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二次型理论及其应用The quadratic form and application专业:数学与应用数学作者:指导老师:二○一三年五月摘要本文介绍了二次型的理论及其应用, 通过矩阵乘法将二次型与对称矩阵联系起来, 从而使得二次型的问题与对称矩阵的问题能够相互转化来进行研究和解决. 全文重点研究了二次型的理论在计算数学、几何学、概率论、物理学等学科中得到广泛应用. 关键词: 二次型; 矩阵; 标准形; 唯一性; 正交变换法; 配方法; 线性替换AbstractThis article describes the quadratic theory and its applications, quadratic and symmetric matrix by matrix multiplication linked, so that the quadratic problem with symmetric matrix can be transformed into each other to study and solve. Text focuses on the quadratic theory has been widely used in computational mathematics, geometry, probability theory, physics and other disciplines.Keywords: Quadratic; matrix; standard form; uniqueness; orthogonal transformation method; distribution methods; linear replacement目录摘要 (I)ABSTRACT (II)0. 引言 (1)1. 二次型及其相关定义 (1)1.1二次型及其矩阵表示 (1)1.2二次型的标准型 (5)1.3二次型的唯一性 (7)1.4正定二次型 (10)2. 二次型的应用 (15)2.1一般的n元二次式最值的判定与解法 (15)2.2二次型在几何方面的应用 (18)2.3在计算数学中的应用 (20)2.4二次型在因式分解中的应用 (21)2.5二次型在物理动力学方面的应用 (24)致谢 (25)参考文献 (26)0. 引言在数学中, 二次型的理论是起源于解析几何中二次曲面方程和化二次曲线为标准形的问题. 现在二次型理论不仅在几何方面而且在数学的其他分支即物理、力学、工程技术等方面都常常用到. 二次型应用的领域很广, 我们在以前的学习中求一元和多元函数的最值时通常会利用图象法或微分理论来解决, 但下面将利用二次型的性质来求函数的最值. 并给出了半正定矩阵的性质及其证明, 我们可以通过二次型的一些知识来解决一些几何、计算数学、因式分解等方面的问题. 关于二次型的一般理论, 可参看文献[1-3], 一些专题研究可参看文献[4-12].1. 二次型及其相关定义1.1 二次型及其矩阵表示设M 是一个数域, 一个系数在数域M 中的12,,,n x x x 的二次齐次多项式2121111212(,,,)2n f x x x a x a x x =++2112222222n n n n a x x a x a x x +++++2n n n a x +11nnij i j i j a x x ===∑∑ (1)称为数域M 上的一个n 元二次型, 简称二次型.其中ij a M ∈, 当ij a 为复数时, 称f 为复二次型. 当ij a 为实数时, 称f 为实二次型.定义 []11 设1212,,,;,,n n x x x y y y 是两组数字, 系数在数域M 中的一组关系式11111221221122221122,,n n n n n n n nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c yc y =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ (2)称为由1,,n x x 到1,,n y y 的一个线性替换, 或者简称线性替换. 如果系数行列式0ij c ≠,那么我们把线性替换 (2) 就称非退化的(或可逆的, 或满秩的). 二次型 (1) 也可以写成()212111121211,,,n nn f x x x a x a x x a x x=+++ 2212122222n n a x x a x a x x ++++21122n n n n n nn a x x a x x a x ++++ (3) 将 (3) 的系数排成一个n n ⨯ 阶矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭它就称为二次型 (3) 的系数矩阵, 简称二次型的矩阵. 矩阵A 的秩称为二次型f 的秩, 记作()r f .则n 元二次型可以表示成下列矩阵形式：()()111121212222'121212,,,,,,n n n n n n nn n x a a a a a a x f x x x x x x X AX a a a x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭其中()'12,,n X x x x = . A 是对称的（即二次型的矩阵都是对称的）.