第4章(多元回归分析)

其中β＝(C'C)-1C'Y. 证明: Q( ) (Y C )(Y C ) ˆ C ˆ C )(Y C ˆ C ˆ C ) (Y C ˆ )(Y C ˆ ) ( ˆ )C C ( ˆ ) (Y C
ˆ） (1 R 2 ) ( y y ) 2 . （ 3 ）残差平方和Q（ i
i 1
13
第四章 回归分析
ˆ C(CC)1CY HY ˆ C 证明:(1)估计向量为 Y 1 n 1 ˆ 1 1 ˆ y ˆ i 1n Y 1n HY ( H 1n )Y y n i 1 n n n 1 1n Y y. n
解:样本的似然函数为
L(a, b, 2 )

1 2 2 2 exp [( y a ) ( y 2 a b ) ( y a 2 b ) ] 1 2 3 3 2 2 2 2 1

ˆ, 2 ) ˆ, b L(a

1 2 ˆ) 2 ( y a ˆ) 2 ] ˆ ˆ ˆ exp [( y a ) ( y 2 a b 2 b 2 3 3 2 2 1 2 2 1
3 似然比统计量的分子为
2
1 ˆ0 ( y1 y2 3 y3 ) a 11
ˆ0 , ˆ 0 ) (2 ) ( ˆ0 ) L( a

3 2
3 2 2
3 exp[ ]. 2
5
第四章 回归分析
似然比统计量为
2
ˆ0 , ˆ 0 ) ( L( a ˆ0 ) 2 ˆ, ˆ, b ˆ ) L( a
可得参数向量β和σ2的最大似然估计为:
ˆ (C C ) 1 C Y . 2 1 ˆ )(Y C ˆ) ˆ ( Y C n

E(y/x2)- E(y/x1)
0 E( y | x 0)


E(y
/
x2 ) x2
E(y x1
/
x1 )
E(y/x1) E(y/x2)
0 0
x1
x2
5
产生ε的原因
许多x以外的其他因素的影响; 度量误差; 模型不精确引起的误差.
6
1
模型的建立
求一元线性函数
E( y / x) 0 1x

x2i x2i x1i



xpi xpi x1i
y1
1 x1
令
Y


y2

X

1
x2



yn

1
xn

e1
e


e2


en

B


b0 b1

Y XB e

e1，
e2，
,
en
相
互
独
立
均 值 为0, 方 差 为 2
的经验回归方程
yˆ b0 b1x
其 中 yˆ 是 E ( y / x)( 或 简 写 为 E ( y） ）的 估 计 值 , b0 , b1 分 别 是 0， 1 的 估 计 值 ,称 为 经 验 回 归 系 数 .
7
一元模型的数据结构
设 x, y有n组观测值 xi , yi , (i 1, 2,, n)
y 1 x12 2
x2

3
x3 x4

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§4.1 多元线性回归模型的两个例子
一、例题1：CD生产函数
Qt AKt 1 Lt 2 et
这是一个非线性函数，但取对数可以转变为一个 对参数线性的模型
ln Qt 0 1 ln Kt 2 ln Lt t
t ~ iid(0, 2 )
注意：“线性”的含义是指方程对参数而言是线 性的
R 2 1 RSS /(N K 1) TSS /(N 1)
调整思想： 对 R2 进行自由度调整。
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基本统计量TSS、RSS、ESS的自由度：
1.
TSS的自由度为N-1。基于样本容量N，TSS

N i1
(Yi
Y
)2
因为线性约束 Y 1 N
Y N
i1 i
而损失一个自由度。
分布的多个独立统计量平方加总，所得到的新统计量就服从
2 分布。
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
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双侧检验
概 率 密 度
概率1－
0
2 1 / 2
2 /2
图4.3.1

2
（N-K-1）的双侧临界值
双侧检验：统计值如果落入两尾中的任何一个则拒绝原假设
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
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单侧检验
概 率 密 度
概率 概率
0
2 1
2
图4.3.2 （2 N-K-1）的单侧临界值
H0：
2


2，
0
HA :

2


2 0

第四章 多元线性回归模型在一元线性回归模型中，解释变量只有一个。

但在实际问题中，影响因变量的变量可能不止一个，比如根据经济学理论，人们对某种商品的需求不仅受该商品市场价格的影响，而且受其它商品价格以及人们可支配收入水平的制约；影响劳动力劳动供给意愿（用劳动参与率度量）的因素不仅包括经济形势（用失业率度量），而且包括劳动实际工资；根据凯恩斯的流动性偏好理论，影响人们货币需求的因素不仅包括人们的收入水平，而且包括利率水平等。

当解释变量的个数由一个扩展到两个或两个以上时，一元线性回归模型就扩展为多元线性回归模型。

本章在理论分析中以二元线性回归模型为例进行。

一、预备知识（一）相关概念对于一个三变量总体，若由基础理论，变量21,x x 和变量y 之间存在因果关系，或21,x x 的变异可用来解释y 的变异。

为检验变量21,x x 和变量y 之间因果关系是否存在、度量变量21,x x 对变量y 影响的强弱与显著性、以及利用解释变量21,x x 去预测因变量y ，引入多元回归分析这一工具。

将给定i i x x 21,条件下i y 的均值i i i i i x x x x y E 2211021),|(βββ++= （4.1） 定义为总体回归函数（Population Regression Function,PRF ）。

定义),|(21i i i i x x y E y -为误差项（error term ）,记为i μ，即),|(21i i i i i x x y E y -=μ，这样i i i i i x x y E y μ+=),|(21，或i i i i x x y μβββ+++=22110 （4.2）（4.2）式称为总体回归模型或者随机总体回归函数。

其中，21,x x 称为解释变量（explanatory variable ）或自变量（independent variable ）；y 称为被解释变量（explained variable ）或因变量（dependent variable ）；误差项μ解释了因变量的变动中不能完全被自变量所解释的部分。