10函数项级数和幂级数 习题课

设有
u n ( x ),
n 1

x I.
若 x0 I 时 ,
u n ( x0 )
n 1
收敛 , 则称 x 0 为
un ( x)
n 1

的收敛点 .
若 x0 I 时 ,
u n ( x0 )
n 1
发散 , 则称 x 0 为
un ( x)
n 1
收敛区间 [ 1, 1), 绝对收敛区间 （ 1, 1).
一般地，对于幂级数都可以采用达朗贝尔判别法
例4 解
求


( x 5) n
n
的收敛区间
.
n 1
令 y x 5, 则

lim

( x 5) n
| a n 1 | | an |
n

n 1


y
n
n 1
n
1
谁的收敛半径？
| x | 0 1,
n
故幂级数
an x
n0

在 ( , ) 上收敛 .
故
R .
n
lim
| u n 1 ( x ) | | un (x) |
|x|
( 3 ) 当 时 ,
x ( , 0 ) ( 0 , ) , 均有
an x
n0

n
,
都存在一个非负
当 | x | R 时 , 幂级数可能收敛
, 也可能发散
.
幂级数的收敛半径
我们称上述定理中的非负数 R 为幂级数


an x
n
的收敛半径.
x 0 处收敛时 , 规定 R 0.

四川大学数学类基础课程《数学分析（II）习题课》教学大纲课程名称：数学分析（II）习题课英文名称：Mathematical Analysis-II课程性质：必修课程代码：20101750本大纲主笔人：黄勇面向专业：数学类各专业主讲课教材名称：数学分析（上、下）出版单位：高等教育出版社出版日期：2004年10（第2版）编著：陈纪修於崇华金路习题课指导书名称：数学分析习题课讲义（上、下）出版单位：高等教育出版社出版日期：2004年1月（第1版）编著：谢惠民恽自求等习题课讲义名称：自己编写一、课程学时学分课程总学时：104学时课程总学分：5学分习题课总学时：36学时习题课总学分：2学分二、习题课的地位、作用和目的数学分析是数学专业最重要的一门基础课，是许多后继课程如微分几何，微分方程，复变函数，实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课程必备的基础，是数学专业本科一、二年级学生的必修课。

数学分析习题课是数学分析课程的重要组成部分，是学生学习这门课程的一个必要环节。

尤其是各位教师和学生们都应该充分地认识到习题课的重要性，习题课与主讲课同等重要。

数学分析习题课是通过学生自己严格的课堂和课外习题训练，再加上习题课教师对数学分析学习中各类习题的讲解，能使学生加深对课程内容的理解，全面系统地掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。

