曲线、抛物线的标准方程，注意分析双曲线的焦点坐标．14．代数式中省略号“…”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则1+=t，则t2﹣t﹣1=0，取正值得t=，用类似方法可得= 3 ．【考点】F3：类比推理．【专题】15 ：综合题；35 ：转化思想；4G ：演绎法；5M ：推理和证明．【分析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可．【解答】解：由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．令=m（m＞0），则两边平方得，6+═m2，即6+m=m2，解得，m=3（﹣2舍去）．故答案为：3．【点评】本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道基础题．15．用总长为24m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器底面为正方形，则这个容器体积的最大值为8m3．【考点】7F：基本不等式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；5T ：不等式．【分析】根据题意，设长方体容器的底面边长为xm，高为ym，由题意可得8x+4y=24，即2x+y=6，用x、y表示长方体的体积可得V=x2y=x2×（6﹣2x）=x×x×（6﹣2x），由基本不等式分析可得答案．【解答】解：根据题意，设长方体容器的底面边长为xm，高为ym，则有8x+4y=24，即2x+y=6，其体积V=x2y=x2×（6﹣2x）=x×x×（6﹣2x）≤[]3=8m3，当且仅当x=2时，等号成立；即这个容器体积的最大值8m3；故答案为：8m3．【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是用x、y表示容器的体积．16．在（2+x）6（x+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f（3，4）+f（5，3）= 400 ．（用数字作答）【考点】DB：二项式系数的性质．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5P ：二项式定理．【分析】（2+x）6（x+y）4的展开式的通项为C6r26﹣r C4k x4+r﹣k y k，分别代入计算即可得到．【解答】解：（2+x）6（x+y）4的展开式的通项为C6r26﹣r x r C4k x4﹣k y k=C6r26﹣r C4k x4+r﹣k y k，∵x m y n项的系数为f（m，n），当k=4时，4+r﹣4=3，即r=3．∴f（3，4）=C6326﹣3C44=160，当k=3时，4+r﹣3=5，即r=4．∴f（5，3）=C6426﹣4C43=240，∴f（3，4）+f（5，3）=160+240=400，故答案为：400【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（10分）（2017春•荔湾区期末）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2﹣（n=1，2，3，…）．（Ⅰ）求a2，a3，a4的值，猜想出数列的通项公式a n；（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．【考点】RG：数学归纳法；F1：归纳推理．【专题】38 ：对应思想；4F ：归纳法；55 ：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（I）根据递推公式计算并猜想通项公式；（II）先验证n=1时猜想成立，再假设n=k猜想成立，推导n=k+1的情况，得出结论．【解答】解：（I）a2=2﹣=；a3=2﹣=；a4=2﹣=；猜想：a n=．（II）当n=1时，猜想显然成立；假设n=k（k≥1）时猜想成立，即a k=，则a k+1=2﹣=2﹣==，∴当n=k+1时，猜想成立．∴a n=对任意正整数恒成立．【点评】本题考查了数学归纳法证明，属于基础题．18．（12分）（2017春•荔湾区期末）已知函数f（x）=ax+（a，b∈R）的图象过点P（1，f（1）），且在点P处的切线方程为y=3x﹣8．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】34 ：方程思想；4R：转化法；52 ：导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ），依题意列式计算得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，=得函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）递减，在（﹣2，0），（0，2）递增，f（x）极小值=f（﹣2），f（x）极大值=f（2）【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ax+（a，b∈R）的图象过点P（1，f（1）），且在点P处的切线方程为y=3x ﹣8．∴，解得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，=当x∈（﹣∞，﹣2），（2，+∞）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣2，0），（0，2）时，f′（x）＞0．即函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）递减，在（﹣2，0），（0，2）递增，∴f（x）极小值=f（﹣2）=4；f（x）极大值=f（2）=﹣4．【点评】本题考查了导数的几何意义，函数的单调性与极值，属于中档题，19．（12分）（2017春•荔湾区期末）如图四边形ABCD为边长为2的菱形，G为AC与BD交点，平面BED⊥平面ABCD，BE=2，AE=2．（Ⅰ）证明：BE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若∠ABC=120°，求直线EG与平面EDC所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角；LW：直线与平面垂直的判定．【专题】35 ：转化思想；49 ：综合法；5H ：空间向量及应用．【分析】（Ⅰ）由AC⊥DB，平面BED⊥平面ABCD，得AC⊥平面BED，即AC⊥BE．又 AE2=AB2+BE2，得BE⊥AB，即可得BE⊥平面ABCD．（Ⅱ）由（Ⅰ）得BE⊥平面ABCD，故以B为原点，建立空间直角坐标系，则E（0，0，2），D（1，，0），G（，，0），C（2，0，0），利用向量法求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥DB又因为平面BED⊥平面ABCD，平面BED∩平面ABCD=DB，AC⊂平面ABCD．∴AC⊥平面BED，即AC⊥BE．