高中数学 3.2.1指数概念的扩充 北师大版必修1

《指数概念的扩充》我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质。

从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n 次方根的定义，从而把指数推广到分数指数。

进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂。

【知识与能力目标】1．在前面学习整数指数幂的运算的基础上引入了分数指数的概念；2．能够理解引入分数指数概念后m a （0 a ）表示实数。

【过程与方法目标】1．让学生了解分数指数幂的扩展，进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义；2．随着数的扩展，相应的运算性质也要判断能否延用和拓展。

【情感态度价值观目标】使学生通过学习分数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意义增强学习数学的积极性和自信心。

【教学重点】理解分数指数幂的概念及表示。

◆教学重难点◆◆教材分析◆教学目标【教学难点】 分数指数的引入。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分回顾初中学习的整数指数幂及其运算性质：()n a a a a n N +=⋅⋅⋅⋅∈01(0)a a =≠1(0,)n na a n N a -+=≠∈ 二、研探新知，建构概念1．数指数幂：一般地，给定正实数a ，对于任意给定的整数m ,n ，存在唯一的正实数b ，使得n m b a =，我们把b 叫做a 的m n次幂，记作m n b a =，它就是分数指数幂。

例如：233253357,7;3,3b b x x ====则则等。

提出问题（1） 观察以下式子，并总结出规律：a ＞0①1051025255()a a a a === ②884242()a a a a === ③1212343444()aa a a === ④10105252()a a a a === （2） 利用上例你能表示出下面的式子吗？3535745,7,,n m a x ，（x ＞0，a ＞0，m ，n N +∈，且n ＞1，）正数的正分数指数幂的意义：正数的正分数指数幂的意义是mn m n aa =（a ＞0，m ，n N +∈，且n ＞1） ◆课前准备◆ ◆教学过程提出问题：负分数指数幂的意义是怎样规定的？你能得到负分数指数幂的意义吗？你认为如何规定0的分数指数幂的意义？正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定：1n n a a -=（a ≠0，n N +∈），1m n m na a -==（a ＞0，m ，n N +∈，且n ＞1） 零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义。