二次型与非零对称矩阵是一一对应的. 即, 给定一个非零的对称矩阵, 则确定了一个二次型以给定的对称矩阵为其系数矩阵. 反之, 给定一个二次型, 则确定了一个非零的对称矩阵作为其系数矩阵.定义 []12 数域M 上n n ⨯ 矩U, V 称为合同的, 如果有数域M 上可逆的n n ⨯ 矩阵C, 使'U CVC =.合同是矩阵之间的一个关系. 合同关系具有以下几个性质：1）反身性：'U EUE =;2）对称性：由'V CUC = 即得()'11U C VC --=;3）传递性：由'111U CUC = 和'2212U C U C = 即得()()'21212U C C U C C =.例 1.1 求解替换后的二次型与原二次型的关系.证明：假设()'12,,,n f x x x X AX = , 其中'A A =, 是一个二次型, 作非退化线性替换 X C Y = (1.1) 那么可以得到一个12,,,n y y y 的二次型()'12,,,n f y y y Y BY = , （1.2）将（1.2）代人（1.1）, 则有,()()()()'''''''12,,,n f x x x X AX CY A CY C Y ACY Y C AC Y Y BY ===== ,容易看出, 矩阵'C AC 也是对称的.事实上, ()''''''C AC C AC C AC ==, 由此可得'B C AC =这是非线性替换前后两个二次型的矩阵的关系.因此, 经过非退化的线性替换, 新的二次型的矩阵与原来的二次型的矩阵是合同的. 写出二次型的矩阵的方法正确写出二次型的矩阵是化简二次型和解决二次型问题的基础. 对于含n 个变元的二次型()12,,,n f x x x , 可以按照下述方法得到二次型的矩阵()ij n n B a ⨯=, 其中B 的主对角线上的元素依次为二次型的平方项22212,,,nx x x 的系数, 而B 的第 i 行第 j 列 元素()ij a i j < 是交叉项i j x x 的系数的一半, 然后再取()ij ji a a i j =<由此可以得到对称矩阵 B, 则这个二次型可以用矩阵形式表示为()'12,,,n f x x x X BX = , 其中()''12,,,n X x x x = .注意：二次型的矩阵都是对称矩阵. 例 1.2 写出二次型的矩阵 ()22212341231223,,,2728fx x x x x x x xx x =-++- 解：此题需要特别注意的是由()1234,,,f x x x x 可知二次型右边是一个4元二次式, 虽然二次型右边没有含有4x 的项和13x x 这一项, 但其对应矩阵必须用零将没有的项补上使其成为一个完整的4阶对称矩阵：1100124004700000A ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 1.2 二次型的标准型二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型2221122n nd x d x d x +++ . 定理 []31.1 数域M 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式.易知, 上面二次型的对角矩阵,()11222221122120000,,,0n n n n n x d d x d x d x d x x x x d x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 反之, 矩阵为对角形的二次型就只含有平方项. 按上一节的讨论, 经过非退化的线性替换, 二次型的矩阵变到一个合同的矩阵.定理 []11.2 在数域M 上, 任意一个对称矩阵都合同于一对称矩阵. 也就是说,对于任意一个对称矩阵B 都可以找到一个可逆矩阵C 使得'C BC 成对角矩阵.定义 1.2 二次型()12,,,n f x x x 经过非退化的线性替换所变成的平方和称为()12,,,n f x x x 的一个标准型.化二次型为标准型的方法 1）配方法, 解题步骤为：① 如果二次型中至少有一个平方项, 不妨设110a ≠, 则对所有含1x 的项配方（经过配方后所余各项中不再含1x ）. 如此继续配方, 直到每一项都包含在各完全平方项之中,引入新变量12,,n y y y . 由1y C x -=, 得'2221122n nxUx y y y λλλ=+++ . ②如果二次型中不含平方项, 只有混合项, 不妨设120a ≠, 则可令 112,x y y =+ 212,x y y =- 33,x y = , n n x y =.经此坐标变换, 二次型中出现22121122a y a y -后, 再按①实行配方法.2）合同变换法：先写出二次型的矩阵U, 作矩阵1n A E n n d U E d C ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥−−−−−→ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦作合同变换作列变换, 则1'00n d CUC d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,再作非退化线性替换X CY =, 则化f 为()222121122,,,n n nf x x x d y d y d y =+++ . 