云南省昆明市第一中学2019-2020学年高三第六次考前基础强化数学(理)试题

云南省昆明市第一中学2024届高三上学期第六次考前基
础强化数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
．CD
【分析】根据单调性可判断AB；分离常数可判断
可判断C；利用复合函数性质可判断()(ln
f x x
=
则()()min
00f x f ==，故当且仅当0x =时，()f x 取得最小值0.
【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.。

昆明第一中学2016届高中新课标高三第六次考前基础强化试卷理科数学昆明一中第六期月考参考答案（理科数学）命题、审题组教师丁茵、顾先成、杨仕华、鲁开红、张兴虎、张波、李建民、张宇甜、彭力 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1. 解析：因为|2,0,2,4N y y x x M ==∈=，所以0,2M N =I ，选A ．2. 解析：由于1i 11i 1i 22a a az +-+==+-，因为z 为纯虚数，所以1a =，选C ． 3.解析：因为29a =，216b =，所以22225c a b =+=，离心率53c e a ==，选D ． 4. 解析：由图得，(0.010.0180.012)101a b ++++⨯=，得0.06a b +=，选C ．5. 解析：41x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为4214(1)r r rr T C x -+=-⋅，令420r -=得2r =，则常数项为224(1)6C -=，选D ．6. 解析：因为命题p 为假命题，命题q 为假命题，所以p q ⌝∧⌝为真命题，选D ．7. 解析：由三视图可知，该几何体的上半部分是半径为1的球，表面积为4π；下半部分是底面半径为2，高为4的圆柱的一半，表面积为2114422224161222πππ⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+.所以该几何体的表面积为1616π+，选C.8. 解析：因为3S 是12a 与2a 的等差中项，所以31222S a a =+，即21120a q a q +=，又因为10,a q ≠所以12q =-，选B ． 9. 解析：1i =时，()()11xh x x e =+；2i =时，()()22xh x x e =+；3i =时，()()33x h x x e =+；L ；2016i =时，()()20162016x h x x e =+，循环结束，选B.10. 解析：抛物线C 的标准方程为21(0)x y a a =≠，焦点为10,4F a ⎛⎫⎪⎝⎭，过点A 作准线14y a=-的垂线，垂足为1A ，1AA 交x 轴于点2A ，根据抛物线的定义得1AA AF =.由梯形中位线定理得线段AF 的中点到x 轴的距离为2111111()22442d OF AA AA AF a a ⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭，故以线段AF 为直径的圆与x轴的位置关系是相切，选C ．11. 解析：令219y x =-,)1(2+=x k y ，其示意图如图:()1,22A若0k >,要满足21y y ≤,则3b =,此时1a ≤.从而22211k ≥=+. 若0k <,要满足21y y ≤,则3a =-.而1b <-,不满足2b a -≥. 所以2k ≥，选A ．12. 解析：设矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，则OA OB OC OD ===，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起时，无论所得的二面角多大，总有四面体A BCD -的各顶点到点O 的距离为52，故四面体A BCD -的外接球的半径为52，该球的体积为345125()326ππ⨯=，选B ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

昆明第一中学2016届高中新课标高三第六次考前基础强化试卷文科数学昆明一中第六期月考参考答案（文科数学）命题、审题组教师丁茵、顾先成、杨仕华、鲁开红、张兴虎、张波、李建民、张宇甜、彭力一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1. 解析：因为2|,0,1,4N y y x x M ==∈=，所以0,1,2,4M N =U ，选D ．2. 解析：因为()()()()12i 2i 12i i 2i 2i 2i +++==--+，所以12i 12i +=-，选B ． 3. 解析：因为29a =，29b =，所以22218c a b =+=，离心率ce a==，选C ．4. 解析：满足条件的点M 在以正方体的中心为球心，球半径为1的球内，则所求的概率3341326P ππ⋅==，选C ．5. 解析：因为命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以p q ⌝∧为真命题，选A ．6. 解析：由358a a +=，得178a a +=，即()1777282a a S +==，选A ． 7. 解析：过点A 作准线=1x -的垂线，垂足为1A ，设准线=1x -与x 轴交于点K ，由抛物线的定义得14AA AF ==，因为2FK =，所以由梯形中位线定理得线段AF 的中点到准线的距离为11()32d FK AA =+=，选B ． 8. 解析：由三视图可知，该几何体的上半部分是半径为1的球，表面积为4π；下半部分是底面半径为2，高为4的圆柱的一半，表面积为2114422224161222πππ⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+.所以该几何体的表面积为1616π+，选C ．9. 解析：由221sin sin sin sin sin sin 2A C C A B C +-=得2212ac c a bc +-=，由a ，b ，c 成等比数列得2ac b =，即为22212b c a bc +-=，所以1cos 4A =，即sin A =，选D ． 10. 解析：1i =时，()()11xh x x e =+；2i =时，()()22xh x x e =+；3i =时，()()33x h x x e =+；L ；2016i =时，()()20162016x h x x e =+，循环结束，选B ．O PCBA11. 解析：()sin cos f x x x x '=+，所以()f x '为奇函数，故C 错误，又()f ππ'=-，只有B 符合，选B.12. 解析：令219y x =-, )1(2+=x k y ，其示意图如图: ()1,22A若0k >,要满足21y y ≤,则3b =,此时11a -<≤.从而222k ≥=； 若0k <,要满足21y y ≤,则3a =-.则21b a ≥+=-,从而k值不存在.所以2k ≥，选A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届昆一中高三联考卷第六期联考文科数学参考答案及评分标准命题、审题组教师 杨昆华 张宇甜 顾先成 李春宣 王海泉 莫利琴 蔺书琴 张远雄 崔锦 杨耕耘一、选择题1. 解析：因为集合{}{}121,0,1,2A x x =∈-≤≤=-Z ，{}{}2111B x x x x =≤=-≤≤，所以{}101A B =-I ，，，{}{}112A B x x =-≤≤U U ，选A.2. 解析:由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x x >甲乙图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故S S <甲乙,选C ．3. 解析：命题1p ：若0a =，0b =时，则i 0a b +=不是纯虚数，所以1p 为假命题；命题2p ：121i z z +=-，在复平面内所对应的点的坐标为()1,1-，位于第四象限，所以2p 为真命题；命题3p ：1i iz ==-，它的共轭复数为i z =，所以3p 为假命题；命题4p ：设1i z a b =+（,a b ∈R ，且0b ≠）， 则212222111i ()()i i a bz z a b a b z a b a b a b =+=++=++-+++，因为2z 是实数，0b ≠，所以221a b +=，即11z =，所以4p 为真命题. 选D.4. 解析：在直角△BCE 中，cos15a c =︒，sin15b c =︒，则22121()2CDE ABCDc S P S a b ∆==+梯形()222121sin 303cos15sin15c c ===+︒︒+︒，选C ．5. 解析：由抛物线的定义得点A 到准线1x =-的距离为4，所以点A 的横坐标为3x =，代人抛物线2:4C y x =得212,y y ==±OFK 的面积为112S =⨯⨯B ．6. 解析：连结AC ，BD ，则AC ⊥平面1B DB ，所以1AC DB ⊥，又EF AC ∥，所以1EF DB ⊥，选B ．7. 解析：由图可知目标函数2z x y =+在点1010()77A ，处取得最小值min 307z =，选A. 8. 解析：定义域{}2x x ≠，因为22(33)()0(2)e xx x f x x --+'=<-，所以()f x 在()2-∞，和()2+∞，上单调递减，选A.9. 解析：函数()f x 满足(1)f x +的图象关于1x =-对称，则()f x 图象关于y 轴对称，()f x 是偶函数且在()0+∞，上是增函数，0.313π<<，20e 1-<<，21log 39>，所以c a b >>，选C.10. 解析：0n =，1A =；1n =，1A =；2n =，0A =；3n =，1A =-；4n =，0A =；5n =，7A =；6n =，28A =，选B.11. 解析：2=2sin 4sin 2sin 4sin(+)4sin 23cos 27sin()3AB BC C A C C C C C πϕ++=+=+=+，其中3tan ϕ=，当sin()=1C ϕ+取得最大值，存在C 使得最大值为27，选B. 12. 解析：1212OA OB x x y y ⋅=+u u u r u u u r，22222221212122111221221=)()())44x x y y x y x y x y x y x y x y +++--=++≥（）（（当且仅当2121y yx x =-时，即,A B 关于轴对称时等号成立，选 D.二、填空题13. 解析：(2)a b a +⊥r r r 有(2)0a b a +⋅=r r r ，即220a a b +⋅=r r r ，解得cos 1θ=-，θπ=.14. 解析：()2122f x x x'=+，由导数的几何意义知()f x 在点()4,1-处的切线斜率()41k f '==，则()f x 在点()4,1-处的切线方程为()114y x +=⨯-即5y x =-. 15. 解析：由cos sin 1tan 2cos sin 1tan θθθθθθ++==--，所以1tan 3θ=，而22222222cos sin 1tan 4(cos sin )(cos sin )cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθθθθ--+-=-===++．16. 解析：当异面直线AB ，CD 互相垂直时体积最大，可以把四面体ABCD 补在长方体中，如图，则22236a b c ++=，B222242b c a b c bc+===+≥，4，四面体ABCD 的体积1114323V =-⨯⨯⨯=≤四面体ABCD三、解答题 （一）必考题17. 解：（1）设{}n a 的公差为d ，由310a =可得1210a d +=，由1111S =可得1115511a d +=所以116a =，3d =-，{}n a 的通项公式为16(1)(3)319n a n n =+-⨯-=-+ ………6分 （2）由131903160n n a n a n +=-+≥⎧⎨=-+≤⎩解得161933n ≤≤所以当6n =时，n S 有最大值，此时最大值为651S = ………12分 18. （1）解：连接AC ，BD ，设AC BD P =I ，因为四边形ABCD 为菱形，所以P 为AC 与BD 的中点，连接MP ，因为BF ∥平面MAC ，且平面BFD I 平面MAC MP =，所以BF ∥MP ， 因为P 为BD 的中点，所以M 为FD 的中点，即12FM FD =. ………6分 （2）解：因为60ABC∠=︒，四边形ABCD 为菱形，2AB CB ==，所以BD = 过N 作NG ∥BE ，且NG BD G =I ， 因为12EN ND =，所以BG ， 设BE a =，则23NG a =，因为直线BN 与平面ABCD所成角的正切值为tan NBG ∠==,所以a =所以三角形ABD 的面积1ABF ABEF S S S =-=V 梯形而点N 到平面BEF 的距离即点G 到平面BEF 的距离为h =， 由113B ENF N BEF V V S h --==⋅=所以三棱锥B ENF - ………12分19. 解：（1）由表格中的数据，可得3456755x ++++==，8382807877805y ++++==， 所以219845580 1.613555ˆb-⨯⨯==--⨯，则80 1.588ˆ6a =+⨯=， 所以y 关于x 的回归方程ˆ 1.688yx =-+． ………6分 （2）利用（1）中的回归方程ˆ 1.688y x =-+，可得13x =，1ˆ83.2y =，24x =，2ˆ81.6y =，35x =，3ˆ80y=， 46x =，4ˆ78.4y =，57x =，6ˆ76.8y =，所以10.2ξ=，20.4ξ=，30ξ=，40.4ξ=，50.2ξ=，即5个销售均价数据中有3个即1y ，3y ，5y 是“好数据”，从5个销售均价数据中任意抽取2个的所有可能结果：12(,)y y ，13(,)y y ，14(,)y y ，15(,)y y ，23(,)y y ，24(,)y y ，25(,)y y ，34(,)y y ，35(,)y y ， 45(,)y y ，2个数据均为“好数据”的结果是：13(,)y y ，15(,)y y ，35(,)y y ，所以310P =． ………12分 20. 解：(1)因为12AF F ∆为直角三角形，所以b c =，a = ，又△12AF F周长为4所以222)4a c c +==，故c =24a =，22b =，所以椭圆22:142x y C +=. ………4分(2)设11(,)M x y ，22(,)N x y 当直线l 斜率不存在时，121212OM ON y y k k x x ⋅==-12x x =，12y y =-，所以212112OM ONy k k x ⋅=-=-，又2211142x y +=，解得22112,1x y ==，221212111OM ON x x y y x y ⋅=+=-=u u u u r u u u r. ……………6分当直线l 斜率存在时，设直线方程为:l y kx m =+，由22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(12)4240k x kmx m +++-=，0∆>得2222164(12)(24)0k m k m -+->即2242m k <+，12221224122412km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ………8分 2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222412m k k -=+由121212OM ON y y k k x x ⋅==-得22222411224212m k k m k -+=--+，即2221m k =+， ………10分所以[)221212122221221211,12121212m k OM ON x x y y x x k k k --⋅=+====-∈-+++u u u u r u u u r .所以[1,1]OM ON ⋅∈-u u u u r u u u r. ………12分21. 解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，因为()()()()221221212x a x a x a x a f x x a x x x+---+'=+--==， 若0a ≤，则()'0f x >，则()f x 在()0,+∞单调递增；若0a >，则当0x a <<时，'()0f x <，当x a >时，()0f x '>，则()f x 在(0,)a 单调递减，则(),a +∞单调递增. ………5分（2）由（1）可知，当0a =时，()2f x x x =+在()0,+∞单调递增，()0f x >，满足题意； 当0a >时，要使()0f x ≥，则()()2min ln 0f x f a a a a a ==-+-≥，即ln 10a a +-≤， 构造()ln 1g x x x =+-，则()1'10g x x=+>，故()g x 在()0,+∞上单调递增， 又()10g =，故当(]0,1x ∈时，()0g x ≤，故由()0g a ≤得1a ≤， 当0a <时，当x 趋于0时，()f x 趋于-∞，与题意不符，舍去； 综上，要使()0f x ≥，则[]0,1a ∈. ………12分对于0a <的情况只需说明“舍去”即可得分，对考生不做要求，下附严格证明： 对任意0a <，取m >()221am a <-，即()210a am m -+<，构造()e x h x x =-，0x ≥，则()'e 10x h x =-≥，故()h x 在()0,+∞单调递增， 又()010h =>，故()0h x >，即e x x >，特别地e 0m m >>，则110em m >>，故()()()2112e212110e e e mm m m a a a f am am am m +---⎛⎫=+<+<+< ⎪⎝⎭，与()0f x ≥矛盾，舍去.（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。

