勾股定理课后作业

《勾股定理》同步作业及参考答案§18.1 勾股定理（一）1.在Rt △ABC ，∠C=90°：⑴已知a=b=5,求c ； ⑵已知a=1,c=2, 求b ；⑶已知c=17,b=8, 求a ； ⑷已知a ：b=1：2,c=5, 求a ； ⑸已知b=15，∠A=30°，求a ，c .2. 已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm ：⑴求等边△ABC 的高；⑵求S △ABC .3．填空题:⑴在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= ； ⑵在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= ；⑶在Rt △ABC ，∠C=90°，c=10，a ：b=3：4，则a= ，b= ； ⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ； ⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 ； 4．已知：如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB=34，AC=4，AD 是BC 边上的高，求BC 的长.5．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积.中考链接1.（2005 扬州）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．2.（2006，娄底）如图，滑杆在机械槽内运动，ACB ∠为直角，已知滑杆AB 长2.5米，顶端A 在AC 上运动，量得滑杆下端B 距C 点的距离为1.5米，当端点B 向右移动0.5米时，求滑杆顶端A 下滑多少米？ DBAAEC§18.1 勾股定理（二）1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米.A2.已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长. ArrayB3.（2009年，北京市）如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、n ,且n为BC边的中点，则A′N= ; 若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（2整数），则A′N=（用含有n的式子表示）.4．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是多少？5.如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为.BC6．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ= 厘米.Q7．有一个边长为1米的正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为米. 8．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是米.中考链接棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答．（）Ａ．一定不会Ｂ．可能会Ｃ．一定会Ｄ．以上答案都不对§18.1 勾股定理（三）1. 已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°，CD=3，求线段AB 的长.2. 已知：如图，△ABC 中，AC=4，∠A =45°，∠B =60°，根据题设可知什么？3. 已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2，求四边形ABCD 的面积.4．(2010年，北京市燕山)已知等边△ABC 的边长为a ，则它的面积是（ ）.A ．21a 2 B ．23a 2 C ．42a 2 D ．43a 25．如图，将长方形ABCD 沿直线AE 折叠，点D 落在BC 边上的点D ′.若AB=8,AD=10,求CE 的长.6．已知：如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AC=22， 求（1）AB 的长；（2）S △ABC .C中考链接1.(2006，河北课改)如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从→→所走的路程为m．（结果保留根号）A B C2.（2010年，北京市门头沟区）如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA＝OB＝1，则第n个等腰直角三角形的面积S n＝________（n为正整数）.§18.1 勾股定理（四）1． △ABC 中，∠C=90°，AB=4，BC=32，CD ⊥AB 于D ，则AC= ，CD= ，BD= ，AD= ,S △ABC = .2．已知：如图，△ABC 中，AB=26，BC=25，AC=17，求S △ABC .3．