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21导数的概念经济数学赵树嫄

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微积分第三版赵树源主编

微积分第三版赵树源主编

____经济应用基础（一）微积分 课程教案授课类型_理论课___ 授课时间 2节授课题目（教学章节或主题）：第一章 函数§1.1集合； §1.2实数集；§1.3函数关系；§1.4函数表示法；§1.5建立函数关系的例题本授课单元教学目标或要求：理解集合概念，掌握集合的运算性质，了解实数集的特征。

理解函数的概念，掌握函数的表示法和函数定义域、值域的求法。

学会根据实际问题建立函数关系的方法。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容: 集合的概念及其运算性质；实数集的特征；函数的概念及性质；根据实际问题建立函数关系的方法。

重点：集合的运算性质和函数的特征。

难点：邻域的理解和掌握如何根据实际问题建立函数关系的方法。

本授课单元教学手段与方法：通过描绘文氏图和讲解第7页例9让学生理解和掌握集合的运算性质。

通过作图和用集合的方式表达领域来帮助学生理解邻域的概念。

通过讲解第25页例1，让学生掌握根据实际问题建立函数关系的方法。

本授课单元思考题、讨论题、作业：思考题：库存问题中如何选择最优批量是经济数学中的一个难点与重点。

第26页例2可做为一道思考题供学生课后思考。

然后，由教师指导解决。

讨论题：将函数732y x =--用分段形式表示，并绘制函数图形。

利用此题让学生了解初等函数与分段函数的区别。

作业：课本第40页 8，9，14，15，23（2）、（7）、（8），28，30。

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）《高等数学》―――同济大学第五版经济应用基础（一）微积分课程教案授课类型_理论课___ 授课时间 2节授课题目（教学章节或主题）：第一章函数§1.6函数的几种简单性质；§1.7反函数，复合函数；§1.8初等函数；§1.9函数图形的简单组合与变换。

本授课单元教学目标或要求：（1）了解函数的几种简单性质；（2）熟悉反函数和复合函数的概念；（3）熟悉六类基本初等函数的性质及其图形；（4）了解初等函数的构成。

《微积分赵树嫄》课件

《微积分赵树嫄》课件

ABCD
工程问题
在工程学中，微分方程被广泛应用于控制理论、 信号处理等领域。
生物问题
在生物学中，微分方程被用于描述生物种群的增 长、疾病的传播等问题。
THANKS
感谢观看
连续函数的性质
连续函数具有一些重要的性质，如一致连续性、可积性等。这些性质在解决微积分问题时非常重要。
03
导数与微分
导数的定义与性质
总结词
导数描述了函数在某一点的斜率，是函 数值随自变量变化的速率。
VS
详细描述
导数定义为函数在某一点处的切线的斜率 ，它表示函数值随自变量变化的速率。导 数具有一些基本性质，如可加性、可减性 、可乘性和可除性等。
导数与微分的应用
要点一
总结词
导数与微分的应用广泛，包括切线斜率、极值问题、曲线 的凹凸性、不等式证明等。
要点二
详细描述
导数与微分的应用非常广泛。在几何学中，导数可以用来 求切线斜率，解决曲线的凹凸性问题。在经济学中，导数 可以用来分析边际成本和边际收益，预测市场需求和价格 变动。在物理科学中，微分可以用来计算速度和加速度， 分析物体的运动规律。此外，导数和微分还可以用于解决 极值问题、不等式证明等问题。
极限的运算
01
极限的四则运算
对于两个函数的极限，我们可以 进行加、减、乘、除等运算，得 到新的函数的极限。
02
极限的复合运算
03
极限的运算法则
对于复合函数，我们可运算法则包括等价无穷小 替换、洛必达法则等，这些法则 可以帮助我们简化极限的计算。
连续性的概念与性质
导数的计算方法
总结词
导数的计算方法包括基本初等函数的导数公式、链式法则、乘积法则和商的导数公式等 。

