高中数学选修4-4 坐标系及参数方程

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坐标系及参数方程
考点一
极坐标方程与直角坐标方程的互化
1．极坐标与直角坐标的互化条件 (1)极点与原点重合； (2)极轴与 x 轴正方向重合； (3)取相同的单位长度． 2．若把直角坐标化为极坐标，求极角 θ 时，应注意判断点 P 所在的象限(即 角 θ 的终边的位置)，以便正确地求出角 θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉 的问题转化为熟悉的问题．
1．平面直角坐标系中的伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 x′＝λxλ>0 φ： 的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为 y′＝μyμ>0 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．坐标系 (1)极坐标系的概念
在平面上取一个定点 O 叫作极点；自点 O 引一条射线 Ox 叫作极轴；再选 定一个长度单位、角度单位 (通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方 向)，这样就建立了一个极坐标系． 设 M 是平面上任一点， 极点 O 与点 M 的距离|OM|叫作点 M 的极径， 记为 ρ； 以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的∠xOM 叫作点 M 的极角，记为 θ.有序数
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坐标系及参数方程
在极坐标系中，判断曲线的形状，研究曲线的性质，最常用的方法是化极坐 标方程为直角坐标方程， 使不熟悉的问题转化为熟悉的问题． 对一些简单的直线、 圆的有关问题，也可直接用极坐标知识解决． 对点训练 ⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别为 ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O1，⊙O2 交点的直线的直角坐标方程． [解] 以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中
4 4 3 k＝－3，令直线 l 的倾斜角为 α，则 tan α＝－3，所以 cos α＝－5. [答案] D
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坐标系及参数方程
π 3．在极坐标系中，圆心为1，2，且过极点的圆的方程是( A．ρ＝2sin θ C．ρ＝2cos θ [解析] B．ρ＝－2sin θ D．ρ＝－2cos θ
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坐标系及参数方程
对(ρ，θ)称为点 M 的极坐标，记作 M(ρ，θ)． (2)直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相 同的长度单位．设 M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y) 和(ρ，θ)，则 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， ρ2＝x2＋y2， y tan θ＝xx≠0.
(1)因为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以 C1 的极坐标方程为 ρcos θ＝－2，
C2 的极坐标方程为 ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. π (2)将 θ＝4代入 ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 ρ2－3 2ρ＋4＝0，解得 ρ1＝2 2，ρ2＝ 2. 故 ρ1－ρ2＝ 2，即|MN|＝ 2. 1 由于 C2 的半径为 1，所以△C2MN 的面积为2.
3．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为 α，则它的方程为 ρsin(θ－α) ＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 ①直线过极点：θ＝θ0 和 θ＝π－θ0； ②直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：ρcos_θ＝a； π ③直线过点 Mb，2且平行于极轴：ρsin_θ＝b. (2)圆的极坐标方程
2 若圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r 的圆方程为 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ2 0－r ＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程 ①当圆心位于极点，半径为 r：ρ＝r； ②当圆心位于 M(a,0)，半径为 a：ρ＝2acos_θ； π ③当圆心位于 Ma，2，半径为 a：ρ＝2asin_θ. 问题探究 1：平面内的点与点的直角坐标的对应关系是什么？与点的极坐标 呢？ 提示：平面内的点与点的直角坐标是一一对应关系，而与点的极坐标不是一 一对应关系，当规定 ρ≥0,0≤θ<2π 后点的极坐标与平面内的点就一一对应了．
x＝2cos θ， π (5)参数方程 (θ 为参数且 θ∈0，2)表示的曲线为椭圆． ( y＝5sin θ [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)×
)
x＝1＋3t， 2．若直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，则直线 l 的倾斜角的余 y＝2－4t， 弦值为( 4 A.5 3 C.5 [解析] ) 4 B．－5 3 D．－5 x＝1＋3t， 由 (t 为参数)得直线方程为 4x＋3y－10＝0，且斜率为 y＝2－4t
取相同的长度单位． (1)ρ＝4cos θ，两边同乘以 ρ，得 ρ2＝4ρcos θ； ρ＝－4sin θ，两边同乘以 ρ，得 ρ2＝－4ρsin θ. 由 ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2， 得⊙O1，⊙O2 的直角坐标方程分别为 x2＋y2－4x＝0 和 x2＋y2＋4y＝0.
