投资组合VaR分解的应用研究

投资组合VaR分解的应用研究作者：胡荣才,龙飞凤来源：《经济研究导刊》2010年第05期摘要:针对VaR的不足,Garman M.于1997年提出了成分VaR和边际VaR。

采用德尔塔——正态法度量投资组合的VaR、边际VaR和成分VaR,使用假设检验法对模型进行回测的研究结果表明,该计算方法下的VaR模型有效,边际VaR和成分VaR能为资产管理者提供更多有关投资组合风险的信息。

关键词:德尔塔——正态法;边际VaR;成分VaR;假设检验法中图分类号:F830.59 文献标志码:A 文章编号:1673-291X(2010)05-0098-04现代投资组合风险管理高度依赖于定量技术来描述金融市场的行为。

风险管理者一方面通过20世纪70年代发展起来的金融衍生品进行了许多风险管理的创新,另一方面创立了许多用于识别和量化风险的高级风险管理模型。

在欧美等发达国家证券市场,对投资组合的风险管理是投资基金等机构投资者风险控制的核心,其主要思想是:利用风险量化技术来识别风险因子,计算未来的风险值,然后通过各种方法对风险值进行管理。

经过几十年的发展,投资组合风险管理的理论与方法已相当成熟,主要包括三种思路:一是Markowitz资产组合理论框架下的投资组合风险管理,二是建立在Black-Scholes模型上的衍生工具风险管理理论,三是VaR风险管理理论。

国内外许多学者关于VaR的研究,风险管理投资组合主要聚焦于投资组合风险价值(VaR)的估计,较少关注投资组合VaR的变量;国内学者的研究,也仅有极少数涉及到VaR的分解问题。

然而,对于机构投资者来说,在日常交易和资产管理过程中,除把握资产组合整体市场风险外,了解投资组合中各资产的VaR的大小、变动某一资产权重对投资组合的VaR将产生怎样的影响,具有重要的价值。

因此,本文重点研究投资组合的成分VaR和边际VaR。

一、VaR的分解VaR(Value at Risk)即风险价值,是一种度量和管理风险的工具,最早由J·P·Morgan银行针对市场风险计量技术的不足而提出,该模型提出后迅速在投资机构中得到了广泛应用。

VaR作为一个统计概念,本身不过是个数字,在《风险价值VaR》一书中,菲利普·乔瑞定义VaR为:在一定的置信水平下和一定的目标期间内,预期的最大损失。

公式表示为(1.1),其中ΔP为某一金融资产在一定持有期的价值损失额,VaR为置信水平α下可能的损失上限。

Prob(ΔP可以使管理层以非常清楚的方式,向股东传达公司面临的风险,使投资者有效地配置资源,因此,金融机构使用VaR方法可以有效地进行风险管理。

但是,当需要了解某一投资组合中各资产的VaR大小,以及变动某一资产权重对投资组合整体的VaR将产生怎样的影响时,单纯的VaR 无法提供充分的信息。

当投资组合的VaR值异常高时,如何通过调整投资组合的头寸来减轻投资组合的风险?什么头寸组成了最大的风险因子?什么头寸能对冲风险?这些仅仅利用VaR是无法了解和掌握的。

为了满足资产管理者的这类需求,Garman M(1997)提出了成分VaR和边际VaR。

1.边际VaR——ΔVaRi边际VaR用于衡量投资组合中某项资产的变化对投资组合VaR的影响,是组合中某项资产增加一单位时引起的投资组合VaR的变化值。

记第i项资产在投资组合中的权重为xi,边际VaR为ΔVaR,则有(1.2)。

边际VaR(ΔVaRi)刻画了各项资产对投资组合VaR的边际贡献,反映组合资产头寸变化的灵敏度,为交易管理者决策下一笔资金投资于何种资产以获得更好的收益提供了有效的信息。

ΔVaRi= (1.2)2.成分VaR——CVaR成分VaR是投资组合中某项资产被剔除而导致的投资组合VaR变化量(式1.3),刻画组合中单项资产对投资组合的总贡献,反映组合中具有较大风险的资产头寸和较大对冲作用的资产头寸。

对投资组合中的某项资产而言:其CVaR0时增加组合的风险,如果把它从组合中剔除,组合的VaR值将减少;CVaR=0时对组合的风险没有贡献,剔除它组合的CVaR将不会改变。

VaR≡∑CVaRi (1.3)二、边际VaR与成分VaR的德尔塔——正态法度量传统的VaR计算方法主要有三种,即德尔塔——正态法、历史模拟法和蒙特卡罗模拟法。

德尔塔——正态法假定组合回报服从正态分布,利用正态分布的良好特性——置信度与分位数的对应性计算的组合的VaR等于组合收益率的标准差与相应置信度下分位数的乘积。

历史模拟法的核心在于根据市场因子的历史样本变化,模拟证券组合的未来损益分布,利用分位数给出一定置信度下的VaR估计。

蒙特卡罗模拟法则假设资产价格的变动依附于服从某种随机过程的形态,利用电脑模拟,在目标时间范围内产生随机价格的途径,依次构建资产报酬分布,进而计算VaR。

三种方法中,历史模拟法和蒙特卡罗模拟法适用于投资组合中含期权类工具的风险度量,而德尔塔——正态法计算简单,适用于投资组合中不含期权类工具的风险度量。

针对中国证券市场没有期权的现状,本文选择德尔塔——正态法进行投资组合的风险度量。

边际VaR和成分VaR的估计,可以分投资组合收益率服从多元正态分布和不服从正态分布两种情况进行分析,而德尔塔——正态法假定投资组合收益率服从多元正态分布,因此,可以直接从正态分布的情况进行分析。

