第5章 计算方法解线性方程组的迭代法

a13 L a23 L 0L
O
a1n a2n
a3n M
0
0
a12 a11
a13 L a11
a1n a11
a21 a22
0
a23 L a22
a2 n a22
BJ
a31 a33
a32 a33
0
L
a3n a33
M
M
M
OM
an1 ann
an2 ann
an3 ann
j 1
n
aij x(jk )
j i1
bi )
x ( k 1) 1
1 a11
(a12 x2(k)
a13 x3(k )
a14 x4(k )
a1n xn(k )
b1 )
x ( k 1) 2
1 a22
(a21 x1(k1)
a23 x3(k )
a24 x4(k )
a2n xn(k )
b2 )
x ( k 1) 2
2
得 x(1) = ( 0.5000, 2.8333, -1.0833 )T
M
x(9) = ( 2.0000, 3.0000, -1.0000 )T
举例（续）
SOR 迭代格式
x1( k x2( k
1) 1)
x(k) 1
x(k) 2
1
2 x1(k)
x(k) 2
2
8
x ( k 1) 1
Jacobi 迭代
令 A = D - L- U， 其中 D diag(a11, a22,K , ann),
0
L
a21
M
an1
0 a12 L
0 OO
,

实验五 线性方程组的迭代法实验一. 实验目的（1）深入理解线性方程组的迭代法的设计思想，学会利用系数矩阵的性质以保证迭代过程的收敛性，以及解决某些实际的线性方程组求解问题。

（2）熟悉Matlab 编程环境，利用Matlab 解决具体的方程求根问题。

二. 实验要求建立Jacobi 迭代公式、Gauss-Seidel 迭代公式和超松弛迭代公式，用Matlab 软件实现线性方程组求解的Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法和超松弛迭代法，并用实例在计算机上计算。

三. 实验内容1. 实验题目（1）分别利用Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代求解下列线性方程组，取()T 0,0,0,0,0,0=x ，要求精度510-=ε：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------------626050410100141010014001100410010141001014654321x x x x x x ①Jacobi 迭代：②Gauss-Seidel迭代：（2）分别取1ω、1.05、1.1、1.25和1.8，用超松弛法求解上面的方程组，要求精度=为5ε。

=10-超松弛迭代代码如下所示：运行时初始化如下：分别以不同的松弛因子代入，W=1：W=1.05W=1.1：W=1.25W=1.8：当最大迭代次数增加时，我们可以看到，x向量的各个元素都变无穷大了，迭代发散2. 设计思想要求针对上述题目，详细分析每种算法的设计思想。

求解线性方程组的迭代法，其实质是将所给的方程组逐步地对角化或三角化，即将线性方程组的求解过程加工成对角方程组或三角方程组求解过程的重复。

⑴Jacobi迭代:将一般形式的线性方程组归结为对角方程组求解过程的重复；⑵Gauss-Seidel迭代：将一般形式的线性方程组的求解归结为下三角方程组求解过程的重复；⑶超松弛法：选择合适的松弛因子，利用旧值生成新值，使迭代加速；四.实验体会对实验过程进行分析总结，对比求解线性方程组的不同方法的优缺点，指出每种方法的设计要点及应注意的事项，以及自己通过实验所获得的对线性方程组求解问题的各种解法的理解。

i 1 n 1 xi = [bi ∑ aij x j ∑ aij x j ] , i = 1, 2,, n. （*） ） aii j =1 j = i +1
定义迭代法为： 定义迭代法为：
x ( k + 1) = G J x ( k ) + g
其中Jacobi迭代矩阵：GJ = D1 ( L + U ) 迭代矩阵： 其中 迭代矩阵
g = D 1b = (7.2, 8.3, 8.4)T 取 x ( 0 ) = (0, 0, 0)T , 代入迭代式，得x(1) = Bx ( 0 ) + g = (7.2, 8.3, 8.4)T x ( 2 ) = Bx (1) + g = (9.71,10.70,11.5)T x (9 ) = (10.9994,11.9994,12.9992) 精确解为 x = (11,12,13)T .
记
A = D L U
其中 D = diag (a11 ,, ann ) , L, U 分别为 A 的 严格下、上三角形部分元素构成的三角阵 严格下、上三角形部分元素构成的三角阵. Gauss-Seidel方法的矩阵形式为 方法的矩阵形式为
x ( k +1) = D1 ( Lx ( k +1) + Ux ( k ) + b)
或者
x ( k +1) = ( D L)1Ux ( k ) + ( D L)1 b
( 这说明Gauss-Seidel方法的迭代矩阵为 D L)1U 方法的迭代矩阵为 这说明
从而有
定理5.2 定理5.2 Gauss-Seidel方法收敛的充分必要条件为 方法收敛的充分必要条件为
ρ (GG ) < 1 或

计算方法3_线性方程组迭代解法线性方程组的迭代解法是解决线性方程组的一种常见方法，常用于大规模的线性方程组求解。

该方法通过不断迭代更新解的近似值，直到满足一定的收敛准则为止。

线性方程组的迭代解法有很多种，其中最经典的是雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和超松弛迭代法。

本文将分别介绍这三种迭代解法及其计算方法。

雅可比迭代法是一种比较简单的线性方程组迭代解法，它的基本思想是先将线性方程组转化为对角占优的形式，然后通过迭代求解逐渐接近精确解。

雅可比迭代法的迭代公式为：其中，x^(k+1)是第k+1次迭代的近似解，n是未知数的个数，a_ij 是系数矩阵A的元素，f_i是方程组的右端向量的元素。

雅可比迭代法的计算步骤如下：1.将线性方程组转化为对角占优的形式，即保证矩阵A的对角元素绝对值大于其它元素的绝对值。

2.初始化向量x^(0)，设定迭代终止准则。

3.根据雅可比迭代公式，计算x^(k+1)。

4.判断迭代终止准则是否满足，如果满足，则停止迭代，返回近似解x^(k+1)；否则，继续进行下一次迭代。

高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进方法，它的基本思想是在每次迭代计算x^(k+1)时，利用已经计算出的近似解作为x的一部分。

高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为：其中，x^(k+1)_i是第k+1次迭代的近似解中第i个未知数的值，x^(k)_i是第k次迭代的近似解中第i个未知数的值。

高斯-赛德尔迭代法的计算步骤如下：1.将线性方程组转化为对角占优的形式。

2.初始化向量x^(0)，设定迭代终止准则。

3.根据高斯-赛德尔迭代公式，计算x^(k+1)。

4.判断迭代终止准则是否满足，如果满足，则停止迭代，返回近似解x^(k+1)；否则，继续进行下一次迭代。

超松弛迭代法是对高斯-赛德尔迭代法的一种改进方法，它引入了松弛因子ω，通过调整参数ω的值，可以加快迭代的收敛速度。

超松弛迭代法的迭代公式为：其中，0<ω<2，x^(k+1)_i是第k+1次迭代的近似解中第i个未知数的值，x^(k)_i是第k次迭代的近似解中第i个未知数的值。