如图所示在平面直角坐标系中，第一象限的角平分线OM 与反比例函数的图象相交于点M ，已知OM①求点M 的坐标；②求此反比例函数的解析式.4．如图，甲、乙两船从港口A 同时出发，甲船以16海里/时速度向南偏东50°航行，乙船向北偏东40°航行，3小时后，甲船到达B 岛，乙船到达C 岛.若C 、B 两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？5．如图，A 城气象台测得台风中心在A 城正西方向320km 的B 处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF 方向移动，距离台风中心200km 的范围内是受台风影响的区域. （1）A 城是否会受到这次台风的影响？为什么？（2）若A 城受到这次台风影响，那么A 城遭受这次台风影响有多长时间？C中考链接（2010年，北京市大兴区）如图，ABC 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为(33)，、(64)46，、（，），则B C 边上的高为 ．1．在Rt △ABC 中，若AC BC AB ＝4，则下列结论中正确的是（ ）．A ．∠C ＝90°B ．∠B ＝90°C ．△ABC 是锐角三角形D ．△ABC 是钝角三角形2．将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形( )． A. 仍是直角三角形 B. 不可能是直角三角形 C. 是锐角三角形 D. 是钝角三角形3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）A ．a=8，b=15，c=17B ．a=9，b=12，c=15C ．a=5，b=3，c=2D ．a ：b ：c=2：3：44．已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？⑴ a=3，b=22，c=5； ⑵ a=5，b=7，c=9； ⑶ a=2，b=3，c=7； ⑷ a=5，b=62，c=1 .5．一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状.6．如图所示，在△ABD 中，∠A 是直角，AB ＝3，AD ＝4，BC ＝12，DC ＝13，△DBC 是直角三角形吗？为什么？中考链接(2006，荆门大纲)园丁住宅小区有一块草坪如图所示，已知3AB =米，4BC =米，12CD =米，13DA =米，且AB BC ⊥，求这块草坪的面积.1．在△ABC 中，若a 2=b 2－c 2，则△ABC 是 三角形， 是直角； 2．△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，下列命题中的假命题是（ ）A ．如果∠C －∠B=∠A ，则△ABC 是直角三角形；B ．如果c 2= b 2—a 2，则△ABC 是直角三角形，且∠C=90°； C ．如果（c ＋a ）（c －a ）=b 2，则△ABC 是直角三角形；D ．如果∠A ：∠B ：∠C=5：2：3，则△ABC 是直角三角形. 3. 根据三角形的三边a ，b ，c 的长，判断三角形是不是直角三角形： （1）a ＝11，b ＝60，c ＝61 （2）a ＝32，b ＝1，c ＝45 4．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A 、B 、C 三点能否构成直角三角形？为什么？CD5．如图，四边形ABCD 中,AD=4,CD=3,AB=13,BC=12, ∠ADC=90°,求四边形ABCD 的面积.6.在△ABC 中，AB=13,BC=10,BC 边上的中线AD=12,求AC 的长.C中考链接（2005年，呼和浩特课改）如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF GH ，，，四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）.Ａ．CD EF GH ，， Ｂ．A BE F G H ，， Ｃ．AB CD GH ，， Ｄ．A BC D E F ，，1．若三角形的三边是 ⑴1、3、2； ⑵51,41,31； ⑶32，42，52 ⑷9，40，41；⑸（m ＋n ）2－1，2（m ＋n ），（m ＋n ）2＋1；则构成的是直角三角形的有（ ）.A ．2个B ．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个2．已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？⑴a=9，b=41，c=40； ⑵a=15，b=16，c=6；⑶a=2，b=32，c=4； ⑷a=5k ，b=12k ，c=13k （k ＞0）. 3．已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，且a+b=4，ab=1，c=14，试判定△ABC 的形状.4．若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，求△ABC 的面积.5．