昆明第一中学2020届高中新课标高三第六次考前基础强化文科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合||12}A x Z x =∈-≤≤，{}2|1B x x =≤，则（ ）A. {}1,0,1A B =-IB. {}1,0,1,2A B ⋃=-C. {}|11A B x x ⋂=-≤≤D. {}|12A B x x ⋃=-≤≤【答案】A 【解析】 【分析】用列举法表示出集合A ，再求解出不等式21x ≤的解集为集合B ，即可计算出,A B A B ⋃⋂的结果. 【详解】因为集合{|12}{1,0,1,2}A x Z x =∈-≤≤=-，{}2|1{|11}B x x x x =≤=-≤≤， 所以{1,0,1}A B ⋂=-，{|11}{2}A B x x ⋃=-≤≤⋃， 故选：A.【点睛】本题考查集合的交集和并集运算，难度较易.2.甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为x 甲、x 乙标准差分别为σ甲、σ乙，则( )A. x x <甲乙，σσ<甲乙B. x x <甲乙，σσ>甲乙C. x x >甲乙，σσ<甲乙D. x x >甲乙，σσ>甲乙【答案】C【解析】 【分析】通过读图可知甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x x >甲乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σσ<甲乙.【详解】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x x >甲乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σσ<甲乙.故选.【点睛】本题考查平均数及标准差的实际意义，是基础题. 3.设有下面四个命题：1p ：0a =是(),a bi a b R +∈为纯虚数的充要条件；2p ：设复数123z i =-，212z i =-+，则12z z +在复平面内对应的点位于第四象限； 3p ：复数1z i=的共轭复数z i =-；4p ：设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，则1||1z =. 其中真命题为（ ） A. 1p ，3p B. 1p ，4p C. 2p ，3p D. 2p ，4p【答案】D 【解析】 【分析】1p ：考虑,a b 同为零的情况；2p ：先计算12z z +的结果，然后判断所在象限；3p ：计算出z ，然后即可得到共轭复数；4p ：设1z a bi =+，根据2z 是实数得到,a b 的关系，由此求解出1z . 【详解】命题1p ：若0a =，0b =时，则0a bi +=不是纯虚数，所以1p 为假命题；命题2p ：121z z i +=-，在复平面内所对应的点的坐标为()1,1-，位于第四象限，所以2p 为真命题； 命题3p ：1z i i==-，它的共扼复数为z i =，所以3p 为假命题；命题4p ：设1z a bi =+（,a b ∈R ，且0b ≠），则212222111a b z z a bi a b i z a bi a b a b ⎛⎫⎛⎫=+=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，因为2z 是实数，0b ≠， 所以221a b +=，即1||1z =，所以4p 为真命题. 故选：D.【点睛】本题考查复数的概念、除法运算以及复数的几何意义，属于综合型问题，难度较易.已知z a bi =+，则a 为实部，b 为虚部，共轭复数z a bi =-，复数的模z =.4.1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形ABCD 中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”推证出勾股定理，人们把这一证明方法称为“总统证法”.如图，设15BEC ∠=︒，在梯形ABCD 中随机取一点，则此点取自等腰直角CDE ∆中（阴影部分）的概率是（ ）A.B.34C.23D.2【答案】C 【解析】 【分析】根据几何概型中的面积模型可知：点取自等腰直角CDE ∆中（阴影部分）的概率等于阴影部分面积比上整个梯形的面积，由此得到结果.【详解】在直角BCE ∆中，cos15a c =︒，sin15b c =︒，则()22222112211sin 303cos15sin15()2CDE ABCDc S c P S c a b ∆︒︒︒=====+++梯形. 故选：C.【点睛】本题考查几何概型中的面积模型，难度较易.解答问题的关键：将图形的面积比值与概率联系在一起.5.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点A 为C 上一点且||4AF =，则OFA ∆的面积为（ ）（O为A.B.C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求解出A 点的坐标，然后代入坐标OFA ∆的面积即可计算出.【详解】由抛物线的定义得点A 到准线1x =-的距离为4，所以点A 的横坐标为3x =，代入抛物线C ：24y x =得212y =，y =±，所以OFA ∆的面积为112S =⨯⨯= 故选：B.【点睛】本题考查抛物线中三角形面积求解，涉及到利用抛物线的定义求坐标，难度较易.已知抛物线方程()220y px p =>，则抛物线上点()00,P x y 到抛物线焦点F 的距离02p PF x =+. 6.在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱CD ,AD 的中点，则（ ） A. 1EF DC ⊥ B. 1EF DB ⊥C. 11EF D C ⊥D. 11EF B C ⊥【答案】B 【解析】 【分析】画出几何体，连接,AC BD ，再根据线面关系、线线关系作出判断. 【详解】如图所示：连结AC 、BD ，则AC ⊥平面1B DB ，所以1AC DB ⊥， 又//EF AC ，所以1EF DB ⊥.【点睛】本题考查正方体中线面垂直、线线垂直关系的判断，难度较易.判断时注意根据正方体的几何特点简化判断.7.已知,x y 满足251000y x x y y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A.307B. 107-C. 5D. 5-【答案】A 【解析】 【分析】作出不等式表示的可行域，采用平移直线法判断出在何处取最小值，由此得到结果. 详解】作出可行域如图所示：由图可知目标函数2z x y =+在点A 处取得最小值，因为2510y x x y =⎧⎨+=⎩，所以107107x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以min 1010302777z =+⨯=， 故选：A.【点睛】本题考查利用线性规划求解线性目标函数的最值，难度较易.求解线性目标函数的最值的常用方法：平移直线法，将目标函数的最值与直线的截距联系在一起，利用数形结合思想解决问题. 8.函数()()12x x f x x e -=-的大致图象是（）【A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义域计算出导函数()f x '的正负，由此判断函数()f x 的单调性并判断出图象. 【详解】因为定义域{}|2x x ≠，所以()2233()0(2)xx x f x x e --+'=<-，所以()f x 在(),2-∞和()2,+∞上单调递减， 故选：A.【点睛】本题考查函数的图象的辨别，难度一般.根据函数解析式辨别函数图象，可以从函数的奇偶性、单调性、特殊点等方面进行分析. 9.定义在R 上的函数()f x 满足()1f x +的图象关于1x =-对称，且()f x 在(),0-∞上是减函数，若()0.3a f π=，()2b f e -=，21log 9c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A. a c b >>B. c b a >>C. c a b >>D. b c a >>【答案】C 【解析】 【分析】根据条件分析出()f x 奇偶性以及在()0,∞+上的单调性，再根据指、对数函数的单调性分析所给自变量的大小，由此判断出函数值之间的大小关系.【详解】因为函数()f x 满足()1f x +的图象关于1x =-对称，则()f x 图象关于y 轴对称，则()f x 是偶函数且在()0,∞+上是增函数， 因为0.313π<<，201e -<<，21|log |39>，所以c a b >>， 故选：C.【点睛】本题考查根据函数的单调性、奇偶性比较函数值的大小，难度一般.()f x a +的图象关于x a =-对称()f x ⇔的图象关于y 轴对称()f x ⇔是偶函数；()f x a +的图象关于(),0a -成中心对称()f x ⇔的图象关于()0,0成中心对称()f x ⇔是奇函数.10.执行如图所示的程序框图，如果输出的28A =，那么在图中的判断框中可以填入（ ）A. 5?n ≥B. 5?n >C. 7?A ≤D. 7?A ≥【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图，将每一次循环对应的结果列出，再根据输出结果是28A =选择判断框中的内容. 【详解】当0n =时，1A =；当1n =时，1A =；当2n =时，0A =；当3n =时，1A =-； 当4n =时，0A =；当5n =时，7A =；当6n =时，28A =， 所以判断框中的内容应填写：5?n >，故选：B【点睛】本题考查补全程序框图中的判断框内容，难度较易.处理此类问题常用的方法是根据循环语句列举出每一步的结果，然后再根据结果进行分析. 11.在ABC ∆中，3B π=，AC =2AB BC +的最大值为（ ）A.B. C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化为角，再根据三角恒等变换中的辅助角公式计算出2AB BC +的最大值即可. 【详解】因为2sin sin sin AB AC BCC B A===，所以22sin 4sin 2sin 4sin 4sin )3AB BC C A C C C C C πϕ⎛⎫+=+=++=+=+ ⎪⎝⎭，其中tan ϕ=()sin 1C ϕ+=取得最大值，存在C使得最大值为 故选：B.【点睛】本题考查正弦定理与辅助角公式的综合运用，难度一般.（1）注意()()sin cos 0a x b x x ab ϕ+=+≠，其中tan b aϕ=；（2）解三角形时，注意隐含条件A B C π++=的运用.12.已知,A B 是双曲线222x y -=右支上的两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅u u u r u u u r的最小值为（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】设出点的坐标，根据()()()()222222121212211122x x y y x y x y x y xy +=++--并结合平方的非负性，计算出OA OB ⋅u u u r u u u r的最小值.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，所以1212OA OB x x y y ⋅=+u u u r u u u r，因为()()()()()2222222121212211122122144x x y y x y x y x y x y x y x y +=++--=++≥.当且仅当2121y y x x =-时，即,A B 关于x 轴对称时等号成立， 又因为渐近线方程为：y x =±，所以,OA OB u u u r u u u r的夹角小于242ππ⨯=，所以0OA OB ⋅>u u u r u u u r，所以()min2OA OB⋅=u u u r u u u r，故选：D.【点睛】本题考查双曲线中的向量数量积的最值计算，对于分析和转化计算能力要求很高，难度较难.解答问题的关键能将()21212x x y y +变形为可直接判断大小的式子.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知非零向量a r ，b r 满足(2)a b a +⊥r r r ，若1||||2a b =r r，则a r 与b r 的夹角为__________．【答案】π【解析】 【分析】根据向量垂直对应的数量积为0，得到关于,a b <>r r 的等式，将1||||2a b =r r代入即可计算出,a b <>r r 的值.【详解】因为()2a b a +⊥r r r ，所以()20a b a +⋅=r r r，即2||20a a b +⋅=r r r ，解得cos ,1a b <>=-r r ，所以,a b π<>=r r.故答案为：π.【点睛】本题考查向量夹角的计算，难度较易.注意当a b ⊥r r时，一定有0a b ⋅=r r ，反之亦成立.14.曲线()12f x x=在点()41-,处的切线方程为__________． 【答案】5y x =- 【解析】 【分析】先求解出()f x 的导函数()f x '，再根据导数的几何意义求解出切线的斜率，根据直线的点斜式方程求解出切线方程.【详解】因为()212f x x'=，由导数的几何意义知()f x 在点()41-,处的切线斜率()41k f '==，则()f x 在点()41-,处的切线方程为：()114y x +=⨯-，即5y x =-.故答案为：5y x =-.【点睛】本题考查曲线在某点处的切线方程的求解，难度较易.曲线()f x 在某点处()()00,x f x 的切线方程的求解思路：（1）先求导函数()f x '；（2）计算该点处的导数值()0f x '，即为切线斜率；（3）根据直线的点斜式方程求解出切线方程. 15.若cos sin 2cos sin θθθθ+=-，则(cos sin )(cos sin )θθθθ+-=__________．