高三数学 22正、余弦定理与解斜三角形

正余弦定理和解斜三角形【基础梳理引导】1.正弦定理：A a sin =B b sin =Cc sin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径. 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA,b 2=a 2+c 2-2accosB,cosA=bca cb 2222-+. 3.S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB,S △=))()((c S b S a S S --- =Sr(S=2c b a ++,r 为内切圆半径)=R abc 4(R 为外接圆半径). 4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A +…… 在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA ·tanB ·tanC;(2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列. 一、【题型研究】填空题1．在ABC Δ中，已知613πB ,b ,a ===，则=c ___________2或1 2．已知等腰三角形的底边上的高与底边长之比为34:，则它的顶角的正切值是______5548 3．在ABC Δ中，()()211=++B cot A cot ，则=C sin log 2_______________21-4．在ABC Δ中，313===S ,b ,πA ，则++++C sin B sin A sin c b a 5．在ABC Δ中，若1222=-+C sin B sin A sin C sin B sin ，则=A ________________3π 6．在ABC Δ中，已知42πA ,a ==，若此三角形有两解，则b 的取值范围是_________()222, 7．在ABC Δ中，ac b ,B C A ==+22，则三角形的形状为________________等边三角形8．在ABC Δ中，若22A cos C sinB sin =，试判断三角形的形状___________等腰三角形 由22A C B cos sin sin =，得()C B A C B +-=+=cos cos sin sin 112，化简得()1=-C B cos ，ππ<-<-C B ，C B =∴，即ABC ∆是等腰三角形。

解斜三角形一、基本知识 1. 正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 是△ABC 外接圆半径） 2.余弦定理A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+=bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=abc b a C 2cos 222-+=3. C ab S ABC sin 21=∆ r c b a S ABC)(21++=∆（r 是△ABC 内接圆半径） 4. 重要结论（1） C B A sin )sin(=+C B A cos )cos(-=+ C B A tan )tan(-=+（2） 2cos 2sinCB A =+ 2sin 2cos C B A =+（3） =++C B A tan tan tan C B A tan tan tan ••5. 考题分类题型一: 求解斜三角形中的基本元素 题型二：判断三角形的形状 题型三：解决与面积有关问题 题型四：三角形中求值问题题型五：实际应用二、例题解析【例1】已知△ABC 中，,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-外接圆半径为2，求角C 。

分析： 由,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-得Rbb a Rc R a 2)()44(222222-=- 由于，2=R ，代入并整理，得ab c b a =-+222所以，2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C 所以，3π=C 。

【例2】设ABC ∆的内角..A B C 所对的边分别为..a b c ，已知11. 2.cos .4a b C === （Ⅰ）求ABC ∆的周长 （Ⅱ）求()cos A C -的值本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力解析：（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=c∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a .（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===c C a A ∵b a <，∴B A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. 【例3】在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若AB，求BC 边的长 解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯． 又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin 17A =．sin sin AB BC C A=，sin sin A BC AB C∴=⨯= 例4 根据下列条件判断三角形ABC 的形状：(1)若22tan tan a B =b A ；(2)b 2sin 2C + c 2sin 2B =2bc cos B cosC ;解（1）由已知及正弦定理得(2RsinA)2B cos B sin = (2RsinB)2⇒Acos A sin 2sinAcosA=2sinBcosB ⇒sin2A=sin2B ⇒2cos(A + B)sin(A – B)=0 ∴ A + B=90o或 A – B=0所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 解（1）由正弦定理得sin 2Bsin 2C=sinBsinCcosBcosC∵ sin B sin C ≠0, ∴ sin B sin C =cos B cos C , 即 cos(B + C )=0, ∴ B + C =90o, A =90o, 故△ABC 是直角三角形.【例5】如图，海中小岛A 周围20海里内有暗礁，一船向南航行，在B 处BC测得小岛A 在船的南偏东30º；航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东60º。

高三数学 正余弦定理、解斜三角形 知识精讲 通用版【本讲主要内容】一. 本周教学内容：正余弦定理、解斜三角形【知识掌握】【知识点精析】1. 三角形面积计算公式：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，三个内角分别为A 、B 、C ，高分别为h a ，h b ，h c ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r 。

（1）S △=12ah a =12bh b =12ch c（2）S △=12absinC=12acsinB=12cbsinA（3）S △=Pr （其中P 为周长之半，r 为内切圆半径）（4）S ABC =∆ 2. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即A a sin =B b sin =Ccsin （＝2R ）。

