相邻的拐角投资组合
相邻的拐角投资组合是指这样的最小方差边界：（1）在该边界中，投资组合持有相同的资产；（2）一个投资组合到另一个投资组合的资产权重的变化率是恒定的。当最小方差的边界经过一个拐角投资组合时，资产的权重要么是从零变为正的，要么就是从正的变为零。
表英国机构投资者的拐角投资组合
假定无风险利率为2%。
运用上表所给的信息，回答下列问题：
1请问有效边界上的任意投资组合的长期债券的的最大权重是什么？
2请问期望收益率为7%的有效投资组合的资产类别的权重是什么？
3在期望收益率为7%的有效投资组合中，哪种资产特别重要？
4请解释第三问。
解：1长期债券的最大权重为0%，因为在任意一个挂角投资组合中，长期债券都不是正的权重，并且任意有效投资组合都可以由拐角投资组合的加权平均来表示。
2将拐角5号投资组合（期望收益率为7.30%）和拐角6号投资组合（期望收益率为6.13%）确定为相邻的投资组合。根据拐角投资组合的原理，可以得到：
7.0=7.30w+6.13(1-w)
解得w=0.744,1-w=0.256。这样：
3在期望收益率为7%的有效投资组合中，不动产的权重超过了40%，成为持有的主要资产。4不动产在除了第一个拐角投资组合的所有拐角投资组合中都是前两位的持有资产。由于与其他资产类别的低相关度，房地产大大降低了风险。
伊恩.托马斯的战略性资产配置
伊恩.托马斯现年53岁，是伦敦金融城的一家证券公司的审计官。他的身体健康，并且计划在12年后退休，伊恩.托马斯期望养老金收入来源于两个途径，能够提供他每年的退休金收入需求的60%。
伊恩.托马斯最喜欢的一个慈善机构的受托人找他，希望他能够捐赠15万英镑给一个新建大楼的项目。因为他的两个孩子现在都已独立，房子贷款也已还清，伊恩.托马斯每年还有17万英镑的薪金收入，以及储蓄、投资和继承遗产的275万英镑的净财产，他考虑到了财务的安全性。因为他预期能够得到一笔巨大的养老金，他觉得可以为该慈善机构15万英镑。他跟受托人保证他将在6各月内（在一个纳税年度）捐赠这笔资金。伊恩.托马斯想要完全从他的储蓄中拿出这笔捐赠的钱；该慈善机构要求这笔资金必须是现金或者现金等价物的形式而不是其他有价证券的形式。他的275万英镑的净资产包括了价值24万英镑的房子。在他想着手另外的不动产投资时，他会将这24万英镑包括到总的不动产配置中去；他剩余的净资产是以证券的形式持有的。由理财规划师建议，伊恩.托马斯建立一个投资规划方案。对于经过慎重考虑后的风险，伊恩.托马斯决定自己能够承担，并且对自己以及公司的未来很乐观。对于他之前投资的股票，伊恩.托马斯表现出非常明显的偏见。他和他的规划师在一系列资本市场预期上取得了一致的看法。目前无风险利率为2%。伊恩.托马斯能够使用收益为2%的六个月银行存款。
以下是关于伊恩.托马斯的几点关键信息的总结：
目标
收益目标。收益目标是为了能够赚取平均每年8.5%的收益。
风险目标。根据他的庞大的资产以及他的投资收益期的第一阶段长度来看，伊恩.托马斯有着平均水平以上的意愿和能力去承担风险，也就是能够接受标准差18%以下的能力。
约束
流动性要求。伊恩.托马斯除了计划中的15万英镑的捐赠之间以外，还拥有最低限度的流动性需求。
时间期限。他的投资期限是多期的，第一阶段是到退休之前的12年，第二阶段是退休之后。
税收考虑。伊恩.托马斯持有应税价值251万英镑的证券。
伊恩.托马斯表示他不愿借钱（使用保证金交易）来购买风险资产。没有大的相关法律以及规章方面的因素或独特的环境来影响他的决策。
投资规划方案说明伊恩.托马斯先生的资产“……应该追求多样化，以使在任意一个资产类别、投资类型、地理位置或者期限内的发生大损失的风险最小化，否则有可能阻碍伊恩.托马斯实现他的长期投资目标。”它进一步指出投资结果将会根据绝对风险调整后的表现以及根据投资规划方案只能给定的基准相关的表现来进行评价。下表2列出了根据表1得出的表2的结果。
表1 伊恩.托马斯的资本市场预期
表2 以托马斯的资本市场预期为依据的拐角投资组合
1根据均值方差分析，回答以下问题：
A确定最适合托马斯的战略性资产配置。
B解释A问中你所给的答案。
C说明对不动产净的新投资或者撤销的投资数量。
2在给定托马斯的期望水平的情况下，请评估除英国之外的股票在分散风险方面的有效性。3请指出最有可能是切点投资组合的拐角投资组合，并解释它对于托马斯选择最优战略性资产配置的合适性。
为了使得他的风险承受度更加准确，托马斯进行了一场访谈。在这个访谈中，他被要求在一系列涉及风险以及一定收益的选择中表达自己的偏好。结果，托马斯的评估的风险厌恶水平被确定为3.
