湖南省2024年普通高中学业水平合格性考试考前押题卷（三）数学时量：90分钟，满分：100分本试题卷包括选择题､填空题和解答题三部分，共4页.注意事项：1.答题前，请考生先将自己的姓名､准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名､准考证号､考室和座位号；2.必须在答题卡上答题，在草稿纸､试题卷上答题无效；3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4.请勿折叠答题卡，保证字体工整､笔迹清晰､卡面清洁.一､单选题：本大题共18小题，每小题3分，共54分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1,3A =，{}2,3,4B =，则A B ⋂等于（）A ．{}1B ．{}3C ．{}1,3D ．{}1,2,3,42．命题“0x ∃∈R ，2001x x +≥”的否定是（）A ．0x ∃∈R ，2001x x +<B ．0x ∃∈R ，2001x x +≤C ．x ∀∈R ，21x x +<D ．x ∀∈R ，21x x +≤3．设p ：四棱柱是正方体，q ：四棱柱是长方体，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数()ln(1)f x x =+的定义域是（）A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．(1,)-+∞5．已知23m =，25n =，则2m n +的值为（）A ．53B ．2C ．8D ．156．图象中，最有可能是2log y x =的图象是（）A ．B ．C ．D ．7．复数1i z =+（i 为虚数单位）的模是（）A ．1B ．iC D ．28．已知扇形的半径为1，圆心角为60 ，则这个扇形的弧长为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．609．如图，在平行四边形ABCD 中，AB a=，AD b = ，则BD 可以表示为（）A ．a b +B ．b a- C ．()12a b+ D ．()12b a- 10．已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()4,3，则tan θ值为（）A ．35B ．45C ．43D ．3411．为了调查某地三所高中未成年人思想道德建设情况，省文明办采用分层抽样的方法从该地的A ，B ，C 三所中学抽取80名学生进行调查，已知A ，B ，C 三所学校中分别有400，560，320名学生，则从C 学校中应抽取的人数为（）A ．10B ．20C ．30D ．4012．已知a为非零向量，则()43a -⨯= （）A ．12a -B ．4a- C ．3a D ．10a13．下列命题为真命题的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若a b >，则ac bc >C ．若a b >，c d >，则a c b d +>+D ．若a b >，c d >，则ac bd >14．已知2nm =，则22m n +的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．415．从5张分别写有数字1，2，3，4，5的卡片中随机抽取1张，则所取卡片上的数字是奇数的概率是（）A ．15B ．25C ．35D ．4516．已知sin y x =，则sin y x =上的所有点全部向右移动π6个单位的函数解析式是（）A ．πsin(6y x =+B ．πsin()6y x =-C ．πsin()3y x =+D ．πsin()3y x =-17．已知圆锥的底面半径是1，高是2，则这个圆锥的体积为（）A ．2π3B ．πC ．4π3D ．2π18．已知四棱锥S ABCD -底面为正方形，SD ⊥平面ABCD ，则（）A ．SB SC ⊥B ．SD AB ⊥C ．SA ⊥平面ABCDD ．//SA 平面SBC二､填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.19．函数,0(),0x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩，则()3f =.20．函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期T=．21．函数()2f x x x =+的零点个数为．22．在ABC 中，3BC =，30A =︒，60B =︒，则AC =．三､解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.23．已知向量()1,2a =r ，()2,b x = ，()3,c y = ，且a b ⊥ ，a c ∥.(1)求向量b 与c的坐标；(2)若m a b =+ ，n a c =- ，求向量m 与n的夹角的大小.24．从某高校随机抽样1000名学生，获得了它们一周课外阅读时间（单位：小时）的样本数据，整理得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10，(]10,12，(]12,14.（1）求这1000名学生中该周课外阅读时间在(]8,10范围内的学生人数；（2）估计该校学生每周课外阅读时间超过6小时的概率.25．如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是BC ，PC 的中点.(1)求证：//MN 平面PDB ；(2)求证：AC ⊥平面PDB .1．B【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】集合{}1,3A =，{}2,3,4B =，则A B ⋂等于{}3.故选：B 2．C【分析】根据特称命题的否定形式的相关知识直接判断.【详解】命题“0x ∃∈R ，2001x x +≥”的否定为“x ∀∈R ，21x x +<”，故选：C.3．A【分析】结合正方体和长方体的定义，根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】正方体是特殊的长方体，而长方体不一定是正方体，所以p 是q 的充分不必要条件.故选：A.4．D【分析】根据真数大于0，即可求解.【详解】由题意可得10x +>，解得1x >-，所以函数()ln(1)f x x =+的定义域是(1,)-+∞.故选：D 5．D【分析】根据指数的运算求解即可.【详解】2223515m n m n +=⨯=⨯=.故选：D 6．C【分析】利用对数函数的定义域，确定图象位置即可判断作答.