浙江省2020学年高二数学上学期期末模拟试题

高二数学上学期期末模拟试题（一）考试时间：100分钟 满分:120分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卷指定的位置上，务必注意试题序号与答题序号之间对应 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求）1．直线22x y +=在x 轴上的截距为( ) A ． 1B ． 2C ．2-D ．1-2．圆220x y ax ++=的圆心横坐标为 1 ，则a 等于( ) A ． 1B ． 2C ．1-D ．2-3．关于三个不同平面α，β，γ与直线l ，下列命题中的假命题是( )A ．若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于βB ．若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=I ，则l γ⊥D ．若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β4．已知双曲线2214y x -=上点P 与左焦点1F 的连线的中点M 恰好在y 轴上， 则||OM 等于( ) A ． 2B ． 3C 3D ．145．设抛物线24y x =的焦点为F ，不过焦点的直线与抛物线交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点， 与y 轴交于点C （异 于坐标原点)O ，则ACF ∆与BCF ∆的面积之比为( )A ．12xx B ．1211x x ++C ．2122x xD ．212211x x ++6．下列各图中， 直线a 与b 平行的只可能是( )A ．B ．C ．D ．7．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90︒榫卯起来若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为（容器壁的厚度忽略不计）( )A ．28πB ．30πC ．60πD ．120π8．已知圆22:4C x y +=，点P 为直线280x y --=上的一个动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB 、A 、B 为切点，则直线AB 恒过点( )A ．(2,0)B ．525(,)- C ．(1,1)-D ．1(,1)2-9．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，P 为椭圆上与长轴端点不重合的一点，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，过2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为Q ，若||2OQ b =，椭圆的离心率为e ，则222a e b+的最小值为( )A ．32B ．62C ．3D ．110．如图，在二面角M l N --的一个M 内有Rt ABC ∆，其中90A ∠=︒，顶点B 、C 在二面角的棱l 上，AB 、AC 与平面N所成的角分别为α、β，若二面角M l N --的大小为θ，则下面的关系式中正确的是()A ．222sin sin sin αβθ+<B ．222sin sin sin αβθ+=C ．222sin sin sin αβθ+>D ．222sin sin sin 1αβθ++=二．填空题（本题有6小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共30分）11．双曲线2214x y -=的实轴长是 ，焦点到渐近线的距离是 ． 12．已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则实数m = ，两直线之间的距离是 ．13．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a = ，该几何体的表面积为 ．14．设直线:340l x y a ++=，圆222:(2)2C x y -+=，若在圆C 上存在两点P ，Q ，在直线l 上存在一点M ，使得90PMQ ∠=︒，则a 的取值范围是 ．15．已知实数x ，y 满足2268240x y x y +--+=，则22x y +的最小值为 ．16．对于曲线22:141x y C k k +=--，给出下面四个命题： ①曲线C 不可能表示椭圆； ②若曲线C 表示双曲线，则1k <或4k >； ③当14k <<时，曲线C 表示椭圆； ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则512k <<． 其中所有正确命题的序号为 ．二．解答题（本题有4小题，共50分，要求写出详细的演算或推理过程） 17．（本题满分12分）直线1:1(4)y k x -=-，圆22:(2)25C x y ++=． ①直线l 一定经过哪一点．②若l 被圆C 所截得的弦长为45，求l 的方程．③当k 为何值时，直线l 与圆C 相切．18．（本题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -底面是直角梯形，点E 是棱PC 的中点，BA AD ⊥，CD AD ⊥，2CD AB =，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB AD ===．（Ⅰ）判断BE 与平面PAD 是否平行，证明你的结论； （Ⅱ）证明：BE ⊥平面PDC ； （Ⅲ）求三棱锥A PDC -的体积V ．19．（本题满分12分）如图，三棱锥P ABC -中，D ，E 分DBCPE别是棱BC ，AC 的中点，4PB PC AB ===，8AC =，43BC =，26PA =． （Ⅰ）证明：BC ⊥平面PED ；（Ⅱ）求直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值．7．（本题满分14分）如图，曲线C 由下半椭圆22122:1(0)(0)y x C a b y a b+=>>„和部分抛物线22:1(0)C y x y =-…连接而成，1C 与2C 的公共点为A ，B ，其中1C 的离心率为32． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）过点A 的直线l 与1C ，2C 分别交于点P ，Q ，（均异于点A ，)B ，是否存在直线l ，使得以PQ 为直径的圆恰好过B 点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析11. 4，1 12. 4，18． 14. [6-，6] 15. 16 16. ②④1．解： 因为直线方程为22x y +=，令0y =得1x =所以直线22x y +=在x 轴上的截距为 1 ，故选：A ．2．解： 圆220x y ax ++=，即圆222()24a a x y ++=，它的圆心横坐标为12a -=，2a =-，故选：D ． 3．解：对于A ，假设a αβ=I，则α内所有平行于a 的直线都平行β，故A 正确；对于B ，假设α内存在直线a 垂直于β，则αβ⊥，与题设矛盾，故假设错误，故B 正确； 对于C ，设c αγ=I ，d βγ=I ，在γ内任取一点P ，作PM c ⊥于点M ，PN d ⊥于点N则PM α⊥，PN β⊥，且PM 、PN 不可能共线．