三、习题课的教学方式与教学要求教学方式：以课堂教学为主，充分利用现代化技术，结合计算机实习与多媒体辅助教学，提高教学效果。

教学要求：习题课的教学是通过学生在课后进行严格的习题训练、在课堂上由习题课老师和学生通过讲、练结合的方式进行。

每次主讲老师讲完教材内容后布置下习题由学生课后训练，并于下次课将所完成的作业本上交由习题课老师批改。

习题课教师通过批改学生的课后作业，可以及时发现学生作业中的问题。

第十四章 幂级数习题课一 疑难解析与注意事项1．如何求缺项幂级数的收敛半径 答：如果一个幂级数有无限多个项的系数为零这样的幂级数称为缺项幂级数，对这种幂级数，不能直接用公式1lim n n n n aa ρρ+→∞⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．常用方法是： 1）进行变量替换．将原幂级数变为一个无缺项的幂级数．计算出后一幂级数的收敛半径，再根据两变量之间的关系得出原幂级数的收敛半径．例如幂级数2112n n n x ∞=∑，可令2y x =，化为幂级数112n n n y ∞=∑，而幂级数112n n n y ∞=∑的收敛半径为2R =，从而当22x <时，原幂级数收敛，当22x >时，原幂级数发散，由此推出原幂级数的收敛半径为R =2）对缺项幂级数需要按照类似于定理14．2来求．例如求幂级数2202nn n x ∞=∑（缺项幂级数）的收敛半径．对于幂级数2202nnn x ∞=∑，因为22222222lim42n n n n nx xx ++→∞=，当214x<时，即2x <，2202nn n x ∞=∑收敛，则原来级数绝对收敛；当214x >时，即2x >，2202nnn x ∞=∑发散，则原来级数发散，所以收敛半径2=R ． 2．如何求幂级数的收敛域答：1）首先求幂级数的收敛半径R ；2）写收敛区间(),R R -； 3）讨论端点处的收敛性，即讨论nn n a R∞=∑，()nn n a R ∞=-∑的收敛性，如果两个都收敛，则幂级数的收敛域为[],R R -，如果两个都发散，则收敛域为(),R R -，如果其中一个收敛，一个发散，则收敛域为[),R R -（()nn n a R ∞=-∑收敛），(],R R -（nn n a R∞=∑收敛）．3．幂级数在()R R ,-内每一点都绝对收敛，那么在端点处敛散性如何 答：1）幂级数在()R R ,-端点处可能收敛可能发散．例如幂级数n x n ∑的收敛区间是()1,1-，在端点1处，级数1n∑发散，在端点1-处级数()1nn-∑收敛，收敛域是[)1,1-．2）如果是收敛，可能是绝对收敛，可能是条件收敛．n x n ∑在端点1-处是条件收敛，2nx n ∑收敛域是[]1,1-，在端点1与1-处都是绝对收敛的．4．幂级数与逐项求导逐项积分后幂级数具有相同的收敛半径、收敛区间，但收敛域相同吗答：不一定，例如nx ∑收敛域为()1,1-，但逐项积分和幂级数为11n x n ++∑收敛域为[)1,1-．设幂级数0nn n a x ∞=∑，11n n n na x∞-=∑，11n n n x a n +∞=+∑收敛域分别是12,,D D D ，则有12D D D ⊂⊂ 如果一个幂级数经逐项求导或逐项求积后其收敛性发生了变化，则变化的只能是收敛区间两个端点处的收敛性．一般来说，逐项求导后，系数由n a 变为n na ，不会使收敛区间端点处的收敛性变好；而逐项求积后，系数由n a 变为1na n +，不会使收敛区间端点处的收敛性变坏．5．如何求幂级数的和函数答：首先求出幂级数的收敛半径与收敛域，然后可通过以下几种方法求 幂级数的和函数：（1）变量替换法——通过变量替换，化为一较简单的幂级数． （2）拆项法——将幂级数分拆成两个（或几个）简单幂级数的和．（3）逐项求导法——通过逐项求导得出另一幂级数，而此幂级数的和函数是不难求得的；然后再通过牛顿莱布尼兹公式，得到原幂级数的和函数．（4）逐项积分法——通过逐项求积得出另一幂级数，而此幂级数的和函数是可以求得的；然后再通过求导数，得到原幂级数的和函数．一般通过逐项求导逐项积分向等比级数转化，系数含有!n ，向xe 的幂级数展开形式转化，系数含有()()2!,21!n n -向sin ,cos x x 展开形式转化．注意：上述运算过程在幂级数的收敛区间内总是可行的（而在幂级数的收敛域上却不一定可行）．因此，我们一般只限定在幂级数的收敛区间内进行上述运算，由此得到在收敛区间上的和函数，而求幂级数在其收敛域上的和，还需要讨论在端点的函数值，利用函数在端点的左（右）连续性来求．还需指出，这里所介绍的方法，仅仅是可供选择的几种途经．对具体问题，常常要综合利用上述方法，或寻求其他方法才能得到问题的解．6．如何利用幂级数求数项级数的和答：选择合适的幂级数，使该数项级数为幂级数在某收敛点0x 处的值．然后求出幂级数的和函数()S x ，则()0S x 便是原数项级数的和．7．如何求函数f 在0x 处的幂级数展开式 答：主要有以下两种方法：（1）直接法．计算函数f 在0x 处的各阶导数()()0n f x ，写出它的泰勒级数，然后证明()0lim =∞→x R n n ．（2）间接法．借助某些基本函数的展开式，通过适当变换，四则运算，逐项求导或者逐项求积等方法，导出所求函数色幂级数展开式．这是常用的方法．注意求展开式时，一定要写展开式成立的范围． 三 典型例题1．求幂级数的收敛域：1）∑n x n n )!2()!