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A 、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？N中考链接某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？参考答案及解析§18.1 勾股定理（一）1.（1）25； （2）3； （3）15； （4）5； （5）a=53， c=103.2. （1）33； （2）S △ABC =93.3．⑴17； ⑵7； ⑶a=6，b=8； ⑷6，8,10； ⑸4或34.4．8.5．48.中考链接1. 4．2.由勾股定理求得AC =2米，DC =2米，CE=1.5米，所以滑杆顶端A 下滑的长AE=0.5米.§18.1 勾股定理（二）1．2502米.2. 334.3.2，n （2n ≥，且n 为整数）.4．18米.5. 503米.6．20厘米.7．22米.8．23米，6米.中考链接Ａ．§18.1 勾股定理（三）1. 4.2. 根据题设可求得BC=634，AB=63222+.提示：作CD ⊥AB 于D.3. 63.提示：延长AD 、BC 交于点E ，则S 四边形ABCD =S △ABE - S △CDE .4． D .5．3.6．（1）AB=4； （2）S △ABC =2+23.中考链接 1.52 .2. 22-n .§18.1 勾股定理（四）1．AC=2，CD=3，BD=3，AD=1，S △ABC =23.2． S △ABC =204.提示：作BD ⊥AC 于D.设AD=x ，由勾股定理得方程：2222)17(2526x x --=-，解得x =10. 3．①点M 的坐标为（2，2）； ②反比例函数的解析式为xy 4=. 4．12海里/时.5．（1）A 城会受到这次台风的影响.作AM ⊥BF 于M ，则AM=160km<200km .（2）以A 为圆心、以200km 为半径画圆，分别交BF 于C 、D 两点，求得MC=MD=120km ，即CD=240 km , A 城遭受这次台风影响的时间为240÷40=6小时.中考链接S △ABC =5，BC=22,则B C 边上的高为225.§18.2 勾股定理的逆定理（一）1．A ．2．A.3．D ．4．⑴是直角三角形,∠B 是直角； ⑵不是直角三角形；⑶是直角三角形,∠C 是直角； ⑷是直角三角形,∠A 是直角.5．设短边长x 米，则另外两边分别长7+x 、8+x 米，x +7+x +8+x =30，x =5，三边长分别为5、12、13，这个三角形是直角三角形.6．在R t △ABD 中，由勾股定理得BD=5；在△CBD 中，由勾股定理的逆定理得∠CBD=90º，△DBC 是直角三角形吗.中考链接连结AC .在R t △ABC 中，由勾股定理得AC=5；在△ACD 中，由勾股定理的逆定理得∠ACD=90º，则S=6,S△ACD=30, S四边形ABCD=36米2.△ABC§18.2 勾股定理的逆定理（二）1．直角，∠B.2．B．3.（1）是，（2）不是.4．BC=25，AC=5，AB=5，由勾股定理的逆定理得∠ACB=90º,即A、B、C三点能构成直角三角形.5. 连结AC.在R t△ADC中，由勾股定理得AC=5；在△ACB中，由勾股定理的逆定理得∠ACB=90º，则S△ADC=6,S△ACB=30, S四边形ABCD=24米.6. AC=13.中考链接Ｂ．§18.2 勾股定理的逆定理（三）1．B．分别是⑴、⑷、⑸.2．⑴是直角三角形，∠B是直角；⑵不是直角三角形；⑶是直角三角形，∠C是直角；⑷是直角三角形，∠C是直角.3．由a+b=4，ab=1，得a2+b2=（a+b）2-2ab=14= c2，所以∠C=90º,即△ABC是直角三角形.4．由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得（a-3）2+（b-4）2+( c-5）2=0，则a=3，b=4，c=5，由勾股定理的逆定理得∠ACB=90º，则S△ABC=6.5．AC=12, BC=5, AB=13,∠ACB=90º，又∠ABC=50º，则∠CAB=40º，甲巡逻艇的航向为北偏东50°.中考链接“海天”号沿西北（或北偏西45º）方向.。

人教版初中数学八年级下册17.1.1 勾股定理同步练习夯实基础篇一、单选题：1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是（）A．a2＋b2＝c2B．b2＋c2＝a2C．a2＋c2＝b2D．c2﹣a2＝b2【答案】C【分析】利用勾股定理即可得到结果．【详解】解：在△ABC中，∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形，则根据勾股定理得：．故选：C．【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（）A．6B．9C．12D．18【答案】D【分析】根据，利用勾股定理可得，据此求解即可．【详解】解：如图示，∴在中，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长，，满足是解题的关键．3．如图，是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，大直角三角形的斜边和直角边长分别是13，12．则图中阴影部分的面积是（）A．