【答案】45【解析】 【分析】先根据条件计算出tan θ，然后根据“齐次式”的计算方法，将待求式子变形为关于tan θ的形式，从而可求解出结果. 【详解】由cos sin 1tan 2cos sin 1tan θθθθθθ++==--，所以1tan 3θ=，而22222222cos sin 1tan 4(cos sin )(cos sin )cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθθθθ--+-=-===++. 故答案为：45【点睛】本题考查同角的三角函数的基本关系的运用，难度一般.利用“齐次式”的概念进行求值时，若出现的是2222sin cos sin cos a b c d θθθθ++的形式，考虑分子、分母同除以2cos θ即可；若出现的是22sin cos a b θθ+，注意将其补全一个分母22sin cos θθ+以变形为分式结构.16.已知在半径为3的球面上有,,,A B C D 四点，若2AB CD ==，则四面体ABCD 体积的最大值为__________．【答案】3【解析】 【分析】过CD 作空间四边形ABCD 的截面PCD ，由体积公式可知只需求解出PCD S V 的最大值即可，由此进行分析求解.【详解】过CD 作平面PCD ，使得AB ⊥平面PCD ，交AB 于P 点，如下图：设P 到CD 的距离为h ，所以122223323PCD h h V S ⨯=⨯⨯=⨯=V ， 当球的直径通过,AB CD 的中点时，此时h的值最大，且max h ==所以max V =.故答案为：3. 【点睛】本题考查几何体的体积最值与球的综合运用，难度较难.涉及到几何体外接球的问题，注意利用球本身的性质去分析问题，从而达到简化问题的目的.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，310a =，1111S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值及此时n 的值.【答案】（1）319n a n =-+；（2）当6n =时，n S 有最大值为651S = 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列出关于1,a d 的方程组，求解出1,a d 即可求出通项公式； （2）利用0d <对应{}n a 为递减等差数列，根据10n n a a +≥⎧⎨≤⎩确定出n 的取值，从而n S 的最大值以及取最大值时n 的值都可求.【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，由310a =可得1210a d +=，由1111S =可得1115511a d +=， 所以1121051a d a d +=⎧⎨+=⎩，所以1163a d =⎧⎨=-⎩，所以16(1)(3)319n a n n =+-⨯-=-+；（2）由131903160n n a n a n +=-+≥⎧⎨=-+≤⎩，解得161933n ≤≤， 所以当6n =时，n S 有最大值，此时最大值为651S =.【点睛】本题考查等差数列通项公式以及前n 项和的综合应用，难度较易.其中第二问还可以先将n S 的表达式求解出来，然后根据二次函数的对称轴以及开口方向亦可确定出n S 的最大值以及取最大值时n 的值. 18.如图所示的几何体中，BE ⊥平面ABCD ，//AF BE ，四边形ABCD 为菱形，2==AB AF ，点M ，N 分别在棱FD ，ED 上.（1）若//BF 平面MAC ，设FMFDλ=，求λ的值； （2）若60ABC ∠=︒，12EN ND =，直线BN 与平面ABCD所成角的正切值为3，求三棱锥B ENF -的体积.【答案】（1）12λ=；（2）9【解析】 【分析】（1）连接AC BD P =I ，连接MP ，利用线面平行的性质定理判断出//BF MP ，由此求出λ的值； （2）过N 作//NG BE 且NG BD G ⋂=，根据线面角的正切值计算出BE 的长度，即可求解出BEF V 的面积，再利用体积公式即可计算出三棱锥B ENF -的体积.【详解】（1）连接AC 、BD ，设AC BD P =I ，因为四边形ABCD 为菱形，所以P 为AC 与BD 中点，连接MP ，因为//BF 平面MAC ，且平面BFD ⋂平面MAC MP =，所以//BF MP ， 因为P 为BD 的中点，所以M 为FD 的中点，即12FM FD =，12λ=.（2）因为60ABC ∠=︒，四边形ABCD 为菱形，2AB CB ==，所以BD = 过N 作//NG BE ，且NG BD G ⋂=，因为12EN ND =，所以3BG =，设BE a =，则23NG a =， 因为直线BN 与平面ABCD所成角的正切值为tan NBG ∠==，所以a =BEF的面积1S == 而点N 到平面BEF 的距离即点G 到平面BEF的距离为h，由113B ENF N BEF V V S h --==⋅=， 所以三棱锥B ENF -的体积为9【点睛】本题考查根据线面平行关系求解参数、已知线面角正切值求解长度、棱锥体积计算，属于综合型问题，难度一般.（1）已知线面平行求解参数时，注意使用线面平行的性质定理分析问题；（2）利用几何方法计算线面角的三角函数值时，可采用找射影点的方法完成求解.19.我市某区2018年房地产价格因“棚户区改造”实行货币化补偿，使房价快速走高，为抑制房价过快上涨，政府从2019年2月开始采用实物补偿方式（以房换房），3月份开始房价得到很好的抑制，房价渐渐回落，以下是2019年2月后该区新建住宅销售均价的数据：的（1）研究发现，3月至7月的各月均价y （百元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，求价格y （百元/平方米）关于月份x 的线性回归方程；（2）用i y ∧表示用（1）中所求的线性回归方程得到的与i x 对应的销售均价的估计值，3月份至7月份销售均价估计值iy ∧与实际相应月份销售均价i y 差的绝对值记为i ξ，即||i i i y y ξ∧=-，1,2,3,4,5i =.若0.25i ξ≤，则将销售均价的数据i y 称为一个“好数据”，现从5个销售均价数据中任取2个，求抽取的2个数据均是“好数据”的概率.参考公式：回归方程系数公式^121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，^^a yb x =-；参考数据：511984i ii x y==∑，521135i i x ==∑.【答案】（1） 1.688y x ∧=-+；（2）310P = 【解析】 【分析】（1）先计算出,x y ，然后根据b $的计算公式求解出b $，再根据线性回归方程过样本点中心(),x y 求解出$a，由此求解出线性回归方程；（2）先根据定义计算出()1,2,3,4,5i i ξ=，利用古典概型的概率计算方法，先列举出所有可能的情况，然后分析其中满足的情况，由此计算出抽取的2个数据均是“好数据”的概率. 【详解】（1）由表格中的数据，可得3456755x ++++==，8382807877805y ++++==， 所以219845580 1.613555b ∧-⨯⨯==--⨯，则80 1.6588a ∧=+⨯=，所以y 关于x 的回归方程 1.688y x ∧=-+. （2）利用（1）中的回归方程为 1.688y x ∧=-+，可得13x =，183.2y ∧=，24x =，281.6y ∧=，35x =，380y ∧=，46x =，478.4y ∧=，57x =，676.8y ∧=，所以10.2ξ=，20.4ξ=，30ξ=，40.4ξ=，50.2ξ=， 即5个销售均价数据中有3个即1y ，3y ，5y 是“好数据”，从5个销售均价数据中任意抽取2个的所有可能结果：()12,y y ，()13,y y ，()14,y y ，()15,y y ，()23,y y ，()24,y y ，()25,y y ，()34,y y ，()35,y y ，()45,y y ，共10种，抽取的2个数据均为“好数据”的结果是：()13,y y ，()15,y y ，()35,y y ，共3种， 所以310P =. 【点睛】本题考查线性回归方程的求解和古典概型的概率计算，难度一般.（1）求解回归直线方程中的参数值时，注意回归直线方程过样本点的中心(),x y ；（2）利用古典概型求解概率时，最常用的方法是列举法，将所有的基本事件列举出来，同时写出目标事件对应的基本事件，根据事件数目即可计算出对应的概率.20.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 为椭圆短轴端点，若12AF F ∆为直角三角形且周长为4+. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，直线OM ,ON 斜率的乘积为22b a-，求OM ON ⋅u u u u r u u u r 的取值范围.【答案】（1）22142x y +=；（2）[]1,1- 【解析】 【分析】（1）根据12AF F ∆的形状以及周长，计算出22,a b 的值，从而椭圆C 的方程可求；（2）分类讨论直线的斜率是否存在：若不存在，直接分析计算即可；若存在，联立直线与椭圆方程，得到坐标对应的韦达定理形式，再根据条件将直线方程中的参数,k m 关系找到，由此即可化简计算出OM ON⋅u u u u r u u u r的取值范围.【详解】（1）因为12AF F ∆为直角三角形，所以b c =，a =，又12AF F ∆周长为4，所以222)4a c c +==，故c =24a =，22b =，所以椭圆C ：22142x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线l 斜率不存在时，121212OM ONy y k k x x ⋅==-,12x x =，12y y =-，所以212112OM ON y k k x ⋅=-=-， 又2211142x y +=，解得212x =，211y =，221212111OM ON x x y y x y ⋅=+=-=u u u u r u u u r .当直线l 斜率存在时，设直线方程为:l y kx m =+，由22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124240k x kmx m +++-=，>0∆得()()222216412240k m k m -+->即2242m k <+，12221224122412km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，()()()2222121212122412m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+ 由121212OM ONy y k k x x ⋅==-得22222411224212m k k m k -+=--+，即2221m k =+， 所以22121212222122121[1,1)2121212m k OM ON x x y y x x k k k--⋅=+====-∈-+++u u u u r u u u r 所以[]1,1OM ON ⋅∈-u u u u r u u u r.【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用，其中涉及到焦点三角形的周长以及向量数量积的取值范围，难度一般.（1）椭圆的焦点三角形的周长为：()2a c +；（2）椭圆中的向量数量积问题，首选方法：将向量数量积表示为坐标形式，借助韦达定理完成求解. 21.已知函数2()(12)ln ,f x x a x a x a R =+--∈. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()0f x ≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）[]0,1a ∈ 【解析】 【分析】（1）先求解出导函数()f x '，将其因式分解并根据a 的取值范围作分类讨论，由此得到函数的单调性；（2）根据不等式恒成立，对参数a 分类讨论：0,0,0a a a =><，分别判断函数单调性并根据()min 0f x ≥求解出a 的取值范围.【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，因为22(12)()(21)()212a x a x a x a x f x x a x x x+---+'=+--==， 若0a ≤，则()0f x '>，则()f x 在()0,∞+单调递增；若0a >，则当0x a <<时，()0f x '<，当x a >时，()0f x '>， 则()f x 在()0,a 单调递减，则(),a +∞单调递增.（2）由（1）可知，当0a =时，()2f x x x =+在()0,∞+单调递增，()0f x >，满足题意；当0a >时，要使()0f x ≥，则2min ()()ln 0f x f a a a a a ==-+-≥，即ln 10a a +-≤，构造()ln 1g x x x =+-，则()110g x x'=+>，故()g x 在()0,∞+上单调递增， 又()10g =，故当(0,1]x ∈时，()0g x ≤，故由()0g a ≤得1a ≤， 当0a <时，当x 趋于0时，()f x 趋于-∞，与题意不符，舍去； 综上，要使()0f x ≥，则[]0,1a ∈.【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到求解含参函数的单调性和根据不等式恒成立求解参数范围，难度较难.利用导数求解不等式恒成立问题，常用的两种方法：（1）分类讨论法；（2）分离参数法.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），射线θϕ=，4πθϕ=+，4πθϕ=-分别与曲线1C 交于极点O 外的三点,,A B C .（1）求||||||OB OC OA +的值；的（2）当12πϕ=时，,B C 两点在曲线2C 上，求m 与α的值.【答案】（1；（2）2m =，23πα= 【解析】 【分析】（1）利用极坐标表示出,,A B C ，然后将,,OA OB OC 转化为极径，根据对应的极径即可计算出||||||OB OC OA +的值；（2）先求解出BC 的极坐标将其转化为直角坐标可求斜率，由此先求解出倾斜角α的值，再根据点在线上代入求解出m 的值即可.【详解】（1）设点,,A B C 的极坐标分别为()1,ρϕ,2,4πρϕ⎛⎫+⎪⎝⎭,3,4πρϕ⎛⎫-⎪⎝⎭, 由点,,A B C 在曲线1C 上得：14cos ρϕ=，24cos 4πρϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭，34cos 4πρϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以23||||4cos 4cos 44OB OC ππρρϕϕϕ⎛⎫⎛⎫+=+=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1||4cos OA ρϕ==，所以||||||OB OC OA +=；（2）由曲线2C 的参数方程知，曲线2C 是倾斜角为α且过定点()0m ,的直线，当12πϕ=时，,B C 两点的极坐标分别为2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，6π⎛⎫-⎪⎝⎭，化为直角坐标为(B ,(3,C ,所以，直线的斜率为tan α=23πα=，又因为直线BC 的方程为：y =+，由点()0m ,在直线BC 上得：2m =. 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、直线的参数方程化为普通方程、根据点在曲线上求解参数值，难度一般.直角坐标与极坐标的互化公式：cos ,sin x y ρθρθ==. 23.已知函数()22,f x x x a a R =---∈． （Ⅰ）当3a =时，解不等式()0f x >；（Ⅱ）当(,2)x ∈-∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）当3a =时，()0f x >即2230x x --->等价于：3{210x x ≤->或32{2350x x <<-+>或2{10x x ≤-+>，解出不等式即可；（Ⅱ）()22f x x x a =---所以()0f x <可化为22x a x ->-①，即22x a x ->-或22x a x -<-，①式恒成立等价于min (32)x a ->或max (2)x a +<，据此即可求出结果．试题解析：解：（Ⅰ）当3a =时，()0f x >即2230x x --->等价于：3{210x x ≤->或32{2350x x <<-+>或2{10x x ≤-+>解得312x <≤或3523x <<或x ∈∅所以原不等式的解集为：5{|1}3x x <<（Ⅱ）()22f x x x a =---所以()0f x <可化为22x a x ->-①即22x a x ->-或22x a x -<-，①式恒成立等价于min (32)x a ->或max (2)x a +<Q (,2)x ∈-∞，∴a ∈∅或4a ≥，4a ∴≥考点：1．绝对值不等式；2．恒成立问题．。

