2019-2020年数学必修2同步课件讲义应用案巩固提升：第1章1 1.2.1 应用案巩固提升(苏教版)
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[A基础达标]
1．下面给出了三个条件：
①空间三个点；②一条直线和一个点；
③和直线a都平行的两条直线．
其中，能确定一个平面的条件有()
A．0个B．1个
C．2个D．3个
解析：选B.①空间三点共线时不能确定一个平面．②点在直线上时不能确定一个平面．③和直线a都平行的两直线平行，能确定一个平面．故选B.
2．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，且M∈l，N∈l，那么() A．l⊂αB．l⊄α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
解析：选A.因为M∈a，N∈b，a⊂α，b⊂α，
所以M∈α，N∈α.
而M，N确定直线l，根据公理1可知，l⊂α.故选A.
3．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是()
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A
D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合
解析：选C.选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故C错．
4．空间四点A，B，C，D共面但不共线，那么这四点中()
A．必有三点共线B．必有三点不共线
C．至少有三点共线D．不可能有三点共线
解析：选B.若AB∥CD，则AB，CD共面，但A，B，C，D任何三点都不共线，故排除A，C；若直线l与直线外一点A在同一平面内，且B，C，D三点在直线l上，所以排除
D.故选B.
5.如图，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝
D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过()
A．点A B．点B
C．点C，但不过点D D．点C和点D
解析：选D.根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线
上．故选D.
6．已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．解析：当β与γ相交时，若α过β与γ的交线，有1条交线；若α不过β与γ的交线，有3条交线；当β与γ平行时，有2条交线．
答案：1或2或3
7．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．
解析：如图，因为AC∥BD，所以AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.
因为l∩α＝O，所以O∈α.又因为O∈AB⊂β，所以O∈直线CD，所以O，C，D三点共线．
答案：共线
8．如图所示的正方体中，P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________．(把正确图形的序号都填上)
解析：图形①中，连结MN，PQ(图略)，则由正方体的性质得MN∥PQ，根据推论3可知两条平行直线可以确定一个平面，故图形①正确．分析可知③中四点共面，②④中四点均不共面．
答案：①③
9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)直线AC1在平面CC1B1B内；
(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D 的交线为OO1；
(3)由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1；
(4)由A，C1，B1确定的平面与由A、C1、D确定的平面是同一个平面．
解：(1)错误．如图所示，点A∉平面CC1B1B，所以直线AC1⊄平面CC1B1B.
(2)正确．如图所示．
因为O∈直线AC⊂平面AA1C1C，O∈直线BD⊂平面BB1D1D，O1∈直线A1C1⊂平面AA1C1C，O1∈直线B1D1⊂平面BB1D1D，
所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.
(3)(4)都正确，因为AD∥B1C1且AD＝B1C1，
所以四边形AB1C1D是平行四边形，
所以A，B1，C1，D共面．
10．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.
求证：(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．
证明：如图．
(1)因为EF是△D1B1C1的中位线，
所以EF∥B1D1，在正方体AC1中，
B1D1∥BD，所以EF∥BD.
所以EF、BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．
(2)正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.
因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.
则Q 是α与β的公共点，同理P 是α与β的公共点， 所以α∩β＝PQ .又A 1C ∩β＝R ，所以R ∈A 1C . 所以R ∈α，且R ∈β，则R ∈PQ . 故P ，Q ，R 三点共线．
[B 能力提升]
1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱DD 1和BB 1上的点，MD ＝1
3DD 1，NB
＝1
3
BB 1，那么正方体的过点M ，N ，C 1的截面图形是( ) A ．三角形 B ．四边形 C ．五边形
D ．六边形
解析：选C.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱DD 1
和BB 1上的点，
MD ＝13DD 1，NB ＝13
BB 1.如图，延长C 1M 交CD 于点P ，延长C 1N
交CB 于点Q ，连结PQ 交AD 于点E ，AB 于点F ，连结NF ，ME ，则正方体的过点M ，N ，C 1的截面图形是五边形，故选C.
2．已知A 、B 、C 、D 为不共面的四点，E 、F 、G 、H 分别在AB 、BC 、CD 、DA 上， (1)如果EH ∩FG ＝P ，那么点P 在________上； (2)如果EF ∩GH ＝Q ，那么点Q 在________上． 解析：(1)如图，由AB 、AD 确定平面α. 因为E 、H 在AB 、DA 上，所以E ∈α，H ∈α， 所以直线EH ⊂α， 又因为EH ∩FG ＝P ， 所以P ∈EH ，P ∈α.
设BC 、CD 确定平面β，同理可证，P ∈β， 所以P 是平面α，β的公共点，
因为α∩β＝BD ，所以点P 在直线BD 上． 同理可证(2)点Q 在直线AC 上． 答案：(1)BD 所在的直线 (2)AC 所在的直线
3．在四边形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ，BC ，DC ，AD (或延长线)分别与平面α相交于点E ，F ，G ，H .
求证：E ，F ，G ，H 必在同一直线上． 证明：因为AB ∥CD ，
所以四边形ABCD是一个平面图形，
即AB，CD确定一个平面β，则AB⊂β，AD⊂β.
因为E∈AB，所以E∈β，
因为H∈AD，所以H∈β.
又因为E∈α，H∈α，所以α∩β＝EH.
因为DC⊂β，G∈DC，所以G∈β.
又因为G∈α，所以点G在α与β的交线EH上．
同理，点F在α与β的交线EH上．
所以E，F，G，H四点共线．
4．(选做题)如图，定线段AB所在的直线与定平面α相交，交点
为O，P为定直线外一点，P∉α，直线AP，BP与平面α分别相交于A′，
B′，试问，如果P点任意移动，直线A′B′是否恒过一定点，请说
明理由．
解：随着P点移动，直线A′B′恒过定点O，O为直线AB与平面α的交点．理由如下：
直线AB和直线外一点P可确定平面β，因为AP∩α＝A′，BP∩α＝B′，所以α∩β＝A′B′，而AB∩α＝O，所以O一定在交线A′B′上，即直线A′B′恒过定点O.。
