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《数学简史》知识提要1 数学史的意义及研究对象：数学史是研究数学概念、数学方法和数学思想的产生、发展及其规律的科学。
主要对象包括：重要数学成果、重大数学事件和重要数学人物，及其与社会、政治、经济和一般文化的联系。
2 数学文化的特点数学史在整个人类文明史上有着特殊地位，这是由数学的文化特点决定的。
数学文化特点有以下几个方面：（1）数学以抽象的形式，追求高度精确、可靠的知识。
（2）数学追求最大限度的一般性模式特别是一般性算法的倾向。
（3）数学是创造性活动的结果，追求艺术和美的特征。
3历史上对数学的认识：亚里斯多德：量的科学；笛卡儿：顺序与度量的科学；恩格斯：空间形式与数量关系；美国学者：关于模式的科学。
第二章古代希腊数学主题：论证数学的形成与发展1论证数学的开端：论证数学的鼻祖：泰勒斯（前625－前547）和毕达哥拉斯（前580－前500）。
（1）泰勒斯：发现了许多几何命题（圆被直径平分……）；开创了几何命题的逻辑论证；天文测量。
他的逸闻趣事具有很好的教育意义。
（2）毕达哥拉斯及其学派致力于哲学与数学的研究，提出了“万物皆数”是信念，推动了证明的逻辑信念的形成。
主要成果：发现毕达哥拉斯定理及其数组；几何定理的证明；正多边形（正五和正十边形）与正多面体作图；形数（把数看成形进行研究）；完全数（一个整数互为另一个的不包括自身的因数之和）；亲和数（两个整数互为另一个的因数（不包括自身）之和）；不可公度量（实质是证明了2是无理数）的发现。
（注：什么是“可公度量”？对于任何两条给定的线段，总能找到某第三线段，以它为单位线段能将给定的两条线段划分为整数段。
这样的两条线段为“可公度量”，即有公共度量的度量单位。
这是古希腊毕达哥拉斯学派对世界任何量都能表示成两个整数比信念的反映。
）3亚历山大时期（全盛时期）主要代表人物：欧几里得、阿基米德和阿波罗里奥斯（1）欧几里得：主要代表作《原本》（又称为《几何原本》）。
他用公理化方法对当时的数学知识作了系统化、理论化的总结。
数学史考试大纲一、考试目的与要求本考试旨在评估学生对数学发展史的基本知识、重要数学概念的起源与发展、以及数学思想在不同文化和历史时期的传播与影响的理解。
考试要求学生能够：1. 掌握数学史上的重要时期、人物和事件。
2. 理解数学概念的形成和发展过程。
3. 分析数学思想在不同文化中的传播及其对社会的影响。
4. 能够运用数学史知识解决实际问题。
二、考试内容1. 数学史的起源- 古埃及数学- 古巴比伦数学- 古印度数学2. 古希腊数学- 毕达哥拉斯学派- 欧几里得《几何原本》- 阿基米德的贡献3. 伊斯兰数学- 阿拉伯数字的传播- 代数学的发展- 阿尔·花拉子米4. 中世纪欧洲数学- 欧洲数学的复兴- 斐波那契数列- 欧洲文艺复兴时期的数学5. 近代数学的兴起- 笛卡尔坐标系- 牛顿与莱布尼茨的微积分- 概率论的初步6. 18世纪数学- 欧拉的贡献- 拉格朗日与拉普拉斯的分析学7. 19世纪数学- 非欧几何的发现- 群论的诞生- 康托尔的集合论8. 20世纪数学- 布尔巴基学派- 计算机与算法的发展- 现代数学的分支9. 数学在现代社会的应用- 数学在物理学中的应用- 数学在经济学中的应用- 数学在计算机科学中的应用10. 当代数学的发展趋势- 跨学科的数学研究- 数学在解决现实问题中的作用- 数学教育的改革与发展三、考试形式与题型考试形式为闭卷笔试，题型包括：1. 选择题：测试学生对数学史基本知识点的掌握。
2. 填空题：考察学生对数学概念和事件的准确记忆。
3. 简答题：要求学生对数学史上的重要人物或事件进行简要描述。
4. 论述题：评估学生对数学思想传播与影响的分析能力。
5. 案例分析题：运用数学史知识解决实际问题的能力。