(2； 2）∑---)!12()2(12n x n ； 3）∑+-+n n n x n )1()2(3； 4）∑+++n x n)1211(Λ； 5）∑∞=1221n nnx ． 解：1）由于2212[(1)!](2)!(1)1lim lim lim [2(1)]!(!)(22)(21)4n n n n na n n n a n n n n ρ+→∞→∞→∞++==⋅==+++，因此收敛半径14R ρ==，当4±=x 时，这个级数为∑±n n n )4()!2()!(2，通项记为n u ，则有 n u =)!2(4)!(2n n n =)!2(2)!(22n n n =)12(5312642-⋅⋅⋅⋅n nΛΛ12+>n ， 于是∞→n lim n u +∞=，所以当4±=x 时级数∑nx n n )!2()!(2发散，从而可知这个级数的收敛域为)4,4(-．2）令2t x =-，则级数∑---)!12()2(12n x n 转化为21(21)!n t n --∑（缺陷幂级数），下面先求21(21)!n tn --∑的收敛域，因为21221(21)!lim lim 01(21)2(21)!n n n n t t n t n nn +-→∞→∞+==<+-，即对任意(),t ∈-∞+∞，21(21)!n t n --∑都收敛，因此21(21)!n t n --∑的收敛域为(),-∞+∞，因此的收敛域为(),-∞+∞．3）令1t x =+，则级数∑+-+nn n x n)1()2(3转化为3(2)n n n t n +-∑，下面先求3(2)n n n tn +-∑的收敛域，由于n ρ==3n ，所以收敛半径31=R ，因而级数3(2)n n nt n +-∑的收敛区间为11(,)33-， 当13x =-时，级数为∑⎪⎭⎫⎝⎛--+nn n n 31)2(3=∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n nn n 3211)1(收敛， 当13x =时，级数为3(2)13n n n n +-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=1123n n n ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑，123nn ⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛（123n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛，因为213n =<），∑n 1发散，故3(2)13nn n n +-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑发散，因此3(2)n n nt n +-∑的收敛域为11,33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，级数∑+-+nn n x n )1()2(3的收敛域为11133x -≤+<的解集，即⎪⎭⎫⎢⎣⎡--31,34． 4）因为nn n 1⋅n n1211+++≤Λn n 1⋅≤，又∞→n lim11=⋅nn ，所以∞→n lim11211=+++nnΛ， 从而收敛半径1=R ，又当1±=x 时，n n n)1)(1211(lim ±+++∞→Λ0≠， 可见级数∑+++nx n)1211(Λ在1±=x 时发散，故这个级数的收敛域为)1,1(-． 5）法1: (将其看成不缺项的幂级数 Λ++⋅++⋅4232210210x x x x )设 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==k n k n a kn 2,2112,0∑∑∞=∞==11221n n nn n nx a x ， 2121lim lim 2==∞→∞→nnn n n n a 2=∴R ．法2: 令t x =2，∑∞=121n nnt 收敛半径为2，故R = 法3: (将其视为以x 为参数的数项级数或视为一般的函数项级数)22lim )()(lim 221x x x u x u n nn n ==∞→+∞→， 当122<x 即 2<x 时幂级数收敛， 当2>x 时发散，故R =． 即收敛半径为R =，收敛区间是(，当x =时，∑∞=1221n nnx 为111212n n n n ∞∞===∑∑发散，因此收敛域为(． 2．应用逐项求导或逐项求积分方法求下列幂级数的和函数（应同时指出它们的收敛域）： （1）求幂级数1nn x n∞=∑的和函数；（2）求幂级数11nn x n ∞=+∑的和函数；（3）求幂级数11n n nx ∞-=∑的和函数；（4）求幂级数1n n nx ∞=∑的和函数；（5）求幂级数ΛΛ+++++++12531253n x x x x n 的和函数； （6）求幂级数∑∞=+1)1(n nn n x 的和函数；（7）求幂级数1!nn x n ∞=∑的和函数．注：应用：求幂级数的和函数．思想：一般是通过逐项求导，逐项积分向等比级数转化．(假如系数含有!n ，向xe 的展开形式转化，假如系数含有()()2!,21!n n -向sin ,cos x x 展开形式转化)．必须的知识点：1）等比级数011nn ∞==-∑W W ，11nn ∞==-∑W W W---------； 2）牛顿莱布尼兹公式()()()xaf t dt f x f a '=-⎰；3）()()()xaf t dt f x '=⎰．