又l α⊂，l β⊂，PM l ∴⊥，PN l ⊥．又PM PN P =I ，PM γ⊂，PN γ⊂，l γ∴⊥．故C 正确．对于D ，假设a αβ=I，则α内所有平行于a 的直线都平行β，故D 错误．故选：D ．4．解： 双曲线2214y x -=上点P 与左焦点1F 的连线的中点M 恰好在y 轴上，可知2PF x ⊥轴，224||41b PF a ===，则||2OM =．故选：A ． 5．解： 如图，ACF BCF S ACS BC∆∆=，分别过A 作AM y ⊥轴， 过B 作BN y ⊥轴，则1AM x =，2BN x =， 而AMC BNC ∆∆∽，∴12ACF BCF S x AC AM S BC BN x ∆∆===．故选：A ．6．解： 对于A ，B ，C 中分别在平面α，β内的直线是异面直线，则a 与b 是异面直线， 直线a 与b 不可能平行： 故选：D ．7．解：由题意，该球形容器的半径的最小值为13025412++=，∴该球形容器的表面积的最小值为：2304()30ππ⨯=．故选：B ． 8．解：P Q 是直线280x y --=的任一点，∴设(82,)P m m +，Q 圆224x y +=的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，OA PA ∴⊥，OB PB ⊥，则点A 、B 在以OP 为直径的圆上，即AB 是圆O 和圆C 的公共弦，则圆心C 的坐标是(4,)2mm +，且半径的平方是222(4)4m r m =++，∴圆C 的方程是2222[(4)]()(4)24m m x m y m -++-=++，①又224x y +=，②，②-①得，(82)40m x my ++-=，即公共弦AB 所在的直线方程是：(82)40m x my ++-=，即(2)(84)0m x y x ++-=，由20840x y x +=⎧⎨-=⎩得12x =，1y =-，∴直线AB 恒过定点1(2，1)-，故选：D ．9．解：如图，由题意，P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆上一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为Q ，延长2F Q 交1F P 延长线于M ，得2PM PF =，由椭圆的定义知122PF PF a +=，故有112PF PM MF a +==，连接OQ ，知OQ 是三角形12F F M 的中位线，OQ a ∴=，又2OQ b =，2a b ∴=，则222244()a b a c ==-，即2234c a =，4222422331644228b b a e a c b a b b +++∴==g 33222388b b b b=+=g …．当且仅当328b b =，即34b =时，222a e b+有最小值为3．故选：C ．10．解：作AD l ⊥于点D ，作AE ⊥平面N 于点E ，连结BE 、CE 、DE AE ⊥Q 平面N ，DE ∴是AD 在平面N 内的射影AD l ⊥Q ，DE l ∴⊥，可得ADE ∠就是二面角M l N --的平面角，ADE θ∠=又BE Q 、CE 分别是AB 、AC 在平面N 的射影ABE ∴∠、ACE ∠分别为AB 、AC 与平面N 所成的角，得ABE α∠=且ACE β∠=设AE x =，则Rt ABE ∆中，sin AE AB α=，可得sin sin AE x AB αα==同理得到sin x AC β=，sin xAD θ=Rt ABC ∆Q 中，AD 为斜边BC 边上的高AB ACAD BC ∴=g ，得2222222111AB AC AD AB AC AB AC +==+g ，因此222222sin sin sin x x xθαβ=+，化简得222sin sin sin αβθ+=故选：B ． 11．解：双曲线2214x y -=的2a =，1b =，415c =+=，即有24a =，焦点为(5±，0)，渐近线方程为12y x =±，则焦点到渐近线的距离是|5|114=+，故答案为：4，1．12．解：Q 直线3230x y +-=与610x my ++=互相平行，36123m ∴-=-≠-， 4m ∴=，6410x y ∴++=，即为13202x y ++=，∴两直线之间的距离是221|3|713232+=+，故答案为：4，71313．解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一平放的三棱柱，且三棱柱的高是3，底面三角形的边长为2，高为a ；∴该三棱柱的体积为123332V a =⨯⨯⨯=， 解得3a =；∴该三棱柱的表面积为：()22123223331323182S S S ∆=+=⨯⨯⨯+⨯⨯+=+侧面．故答案为：3，2318+．14．解：圆222:(2)2C x y -+=，圆心为：(2,0)，半径为2，Q 在圆C 上存在两点P ，Q ，在直线l 上存在一点M ，使得90PMQ ∠=︒，∴在直线l 上存在一点M ，使得M 到(2,0)C 的距离等于22，∴只需(2,0)C 到直线l 的距离小于或等于22，故222234+…，解得10261026a ---剟． 故答案为：[1026--，1026]-； 1522(3)(4)1x y -+-=．则曲线2268240x y x y +--+=是以(3,4)为圆心，以1为半径的圆．如图：22x y +的几何意义为圆上的动点到原点距离的平方，则22x y +的最小值为2222(||1)(341)16OC -=+-=．故答案为：16．16．解：①当14k <<且 2.5k ≠时，曲线表示椭圆，所以①错误； ②若曲线C 表示双曲线，则(4)(1)0k k --<，解得1k <或4k >，正确； ③当 2.5k =时，41k k -=-，此时曲线表示圆，所以③错误；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则104041k k k k ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得1 2.5k <<，所以④正确．故答案为：②④．17．解：①，根据题意，直线1:(4)y l k x -=-，则有1040y x -=⎧⎨-=⎩，解可得41x y =⎧⎨=⎩则直线过点(4,1)，②，圆22:(2)25C x y ++=的圆心C 的坐标为(0,2)-， 设圆心C 到直线的距离为d，则d =又由若l 被圆C所截得的弦长为d ===2k =或211， ③，若直线l 与圆C 相切，即d r =，则5d ==，解可得：43k =， 18.（Ⅰ）证明：取PD 中点Q ，连EQ ，AQ ，则12QE CD AB ==⋯（1分） //////QE CD CD AB QE AB QE AB ⎧⎪⇒⎨⎪=⎩且QE AB =⋯（2分） ⇒四边形ABEQ 是平行四边形//BE AQ ⇒⋯（3分）////BE AQ AQ PAD BE BE PAD ⎧⎪⊂⇒⎨⎪⊄⎩平面平面平面PAD ⋯（5分） （Ⅱ）证明：PA ABCDPA CD CD ABCD⊥⎧⇒⊥⎨⊂⎩平面平面，又CD AD ⊥Q ，PA AD A =ICD ∴⊥平面PAD 又AQ ⊂Q 平面PAD AQ CD ∴⊥，又PA AD =Q ，Q 为PD 的中点AQ PD ∴⊥，又PD CD D =Q I AQ ∴⊥平面PCD又//BE AQ BE ⇒⊥Q 平面PCD ．