3）正交变换化实二次型为标准型方法. 基本步骤：① 写出二次型f 的矩阵U;② 求出U 的全部特征值1λ（1s 重）, 2λ（2s 重）, , m λ（m s 重）1mii sn ==∑;③对每个特征值i λ, 解()0i n E U X λ-=得基础解系()1,,1,2,,i i is i m ∂∂= ; ④将1,,i i is ∂∂ 正交化单位化得1,,i i is γγ ;⑤令()121112121,,,,,,,,,m s s m ms N γγγγγγ= , 则N 正交且1212'm s sm s E E N UN E λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; ⑥作正交变量替换X NY =, 化f 为()122212111,,,n s m n fx x x y y yλλλ=++++ . 1.3 二次型的唯一性在一个二次型的标准形中, 系数不为零的平方项的个数是唯一确定的, 与所作的非退化的线性替换无关, 二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩.在一般的数域内, 二次型的标准形并不是唯一的, 而与所作的非退化的线性替换有关.下面我们只就复数域和实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题.先来看看复数域的情形.设()12,,,n f x x x 是一个复数域的二次型. 由定理 1 , 经过一适当的非退化线性替换后, ()12,,,n f x x x 变成标准形. 不妨假定它的标准形是2221122r r c y c y c y +++ , 0i c ≠, 1,2,,i r = . （4）易知r 就是()12,,,n f x x x 的矩阵的秩. 因为复数总可以开平方, 我们再作一非退化线性替换1111,,,,r r r r n n y z y y z y z ++⎧=⎪⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎪=⎩ （5） （4）就变成22212rz z z +++ . （6）（6）称为复二次型()12,,,n f x x x 的规范形. 显然, 规范形完全被原二次型矩阵的秩所决定, 由此有定理 []11.3 任意一个复系数的二次型, 经过一个适当的非退化的线性替换就可以变成规范形, 并且规范形是唯一的.也就是说, 任一复数的对称矩阵合同于一个形式为1100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的对角矩阵. 从而有, 两个复数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等.再来看实数域的情形.设()12,,,n f x x x 是一实系数的二次型. 经过某一个非退化线性替换, 再适当排列文字的次序, 可使()12,,,n f x x x 变成标准形22221111p p p p r r c y c y c y c y ++++--- , （7）其中0,1,,i c i r >= ；r 是()12,,,n f x x x 的矩阵的秩. 因为在实数域中, 正实数总可以开平方, 所以再作一非退化线性替换1111,,,,r r r r n n y z y y z y z ++⎧=⎪⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎪=⎩ （7）就变成222211p p r z z z z +++--- （8）（8）称为实二次型()12,,,n f x x x 的规范形. 显然, 规范形完全被,r p 这两个数所决定.定理 []11.4 任意一个实数域上的二次型, 经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形, 且规范形是唯一的.定义 []11.3 在实二次型()12,,,n f x x x 的规范形中, 我们将正平方项的个数p 称为()12,,,n f x x x 的正惯性指数; 负平方项的个数r p -称为()12,,,n f x x x 的负惯性指数; 它们的差()2p r p p r --=-称为()12,,,n f x x x 的符号差.惯性定理可以这样叙述为： 实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一确定的, 它等于正惯性指数, 而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数.定理 1.5 （1）任一复对称矩阵B 都合同于一个下述形式的对角矩阵;11100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.其中对角线上1的个数r 等于B 的秩.