16B．25C．144D．1【答案】B【分析】根据勾股定理可进行求解【详解】解：如图所示：根据勾股定理得出：，，阴影部分面积是，故选：B．【点睛】此题考查勾股定理，解决此题的关键是清楚阴影部分的两个正方形的面积和等于的平方．4．直角三角形两边长为3，4，则第三边长为（）A．5B．C．5或D．不能确定【答案】C【分析】分两种情况，3，4为直角边时和4为斜边时，利用勾股定理求解即可．【详解】解：当3，4为直角边时，第三边的长为，当4为斜边时，第三边的长为，则第三边的长为或，故选：C【点睛】此题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方，注意分类讨论．5．如图，在中，，，垂足为D ．若，，则的长为（ ）A ．2.4B ．2.5C ．4.8D ．5【答案】A【分析】先由勾股定理求出的长，再运用等面积法求得的长即可．【详解】解：∵在中，，，，∴，∴，即．故选A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、等面积法等知识点，掌握运用等面积法求三角形的高是解题的关键．6．等腰三角形的腰长为5，底边上的中线长为4，它的面积为（ ）A ．24B ．20C ．15D ．12【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质可知上的中线，同时也是边上的高线，根据勾股定理求出的长即可求得．【详解】解：如图所示，∵等腰三角形中，，是上的中线，，同时也是上的高线，，，，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质．解题关键是得出底边上的中线是上的高线．7．在中，，，，则的长为（ ）A．3B．3或C．3或D．【答案】A【分析】在中，已知与的长，利用勾股定理求出的长即可；【详解】解：在中，，，，由勾股定理得：，∴的长为3；故选：A【点睛】本题考查了勾股定理，能灵活运用定理进行计算是解题的关键．二、填空题：8．在中，，，，则____．【答案】4【分析】直接根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵在中，，，，．故答案为：4．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方是解答此题的关键．9．一直角三角形的两直角边长满足，则该直角三角形的斜边长为________．【答案】【分析】根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性，得出的值，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵，∴，解得：，∴该直角三角形的斜边长为，故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，勾股定理，得出的值是解题的关键．10．在中，，．则的面积为______．【答案】60【分析】画出图形，过点作于，利用等腰三角形的三线合一性质得到，再利用勾股定理求得即可求解．【详解】解：如图，过点作于，则，∵，，∴，∴在中，，∴，故答案为：60．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质解答的关键．11．如图，在中，．以、为边的正方形的面积分别为、．若，，则的长为______．【答案】3【分析】根据正方形的面积求得，，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵以、为边的正方形的面积分别为、，，，∴，，在中，，由勾股定理得：，故答案为：3．【点睛】本题考查勾股定理、正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解答的关键．12．若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长的平方为_____．【答案】25或16##16或25【分析】先根据非负数的性质求出两直角边长、，已知两直角边求斜边可以根据勾股定理求解．【详解】解：，，解得：，，，，解得，，①当a，b为直角边，该直角三角形的斜边长的平方为，②4也可能为斜边，该直角三角形的斜边长的平方为16，故答案为：25或16．【点睛】本题考查了非负数的性质，根据勾股定理计算直角三角形的斜边，正确的运用勾股定理是解题的关键．13．如图，为中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于，若，，则的长为________．【答案】【分析】连接，根据已知条件，先证明，再根据全等三角形的性质，求得的长度，进而勾股定理即可求解．【详解】解：如图，连接．∵为中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于，∴，∴在和中，，∴，∴，又∵，∴．在中，，∴故答案为:．【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定（）以及全等三角形的性质，勾股定理，连接是解决本题的关键．14．如图，Rt中，，现将沿进行翻折，使点A刚好落在上，则_____．【答案】##2.5【分析】设，将沿进行翻折，使点A刚好落在上，则．