四、评分标准1. 选择题和填空题：根据正确答案评分。
2. 简答题和论述题：根据内容的准确性、逻辑性和条理性评分。
3. 案例分析题：根据分析的深度、广度和创新性评分。
五、参考书目1. 莫里斯·克莱因《数学：确定性的丧失》2. 伊恩·斯图尔特《数学史》3. 约瑟夫·马祖尔《数学史概论》六、考试准备建议1. 阅读教材和参考书目，系统掌握数学史的基本知识。
《数学史》考试大纲青海师大民族师范学院数学系指定教材：《数学史教程》，李文林，高等教育出版社，2000年8月第1版。
一、课程性质和学习目的课程性质：选修课程。
学习目的：1、正确认识数学发展规律和中国传统数学特点，吸取营养，古为今用，洋为中用；2、正确探究数学家的成才之路，以人为镜、以史为鉴、以史为镜，指导发展开发智力，培养英才；3、正确分析数学科学内容及其蕴含的矛盾，研究数学发展的内在动因，以培养唯物辩证数学史观。
二、课程内容及考核要求总体要求：1、理解与熟悉与中学教学大纲范围内的代数、几何、三角、解析几何、微积分等有关的数学发展历史；2、了解射影几何、几何基础、数学分析和20世纪现代数学思想创立和发展和重要史料；3、熟悉上述内容中主要中外数学家的生平和他们对数学的贡献，以及著名的一些文献；4、了解中国古代数学在数学科学发展中的一些重大贡献。
课程内容：第一章数学史――人类文明史的重要篇章1、数学史的意义2、什么是数学3、数学史的分期第二章数学的起源与早期发展1、古埃及的数学2、美索不达米亚的数学第三章古代希腊数学1、希腊数学与哲学的关系2、毕达哥拉斯；毕达哥拉斯定理；可公度量；第一次数学危机3、古希腊三大著名几何问题4、欧几里得与几何原本5、阿基米德的数学成就6、阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论经7、托勒玫的《天文学大成》8、丢番图的《算术》9、帕波斯与《数学汇编》第四章中世纪的中国数学1、《周髀算经》与勾股定理2、《九章算术》3、刘徽的数学成就4、祖冲之与祖5、《算经十书》6、贾宪三角与增乘开方法7、秦九韶与《数书九章》第五章印度与阿拉伯的数学1、印度数学与宗教的关系2、阿耶波多的数学成就；婆罗摩笈多的数学成就，马哈维拉的数学成就；婆什迦罗的数学成就3、阿拉伯的代数学4、阿拉伯的三角学与几何学第六章近代数学的兴起1、斐波那契与《算经》2、代数学；三次方程的代数解法；韦达的数学成就3、三角学4、从透视学到射影几何5、计算技术与对数6、解析几何的诞生第七章微积分的创立1、半个世纪的酝酿2、牛顿的流数术3、莱布尼茨的微积分第八章分析时代1、微积分的发展2、微积分的应用与新分支的形成3、十八世纪的几何与代数第九章几何学的变革1、欧几里得的第五公设2、非欧几何的诞生3、非欧几何的发展与确认4、希尔伯特的《几何基础》与公理化方法第十章分析的严格化1、柯西与分析基础2、魏尔斯特拉斯关于分析严格化不断贡献3、实数理论4、集合论的诞生第十一至十四章1、希尔伯特的23个数学问题2、对数学基础的深入探讨3、独立的数学应用学科：数理统计、运筹学、控制论4、计算机与现代数学5、哥哥德尔不完全性定理6、四色问题7、分形与混沌8、费马大定理的证明9数学与社会。
高中数学史选讲知识提纲第一章数学发展概述§1 从数学的起源早期发展到初等数学形成一、数学的起源，早期发展（p1-p3）主要标志：数的概念、记数系统、算术、几何等初步形成。
1.数的概念和计数系统 2.经验几何的发展中国最早的数学著作《周髀算经》中，记载了勾股定理。
古埃及在19世纪中期和末期发现两卷纸草书，一卷是“莱茵德草卷”，一卷是“莫斯科草卷”。
3.算术二、初等数学（常量数学的形成）（p3-p7）到公元16世纪，经过系统整理和理论概括形成初等数学，也就是常说的常量数学。