2-2求导法则--经济数学--赵树嫄

2-2求导法则--经济数学--赵树嫄
dyf(u)g(x) dx
证: yf(u)在点 u 可导,故 limy f(u)
u0u
y f( u ) u u（当 u0时0)
故有 x yf(u) u x u x( x0 )uy f(u)
dy dx
故结论成立.
推论h:v(xCvh)v(x)vC2v ( C为常数 )
2019/11/11
蚌埠学院 高等数学
7
例2.求证 (tax)n se2c x,(c x )s c cx s cc x o . t 证: (tanx)csoinsxx(six)ncocxos s2sxixn(cx o)s
2 x2 1
x2 1
例8. 设 yxaaaxaaax(a0)求, y .
y aaxaa1axa lna a x a1
aax lnaax ln a
2019/11/11
蚌埠学院 高等数学
20
例10. yesixn2arctxa2 n1,求 y .
解: y(esin x2 cosx2 2x)arcx t2a 1n
x
2
(arcxt)an 1
1
x
2
(ax)axlna
(arccx)os 1
1 x2
(arccox)t
1
1 x
2
(ex) ex
2019/11/11
蚌埠学院 高等数学
11
三、复合函数求导法则
定理3. ug(x) 在点 x 可导, y f (u)在点 ug(x)
可导 复合函数 y f [g (x)]在点 x 可导, 且
蚌埠学院 高等数学
3
(1 )(uv)uv
证: 设 f(x)u(x)v(x), 则

《微积分赵树嫄》课件

《微积分赵树嫄》课件
微分的性质
微分具有一些基本的性质，如线性性 质、可加性、可乘性和微分中值定理 等，这些性质在研究函数的近似计算 、泰勒展开和极值问题等方面有重要 应用。
导数在几何中的应用
求切线方程
通过导数可以求出函数在某一点 的切线方程，从而了解函数在该 点的几何意义。
研究曲线的形状
通过导数可以研究曲线的单调性 、极值点和拐点等，从而了解曲 线的整体形状和变化趋势。
详细描述
如果函数在某点的左右极限相等且等于该点的函数值，则函 数在该点连续。连续性具有一些重要性质，如零点定理、介 值定理等，这些性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
无穷小量与无穷大量
总结词
无穷小量和无穷大量是微积分中的重要概念，它们描述了函数在某点附近的变化趋势。
详细描述
无穷小量是指当自变量趋近于某点时，函数值趋近于零的量。而无穷大量则是当自变量趋近于某点时 ，函数值趋近于无穷大的量。了解无穷小量和无穷大量的性质对于理解微积分的概念和运算方法非常 重要。

02 极限与连续性
极限的定义与性质
总结词
极限是微积分中的基本概念，它描述了函数在某一点的变化趋势。
详细描述
极限的定义为，对于函数在某点的极限，当自变量趋近于这个点时，函数值趋 近于一个确定的常数。极限具有一些基本性质，如唯一性、有界性、局部保号 性等。
连续性的概念与性质
总结词
连续性是函数的一种特性，描述了函数图像在某点的连接方 式。
金融市场分析
微积分可以用于研究金融市场的变化 规律，如股票价格、利率等变量的导 数和积分，帮助投资者进行风险评估 和决策。
供需关系分析
经济增长与收敛
微积分可以用于研究经济增长的收敛 性和差异性，分析不同经济体的增长 路径和趋势。

赵树嫄-《微积分(第四版)》第三章 导数与微分

赵树嫄-《微积分(第四版)》第三章 导数与微分

x0 x( x x)
x2
( 1 ) x

1 x2
22
例5 求函数 y x 的导数。 解 y x x x ,
( x ) 1 2x
y x x x
x
x
x
x( x x x )

1
,
x x x
y lim y lim
都不存在(指摆动不定)，则x0 处不可导。
例如,
f
(
x)


x
sin
1 x
,
x 0,
y
1
0, x 0
1
－1/π 0
1/π
x
lim f ( x) lim x sin 0 f (0) ,
x0
x0
x
所以 f ( x) 在 x 0 处连续.
1
但
lim
x0
f ( x) f (0)
第三章
1
第一节 导数引例
(一) 物体作变速直线运动的瞬时速度问题
设变速直线运动的路程函数为s(t) ,
求 t0时刻的瞬时速度,
t0
t
取一邻近于t
的时刻
0
t
,
运动时间t t t0 ,
t
平均速度 v s s(t0 t) s(t0 )
t
t
当 t 0时, 取极限得
y y x
例如, f ( x) | x |
x2, x 0
f (x)
,
x, x 0
o
y x2
y
x
yx
O
x
f(0) 0 , f(0) 1 , 在 x 0处不可导.