【详解】函数2log y x =的定义域为(0,)+∞，因此函数2log y x =的图象总在y 轴右侧，选项ABD 不满足，C 满足.故选：C 7．C【分析】由复数模计算公式可得答案.【详解】由题可得z =.故选：C 8．B【分析】根据扇形的弧长公式计算即可.【详解】易知π603=，由扇形弧长公式可得ππ133l =⨯=.故选：B 9．B【分析】根据向量减法运算法则直接计算.【详解】由题意得，BD AD AB =-，因为AB a=，AD b = ，所以BD AD AB b a =-=- .故选：B 10．D【分析】由三角函数的定义可得出tan θ的值.【详解】已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()4,3，由三角函数的定义可得3tan 4θ=.故选：D.11．B【分析】根据分层抽样原理求出从C 学校抽取的人数作答.【详解】依题意，从三所中学抽取80名学生，应从C 学校抽取的人数为3208020400560320⨯=++.故选：B 12．A【分析】根据数乘运算的运算性质计算即可.【详解】()4312a a -⨯=-.故选：A.13．C【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.【详解】对于A ，取特殊值，1a =-，2b =-，满足条件，但不满足结论，故A 错误；对于B ，由a b >，若0c =，则ac bc =，故B 错误；对于C ，由同向不等式的性质知，a b >，c d >可推出a c b d +>+，故C 正确；对于D ，取3,0,1,2a b c d ===-=-，满足条件，但ac bd <，故D 错误.故选：C.14．D【分析】由基本不等式求解即可.【详解】2224m n mn +≥=，当且仅当“m n =”时取等.故22m n +的最小值为4.故选：D.15．C【分析】由古典概型计算公式可得答案.【详解】设随机抽取一张卡片为事件A ，抽取卡片数字为奇数为事件B ，则()()53,n A n B ==，则相应概率为()()35n B P n A ==.故选：C 16．B【分析】根据给定条件，利用函数图象变换求出函数解析式作答.【详解】把sin y x =上的所有点全部向右移动π6个单位的函数解析式是πsin()6y x =-.故选：B 17．A【分析】根据圆锥体积公式直接计算.【详解】由题意知，圆锥底面积为2π1πS =⨯=，圆锥的高2h =，则圆锥的体积为311π2332πV Sh ==⨯⨯=.故选：A 18．B【分析】推导出BC SC ⊥，可判断A 选项；利用线面垂直的性质可判断B 选项；利用反证法可判断CD 选项.【详解】对于A 选项，因为SD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，则BC SD ⊥，因为四边形ABCD 为正方形，则BC CD ⊥，因为SD CD D = ，SD 、CD ⊂平面SCD ，所以，BC ⊥平面SCD ，因为SC ⊂平面SCD ，则BC SC ⊥，故SBC ∠为锐角，A 错；对于B 选项，因为SD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，则SD AB ⊥，B 对；对于C 选项，若SA ⊥平面ABCD ，且SD ⊥平面ABCD ，则SA 、SD 平行或重合，矛盾，假设不成立，C 错；对于D 选项，若//SA 平面SBC ，则SA 与平面SBC 无公共点，这与SA 平面SBC S =矛盾，假设不成立，D 错.故选：B.19．3【分析】根据给定的分段函数，代入计算作答.【详解】函数,0(),0x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩，所以()33f =.故答案为：320．π【分析】根据正余弦函数的周期公式2T πω=即可求解.【详解】根据正余弦函数的周期公式2T πω=可知：函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期22T ππ==，故答案为：π.21．2【分析】函数的零点个数就是对应方程的实数根的个数，直接解方程求解.【详解】令20x x +=，解得：0x =或=1x -，函数的零点个数就是方程20x x +=的实数根的个数，所以函数的零点有2个.故答案为：2【点睛】本题考查函数零点个数，属于基础题型.22．【分析】根据给定条件，利用正弦定理计算作答.【详解】在ABC 中，3BC =，30A =︒，60B =︒，由正弦定理sin sin AC BCB A =，得sin 3sin 60sin sin 30BC B AC A ︒===︒故答案为：23．(1)()2,1b =-r，()3,6c = (2)3π4【分析】（1）根据向量垂直和平行列方程，化简求得,x y ，进而求得b 与c.（2）先求得m 与n，然后根据夹角公式求得正确答案.【详解】（1）由于a b ⊥ ，a c ∥，所以22=01=23x y +⎧⎨⨯⨯⎩，解得1,6x y =-=，所以()2,1b =-r，()3,6c = .（2）()==3,1m a b + ，()==2,4n a c ---，=64=10m n m n ⋅---，所以cos ,=2m n m n m n⋅-⋅，由于0,πm n ≤≤ ，所以3π,=4m n .24．（1）200人；（2）0.700.【分析】（1）根据频数和为1，求出(]8,10的频率，即可求解；（2）根据频率分布直方图，求出(]6,8，(]8,10，(]10,12，(]12,14频率和，即可得出结论.【详解】（1）该周课外阅读时间在(]8,10的频率为：12(0.0250.0500.0750.1500.0750.025)0.200-⨯+++++=，该周课外阅读时间在(]8,10范围内的学生人数10000.200200⨯=人；（2）阅读时间超过6小时的概率为：2(0.1500.1000.0750.025)0.700⨯+++=，所以估计该校学生每周课外阅读时间超过6小时的概率为0.700.【点睛】本题考查补全频率分布直方图以及应用，属于基础题.25．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据中位线的性质证明MN PB ∥即可；（2）根据线面垂直的判定与性质，证明AC BD ⊥，AC PD ⊥即可【详解】（1）因为M ，N 分别是BC ，PC 的中点，故MN PB ∥.又PB ⊂平面PDB ，MN ⊄平面PDB ，故//MN 平面PDB.（2）因为PD ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，故AC PD ⊥.又因为四棱锥P ABCD -的底面是正方形，则AC BD ⊥.又BD PD D = ，,BD PD ⊂平面PDB ，故AC ⊥平面PDB.。