⋯（10分）（Ⅲ）解：1124422ADC S AD DC ∆==⨯⨯=⋯g （11分） 1833A PDC P ADCADC V V PA S --∆===g ．⋯（13分） 19.（1）证明：4AB =，43BC =；222AB BC AC ∴+=，BC AB ∴⊥；D ，E 分别是BC ，AC 中点，//DE AB ∴，BC DE ∴⊥；又PB PC =，D 是BC 中点，BC PD ∴⊥，DE PD D =I ；BC ∴⊥平面PED ；（2）26PA =， 4PC =，8AC =；∴由余弦定理7cos 8PCA ∠=； 在PCE ∆中，4PC =，4CE =；∴由余弦定理得2PE =，2DE =，并可求得2PD =； PDE ∴∆为等边三角形；PDE ∴∆边DE 上的高为3，即三棱锥P ABC -的高为3． 设点C 到面PAB 的距离为d ，2211264(6)215.1622PAB ABC SS AB BC ∆∆=⨯⨯-==⨯⨯= 由11333PAB ABC S d S ∆∆=⨯g 得85d = 直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值为255d PC =． 20.解：（Ⅰ）在1C ，2C 的方程中，令0y =，可得1b =，且(1,0)A -，(1,0)B 是下半椭圆1C 的左右顶点，设1C 的半焦距为c ，由3c a =及222a c b -=，可得2a =，所以2a =，1b =； （Ⅱ）由（Ⅰ），下半椭圆1C 的方程为221(0)4y x y +=…， 由题意知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为(1)(0)y k x k =+≠，代入1C 的方程，整理得2222(4)240k x k x k +++-=，设点P 的坐标为(P x ，)P y ，因为直线l 过点A ，所以1x =-是方程的一个根，由求根公式，得2244P k x k -=+，284P k y k=+，所以点P 的坐标为224(4k k -+，28)4k k +， 同理，由2(1)1,0y k x y x y =+⎧⎨=-⎩…，得点Q 的坐标为2(1,2)k k k ++， 所以222(4k BP k =-+u u u r ，28)4k k+，2(,2)BQ k k k =+u u u r ， 假设存在直线l ，使得以PQ 为直径的圆恰好过B 点，可知BP BQ ⊥，所以0BP BQ =u u u r u u u r g ，即222228()(2)044k k k k k k k-++=++g g ， 即33228160k k k -++=，因为0k ≠，解得83k =-， 经检验，83k =-符合题意，故存在，且直线l 的方程为8(1)3y x =-+．。

2020-2021学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．点（﹣1，0）到直线x+y﹣1＝0的距离是（）A．B．C．1D．2．圆x2+y2﹣2x+2y+1＝0的半径是（）A．1B．C．D．23．在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则（）A．l∥αB．l⊥αC．l⊂α或l∥αD．l与α斜交4．“a＝2”是直线“l1：ax+2y+1＝0与l2：3x+（a+1）y﹣3＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，l∥α，则l⊥βB．若l∥α，l∥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β6．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝3，E是BC的中点，则直线ED1与直线BD所成角的余弦值是（）A．B．C．D．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．18．过点（1，0）作斜率为﹣2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为（）A．2B．2C．2D．29．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱DD1⊥底面ABCD，点P为底面ABCD上的一个动点，当△D1PC的面积为定值时，点P的轨迹为（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分10．已知三条直线l1：mx+ny＝0，l2：nx﹣my+3m﹣n＝0，l3：ax+by+c＝0，其中m，n，a，b，c为实数，m，n不同时为零，a，b，c不同时为零，且a+c＝2b．设直线l1，l2交于点P，则点P到直线l3的距离的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题（共有7小题，其中多空题每空3分，单空题每空4分，共36分）11．双曲线的离心率是，渐近线方程是．（两条都写出）12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，BC＝4，AA1＝3，则这个长方体的体对角线长为，其外接球的表面积是．13．已知圆C的圆心在直线y＝﹣4x上，且与直线l：x+y﹣1＝0相切于点P（3，﹣2），则圆C的方程为，它被直线3x﹣4y﹣9＝0截得的弦长为．14．已知点F是椭圆的右焦点，AB为椭圆的一条过F的弦，点A在x轴上方．若直线AB与x轴垂直，则|AB|＝；若|AF|＝2|BF|，则直线AB的斜率是．15．过点（2，3）且与直线l：x﹣2y+1＝0垂直的直线方程是．16．已知动点A，B分别在圆C1：x2+（y﹣2）2＝1和圆C2：（x﹣4）2+y2＝4上，动点P 在直线x+y+1＝0上，则|PA|+|PB|的最小值是．17．已知三棱锥P﹣ABC的各棱长均相等，点E在棱BC上，且CE＝2EB，动点Q在棱BP 上，设直线EQ与平面ABC所成角为θ，则sinθ的最大值是．三、解答题（共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，1），动点P满足．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l过点Q（4，6）且与轨迹C相切，求直线l的方程．19．在所有棱长均为2的直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，O，M分别为BD，B1C的中点．（Ⅰ）求证：直线OM∥平面DB1C1；（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣D的余弦值．20．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且x1x2+y1y2＝﹣3．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若抛物线C的弦PQ与以M（4，0）为圆心、半径为r（r＞0）的圆M相切于点N （x0，1），且N恰为弦PQ的中点，求圆M的半径r的值．21．如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，∠C＝60°，AB＝2，BC＝3，CD＝6，点M 在边CD上，且．