高等数学课件21导数的概念

高等数学课件21导数的概念
高等数学课件21导数的概念
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目录
01
单击添加目录项标题
02
03
导数的应用
04
导数的定义 导数的扩展知识
01
添加章节标题
02
导数的定义
导数的定义及几何意义
导数：函数在 某一点的切线
斜率
几何意义：函 数在某一点的 切线斜率等于 函数在该点的
导数
导数的计算： 通过求极限得
到
导数的应用： 求函数的极值、 最值、拐点等
积分可以用来求面积、体积、 弧长等
导数与积分在物理、工程、经 济等领域有广泛应用：通过积分计算导数， 如y=∫x^2 dx，y'=2x
泰勒公式法：通过泰勒公式 计算导数，如y=e^x， y'=e^x
03
导数的应用
导数在函数单调性判断中的应用
导数与函数单调性的关系：导数大于0，函数单调递增；导数小于0，函数单调递减 导数在函数单调性判断中的应用：通过计算导数，判断函数在某点或某区间的单调性 导数在函数极值判断中的应用：导数为0的点可能是函数的极值点，需要进一步判断 导数在函数最值判断中的应用：通过计算导数，判断函数在某点或某区间的最值
导数的极限定义
导数的定义：函数 在某一点的导数是 该函数在该点附近 切线的斜率
极限的定义：函数 在某一点的极限是 该函数在该点附近 的极限值
导数的极限定义： 函数在某一点的导 数是该函数在该点 附近的极限值
导数的极限定义的 应用：用于求解函 数在某一点的导数 ，以及求解函数在 某一点的极限值
导数的连续性
导数的基本性质
导数是函数 在某一点的 切线斜率
导数是函数 在某一点的 瞬时变化率

赵树嫄-《微积分(第四版)》第八章 多元函数微积分(1)


36
例6
求
lim
( x, y)(0,0)
x2 y x2 y2
.
解 由基本不等式 | xy | 1 ( x2 y2 ) , 知 2
(2) 单叶双曲面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
z
(3) 双叶双曲面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
o
y
x
o
y
x
21
(4) 椭圆锥面
x2 a2

y2 b2

z2
z
特殊情况：a b ,
x2 y2 a2z2 --圆锥面.
o
y
z
x
z x2 y2
y
o
x
28
函数 z ln( x y) 的定义域为
{( x, y) | x y 0}
y
o
x

29
例3 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) 的定义域． x y2
解 | 3 x2 y2 | 1
y
x

y2

0
2 x2 y2 4
例如： x y 0 ,
z
x yz2,
z (0,0,2)
x yz2
oy
o
y
x
(0,2,0) x (2,0,0)
14
2º 柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面。 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
15
例4 考虑方程 x2 + y2 = R2 所表示的曲面。
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)

高数同济六版课件D21导数概念


三角函数
sin(x)、cos(x)、 tan(x)等的导数公式
四则运算求导法则
01
加法法则
[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)
02
03
04
减法法则
[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)
乘法法则
[f(x)*g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x )
ห้องสมุดไป่ตู้除法法则
[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)f(x)g'(x)]/[g(x)]^2（g(x)≠0）
弹性分析
弹性是经济学中一个重要概念，表示因变量对自变量变化的 敏感程度。通过求导数，可以计算各种弹性系数，如价格弹 性、收入弹性等，进而分析市场供求关系和经济政策效果。
04 高阶导数概念及计算
高阶导数定义及性质
高阶导数定义
函数f的n阶导数记为f^(n)，表示f的 导数f'的n-1阶导数，其中n为正整数。
三角函数
正弦函数sinx和余弦函数cosx的n阶 导数具有周期性，可通过归纳法得到 通项公式。
泰勒公式与麦克劳林公式简介
泰勒公式
泰勒公式是用多项式逼近复杂函数的一种方法，它将函数在某一点附近展开成无穷级数的形式，级数 的每一项都与函数在该点的各阶导数有关。
麦克劳林公式
麦克劳林公式是泰勒公式在x=0处的特例，它将函数展开成幂级数的形式，级数的每一项都与函数在 x=0处的各阶导数有关。麦克劳林公式在求解一些定积分和级数求和等问题时具有重要应用。
注意事项
在求参数方程的导数时，需要注意参数的变化范围以及导数的存在性。

