因式分解技巧
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因式分解技巧
一、提公因式法. 二、运用公式法. 三、分组分解法. 四、十字相乘法. 五、换元法。
六、添项、拆项、配方法 七、待定系数法。
一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、运用公式法.
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
（1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2
(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2
(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3
(4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3
-
例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且2
2
2
a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）
A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：bn bm an am +++
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++
=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！
=))((b a n m ++
练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2
2、1+--y x xy
（二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：ay ax y x ++-22
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式=)()(22ay ax y x ++- =)())((y x a y x y x ++-+
=))((a y x y x +-+
练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---
四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——))(()(2
q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
思考：十字相乘有什么基本规律？
例.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若2
23x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .
解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax 2+bx+c ，都要求24b ac ∆=- >0而且是一个完全平方数。
于是98a ∆=-为完全平方数，1a =
五、换元法。
例13、分解因式（1）2005)12005(200522---x x
（2）2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++ 解：（1）设2005=a ，则原式=a x a ax ---)1(22
=))(1(a x ax -+ =)2005)(12005(-+x x
（2）型如e abcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=222)65)(67(x x x x x +++++
设A x x =++652，则x A x x 2672+=++
∴原式=2
)2(x A x A ++=222x Ax A ++
=2)(x A +=2
2)66(++x x
例14、分解因式（1）262234+---x x x x
观察：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。
这种多项式属于“等距离多项式”。
方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：原式=)1
162(22
2x x x x x +-
--=[]6)1()1(2222-+-+x x x
x x
设t x x =+1，则212
22-=+t x x
∴原式=[
]6)2222
---t t x （=()
10222--t t x
=()()2522+-t t x =⎪⎭
⎫
⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+215222x x x x x
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21··522·x x x x x x =()()
122522
2+++-x x x x
=)2)(12()1(2
--+x x x
（2）1442
34+++-x x x x
解：原式=2
2
241(41)x x x x x -++
+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝
⎛+1141222x x x x x 设y x x =-1，则212
22+=+y x x
∴原式=22(43)x y y -+=2
(1)(3)x y y --
=)31
)(11(2
----
x
x x x x =()()
13122----x x x x
六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式（1）4323+-x x
解法1——拆项。
解法2——添项。
原式=33123+-+x x 原式=444323++--x x x x =)1)(1(3)1)(1(2-+-+-+x x x x x =)44()43(2++--x x x x
=)331)(1(2+-+-+x x x x =)1(4)4)(1(++-+x x x x =)44)(1(2+-+x x x =)44)(1(2+-+x x x =2)2)(1(-+x x =2)2)(1(-+x x
七、待定系数法。
例16、分解因式613622-++-+y x y xy x
分析：原式的前3项226y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++
解：设61362
2
-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++
∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(62
2
∴
613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622
对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩
⎪
⎨⎧-==-=+6
13231
m n m n n m ，解得⎩⎨⎧=-=32n m
∴原式=)32)(23(+--+y x y x
例17、（1）当m 为何值时，多项式652
2-++-y mx y x 能分解因式，并分
解此多项式。
（2）如果82
3+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值。
（1）分析：前两项可以分解为))((y x y x -+，故此多项式分解的形式必
为))((b y x a y x +-++
解：设6522-++-y mx y x =))((b y x a y x +-++
则6522-++-y mx y x =ab y a b x b a y x +-+++-)()(22
比较对应的系数可得：⎪⎩⎪
⎨⎧-==-=+65ab a b m
b a ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=132m b a 或⎪⎩
⎪⎨⎧-=-==132m b a
∴当1±=m 时，原多项式可以分解；
当1=m 时，原式=)3)(2(+--+y x y x ； 当1-=m 时，原式=)3)(2(--++y x y x
（2）分析：823+++bx ax x 是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，
因此第三个因式必为形如c x +的一次二项式。
解：设823+++bx ax x =))(2)(1(c x x x +++
则823+++bx ax x =c x c x c x 2)32()3(23+++++
∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=82323c c b c a 解得⎪⎩
⎪
⎨⎧===4147c b a ， ∴b a +=21。