1.希腊（坚持数学中的演绎法和抽象方法）（1）欧几里得，著作《原本》（中文翻译：《几何原本》）是数学史上的第一座理论丰碑，其最大的攻绩在于确定了数学中的演绎模式。
（2）阿基米德对面积和体积的计算接近于积分计算。
（3）丢番图的《算术》是古希腊人在代数方面取得的最高成就，书中不仅解决了许多不定方程，而且开始用一套缩写符号表示代数问题，这为以后符号数学的发展开了先河。
2.中国（p4-p6）《九章算术》可追溯到公元前1世纪，它是中国最重要的数学著作，包含了丰富的数学成果，例如，算术方面的此例算术，盈不足术，代数方面的方程术、正负术、开方术等。
（P4）刘徽撰《九章算术注》，其中割圆术是极限思想的萌芽。
刘徽和南北朝时期的祖暅计算球体积的方法是积分学的萌芽。
公元5世纪的《张邱建算经》提出了世界著名的百鸡问题。
他发了三组答案，他是数学史上发出一题多解的第一人。
祖冲之，给出了 的上下界。
南朝《孙子算经》中有“物不知数”问题，通常称作“孙子问题”即孙子定理，中国剩余定理。
杨辉的著作《详解九章算经》中有一张珍贵的图——“开方作法本源图”，也即“贾宪三角，这张图给出了指数为正整数的二次式展开的系数表。
西方人把此三角称作“帕斯卡三角形”。
（p6）宋元一个最深刻的动向是向代数符号化的进展，这就是天元术与四元术的出现。
元朝李治所著《测圆海镜》和《益古演段》是最先阐述天元术的著作（天元术：设未知数列方程的一般方法）。
数学史与数学（文化）教育选修课学习提纲
1.数学史的教育价值。
2.为什么说不了解数学史就不可能全面了解数学科学？
3.什么是数学文化？为什么说数学是一种文化？举例说明你身边的数学文化现
象。
4.《普通高中数学课程标准》中对数学文化的具体要求是什么？
5.根据你所学过的数学知识，举例说明“重大的数学理论总是在继承和发展原
有理论的基础上建立起来的，它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包容原先的理论。
”
6.试述函数概念的历史产生过程，并简述中学数学课程对函数概念教学内容的
编排方式。
7.简述对数的历史产生过程。
8.谈谈你对无穷小量的理解。
9.举出5位文艺复兴以后对近现代数学做出重要贡献的数学家，说明他们的主
要数学工作及其影响。
10.你认为数学史与数学教育整合的方法有哪些？存在哪些困难？
11.作为一名数学教师，你认为数学史在教师知识的构成中居于何种地位？
12.谈谈数学史对你的数学观、数学学习观的影响。
13.你对历史上的哪些数学家印象深刻？原因是什么？
14.结合历史上对给数学下定义的发展过程，你认为什么是数学？
15.数学史上的三次数学危机的产生及解决过程及受到的启示。
16.数学史上对数学基础的探讨所产生的三大主义学派，其代表人物及思想。
17.任选数学史与数学教育结合的内容，自拟题目，写一份教学设计。
要求：文
字流畅；内容翔实；深入浅出；结构合理；篇幅适中。
数学史复习资料数学史是研究数学发展历史的学科，对于数学的理解有着至关重要的作用。
这篇文章将为您提供数学史的一些复习资料，以便您更好地理解数学发展的历史。
一、古代数学的发展古代数学的发展可以追溯到古埃及和古巴比伦时期。
在古埃及，人们就已经开始运用几何学知识解决土地测量和建筑设计等问题。
古巴比伦人则发明了计数系统，并在商业交易中广泛使用。
随着时间的推移，许多数学家依然保留他们的研究成果，比如毕达哥拉斯学派、欧几里得和阿拉伯数学家阿尔-哈齐米等。
二、数学的新发现随着时间的推移，许多心智独特的数学家公布了原创性研究成果，把数学从算术和几何范畴推向了更广泛的领域。
例如，追随欧几里得之后的流派发现了大量的几何学定理和公式，而曾在印度和中东进行研究的数学家则发明了代数学。
印度人的代数学发展在9世纪至12世纪达到高峰，主要研究整式方程以及计算三角函数值。
三、数学家们的贡献许多数学家在数学史上留下了永恒的印记。