则直角中根据勾股定理，即可得到一个关于的方程，即可求得．【详解】解：设，则在Rt中，．则．在Rt中：．即：．解得：【点睛】此题考查了勾股定理的运用，根据勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题是解决本题的关键．三、解答题：15．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，求AC的长．解：在Rt△ABD中，AB＝3，BD＝2，由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝32－22＝5.在Rt△ACD中，CD＝1，由勾股定理得16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，CD⊥AB，垂足为D，CD＝8.求AC的长．解∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.在Rt△BCD中，设AC＝AB＝x，则AD＝x－6.在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2，即x2＝(x－6)2＋82，解得x＝，即AC的长为.17．、、是的三边，且有．若是直角三角形，求的值．【答案】或【分析】先根据完全平方公式把原式变形为，可得，，再分两种情况讨论，即可求解．【详解】解：∵∴∴∴∴，，解得：，，当，为直角边时，；当为斜边时，；综上所述，的值为或．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，勾股定理，熟练掌握完全平方公式的应用，勾股定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键．18．已知：如图，在中，，点是中点，于点，求证：．【答案】见解析【分析】在、、中，运用三次勾股定理，然后利用等量代换即可证明结论．【详解】证明：在中，，在中，，∴，又∵是中点，∴，∴，即：．【点睛】题目主要考查勾股定理的重复运用，熟练掌握勾股定理且准确应用等量代换是解题关键．能力提升篇一、单选题：1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥BA交BC于点D，过点D作DE⊥BC 交AC于点E，则AE的长为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得的长，再求出的长，即可确定的长．【详解】解：，，，，，设，则，根据勾股定理，可得，解得或（舍去），，，，，，，设，则，根据勾股定理，得，或（舍去），，，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．2．如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D【分析】利用可证，故①正确；由全等三角形的性质可得出，，求出，即可得到②正确；根据梯形的面积公式可得③正确；根据列式，可得④正确；整理后可得，即⑤正确．【详解】解：∵，，∴，∴，在和中，，∴，故①正确；∴，，∵，∴，∵，∴，故②正确；∵，，∴梯形的面积是，故③正确；∵，∴，故④正确；整理得：，∴该图可以验证勾股定理，故⑤正确；正确的结论个数是5个，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，梯形的面积计算，三角形的面积计算，勾股定理等知识，解答时证明三角形全等是关键．3．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的结论是（ ）A．①②B．②④C．①②③D．①③【答案】C【分析】由题意知，①﹣②可得2xy＝45记为③，①+③得到，由此即可判断．【详解】解：由题意知，①﹣②可得2xy＝45记为③，①+③得到，∴，∴．∵x＞y，由②可得x-y=2由③得2xy+4＝49∴结论①②③正确，④错误．故选：C．【点睛】本题考查勾股定理中弦图的有关计算，准确找出图中的线段关系，并利用完全平方公式求出各个式子的关系是解题的关键．二、填空题：4．如图，点在边长为5的正方形内，满足，若，则图中阴影部分的面积为______．【答案】19【分析】根据勾股定理求出，分别求出和正方形的面积，即可求出答案．【详解】解：∵在中，，，，由勾股定理得：，∴正方形的面积是，∵的面积是，∴阴影部分的面积是，故答案为：19．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力和推理能力．5．如图，在中，，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC的延长线于点E．若，，则EC的长为______．【答案】【分析】连接，根据垂直平分线的性质得出，再由勾股定理确定，设，则，利用勾股定理求解即可．【详解】解：连接，如图所示：∵的垂直平分线交于点D，交的延长线于点E，∴，∵，，，∴，设，则，在中，，即，解得：，∴，故答案为：．【点睛】题目主要考查垂直平分线的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．6．如图，已知直角三角形的周长为24，且阴影部分的面积为24，则斜边的长为______．