现沿AM将△ADM折起至△AQM的位置，使QB＝3．（Ⅰ）求证：QB⊥平面ABCM；（Ⅱ）求直线BM与平面AQM所成角的正弦值．22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率是，且点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）将椭圆C上每点横坐标和纵坐标都扩大到原来的两倍，得到椭圆M的方程．直线y＝kx+m（m≠0）与椭圆M交于A，B两点，与椭圆C的一个公共点为点P，连接PO，并延长PO至交椭圆M于点N．设△NAB的面积为S1，△OAB的面积为S2．（ⅰ）求的值；（ⅱ）求S1的最大值．参考答案一、选择题（共10小题）.1．点（﹣1，0）到直线x+y﹣1＝0的距离是（）A．B．C．1D．解：由点到直线的距离公式可得：点（﹣1，0）到直线x+y﹣1＝0的距离是d＝．故选：A．2．圆x2+y2﹣2x+2y+1＝0的半径是（）A．1B．C．D．2解：根据题意，圆x2+y2﹣2x+2y+1＝0即（x﹣）2+（y+1）2＝3，则圆的半径为．故选：C．3．在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则（）A．l∥αB．l⊥αC．l⊂α或l∥αD．l与α斜交解：由＝2×1+（﹣2）×3+1×4＝0，可知⊥．∴l∥α或l⊂α．故选：C．4．“a＝2”是直线“l1：ax+2y+1＝0与l2：3x+（a+1）y﹣3＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：因为l1：ax+2y+1＝0与l2：3x+（a+1）y﹣3＝0平行，所以，解得a＝2或a＝﹣3，故“a＝2”是直线“l1：ax+2y+1＝0与l2：3x+（a+1）y﹣3＝0平行”的充分不必要条件．故选：A．5．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，l∥α，则l⊥βB．若l∥α，l∥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β解：由l为直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故A错误；在B中，若l∥α，l∥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若l⊥α，l∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若l⊥α，l⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故D正确．故选：D．6．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝3，E是BC的中点，则直线ED1与直线BD所成角的余弦值是（）A．B．C．D．解：连接B1D1，EB1，∵BB1∥DD1，BB1＝DD1，∴四边形BB1D1D为平行四边形，∴BD∥B1D1，∴∠ED1B1或其补角为直线ED1与直线BD所成角，在△ED1B1中，B1D1＝2，B1E＝，D1E＝，由余弦定理知，cos∠ED1B1＝＝＝，∴直线ED1与直线BD所成角的余弦值是．故选：C．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．1解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积S＝×1×1＝，高为1，故棱锥的体积V＝＝，故选：A．8．过点（1，0）作斜率为﹣2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为（）A．2B．2C．2D．2解：不妨设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），其中x1＞x2．由直线AB斜率为﹣2，且过点（1，0），用点斜式求得直线AB的方程为y＝﹣2（x﹣1）．代入抛物线方程y2＝8x，可得4（x﹣1）2＝8x．整理得x2﹣4x+1＝0，解得x1＝2+，x2＝2﹣，代入直线AB方程得y1＝﹣2﹣2，y2＝2﹣2．故A（2+，﹣2﹣2），B（2﹣，2﹣2）．|AB|＝＝2，故选：B．9．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱DD1⊥底面ABCD，点P为底面ABCD上的一个动点，当△D1PC的面积为定值时，点P的轨迹为（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分解：∵侧棱DD1⊥底面ABCD，P为底面ABCD内的一个动点，△D1PC的面积为定值，∴点P到线段D1C的距离为定值，则点P在以D1C所在直线为轴，固定长为底面半径的圆柱的侧面与平面ABCD的交线上，∴运动轨迹为椭圆的一部分．故选：B．10．已知三条直线l1：mx+ny＝0，l2：nx﹣my+3m﹣n＝0，l3：ax+by+c＝0，其中m，n，a，b，c为实数，m，n不同时为零，a，b，c不同时为零，且a+c＝2b．设直线l1，l2交于点P，则点P到直线l3的距离的最大值是（）A．B．C．D．解：由题可知：a+c＝2b，∴直线l3：ax+y+c＝0过定点E（1，﹣2），直线l1，l2交点P（，），点P到直线l3的距离的最大值为P到定点的距离，即|PE|，|PE|＝＝，当m＝0时，|PE|＝2，当n＝0时，|PE|＝，设＝t，当m≠0时，|PE|＝＝，令y＝26﹣，由判别式法可得：（4﹣y）t2﹣4t+26﹣y＝0，则△＝16﹣4（4﹣y）（26﹣y）≥0，解得y≤15+5，∴|PE|≤+．故选：D．二、填空题（本题共有7小题，其中多空题每空3分，单空题每空4分，共36分）11．双曲线的离心率是，渐近线方程是y＝±2x．（两条都写出）解：双曲线，可知a＝1，b＝2，所以双曲线的离心率是＝＝．渐近线方程为：y＝±x，即y＝±2x．故答案为：；y＝±2x．12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，BC＝4，AA1＝3，则这个长方体的体对角线长为5，其外接球的表面积是50π．解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，BC＝4，AA1＝3，则这个长方体的体对角线长为：＝5，故其外接球的直径为：5，∴其外接球的表面积是4π•（）2＝50π．故答案为：5，50π．13．已知圆C的圆心在直线y＝﹣4x上，且与直线l：x+y﹣1＝0相切于点P（3，﹣2），则圆C的方程为（x﹣1）2+（y+4）2＝8，它被直线3x﹣4y﹣9＝0截得的弦长为4．解：过切点P（3，2）且与x+y﹣1＝0垂直的直线为y+2＝x﹣3，即y＝x﹣5，与直线y＝﹣4x联立，解得x＝1，y＝﹣4，∴圆心为（1，﹣4），∴半径r＝，∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+4）2＝8；圆心（1，﹣4）到直线3x﹣4y﹣9＝0的距离d＝，∴圆被直线3x﹣4y﹣9＝0截得的弦长为．故答案为：（x﹣1）2+（y+4）2＝8；4．14．已知点F是椭圆的右焦点，AB为椭圆的一条过F的弦，点A在x轴上方．若直线AB与x轴垂直，则|AB|＝；若|AF|＝2|BF|，则直线AB的斜率是．