例如：欧几里得研究出几何概念，毕达哥拉斯发现拓展的数学原理，牛顿发明了微积分等等。
我们也不能忽视中国古代的数学家贡献，如祖冲之、刘徽、李善兰等人。
祖冲之在几何学和数学推理方面有着重要的贡献，刘徽则发明了中国古代的曲线和三角函数。
四、数学发展的重要事件在数学发展的历史上，有着许多重大事件。
例如，欧几里得的《几何原本》被认为是几何学的代表作品。
这本书是一部范性几何学的典范，成为后世几何学的标志作品。
同时，笛卡尔对代数几何的发现使数学家们换了一个角度看待几何题目。
更有甚者，微积分学的诞生为数学迎来了全新的视野。
五、结语总的来说，数学史是非常有趣也很重要的一门学科。
对于理解数学的本质、发展以及数学家们的贡献，数学史提供了足够的准确的信息和素材。
它能够让我们洞察数学的本质，从而更好地把握数学的发展方向，同时帮助我们更好地应用数学知识。
希望本文所提供的数学史复习资料对于您的学习有所帮助。
《数学史概论》期末复习资料《数学史概论》复习题一、选择题与填空题1．世界上第一个把π计算到3.1415926＜n ＜3.1415927 的数学家是( )2．我国元代数学著作《四元玉鉴》的作者是( )3. 以“万物皆数”为信条的古希腊数学学派是( )4．就微分学与积分学的起源而言( )比较早5．在现存的中国古代数学著作中，最早的一部是( )6．简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系V+F-E=2这个公式叫( ) 7. 首先使用符号“0”来表示零的国家或民族是( ) 8．中国古典数学发展的顶峰时期是( )9. 历史上有记载的第一位数学家和论证几何学的鼻祖是（）10．最早使用“函数”(function)这一术语的数学家是( )11. 《几何原本》的作者是( )12..在1900年巴黎国际数学家大会上提出了23个著名的数学问题的数学家是( )13. 复分析作为现代分析的研究领域是在19世纪建立起来的，而且是通过三个人的工作而发展的，即柯西、魏尔斯特拉斯。
第三个人是谁？（）14．古埃及的数学知识常常记载在（）15．大数学家欧拉出生于（）16. 对微积分的诞生具有重要意义的“行星运行三大定律”，其发现者是( )17．首先获得四次方程一般解法的数学家是( )18．中国数学史上最先完成勾股定理证实的数学家是( )19．《九章算术》的“少广”章主要讨论（）20. 《九章算术》中的“阳马”是指一种特殊的( )21．最早采用位值制记数的国家或民族是( )22. 射影几何产生于文艺复兴时期的( )23．《数学汇编》是一部荟萃总结前人成果的典型著作，它被认为是古希腊数学的安魂曲，其作者为( )24．美索不达米亚是最早采用位值制记数的民族，他们主要用的是( )25．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代名著( )26．下列数学著作中不属于“算经十书”的是( )27．微积分诞生于( ) A.15 世纪 B.16 世纪 C.17 世纪 D.18 世纪28．在《几何原本》所建立的几何体系中，“整体大于部分”是( )A.定义B.定理C.公设D.公理29．刘徽首先建立了可靠的理论来推算圆周率，他所算得的“徽率”是( )A.3.1B.3.14C.3.142D.3.141592630．费马对微积分诞生的贡献主要在于其发明的( )A.求瞬时速度的方法B.求切线的方法C.求极值的方法D.求体积的方法31．祖冲之的代表作是（）A.《考工记》B.《海岛算经》C.《缀术》D.《缉古算经》32. 第一台能做加减运算的机械式计算机是数学家（）发明的。
《数学史》复习资料名词解释：1、可公度量：对于任何两条给定的线段，总能找到某第三线段，以它为单位线段能将给定的两条线段划分为整数段。
这样的两条线段为“可公度量”，即有可公度量的度量单位。