2019-2020年高中数学 3.2.1《指数概念的扩充》精品教案北师大版必修1一、教学目标1．经历由幂指数由整数逐步扩充到实数的过程，理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义．2．掌握幂的运算性质．3．理解随着指数概念的扩充，同时指数函数的概念也由正整数指数函数逐渐扩充到实数指数函数．4．使学生感受数学推理的合理与严谨，体会充满在整个数学中的组织化，系统化的精神．二、设计思路以前的数学学习中，已经经历过“数”的扩充过程．由正整数到整数，由整数到有理数，再由有理数到实数，从而形成一个优美的体系．本章也是按照这个思路来实现指数概念的扩充，依据两个原则：①数学发展需要；②基本运算能无限制地进行．把“指数”科学地组织起来，再一次体现充满在整个数学中的组织化，系统化的精神．2.1 整数指数幂1．2.1节首先回忆初中学习的整数指数幂的概念和正整数指数幂的运算性质，进而讨论这些运算性质能否推广到整数指数幂，为学习指数概念的扩充作准备．2．运算性质的扩充是通过实例说明，不要求证明，降低难度，符合高一学生的思维水平．3．当指数运算性质推广到整数指数幂时，正整数指数幂的运算性质：不过，这3条性质都要遵守零指数幂、负整数指数幂的底数不能等于0的规定.当指数的范围扩大到有理数集Q以至实数集R后．幂的运算性质仍然是上述三条，当然这3条性质也要遵守负实数指数幂的底数不能等于0的规定．4．本教材强调了整数指数幂满足不等性质，这些性质即常用又容易理解．2.2 分数指数幂1．指数概念的扩充，依据两个原则：①数学发展需要；②基本运算能无限制地进行．2．强调指数概念的扩充是由于需要．3．整个§2，知识的发生发展都是先讲指数概念的扩充．指数概念的推广和指数函数定义域的扩充平行，随着指数概念的扩充，同时指数函数的概念也由正整数指数函数逐渐扩充．然后运算性质的扩充．4．本书绕开了根式，讲解分数指数幂的概念．分三步，首先说清楚正分数指数幂的意义，再说的意义，最后规定负分数指数幂的意义．通过实例，在幂的运算b n＝a m，解决求b的问题中，导出分数指数幂的概念．导出过程中强调了b的存在与唯一．使学生感受数学推理的合理与严谨．5．例5、6、7为学生理解分数指数幂的概念而设计．6．分数指数幂与根式只是形式不同，为了方便学生阅读参考书，教材中给出“有时我们把正分数指数幂写成根式形式”，并在习题中让学生适当地练习．7．有理指数幂运算性质，是提出问题：“整数指数幂扩充到有理数指数幂，整数指数幂的运算性质也适用于有理数指数幂吗？”后直接给出，没有证明过程．这是因为教材要面对全体学生，有兴趣的同学可以在教师指导下证明这些结论．2.3 实数指数幂1．由于学生必须学习极限的概念后，才能真正地理解实数指数幂的概念，因而本节安排《阅读理解》，帮助学生了解了解实数指数幂的意义．2．首先“用有理数逼近无理数”的思想，理解的一系列不足近似值，和一系列过剩近似值，越来越逼近的精确值．进而认识的近似值精确度越高，以其不足近似值和过剩近似值为指数的幂10α会越来越趋近于同一个数，我们把这个数记为．3．让学生利用计算器或计算机进行实际操作，感受“逼近”过程，认识实数指数幂的概念．4．把实数指数幂作为一小节，目的是让学生感受“用有理数逼近无理数”，了解由“有限”认识“无限”的数学大思想．5．当指数扩充到实数，运算性质和指数函数的概念也随之扩充到实数集上．四、教学建议2.1 整数指数幂1．可以采用多种方式复习整数指数幂的概念和正整数指数幂的运算性质．2．通过问题“负整数指数幂还保留以上运算性质吗？”组织学生演算例1，从中抽象一般结论：正整数指数幂的运算性质可以推广到整数．3．讨论例2，让学生得出指数幂的运算性质的五条可以合并为三条．4．分清哪些概念是规定的(如a0＝1，00无意义)，哪些是通过演绎推理得出的．2.2 分数指数幂1．让学生理解指数概念的扩充是由于数学发展和实际应用的需要．2．正分数指数幂是由问题“正整数指数幂的运算b n＝a中，常常是已知正实数b和正整数n，求a．反过来已知a和n怎样求b？”引入．强调存在与唯一，即“给定正实数a，对于任意给定的正整数n，存在惟一的正实数b，使得b n＝a．这样，我们把这个存在惟一的正实数b记作：b＝”．学生理解这点后，进一步讲解“给定正实数a，对于任意给定的正整数n，m，存在惟一的正实数b，使得b n＝a m，我们规定b叫做a的次幂，记作：b＝．它就是正分数指数幂”．让学生体会数学概念扩充的理性思考．3．把握难度，指数概念的扩充过程要求较高，运算性质的推广中的推理不作要求．4．对于运算结果，一般地用分数指数幂的形式表示．如有特殊要求，根据要求给出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．2.3 实数指数幂1．在学习实数指数幂的概念时，一定让学生利用计算器或计算机进行实际操作，感受“逼近”过程．2．是学生熟悉的数，这里是“用有理数逼近无理数”的思想重新认识它，让学生读出它的一系列不足近似值和过剩近似值，体会越来越逼近的精确值的过程，为认识作准备．3．让学生算的一系列不足近似值和过剩近似值，并分析比较，体会越来越逼近的精确值的过程．从而对实数指数幂有感性认识．4．指数函数概念的扩充可以由学生讨论完成．5．实数指数幂的运算性质直接给出，并告诉学生：与有理指数幂的运算性质不同在于，要证明它，我们目前的知识不够．五、课程资料参考一．怎样证明正分数指数幂的运算性质?二．指数发展简史1637年，法国数学家笛卡儿(Descartes，1596――1650年)开始用符号a n表示正整数幂，在他的《几何学》一书中，用a3代表a?a?a，用a4代表a?a?a?a．分数指数幂在十七世纪初也开始出观，最早使用分数指数记号的是荷兰工程师司蒂文(Stevin)．十七世纪末，华里斯开始使用a n表示分数指数及负数指数幂．十八世纪初，英国数学家牛顿(Newton，1642―1727年)开始使用a n表示任意实数指数幂．这样，指数概念就由正整数指数逐步推广到实数指数．2019-2020年高中数学 3.2.1一元二次不等式教材分析与导入设计北师大版必修5本节教材分析教材通过交通事故中如何分析那辆车违章，引出一元二次不等式的概念，例子贴合学生的生活实际，易于激发学生的学习兴趣.在此基础上，提出“如何解一元二次不等式”并进行了较详细的分析，其分析过程关键在于，把符号语言“”转化成相应的图形语言，即确定函数的图像在x轴下方时，其x的取值范围.在分析过程中，体现了数形结合的思想方法与运动的观点，揭示了一元二次方程、一元二次不等式与二次函数三者的关系.通过书中三个例子，初步掌握一元二次不等式的解法.三维目标1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式（a＞0）的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