4假如托马斯从表2中给定的8个拐角投资组合中只能选取一个投资组合，那么在给定托马斯的风险厌恶水平以及他的收益目标之后，确定他最合适的资产配置。并将该投资组合与第1题A问中所确定的最优战略性资产配置进行对比。
解：1A
根据拐角投资组合和8.5%的收益率的要求，可得
8.50=9.67w+7.92(1-w)
1B 解答：最优投资组合： 是有效的（即在有效前沿上）； 是预期能够满足他的收益需求的； 预期能耗满足他的风险目标；
在所有满足他收益目标的有效投资组合中具有最高的期望夏普比。
在最小化损失方面，是任意一种投资形式中，与投资规划方案最一致的一种。
所得出的战略资产配置的标准差一定是比3号拐角投资组合15.57%的要小，表明该投资组合满足了他的风险目标。托马斯也关心绝对风险调整后的收益。从表2可以看出，从1号到5号投资组合，夏普比是依次增加的。 1C 的解答：
托马斯需要在当前储存15万英镑现值对应的数额更逼近，贴现率每半年2%:150000/(1.02)^0.5=148522（英镑）。在所确定的投资组合中对房地产的配置为29.28%*2750000-148522=769517（英镑）。他的房子的净值为240000英镑，在所确定的投资组合中对不动产为新的净投资为769517-240000=529517（英镑）。 问题2解答：
尽管事实是除英国之外的股票拥有在收益率为18%的情况下的第二高的标准差，但是除英国之外的股票在给定收益下具有最小标准差的有效投资组合，全局方差最小投资组合以及其他具有最低风险的有效投资组合中占有很大的权重。因此，除英国之外的股票能够有效地分散风险。 问题3解答：
切点投资组合是具有最高夏普比的有效投资组合。在拐点投资组合中具有最高夏普比0.54的5号拐角投资组合更有可能成为切点拐点投资组合。然而，因为它具有低于托马斯收益目标的期望收益率，托马斯不想采用保证金交易。因此，他在决定战略洗过资产配置的过程中会忽略掉那个投资组合。 问题4解答：
我们通过运用资产组合m 的风险调整的期望收益率的表达式来确定拐角投资组合的风险调整的期望收益率，其中是资产组合的期望收益率，是托马斯的风险厌恶水平，是资产组合收益的方差：
2
225.1)(35.0)(5.0)(m m m m m m m R E R E A R E U σσσ-=⨯⨯-=-=
1号拐角投资组合05.020.05.111.02
1=⨯-=U 2号拐角投资组合058.01684
.05.11009.02
2=⨯-=U
3号拐角投资组合06.01557.05.10967.02
3=⨯-=U
4号拐角投资组合061.01108
.05.10792.02
4=⨯-=U
5号拐角投资组合055.00821.05.10647.02
5=⨯-=U
6号拐角投资组合05.00704.05.10573.02
=⨯-=U