这是古希腊毕达哥拉斯学派对世界任何量都能表示成两个整数比信念的反应。
2、出入相补原理：一个几何图形（平面或立方体的）被分割成若干部分后，面积或体积总保持不变。
3、费马大定理：关于X、Y、Z的不定方程X n+Y n =Z n ，对于任意大于2的自然数n无非零整数解。
4、大数定律：概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。
概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。
P128 帕斯卡曾提出的n为正数时的二项式定理，得到所谓伯努利定理：若p是某一事件单独出现一次的概率，q是不出现该事件的概论，则在n次试验中，该事件至少出现m次的概率等于二项式（p+q）n 的展式中的从p n 项到p m q n-m 项的各项之和。
容易看出，这实际上就是概率论中最重要的定律之一——“大数定律”的最早表现形式。
5、倍立方体：就是已知一立方体，求作另一立方体，使它的体积等于已知立方体的两倍。
也即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍。
6、祖氏原理：P65“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，若所得截面总相等，则此二几何体积相等。
它被称为“祖暅原理”。
1、简述古希腊数学的特点。
答案二：（1）追求理性和唯理的论证数学特点；（2）欧氏几何开创了公理化理论体系；（3）欧式几何形成了演绎思维的特征；总之，希腊数学是追求理性，主要以演绎几何为特征的数学。
2、简述欧几里得《原本》中所确立的公理化思想。
答：公理化思想是古希腊时期在欧氏几何中确立数学演绎范式。
这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论，而所有这样的推理链的共同出发点，就是一些基本定义和被认为不证自明的基本原理——公理或公设。
数学史知识点●中世纪的中国数学1.周髀算经在现存的中国古代数学著作中，《周髀算经》是最早的一部。
卷上叙述的关于荣方与陈子的对话，包含了勾股定理的一般形式。
（我国最早记载勾股定理，中国历史上最早完成勾股定理证明的数学家是三国时期的赵爽。
）我国古代著作《周髀算经》中的“髀”是指竖立的表或杆子。
2.九章算术第一章“方田”：田亩面积计算；提出了各种多边形、圆、弓形等的面积公式；分数的通分、约分和加减乘除四则运算的完整法则。
后者比欧洲早1400多年。
第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，称为衰分术；第三章“衰分”：比例分配问题；介绍了开平方、开立方的方法，其程序与现今程序基本一致。
这是世界上最早的多位数和分数开方法则。
它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础。
第四章“少广”：已知面积、体积，反求其一边长和径长等；第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法；（《九章算术》中的“阳马”是指一种特殊的棱锥）第六章“均输”：合理摊派赋税；用衰分术解决赋役的合理负担问题。
今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。
西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。
第七章“盈不足”：即双设法问题；提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。
这也是处于世界领先地位的成果，传到西方后，影响极大。