注意点：1）求和函数时必须先要求收敛域；2）求()0f 时必须要看级数展开式中第一项；例 设()0n n n f x a x ∞==∑，先看展开式中第一项是0a ，因此()00f a =．常见错误，有些人把0直接代通项，()0000n f ∞===∑．设()1n n n f x a x ∞==∑，先看展开式中第一项是1a x ，因此()00f =．3）涉及到除以x 时，要讨论x 为0不为0． 幂级数求和函数步骤:求其收敛半径R 和收敛域D ．在收敛区间内求和函数．(利用变量替换， 逐项求积， 逐项求导等方法) ，(假如系数含有!n ，向xe 的展开形式转化，假如系数含有()()2!,21!n n -向sin ,cos x x 展开形式转化)；收敛域若不是开区间， 还须讨论在收敛域端点处的和，若左端点收敛，则在左端点右连续，若右端点收敛，则在右端点左连续．写出和函数， 注明定义域D ． 解（1）1）求收敛域；1lim lim lim 1n nn n n n n a n n ρ→∞→∞→∞====（或111lim lim 11n n n na n a nρ+→∞→∞+===）； 收敛半径11R ρ==；收敛区间()1,1-；当1x =-时，()11nn n∞=-∑收敛；当1x =时，11n n∞=∑发散．因此收敛域为[)1,1-． 2)向等比级数转化；分析：因为等比级数系数为1或()1n-，而1n n x n∞=∑的系数为1n ，要向等比级数转化必须要把n 抵消，此题可以通过逐项求导就可以把n 抵消．令()1nn x f x n∞==∑，在收敛区间()1,1-上逐项求导（注意幂级数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积）． ()1111n n f x x x∞-='==-∑， ()()()()0010ln 11xxf x f t dt f dt x t'=+==---⎰⎰，()1,1x ∈-． 当1x =-时，（若幂级数0n n n a x ∞=∑在收敛区间的左（右）端点上收敛，则其和函数也在这一端点上右（左）连续．）()()()111lim lim ln 1ln 2x x f f x x ++→-→--==--=-⎡⎤⎣⎦． （2）1）求收敛域； 收敛域为[)1,1-． 2)向等比级数转化；分析：要向等比级数转化，必须要把系数中的1n +抵消，但是只有1n x +的求导才能出现1n +，必须要乘一个x ，除以一个x ，111111n n n n x x n x n +∞∞===++∑∑，而要除以x ，就必须讨论x 为0不为0．当0x =时，()00f =当0x ≠时，()111111n n n n x x f x n x n +∞∞====++∑∑，（只需要求出111n n x n +∞=+∑就会求出()f x ，下面求111n n x n +∞=+∑） 令()111n n x g x n +∞==+∑，收敛域[)1,1-在收敛区间()1,1-上逐项求导．()11n n xg x x x∞='==-∑， ()()()()000ln 11xxtg x g t dt g dt x x t'=+==----⎰⎰，()1,1x ∈-． 当1x =-时，()()()111lim lim ln 11ln 2x x g g x x x ++→-→--==---=-⎡⎤⎣⎦． 于是()()()() 0 0ln 11 1,00,1 ln2 1 1x x f x x x x =⎧⎪-⎪=--∈-⎨⎪-=-⎪⎩U（3） 收敛域为()1,1- 令()11n n f x nx ∞-==∑，对()11n n f x nx ∞-==∑在()1,1-上逐项积分；()1111xx n n n n xf t dt ntdt x x∞∞-=====-∑∑⎰⎰， ()()2111x f x x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭-． （4）解1：收敛域为()1,1-()()-1211=1nn n n xf x nx x nx x ∞∞====-∑∑．解2 由于∞→n limnn a =∞→n lim11=⋅nn ，且当1±=x 时，这个幂级数发散，所以幂级数的收敛域为)1,1(-，设111()nn n n f x nx x nx∞∞-====⋅∑∑，令∑∞=-=11)(n n nxx g在)1,1(-上对()g x 逐项积分得，dt t g x ⎰)(dt ntx n n ⎰∑∞=-=011=xx x n n -=∑∞=11所以=)(x g ()1xx '-=2)1(1x -，从而)(x f 2)1(x x -= （1<x ）．（5）讨论级数2121n n x n +∞=+∑，因为2322123lim21n n n x n x x n ++→∞+=+，当21x <，即1x <，21021n n x n +∞=+∑收敛，2121n n x n +∞=+∑收敛； 当21x >，即1x >，21021n n x n +∞=+∑发散，2121n n x n +∞=+∑发散， 因此收敛半径1R =，收敛区间为()1,1-，且1±=x 时，∑∞=+0121n n 与2100(1)12121n n n n n +∞∞==-=-++∑∑都是发散级数，所以幂级数的收敛域为)1,1(-，设210()21n n x f x n +∞==+∑，在)1,1(-逐项求导可得221()1n n f x x x ∞='==-∑， 所以)(x f dt t x⎰-=0211x x-+=11ln 21 （1<x ）， （6）由1)1(1lim =+∞→nn n n 知幂级数的收敛半径为1=R ． 