一、单选题二、多选题1. 已知非零且不垂直的平面向量满足，若在方向上的投影与在方向上的投影之和等于，则夹角的余弦值的最小值为（ ）A．B．C．D．2.设，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.若函数在处取得极值，则（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54. 已知各项均为正数的等比数列，满足，若存在不同两项使得，则的最小值为（ ）A ．9B．C．D．5. 三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一.考古学家在测定遗址年代的过程中，利用“生物死亡后体内碳14含量按确定的比率衰减”这一规律，建立了样本中碳14含量随时间（单位：年）变化的数学模型：表示碳14的初始量）.2020年考古学家对三星堆古遗址某文物样本进行碳14年代学检测，检测出碳14的含量约为初始量的，据此推测三星堆古遗址存在的时期距今大约是（）（参考数据：）A ．2796年B ．3152年C ．3952年D ．4480年6.等差数列中的通项为，其前项和为，若是的等差中项，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．87. 已知定义在R 上的函数，若函数恰有2个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A．B．C．D．8. 已知定义在上的函数和分别满足，，则下列不等式恒成立的是( )A．B．C．D．9.已知曲线分别为曲线的左右焦点，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则曲线的两条渐近线所成的锐角为B ．若曲线的离心率，则C ．若，则曲线上不存在点，使得D ．若为上一个动点，则面积的最大值为10.已知函数的部分图像如图所示，令，则下列说法正确的有（ ）云南省昆明市第一中学2023届高三第六次考前基础强化数学试题(1)云南省昆明市第一中学2023届高三第六次考前基础强化数学试题(1)三、填空题四、解答题A ．的最小正周期为B．的对称轴方程为C ．在上的值域为D ．的单调递增区间为11. 下列四个表述中，正确的是（ ）A ．将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，方差不变；B．设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位；C ．具有相关关系的两个变量，的相关系数为，那么越接近于0，，之间的线性相关程度越高；D ．在一个列联表中，根据表中数据计算得到的观测值，若的值越大，则认为两个变量间有关的把握就越大.12. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C：的焦点为，过点的直线交于不同的，两点，则下列说法正确的是（ ）A ．若点，则的最小值是4B．C ．若，则直线的斜率为D．的最小值是913. 2021年7月1日是中国共产党成立100周年，小明所在的学校准备举办一场以音乐为载体的“学史知史爱党爱国”歌曲接龙竞赛.该竞赛一共考察的歌曲范围有10首，由于7月学考临近，作为参赛选手的小明没有时间学习全部歌曲，只能完整学会这其中的8首.已知小明完整学会的歌曲成功接上的概率为0.9，没有完整学会的歌曲成功接上的概率为0.4.比赛一共考察10段歌词，每段歌词选自的歌曲均是考察范围内的歌曲，且考察不同歌曲的概率均相同，每首歌曲均可以重复考察.已知每答对一段歌词得10分，答错不扣分.设小明得分是x 分，则P （x ≥20）=___________（用类似的形式表示），E （x ）=___________.14. 斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那契数列满足，.给出下列四个结论：①存在，使得成等差数列；②存在，使得成等比数列；③存在常数t，使得对任意，都有成等差数列；④存在正整数，且，使得.其中所有正确结论的序号是________.15. 已知，则________.16. ，在直三棱柱中，，，，、分别是、的中点，是的中点．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积；（3）求二面角的余弦值.17. 设的内角的对边分别为，已知的面积为．(1)求；(2)延长至,使，若，求的最小值．18. 如图几何体中，底面是边长为2的正三角形，平面，若，，，．(1)求证：平面平面；(2)求该几何体的体积．19. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得分，否则得0分．已知学生甲能正确回答A类问题的概率为，能正确回答B类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若学生甲先回答A类问题，，，，，记X为学生甲的累计得分，求X的分布列和数学期望．(2)从下面的两组条件中选择一组作为已知条件．学生甲应选择先回答哪类问题，使得累计得分的数学期望最大？并证明你的结论．①，；②，．20. 为利于分层教学，某学校根据学生的情况分成了A，B,C三类，经过一段时间的学习后在三类学生中分别随机抽取了1个学生的5次考试成缎，其统计表如下：A类第x次12345分数y（满足150）145839572110，；B类第x次12345分数y（满足150）85939076101，；C类第x次12345分数y（满足150）8592101100112，；（1）经计算已知A，B的相关系数分别为，．，请计算出C学生的的相关系数，并通过数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩最稳定；（结果保留两位有效数字，越大认为成绩越稳定）（2）利用（1）中成绩最稳定的学生的样本数据，已知线性回归直线方程为，利用线性回归直线方程预测该生第十次的成绩．附相关系数，线性回归直线方程，，．21. 在数学探究实验课上,小明设计了如下实验:在一个盒子中装有蓝球、红球、黑球等多种不同颜色的小球,一共有偶数个小球,现在从盒子中一次摸一个球,不放回．(1)若盒子中有6个球,从中任意摸两次,摸出的两个球中恰好有一个红球的概率为．①求红球的个数;②从盒子中任意摸两次球,记摸出的红球个数为,求随机变量的分布列和数学期望．(2)已知盒子中有一半是红球,若“从盒子中任意摸两次球,至少有一个红球”的概率不大于,求盒子中球的总个数的最小值．。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{0,1,2}M =，集合2{|,}N y y x x M ==∈，则M N =（ ）A ．{0}B ．{0,1}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,4} 【答案】D 【解析】试题分析：{}0,1,4N =，{}M N 0,1,2,4∴⋃=，故选D. 考点：集合的并集. 2.12||2ii +=-（ ） A ．35 B ．1 C ．53D ．2【答案】B考点：复数的四则运算.3.双曲线22:199x y C -=的离心率为（ ）A ．2 B ．2 C D ．2【答案】C 【解析】试题分析：2323,2333,3,322==∴=+=∴==e c b a ，故选C. 考点：双曲线的性质.4.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内任取一点M ，则点M 到正方体的中心的距离不大于1的概率为（ ） A ．18π B ．12π C ．6π D ．3π 【答案】C 【解析】试题分析：62221343ππ=⨯⨯⨯，故选C.考点：几何概型. 5.已知命题1:,2p x R x x ∀∈+≥；命题:[0,]2q x π∃∈，使sin cos x x +=中为真命题的是（ ）A ．p q ⌝∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧⌝D ．p q ∧ 【答案】A考点：逻辑联结词.6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若358a a +=，则7S =（ ） A ．28 B ．32 C ．56 D ．24 【答案】A 【解析】试题分析：173577()7()2822a a a a S ⨯+⨯+===，故选A.考点:等差数列前n 和公式.7.已知点F 是抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在抛物线C 上，若||4AF =，则线段AF 的中点到抛物线C 的准线的距离为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】B【解析】试题分析：)0,1(F ，F 到准线的距离为2，A 到准线的距离为4，则线段AF 的中点到抛物线C 的准线的距离为3242=+，故选B. 考点：抛物线的定义.8.若某空间几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ） A ．420π+ B ．1612π+ C ．1616π+ D ．1620π+【答案】C考点：球的表面积、圆柱的表面积.9.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且,,a b c 成等比数列，若221sin sin sin sin sin sin 2A C C ABC +-=，则sin A =（ ）A ．14 B ．34C【答案】D 【解析】试题分析：2b ac =，2212ac c a bc +-=，22212b c a bc ∴+-=，22212a b c bc ∴=+-，1cos 4A ∴=，=∴A sin D. 考点：正弦定理、余弦定理.【易错点晴】要形成固定的认识，一看在三角形中首先要考虑正弦定理、余弦定理；由已知条件中都是三个角的正弦关系并且也有角的正弦值的平方可判断出两个结论：一需要用正弦定理将角的正弦值转化成边，二结合余弦定理去同存异，由此可得41cos =A ，再利用同角三角函数的基本关系式得A sin 的值.10.在如图所示的程序框图中（其中'1()i h x -表示函数()i h x 的导函数），当输入0()xh x xe =时，输出的()i h x 的结果是(2016)xx e +，则程序框图中的判断框内应填入（ ） A ．2014?i ≤ B ．2015?i ≤ C ．2016?i ≤ D ．2017?i ≤【答案】B考点：算法初步.11. 设函数'()f x 为函数()sin f x x x 的导函数，则函数'()f x 的图象大致为（ ）【答案】B考点：函数求导.【方法点晴】作为选择题，不一定要像解答题那样正面解答，排除法不失为一种简单的方法．首先从函数的奇偶性可以C ，其次采用特殊值的方式对x 进行赋值，最好是特殊角，可求三角函数值，π=x 是比较好值，由此得出函数值小于0，故排除A ，C ，这样答案就确定了，本题难度中等．12.若关于x (1)k x ≤+的解集为区间[,]a b ，且2b a -≥，则实数k 的取值范围为（ ）A ．)+∞B ．)+∞C ．D ．(-∞ 【答案】A 【解析】考点：函数的图象、圆的标准方程.【易错点晴】本题主要考查的是转化与化归思想，这在数学中应用非常广泛，将不等式问题转化成函数图象问题，利用两个函数的位置关系得到满足题意的不等式．再次由于k 的不确定也需要将k 分两种情况：0k <和0k >进行讨论。

2020届云南省昆明市第一中学高三第一次摸底测试数学（理）试题及答案一、单选题1．已知集合{}1,0,1A =-，{}21xB x =≤，则AB =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,1-【答案】B【解析】先求集合B ，然后求A B .【详解】因为{}0B x x =≤，所以{}1,0A B ⋂=-，选B. 【点睛】本题考查了集合的交集. 2．若()347z i i +=+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i --【答案】B 【解析】复数734iz i+=+，然后化简. 【详解】7(7)(34)134(34)(34)i i i z i i i i ++-===-++-，选B.【点睛】本题考查了复数的运算，属于简单题型.3．“二万五千里长征”是1934年10月到1936年10月中国工农红军进行的一次战略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，在期间发生了许多可歌可泣的英雄故事.在中国共产党建党98周年之际，某中学组织了“长征英雄事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生2700名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为45的样本参加活动，其中高三年级抽了12人，高二年级抽了16人，则该校高一年级学生人数为（ ） A ．720 B ．960 C ．1020 D ．1680【答案】C【解析】先计算高一年级抽取的人数，然后计算抽样比，再计算高一年级的总人数. 【详解】因为用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高三年级抽12人，高二年级抽16人，所以高一年级要抽取45121617--=人，因为该校高中学共有2700名学生，所以各年级抽取的比例是451270060=，所以该校高一年级学生人数为117102060÷=人，选C.【点睛】本题考查了分层抽样，属于简单题型.4．()()3112x x +-的展开式中含3x 项的系数为（ ）A ．5-B ．4-C ．6D ．7【答案】A【解析】先化解为()()33121x x x +-+，然后分别求两部分含3x项的系数.【详解】因为333(1)(12)(1)2(1)x x x x x +-=+-+，含3x 项的系数为323321235C C -=-⨯=-，选A.【点睛】本题考查了二项式定理，分类讨论思想，主要考查计算问题. 5．函数sin e e x xxy -=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】首先考查函数的奇偶型，排除选项，然后代特殊值判断. 【详解】因为sin x x xy e e -=-为偶函数，所以排除D 选项，当2x =时，sin 0x xxy e e-=>-，选B.【点睛】本题考查了根据函数的解析式判断函数的图像，这类问题根据函数的奇偶型，单调性，特殊值，极值点，以及函数值的趋向来判断选项.6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若927S =，则972a a -=（ ） A ．3- B ．3 C ．6- D ．6【答案】A【解析】根据9S 可求出5a ，再根据性质9752a a a -=-，计算结果. 