§2指数扩充及其运算性质整体设计教学分析我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图像研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质．掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．2．掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．3．能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．4．通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质．展示函数图像，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美．重点难点教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解．(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质．(3)运用有理指数幂性质进行化简、求值．教学难点：(1)分数指数幂及根式概念的理解．(2)有理指数幂性质的灵活应用．课时安排2课时教学过程2．1 指数概念的扩充导入新课思路1.碳14测年法．原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14，并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织，先为植物吸收，再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失．对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代(半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半)．引出本节课题：指数概念的扩充．思路 2.同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的．这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题——指数概念的扩充．推进新课新知探究提出问题1整数指数幂的运算性质是什么？2观察以下式子，并总结出规律：a＞0，①5a10＝5a25＝a2＝a105；②a8＝a42＝a4＝a 82；③4a12＝4a34＝a3＝a124；④2a10＝2a52＝a5＝a102.3利用2的规律，你能表示下列式子吗？4 53，375，5a7，nx m x>0，m，n∈N＋，且n>1.4你能用方根的意义来解释3的式子吗？5你能推广到一般的情形吗？活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比(2)的规律表示，借鉴(2)(3)，我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他学生鼓励提示．讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：a n＝a ·a ·a ·…·a ，a 0＝1(a ≠0)；00无意义；a －n ＝1an (a ≠0)；a m ·a n ＝a m ＋n ；(a m )n ＝a mn ；(a n )m ＝a mn ；(ab )n ＝a n b n .其中n ，m ∈N ＋.(2)①a 2是a 10的5次方根；②a 4是a 8的2次方根；③a 3是a 12的4次方根；④a 5是a 10的2105a =，②a 8＝82a ，③124a ，④102a =结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了105，82，124，102，形式上变了，本质没变．根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式(分数指数幂形式)．(3)利用(2)的规律，453＝345，375＝537，5a 7＝75a ，nx m＝m n x .(4)53的四次方根是345，75的三次方根是537，a 7的五次方根是75a ，x m的n 次方根是m nx .结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的．(5)如果a ＞0，那么a m的n 次方根可表示为na m＝m n a ，即m na ＝na m(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)．综上所述，我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：规定：正数的正分数指数幂的意义是m na ＝na m(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)．提出问题①负整数指数幂的意义是怎样规定的？ ②你能得出负分数指数幂的意义吗？ ③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义？ ④综合上述，如何规定分数指数幂的意义？⑤分数指数幂的意义中，为什么规定a ＞0？去掉这个规定会产生什么样的后果？ ⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢？活动：学生回想初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明a ＞0的必要性，教师及时作出评价．讨论结果：①负整数指数幂的意义是：a －n＝1an (a ≠0，n ∈N ＋)．②既然负整数指数幂的意义是这样规定的，类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义．规定：正数的负分数指数幂的意义是11mnm nmnaaa-==(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)．③规定：零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．④教师板书分数指数幂的意义．分数指数幂的意义就是： 有时我们把正分数指数幂写成根式，即m n m na a =(a ＞0，m ，n ∈N ＋)，正数的正分数指数幂的意义是m n m naa =(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)，正数的负分数指数幂的意义是11m nm nmnaaa-==(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．⑤若没有a ＞0这个条件会怎样呢？ 如133(1)1-=-＝－1，26(1)-＝6－12＝1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果，这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的．因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于零，如无a ＞0的条件，比如式子3a 2＝23a ，同时负数开奇次方是有意义的，负数开奇次方时，应把负号移到根式的外边，然后再按规定化成分数指数幂，也就是说，负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负数只是出现在指数上．⑥规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数． 有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r ，s ，均有下面的运算性质： (1)a r·a s＝ar ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q )，(2)(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q )， (3)(a ·b )r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )．我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题，来看下面的例题．应用示例思路1例1求值：(1)238；(2)1225-；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5；(4)341681-⎛⎫ ⎪⎝⎭.活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23,25写成52，12写成2－1，1681写成(23)4，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来．解：(1)238＝233(2)＝2332⨯＝22＝4； (2)1225-＝122(5)-＝1225⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭＝5－1＝15；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝(2－1)－5＝2－1×(－5)＝32； (4)341681-⎛⎫⎪⎝⎭＝34423⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＝278.点评：本例主要考查幂值运算，要按规定来解．在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如238＝382＝364＝4.例2用分数指数幂的形式表示下列各式的b . (1)b 5＝32；(2)b 4＝35；(3)b－5n＝π3m(m ，n ∈N ＋)．活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，先化为根式，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结．解：(1)b ＝532＝1532；(2)b ＝435＝543；(3)b ＝－5nπ3m＝35m nπ-(m ，n ∈N ＋)．点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先化为根式，再把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算．对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数．例3计算下列各式：(1)13 27；(2)32 4.活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，根据方根的意义来解．解：(1)因为33＝27，所以1327＝3；(2)因为82＝43，所以324＝8.变式训练求值：(1)33·33·63；(2)6⎝⎛⎭⎪⎫27m3125n64.解：(1)33·33·63＝3·123·133·163＝11112363+++＝32＝9；(2)6⎝⎛⎭⎪⎫27m3125n64＝44333666362731255m mn n⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝443366443666(3)()(5)()mn＝9m225n4＝925m2n－4.例4计算下列各式：(1)(325－125)÷425；(2)a2a·3a2(a＞0)．活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，化为同底．