解：由椭圆的方程可得：a＝3，b＝，c＝2，所以F（2，0），当直线AB⊥x轴时，A（2，y），且y＞0，所以，解得y＝，所以|AB|＝，当|AF|＝2|BF|，设直线AB的方程为：x＝my+2，（m＜0），代入椭圆方程可得：（9+5m2）y2+20my﹣25＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y，y，由|AF|＝2|BF|可得：y1＝﹣2y2，所以联立方程解得m＝﹣，所以直线AB的方程为：x＝﹣，即y＝﹣，故直线AB的斜率为﹣，故答案为：．15．过点（2，3）且与直线l：x﹣2y+1＝0垂直的直线方程是2x+y﹣7＝0．解：设所求直线的方程为2x+y+m＝0，将点（2，3）代入方程，可得m＝﹣7，故所求直线方程为2x+y﹣7＝0．故答案为：2x+y﹣7＝0．16．已知动点A，B分别在圆C1：x2+（y﹣2）2＝1和圆C2：（x﹣4）2+y2＝4上，动点P 在直线x+y+1＝0上，则|PA|+|PB|的最小值是5﹣3．解：根据题意，圆C1：x2+（y﹣2）2＝1的圆心C1为（0，2），半径R＝1，圆C2：（x﹣4）2+y2＝4，其圆心C2为（4，0），半径r＝2，设圆N与圆C1：x2+（y﹣2）2＝1关于直线x+y+1＝0对称，其圆心N的坐标为（a，b），则有，解可得，即N（﹣3，﹣1），|NC2|＝＝5，当P在线段NC2上时，|PA|+|PB|取得最小值，则|PA|+|PB|的最小值为|NC2|﹣R﹣r＝5﹣3，故答案为：5﹣3．17．已知三棱锥P﹣ABC的各棱长均相等，点E在棱BC上，且CE＝2EB，动点Q在棱BP 上，设直线EQ与平面ABC所成角为θ，则sinθ的最大值是．解：设棱长为3a，QB＝x（0＜x≤3a），由余弦定理得QE＝．则正四面体的高PO＝＝a，设P到平面BCD的距离为h，则，x＝，∴sinθ＝＝＝，∴x＝2a时，sinθ的最大值为．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，1），动点P满足．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l过点Q（4，6）且与轨迹C相切，求直线l的方程．【解答】解（Ⅰ）设P（x，y），∵点A的坐标为（1，1），则由，得，∴动点P的轨迹C的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4．（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设l：y﹣6＝k（x﹣4），即kx﹣y+6﹣4k＝0，∵直线l过点Q（4，6）且与轨迹C相切，∴圆心C（2，2）到l的距离d＝，当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝4，显然满足条件，∴l的方程为x＝4或3x﹣4y+12＝0．19．在所有棱长均为2的直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，O，M分别为BD，B1C的中点．（Ⅰ）求证：直线OM∥平面DB1C1；（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连BC1，则M为BC1的中点，又O为BD的中点，所以OM∥C1D，因为OM⊄平面DB1C1，C1D⊂平面DC1B1，所以直线OM∥平面DB1C1；（Ⅱ）解：连D1O，因为ABCD是菱形，所以DO⊥AC，又ABCD﹣A1B1C1D1为直棱柱，所以D1A＝D1C，而O为AC中点，所以D1O⊥AC，所以∠D1OD为二面角D1﹣AC﹣D的平面角，因为ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，所以DO＝1，又DO＝2，所以，所以．二面角D1﹣AC﹣D的余弦值．20．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且x1x2+y1y2＝﹣3．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若抛物线C的弦PQ与以M（4，0）为圆心、半径为r（r＞0）的圆M相切于点N （x0，1），且N恰为弦PQ的中点，求圆M的半径r的值．解：（Ⅰ）抛物线C的焦点，可设直线，代入y2＝2px，得y2﹣2pty﹣p2＝0，已知A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝2pt，，∴，解得p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x；（Ⅱ）设P（x3，y3），Q（x4，y4），则依题知x3+x4＝2x0，y3+y4＝2，由，得（y3+y4）（y3﹣y4）＝4（x3﹣x4），即2（y3﹣y4）＝4（x3﹣x4），得，∵MN⊥PQ，∴MN的斜率为，得x0＝2，∴圆M的半径．21．如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，∠C＝60°，AB＝2，BC＝3，CD＝6，点M 在边CD上，且．现沿AM将△ADM折起至△AQM的位置，使QB＝3．（Ⅰ）求证：QB⊥平面ABCM；（Ⅱ）求直线BM与平面AQM所成角的正弦值．解：（Ⅰ）证明：因为BC＝3，CD＝6，∠C＝60°，所以由余弦定理得，从而BD2+BC2＝CD2，所以DB⊥BC，由已知得AB＝MC，AB∥MC，所以ABCM为平行四边形，所以DB⊥AM，设DB∩AM＝O，则折后可得AM⊥平面QOB，所以QB⊥AM，因为，即QB2+BO2＝QO2，所以QB⊥BO，因为AM∩BO＝O，AM，BO⊂平面ABCM，所以QB⊥平面ABCM；（Ⅱ）作BP⊥QO于P，则由AM⊥平面QOB知BP⊥平面AQM，连MP，则MP是BM在平面AQM上的射影，所以∠BMP即是BM与平面AQM所成的角．因为，BM＝＝＝，所以．∴直线BM与平面AQM所成角的正弦值为．22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率是，且点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）将椭圆C上每点横坐标和纵坐标都扩大到原来的两倍，得到椭圆M的方程．直线y＝kx+m（m≠0）与椭圆M交于A，B两点，与椭圆C的一个公共点为点P，连接PO，并延长PO至交椭圆M于点N．设△NAB的面积为S1，△OAB的面积为S2．（ⅰ）求的值；（ⅱ）求S1的最大值．解：（Ⅰ）由题意得，所以a2＝4，b2＝1，即椭圆C的方程为．（Ⅱ）（ⅰ）依题意得椭圆M的方程为，从而O到AB的距离是N到AB距离的，所以．（ⅱ）联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以，所以．联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，由，所以，即（当且仅当时取得等号），从而．。