（其中R 为外接圆半径）利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题。

（1）已知两角和任一边，求其两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。

（从而进一步求出其的边和角）3. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2=b 2+c 2－2bccosA ；① b 2=c 2+a 2－2cacosB ；② c 2=a 2+b 2－2abcosC 。

③在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c 2=a 2+b 2。

由此可知余弦定理是勾股定理的推广。

由①②③可得：cosA=bc a c b 2222-+；cosB=cab ac 2222-+；cosC=abc b a 2222-+。

利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角。

4. 强调几点：（１）利用余弦定理判定△ABC 的形状：⇔+=222b a c △ABC 为直角△⇔A+B=2π2c ＜⇔+22b a △ABC 为钝角△⇔A+B ＜2π 2c ＞⇔+22b a △ABC 为锐角△⇔A+B ＞2π（2）三角形的四个“心”：重心：三角形三条中线交点。

正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式．教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.知识点清单一. 正弦定理：1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即a b c2R( 其中R 是三角形外接圆的半径）sin A sinB sinC2. 变形：1)a b c a b csin sin sinC sin sin sinC 2）化边为角：a:b:c sin A:sin B:sinC；a sin A;b sin B a sin Ab sinBc sinC c sin C3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2RsinC4）化角为边：sin A a;sin B b ; sin A asin B b sinC c sinC c5）化角为边：sin A a sinB b,sinC c2R2R2R3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=18o0 ，求角A,由正弦定理 a sinA; b sinB; b sin B c sin C a sin A; 求出 b 与cc sinC ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。

例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理 a sin A求出角B,由A+B+C=18o0 求出角C，再使用正 b sin B 弦定理 a sin A求出c边c sinC4. △ABC中，已知锐角A，边b，则① a bsin A 时，B 无解；② a bsin A 或 a b 时， B 有一个解；③ bsinA a b 时， B 有两个解。

如：①已知 A 60 ,a 2,b 2 3,求 B （有一个解 ）②已知 A 60 ,b 2,a 2 3,求 B （有两个解 ） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。

正余弦定理考点梳理：1.直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中， C ＝ 90°， AB ＝c ， AC ＝ b ， BC ＝ a 。

（ 1）三边之间的关系： a 2＋ b 2＝ c 2。

（勾股定理） A （ 2）锐角之间的关系： A ＋ B ＝ 90°； c（ 3）边角之间的关系： （锐角三角函数定义）bsin A ＝cos B ＝ a ，cos A ＝ sin B ＝ b ， tan A ＝ a。

CBcc b2.2．斜三角形中各元素间的关系：a如图 6-29 ，在△ ABC 中， A 、 B 、 C 为其内角， a 、 b 、c 分别表示 A 、 B 、C 的对边。

（ 1）三角形内角和： A ＋B ＋ C ＝ _____（ 2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

ab c2R 。

（ R 为外接圆半径）sin A sin Bsin C3.正弦定理：a＝ b ＝ c ＝2R 的常见变形：sin A sin B sin C(1)sinA ∶ sinB ∶ sinC ＝ a ∶ b ∶ c ；(2)a＝ b c＝ a ＋ b ＋ csin＝sin A ＋ sin ＝ 2R ；A sinBC sinB ＋ sin C(3) a ＝2R sin_ A ， b ＝ 2R sin_ B ， c ＝ 2R sin_ C ；A ＝ aB ＝ bC ＝ c(4)sin2R ，sin 2R ， sin 2R .1114. 三角形面积公式： S ＝ 2ab sin C ＝ 2bc sin A ＝ 2ca sin B .5.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

cos A b2c 2 a 2a 22c 22bccos A2bcba2c 2b 2余弦定理的公式：b 2 a 2 c 22accosB 或cos B .c2b2a22ba cosC2accosCb2a2c22ab6. （ 1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角. （ 2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角 .2、已知两边和他们的夹角， 求第三边和其他两角 .7. 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式 .8. 解题中利用ABC 中A B C，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如： sin( A B) sin C, cos( A B) cosC, tan(A B)tan C,sin A BcosC,cosAB sinC, tanAB cotC. 2222229.解斜三角形的主要依据是：设△ ABC的三边为 a、 b、c，对应的三个角为A、 B、C。

正余弦定理考点梳理：1.直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理） A（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； c （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） b sin A ＝cos B ＝，cos A ＝sin B ＝，tan A ＝。

C B c a c b ba2.2．斜三角形中各元素间的关系： a如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝_____（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