【详解】因为927S =，所以53a =，97523a a a -=-=-，选A. 【点睛】本题考查了等差数列的基本计算，属于简单题型. 7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AD 的中点，F 为BD 的中点，则（ ） A ．11//EF C D B ．1EF AD ⊥ C ．//EF 平面11BCC B D ．EF ⊥平面11AB C D【答案】D【解析】分析选项，得到正确结果. 【详解】连结AC ，1D C ，则F 为AC 的中点，所以1//EF D C ，因为11⊥D C DC ，1D C AD ⊥，1AD DC D =，所以1DC ⊥平面11AB C D ，所以EF ⊥平面11AB C D ，选D.【点睛】本题考查了几何体里面的线线和线面的位置关系，考查空间想象能力，以及逻辑推理能力，本题的关键是能证明1//EF CD .8．已知函数()e (sin cos )x f x a x b x =⋅+，若0x =是()f x 的一个极小值点，且222a b +=，则a =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．±1【答案】C【解析】首先求函数的导数，()00f '=，再结合已知求解,a b ，注意不要忘了验证0x =是极小值点. 【详解】由，()()()sin cos x f x e a b x a b x '=⋅-++⎡⎤⎣⎦得()00f a b '=+=，又222a b +=，则21a =，若1a =-，则1b =，此时()2sin xf x e x '=-⋅，0x =是()f x 的一个极大值点，舍去；若1a =，则1b =-，此时()2sin xf x ex '=⋅，0x =是()f x 的一个极小值点，满足题意，故1a =，选C.本题考查了根据函数的极值点求参数，属于简单题型，本题的一个易错点是忘记回代验证0x =是极小值点. 9．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）A ．25B ．24C ．21D ．9【答案】A【解析】根据程序框图，顺着流程线依次代入循环结构，得到结果. 【详解】第一次循环：09S =+，97T =+：第二次循环：97S =+，975T =++；第三次循环：975S =++，9753T =+++；第四次循环：9753S =+++，97531T =++++；第五次循环：97531S =++++，()975311T =+++++-，此时循环结束，可得()591252S ⨯+==.选A.本题考查了循环结构，顺着结构图，依次写出循环，属于简单题型.10．偶函数()f x 在(],0-∞上为减函数，若不等式()()212f ax f x -<+对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()-B ．(-C ．(-D ．()2,2-【答案】D【解析】偶函数满足()()f x f x =，所以函数化简为()()212f ax f x -<+，再根据()0,∞+的单调性去绝对值，转化为210x ax ++>和230x ax -+>在R 上恒成立，求出a 的取值范围. 【详解】因为()f x 为偶函数，由题意可知，()()212f ax f x -<+，()f x 在[)0,+∞上为增函数，所以212ax x -<+，从而22212x ax x --<-<+在x ∈R 恒成立，可得212a <且24a <，所以22a -<<，选D. 【点睛】本题考查了根据偶函数和单调性解抽象不等式，以及一元二次不等式恒成立的问题，需注意偶函数解抽象不等式时，需根据公式()()f x f x =化简，根据()0,∞+的单调性去绝对值.11．设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 为C 上一点，以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于B ，D 两点，若30FBD ∠=︒，ABD ∆的面积为83，则p =（） A ．1 B ．2C ．3D ．2【答案】D【解析】因为点F 到准线的距离是p ，30FBD ∠=，所以半径||||2FA FB p ==，||23BD p =，再根据抛物线的定义可知点A到准线的距离2d FA p ==，最后根据面积计算得到p . 【详解】因为30FBD ∠=︒，所以圆的半径||||2FA FB p ==，||23BD p =，由抛物线定义，点A 到准线l 的距离2d FA p ==，所以1||32832BD d p p ⋅=⋅=，所以2p =，选D.【点睛】本题考查了抛物线的定义，以及抛物线内的平面几何长度的求解，考查了转化与化归和计算问题，涉及抛物线几何性质的题型，需记住：焦点到准线的距离是p ，通径2p ，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，还有焦半径公式等.12．若存在()00,1x ∈，满足()()001ln212x ax +>-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】A【解析】不等式化简为()()ln 121ln 2x a x +>-+，设函数()()ln 1f x x =+，()()21ln 2g x a x =-+，观察两个函数的交点()1,ln 2A ，求函数()f x 在点A 处的切线，比较切线和()g x 的斜率大小，得到a 的取值范围. 【详解】设()()ln 1f x x =+，()()21ln 2g x a x =-+，则它们函数图象的一个公共点为()1,ln 2A ，函数()()ln 1f x x =+在点A 处的切线斜率为()111112f '==+，所以在A 处的切线方程为()11ln 22y x =-+，所以要存在()00,1x =满足()()00ln 121ln 2x a x +>-+，则122a >，所以a 取值范围是1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，选A.【点睛】本题考查了不等式恒成立求参数取值范围的问题，本题的难点是合理分离两个函数()f x 和()g x ，并且观察其交于点()1,ln 2A ，根据数形结合比较切线的斜率和()g x 的斜率.二、填空题13．已知a ，b 为单位向量，且a ，b 的夹角为60︒，则2a b -=______________..【解析】利用公式()222a b a b-=-，代入数值求解.【详解】 因为22212444411132a b a a b b -=-⋅+=-⨯⨯⨯+=.所以23a b -=.【点睛】本题考查了向量数量积的运算，属于基础题型. 14{}n a 的各项都是正数，且3119a a =，则39log a =________. 【答案】2.【解析】根据等比数列的性质23117a a a =，再根据公比求9a . 【详解】因为3119a a =，所以73a =，2939a =⨯=，393log log 92a ==.【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了基本计算，属于简单题型.15．已知1F ，2F 分别为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，以2F 为圆心，12F F 为半径的圆交双曲线C 的右支于A ，B 两点，若12AB F =，则双曲线C 的离心率为_________.【答案】12.【解析】根据已知条件可知22,AF c AH ==，那么260AF H ∠=，然后进一步求出1AF ，根据双曲线的定义可知122AF AF a -=，求出离心率.【详解】设AB 与x 轴交于点H ，则3AH c =，所以260AF H ∠=︒， 所以130AF H ∠=︒，所以123AF c =，所以2322c c a -=，所以双曲线C 的离心率31e +=.【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，本题的重点是利用半径等于2c ，根据平面几何的性质将1AF 和2AF 都表示成与c 有关的量，然后根据双曲线的定义求解.在圆锥曲线中求离心率的方法：（1）直接法，易求,,c b c b a a 的比值；（2）构造法，根据条件构造成关于,a c 的齐次方程；（3）几何法，利用椭圆和其他平面图形的一些几何性质，找到等量关系，求离心率.16．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，PAB ∆和ABC ∆均为边长为3P ABC -的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为____________.【答案】20π.【解析】因为PAB ∆和ABC ∆是全等的等边三角形，所以取AB 中点H ，连接,PH CH ，过两个三角形外接圆的圆心做,PH CH 的高，交点就是外界球的球心，根据所构造的平面图形求半径，最后求球的表面积.【详解】由题意可知，设PAB ∆和ABC ∆的外心的半径为1r ，2r ， 则1223224r r ===，122r r ==，21O H =，11O H =，3AH =， 22222115R AO AH O H O O ==++=，5R =，所以球的表面积为2420S R ππ==.【点睛】本题考查了几何体外接球的表面积的求法，考查了空间想象能力，以及转化与化归和计算能力，属于中档题型，这类问题，需先确定球心的位置，一般可先找准底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，垂线上的点到底面各顶点的距离相等，然后再满足某点到顶点的距离也相等，找到球心后，利用球心到底面的距离，半径和顶点到底面中心的距离构造直角三角形，求半径.三、解答题17．某学校为了解本校文、理科学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从理科班学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从文科班学生中随机抽取n人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：甲样本数据直方图乙样本数据直方图已知乙样本中数据在[)70,80的有10个.（1）求n和乙样本直方图中a的值；（2）试估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.【答案】（1）50a=；n=，0.018（2）81.5,82.5.【解析】（1）首先计算乙样本中数据在[)70,80的频率，然后计算样本容量，利用频率和等于1求a；（2）根据样本平均值和中位数的计算公式分别计算；【详解】（1）由直方图可知，乙样本中数据在[)70,80的频率为0.020100.20⨯=，而这个组学生有10人，则100.20n=，得50n =. 由乙样本数据直方图可知()0.0060.0160.0200.040101a ++++⨯=， 故0.018a =.（2）甲样本数据的平均值估计值为()550.005650.010750.020850.045950.0201081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=. 由（1）知0.018a =，故乙样本数据直方图中前三组的频率之和为()0.0060.0160.018100.400.50++⨯=<，前四组的频率之和为()0.0060.0160.0180.040100.800.50+++⨯=>，故乙样本数据的中位数在第4组，则可设该中位数为80x +，由()0.0060.0160.018100.0400.50x ++⨯+=得2.5x =，故乙样本数据的中位数为80 2.582.5+=.根据样本估计总体的思想，可以估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值约为81.5，文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数约为82.5.【点睛】本题考查了样本频率分布直方图中的相关计算问题，需熟记公式：每个小矩形的面积是本组的频率，频率之和等于1，频数=频率⨯样本容量，样本平均数等于每组数据的中点乘以本组的面积之和，中位数两侧的面积都是0.5. 18．已知在ABC ∆中，120ACB ∠=︒，2BC AC =.（1）求tan A 的值；（2）若1AC =，ACB ∠的平分线CD 交AB 于点D ，求CD 的长.【答案】（1）tan 2A =； （2）23.【解析】（1）根据正弦定理边角互化可知sin 2sin A B =，利用60A B +=，代入60B A =-，整理求tan A ；（2）60ACD ∠=，利用180A ACD ADC +∠+∠=，()sin sin ADC A ACD ∠=+∠，最后ADC∆中利用正弦定理求CD 的长.【详解】（1）因为2BC AC =，所以sin 2sin 2sin 3A B A π⎛⎫==- ⎪⎝⎭. sin sin A A A =-，可得tan 2A =.（2）因为CD 是角平分线，所以60ACD ∠=︒，由tan 2A =，可得sin 7A ==cos 7A ==， 所以()sin sin sin cos cos sin 14ADC A ACD A ACD A ACD ∠=∠+∠=∠+∠=， 由sin sin AC CD ADC A =∠可得sin 2sin 314AC A AD ADC ===∠. 【点睛】本题考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换解三角形，常用公式180A B C ++=，()sin sin A B C =+以及两角和或差的三角函数，辅助角公式等转化，考查了转化与化归的思想，以及计算能力的考查.19．图1是由正方形ABCG，直角梯形ABED，三角形BCF组成的一个平面图形，其中22==，3AB DE===，将BE BF CF其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.（1）证明：图2中的D，E，C，G四点共面，且平面ABD⊥平面DEC；（2）求图2中的二面角B CE A--的大小.【答案】（1）见解析；π.（2）3【解析】（1）根据平行的传递性，可证明四点共面，要证明面面垂直，可转化为证明线面垂直，即证明AD⊥平面⊥，AD DEDEC，转化为证明AD DG⊥；（2）过点D作AG的垂线，垂足为O，过点O作BC的垂线，垂足为H，则OA OH⊥，由（1）可知点O为AG中⊥，OA OD点，可以OA，OH，OD所在直线分别为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz-，分别求两个平面的法向量,m n，求二面角的大小转化为cos,m n<>求解.【详解】（1）证明：因为正方形ABCG中，//AB CG，梯形ABED中，//DE AB ，所以//DE CG ，所以D ，E ，C ，G 四点共面：因为AG AB ⊥，所以AG DE ⊥，因为AD DE ⊥，ADAG A =，所以DE ⊥平面ADG ，因为DG ⊂平面ADG ，所以DE DG ⊥，在直角梯形ABED 中，2AB =，1DE =，BE =可求得AD = 同理在直角梯形GCED 中，可求得DG =2AG BC ==，则222AD DG AG +=，由勾股定理逆定理可知AD DG ⊥， 因为AD DE ⊥，DE DG D =，所以AD ⊥平面DEG ，因为AD ⊂平面ABD ，故平面ABD ⊥平面DEG ，即平面ABD ⊥平面DEC .（2）解：过点D 作AG 的垂线，垂足为O ，过点O 作BC 的垂线，垂足为H ，则OA OH ⊥，OA OD ⊥，由（1）可知点O 为AG 中点，且OD DE ⊥，则OD OH ⊥， 故可以OA ，OH ，OD 所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标依次为：()0,0,0O ，()1,0,0A ，()1,2,0B ，()1,2,0C -，()0,0,1D ，()0,1,1E ，所以()1,1,1AE =-，()1,1,1CE =-，设(),,n x y z =为平面ACE 的一个法向量，则00n AE x y z n CE x y z ⎧⋅=-++=⎨⋅=-+=⎩可取1x =，则()1,1,0n =， 又()2,0,0CB =，设(),,m x y z '''=为平面BCE 的一个法向量，则200m CB x m CE x y z ⎧⋅==⎨⋅='''+='-⎩可取1y '=，则()0,1,1m =， 所以()1cos ,2n mn m n m ⋅==⋅，结合图形可知二面角B CE A --的大小为3π.