利用分数指数幂计算，在第(1)小题中，只含有根式，且不是同次根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，最后写出解答．解：(1)原式＝(113225125-)÷1425＝(233255-)÷125＝21325-－31225-＝165－5＝65－5；(2)a2a·3a2＝22132aa a⋅＝1252236a a--==思路2例1比较5，311，6123的大小．活动：学生努力思考，积极交流，教师引导学生解题的思路，由于根指数不同，应化成统一的根指数，才能进行比较，又因为根指数最大的是6，所以我们应化为六次根式，然后，只看被开方数的大小就可以了．解：因为5＝653＝6125，311＝6121，而125＞123＞121，所以6125＞6123＞6121.所以5＞6123＞311.点评：把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法．例2求下列各式的值：；(2)23×31.5×612.活动：学生观察以上几个式子的特征，既有分数指数幂又有根式，应把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，如果根式中根指数不同，也应化成分数指数幂，然后分析解答，对(1)，对(2)化为同底的分数指数幂，及时对学生活动进行评价．解：＝14144323(3)⎡⎤⨯⎢⎥⎣⎦＝124433+⎛⎫⎪⎝⎭＝(14134(3)＝763＝363；(2)23×31.5×612＝2×123×1332⎛⎫⎪⎝⎭×(3×22)16＝111332-+·＝2×3＝6.例3计算下列各式的值：(1)[(322a b-)－1·132()ab-·(12b)7]13；12-；(3)(a 3b 2)－3÷b －4a －1.活动：先由学生观察以上三个式子的特征，然后交流解题的方法，把根式用分数指数幂写出，利用指数的运算性质去计算，教师引导学生，强化解题步骤，对(1)先进行积的乘方，再进行同底数幂的乘法，最后再乘方，或先都乘方，再进行同底数幂的乘法，对(2)把分数指数化为根式，然后通分化简，对(3)把根式化为分数指数，进行积的乘方，再进行同底数幂的运算．解：(1)原式＝11323362()()a b ab ---·7132()b ＝21711217113692632622a b b b b ab-+--+-=＝22033a b a =；另解：原式＝(32a b－21322a b -·72b )13＝(313722222a b +--+)13＝(a 2b 0)13＝23a ；(2)原式＝1＋1a1＋a －a ＋1a a －1＝a ＋1a 1＋a－a ＋1a a －1＝1a －a ＋1a a －1＝1a(1－a ＋1a －1)＝－2a a －1＝2aa 1－a ； (3)原式＝(2132a b )－3÷(b －4a －1)12＝32a-b －2÷(b －212a-)＝3122a-+b －2＋2＝a －1＝1a.例4已知a ＞0，对于0≤r ≤8，r ∈N ＋，式子(a )8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14a r能化为关于a 的整数指数幂的情形有几种？活动：学生审题，考虑与本节知识的联系，教师引导解题思路，把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，即先把根式转化为分数指数幂，再进行幂的乘方，化为关于a 的指数幂的情形，再讨论，及时评价学生的作法．解：(a )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14a r ＝82r a -·4r a -＝8163244r r r aa ---=. 16－3r 能被4整除才行，因此r ＝0,4,8时上式为关于a 的整数指数幂．点评：本题中确定整数的指数幂时，可由X 围的从小到大依次验证，决定取舍．利用分数指数幂进行根式运算时，结果可以化为根式形式或保留分数指数幂的形式．例5已知f (x )＝e x －e －x ，g (x )＝e x ＋e －x. (1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值；(2)设f (x )f (y )＝4，g (x )g (y )＝8，求g x ＋yg x －y的值．活动：学生观察题目的特点，说出解题的办法，整体代入或利用公式，建立方程，求解未知，如果学生有难度，教师可以提示引导，对(1)为平方差，利用公式因式分解可将代数式化简，对(2)难以发现已知和未知的关系，可写出具体算式，予以探求．解：(1)[f (x )]2－[g (x )]2＝[f (x )＋g (x )]·[f (x )－g (x )]＝(e x －e －x ＋e x ＋e －x )(e x －e －x －e x －e －x )＝2e x (－2e －x )＝－4e 0＝－4； 另解：(1)[f (x )]2－[g (x )]2＝(e x －e －x )2－(e x ＋e －x )2＝e 2x－2e x e －x ＋e－2x－e 2x －2e x e －x －e－2x＝－4ex －x＝－4e 0＝－4；(2)f (x )·f (y )＝(e x－e －x)(e y －e －y)＝e x ＋y＋e－(x ＋y )－ex －y－e－(x －y )＝g (x ＋y )－g (x －y )＝4，同理，可得g (x )g (y )＝g (x ＋y )＋g (x －y )＝8， 得方程组⎩⎪⎨⎪⎧g x ＋y －g x －y ＝4，gx ＋y ＋g x －y ＝8，解得g (x ＋y )＝6，g (x －yg x ＋y g x －y ＝62＝3.点评：将已知条件变形为关于所求量g (x ＋y )与g (x －y )的方程组，从而使问题得以解决，这种处理问题的方法在数学上称之为方程法，方程法所体现的数学思想即方程思想，是数学中重要的数学思想．知能训练1．(1)下列运算中，正确的是( )． A ．a 2·a 3＝a 6B ．(－a 2)3＝(－a 3)2C ．(a －1)0＝0 D ．(－a 2)3＝－a 6(2)下列各式①4－42n，②4－42n ＋1，③5a 4，④4a 5(各式的n ∈N ，a ∈R )中，有意义的是( )．A ．①②B ．①③C ．①②③④D ．①③④(3)(34a 6)2·(43a 6)2等于( )．A ．aB ．a 2C ．a 3D ．a 4(4)把根式－25a －b－2改写成分数指数幂的形式为( )．A ．－2(a －b )25-B ．522()a b ---C．－2(2255a b---) D．－2(5522a b---)(5)化简2115113366221()(3)()3a b a b a b-÷的结果是( )．A．6a B．－a C．－9a D．9a2．计算：(1)130.027-－⎝⎛⎭⎪⎫－17－2＋34256－3－1＋(2－1)0＝__________.(2)设5x＝4,5y＝2，则52x－y＝__________.3．已知x＋y＝12，xy＝9且x＜y，求11221122x yx y-+的值．答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)83．解：11111111 22222222111111222222()()2()()x y x y x y x x y yx yx y x y x y----+==-++-.因为x＋y＝12，xy＝9，所以(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝144－36＝108＝4×27.又因为x＜y，所以x－y＝－2×33＝－6 3.所以原式12－6－63＝－33.拓展提升1．化简132111333311111 x x x xx x x x-+-+-+++-.活动：学生观察式子特点，考虑x的指数之间的关系可以得到解题思路，应对原式进行因式分解，根据本题的特点，注意到：x－1＝(13x)3－13＝(13x－1)·(21331x x++)；x＋1＝(13x)3＋13＝(13x＋1)·(21331x x-+)；x－13x＝13x[(13x)2－1]＝13x(13x－1)(13x＋1)．构建解题思路，教师适时启发提示．解：213311x x x -++＋1311x x ++－13131x xx --＝13332133()11x x x -++＋133313()11x x ++－121333131x x x x --＝12112111133333333321113333(1)(1)(1)(1)(1)(1)11(1)x x x x x x x x x x x x x -+++-+-++-+++-＝13x －1＋2133x x -＋1－211333x x x -=-.点拨：解这类题目，要注意运用以下公式，11112222()()a b a b -+＝a －b ，1122()a b ±2＝a ±11222ab ＋b ，(13a ±13b )(21123333aa b b +＝a ±b .2．已知1122a a-+＝3，探究下列各式的值的求法．(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2；(3)33221122a a a a----.解：(1)将1122a a-+＝3，两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，即a ＋a －1＝7；(2)将a ＋a －1＝7两边平方，得a 2＋a －2＋2＝49，即a 2＋a －2＝47； (3)由于3322a a--＝(12a )3－(12a-)3，所以有331111122222211112222()()a a a a a a a a a aa a--------++=--＝a ＋a －1＋1＝8.点拨：对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．课堂小结活动：教师，本节课同学们有哪些收获？请把你的学习收获记录在你的笔记本上，同学们之间相互交流．同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点：(1)分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是m na ＝na m(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)，正数的负分数指数幂的意义是1m nm naa-=＝1na m(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．(2)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．(3)有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)，②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)，③(a·b)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．(4)说明两点：①分数指数幂的意义是一种规定，我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性，其中没有推出关系．②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用．因而分数指数幂与根式可以互化，也可以利用()m mnn n na a⨯=＝a m来计算．作业习题3—2 A组1,2,3,4.设计感想本节课是分数指数幂的意义的引出及应用，分数指数是指数概念的又一次扩充，要让学生反复理解分数指数幂的意义，教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解，用观察、归纳和类比的方法完成，由于是硬性的规定，没有合理的解释，因此多安排一些练习，强化训练，巩固知识，要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务．。