1.VaR本文主要研究不含期权类资产的投资组合,而德尔塔——正态法对于期权不占主导地位的投资组合是一个快捷而有效的VaR衡量方法。

该方法假设收益率服从为正态分布,且与基本风险因素呈线性关系,利用基本公式可得到VaR(式2.1)。

其中,ω为资产组合的初始价值;μ为期望收益的数学期望;σ为期望收益的标准差;c为标准正态分布的分位数。

VaR=-ω(μ+cσ-μ)=-cσω (2.1)2.边际VaR当资产组合收益率服从正态分布时,边际VaR的计算公式为(2.2)。

其中,式中,ΔVaRi为第i 种资产的边际VaR,σp为投资组合的标准差,Coν(Ri,Rp)为投资组合收益率与第i种资产收益率的协方差,α为给定置信水平,c1-α表示1-α对应的标准正态分布分位数。

ΔVaRi=c1-α× (2.2)3.成分VaR德尔塔——正态法情况下,当组合收益率服从正态分布时,成分VaR的计算公式为(2.3)。

其中,CVaRi为第i项资产的成分VaR,rω表示第i项资产在投资组合资产中所占比例,ωi表示投资组合中第i项资产的价值。

CVaRi =ΔVaRi×rω×ωi (2.3)式(2.3)表明,组合中各资产的成分VaR相加等于投资组合的VaR。

因此,第i项资产对投资组合的风险贡献率为CVaRi /VaR。

4.VaR的调整采用德尔塔——正态法度量VaR的假设,是组合收益率服从标准正态分布。

然而,多数金融数据存在较明显的“尖峰厚尾”现象,当组合收益率分布的峰度系数较高时,德尔塔——正态法计算的VaR会产生较大误差。

因此计算VaR之前,要对组合收益率的分布进行检验:若为正态分布,则直接使用(2.1)、(2.2)和(2.3)计算该组合的VaR;若非正态分布,则计算VaR 时应进行相应调整。

调整后的组合VaR、ΔVaRi和CVaRi计算公式为:VaR=-αθσω (2.4)ΔVaRi=c1-α×θ× (2.5)CVaRi=ΔVaRi×rω×ω (2.6)其中,θ=1+ψ1n(k/3),k是资产组合收益分布的峰度,ψ是与概率值相关的常数(对99%置信度,ψ=0.4)。

θ反映投资组合收益率分布峰度,由Bangia、Diebold、Schuermann、Stroughair等人在1999年提出,主要用于处理金融数据的“尖峰厚尾”问题。

若分布是正态分布,则k=3,θ=1模型不需要调整;否则需重新计算θ,相应地调整模型。

三、VaR精确性的检验方法只有能准确预测风险的VaR模型才是有效的,因此,建立模型之后需要对其精确度进行检验,回测技术正是验证VaR模型精确度的一类方法的统称。

Jorion(2005)将回测定义为:回测是用来检测实际损失与预期损失是否一致的有效统计方法,包括把VaR的历史预测与相关的组合收益率进行系统的比较。

回测技术可以检验VaR模型的精确度,能发现建模中存在的问题和导致检验失败的原因,为VaR模型的改进提供一些方法。

迄今为止有三类回测方法。

1.指标评价法Hendricks(1996)选取12种VaR计算方法,对每种方法计算电脑随机组合的1000个资产组合的VaR值;然后构建10个指标来比较各种VaR方法的差异。

之后,Engel(1999)、Sinha etal(2000)、Bredin et al(2002)等根据不同需要建立评价指标,对各类VaR进行评价。

但是,指标评价法是在模型准确的条件下,根据设计指标工具更全面的观察和比较各个VaR模型的特点和效率,不适合单个模型精确性的评价。

2.比较评价法比较评价法以Lopez(1998,1999)为代表。

他提出根据管理者的偏好来构建损失函数,根据损失函数的大小排序,借此评价VaR模型:将管理者的某些具体要求定义成某些数值或函数,然后将VaR估计值依据这些要求进行分配或处理。

这种方法提供了一种相对的评估方法来对VaR估计值进行比较,但放弃了统计检验的诸多优势,不适合于单个VaR模型的检验与评价。

3.假设检验法该方法主要通过假设检验的方式,来接受或拒绝一个VaR模型。

自从Kupiec(1995)提出经典的Kupiec检验之后,以这种方式来评价VaR模型的研究文献最多。

既然VaR建立在特定置信水平之上,那么一种最直观的联想就是,在某些情形下数值会落到图形之外。

因此,检验VaR模型的一种最简单方法是考察失效率,即在给定样本中被超越的次数。

给定一个T天的VaR图形,定义N为例外情况的数目,则N/T为失效率。

对于给定的置信水平α,失效率应为1-α的无偏测量(即当样本量增大时失效率逐渐趋向于 (1-α),且例外的个数应服从经典的贝努里试验,即例外个数服从B(T,p)二项分布。

但是,关键问题在于,在有限样本下,N/T 相对于p的偏离大小达到什么程度时,才可以认为是由模型失效而不是偶然因素所导致。

基于这种思路,最经典的检验方法是Kupiec提出的似然比检验。

对于B(T,p)而言,为检验原假设p=N/T(成立即表示模型失效不是由偶然因素导致)是否成立,Kupiec(1995)构造了似然统计量(3.1)。

当原假设成立时,LRuc近似服从自由度为1的卡方分布。

因此,给定显著性水平,即能根据LRuc的值判断是否拒绝原假设。

(3.1)四、实例为了通过投资组合的ΔVaRi和CVaRi分析组合总体市场风险的内在结构,探究组合的每一项资产及其相应调整、变化对组合整体风险的影响程度,选择中国联通、万科A、民生银行和中国石化构成一个投资组合,投入1 000万元人民币,且假设四只股票在投资组合中占比相同,即向每只股票投入250万。