【点睛】本题考查了面面垂直的证明，以及建立空间直角坐标系，求面面角的问题，证明位置关系的习题可以采用分析法逐步寻找使命题成立的充分条件，然后再用综合法推导证明.20．过()0,1F 的直线l 与抛物线2:4C x y =交于A ，B 两点，以A ，B 两点为切点分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，设1l 与2l 交于点()00,Q x y .（1）求0y ；（2）过Q ，F 的直线交抛物线C 于M ，N 两点，求四边形AMBN 面积的最小值.【答案】（1）01y =-；（2）32.【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，并且直线l 与抛物线方程联立，分别求这两点的切线方程，再联立方程求交点坐标；（2）先求向量QF 和AB 的坐标，0QF AB ⋅=，可求得QF AB ⊥，根据焦点弦长公式求AB 和MN ，因为MN AB ⊥,所以四边形AMBN 的面积12S MN AB =⨯⨯，得到关于k 的函数，利用基本不等式求最小值.【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线:1l y kx =+，所以241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=，所以121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩ 由2142x y y x '=⇒=，所以()111112:l y y x x x -=-， 即：2111124:x l y x x =-， 同理22221:24x l y x x =-，联立得1201202214x x x k x x y +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩， 即01y =-.（2）因为12,22x x QF +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2121,AB x x y y =--， 所以()222222222121212120222x x x x x x QF AB y y ---⋅=--=-=，所以QF AB ⊥，即MN AB ⊥，()212122444AB y y k x x k =++=++=+， 同理244MNk =+， ()222211181182322AMBN S AB MN k k k k ⎛⎫⎛⎫==++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1k =±时，四边形AMBN 面积的最小值为32.【点睛】本题考查了直线与抛物线相交的综合问题，属于中档题型，当直线与圆锥曲线相交时，一种情况是设直线，直线方程与圆锥曲线联立，利用根与系数的关系，表示几何问题，或是设交点，利用交点的坐标表示直线，同样表示几何问题时，用到坐标间的关系，从而达到消去的作用. 21．已知函数()()()1ln 1x f x x e a x ax b =-++-+，[]0,1x ∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在a ，b ，使得函数()f x 在区间[]0,1的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，请说明理由.参考数据：ln 20.693≈.【答案】（1）见解析；（2）存在，当1ln 21a =-且0b =时，或当31ln 2a =-且2b =时，可以使得函数()f x 在区间[]0,1的最小值为1-且最大值为1【解析】（1）首先求函数的导数()(1)1x x f x x e a x '⎡⎤=+-⎣⎦+，设()()1x g x x e a +=-，[]0,1x ∈，再求()0g x '>恒成立，说明()g x 是单调递增函数，然后讨论a 的范围，确定函数的单调区间；（2）根据（1）讨论的函数的单调性，当1a ≤和2a e ≥时函数是单调函数，易判断，当12a e <<时，令()()ln 1h x x x =+-，[]0,1x ∈，根据其单调性，可判断()0h x ≤，当1a =时，()()()1f x u x u =≤，当2a e =时，()()()1f x x νν=≥，因为12a e <<，所以()()()v x f x u x <<，()()()21e f x u ν∴<<，()()()()max min 21112.6l 32n 2f x f x e -<-≈<-，与条件矛盾，所以这种情况下不存在. 【详解】 （1）()(1)1xx f x x e a x '⎡⎤=+-⎣⎦+， 令()()1xg x x e a +=-，[]0,1x ∈，则()(2)0x g x x e '=+>，则()g x 在[]0,1上单调递增， ①.若1a ≤，则()()010g x g a ≥=-≥，则()()01x g x f x x ⋅'=≥+，则()f x 在[]0,1上单调递增；②.若2a e ≥，则()()120g x g e a ≤=-≤，则()()01x g x f x x ⋅'=≤+，则()f x 在[]0,1上单调递减；③.若12a e <<，则()010g a =-<，()120g e a =->，又()g x 在[]0,1上单调递增，结合零点存在性定理知：存在唯一实数()00,1x ∈，使得()()00010x g x x e a =+-=，当[)00,x x ∈时，()0g x <，则()0f x '<，则()f x 在[)00,x 上单调递减，当[]0,1x x ∈时，()0g x ≥，则()0f x '≥，则()f x 在[]0,1x 上单调递增.综上，当1a ≤时，()f x 在[]0,1上单调递增；当2a e ≥时，()f x 在[]0,1上单调递减；当12a e <<时，存在唯一实数()00,1x ∈，使得()01x x e a +=， ()f x 在[)00,x 上单调递减，在[]0,1x 上单调递增.（2）由（1）可知，①.若1a ≤，则()()min 011f x f b ==-=-，则0b =，而()()max 1ln 21f x f a a b ==-+=，解得11ln 21a =<-满足题意； ②.若2a e ≥，则()()max 011f x f b ==-=，则2b =， 而()()min 1ln 21f x f a a b ==-+=-，解得39.77221ln 2a e =≈>-满足题意：③.若12a e <<，令()()ln 1h x x x =+-，[]0,1x ∈， 则()01xh x x -'=≤+，故()h x 在[]0,1上单调递减，所以()()00h x h ≤=，令()()()1xu x x e h x b =-++，[]0,1x ∈，由（1）知()()1ln 21u u x b ≤=-+； 令()()()12xv x x eeh x b =-++，[]0,1x ∈，由（1）知()()()12ln 21v x v e b =-≥+；因为()()()1xf x x eah x b =-++，()0h x ≤，且12a e <<，所以()()()v x f x u x <<，则()max ln 21f x b <-+，()()min 2ln 21f x e b >-+，故()()()()max min 21112.6l 32n 2f x f x e -<-≈<-，故对任意()1,2a e ∈， 不存在实数b 能使函数()f x 在区间[]0,1的最小值为1-且最大值为1； 综上，当1ln 21a =-且0b =时，或当31ln 2a =-且2b =时， 可以使得函数()f x 在区间[]0,1的最小值为1-且最大值为1. 【点睛】本题考查了导数讨论函数的单调性和最值，考查了分类与整合，转化与化归的思想，以及分析，变形，逻辑推理能力，属于高档题型，本题的难点是当12a e <<时讨论函数的最值，分离出()f x 的()ln 1x x +-这部分，并判断其正负，分别令1a =和2a e =时，判断函数的单调性和不等关系的传递性求函数的最值.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为54π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为24sin 0ρρθ+=.（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若点Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l 的距离的最小值【答案】（1）50x y --=，()2224x y ++=； （2）1.【解析】（1）两式相减，消去t 后的方程就是直线l 的普通方程，利用转化公式222x y ρ=+，sin y ρθ= ，极坐标方程化为直角坐标方程；（2）32cos 52sin ,22M αα-+-+⎛⎫⎪⎝⎭，然后写出点到直线的距离公式，转化为三角函数求最值. 【详解】（1）直线l 的普通方程为：50x y --=，由线C 的直角坐标方程为：()2224x y ++=.（2）曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=-+⎩（α为参数），点P 的直角坐标为()3,3--，中点32cos 52sin ,22M αα-+-+⎛⎫⎪⎝⎭， 则点M 到直线l的距离d =，当cos 14πα⎛⎫ ⎪⎝⎭+=时，d 的最小值为1， 所以PQ 中点M 到直线l 的距离的最小值为1.【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及将距离的最值转化为三角函数问题，意在考查转化与化归的思想，以及计算求解的能力，属于基础题型.23．已知正数a ，b ，c 满足等式1a b c ++=. 证明：（1≤；（2≤【答案】（1）见解析； （2）见解析.【解析】（1）采用分析法证明，要证明不等式成立，只需证明23≤，展开以后利用基本不等式证明；（2）利用2323231111111a b c +++++=，再利用第一问的结论，即可证明.【详解】（1）要证不等式等价于23≤，因为22123222a b b c a c a b c +++⎛⎫=+++≤+++= ⎪⎝⎭，≤13a b c ===时取等号. （2）因为()()()23232311a b c +++++=，所以2323231111111a b c +++++=， 又因为23011a +>，23011b +>，23011c +>.所以≤13a b c===时取等号.【点睛】本题考查了利用基本不等式证明不等式，考查了学生分析问题和类比推理的能力，属于中档题型.。

《2019届市第一中学高三第六次质检数学（理）试题（解析版）》摘要：、单选题．已知（是实数）其是虚数单位则（）． B．．．3 【答案，0．已知函数是定义上可导函数其导函数则命题且成立充要条件是（）． B．．．【答案，试题析（）由得所以所以．又所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（）由得所以因对任故所取值围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．分【考09届市学高三六次质检数学（理）试题、单选题．已知（是实数）其是虚数单位则（）． B．．．3 【答案】【析】析由题设可得则故应选答案．．如图,格纸上正方形边长,若四边形及其部组成集合记,任,则值( ) ． B．．．【答案】B 【析】先画出平移直线易得处取得值代入坐标出值【详】图画出直线平移直线易得处取得值因所以故选B 【睛】题考了简单线性规划问题属基础题 3．如图平面直角坐标系直线与圆相交两则（）． B．．．【答案】【析】圆心到直线距离所以选．展开式若二项式系数项是六项则展开式常数项（）．80 B．0 ．90 ．5 【答案】【析】根据二项式系数项是六项可以出值再根据二项式展开式通项公式出常数项即可【详】因二项式系数项是六项所以该二项式展开式通项公式令所以常数项故选【睛】题考了二项式定理应用、二项式展开式通项公式考了二项式系数性质属基础题 5．下边程序运行输出结( ) ．50 B．5 ．5 ．0 【答案】【析】共执行了5次循环体次,二次3,三次,四次0,五次0所以输出值0 6．平面上三条直线如这三条直线将平面划分成六部分则实数取值集合（）． B．．．【答案】【析】根据三条直线将平面划分成六部分可以确定三条直线位置关系然分类讨论出实数取值集合【详】因三条直线将平面划分成六部分所以三条直线有以下两种情况（）三条直线交方程组所以交坐标直线也该故；（）当直线与平行；当直线与平行综上所述故选【睛】题考了直线分平面问题考了直线与直线位置关系考了已知直线平行参数问题属基础题 7．已知是等比数列前项和若存满足则数列公比（）． B．．．3 【答案】【析】先判断由利用等比数列和公式可得结合可得从而根据可得结【详】设等比数列公比当不合题当得又由得故选【睛】题主要考等比数列通项公式与和公式应用考对基公式掌握与应用考了分类讨论思想应用属档题有关等比数列和题程如公比是参数定要讨论与两种情况这是易错 8．某市加强城市圈建设计划对周边如图所示､､､､､､､八城市进行综合规划治理期工程拟从这八城市选取三城市但要没有任何两城市相邻则城市被选概率（）． B．．．【答案】【析】根据题列出城市被选情况和没有被选情况出概率即可【详】八城市选取三城市要没有任何两城市相邻城市被选情况有共0种；八城市选取三城市要没有任何两城市相邻城市没被选情况有共0种, 所以城市被选概率故选【睛】题考了古概型概率计算方法属基础题 9．已知(－,3)抛物线＝x准线上直线与象限相切B记焦则直线B斜率() ． B．．．【答案】【析】试题分析由抛物线准线上所以设直线B方程将与立即则（值舍）将k代入得8即可出x8故B（8,8）所以故选【考】直线与抛物线位置关系；斜率公式 0．已知函数是定义上可导函数其导函数则命题且成立充要条件是（）． B．．．【答案】B 【析】由导数定义,结合充要条件定义直接即可【详】且不妨设当可得设所以该函数是单调递减函数故；当可得设所以该函数是单调递增函数故因有故选B 【睛】题考了充要条件判断考了导数应用属基础题．已知圆上圆上则下列说法错误是．取值围 B．取值围．取值围．若则实数取值围【答案】B 【析】∵圆上圆上∴∠≥90° ∴≤0 又≤+≤+ ∴当++ 取得值（+）π﹣3﹣故正确；设（+α+α）（﹣+β﹣+β）则（α+βα+β）∴αβ+αβ+（α﹣β）+ ∴0≤≤故B错误；∵两圆外离半径|| ∴﹣≤||≤+即﹣≤≤+故正确；∵﹣≤||≤+≤||≤+ ∴当≤﹣λ≤得﹣3﹣≤λ≤﹣3+故正确．故选B．．已知是半径球面上上射影则三棱锥体积值是（）． B．．．【答案】B 【析】由可以判断出底面射影位置这样可以确定球心位置利用勾股定理、直角三角形性质可以出到底面距离利用相似三角形性质可以出三角形面积表达式利用导数出其面积值也就出了体积值, 【详】因所以底面射影是直角三角形斜边所以球心线段延长线上设因即作垂足设由可得设则有由可得当函数单调递增当函数单调递减故当函数有值值三角形面积值三棱锥体积值是故选B 【睛】题考了三棱锥体积值法考了几何体性质考了直角三角形性质考了导数应用考了数学运算能力二、填空题3．计算__________．【答案】【析】分析根据定积分几何义将定积分化两区域面积．详令可得表示以原圆心半径圆上半部分．结合图形可得所定积分和扇形面积和（如图）且扇形．故．睛定积分方法有两种是根据微积分基定理；二是根据定积分几何义特别是对被积函数含有根形式定积分般要根据几何义化图形面积．．B且则_______ 【答案】【析】先利用正弦定理化边角结合倍角公式出从而出【详】因所以；得（舍）；所以得由,所以故锐角所以【睛】题主要考三角形三角形般是利用边角关系进行化三角恒等变换也会常使用 5．