【答案】10【分析】根据阴影部分面积等于以为直径的半圆面积之和加上的面积减去以为直径的半圆面积进行求解即可．【详解】解；∵直角三角形的周长为24，∴，,∴，∵阴影部分的面积为24，∴，∴∴∴，∴，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式，熟知相关知识是解题的关键．三、解答题：7．已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、、，则有，(1)如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分、、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论；(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系；(3)若中，，，求出图4中阴影部分的面积．【答案】(1)，证明见解析(2)(3)24【分析】（1）由扇形的面积公式可知，，，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，即S1＋S2＝S3；（2）根据（1）中的求解即可得出答案；（3）利用（2）中的结论进行求解．（1）解：①，根据勾股定理可知：，；（2）解：由（1）知，同理根据根据勾股定理：，从而可得；（3）解：由（2）知．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用．。

例题3
如图所示，有两个直角三角形，已知 AB 垂直于 BC，AC 垂直于 CD， AB=3 厘米，BC=4 厘米，CD=12 厘米，求 AD 的长。
练习3
如图所示，有两个直角三角形，已知 AB 垂直于 BC，AD 垂直 于 AC，AB=5 厘米，BC=12 厘米，DC²=178 平方厘米，求 AD 的 长。
练习1
如图所示，四个相同的长方形和一个小正方形拼成一个大正方 形。已知小正方形的面积是 4平方厘米，长方形的宽是 3 厘米 ，求大正方形的面积。
小正方形边长：2cm 大正方形边长：2+3+3=8（cm）、 大正方形面积：8×8=64（cm²）
例题2
下面的“赵爽弦图”是由四个完全一样的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大 正方形。其中 AE=3cm，ED=4cm ，请问：（1）大正方形的面积是多少？（2）直角 △AED 的三条边长有什么关系？
【答案】连接两棵树的顶端
作业7
7、四个一样的长方形和一个小的正方形（如下图）拼成了一个 大正方形，已知大正方形的边长是 6 米，一个长方形的面积是 8 平方米，小正方形的边长是多少？ 【答案】2 米 【解析】小正方形的面积是： 6 ✖️6－4 ✖️ 8 = 4 （平方米），因 此边长是 2 米。
作业8 8、下图是一幅“赵爽弦图”，已知每个直角三角形的两条直角边 分别长 6 分米和 8 分米，那么大正方形的面积是多少？
例题1
如图所示，四个相同的长方形和一个小正方形拼成一个大正方 形。已知大正方形的边长是10 米，小正方形的边长是 4 米， 求每个长方形的面积。
边长为 10 米的正方形面积是:10 ×10=100（平方米） 边长为 4 米的正方形面积是: 4 × 4=16（平方米） 面积和是：100-16=84（平方米) 小长方形面积：84÷4=21（平方米）

【思路点拨】(1)由 AB＝ 26 ＝ 12＋52 ，AD＝ 17 ＝ 12＋42 ，结合网格与勾股定理可确定点 A；(2)求出 BC2，
CD2，BD2，再利用勾股定理逆定理即可判断；(3)设点 C 到 BD 的距离为 d，根据 S△BCD＝BC·CD＝BD·d 求解可得．
【解答】(1)如图，四边形 ABCD 即为所求，其面积为 5×5 －12 ×5×1－12 ×2×4－12 ×1×4－12 ×(1＋3)×1＝1312 ； (2)是，∵BC2＝22＋42＝20，CD2＝12＋22＝5，BD2＝3 BCD＝90°； (3)2.
CD2＋BD2 ＝ 242＋72 ＝25，∴PA＋PB 的最小值＝PB＋ PC＝BC＝25 千米．
解此类题的关键在于运用几何知识正确找到符合条件的 P 点的位置，会构造 Rt△BCD，勾股定理把三角形中有一个 直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数 形结合运用的一个典范． A
3．如图，在笔直的高速公路旁边有 A，B 两个村庄，A 村庄 到公路的距离 AC＝8 km，B 村庄到公路的距离 BD＝14 km， 测得 C，D 两点的距离为 20 km，现要在 CD 之间建一个服 务区 E，使得 A，B 两村庄到 E 服务区的距离相等，求 CE 的长．
解：设 CE＝x，则 DE＝20－x，由勾股定理得：在 Rt△ACE 中，AE2＝AC2＋CE2＝82＋x2，在 Rt△BDE 中，BE2＝BD2 ＋DE2＝142＋(20－x)2，由题意可知：AE＝BE，所以：82＋ x2＝142＋(20－x)2，解得：x＝13.3.所以，E 应建在距 C 点 13.3 km 的位置，即 CE＝13.3 km.
正方形网格中的两个格点之间的距离可以用勾股定理求 出．勾股定理的逆定理是证明一个角等于 90°的一种思路．