§3.2指数扩充及其运算性质 §3.2.1指数概念的扩充高一年级 至 学年度上学期 第 周 教师： 班 级： 高一 班 科目：数学必修1 教学时数： 课时 教学目标：1.经历幂指数由正整数逐步扩充到实数的过程，理解分数指数幂的概念；2.掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化”的数学思想； 3、通过与初中所学知识进行类比，理解无理数指数幂的概念。

教学重点：分数指数幂与根式的转化。

教学难点：分数指数幂与根式的转化。

教学过程： （一）新课引入：同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质,那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题——指数概念的扩充.（二）新课：一、分数指数幂： [互动过程1]前面我们已经把正整数指数幂扩充到整数指数幂,还要进一步扩充到分数指数幂．有许多问题都不是整数指数．例如3327=,若已知3a 27=,你能表示出a 吗？怎样表示？我们引入分数指数幂表示为13a 273==．1．a 的1n次幂:一般地,给定正实数a ,对于给定的正整数n ,存在唯一的正实数b ,使得nb a =,我们把b 叫做a 的1n次幂,记作1n b a =．例如：3a 29=,则13a 29=；5b 36=,则15b 36= 由于3248=,我们也可以记作2384=2．正分数指数幂:给定正实数a ,对于任意给定的正整数n m ,（n m ,互素）,存在唯一的正实数b ,使得nmb a =,我们把b 叫做a 的mn 次幂,记作mn b a =,它就是正分数指数幂。