（R 为外接圆半径）R CcB b A a 2sin sin sin ===3.正弦定理：＝＝＝2R 的常见变形：asin A b sin B csin C (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)＝＝＝＝2R ；a sin Ab sin B csin C a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(4)sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝.a 2Rb 2R c2R 4.三角形面积公式：S ＝ab sin C ＝bc sin A ＝ca sin B .1212125.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

余弦定理的公式： 或.2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩6.（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.7.判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.8.解题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换ABC ∆A B C π++=的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-.sincos ,cos sin ,tan cot222222A B C A B C AB C+++===9. 解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。

《正弦定理、余弦定理、解斜三角形学习精解》一、复习要求 ：1． 掌握正弦、余弦定理，能运用知识解斜三角形。

2． 用正弦、余弦定理判断三角形的形状。

二、知识点回顾（1） 正弦定理：,22sin sin sin ∆====S abc R C c B b A a （2R 为三角形外接圆直径）， （∆S 为三角形面积），其他形式： a ：b ：c = sinA ：sinB ：sinC a=2RsinA, b=2RsinB , c=2RsinC(2) 余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA,(可按a,b,c,a 轮换得另二式) 余弦定理变式：bca cb A 2cos 222-+= , (轮换得另二式)余弦定理向量式：如图 a=b+ c , c= a – bc 2=|c|2=|a-b |2=(a-b)2=a 2+b 2 - 2﹒a ﹒b=a 2+b 2 - 2abcosC(其中｜a|=a,|b|=b,|c|=c)三、典型例题分析：例1：在三角形ABC 中，若C=3B ，求bc 的范围 分析：角边比转化，可用正弦定理 解：1cos 4cos 22cos sin )2sin(sin 3sin sin sin 2-=+=+===B B B BB B B B BC b c A+B+C=1800 ，C=3B ， ∴４Ｂ<１８００，００<Ｂ<４５０， 1cos 22<<B ∴ １<４cos 2B-1<3 故 31<<b c 练习1：在∆ABC 中，若sinA=2cosBsinC,则∆ABC 的形状是例2：在∆ABC 中，已知4sinBsinC=1, B>C ,且b 2+c 2 =a 2+bc, 求A ，B ，C 。

解：2122cosA 222==-+=bc bc bc a c b ， ∴ A=600 又 4sinBsinC=1 ∴4sinBsin(1200-B)=11sin 22sin 31)sin 21cos 23(sin 42=+⇒=+⇒B B B B B B con B 22sin 3=⇒ ∴332tan =B ∴2B=300 或2100 B>C , ∴2B=2100 即 B=1050 ∴A=600 B=1050 C=150练习2：在∆ABC 中，2B=A+C 且tanAtanC=2+3 求（1）A 、B 、C 的大小C A B a c b（2） 若AB 边上的高CD=43，求三边a 、b 、c例３：如图，已知Ｐ为∆ABC 内一点，且满足∠ＰＡＢ＝∠ＰＢＣ＝∠ＰＣＡ＝θ求证cot θ=cotA+cotB+cotC解：在∆ABC 中，APB c PB ∠=sin sin θ [][]θθππ+--=∠-∠-=B c ABO BAP c sin sin ＝Bc sin 同理C a C PB sin )sin(=-θ ∴CC C a C C a B c sin )sin cos cos (sin sin )sin(sin sin θθθθ-=-= ∴sinAsinBsinCcos θ=sinAsinBcosCsin θ+sin 2C sin θ ∴C B A BA B A B A C B A C C cot cot cot sin sin sin cos sin sin cot sin sin sin cot cot ++=++=+=θ 四：作业１．在∆ABC 中，a+b=366+ 030=∠A 060=∠B 求边c 的长２．在∆ABC 中，Ｓ是它的面积，a,b 是它的两条边的长度，Ｓ＝)(4122b a + 求这个三角形的各内角．３．已知圆Ｏ的半径为Ｒ，它的内角三角形ＡＢＣ中，２Ｒ（sin 2A-sin 2C ）=B b a sin )2(- 成立，求三角形ＡＢＣ的面积Ｓ的最大值． θ A B C P θθ。

