信号与系统第四章习题课4

第四章 习题1．拉氏变换法和算子符号法的区别和联系？解：拉氏变换法和算子符号法都能求解微分方程。

拉氏变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析过程中的一些禁忌，便于把微分方程转为代数方程，简化求解过程。

但拉氏变换法得到的系统函数可能丢失零输入响应的极点故无法用来求零输入响应，而算子符号法得到的传输算子则能反映出所有零输入响应极点。

2．判断下列说法的正误。

（1）非周期信号的拉氏变换一定存在； 错 （2）有界周期信号的收敛域为整个右半平面； 对 （3）能量信号的收敛域为整个s 平面； 错 （4）信号2t e 的拉氏变换不存在。

错3．某有界信号⎩⎨⎧=≤≤≠=其他)(21t t t t f ，其中1t 和2t 为有界值。

证明：若)(s F 至少在一个s 值上收敛，则其收敛域为整个s 平面。

证明：2121()()()t t f t M f t dt M t t ≤<∞⇒≤-<∞⎰当0σ>时，22111()()t t tt t t f t e dt e f t dt σσ--<<∞⎰⎰Re[]0s ⇒>时，拉氏变换存在对于0σ≤时，同样得到21()t t t f t e dt σ-<∞⎰总上所得，收敛域为整个s 平面。

4．求如下信号的拉氏变换。

（1）)sinh(at ；（2）)cosh(at ；（3）t t ωcos ；（4）t t ωsin 。

解：（1）22111sinh()22at at e e a at s a s a s a --⎛⎫=↔-= ⎪-+-⎝⎭ （2）22111cosh()22at at e e sat s a s a s a -+⎛⎫=↔+= ⎪-+-⎝⎭（3）2222222cos ()d s s t t ds s s ωωωω-⎡⎤↔-=⎢⎥++⎣⎦ （4）222222sin ()ds t t ds s s ωωωωω⎡⎤↔-=⎢⎥++⎣⎦5．比较如下函数的拉氏变换在积分下限采用-0和+0的区别。

（1）)(t δ；（2）)(sin t tu ；（3）)()4sin(t u t π+；（4）])([cos 't tu 。

解：（1）-0：1，+0：0 （2）-0：112+s ，+0：112+s （3）-0：11222++⋅s s ，+0：11222++⋅s s（4）[cos ()]sin ()()tu t tu t t δ'=-+，-0：122+s s ，+0：112+-s6．求图5-1所示信号)(t f 的拉氏变换)(s F 。

标明其零点和极点。

解：22242(2)()()(2)()(2)t t t t f t e u t e u t e u t e e u t ------=--=--所以2(2)42111()222s s e f t e e s s s -+---↔-=+++ 23111(1)23!!x ne x x x x n =++++++表面上一阶零点2-=z 和一阶极点2-=p ，实际上零极点相消（分子用泰勒级数展开即可），因为有限能量信号的拉氏变换在整个s 平面上收敛，故无零极点。

7．求图5-2和图5-3所示信号的拉氏变换。

解：（1）0()[()((21))]2n T f t u t nT u t n ∞==---+∑t)(t f t012EE-34...所以(21)20211()[](1)Tn s nsTT s n f t e e s s e∞-+--=↔-=+∑（2）2(21)0()[(2)((21))][]1ns n s sn n Ef t E t n t n E e e eδδ∞∞--+-===---+↔-=+∑∑ 8．试求下列信号的拉氏变换。

（1）)]1()()[sin(--t u t u t π；（2）)()42sin(t u t π-；（3）)24(-t δ；（4）⎰t x x 0d )sin(π；（5）)12(-t tu 。

解：（1）sin()[()(1)]sin()()sin[(1)](1)t u t u t t u t t u t ππππ--=--+-22(1)sin()()sin[(1)](1)s e t u t t u t s ππππ-+=+--↔+（2）222sin(2)()2cos 2)())444s t u t t t u t s s π-=--=++ （3）121(42)4s t e δ--↔（4）0()()sin()d sin()()(0)t df t f t x x t sF s f dtππ=⇒=↔-⎰而(0)0f =所以()sF s =£[sin()t π]2222()()F s s s s ππππ=⇒=++（5）£[)12(-t tu ]dds=-£[(21)u t -]11222111[]()2s s d e e ds s s s --=-=+9．求下列函数的拉氏变换。