第八章“方程”：一次方程组问题；采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致。
这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。
在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则。
这一章还引进和使用了负数，并提出了正负术——正负数的加减法则，与现今代数中法则完全相同；解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。
2006级数本《数学史》复习提纲（要点）一、历史人物或历史事件（线索）古希腊第一个数学家：泰勒斯。
0符号由哪国家创造：印度。
哪个学派信仰"万物皆数"：毕达哥拉斯。
体现中国古代数学成熟的著作：《九章算术》。
流数是指什么：微商。
数学符号系统化归功于哪个数学家：韦达。
第一个中译本《几何原本》是谁翻译：徐光启，利玛窦。
三角形内角和小于180度是哪种几何：非欧黎曼罗巴切夫斯基二次互反律谁证明；高斯。
中国古代数学三次发展高潮：两汉，南北朝，宋元。
通过哪两本纸草书研究古埃及的：《莱茵德纸书》，《莫斯科纸书》。
费尔马大定理及谁攻破：x^n+y^n=z^n 维尔纳。
哪年希尔伯特发表23个问题：1900.8.5笛卡尔万能方法:中国第一位获得数学博士：胡明度。
国际数学发展中心的转移，"后继数"谁提出：佩亚诺。
谁创立信息论：香农。
谁创立四元数：哈密顿。
阿波罗尼奥斯关于曲线著作：《圆锥曲线》第一个证明一般五次及五次以上方程没有根式解的数学家：阿贝尔。
代数学一词来源于谁著作：花拉子米。
《缉古算经》作者：王孝通。
用现存什么研究美索不达米亚数学成就，中文"代数""法线"一词谁创造：李善兰。
古希腊作图只用什么工具：圆规，直尺。
历史上最伟大的数学家，数学最高奖，欧拉创立哪些符号，我思故我在是谁的名言：笛卡尔。
数理统计奠基人：费歇尔。
托勒玫定理是什么控制论谁创立：维纳。
谁创造对数：纳皮尔。
中国最早的经书《周髀算经》。
物不知其数在哪本著作出现，斐波那去数列：T=T(n-1)+T(n-2)。
毕达哥拉斯如何解释数学20世纪纯数学特征，公理化三个原则：相容性，独立性，完备性。
历史上最伟大女数学家：爱米诺特。
二、简答题（仅供参考）1、试述欧几里得的伟大贡献及其《原本》的缺陷。
要点：欧几里得的伟大贡献：1）开创性地引进公理化方法，建立了数学的演绎体系；2）总结古希腊数学成就，使数学知识特别是几何知识成为一门学科体系，开创了数学教材的先河。
《几何原本》的缺陷：1）某些定义借助于直观描述，或措辞含糊不清；有的概念本可以定义，却没有定义；有的定义在以后推理或定义中并没有再使用，等等；2）公理系统不完备，有些公理不独立；3）公理系统的三个基本条件：相容性、独立性和完备性。
2、19世纪初数学家们面临18世纪遗留下来的三个最突出的数学问题是什么？要点：1）高于四次的代数方程的根式求解问题；2）欧几里德几何空间中平行的证明问题；3）牛顿，莱布尼兹微积分算法的逻辑基础问题。
3、从传统数学到近代数学，经历了哪几个重要的转折点？要点：1）数学研究的基本思想从以常量观念为中心转移到以变量观念为中心；2）数学研究的基本方法从希腊传统的几何演绎方法转变为算术、代数的分析方法；3）新的观点和新的方法使数学具有更强大的生命力。
4、九章算术中的九章是什么？简述《九章算术》的特点。
要点：《九章算术》是方田，粟米，少广，商功，均输，盈不足，方程，勾股。
《九章算术》的特点：1）内容丰富，涉及算术、代数、几何各方面知识，且实用性强；2）以计算为主，重视算法的总结概括，并且有数形结合的特点；3）以题解为中心，在题解中给出算法；4）没有以概念和命题为核心的演绎体系的痕迹，实用性及以算为主是其基本特点。