已知双曲线左、右焦分别作直线与双曲线右半支交、Q两使得∠Q90°则△Q切圆半径r________．【答案】【析】【详】由双曲线性质知,因∠Q90°故 ,因从而直角三角形切圆半径是,故填睛直角三角形切圆半径可根据切线长定理得到其分别直角边和斜边 6．正方体棱长动线段上动平面上且平面线段长值______ 【答案】【析】建立空直角坐标系设出相应坐标利用平面向量数量积运算结合平面可以出坐标利用空两距离公式结合配方法出线段长值【详】以空直角坐标系原以轴设则因平面所以所以线段长当有值其值故答案【睛】题考了利用配方法线段长值考了利用空向量数量积应用考了线面垂直性质考了数学运算能力三、答题7．设数列前项积且．（）数列通项公式；（）设数列前项和．若对任总有实数取值围．【答案】（）；（）【析】试题分析()由,再由可得数列通项公式；()先出,再根据对任,可得取值围试题析（）由得所以所以．又所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（）由得所以因对任故所取值围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．分【考】等比数列通项公式和性质；等比数列和 8．了了我校高07级部和学城校区学生是否愿参加主招生培训情况对全年级000名高三学生进行了问卷调统计结如下表校区愿参加不愿参加重庆部校区 0 980 重庆学城校区 80 70 （）若从愿参加主招生培训学按分层抽样方法抽取5人则学城校区应抽取几人；（）现对愿参加主招生学组织摸底考试考试题共有5道题每题0分对这5道题考生“如花姐”完全会答有3题不完全会有道不完全会每道题她得分概率满足假设答各题没有影响①对道不完全会题“如花姐”得分值；②试“如花姐”次摸底考试总得分数学期望．【答案】（）；（）①；②．【析】试题分析（）由分层抽样概念得结；（）①直接利用公式可得“如花姐”得分数学期望；②由相独立事件发生概率计算公式计算随机变量取每值概率由期望计算公式得结．试题析（）学城校区应抽取人；（）①由题知对道不完全会题“如花姐”得分分布列即； 6 8 所以对每道不完全会题“如花姐”得分期望分；②记“如花姐”做两道不完全会题得分总和则；；．所以“如花姐”得分期望值分．【考】（）分层抽样；（）离散型随机变量分布列及期望． 9．如图棱形与正三角形边长它们所平面相垂直且．（）证；（）若二面角余弦值．【答案】（Ⅰ）详见析；（Ⅱ）二面角余弦值是．【析】试题分析（）依据线面平行判定定理要平面到条直线与直线平行即可．因平面平面则作连接证明四边形平行四边形即可；（）由（）知平面又等边三角形分别以所直线轴建立如图所示空直角坐标系分别出平面和平面法向量即可．试题析（）如图作连接可证得四边形平行四边形平面（）连接由（）得又等边三角形分别以所直线轴建立如图所示空直角坐标系则设平面法向量由即令得设平面法向量由即令得所以所以二面角余弦值是【考】（）线面平行判定定理；（）利用空向量二面角． 0．设椭圆(b0)左焦上顶B 已知椭圆离心率坐标且（）椭圆方程；（）设直线l与椭圆象限交且l与直线B交Q 若(原) k值【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)或【析】分析（Ⅰ）由题结合椭圆性质可得3b．则椭圆方程．（Ⅱ）设坐标（x）Q坐标（x）．由题可得59．由方程组可得．由方程组可得．据得到关k方程方程可得k值或详（Ⅰ）设椭圆焦距由已知有又由b+可得3b．由已知可得由可得b6从而3b．所以椭圆方程．（Ⅱ）设坐标（x）Q坐标（x）．由已知有0故．又因而∠B故．由可得59．由方程组消x可得．易知直线B方程x+–0 由方程组消x可得．由59可得5（k+）两边平方整理得得或．所以k值或睛直线与椭圆综合问题要 ()观察应用题设每条件明确确定直线、椭圆条件；()强化有关直线与椭圆立得出元二次方程运算能力重视根与系数关系、弦长、斜率、三角形面积等问题．．已知函数（）讨论导函数零数；（）若函数值取值围【答案】（）见析（）【析】试题分析（）由已知根据导公式和法则可得函数导函数构造函数易知上单调递增则因若或函数没有零所以函数只有零；若或函数存唯零所以函数有两零（）由（）知可对取值围结合函数单调性进行分段讨论对参数各段取值逐出函数值是否若是即满足题综合全部从而可确定参数取值围试题析（）令故上单调递增则因当或只有零；当或有两零（）当则函数处取得值当则函数上单调递增则必存正数使得若则函数与上单调递增上单调递减又故不合题若则函数上单调递增又故不合题若则设正数则与函数值矛盾综上所述即．（选修坐标系与参数方程）直角坐标系圆以坐标原极轴正半轴极轴建立极坐标系（）极坐标方程和平面直角坐标系方程；（）若直线极坐标方程设与交与交面积【答案】()见析;() 【析】试题分析（）化圆标准方程般方程再把代入般方程得极坐标方程利用极坐标方程几何义以及直线斜式方程可得直角坐标方程；（）分别将代入得根据极径与极角几何义利用三角形面积公式可得结试题析（）因圆普通方程把代入方程得所以极坐标方程平面直角坐标系方程；（）分别将代入得则面积 3．已知函数（）不等式集；（）若存使得和相反数取值围【答案】（）（）【析】（）利用零分类讨论方法不等式集即可；（）由存存使得成立可以化利用绝对值性质、函数值通绝对值不等式出取值围【详】（）得不合题；得得综上不等式集是（）因存存使得成立所以又而故值是可知所以得所以实数取值围【睛】题考了绝对值不等式考了存性问题考了绝对值性质考了数学运算能力。

2019-2020学年云南省昆明市宜良县第一中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若，，，则下列结论正确的是（）A． B． C．D．参考答案：D略2. 已知向量的夹角为θ，时取得最小值，当时，夹角的取值范围为A. B. C. D.参考答案：C【知识点】向量的数量积解析：因为，,，所以，则，得，所以，则选C.【思路点拨】把所求向量用已知向量转化，再利用模的性质求出向量的模，利用最小值时对应的的范围求夹角范围即可.3. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的为（）A． B． C． D．参考答案：B略4. 平面向量，共线的充要条件是（）A. ，方向相同B. ，两向量中至少有一个为零向量C. ，D. 存在不全为零的实数，，参考答案：D5. 的值为（）Ａ．61 Ｂ．62 Ｃ．63 Ｄ．64参考答案：答案：B解析：原式＝，选B6. 已知则（）A. B. C. D.参考答案：A7. 执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是()（A）120 （B）720 （C）1440 （D）5040参考答案：B8. 某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（A）（B）（C）（D）参考答案：答案：C9. ．从抛物线图像上一点引抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线焦点为，则的面积为A．10 B．8 C． 6 D．4参考答案：A10. 设集合，A={（x，y）|（x﹣t）2+（y﹣at+2）2=1}和集合B={（x，y）|（x﹣4）2+y2=1}，如果命题“?t∈R，A∩B≠?”是真命题，则实数a的取值范围是（）0＜a≤B．0≤a≤C．0≤a≤D．0≤a＜C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，三棱锥A-BCD的项点A，B，C，D都在同一球面上，BD过球心O，是边长为4的等边三角形，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且，则三棱锥P-QOC体积的最大值为______．参考答案：【分析】由题证得AO⊥平面BCD，△BOC也是等腰直角三角形，设AP=CQ=x，然后利用体积公式求解即可．【详解】因为BD过球心，，所以，又△ABC是边长为4等边三角形，所以AO2+CO2=AC2，AO2+BO2=AB2，所以AO⊥CO，AO⊥BO．所以AO⊥平面BCD，且△BOC也是等腰直角三角形，设AP=CQ=x，则当且紧当时成立.故答案为：．【点睛】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12. 若=18，则a=．参考答案：3【考点】定积分．【分析】根据定积分的计算法则计算即可【解答】解：（x2+sinx）dx=（x3﹣cosx）|=a3=18，∴a=3，故答案为：313. 若纯虚数z满足参考答案：14. 设P为双曲线右支上的任意一点，O为坐标原点，过点P作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点，则平行四边形PAOB的面积为．参考答案：15【考点】双曲线的简单性质．【分析】方法一：设P的参数方程，求得直线PA的方程，将y=x代入，求得A和B点坐标，根据平行四边形PAOB的面积即公式可求得平行四边形PAOB的面积；方法二：设P点坐标，求得PA方程，将y=x代入即可求得A点坐标，利用点到直线的距离公式，d=，则S=2S△OPA=|OA|?d，即可求得平行四边形PAOB的面积．【解答】解：方法一：双曲线=1的渐近线方程为y=±x，不妨设P为双曲线右支上一点，其坐标为P（6secφ，5tanφ），则直线PA的方程为y﹣5tanφ=﹣（x﹣6secφ），将y=x代入，解得点A的横坐标为x A=3（secφ+tanφ）．同理可得，点B的横坐标为x B=3（secφ﹣tanφ）．设∠AOF=α，则tanα=．∴平行四边形PAOB的面积为S□PAOB=|OA|?|OB|?sin2α=??sin2α=?sin2α=?tanα=18×=15，平行四边形PAOB的面积15，方法二：双曲线=1的渐近线方程为y=±x，P（x0，y0）直线PA的方程为y﹣y0=﹣（x﹣x0），直线OB的方程为y=x，，解得x A=（6y0+5x0）．又P到渐近线OA的距离d==，又tan∠xOA=∴cos∠xOA=，∴平行四边形OQPR的面积S=2S△OPA=|OA|?d==×丨6y0+5x0丨×=×900=15，故答案为：15．15. 给出如图所示的程序框图，那么输出的数是___________.参考答案：50略16. 从某地区随机抽取100名高中男生，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{0,1,2}M =，集合{|2,}N y y x x M ==∈，则（ ） A ．{0,2}M N = B ．{0,2}M N = C ．M N ⊆ D ．M N ⊇【答案】A 【解析】试题分析：因为{}{}|2,0,2,4N y y x x M ==∈=，所以{}0,2M N =，选A ．考点：集合的运算． 2.已知复数1()1aiz a R i+=∈-，若z 为纯虚数，则a 的值为（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 【答案】C考点：复数的运算与复数的概念．3.双曲线22:1916x y C -=的离心率为（ ） A ．34 B ．35 C ．43 D ．53【答案】D 【解析】试题分析：因为29a =，216b =，所以22225c a b =+=，离心率53c e a ==，选D ． 考点：双曲线的几何性质．4.学校根据某班的期中考试成绩绘制了频率分布直方图（如图所示），根据图中所给的数据可知a b +=（ ）A ．0.024B ．0.036C ．0.06D ．0.6【答案】C 【解析】试题分析：由图得，(0.010.0180.012)101a b ++++⨯=，得0.06a b +=，选C ． 考点：频率直方图的应用．5.41()x x-的展开式中常数项为（ ） A ．-4 B ．-1 C ．1 D ．6 【答案】D考点：二项式定理的应用． 6.已知命题1:,222xx p x R ∀∈+>；命题:[0,]2q x π∃∈，使1sin cos 2x x +=，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝ 【答案】D【解析】试题分析：因为命题p 为假命题，命题q 为假命题，所以p q ⌝∧⌝为真命题，选D ． 考点：命题的真假判定．7.若某空间几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ） A ．420π+ B ．1612π+ C ．1616π+ D ．1620π+【答案】C考点：几何体的三视图与几何体的表面积．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图、三棱锥的体积的计算公式，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，根据空间几何体的侧面积（表面积）或体积公式求解，同时准确计算也是解答的一个易错点．8.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3S 是12a 与2a 的等差中项，则该数列的公比q =（ ） A ．-2 B ．12- C ．12D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：因为3S 是12a 与2a 的等差中项，所以31222S a a =+，即21120a q a q +=，又因为10,a q ≠所以12q =-，选B ． 考点：等差数列的性质．9.在如图所示的程序框图中（其中'1()i h x -表示函数1()i h x -的导函数），当输入0()xh x xe =时，输出的()i h x 的结果是(2016)xx e +，则程序框图中的判断框内应填入（ ） A ．2014?i ≤ B ．2015?i ≤ C ．2016?i ≤ D ．2017?i ≤【答案】B考点：程序框图的应用．10.已知点F 是抛物线2:(0)C y ax a =≠的焦点，点A 在抛物线C 上，则以线段AF 为直径的圆与x 轴的位置关系是（ ）A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法确定 【答案】C 【解析】考点：抛物线的定义与简单的几何性质．11.若关于x (1)k x ≤+的解集为区间[,]a b ，且2b a -≥，则实数k 的取值范围为（ ）A ．)+∞B ．,)3+∞ C ． D ．(-∞ 【答案】A 【解析】试题分析：令1y =，)1(2+=x k y ，其示意图如图，(1,A 若0k >，要满足21y y ≤，则3b =，此时1a ≤.从而11k ≥=+若0k <，要满足21y y ≤，则3a =-.而1b <-，不满足2b a -≥.所以k ≥A ．考点：直线与圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系及转化的数学思想方法，同时着重考查了数形结合的思想与分类讨论思想的应用，属于基础性试题，本题的解答中把不等式(1)k x ≤+的解集，转化为1y =)1(2+=x k y 图象的交点，作出示意图，分0k >或0k <两种情况，可求解实数k 的取值范围．12.将长、宽分别为4和3的矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使二面角D AC B --等于060，若,,,A B C D 四点在同一球面上，则该球的体积为（ ） A ．5003π B ．1256π C ．100π D ．25π 【答案】B考点：二面角的应用及球的体积的运算．【方法点晴】本题主要考查了空间中二面角的应用及空间中直线与平面的位置关系、球的体积的计算，着重考查了空间想象能力和运算能力，属于中档试题，本题的解答中，确定将矩形ABCD 沿对角线AC 折起时，无论所得的二面角多大，总有四面体A BCD -的各顶点到点O 的距离为52是解答本题的关键，从而确定外接球的半径，求解球的体积．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若927S =，则46a a += . 【答案】6 【解析】试题分析：由927S =，得95927S a ==，即53a =，所以46526a a a +==. 考点：等差数列的通项公式及求和公式的应用．14.已知向量12,e e 是两个不共线的向量，若向量122a e e =-与向量123b e e λ=+共线，则实数λ= . 