(2) 任一实对称矩阵B 都合同于一个下述形式的对角矩阵;111100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 其中对角线上1的个数p 及1-的个数r p -（r 是B 的秩）都是唯一确定的, 分别称为B 的正、负惯性指数. 它们的差2p r -称为B 的符号差.1.4 正定二次型定义 []11.4 如果对于任意一组不全为零的实数12,,,n c c c 都有()12,,,0n g c c c > ,那么实二次型()12,,,n g x x x 就称为正定的.定理 []11.6 n 元 实二次型()12,,,n g x x x 是正定的充要条件是它的正惯性指数等于n .证明：设二次型()12,,,n g x x x 经过非退化线性替换变成标准形2221122n nd y d y d y +++ . （9） 上面的讨论表明, ()12,,,n g x x x 正定当且仅当（9）是正定的, 而我们知道, 二次型（9）是正定的当且仅当0,1,2,,i d i n >= , 即正惯性指数为n .也就是说, 正定二次型()12,,,n g x x x 的规范形为22212n y y y +++ . （10）定义 1.5 如果二次型正定, 那么它所对应的实对称矩阵A 称为正定的.因为二次型（10）的矩阵是单位矩阵E, 所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同, 由此得：推论 正定矩阵的行列式大于零.证明 设B 是一正定矩阵.因为A 与单位矩阵合同, 所以有可逆矩阵C 使 ''B C EC C C == 两边取行列式, 就有2'0B C C C ==>. 定义 1.6 子式111212122212(1,2,,)i i i i i iia aa a a ap i n a a a ==称为矩阵()ij nn B a =的顺序主子式.定理 1.7 实二次型)(),,,(''21B B BX X x x x f n ==是正定二次型的充分必要条件是矩阵B 的主子式全大于零.证明: 必要性 实二次型)(),,,(''21B B BX X x x x f n == 是正定二次型,以k B 表示B 的左上角k 阶矩阵,下面证明),,2,1(,0n k B k =>,考虑以k B 为矩阵的二次型j k i kj i ij k x x a x x x g ∑∑===1121),,,( ,由于)0,,0,,,,(),,,(2121 k k x x x f x x x g =所以当k x x x ,,,21 不全为零时,由定义 4 可知0>g ,从而g 为正定二次型,则有0>k B .充分性 对二次型的元素n 作数学归纳法当1=n 时,21111)(x a x f =,因为011>a ,所以f 正定,假设1>n ,且对1-n 元实二次型结论成立.因为01111>=a a ,用111a a i -乘以B 的第1列到第i 列,再用111a ai -乘以第B 的第1行到第i 行),,3,2(n i =,经此合同变换后,B 可变为以下的一个矩阵C B a =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000111. 因为矩阵B 与C 合同,所以C 是一个n 阶对称矩阵.从而1B 也是对称矩阵.上述的变换不改变B 的主子式的值,因此C 的主子式也全大于零,而C 的)2(n k k ≤≤阶主子式等于1B 的1-k 阶主子式乘以,11a 并且011>a 于是1B 的主子式全大于零,由归纳假设,1B 与1-n I 合同,所以B 与单位矩阵合同,此即f 是正定二次型.定理 []71.8 实二次型'1211(,,,)nnn ij i j i j f x x x a x x X BX ====∑∑是正定的充分必要条件为矩阵B 的顺序主子式全大于零.证明: 必要性 实二次型)(),,,(''21B B BX X x x x f n == 是正定二次型,则由定理 1.7 可知B 的主子式全大于零,所以B 的顺序主子式也全大于零.充分性 对二次型的元数n 作数学归纳法：当1=n 时,21111)(x a x f =,由条件知011>a ,所以)(1x f 是正定的. 假设充分性的判断对于1-n 元的二次型已经成立,现在来证n 元的情形.令 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----1,11,11,111n n n n a a a a B ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n n n a a ,11 α，则有矩阵B 可以分块写成:⎪⎪⎭⎫⎝⎛'=nn a B B αα1,则1B 的顺序主子式也全大于零,由归纳法假定,1B 是正定矩阵,则存在可逆的1-n 阶矩阵G ,使得1'-=n E BG G 令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001G C 于是 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-nn n nn a GG E G a B G BC C ''1'1'1'1100100αααα. 