经济数学2.1导数的概念


y ( x x )3 x 3
导函数
3 x 2 x 3 x ( x ) 2 ( x ) 3,
( x x )3 x 3 y lim x x 0
lim [ 3 x 2 3 x x ( x ) 2 ] 3 x 2.
M M M MM y 0
T
x
ESC

o
3
x 0 x0 x
x
一、变化率问题举例
案 例
1
何谓曲线的切线？
y f (x)
当点 M 沿着曲线 y f ( x )趋于 y 点 M 0 时, 割线 M 0 M 便绕着点 M 0 转动；当点 M 无限趋于点 M 0 时割线的极限位置是 M 0T , 割线 则称直线 M 0T 为曲线 y f ( x ) f ( x0 x ) 过点 M 0 处的切线. f ( x0) 切线
便绕着点 M 0 转动；当点 M f ( x0 x ) 无限趋于点 M 0 时， 割线的极限位置是 M 0T , 切线 f ( x ) y 则称直线 M 0T 为曲线 f ( x ) 过点 M 0 处的切线.
0
M0
x

1
o
ESC
x 0 x0 x
x
一、变化率问题举例
案 例
1
何谓曲线的切线？
ESC
二. 导数定义
函数在区间上的导数定义
定义2.2 若函数 y f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内 任意一点处都可导，则称函数 f ( x )在区间 (a , b) 内可导．
记作 f ( x ) 或 即
y 或
dy 或 dx
df . dx

赵树嫄微积分第四版第四章-中值定理与导数的应用

24
练习 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
证 设 f (t) ln(1 t),
f (t)在[0, x]上满足拉格朗日定理的条件 ,
f ( x) f (0) f ( )(x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x ,
(2) 若 M m. f (a) f (b),
所以最大值和最小值不可能同时在端点取得。
设 M f (a), 则 M f (b),
(a,b)，使 f ( ) M. 由费马引理, 条件有一个不满足，则定理的结 论就可能不成立。
y
y
y
B
A
B
A
B
A
f ( x) 是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间(1, 2) 及 (2, 3) 内。
思考： f ( x) 的零点呢？
11
例4 证明：可导函数 f ( x) 的两个零点之间必有 f ( x) f ( x) 的零点. 证 对 g( x) ex f ( x) 使用罗尔定理,
g( x) ex[ f ( x) f ( x)]，
C2
该点处的切线平
A
行 于 弦 AB.
O a
hbx
证明 作辅助函数 F(x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a)， ba
F(x) 在 [a, b]上连续，在 (a, b)内可导，
F(a) F(b) 0， 由罗尔定理， (a, b) ,使
F ( ) f ( ) f (b) f (a) 0 ，
ba
即
f ( ) f (b) f (a) .
ba
17
例7 f (x) ln x ,在[1,e] 上满足拉格朗日定理的条件,
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t t t0
t t0
当 t t0时, 取极限得
瞬时速度
V lim f (t) f (t0 )
tt0
t t0
t0 t t
2020年8月7日星期五
2
2、切线问题
割线MN绕点M 旋转而趋向极 限位置MT,直线 MT就称为曲线 C在点M处的切 线.
切线：割线的极限
N T
M
播放
2020年8月7日星期五
3
设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y). y
割线MN的斜率为
N
tan y y0 x x0
f (x) f (x0 ) , o x x0
N 沿曲线C M , x x0 ,
T
x0
xx
切线MT 斜率为
k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
x x0
ln(1
h) x
1
h0
h
x
1
lim
ln(1
h
)
x h
x h0
x
1. x
x
一般地
(loga
x)
1 x ln
a
2020年8月7日星期五
15
四、 导数的意义
1、 几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x) y
在点M ( x0 , f ( x0 ))处的
切线的斜率,即
T
f ( x0 ) tan , (为倾角)
7
注意： 点导数是因变量在点x0处的变化率,它反映 了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.
3、单侧导数
左导数 右导数
f( x0 )
lim
x x0 0
f
( x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f
( x0
x) x
f
(x0 );
f( x0 )
lim
x x0 0
f
( x) x
f (x0 ) x0
h0
2!
即 ( x n ) nx n1 .
更一般地
例如,
（