5、试述近代数学发展的几个重要特点。
要点：1）算术、代数与几何相结合并共同发展；2）纯粹数学与应用数学密切结合，互相促进，并产生新的结合发展的趋势；3）数学研究走向社会化和专业化。
6、试述非欧几何的基本思想以及罗巴切夫斯基创立非欧几何地历史意义。
要点：非欧几何的基本思想：用与欧氏第五公设相反的命题作为替代公设，由此出发进行逻辑推导而得出一连串新几何学的定理，这些定理并不包含矛盾，因而在总体上形成了一个逻辑上可能的、无矛盾的理论，即新的几何学--非欧几何学。
罗氏非欧几何创立的历史意义：1）罗氏面对传统的数学观，敢于抗争和批判，勇于坚持真理，为后人树立了良好的榜样；2）这是一次数学思想上的巨大突破，它扩大了人们对空间的认识，从此几何学将从欧氏几何的狭窄天地里转到研究各种不同的几何空间，如欧氏空间、罗氏空间、黎氏空间、放射空间等。
7、概述数学史上的三次数学危机及其影响。
要点：第一次数学危机是不可通约量即无理数的发现，它导致希腊数学家在数的概念面前止步了，结果阻碍了代数学的发展，但却促进了综合几何学的形成和发展。
第二次数学危机是微积分的基础问题，特别是无穷小量概念问题，它导致数学陷入自相矛盾的境地，结果出现了一场针对微积分基础的大论战。
微积分基础问题的解决导致众多数学分支的创立，如数学分析、微分方程、复变函数、变分法、微分几何等。
第三次数学危机是集合论的基础问题，它使许多数学家卷入了关于数学基础的大辩论，结果导致数学三大学派的形成。
8、简述20世纪应用数学的特点。
要点：1）数学的应用突破了传统的范围而向人类几乎所有的知识领域渗透；2）纯粹数学几乎所有的分支都获得了应用，其中最抽象的一些分支也参与了渗透，如数论在密码学中的应用；3）现代数学在生产技术中的应用变得越来越直接，如现代大规模生产的管理决策、产品质量控制等直接依赖于线性规划算法与统计方法；4）现代数学在向外渗透的过程中，产生了一些相对独立的应用学科，如数理统计、运筹学、控制论等。
9、牛顿创立微积分，必须解决哪几个基本问题？要点：1）纯净概念--特别是建立变化率的概念；2）提炼方法--提炼各种解决具体问题的方法，使其具有普遍意义；3）改变形式--把概念和方法的几何形式变成解析形式，使之应用更广。
10、简述20世纪数学的特点。
要点：1）以集合论、数理逻辑为基础，开创了数学元认知的研究，出现了针对数学基础的三大学派；2）数学理论更加抽象，出现代数化、拓扑化的趋势，如代数几何、代数数论、代数拓扑等；3）电子计算机进入数学计算，开创了新的数学分支--计算数学，并开始机器证明；4）应用数学出现众多的新分支，数学向生物学、经济学、社会学、语言学等几乎所有的领域进军。
11、简述笛卡尔创立解析几何的思想要点：解析几何的基本思想是在平面上引进所谓的"坐标"的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实属对（x,y）之间建立一一对应的关系，每一对实数（x,y）都对应平面上的一个点；反之，每一点都对应于它的坐标（x,y）以这种方式可以将一个方程f（x,y）=0与平面上一条曲线对应起来，于是几何问题便可归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现行的几何结果。
12、简述元末明初中国数学停滞不前的原因？要点：1）日趋严重的停滞性与腐朽性；2）数序发展缺少社会动力和思想刺激；3）科举考试中的《明算科》完全废除；4）中国传统数学本身也存在着弱点；5）筹算本身有很大的局限性；6）数学符号没有彻底的改变；7）笔算数学还有演绎几何，在中国的传播都由于"天朝帝国"的妄大，自守而显得困难和缓慢。
13、与19世纪相比，二十世纪数学发展有什么特征？要点：1）更高的抽象性；2）更高的统一性；3）更深入的基础探讨。