（1）)2sin(t et-；（2）)sinh(t e atβ-；（3）())1(2---t u te t ；（4）te e tt 53---。

解：（1）22sin(2)(1)4t e t s -↔++（2）22111sinh()22()()()tt at at e e e t e s a s a s a βββββββ---⎛⎫-=↔-= ⎪+-+++-⎝⎭（3）()()1212(2)(1)(1)1(1)s s t t d e e s teu t e teu t e ds s s --+----⎧⎫⎡⎤+⎪⎪-=⋅-↔-=⎨⎬⎢⎥++⎪⎪⎣⎦⎩⎭（4）3511355[]limln ln ln35533t t s s e e s s s ds t s s s s s --∞→∞-+++↔-=+=+++++⎰ 10．分别求下列函数的逆变换的初值与终值。

（1）)3)(2(1)(+++=s s s s F ；（2）)3)(2()1()(2+++=-s s e s s s F s ； （3）)2)(1()(+-=s s s s F ；（4）)3(1)(3+++=s s s s s F ； （5）)3(1)(2++=s s s s F ； （6）)1)(1(2)(2+++=s s s s F 。

解：（1）(0)lim ()=1s f sF s →∞=；0()lim ()=0s f sF s →∞=（2）(0)lim ()=0s f sF s →∞=；0()lim ()=0s f sF s →∞=（3）(0)lim ()=1s f sF s →∞=；有位于右半平面的极点，终值不存在（4）31101()3(3)(3)s s s F s s s s s s +++==-+++；1(0)lim ()=10s f sF s →∞=；01()lim ()=3s f sF s →∞= （5）(0)lim ()=0s f sF s →∞=；在原点有二阶极点，故()f ∞不存在（6）(0)lim ()=0s f sF s →∞=；在虚轴上有极点，故()f ∞不存在11．已知信号0,0)(<=t t f ，试求满足如下方程的信号)(t f 。

)()1(d )(d )(t u e t tt f t f t --=*解：2d ()()()d f t f t sF s t*↔，而211(1)()11(1)t d st e u t s ds s s -⎛⎫-↔+= ⎪+++⎝⎭ 所以，221()()()()(1)1t s sF s F s f t e u t s s -=⇒=±⇒=±++ 12．求下列函数的拉氏逆变换。

（1）11+s ；（2）1112++s ；（3）2312+-s s ；（4）)2()1()3(3+++s s s ；（5）)2)(1(1++-s s s ； （6）)2)(1(32+++s s ss ；（7）23795223+++++s s s s s 。

解：（1）1()1t e u t s -↔+（2）211sin ()()1tu t t s δ+↔++（3）22111()()3221t t e e u t s s s s =-↔--+--（4）22332(3)2111[(1)]()(1)(2)(1)(1)12t t s t t e e u t s s s s s s --+=-+-↔-+-++++++ （5）2132(32)()(1)(2)21t t s e e u t s s s s ---=-↔-++++（6）2231112()2()()(1)(2)12t t s s t e e u t s s s s δ--+⎡⎤=--↔--⎢⎥++++⎣⎦（7）3222597212()2()(2)()3212t t s s s s t t e e u t s s s s δδ--+++'=++-↔++-++++13．求下列函数的拉氏逆变换。

（1）)1(42+-s s e s ；（2）)1(1s e s -+;（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛+9ln s s 。

解：（1）2211()[1cos(1)](1)4(1)414s s e e s t u t s s s s --=-↔---++ （2）23011[1][(2)(2)](1)s s ss n e e e u t nT u t nT T s e s ∞----==-+-+↔----+∑（3）999111()ln (1)()()(1)()999tt d s s d s tf t e u t f t e u t dt s s ds s s s t--+⎛⎫⎡⎤-↔=⋅=-↔-⇒=- ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦ 14．求理想冲激抽样信号)()(t e t f T at δ-=的拉氏变换。

解： 01()1snTT sT n t e e δ∞--=↔=⇒-∑()1()()1atTs a Tf t e t e δ--+=↔-15．求下列函数的双边拉氏变换和收敛域，并画出零极点图。

（1）)()(t u e t u e bt at -+--；（2）0,>-a te t a ； （3）)(b at u +； （4）)()sin(t u t θω+。

解：（1）11()()at bt e u t e u t s a s b--+-↔-++当a b >时，Re[]a s b -<<-；当a b ≤时，双边拉氏变换不存在。

（2）222114{[]}[]()a t a t B d d as te e dsds s as as a ---↔-=--=+--，Re[]a s a -<<（3）10Re[]0()10Re[]0b s a b s a e a s s u at b e a s s⎧>>⎪⎪+↔⎨⎪-<<⎪⎩（4）22cos sin sin()()sin cos ()cos sin ()Re[]0s t u t t u t t u t s s ωθθωθωθωθω++=+↔>+16．确定下列函数可能的收敛域及其相应的逆变换。