2020-2021学年浙江省杭州市七县市高二（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．倾斜角为的直线的方程可以是（）A．x﹣1＝0B．y﹣1＝0C．x﹣y＝0D．x+y﹣2＝0 2．直线l1：ax﹣4y+2＝0与直线l2：x﹣ay﹣1＝0平行，则a的值为（）A．a＝±2B．a＝2C．a＝﹣2D．a＝﹣13．圆x2+y2+2ax﹣2＝0的圆心坐标和半径长依次为（）A．，a B．，a C．，|a|D．，|a| 4．“n＞m＞0”是“方程表示焦点在y轴上的双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知直线a，b，平面α，β，下列命题（）①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β；③若a∥α，a⊥β，则α⊥β；④若a⊥α，α⊥β，则a∥β．其中真命题是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④6．如图，三棱台ABC﹣A1B1C1的下底面是正三角形，且AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则二面角A ﹣BB1﹣C的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．圆锥的底面直径和母线长都等于球的直径，则圆锥与球的表面积之比是（）A．B．C．D．8．椭圆＝26的短轴长为（）A．10B．12C．24D．269．一动圆与两圆x2+y2＝4，（x﹣4）2+y2＝1都外切，则动圆圆心的轨迹是（）A．抛物线B．椭圆C．双曲线D．双曲线的一支10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4B．8C．12D．1411．已知实数x，y满足x|x|+＝1，则|x+y﹣4|的取值范围是（）A．B．C．D．12．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是AB，BC的中点，将△DAE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A，B，C三点重合于点A'，若点G及四面体A'DEF 的四个顶点都在同一个球面上，则以△DEF为底面的三棱锥G﹣DEF的高h的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题）.13．已知点A（1，﹣1），直线l：x﹣2y+2＝0，则点A到直线l的距离是；过点A 且垂直于直线l的直线方程是．14．椭圆的焦点F1，F2的坐标是；以F1，F2为焦点，且离心率的双曲线方程是．15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AA1与面对角线BC1所成角的大小是；面对角线BC1与体对角面ACC1A1所成角的大小是．16．设F1、F2为双曲线左、右焦点，点A在双曲线C上，若AF1⊥AF2，且∠AF1F2＝30°，则b＝．17．设动点P在直线x+y﹣2＝0上，若在圆O：x2+y2＝3上存在点M，使得∠OPM＝60°，则点P横坐标的取值范围是．18．假设太阳光线垂直于平面α，在阳光下任意转动单位立方体，则它在平面α上的投影面面积的最大值是．三、解答题（共4小题）.19．已知抛物线C：y2＝2px上的点A（2，m）（m＞0）到准线的距离为4．（1）求p，m的值；（2）已知O为原点，点B在抛物线C上，若△AOB的面积为8，求点B的坐标．20．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB＝，AD＝DC．试证明：（1）AB1∥面BC1D；（2）AB1⊥BC121．在底面是菱形的四棱锥S﹣ABCD中，已知AB＝AS＝，BS＝4，过D作侧面SAB的垂线，垂足O恰为棱BS的中点．（1）证明在棱AD上存在一点E，使得OE⊥侧面SBC，并求DE的长；（2）求二面角B﹣SC﹣D的平面角的余弦值．22．椭圆E：的离心率为，焦距为2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设G（m，n）是椭圆E上的动点，过原点O作圆G：（x﹣m）2+（y﹣n）2＝的两条斜率存在的切线分别与椭圆E交于点A，B，求|OA|+|OB|的最大值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．倾斜角为的直线的方程可以是（）A．x﹣1＝0B．y﹣1＝0C．x﹣y＝0D．x+y﹣2＝0解：由于倾斜角为的直线和x轴垂直，故选：A．2．直线l1：ax﹣4y+2＝0与直线l2：x﹣ay﹣1＝0平行，则a的值为（）A．a＝±2B．a＝2C．a＝﹣2D．a＝﹣1解：∵直线l1：ax﹣4y+2＝0与直线l2：x﹣ay﹣1＝0平行，∴＝≠，求得a＝2，故选：B．3．圆x2+y2+2ax﹣2＝0的圆心坐标和半径长依次为（）A．，a B．，a C．，|a|D．，|a|解：根据题意，圆x2+y2+2ax﹣2＝0，即（x+a）2+（y﹣a）2＝a2，其圆心为（﹣a，a），半径r＝|a|，故选：D．4．“n＞m＞0”是“方程表示焦点在y轴上的双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：若n＞m＞0，则方程表示焦点在y轴上的双曲线，若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则n＞0且m＞0，所以“n＞m＞0”是“方程表示焦点在y轴上的双曲线”充分不必要条件．故选：A．5．已知直线a，b，平面α，β，下列命题（）①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β；③若a∥α，a⊥β，则α⊥β；④若a⊥α，α⊥β，则a∥β．其中真命题是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④解：①若a∥b，a⊥α，由线面垂直的性质定理可得b⊥α，故①正确；②若α∥β，a⊥α，由线面垂直和面面平行的性质可得a⊥β，故②正确；③若a∥α，可得过a的平面γ与α的交线b平行于a，由a⊥β，可得b⊥β，又b⊂α，则α⊥β，故③正确；④若a⊥α，α⊥β，可得a∥β或a⊂β，故④错误．故选：A．6．如图，三棱台ABC﹣A1B1C1的下底面是正三角形，且AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则二面角A ﹣BB1﹣C的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°解：根据棱台的几何性质可知，A1B1∥AB，B1C1∥BC，因为AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则B1BCC1四点共面，所以BB1⊥BC，则∠ABC即为二面角A﹣BB1﹣C的平面角，△ABC为等边三角形，故∠ABC＝60°．故选：C．7．圆锥的底面直径和母线长都等于球的直径，则圆锥与球的表面积之比是（）A．B．C．D．解：设球的直径为2R，则圆锥的底面半径为R，母线长为2R，因为圆锥的额侧面展开图是扇形，故扇形的半径为母线长2R，扇形的弧长就是圆锥的底面周长为2πR，故扇形的面积为，即圆锥的侧面积为2πR2，所以圆锥的表面积为2πR2+πR2＝3πR2，球的表面积为4πR2，所以圆锥与球的表面积之比是．故选：C．8．椭圆＝26的短轴长为（）A．10B．12C．24D．26解：因为椭圆＝26，故其焦点为（﹣3，﹣4）和（3，4），且2a＝26，故2c＝＝10，∴a＝13，c＝5，∴b＝＝12，∴短轴长为2b＝24，故选：C．9．