《高等数学(一)》期末复习题(含答案)
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23、 设函数 y x x , 则 dy
24、
2 x2 3 x 1 lim x 0 x4
6
，则 f ' (0)
1 4
2
25、若 f ( x ) e 2 x sin 26、
a 2 a
(1 sin 5 x)dx
x
2
(a为任意实数).
27、设 y ln(e 1) ，则微分 dy ______
2 x sin x2 dx
-1
15、设 y x cos x 3, 则 f ( ) 16、不定积分 e x de x
1 2x e C 2 1 y e2 x C 2
17、微分方程 y e
2 x
的通解为
y y 2 e 2 x
dy 1 y 2 e 2 x 2 dy e 2 x dx dx y 1 1 2x e C y 2
25、若 f ( x) g ( x) ，则下列式子一定成立的有（ (A) f ( x) g ( x) (C) ( df ( x)) ( dg ( x)) 26、下列曲线有斜渐近线的是 ( (A) y x sin x (C) y x sin C )
(B) df ( x) dg ( x)
2
(B) ln( x 2 1) C
(C)
1 1 arctan x C (D) ln( x 2 1) C 2 2
）
10、由曲线 y e x (0 x 1) 和直线 y 0 所围的面积是 （ A （A） e 1 (B) 1 (C) 2 (D) e
1
11、微分方程
e2
11、 （本题满分 10 分）讨论函数 f ( x )
x e 1
x
x0 x0
在 x 0 处的连续性。
2 2
lim( x 1)( x 2)
x 0
9、 （本题满分 10 分）设平面曲线方程为 x 2 xy 3 y 3 ，求曲线在点（2，1）处的切 线方程。 解：方程两端对 x 求导，得 2 x 2( y xy ) 6 yy 0 将点（2，1）代入上式，得 y
ex dx __________. ex 1
2
28、
2
(cos x
2
x3 )dx 1 x2
三、解答题 1、 （本题满分 9 分）求函数 y 解：由题意可得，
x 1 6 2 x 的定义域。
x 1 0 2 x 0
解得
x 1 x 2
《高等数学（一）》期末复习题(含答案)
一、选择题 1、极限 lim( x x x) 的结果是 （
2 x
C
）
（A） 0
3
（B）
（C）
1 2
（D）不存在 （ B （C）有两个实根 （D）有三个实根 是 f ( x) 的 （ C ） ）
2、方程 x 3x 1 0 在区间 (0,1) 内 （A）无实根 （B）有唯一实根
x x ( lnx 1)
20、 设函数 y x x , 则 y
21、 lim (
n
1 2 n 2 2 ) 的值是 2 n n n
1 2
4
22、 lim
x( x 1)( x 2) x 2 x3 x 3
1 2
x x ( lnx 1)dx
x 1
）
15、当 x 时，下列函数中有极限的是 （A）
x 1 x2 1
3
(B) cos x
(C)
1 ex
(D) arctan x B ）
16、方程 x px 1 0( p 0) 的实根个数是 （ （A）零个 17、 ( （B）一个 （C）二个 （D）三个
1 B ） )dx （ 1 x2 1 1 （A） （B） C 2 1 x 1 x2
y
1
2
dy e 2 x dx
x 0, y 2代入上式可得到C 0 所求的特解为 1 1 2x e 或者y 2e 2 x y 2
18、微分方程 ln y x 的通解是 19、 lim (1 ) ＝
3x x
y ex C
2 x
e 6
t
e dx
et x C
5、微分方程 y y 0 满足初始条件 y |x 0 2 的特解为
y 2e x
x2 4 0 6、 lim x 2 x 3
7、 极限 lim
x 2
x2 x 2 x2 4
3 4
3
8、设 y x sin x 1, 则 f ( )
n (1) n } 的极限为（ n
(B) 1 A） (C) 0 B ）
（B） （D）
sin x cos x C
sin x cos x C
23、数列 {
（A） 1
(D) 不存在
24、下列命题中正确的是（
（A）有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量（B）有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量 （C）两无穷大量的和仍为无穷大量 （D）两无穷大量的差为零 C ）
5、微分方程 y x 满足初始条件 y | x 0 2 的特解是 （A） x
3
（B）
1 x3 3
（C） x 2
3
1 3 x 2 3
6、下列变量中，是无穷小量的为（ A (A) ln x( x 1) 7、极限 lim( x sin
x 0
）
(B) ln
1 x2 ( x 0 ) (C) cos x ( x 0) (D) 2 ( x 2) x x 4
(D) f ( x) g ( x) 1
(B) y x sin x
2
1 x
(D) y x sin
2
1 x
二、填空题 1、
lim
1 cos x x 0 x2
2x
1 2
2 2
2、 若 f ( x) e 3、 4、
2 ，则 f ' (0)
1
1
( x3 cos x 5 x 1)dx
dy xy 的通解为 dx
（B） y Ce 2
1 x2
（
B
）
2x （A） y Ce
（C）
2
y e Cx
D
（D） )
y Ce x
2
12、下列函数中哪一个是微分方程 y 3x 0 的解( （A） y x
2
（B）
y x 3 （C） y 3x 2
是 （ C ）
3、 （本题满分 10 分）设曲线方程为 y 程。
1 3 1 2 x x 6 x 1 ,求曲线在点 ( 0, 1) 处的切线方 3 2
解：方程两端对 x 求导，得 y x x 6
2
将 x 0 代入上式，得 y
(0,1)
6
即 y 6x 1
Hale Waihona Puke 从而可得：切线方程为 y 1 6( x 0)
（D） y x
3
13、 函数 y sin x cos x 1
(A) 奇函数； (B) 偶函数； (C)非奇非偶函数； (D)既是奇函数又是偶函数. 14、当 x 0 时， 下列是无穷小量的是 （A） （ B ） (D) （ A
e x 1
(B) ln( x 1)
(C) sin( x 1)
x 1
∴ f ( x ) 在 x 1 处是连续的
dy 2x 3 6、 （本题满分 10 分）求微分方程 dx 的特解。 y | x 1 3
解：将原方程化为 两边求不定积分，得
dy (2 x 3)dx
dy (2 x 3)dx ，于是
2
y x 2 3x C
解得
x 4 x 5
6
所以函数的定义域为 [4，5] 8、 （本题满分 10 分）设 f ( x ) x( x 1)( x 2) 解： f (0) lim
x 0
( x n) (n 2) ，求 f (0) 。
f ( x ) f ( 0) x0
( x n) n !
）
1 1 sin x) 的结果是（ C x x
（C） 1 （D）不存在
（A） 0
（B） 1
x
8、函数 y e arctan x 在区间 1,1 上 （ A （A）单调增加 9、不定积分 （B）单调减小 （ D
）
（C）无最大值 （D）无最小值 ）
x
2
x dx = 1
(A) arctan x C
( 2 ,1)
1
即 x y3 0
从而可得：切线方程为 y 1 ( x 2)
x
10、 （本题满分 10 分）求由曲线 y e 及直线 y 1 和 x 1所围成的平面图形的面积（如 下图） ．
解：所求阴影部分的面积为 S
1 0
(e x 1)dx
1
(e x x ) 0
所以函数的定义域为 [1，2] 2、 （本题满分 10 分）设 f ( x ) x( x 1)( x 2) 解： f (0) lim
x 0
( x 2014) ，求 f (0) 。
f ( x ) f ( 0) x0
lim( x 1)( x 2)
x 0
( x 2014) 2014!
2 1 e x