再令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-10'12a G E C n ,则有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-αα''121'1'200GG a E C BC C C nn n ,令21C C C =,d GG a nn =-αα''就有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=d BC C11'. 两边取行列式,d B C =2,则由条件0>B ,因此0>d .从而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d d d 111111111， 所以矩阵B 与单位矩阵合同,因此B 是正定矩阵即f 是正定二次型.定义 1.7 设()12,,,n f x x x 是一实二次型, 对于任意一组不全为零的实数12,,,n c c c , 如果都有()12,,,0n f c c c < , 那么()12,,,n f x x x 称为负定的; 对于任意一组实数, 如果都有()12,,,0n f c c c ≥ , 那么()12,,,n f x x x 称为半正定的; 如果都有()12,,,0n f c c c ≤ , 那么()12,,,n f x x x 称为半负定的; 如果它既不是半正定又不是半负定, 那么()12,,,n f x x x 就称为不定的.定理 1.9 对于实二次型'1(,,)n f x x X AX = , 其中A 是实对称的, 下列条件等价： （1）()1,,n f x x 是半正定的, （2）它的正惯性指数与秩相等, （3）有可逆实矩阵C, 使12'n d d C A C d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 其中0,1,2,,i d i n ≥= , （4）有实矩阵C 使'A C C =, （5）A 的所有主子式皆大于或等于零.注意, 在（5）中, 仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定的. 比如()1212212200(,),01x f x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 就是一个反例.例 1.3 二次型22212312132344224f x x x x x x x x x λ=+++-+,问当λ为何值时，f 是正定二次型.解: 利用定理 1.8 来判别,二次型f 的矩阵为1142124A λλ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则A 的顺序主子式为110∆=>； 22144λλλ∆==-；23114214484(1)(2)124λλλλλλ-∆=-=--+=--+-.又有，二次型f 正定的充要条件是：2222310,40,4480.λλ∆=>⎧⎪∆=->⎨⎪∆=--+>⎩由此可得12<<-λ,所以，当12<<-λ时, f 正定.2. 二次型的应用2.1 一般的n 元二次式最值的判定与解法一般的n 元二次多项式的基本形式为c x b x x a ni i i ni nj j i ij ++∑∑∑===1112， (2.1)而上面的式存在最值的充要条件为∑∑∑===+ni i i n i nj j iij x b x x a1112. (2.2)存在最值(上式中ji ij a a =),因此只需要对(2.2)进行讨论.定理 2.1 实n 元多项式(2.2),不妨设它的矩阵为A ,秩为r ,则对(2.2)式作非退化线性替换,PY X =,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-='-000000sr sE E AP P , 则有㈠ 当A 半正定时:① 若n r <,一次项所含新变数均在平方项中出现,则(2.2)式有最小值; ② 若n r =,则(2.2)式存在最小值;③ 若n r >,一次项所含新变数至少一个不在平方项中出现,则(2.2)式不存在最值.㈡ 当A 半负定时:① 若n r <,一次项所含新变数均在平方项中出现, 则(2.2)式有最大值; ② 若n r =,则(2.2)式存在最大值;③ 若n r >,一次项所含新变数至少一个不在平方项中出现,则(2.2)式不存在最值.㈢ A 不定,则(2.2)式不存在最值.定义2.1 设n 元函数12()(,,)n f X f x x x = 在12(,,,)T n n X x x x R =∈ 的某个邻域内有一阶、二阶连续偏导.记12()()()(),,,n f X f X f X f X x x x ⎛⎫∂∂∂∇= ⎪∂∂∂⎝⎭ , ()f X ∇称为函数()f X 在点12(,,,)T n X x x x = 处的梯度; 满足0()0f X ∇=的点0X 称为函数()f X 的驻点.定义 2.2 222211212222212()()()()()()()()n i j n nn n nf X f X f X x x x x x f X H X x x f X f X f X x x x x x ⨯⎛⎫∂∂∂ ⎪∂∂∂∂∂ ⎪⎛⎫∂ ⎪==⎪ ⎪∂∂ ⎪⎝⎭∂∂∂ ⎪⎪∂∂∂∂∂⎝⎭称为函数12()(,,)n f X f x x x = 在点n X R ∈处的黑塞矩阵.