例如：32b 7=,则23b 7=；53x 3=,则35x 3=等。

例1．把下列各式中的b 写成正分数指数幂的形式：()5455m 2n (1)b 32;(2)b 3;(3)b m,n N +===π∈解：（1）15b 32=；（2）54b 3=；（3）2n 5mb =π练习1：把下列各式中的b 写成正分数指数幂的形式：（1）5x 64=；（2）2n 3x 45(n N )+=∈ 例2：计算：（1）1327；（2）324解：（1）因为3327=,所以1327=3；（2）因为3248=,所以324=8 练习：计算（1）1532；（2）2327 二、分数指数幂与根式的互化： [互动过程2](1)观察以下式子,并总结出规律：a ＞0, ①510a=552)(a =a 2=510a;②248)(a a ==a 4=28a ;③412a =443)(a =a 3=412a ; ④210a=225)(a =a 5=210a.(2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗？435,357,57a ,n m x (x ＞0,m 、n ∈N +,且n ＞1).答：(1)①a 2是a 10的5次方根；②a 4是a 8的2次方根；③a 3是a 12的4次方根；④a 5是a 10的2次方根.实质上①510a =510a,②a 8=28a ,③412a=412a,④210a=210a结果的a 的指数是2,4,3,5分别写成了210,412,28,510,形式上变了,本质没变. (2)利用(1)的规律,435=543,357=735,57a =a 57,nmx =x nm .所以)0(>=a a an m nm三、负分数指数幂的意义： [互动过程3]请同学们回顾负整数指数幂的定义,能否类似地引入负分数指数幂呢? 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,我们规定m nm n1a(a 0,m,n N ,n 1)a-+=>∈>;说明:（1）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．（2）规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数推广到有理指数．当我们把正整数指数幂推广到有理指数幂m na 或m na-(m,n N )+∈时,对底数a 应有所限制,即a 0>． （3）对于每一个有理数我们都定义了一个有理指数与它对应,这样就可以把整数指数函数扩展到有理指数函数,一个定义在有理数集上的指数函数．例3．把下列各式中的b 写为负分数指数幂的形式：()5455m 2n (1)b 32;(2)b 3;(3)b m,n N ---+===π∈解：（1）15b 32-=；（2）54b 3-=；（3）2n 5mb -=π例4．计算：（1）138-；（2）2327-解：（1）因为328=,所以131311828-==（2）因为23279=,所以23231127927-==． 练习: 1,2四、了解无理数指数幂的意义：若a 0,>α是一个无理数,a α表示一个确定的实数,这样就可以将有理指数幂扩充到实数指数幂．请同学们阅读课本65页,无理数2=1．414 213 562 373 095 048 801 688 724 210…的不足近似值和过剩近似值,得到的近似值,应该是个确定的实数类似地,11()102π等都是确定的实数,对于任意的实数α,都有 111,a (a 0)aα-αα==>根据无理数的逼近过程,可以看出无理指数幂也是一个确定的实数,请你举出几个实数指数幂的例子．注意：指数幂αa 中，a 一定大于0， αa 也大于0。