正弦、余弦定理 解斜三角形【知识网络】1、三角形基本公式（1）内角和定理：A+B+C=180°sin()sin A B C +=，cos()cos A B C +=−，tan()tan A B C +=−； sincos 22A B C +=，cossin 22A B C +=，tan cot 22A B C+=； sin sin A B A B >⇒>.（2）面积公式：S=21ab sinC=21bc sinA=21ca sinB=4abc R= pr =))()((c p b p a p p −−−， 其中p =2cb a ++，r 为内切圆半径. （3）射影定理：a = b cos C +c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A . 2、三角形中的边角关系 （1）三角形中的边之间的关系：①a b c +>，a b c −<；②勾股定理222a b c +=.（2）三角形中的边角关系：大边对大角，大角对大边. 3、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C=== 4、余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA ，222cos 2b c a A bc+−=5、利用正弦定理，可以解决以下两类问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：b sin A <a <b 时有两解；a =b sin A 或a =b 时有解；a <b sin A 时无解. 6、利用余弦定理，可以解决以下三类问题： （1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角； （3）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.【典型例题】【例1】已知：△ABC 中，三边长分别是3，4，求：△ABC 中的最大角.【例2】如图，在△ABC 中，2AC =，1BC =，43cos =C . （1）求AB 的值；（2）求()C A +2sin 的值.【例3】若m ，m +1，m +2是钝角三角形的三条边，求实数m 的取值范围.【例4】在△ABC 中，（1）已知a =3，b =2，B =45°，求A 、C 及边c ；（2）2a =，b =，4A π=，求B ；（3）2a =，4A π=，2sin 3B =，求c .【例5】在△ABC 中，sin A +cos A =22，AC =2，AB =3，求tan A 的值和△ABC 的面积.【例6】求证：（1）求证：平行四边形各边平方和等于对角线平方和. （2）已知：AD 是△ABC 中BAC ∠的平分线.求证：BD ABCD AC=.【同步练习】一、选择题1、在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞21”的（ ） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2、△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果2b =a +c ，∠B =6π，△ABC 的面积为23，那么b 等于（ ）A.231+ B.1+3C.232+ D.2+3 3、下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是（ ）A.sin A +cos A =51B.·＞0C.tan A +tan B +tan C ＞0D.b =3，c =33，B =30°4、△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2b ac =，且2c a =，则cos B =（ ）A.14 B. 34C.4 D. 3二、填空题5、在△ABC 中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边.若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ，则=c __________.6、在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______.参 考 答 案【例1】解：223437121cos 234242θ+−==−=−×× ()0,πθ∈∵ 2π3θ∴=【例2】解析：（1）由余弦定理， 2222..cos AB AC BC AC BC C =+−341221 2.4=+−×××=∴AB =（2）由3cos 4C =，且0,C π<<得sin 4C == 由正弦定理:,sin sin AB BC C A =解得sin sin 8BC C A AB ==.所以，cos 8A =.由倍角公式sin 2sin 2cos A A A =⋅=，且29cos 212sin 16A A =−=，故 ()sin 2sin 2cos cos 2sin A C A C A C +=+=. 【例3】解：()()222120012m m m m m m m ⎧++−+<⎪⎪>⎨⎪++>+⎪⎩∵ 21230m m m >⎧∴⎨−−<⎩ ()1,3m ∴∈ 【例4】（1）解：由正弦定理得：sinA=sin 2a B b ==， 因为B =45°<90°且b<a ，所以有两解A =60°或A =120°（1）当A =60°时，C =180°-(A+B )=75°，c=sin sin 75sin sin 452b C B +==当A =120°时，C =180°-(A+B )=15°，c=sin sin15sin sin 452b C B ==（2）解：由题意2> π4B ∴<2πsin sin 4B ∴=1sin 2B ∴= π6B ∴= （3）2sin 3B =∵cos 3B ∴==ππ2sin sin πsin 442223236C B B B B ⎡⎤⎛⎞⎛⎞∴=−+=+=+=±+×=⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎝⎠（舍负） 2sin sin 4cC ∴=c ∴==又0°＜A ＜180°，∴A －45°=60°，A =105°.tan ∴A =tan （45°+60°）=－2sin ∴A =sin105°=sin （45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=4.∴S △ABC =12AC ·AB sin A =12=34）.法二：sin ∵A +cos A =2，① ∴（sin A +cos A ）2=12，2sin ∴A cos A =－12. 0°∵＜A ＜180°，sin ∴A ＞0，cos A ＜0.90°∴＜A ＜180°.∵（sin A －cos A ）2=1－2sin A cos A =32，sin ∴A －cos A ②+①②得sin A .①－②得cos A =4.tan ∴A =sincos A A =4－2以下同解法一.【例6】（1）证明：设DAB α∠=△DAB 中 2222n a b ab =+−cos α ①△ABC 中 ()2222cos πm a b ab α=+−− ② ①+② 222222m n a b ∴+=+ ∴得证（2）△ABD 中sin sin BD ABαβ= ① △ACD 中()sin sin πCD ACαβ=− ② ∴①÷②得BD ABCD AC=同步练习：选择题1-4：BBCB1、B 解析：在△ABC 中，A ＞30°⇒0＜sin A ＜1sin A ＞21；sin A ＞21⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°. 2、B 解析：2b =a +c 平方得a 2+c 2=4b 2－2ac .由S=21ac sin30°=41ac =23，得ac =6.∴a 2+c 2=4b 2－12，得cos B =ac b c a 2222−+=6212422×−−b b =442−b =23，解得b =1+3. 3、C 解析：由tan A +tan B +tan C=tan A tan B tan C ＞0，A 、B 、C 都为锐角. 4、B 解析略. 填空题 5、26、1＜c ＜5 解析：若c 最大，由cos C ＞0，得c ＜5。