(2)过极点， 作斜角为 α 的直线的极坐标方程可示为 θ＝α 或 θ＝π＋α.(
(3) 圆心在 极轴 上的 点 (a,0) 处，且 过极 点 O 的 圆的 极坐标 方程 为 ρ ＝ 2asinθ.( ) )
， x＝－2＋tcos 30° (4)直线 (t 为参数)的倾斜角 α 为 30° .( y＝1＋tsin 150°
4.则圆心到直线的距离 d＝ 2，故弦长＝2 r2－d2＝2 2. [答案] D
5．在以 O 为极点的极坐标系中，圆 ρ＝4sin θ 和直线 ρsin θ＝a 相交于 A，B 两点，若△AOB 是等边三角形，则 a 的值为________． [解析] 由 ρ＝4sin θ 可得 ρ2＝4ρsin θ，所以 x2＋y2＝4y.
2 2 x ＋y －4x＝0，① (2)由 2 2 x ＋y ＋4y＝0. ②
①－②得－4x－4y＝0，即 x＋y＝0 为所求直线方程． 考点二 参数方程与普通方程的互化
将参数方程化为普通方程， 需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参 方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法，平方消参法等，对于含三 角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参如 sin2θ＋cos2θ＝1 等．
通方程的关键是消去参数，普通方程化参数方程的关键点恰当的选取参数． [解] x＝2cos θ， (1)曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数)． y＝3sin θ
直线 l 的普通方程为 2x＋y－6＝0. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ，3sin θ)到 l 的距离为 d＝ 6|， d 2 5 4 则|PA|＝sin 30° ＝ 5 |5sin(θ＋α)－6|，其中 α 为锐角，且 tan α＝3. 22 5 当 sin(θ＋α)＝－1 时，|PA|取得最大值，最大值为 5 . 2 5 当 sin(θ＋α)＝1 时，|PA|取得最小值，最小值为 5 . 5 |4cos θ＋3sin θ－ 5
所以圆的直角坐标方程为 x2＋y2＝4y，其圆心为 C(0,2)，半径 r＝2； 由 ρsin θ＝a，得直线的直角坐标方程为 y＝a，由于△AOB 是等边三角形， 所以圆心 C 是等边三角形 OAB 的中心，若设 AB 的中点为 D(如图)． 1 则 CD＝CB· sin 30° ＝2×2＝1，即 a－2＝1，所以 a＝3. [答案] 3
ρ2＝x2＋y2， x＝ρcos θ， 和 是极坐标与直角坐标互化的依据． y tan θ＝x y＝ρsin θ
(2015· 新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x＝－2，圆 C2：(x －1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求 C1，C2 的极坐标方程； π (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝4(ρ∈R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求 △C2MN 的面积． [解题指导] [解] 切入点： 直角坐标化极坐标； 关键点： 极坐标系中的距离公式．
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坐标系及参数方程
x＝acos θ， x2 y2 问题探究 3： 对于椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的参数方程 (θ 为参数)， y＝bsin θ θ 是椭圆上的点与原点连线的倾斜角吗？ 提示：不是，如图，θ 是离心角．
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)在伸缩变换下，直线仍然变成直线，圆仍然变成圆．( ) )
)
由极坐标与直角坐标方程的关系可知圆心为(0,1)，r＝1，则 x2＋(y
－1)2＝1，x2＋y2＝2y，即 ρ＝2sin θ，故选 A. [答案] A
4． (2016· 合肥检测)以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线 l 的参数方程是 x＝t＋1， (t 为参数)， 圆 C 的极坐标方程是 ρ＝4cos θ， 则直线 l 被圆 C 截得的 y＝t－3 弦长为( A. 14 C. 2 [解析] ) B．2 14 D．2 2 由题意得直线 l 的方程为 x－y－4＝0，圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝
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坐标系及参数方程
4．参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个 x＝ft， 变数 t 的函数： 并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 y＝gt， M(x，y)都在这条曲线上，那么方程就叫作这条曲线的参数方程，联系变数 x，y 之间关系的变数 t 叫作参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的 坐标间关系的方程叫作普通方程． 5．几种常见曲线的参数方程 (1)直线 x＝x0＋tcos α， 经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程是 (t 为 y＝y0＋tsin α 参数)． x＝x0＋tcos α， 问题探究 2：在直线的参数方程 (t 为参数)中，t 的几何意 y＝y0＋tsin α 义是什么？如何利用 t 的几何意义求直线上任两点 P1、P2 的距离？ 提示：t 表示在直线上过定点 P0(x0，y0)与直线上的任一点 P(x，y)构成的有 向线段 P0P 的数量． |P1P2|＝|t1－t2| ＝ t1＋t22－4t1t2. (2)圆 x＝a＋rcos α， 以 O′(a，b)为圆心，r 为半径的圆的参数方程是 其中 α 是 y＝b＋rsin α， 参数． x＝rcos α， 当圆心在(0,0)时，方程为 y＝rsin α. (3)椭圆 中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况： x＝acos φ， x2 y2 椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的参数方程是 其中 φ 是参数． y＝bsin φ，