2 指数扩充及其运算性质1．指数概念的扩充 (1)整数指数幂①正整数指数幂：一个数a 的n 次幂等于n 个a 的连乘积， nn a a a a =⋅⋅⋅L 14243个(n ∈N ＋)，a 叫作幂的底数，n 叫作幂的指数，a n读作“a 的n 次幂”．②零指数幂：任何一个不为零的数的0次幂都等于1，即a 0＝1(a ≠0)．③负整数指数幂：一个数的负整数次幂等于这个数的正整数次幂的倒数，即a －n＝1na (a ≠0，n ∈N ＋)．(2)分数指数幂给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n (m ，n 互素)，存在唯一的正实数b ，使得bn＝a m，我们把b 叫作a 的mn次幂，记作=mn b a .它就是分数指数幂．对分数指数幂概念的两点说明： ①分数指数幂m na 不是m n个相同因式a 相乘，它实质上是关于b 的方程b n ＝a m的解． ②为什么分数指数幂的定义中规定b ＞0?剖析：由整数指数幂的规定知，当a ＞0时，对任意整数m ，总有a m＞0.若b ＝0，当n为正整数时，b n ＝0，此时b n ≠a m ；当n 为负整数或零时，b n 无意义，b n ＝a m无意义．若b ＜0，当n 为奇数时，b n＜0，此时b n≠a m；当n 为偶数时，虽然b n＝a m成立，但此时，0＞b ≠m na ＞0.因此规定b ＞0.谈重点 分数指数幂与根式的互化 有时我们把正数的正分数指数幂写成根式形式，即m n m na a =a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n＞1)．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，即1m nm nmna aa-==(a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)．在这样的规定下，分数指数幂可以看作是根式的一种新的写法，它们表示的意义相同，只是形式上不同而已．另外，我们规定：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(3)无理数指数幂当a ＞0，p 是一个无理数时，a p的值就可用两个指数为p 的不足近似值和过剩近似值构成的有理数幂序列无限逼近而得到(这个逼近结果的极限就等于a p )，故a p是一个确定的实数．(4)实数指数幂：规定了分数指数幂的概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩充；规定了无理数指数幂后，指数概念就由有理数指数幂扩充到了实数指数幂．自然地，对于任意的实数α，有1α＝1和a－α＝1aα(a ＞0)． 【例1－1】把下列各式中的b 写成分数指数幂的形式(b ＞0)：(1)b 3＝4；(2)b －2＝5；(3)b m ＝32n(m ，n ∈N ＋)．分析：根据分数指数幂的概念可知，若b n＝a m(a ＞0，b ＞0，m ∈Z ，n ∈Z )，则b ＝m na . 解：(1)b ＝134；(2)b ＝125-；(3)23n mb =. 【例1－2】用分数指数幂表示下列各式： 32x 3a；34()a b -322m n +. 分析：用分数指数幂表示根式时，要紧扣分数指数幂的根式形式m n m naa =a ＞0，m ，n ∈N ＋且n ＞1)．在m na 中指数的分母n 是开方次数，分子m 是被开方数的乘方次数．解：2323x x =；131331a aa -==； 3344()()a b a b -=-；1322223()m n m n +=+. 【例1－3】求下列各式的值：(1)2364；(2)1481-；(3)13125-；(4)238.分析：求m na 的值，可紧扣分数指数幂的概念，即满足b n ＝a m时，m na ＝b (m ，n ∈Z ，a ＞0，b ＞0)；也可将分数指数幂写成根式的形式再求值．解：(方法1)(1)设2364＝x ，则x 3＝642＝4 096，又∵163＝4 096，∴x ＝16，即2364＝16；(2)设1481x -=，则x 4＝81－1＝181， 又∵411381⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴13x =，即141813-=；(3)设13125x -=，则x 3＝125－1＝1125，又∵3115125⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴15x =，即1311255-=；(4)设238x =，则x 3＝82＝64，又∵43＝64，∴x ＝4，即2384=.(方法2)(1)232336464409616===；(2)141441118138181-===； (3)131331111255125125-===； (4)2323388644===. 2．指数运算的性质(1)正整数指数幂的运算性质 ①a m ·a n ＝a m ＋n；②(a m )n ＝a mn；③(ab )n ＝a n b n；④当a ≠0时，有am an ＝⎩⎪⎨⎪⎧a m －n，当m >n 时，1，当m ＝n 时，a －n －m ，当m <n 时；⑤⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝anbn (b ≠0)． 其中m ，n ∈N ＋.(2)实数指数幂的运算性质当a ＞0，b ＞0时，对任意实数m ，n 都满足以下三条： ①a m ·a n ＝a m ＋n(两个同底数的幂相乘，底数不变，指数相加)；②(a m )n ＝a mn(幂的乘方，底数不变，指数相乘)；③(ab )n ＝a n b n(两个实数积的幂等于它们幂的积)． 破疑点 指数运算性质的理解1．在实数范围内，性质⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝a nbn 可归入性质(ab )n ＝a n b n(其中a ＞0，b ＞0)．这是因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝(ab －1)n ＝a n ·(b －1)n ＝a n b －n ＝a n b n 可由性质(ab )n ＝a n b n推出．2．在实数范围内，性质am an ＝⎩⎪⎨⎪⎧a m －n，当m >n 时，1，当m ＝n 时，a －n －m ，当m <n 时，可归入性质a m ·a n ＝am ＋n(其中a＞0)．这是因为，当m ＞n 时，a m an ＝a m ·a －n ＝a m ＋(－n )＝a m －n；当m ＝n 时，a m an ＝a m ·a －n ＝a m ＋(－n )＝a m －n ＝a 0＝1；当m ＜n 时，a m a n ＝a m ·a －n ＝a m ＋(－n )＝a m －n ＝a －(n －m )＝1an －m 都可由性质a m ·a n ＝a m ＋n推出．(3)在实数指数幂的运算性质中为何规定a ＞0，b ＞0剖析：这是由分数指数幂的定义决定的，因为我们规定a ＞0时m na ＝na m表示一个根式，负数的分数指数幂的意义并没有定义，指数幂的运算性质不作这样的限制的话，就会出现运算上的错误．例如：－2＝3－8＝1226636(8)(8)(8)642-=-=-==，显然这是错误的．【例2－1】用分数指数幂的形式表示下列各式(式中a ＞0)．(1)2a a ⋅；(2)332a a ⋅；(3)a a .分析：先利用分数指数幂与根式的互化关系将根式化为分数指数幂的形式，再根据指数运算的性质化简．解：(1)115222222a a a a a a +⋅=⋅==；(2)221133323333a a a a aa +⋅=⋅==；(3)1131322224()()a a a a a a =⋅==. 析规律 m nmnaa =的应用此类问题应熟练应用m nmna a =(a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)．