显然()H X 是由()f X 的2n 个二阶偏导构成的n 阶实对称矩阵.定理 2.3 (极值存在的必要条件) 设函数()f X 在点000012(,,,)Tn X x x x = 处存在一阶偏导，且0X 为函数的极值点，则有0()0f X ∇=.定理 2.4 (极值的充分条件) 设函数()f X 在点0n X R ∈的某个邻域内有一阶、二阶连续偏导，且000012()()()(),,,0n f X f X f X f X x x x ⎛⎫∂∂∂∇== ⎪∂∂∂⎝⎭ 则有:(1) 当0()H X 为正定矩阵时，0()f X 是()f X 的极小值; (2) 当0()H X 为负定矩阵时，0()f X 是()f X 的极大值; (3) 当0()H X 为不定矩阵时，0()f X 不是()f X 的极值.注意：用二次型的正定性来判断多元函数的极值问题虽然是一个很好的办法,但也具有一定的局限性,因为充分条件对矩阵的正定和负定的要求是很严格的,如果条件不满足,那么结论就不一定成立.例 2.1 求解三元函数222(,,)23246f x y z x y z x y z =++++-的极值. 解:由定义 2.1 可求出函数驻点, 则有：220440660x y z f x f y f z ⎧=+=⎪=+=⎨⎪=-=⎩得1,1,1x y z =-=-=所以驻点为0(1,1,1)P --.再由定义2.2 求(Hessian)黑塞矩阵; 则有2,0,0,4,0,6xx xy xz yy yz zz f f f f f f ======,所以200040006H ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，易知矩阵H 是正定的，所以(,,)f x y z 在0(1,1,1)P --点取得极小值：(1,1,1)6f --=-.例 2.2 讨论3222222223234321434241312124232221+--++++++++++x x x x x x x x x x x x x x x x x x 是否有最值.解: 设上式的矩阵为A ,则对A 作合同变换得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=100021001211022311P ,使⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡='02121AP P , 由此可知34r n =<=,而对角线上其余的非零数全是正的, 故知A 半正定矩阵,要判断存在极值还应看线性替换后的情形才能定.作非退化线性替换PY X =,原多项式的二次齐次项部分变为,22232221yy y ++,一次项部分为()321443432432122222242232y y y y y y y y y y y y y -+=---⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--.所含字母1y ,2y ,3y 均在平方中出现,属于定理 2.1中的情况,因此存在最小值.对变换后多项式配方,得()()21222121322222232221321232221--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-++++y y y y y y y y y .故当11=y ,212-=y ,23=y 时,上式有最小值21-.将1y ,2y ,3y 代入PY X =中,当41227y x +-=,4221y x -=,432y x -= ,44y x =(4y 为任意常数)时,所以原式有最小值21-.2.2 二次型在几何方面的应用1）利用二次型的知识来判断一些二次曲面的类型, 确定曲面的形状和化简方程. 例 2.2 利用不变量判断下面二次曲面的类型, 并将方程化为最简形式和确定曲面形状.22212312132312322342246230x x x x x x x x x x x x +++++-+-+=解：该二次曲面所对应的矩阵为112212221311312313T A P a αα-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥--⎣⎦则有123det 0det 12510I A I P I ==⎧⎪==-⎨⎪=⎩ 再有221221(2)(5)113E A λλλλλλλ----=---=-----由此可得化简后的方程为2222123123520,520z z z z ++=++=即, 因此该方程表示的图形是一个椭圆抛物面.2）运用二次型的正交变换来求一些曲线或曲面的积分.在计算某些积分区域或曲面围成的特殊积分时, 我们可以利用二次型的正交变换使之更加简便.例 2.3 求123dx dx dx ⎰⎰⎰，其中{}12232)()(3221232221321321≤--++==Ωx x x x x x x x x x f x x x .解： 由于正交变换能够保持几何形状不变,所以椭球()12232,,3221232221321≤--++=x x x x x x x x x x f与椭球()()132322232221≤-+++=y y y f体积相同.