一动圆与两圆x2+y2＝4，（x﹣4）2+y2＝1都外切，则动圆圆心的轨迹是（）A．抛物线B．椭圆C．双曲线D．双曲线的一支解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2＝4的圆心为O（0，0），半径为2；圆（x﹣4）2+y2＝1的圆心为F（2，0），半径为1．依题意得|PF|＝1+r，|PO|＝2+r，则|PO|﹣|PF|＝（2+r）﹣（1+r）＝1＜|FO|＝2，所以点P的轨迹是双曲线的一支．故选：D．10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4B．8C．12D．14解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，如图所示：故V＝．故选：C．11．已知实数x，y满足x|x|+＝1，则|x+y﹣4|的取值范围是（）A．B．C．D．解：因为实数x，y满足x|x|+＝1，当x＞0，y＞0时，方程为，图象为椭圆在第一象限的部分，当x＞0，y＜0时，方程为，图象为双曲线在第一象限的部分，当x＜0，y＞0时，方程为，图象为双曲线在第一象限的部分，当x＜0，y＜0时，方程为，图象不存在，在同一坐标系中作出函数的图象如图所示，根据双曲线的方程可得，两条双曲线的渐近线都是，令z＝x+y﹣4，即直线为y＝与渐近线平行，当z最大时，为图中①的情况，即直线与椭圆相切，联立方程组，可得，当直线与椭圆相切时，则有，解得，又因为椭圆的图象只有第一象限的部分，故，当z最小时，恰在图中②的位置，且取不到这个最小值，此时y＝，故z＞﹣4，综上可得，z的取值范围为，所以|z|的取值范围为，即|x+y﹣4|的取值范围是．故选：B．12．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是AB，BC的中点，将△DAE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A，B，C三点重合于点A'，若点G及四面体A'DEF 的四个顶点都在同一个球面上，则以△DEF为底面的三棱锥G﹣DEF的高h的最大值为（）A．B．C．D．解：因为AD⊥AE，BE⊥BF，FC⊥DC，所以折叠以后可以让A'EF作为三棱锥的底面，DA'为三棱锥的高，则A'D⊥A'E，A'E⊥A'F，A'F⊥A'D，所以A'D，A'E，A'F两两垂直，将三棱锥放入以A'D，A'E，A'F为相邻三条棱的长方体中，则三棱锥的外接球的直径就是长方体的体对角线，因为A'D＝4，A'E＝2，A'F＝2，所以外接球的半径R＝，在△DEF中，cos∠DEF＝，所以sin∠DEF＝，△DEF外接圆的半径为r，则有，所以，故球心O到△DEF外心的距离为，所以以△DEF为底面的三棱锥G﹣DEF的高h的最大值为．故选：A．二、填空题（本题有6小题，13～15题每空3分，16～18题每空4分，共30分）13．已知点A（1，﹣1），直线l：x﹣2y+2＝0，则点A到直线l的距离是；过点A 且垂直于直线l的直线方程是2x+y﹣1＝0．解：已知点A（1，﹣1），直线l：x﹣2y+2＝0，则点A到直线l的距离是d＝＝＝；点A为（1，﹣1），垂直于直线l的直线方程斜率为＝﹣2，故过点A且垂直于直线l的直线方程为y+1＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣1＝0．14．椭圆的焦点F1，F2的坐标是（±5，0）；以F1，F2为焦点，且离心率的双曲线方程是．解：由椭圆的方程可得：a2＝49，b2＝24，所以c＝，故椭圆的焦点坐标为（±5，0）；在双曲线中，由已知可得c＝5，且离心率e＝，所以a＝4，则b2＝c2﹣a2＝25﹣16＝9，故双曲线的方程为：，故答案为：（±5，0），．15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AA1与面对角线BC1所成角的大小是45°；面对角线BC1与体对角面ACC1A1所成角的大小是30°．解：设正方体的棱长为2，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AA1∥BB1，则∠B1BC即为棱AA1与面对角线BC1所成的角，在Rt△B1BC中，，所以∠B1BC＝45°，故棱AA1与面对角线BC1所成角的大小是45°；连结AC与BD交于点O，则BO⊥AC，又A1A⊥平面ABCD，BO⊂平面ABCD，所以BO⊥AA1，又AA1，AC是体对角面ACC1A1内两条相交直线，所以BO⊥平面ACC1A1，则∠BC1O即为面对角线BC1与体对角面ACC1A1所成的角，在Rt△BOC1中，，所以sin∠BC1O＝，故面对角线BC1与体对角面ACC1A1所成的角为30°．16．设F1、F2为双曲线左、右焦点，点A在双曲线C上，若AF1⊥AF2，且∠AF1F2＝30°，则b＝．解：可设A在双曲线的右支上，|AF1|＝m，|AF2|＝n，在直角三角形AF1F2中，∠AF1F2＝30°，|F1F2|＝2，可得m＝2，n＝2，由双曲线的定义可得m﹣n＝2×2，即2﹣2＝4，解得b＝12+8，故答案为：12+8．17．设动点P在直线x+y﹣2＝0上，若在圆O：x2+y2＝3上存在点M，使得∠OPM＝60°，则点P横坐标的取值范围是[0，2]．解：如图，动点P在直线x+y﹣2＝0上，当PM与圆相切时，∠OPM最大，∵|OM|＝，∠∠OPM＝60°，∴|OP|＝2，设P（x，y），则|OP|＝，把y＝2﹣x代入，可得x2+（2﹣x）2＝4，即x2﹣2x＝0，解得x＝0或x＝2．∴点P横坐标的取值范围是[0，2]．故答案为：[0，2]．18．假设太阳光线垂直于平面α，在阳光下任意转动单位立方体，则它在平面α上的投影面面积的最大值是．解：设正方体为ABCD﹣A′B′C′D′投影最大时候，是投影面α与平面AB′C平行，三个面的投影为三个全等的菱形，其对角线为，即投影面上三条对角线构成边长为的等边三角形，如图所示，所以投影的面积＝2S△AB′C＝2××a×＝．故答案是：．三、解答题（本题有4小题，共54分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．已知抛物线C：y2＝2px上的点A（2，m）（m＞0）到准线的距离为4．（1）求p，m的值；（2）已知O为原点，点B在抛物线C上，若△AOB的面积为8，求点B的坐标．解：（1）由抛物线的方程可得准线方程x＝﹣，依抛物线的性质得，所以p＝4，将A（2，m）代入y2＝8x，得m＝4．所以p，m的值分别为4，4；（2）设B（2t2，4t），直线OA的方程为2x﹣y＝0，则点B到直线OA的距离，又，由题意得，解得t＝﹣1或t＝2，所以点B的坐标是（2，﹣4）或（8，8）．20．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB＝，AD＝DC．试证明：（1）AB1∥面BC1D；（2）AB1⊥BC1【解答】证明：（1）连B1C交BC1于点E，连DE，则在△AB1C中，D，E是中点，所以AB1∥DE，又AB1⊄平面BC1D，所以AB1∥面BC1D；（2）方法一：取BC中点F，连AF，B1F，由正三棱柱的性质知AF⊥侧面BCC1B1，所以AF⊥BC1，……①在侧面BCC1B1中，，F是中点，则Rt△BB1C1∽Rt△FBB1，所以BC1⊥B1F……②，由①②知BC1⊥面AB1F，所以BC1⊥AB1．方法二：在正三棱柱中，由于，，可得，所以，＝，所以，AB1⊥BC1．