又BE=2，AE=2，AB=2，∴AE2=AB2+BE2，∴BE⊥AB，且AB∩BD=B，∴BE⊥平面ABCD．（Ⅱ）取AD中点H，连接BH．∵四边形ABCD为边长为2的菱形，∠ABC=120°，∴BH⊥AD，且BH=．由（Ⅰ）得BE⊥平面ABCD，故以B为原点，建立空间直角坐标系（如图）则E（0，0，2），D（1，，0），G（，，0），C（2，0，0）设面EDC的法向量为，，由，可取cos==﹣直线EG与平面EDC所成角的正弦值为．【点评】本题考查了线面垂直的判定，向量法求线面角，属于中档题．20．（12分）（2017春•荔湾区期末）某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取50条作为样本进行统计，按海鱼重量（克）得到如图的频率分布直方图：（Ⅰ）若经销商购进这批海鱼100千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表：若经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X，求x的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；B8：频率分布直方图；CG：离散型随机变量及其分布列．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图先求出每条海鱼平均重量，由此能估计这批海鱼有多少条．（Ⅱ）从这批海鱼中随机抽取3条，[155，165）的频率为0.04×10=0.4，则X～B（3，0.4），由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得每条海鱼平均重量为：=150×0.016×10+160×0.040×10+170×0.032×10+180×0.012×10=164（g），∵经销商购进这批海鱼100千克，∴估计这批海鱼有：（100×1000）÷164≈610（条）．（Ⅱ）从这批海鱼中随机抽取3条，[155，165）的频率为0.04×10=0.4，则X～B（3，0.4），P（X=0）==0.216，P（X=1）==0.432，P（X=2）==0.288，P（X=3）==0.064，∴X的分布列为：∴E（X）=3×0.4=1.2．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．21．（12分）（2017春•荔湾区期末）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点M（﹣3，﹣1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：x﹣y﹣2=0与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆C上一动点，当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB的最大面积．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5E ：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率为，且经过点M（﹣3，﹣1），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）将直线x﹣y﹣2=0代入中，得，x2﹣3x=0．求出点A（0，﹣2），B（3，1），从而|AB|=3，在椭圆C上求一点P，使△PAB的面积最大，则点P到直线l 的距离最大．设过点P且与直线l平行的直线方程为y=x+b．将y=x+b代入，得4x2+6bx+3（b2﹣4）=0，由根的判别式求出点P（﹣3，1）时，△PAB的面积最大，由此能求出△PAB的最大面积．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点M（﹣3，﹣1），∴，解得a2=12，b2=4，∴椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）将直线x﹣y﹣2=0代入中，消去y得，x2﹣3x=0．解得x=0或x=3．…（5分）∴点A（0，﹣2），B（3，1），∴|AB|==3．…（6分）在椭圆C上求一点P，使△PAB的面积最大，则点P到直线l的距离最大．设过点P且与直线l平行的直线方程为y=x+b．…（7分）将y=x+b代入，整理得4x2+6bx+3（b2﹣4）=0．…（8分）令△=（6b）2﹣4×4×3（b2﹣4）=0，解得b=±4．…（9分）将b=±4代入方程4x2+6bx+3（b2﹣4）=0，解得x=±3．由题意知当点P的坐标为（﹣3，1）时，△PAB的面积最大．…（10分）且点P（﹣3，1）到直线l的距离为d==3．…（11分）△PAB的最大面积为S==9．…（12分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形最大面积的求法，考查椭圆、直线方程、两点间距离公式、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．22．（12分）（2017春•荔湾区期末）已知函数f（x）=aln（x+1）+x2﹣x，其中a为实数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：2f（x2）﹣x1＞0．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35 ：转化思想；49 ：综合法；53 ：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导数，分类讨论，利用导数的正负研究函数f（x）的单调性；（Ⅱ）所证问题转化为（1+x2）ln（x2+1）﹣x2＞0，令g（x）=（1+x）ln（x+1）﹣x，x∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），=．①当a﹣1≥0时，即a≥1时，f'（x）≥0，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1时，由f'（x）=0得，，故f（x）在（﹣1，﹣）上单调递增，在（﹣，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；③当a＜0时，由f'（x）=0得x1=，x2=﹣（舍）f（x）在（﹣1，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则0＜a＜1，，，∴x1+x2=0，x1x2=a﹣1且x2∈（0，1），要证2f（x2）﹣x1＞0⇔f（x2）+x2＞0⇔aln（x2+1）+﹣x2＞0⇔（1+x2）ln（x2+1）﹣x2＞0，令g（x）=（1+x）ln（x+1）﹣x，x∈（0，1），∵g′（x）=ln（x+1）+＞0，∴g（x）在（0，1）递增，∴g（x）＞g（0）=0，∴命题得证．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的构造与运用，转化思想．属于中档题。