记{}222123123123()()2(2(21D y y y f y y y y y y ==++≤则有123123433D dx dx dx dy dy dy Ω===⎰⎰⎰⎰⎰⎰.2.3 在计算数学中的应用利用二次型的知识可以解决计算数学中的一样问题其中线性最小二乘法就是一个很好的说明.一般地，线性方程组11112211211222221122000i i i i n n ni i n a x a x a x c a x a x a x c a x a x a x c +++-=⎧⎪+++-=⎪⎨⎪⎪+++-=⎩ 可能无解. 也就是说任何一组12,,,i x x x 都可能使11221()ni i ii i i i y a x a x a x b ==+++-∑ 不等于0，因此我们设法找到00012,,,i x x x ，使得y 最小，我们把00012,,,i x x x 称为方程组的最小二乘解.这种问题就叫最小二乘法问题.假设A 为上述方程组的系数矩阵，12(,,,)T n B c c c = . 则有，使得y 值最小的X 一定是方程组A A XA B''=的解，又有其系数矩阵A A '是一个正定矩阵，那么它的惯性指数等于n ，因此该线性方程组总是有解的，这个解就是最小二乘解.例 2.4 已知某材料在其生产过程中所产生的废品率y 和某种化学成分x 有关,下列表格记载了某个工厂生产中y 与相应的x 的几次数值关系.找出y 对x 的一个近似公式.解:用表中数值作出简图来观察,发现了它的变化趋势近似于一条直线,因此我们可以选取x 的一次式0kx h +=来表达,当然最好能选到适当的k 和h 使得下面的等式3.6 1.003.70.903.80.903.90.8104.00.6004.10.5604.20.350k h k h k h k h k h k h k h +-=+-=+-=+-=+-=+-=+-=都成立（实际上是不可能的）.任何k 和h 代入上面各式都有误差,于是可以找到k 和h 使得上面各式的误差的平方和最小,即找k 和h 使2222222(3.6 1.0)(3.70.9)(3.80.9)(3.90.81)(4.00.60)(4.10.56)(4.20.35)k h k h k h k h k h k h k h +-++-++-++-++-++-++-最小,也就是这里讨论的是误差的平方即二乘方,称为最小二乘法,用最小二乘法解.易知1.003.610.93.710.93.81,0.813.910.604.010.564.110.354.21A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦最小二乘解a,b 所满足的方程就是0T T k A A A B h ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦即为 106.7527.319.675027.37.0 5.120k h k h +-=⎧⎨+-=⎩解得 1.054.81k h =-⎧⎨=⎩.(取三位有效数字)2.4 二次型在因式分解中的应用定理 2.5 一个实二次型可以分解成两个实系数一次齐次多项式乘积的充分必要条件是:它的秩等于2并且符号差为0,或者秩等于1.证明: 必要性设()()()1211221122,,,n n n n n f x x x b x b x b x c x c x c x =++++++1) 如果两个一次多项式的系数成比例,即()1,2,,i i c kb i n == .不妨设10b ≠,则有1112222,,.n n n n y b x b x b x y x y x =+++⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ 那么()2121,,,ky x x x f n = ,即二次型()n x x x f ,,,21 的秩等于1.2)如果两个一次多项式的系数不成比例,不妨设1212b bc c ≠,设 111222112233,,,.n n n n n n y b x b x b x y c x c x c x y x y x =+++⎧⎪=+++⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 则()2121,,,y y x x x f n = .再假设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=+=.,,,33212211n n z y z y z z y z z y 则()22212121,,,z z y y x x x f n -== ,因此二次型()n x x x f ,,,21 的秩等于2,符号差为0.充分性1) 如果()n x x x f ,,,21 的秩为1,那么经过非退化线性替换使得()2121,,,ky x x x f n = ,其中11122n n y b x b x b x =+++ .则()()2121122,,,n n f x x x k b x b x b x =+++ .2) 如果()n x x x f ,,,21 的秩为2,符号差为零,那么可经过非退化线性替换使得()()()2121222121,,,y y y y y y x x x f n -+=-= ,其中1y ,2y 均为n x x x ,,,21 的一次齐次多项式,即11122n n y b x b x b x =+++ ,21122n n y c x c x c x =+++ ,因此()n x x x f ,,,21 可表示成为两个一次齐次多项式的乘积.