正余弦定理及解斜三角形一．正弦定理：在一个三角形中，各边和它的对边的正弦的比相等；且此比值为此三角形外接圆的直径。

即：2sin sin sin a b cR ABC===（R 为三角形ABC 外接圆半径）注：正弦定理变形：① 与外接圆关系 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C ===、、 ② 边角转换 sin sin sin a b c A B C =：：：： 二．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b c a ca B c b a ab C =+-=+-=+-、、注：余弦定理变形（夹角公式）：222222222cos cos cos 222b c a a c b a b c A B C bc ac ab+-+-+-===、、 三．解斜三角形：1．解斜三角形的四种类型：①已知两角及一边；②已知两边及夹角；③已知三边；④已知两边及一边的对角. 前三类的解唯一，第四类需讨论．．．．．．，若A 为锐角，当b sin A ＜a ＜b 时有两解，当a ≥b 时有一解；若A 为钝角，有一解. 2．解斜三角形中常用关系式：（1）三角形内角和定理 （2）正弦定理 （3）余弦定理 （4）边角转换．．．．四．例题解析：例1．在△ABC 中，如果a ＝18，b ＝24，A ＝︒45，则此三角形解的情况为( ).A. 一解B. 两解C. 无解D. 不确定例2．在△ABC 中，a ＝5，b ＝15，A ＝︒30，则c 等于( ).A. 25B. 5C. 25或5D. 以上都不对例3．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，则此三角形的最大内角是( ).A.︒150B.︒120C.︒90D.︒135例4．(1) 在△ABC 中，若B ＝︒30，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC的面积是_____.(2) △ABC 中，若AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是_____.例5．在△ABC 中，求证：a 2sin2B+b 2sin2A ＝2absinC例6．在△ABC 中，如果lga-lgc ＝lgsinB ＝-lg 2，且B 为锐角，判断此三角形的形状.例7．已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边.① 若△ABC 面积为23，c ＝2，A ＝ 60，求b ，a 的值.② 若acosA ＝bcosB ，试判断△ABC 的形状，证明你的结论.DCABE例8．如图所示，已知在梯形ABCD 中AB ∥CD ，CD ＝2, AC ＝19，∠BAD ＝ 60，求梯形的高.例9．如图所示, 在△ABC 中，若c ＝4, b ＝7，BC 边上的中线AD ＝27, 求边长a.典型题训练：1．在△ABC 中，若3a =2b sin A ,则B 为（ ）A ．3πB ．6πC ．3π或32πD ．6π或65π2．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和的（ ）A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°3．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C =3∶2∶4，那么cos C 的值为（ ）A ．－41B ．41 C ．－32 D ．32 4． △ABC 中，∠A ，∠B 的对边分别为a ,b ，且∠A=60°，4,6==b a ，那么满足条件 的△ABC （ ）A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定5．已知三角形的三边长分别为x 2+x +1,x 2－1和2x +1(x ＞1)，则最大角为（ ） A ．150°B ．120°C ．60°D ．75°6．关于x 的方程02cos cos cos 22=-⋅⋅-CB A x x 有一个根为1，则△ABC 一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形7．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ） A ．3400B ．33400米 C ．2003 D ．200米8．12．在ABC ∆中，已知三边a 、b 、c 满足()()3a b c a b c ab +++-=，则C ＝ ( )A ．15B ．30C ．45D ．609．在△ABC 中，若∠B =30°,AB =23,AC =2,则△ABC 的面积为___ ___. 10．a 、b 、c 为△ABC 的三边，其面积S △ABC =123,bc=48,b －c=2,求a正余弦定理及解斜三角形一．正弦定理：在一个三角形中，各边和它的对边的正弦的比相等；且此比值为此三角形外接圆的直径。