14、古希腊三大作图难题要点：1）化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方形；2）倍立方体。
即求一个立方体使其体积等于已知立方体的两倍；3）三等分角，即分任意角为三等份。
15、对数学基础有不同理解的三大学派是什么？要点：1）以罗素为代表的逻辑主义；2）以布劳威尔为代表的直觉主义；3）以希尔伯特为代表的形式主义。
16、在文艺复兴时期，变量数学产生主要背景是什么？P137要点：1）机械的普遍使用引起了对机械运动的研究；2）世界贸易的高涨促使航海事业的空前发达，而测定船舶位置问题要求准确的研究天体运动的规律；3）武器的改进刺激了弹道问题的研究。
三、论述题（要点仅供参考）1．试述早期古希腊数学的特点，并分析其局限性。
要点：早期古希腊数学的特点：1）既继承了前一时期巴比伦数学和古埃及数的丰硕成果，又进行了创造性的研究活动，提出了关于数学的观点、理论和方法；2）与他们的数学观相联系，希腊数学家把数学研究的领域大大扩充了，数学的范围涉及几何、算术、数论、天文学和音乐等；3）希腊数学家把逻辑证明系统地引入数学中，强调逻辑证明是确立数学命题的真理性的一个基本方法，从而建立了数学的演绎体系，使数学从经验知识上升为理论知识，真正意义的数学科学从此诞生（其标志是欧几里得《几何原本》）。
早期古希腊数学的缺陷：1）只接受有理数，不承认无理数，结果限制了数的概念的发展，阻碍了代数学的研究。
这种状况使古希腊的几何学是理论的、演绎的，而它的算术则主要是经验的、计算的，因而导致几何学与算术，数与形之间的长期分裂；2）即使在他们最擅长的几何学里，也只是局限于研究那些能用直尺、圆规构造出来的那些图形。
这种做法极大限制了几何学的研究范围。
2．函数概念的发展经历了哪几个阶段？试给出最后两个阶段的函数定义，并分析其异同。
要点：函数概念发展经历了几何定义、解析定义、变量定义、对应定义和集合定义等五个阶段。
其中对应定义是黎曼给出的，即：在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应关系，y都有唯一确定的值与它对应，那么就把y称为x的函数，x称为自变量。
集合定义是康托尔给出的，即：A和B是两个集合，如果按照某种对应关系，使A的任何一个元素在B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应关系称为集合A到B的函数。
对应定义与集合定义的共同点是：二者都明确了函数的"对应关系"，并强调"唯一对应"；不同点是：前者只有变量概念，没有集合概念，并将变量y 称为自变量x的函数；后者用集合及其元素代替变量概念，并将对应关系称为集合到集合的函数。
3．为什么中国古代数学没有形成严密的逻辑演绎体系？试从社会制度、文化观念、筹算系统、研究风格等因素进行分析。
要点：1）元代以后，科举考试制度中的《明算科》被完全废除，唯以八股取士，数学社会地位低下；2）中国古代文化强调实用性，务实之风在数学研究中盛行，尽管有算法的总结，但缺乏深入的思辨和逻辑论证的处理，因而数学知识难于形成抽象性的演绎体系；3）筹算系统有很大的局限性，它无法演进为彻底的符号代数，同时也使复杂的演算无能为力；4）中国古代数学家一般以《九章算术》为研究起点，尽管以后编撰了许多数学著作，但都没有摆脱《九章算术》的风格，即一直以具体问题的解决为核心内容，缺乏整个理论的研究与创造。
4．论述欧氏几何的意义和非欧几何产生的过程要点：意义是数学史上的一座理论丰碑，它最大的功绩，是在于数学史中演绎范式的确立，这种范式要求的每个命题必须是在它之前已经建立的一些命题和逻辑结论，而所有这样的推理链的共同的出发点，是一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理。