【答案】32λ=- 【解析】试题分析：因为向量a 与b 共线，所以a kb =，即()121223a e e k e e λ=-=+，化简得()()122310k e k e λ-+--=，所以23010k k λ-=⎧⎨--=⎩，解得2332k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以32λ=-. 考点：向量的运算．15.某港口水的深度y （米）是时间t （024t ≤≤，单位：时）的函数，记作()y f t =，下面是某日水深的数据：经长期观察，()y f t =的曲线可以近似的看成函数sin (0,0)y A t b A ωω=+>>的图象，根据以上数据，可得函数()y f t =的近似表达式为 . 【答案】106sin3+=t y π，240≤≤t ．考点：三角函数模型的应用．【方法点晴】本题主要考查了三角函数模型的建立与应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础性试题，解答中认真审题、仔细作答是解答的关键．本题的解答中，根据图表中的信息，可确定函数的最小正周期，从而得到6πω=，由3t =时，sin10132A π+=，确定3A =，从而可得函数的解析式．16.若函数22()(4)(5)f x x ax bx =-++的图象关于直线32x =-对称，则()f x 的最大值是 . 【答案】36 【解析】考点：函数的综合应用及函数的图象．【方法点晴】本题主要考查了多项式函数的图象的对称性、求解函数的饿最大值等问题，着重考查了函数的性质和换元法的应用，属于中档试题，本题的解答中，根据点(2,0)，(2,0)-在函数()f x 的图象上，且()f x 的图象关于直线32x =-对称，确定(1,0)-，(5,0)-必在()f x 图象上，求解,a b 的值，从而确定函数的解析式，再把函数分解为()f x 22(32)(310)x x x x =-+++-，利用换元法求解函数的最值．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）如图所示，在平面四边形ABCD 中，AB AD ⊥，23ADC π∠=，E 为AD 边上一点，CE =，1DE =，2AE =，3BEC π∠=.（1）求sin CED ∠的值； （2）求BE 的长.【答案】（1）7；（2） 【解析】考点：正、余弦定理的应用；三角函数的诱导公式及和角公式的应用． 18.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，060BAD ∠=，PA PD =，O 为AD 边的中点，点M 在线段PC 上.（1）证明：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若AB ===//PA 平面MOB ，求二面角M OB C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）7．（2）连接AC ，交OB 于点N ，连接MN ，因为PA ∥平面MOB ，所以PA ∥MN ，………6分 易知点N 为ABD 的重心，所以13AN AC =， 故13PM PC =，………7分因为AB =PA PD ==所以3OB =，2OP =，因为PB = 所以90POB ∠=，即OP OB ⊥，因为二面角M OB C --为锐角，所以二面角M OB C --．………12分考点：平面与平面垂直关系的判定；二面角的求解．19.（本小题满分12分）某商品每天以每瓶5元的价格从奶厂购进若干瓶24小时新鲜牛奶，然后以每瓶8元的价格出售，如果当天该牛奶卖不完，则剩下的牛奶就不再出售，由奶厂以每瓶2元的价格回收处理.（1）若商品一天购进20瓶牛奶，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：瓶，n N∈）的函数解析式；（2）商店记录了50天该牛奶的日需求量（单位：瓶），整理得下表：以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，假设商店一天购进20瓶牛奶，随机变量X表示当天的利润（单位：元），求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】（1）660,2060,20n nyn-<⎧=⎨≥⎩（n∈N）；（2）分布列见解析，56.04．考点：求解函数的解析式；离散型随机变量的分布列及数学期望． 20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴长为2，点M 为椭圆E 上一个动点，且||MF 的1. （1）求椭圆E 的方程；（2）设不在坐标轴上的点M 的坐标为00(,)x y ，点,A B 为椭圆E 上异于点M 的不同两点，且直线0x x =平分AMB ∠，试用00,x y 表示直线AB 的斜率.【答案】（1）22+=12x y ；（2）002x y ．因为直线0x x =平分AMB ∠，所以直线MA ，MB 的倾斜角互补，斜率互为相反数.考点：椭圆的标准方程及几何性质；直线与圆锥曲线综合应用．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解和简单的几何性质的应用及直线与圆锥曲线的综合应用，着重考查了运算能力和转化的思想方法，属于中档试题，本题第二问的解答中直线MA 的方程为00=()y y k x x --，代入椭圆的方程，整理得2220000(2+1)+4()+2()2=0k x k y kx x y kx ---，转化为方程的根与系数的关系，利用韦达定理表示12,x x 的坐标，可化简求得直线AB 的斜率． 21.（本小题满分12分）设函数1()ln()2f x x m =+，曲线()y f x =在点33(,())22f --处的切线与直线20x y +=垂直.（1）求实数m 的值；（2）若函数2()()g x af x x =+有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：21()02ln 21g x x <<-. 【答案】（1）1；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）求解1()2f x x m '=+，利用3()22f '-=列出方程，求解m 的值；（2）求解()2242x x a g x x ++'=+，令()224x x x a ϕ=++，函数()g x 有两个极值点12,x x ，转化为方程()0x ϕ=，在()2,x ∈-+∞上有两实根，列出条件，求得02a <<，得出12,x x 的表达式，化简函数()21g x x 的解析式，设出()212ln 122x x x x x ⎛⎫=++ ⎪--⎝⎭k ，利用导数求解函数()k x 单调性与最值，从而证明21()02ln 21g x x <<-.由()0p x '=得()()31,0x x =∈-，且当()1,3x ∈-时，()0p x '<，当)3, 0x ∈时，()0p x '>，而()00k '=, ()1112ln12ln 202k '-=+=-<，所以当()1,0x ∈-时，()0k x '<，所以()k x 是减函数，故()()()01k k x k <<-， 即()2102ln 21g x x <<-. ………12分考点：导数的几何意义；函数的导数在函数中的综合应用．【方法点晴】本题主要考查了导数的运算及导数的几何意义、函数的导数在函数的单调性与极值、最值的应用，着重考查了转化与化归的顺序思想方法和运算能力，属于难度较大的试题，本题的解答中，求解()2242x x a g x x ++'=+，令()224x x x a ϕ=++，把函数()g x 有两个极值点12,x x ，转化为方程()0x ϕ=，在()2,x ∈-+∞上有两实根，列出条件，求得02a <<，得出12,x x 的表达式，化简函数()21g x x 的解析式，设出()k x ，利用导数求解函数()k x 单调性与最值，从而作出证明.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知直线MA 切圆O 于点A ，割线MCB 交圆O 于点,C B 两点，BMA ∠的角平分线分别与,AC AB 交于,E D 两点.（1）证明：AE AD =； （2）若5,2AB AE ==，求MAMC的值.【答案】（1）证明见解析；（2）32． 【解析】试题分析：（1）由直线MA 切圆O 于点A ，所以M A C B ∠=∠，得M A C E M A B C ∠+∠=∠+∠，进而可得AED ADE ∠=∠，所以AE AD =；（2）由切割线定理得2MA MC MB =⋅，得MA MB MC MA =，由MBD ∆∽MAE ∆，得MB BDMA AE=，可得MA BD MC AE =，可得MAMC的值．考点：与圆有关的比例关系与证明．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为31x ty t=-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C 的极坐标方程为2cos 0ρθ+=.（1）把曲线C 的极坐标方程化为普通方程；（2）求直线l 与曲线C 的交点的极坐标（0,02ρθπ≥≤<）.【答案】（1）2220x y x ++=；（2）54π⎫⎪⎭，()2,π. 【解析】试题分析：（1）在曲线C 的极坐标方程为2cos 0ρθ+=，两侧同乘ρ，可化为普通方程；（2）化直线的参数方程为普通方程20x y ++=，和圆的方程联立，求解交点坐标，在把交点坐标化为极坐标即可．考点：极坐标方程与普通方程的互化． 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|||2|f x x m x =---.（1）若函数()f x 的值域为[4,4]-，求实数m 的值；（2）若不等式()|4|f x x ≥-的解集为M ，且[2,4]M ⊆，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）=2m -或6；（2）(][),06+-∞∞，． 【解析】试题分析：（1）根据绝对值三角不等式，化222x m x x m x m ---≤--+=-，根据函数的值域为[4,4]-，得到24m -=，即可求解m 的值；（2）由()|4|f x x ≥-，及24x m x x ---≥-，当24x ≤≤时，得到不等式2x m -≥，求解实数m 的范围．试题解析：(1) 由不等式的性质得：222x m x x m x m ---≤--+=- 因为函数()f x 的值域为[]4,4-，所以24m -=， 即24m -=-或24m -=所以实数=2m -或6. ………5分 (2) ()4f x x ≥-，即24x m x x ---≥-当24x ≤≤时，4+2+4+22x m x x x m x x -≥--⇔-≥--=，2x m -≥，解得：2x m ≤-或2x m ≥+，即解集为(],2m -∞-或[)2,m ++∞，由条件知：+220m m ≤⇒≤或246m m -≥⇒≥ 所以m 的取值范围是(][),06+-∞∞，. ………10分 考点：绝对值不等式的求解与应用．。

2019-2020学年云南省昆明市第六中学高一数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知i是虚数单位，，，则等于（）A. 1B. 1C. 3D. 4参考答案：A【分析】根据复数的除法化简，再根据复数相等的充要条件求出，即得答案.【详解】，.故选：.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数相等的充要条件，属于基础题.2. 将函数的图像向右平移3个单位再向下平移2个单位所得图像的函数解析式为（）A． B． C． D．参考答案：C3. 已知=（﹣2，1），=（0，2），且∥，⊥，则点C的坐标是（）A．（2，6）B．（﹣2，﹣6）C．（2，﹣6）D．（﹣2，6）参考答案：D【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系；96：平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线定理、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：设C（x，y），=（x+2，y﹣1），=（x，y﹣2），=（2，1）．∵∥，⊥，∴，解得x=﹣2，y=6．则点C的坐标是（﹣2，6）．故选：D．【点评】本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4. 定义域为R的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则函数y＝f(x＋1)的值域为( ) A．[2a，a＋b] B．[a，b]C．[0，b－a] D．[－a，a＋b]参考答案：B5. 函数为幂函数，则函数为A .奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.减函数参考答案：B6. 已知，若，则等于()A. B. 1 C. 2 D.参考答案：A【分析】首先根据?（cos﹣3）cos+sin（sin﹣3）＝﹣1，并化简得出，再化为Asin()形式即可得结果.【详解】由得：（cos﹣3）cos+sin（sin﹣3）＝﹣1，化简得，即sin()=,则sin()=故选：A.【点睛】本题考查了三角函数的化简求值以及向量的数量积的运算，属于基础题．7. 函数在[―1，3]上为单调函数，则k的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：D略8. 某几何体的正视图和侧视图均如图l所示，则该几何体的俯视图不可能是参考答案：D9. 在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b=2，B=且csinA=acosC，则△ABC的面积为（）A． B．2C． D．2参考答案：A【考点】正弦定理．【分析】由 csinA=acosC，利用正弦定理求得tanC=，可得C=．再根据b=2，B=，可得△ABC为等边三角形，从而求得△ABC的面积ab?sinC 的值．【解答】解：锐角△ABC中，∵csinA=acosC，∴利用正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，∴tanC=，∴C=．再根据b=2，B=，可得△ABC为等边三角形，故△ABC的面积为ab?sinC=，故选：A．10. 已知直线l过点(0,3)且与直线垂直，则l的方程是（）A. B.C. D.参考答案：B【分析】直线与直线垂直可得斜率之积为-1，从而得出直线方程.【详解】解：因为直线与直线垂直，所以，所以直线的方程为，即，故选B.【点睛】本题考查了两条直线的垂直关系，解题的关键是熟记当两直线的斜率存在时，两条直线垂直等价于两直线斜率之积为-1.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的图象一定过定点___________.参考答案：(1,4)12. 已知数列中，，则________参考答案：13. 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且，则∠A=参考答案：略14. 设0≤x≤2，则函数f（x）=﹣3×2x+5的值域为．参考答案：][,考点：函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：化简，利用换元法求函数的值域．解答：解：f（x）=﹣3×2x+5=（2x）2﹣3×2x+5，令2x=t，则1≤t≤4，则y=t2﹣3t+5=（t﹣3）2+，∵1≤t≤4，∴≤（t﹣3）2+≤，]故答案为：[,点评：本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．15. 已知：在锐角三角形中，角对应的边分别是，若，则角为▲ .参考答案：16. 在函数①；②；③中，满足性质的是函数（填写所有满足要求的函数序号）。