当各式中含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再利用指数运算的性质化简．【例2－2】设a ＞0，将232a a⋅表示成分数指数幂，其结果是( )．A ．12a B ．56a C ．76a D ．32a 5722222266551253236233()a a aa a a a aa aa-======⋅⋅.答案：C【例2－3】求下列各式的值． (1)6323 1.512 (2)10221.531222(0.01)54--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；243819⨯； (4)3425125)5.解：(1)111326362323 1.51223(32)2⎛⎫=⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭＝1111133632233232-⨯⨯⨯⨯⨯＝1111113323623-+++⨯＝2×3＝6；(2)10221.531222(0.01)54--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1322191144100-⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝3123221411211149104310⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯-=+⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦＝116994349716100060003000+-==；242444443338193333⨯=⨯=⨯214147144463336433(3)333+====(4)323344(25125)5(55)5=＝22313113324244(55)55555----⨯=⨯-⨯＝213155551243424124555555---=-=.析规律 含根式的式子如何化简 对于含有根式的式子化简问题，常把根式化成分数指数幂的形式；熟练掌握指数的运算性质并灵活应用．3．利用指数运算性质化简或求值的方法(1)在进行指数幂和根式的混合运算时，一般要先将根式化为分数指数幂，然后根据指数幂的运算性质进行运算．当化简式含有多重根号时，要遵循由内向外的原则，逐层脱去根号． (2)进行指数运算时，一般化负指数为正指数幂，化根式为分数指数幂，化小数为分数． 几个幂相乘时，要特别注意几个幂底数的关系，能统一底数的要统一底数，再利用指数运算性质化简．(3)运算结果不强求一致，若题目给出的是分数指数幂的形式，结果一般也用分数指数幂形式；若题目给出的是根式形式，结果一般也用根式形式；若题目给出的是指数与根式的混合形式，最后结果一般保留分数指数幂的形式．值得注意的是，结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含负指数幂，能合并同类项的必须合并．【例3】化简或求值．(1)1 1.521234491(0.000 1)(27)649---⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(2)(0.25)－0.5＋13127-⎛⎫⎪⎝⎭－6250.25； (3)20.5320710372(0.1)23π92748--⎛⎫⎛⎫++-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭； (4)8615543552()(0,0)a b a b a b --⋅≠≠；933337132a a a a ⋅a ＞0)；(6)2213223428-+-⋅⋅.解：(1)原式＝13222122433471(0.1)(3)83---⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦＝1312718314(0.1)3=109278377---⎛⎫⎛⎫+-++-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)原式＝11124324(0.5)(33)(5)--+--＝2＋3－5＝0；(3)原式＝1212223232312251643754373(10)391027483348-----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+=++-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦＝5937100310031648++-+=； (4)原式＝86434343115555555522()()a b a b ab a b -----⋅⋅÷=⋅⋅⋅＝44335555a b-+-＝a 0b 0＝1； (5)原式＝1713931333222()()a a a a ⋅÷⋅＝7131031266322()()a a a a a a⋅÷⋅=÷＝104322332a aaa--==； (6)原式＝222132233(2)2(2)-+-⋅⋅＝2223222222+--⋅⋅＝22232232228++--==.4．给值求值问题已知代数式的值求其他代数式的值，通常又简称为“知值求值”，解决此类题目要从整体上把握已知的代数式和所求的代数式的特点与联系，然后采取“整体．．代换．．”或“求值后代换”两种方法求值．要注意正确地变形，像平方、立方等一些公式的应用问题，还要注意开方时的取值符号问题．例如，已知11223a a-+=，求下列各式的值：(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2；(3)33221122a a a a----.显然，从已知条件中解出a 的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件11223a a -+=的联系，进而整体代入求值．将11223a a -+=两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，即a ＋a －1＝7.再将上式平方，有a 2＋a －2＋2＝49，即a 2＋a －2＝47.由于3311332222()()a a a a---=-，所以有331111122222211112222()()a a a a a a a aa a a a-------++⋅=--＝a＋a－1＋1＝8.【例4－1】已知2x＋2－x＝5，求(1)4x＋4－x；(2)8x＋8－x.解：(1)4x＋4－x＝(22)x＋(22)－x＝(2x)2＋(2－x)2＝(2x)2＋2×2x×2－x＋(2－x)2－2＝(2x＋2－x)2－2＝52－2＝23.(2)8x＋8－x＝(23)x＋(23)－x＝(2x)3＋(2－x)3＝(2x＋2－x)[(2x)2－2x×2－x＋(2－x)2]＝(2x＋2－x)(4x＋4－x－1)＝5×(23－1)＝110.析规律平方法在求值中的应用遇到式子中含有指数互为相反数的数，通常用平方法进行解决，平方后观察条件和结论的关系，变形求解即可．本题中用到了两个公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)．【例4－2】已知x＋y＝12，xy＝9，且x＜y，求11221122x yx y-+的值．分析：观察已知代数式和所求代数式的特点可知，212x x⎛⎫=⎪⎝⎭，212y y⎛⎫=⎪⎝⎭.于是联想到用完全平方公式，把公式11221122x yx y-+的分子、分母同乘以分母的有理化因式后，分式的分子就变成了用x＋y，xy表示的代数式．解：∵x＋y＝12，xy＝9，∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.又∵x＜y，∴x－y＝-∴111122222111111222222()()()x y x yx y x y x y--=++-＝1122()2()93x y xyx y+-==--.。