例 2.5 多因式()21212221216223,x x x x x x x x f -+--=在R 上能否进行因式分解,若能,请将其分解, 若不能, 请说明理由.解: 设二次型()32312122213216223,,x x x x x x x x x x x g -+--=,则有二次型()321,,x x x g 的矩阵为111133130C -⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 我们对C 进行合同变换, 可以求得可逆矩阵即,31121012001B ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,且140T B CB ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 易知,A 的秩为2且符号差等于0,由定理 2.5 可知,()321,,x x x g 是可以进行因式分解. 我们对其进行非退化线性替换, 则有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32132110021102311y y y x x x ,化为()()()21212221321224,,y y y y y y x x x g -+=-=.由1Y B X-=,得.,21,333223211x y x x y x x x y =+=+-=则有 ()()()2132132132,,x x x x x x x x g -++=.故()()()()21212121321,,,x x x x x x g x x f -++==.2.5 二次型在物理动力学方面的应用动力学问题中有很多问题是由两个实二次型来描述的, 并且其中至少有一个二次型正定. 这两个二次型就是动力学系统的动能和势能. 因此这两个二次型的同时化简问题就很有必要研究.定理 2.6 设'X UX 和'X BX 是12,,,n x x x 的二次型, U 正定.则存在一个坐标变换X CY =, 把这两个二次型同时分别化简为22212n y y y +++ 与2221122n ny y y μμμ+++ 其中, 12n μμμ ，，，是B U μ-的零点. C 的第i 列满足2(1,2,,)i i AC UC i n μ== 的非零向量.例 2.6 设一个动力系统的动能和势能分别由二次型'2211221842T X KX x x x x ==++ 与 '22112252V X AX x x x x ==++ 给出, 将两个二次型同时化简为定理 2.6 中格式.解： 18222K ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 5111A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ , K 正定 则有 51812(12)(416)1212A K μμμμμμμ---==----,A K μ-的零点是 1211==24μμ，.求方程AZ KZ μ=平凡解当1i =时, 121215(182)2Z Z Z Z +=+, 其一个通解为120,Z Z a ==当2i =时, 得一个通解为12,Z b Z b ==-, 所以存在一组常数,a b （其中,a b 必满足'C KC I =）由此得出 14a b ==. 使得坐标变换X CY =.则有 0b C a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦把T 与V 化为2222121211,24T y y V y y =+=+致谢本文是在老师的指导和帮助下完成的, 在此对老师表示衷心的感谢!参考文献[1] 王萼芳,石生明编. 高等代数(第三版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.[2] 蒋尔雄等编. 线性代数[M]. 北京: 人民教育出版社, 1978.[3] 张禾瑞. 都郁新编. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社.[4] 陈凯等著. 线性代数及其应用[M]. 北京: 水利电出版社, 1985.[5] 杨家骐等编. 高等代数在初等数学中的应用. 济南: 山东教育出版社, 1986.[6] 孙学波. 基于正定二次型的一个不等式及其证明. 辽宁: 鞍山科技大学学报, 2004.[7] 徐仲等编. 高等代数考研教案[M]. 西安: 西北工业大学出版社, 2009.[8] 吴纯. 关于二次型理论的若干应用[M]. 考试周刊2007年第36期.[9] 陈公宁. 矩阵理论与应用[M]. 北京: 高等教育出版社, 1990.[10] 李宏伟. 等, 线性代数学习辅导与习题解剖[M]. 科学出版社, 2009.[11] 钱吉林. 高等代数题解精粹[M]. 中央民族大学出版社, 2007.[12] 钱志祥, 林文生. 浅谈正定二次型的实际应用[J]. 科学创新导报, 2009, 9(5): 15—18.。