x
1 2
）
(
1 (x1) x
x
)
1
x
1 1
2
2
(1)x 11
1. 2x
1 x2
.
2020年8月7日星期五
12
例3. 求函数
解:
则
的导数.
即
类似可证得
2020年8月7日星期五
13
例4 . 求函数 f ( x) a x (a 0, a 1)的导数.
解 f ( x) lim f ( x h) f ( x) lim C C 0.
h0
h
h0 h
即 (C) 0. 常数的导数是零。
2020年8月7日星期五
11
例2 . 求函数 y x n (n为正整数)的导数.
解 ( x n ) lim ( x h)n x n
h0
h
lim[nx n1 n(n 1) x n2h hn1 ] nx n1
解 (a x ) lim a xh a x
h0
h
a x lim a h 1 h0 h
a x ln a.
(a x ) a x ln a.
特别地， (e x ) e x
2020年8月7日星期五
14
例5 . 求函数 y ln x 的导数.
解
y lim ln(x h) ln x
h0
h
lim
5
二、导数的定义
定义1 .设函数
在点
若
的某邻域内有定义 ,
存在, 则称函数 在点
在点
处可导,
的导数. 记作:
并称此极限为
即
2020年8月7日星期五
6
运动质点的位置函数 在 时刻的瞬时速度
曲线
在 M 点处的切线斜率
若上述极限不存在 , 在点 不可导.
就说函数
若
也称
在
的导数为无穷大 .
2020年8月7日星期五
记作:
即 y lim f ( x x) f ( x)
x 0
x
注意:
如果 f ( x)在开区间a, b内可导，且 f(a)及
f(b)都存在，就说 f ( x) 在闭区间a, b上可导.
2020年8月7日星期五
10
三、 由定义求导数举例
步骤:
例1 . 求函数 f ( x) C(C为常数) 的导数.
18
2、简单的物理意义 1）变速直线运动中路程对时间的导数为物体的瞬时速度.
s ds v(t) lim .
t0 t dt
2）交流电路中电量对时间的导数为电流强度.
k y x2
y (x2 ) 2x k y x2 4
切线方程： y 4 4(x 2), 即 4x y 4 0.
法线方程：
y 4 1 (x 4), 4
即 x 4y 20 0.
问题：点M (x0, y0 )不是曲线 y f (x)上的点，
切线如何求？？
2020年8月7日星期五
2020年8月7日星期五
4
瞬时速度
切线斜率
两个问题的共性:
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
类似问题还有:
加速度 是速度增量与时间增量之比的极限
角速度 是转角增量与时间增量之比的极限
变 化
率
线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
问
题
电流强度
是电量增量与时间增量之比的极限
2020年8月7日星期五
若
切线与 x 轴垂直 .
o
x0
x
切线方程为
法线方程为
2020年8月7日星期五
16
f (x0)=0 y
y=c
O
x0
x
y
y
f (x0)=
O x0
x
y
O
x0 x
2020年8月7日星期五
O
x0
x
17
例6 . 求曲线 y x2在点(2, 4)处的切线的斜率,
并写出在该点处的切线方程和法线方程.
解 由导数几何意义, 切线斜率为
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
判断函数在某一点可导的充分必要条件：
函数f ( x)在x0点可导
f
'
(
x0
)
f
'
(
x0
)
2020年8月7日星期五
8
例 讨论函数 f (x) x 在x 0处的可导性.
解
f (0 h)
f (0)
h ,
h
h
lim f (0 h) f (0) lim h 1,
h0
h
h h 0
lim f (0 h) f (0) lim h 1.
h0
h
h h 0
即 f (0) f (0),
函数y f ( x)在x 0点不可导.
2020年8月7日星期五
9
4、导函数
若函数在开区间 I 内每点都可导,
就称函数在 I 内可导.
对 x I, 都对应着 f ( x) 的一个确定的导数值. 这个函数叫做原来函数f ( x) 的导函数.
第二章
一、问题的提出 二、导数的定义 三、由定义求导数举例 四、导数的意义 五、可导与连续的关系
六、小结与思考判断题
2020年8月7日星期五
1
一、问题的提出
1、直线运动的速度问题
如图, 设动点于时刻的位置函数为s f (t)
求 t0时刻的瞬时速度,
取一邻近于t
的时刻
0
t
,
运动时间
t
,
平均速度 v s s s0 f (t) f (t0 )