21．在底面是菱形的四棱锥S﹣ABCD中，已知AB＝AS＝，BS＝4，过D作侧面SAB的垂线，垂足O恰为棱BS的中点．（1）证明在棱AD上存在一点E，使得OE⊥侧面SBC，并求DE的长；（2）求二面角B﹣SC﹣D的平面角的余弦值．解：（1）连接AO，∵AB＝AS，O是BS的中点，∴BS⊥AO，∵DO⊥面ABS，∴DO⊥BS，又AO∩DO＝O，AO、DO⊂平面AOD，∴BS⊥平面AOD，过O作OE⊥AD于E，则OE⊥BC，∵OE⊂平面AOD，∴BS⊥OE，又BC∩BS＝B，BC、BS⊂平面SBC，∴OE⊥面SBC，在Rt△AOD中，AO＝＝1，DO＝＝2，∵S△AOD＝AO•DO＝AD•EO，∴EO＝＝＝，∴DE＝＝．（2）以O为原点，OA，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，2，0），S（0，﹣2，0），D（0，0，2），∴＝（﹣1，0，2），，，由（1）知，，∴E，∵EO⊥平面SBC，∴平面SBC的一个法向量，设平面SCD的一个法向量是，则，即，令y＝1，则x＝2，z＝﹣1，∴，∴，由图可知，二面角B﹣SC﹣D所成的角为钝角，故二面角B﹣SC﹣D的平面角的余弦值为．22．椭圆E：的离心率为，焦距为2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设G（m，n）是椭圆E上的动点，过原点O作圆G：（x﹣m）2+（y﹣n）2＝的两条斜率存在的切线分别与椭圆E交于点A，B，求|OA|+|OB|的最大值．解：（1），所以，，b＝1，所以椭圆E的标准方程为．（2）设圆的切线OA（OB）的方程为y＝kx，则，整理得（3﹣4m2）k2+8mnk+3﹣4n2＝0，其两根k1，k2满足……①这里k1＝k OA，k2＝k OB，且……②设A（x1，kx1），B（x2，kx2），则，，这里，，所以，，由①②得k1k2＝，则，所以，当且仅当|OA|＝|OB|时取等号．即．。

浙江省2020年高二上学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018高二上·牡丹江期中) 双曲线（）的焦距为4，一个顶点是抛物线的焦点，则双曲线的离心率等于（）A . 2B .C .D .2. （2分）方程表示的曲线为图中的（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高二上·重庆期中) 已知倾斜角为θ的直线，与直线x﹣3y+1=0垂直，则tanθ=（）A .B . 3C . ﹣3D .4. （2分）异面直线a、b成60°，直线c⊥a，则直线b与c所成的角的范围为（）A . [30°，90°]B . [60°，90°]C . [30°，60°]D . [60°，120°]5. （2分）化简等于A .B . 零位移C .D .6. （2分） (2019高一上·如皋月考) 若扇形的面积为，圆心角为，则该扇形的弧长为（） .A . 4B . 8C . 12D . 167. （2分）如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是（）A . 平行B . 垂直相交C . 垂直但不相交D . 相交但不垂直8. （2分）(2017·运城模拟) 已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：x2+y2+6x﹣8y+16=0，则圆C1和圆C2的位置关系是（）A . 相离B . 外切C . 相交D . 内切9. （2分）(2020·辽宁模拟) 已知半径为r的圆M与x轴交于两点，圆心M到y轴的距离为d.若，并规定当圆M与x轴相切时，则圆心M的轨迹为（）A . 直线B . 圆C . 椭圆D . 抛物线10. （2分） (2019高二上·大庆月考) 下列三图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1、F2为焦点，设图①②③中的双曲线的离心率分别为e1、e2、e3 ，则（）A . e1＞e2＞e3B . e1＜e2＜e3C . e1=e3＜e2D . e1=e3＞e2二、双空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2020高二上·温州期末) 已知直线（为常数），若直线的斜率为，则 ________，若，直线的倾斜角为________．12. （1分） (2018高一下·汕头期末) 已知向量，若向量与平行，则m=________ ．13. （1分）(2020·吴江模拟) 如图，正方体的棱长为1，E为棱上的点，为AB的中点，则三棱锥的体积为________.14. （1分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，AA1=5，则一只小虫从A点沿长方体的表面爬到C1点的最短距离是________三、填空题 (共3题；共3分)15. （1分）(2017·泰安模拟) 若双曲线的渐近线为，则双曲线C的离心率为________．16. （1分） (2019高三上·浙江月考) 已知过椭圆的左焦点的直线交于，两点，则的最小值为________．17. （1分）在△ABC中，D为AB的一个三等分点，AB=3AD，AC=AD，CB=3CD，则cosB=________四、解答题 (共5题；共50分)18. （10分）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.（1） A(2,3)，B(4,5)；（2） C(－2,3)，D(2，－1)；（3） P(－3,1)，Q(－3,10)．19. （10分） (2016高二上·秀山期中) 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P ﹣ABCD组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面ABFE；（Ⅱ）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是．20. （10分） (2018高三上·德州期末) 已知椭圆：的左、右有顶点分别是、，上顶点是，圆：的圆心到直线的距离是，且椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）平行于轴的动直线与椭圆和圆在第一象限内的交点分别为、，直线、与轴的交点记为，．试判断是否为定值，若是，证明你的结论．若不是，举反例说明．21. （10分） (2020高二上·深圳月考) 如图，在三棱柱中，底面，，，D是中点，求证：（1）平面；（2）平面平面．22. （10分） (2020高二下·焦作期末) 已知椭圆，点，，分别为椭圆的左焦点、右顶点和下顶点，的面积为，且椭圆的离心率为 .（1）求椭圆的标准方程；（2）若点为椭圆上一点，直线与椭圆交于不同的两点，，且（点为坐标原点），求的值.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、双空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、填空题 (共3题；共3分)15-1、16-1、17-1、四、解答题 (共5题；共50分) 18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。