四年级奥数练习1

排列组合排列组合问题是必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有2112520C C C =种，选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113A A A 、113233A A A 和1333A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A =共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从I A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种. （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种. 10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

数学小练习A1～301、上海与南京之间的快车，除起点，终点外，还要停靠5个站，汽车公司要准备种车票。

2、一条路长50米，在路的两旁从头到尾每隔5米种一棵树，一共可以种棵。

3、一根绳子剪去一半多4米，再剪去余下的一半，还剩43米，这根绳子原来长米。

4、一桶油连桶重120千克，用去一半油后，连桶还重65千克，这个桶里原有油千克，桶重千克。

5、一根圆木长18米，要锯成3米长的一段，共要锯次。

6、某数乘4，加10，再除以7，最后加上了3，结果等于9，这个数是。

7、明明今年9岁，爸爸今年39岁，再过年，爸爸的年龄是他的3倍。

8、如果9月的最后一天是星期三，那么9月1日是星期。

9、按下列的规律摆图形△○○△△○○○△○○△△○○○△……，共摆了98个，那么最后一个是，△共有个。

10、哥哥今年15岁，弟弟今年9岁，当两人的年龄和是80岁时，两人的年龄各是多少岁？11、某数加上6，乘以6，减去6，除以6，其结果等于6，则这个数是_______。

12、一个卖西瓜的农民，第一次卖出西瓜的一半又1个，第二次又卖出了剩下西瓜的一半又1个，这里梨子里还剩下2个西瓜，这个农民原来有_______个西瓜。

13、数学竞赛试卷基础卷共有20道填空题，如果做对一题得5分，做错一题和不答都扣3分，要得84分，需要答对题。

14、一根木头锯成四段要12分钟如果照这样的速度锯成5段要分钟。

15、某数加上5，乘以5，减去5，除以5，其结果等于5。

这个数是。

16、哥哥和弟弟手里一共有20支铅笔，哥哥给弟弟5支笔后俩人的笔数才相同，那么原来哥哥比弟弟多几支铅笔？17、有A、B、C三箱货一共重60千克，从A箱拿5千克到B箱，从B箱拿3千克到C箱，从C箱拿2千克到A箱, A、B、C箱就一样重，A、B、C箱原来各重多少千克？18、有甲、乙、丙三个数，从甲数取15加到乙数，再从乙数取18加到丙数，最后从丙数取12加到甲数，这时三个数都是28。

甲、乙、丙三个数原来各是多少？19、三（1）班小图书箱第一天借出了存书的一半，第2天又借出43本，还剩32本。

9．甲、乙两地相距180千米，一人骑 自行车从甲地出发每小时走15千米， 另一人骑摩托车从乙地同时出发，两 人相向而行，已知摩托车车速是自行 车的3倍，问多少小时后两人相遇？
10．两地相距320千米，甲车从一地 开出1小时后，乙车从另一地相对开 出，又经过4小时与甲车相遇，已知 甲车每小时比乙车多行10千米，问乙 车每小时行多少千米？
例5、甲乙两车 从相 距360千米的两地同时 相向而行，3小时相遇， 已知甲车的速度是乙 车 的2倍，求两车的 速度。
作业：
1、两地相距280千米，甲乙两车同 时从两地相对开出，经过4小时相遇， 已知甲车速度是乙车的6倍，求甲乙 两车每小时各行多少千米？ 2、甲乙两城相距680千米，从甲城 开往乙城的普通客车每小时行驶60 千米，2小时后，快车从乙城开往甲 城，每小时行80千米，快车开出几 小时后两车相遇？
15：一列快车和一列慢车同时从甲、 乙两站出发，相向而行，经过6小时 相遇。相遇后快车继续行使3小时后 到达乙站，已知慢车每小时行45千 米，问甲、乙两站相距多少千米？ 16：一列快车从甲城开往乙城，每 小时行75千米，一列客车同时从乙 城开往甲城，每小时行60千米，两 列火车在距两城中点30千米处相遇。 相遇时两车各行了多少千米？
综列火车于中午 1时从甲站出发开往乙站，每小时行52千米， 另一列火车于下午3时从乙站开往甲站，下午6 时两车相遇，问：从乙站开出的火车速度是多 少？
2、一辆卡车和一辆客车从相距300千米 的两地相向而行，卡车每小时行45千米。 客车每小时行40千米，如果卡车上午8时 开出，问：客车何时开出两车才能在中 午12时相遇？
11．甲、乙二人从相距116千米的A、B 两地出发相向而行，甲先出发1小时。 他们二人在乙出后的4小时相遇，又已 知甲比乙每小时慢2千米，求甲、乙二 人的速度。 12．A、B两地相距496千米，甲车从A 地出发开往B地，每小时行32千米，甲 车开出半小时后，乙车从B地出发开往 A地，它的速度是甲车的2倍，问乙车开 出几小时后，两车相遇？

练习
姓名：
2.已知甲、乙、丙三人中，只有一人会开汽车。

甲说：“我会开汽车。

”乙说：“我不会开。

”丙说：“甲不会开汽车。

”如果三人中只有一人讲的是真话，那么谁会开汽车？
3.甲、乙、丙、丁四个同学进行象棋比赛，每两个都比赛一场，规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分。

结果甲得第一，乙、丙并列第二，丁最后一名，那么乙得分。

4.用一只平底锅煎饼，每次能同时放两块饼，如果煎1块饼需要2分钟（正、反面各1分钟），问：煎9块饼最少需要多少分钟？
5、两个父亲和两个儿子，一起去钓鱼。

每人都钓到一条鱼，回去一数一共只有3条鱼。

为什么？
6、3匹马拉着一辆车跑了12千米，1匹马跑了多少千米？
7、2只猫2小时抓2只老鼠，照这样计算，3只猫抓3只老鼠需要多少时间？
8、小名和小丁玩猜数游戏。

小名在纸条上写了一个四位数让小丁猜。

小丁问：是6031吗？小名说：猜对了一个数字，而且位置正确。

小丁问：是5672吗？小名说：猜对两个数字，但位置都不正确。

小丁问：是4796吗？小名说：四个数字都说对了，但位置都不对。

你能根据以上信息，猜出小名写的四位数十多少吗？。