又1±=x 时， 级数均收敛，故幂级数的收敛域为]1,1[-．令]1,1[,)1()(1-∈+=∑∞=x n n x x S n n则 ]1,1[,)1()(11-∈+=∑∞=+x n n x x xS n n 由于)1,1(-∈∀x ， 有,))1(())((111∑∑∞=∞=+='+='n nn n nx n n x x xS,11)())((111∑∑∞=-∞=-=='=''n n n n x xn x x xS从而)1,1(-∈∀x ， 有),1ln(1d d ))(())((00x ttt t tS x xS xx--=-=''='⎰⎰),1ln()1(d )1ln(d ))(()(0x x x t t t t tS x xS xx--+=--='=⎰⎰于是}.0{\)1,1(),1ln(11)(-∈∀--+=x x xxx S 而由)(x S 的定义， 0)0(=S ．此外， 当1±=x 时， )(x S 在1-=x 处右连续， 在1=x 处左连续． 故,2ln 21)]1ln(11[lim )(lim )1(11-=--+==-++-→-→x xxx S S x x.1)]1ln(11[lim )(lim )1(11=--+==---→→x xxx S S x x综上知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-∈--+==.1,1};0{\)1,1[),1ln(11;0,0)(x x x x x x x S（7）易求收敛域为(),-∞∞，()1011,,!!n nx n n x x e x n n ∞∞===-=-∈-∞+∞∑∑． 3．利用幂级数求数项级数的和． 1）求级数∑∞=122n nnx的和函数，并求数项级数∑∞=19n n n的和； 2) 求级数∑∞=-1212n nn 的和； 方法：先选择适当的幂级数， 使该数项级数是所选幂级数在某收敛点0x 处的值， 然后求出和函数)(x S ， 则)(0x S 便为所求之和．解（1）法1：级数∑∞=122n nnx的收敛域为()11-，，∑∑∞=-∞==1121222n n n nnx x nx，令∑∞=-=1122)(n n nx x s ，逐项积分⎰∑∑⎰∞=∞=--===x n n nxn x x xdx nxdx x s 01122201212)(， 两边求导，得22221)1(2)'1()(x xx x x s -=-=， 所以222112)1(2)(2x x x xs nxn n-==∑∞=，()11x ∈-，，从而649)911(91221)31(22192121=-⋅==∑∑∞=∞=n nn nn n ． 通过如下代数运算，使其求和过程非常简便． 法2 令ΛΛ+++++=nnxx x x x s 26422642)( ，ΛΛ------=-+)1(286422642)(n nxx x x x s x ，222642212)(2)()1(xx xx x x x s x n-=+++++=-ΛΛ ， 所以222)1(2)(x x x s -= ，()11x ∈-，． （2）作幂级数221212-∞=∑-n n n x n ，并设和函数为()S x ， 则⎰∑⎰∑∞=∞=--=-=xn xn n n n nx dx x n dx x s 0101122221212)(2121)2(12212xx x x x n n -⋅==∑∞=)0(≠x ， 两边求导，得2222)2(2)'2()(x x x x x S -+=-= )2(<x ， 因为1x =在收敛区间内，故用1x =带入上式得∑∞==-=13212)1(n nn S ． 4．求函数的幂级数展开式1）将函数()2x e x f =，x a ，2sin x 展开成x 的幂级数；2）将函数()x x f ln =展开成（x －1）的幂级数；3）将函数()2sin f x x =展开成x 的幂级数； 4）21)(2--=x x x f 在1=x 处的泰勒级数展开式； 5）求0x =处的泰勒级数展开式； 6）求()ln(f x x =在0x =处的泰勒级数展开式．注意： 看清要在哪点展开； 确保得到的是幂级数； 注出定义域． 解：1）将2x 视为一个整体，由xe 的展开式可知n n n n x x n x n e 2020!1)(!12∑∑∞=∞=== ，)(+∞<<-∞x ． 类似地n n n nn ax x x n a a x n ea ∑∑∞=∞====00ln !)(ln )ln (!1 ，)1,0(≠>a a )(+∞<<-∞x ．∑∞=++-=01222)()!12()1(sin n n n x n x ∑∞=++-=024)!12()1(n n n x n )(+∞<<-∞x ．2）∑∞==-011n nx x (11<<-x )⇒()011n n x x ∞==-+∑，()11x -<<． ⇒()()1ln 111n nn x x n +∞=+=-+∑，()11x -<≤． 10(1)ln ln[1(1)](1)1nn n x x x n ∞+=-=+-=-+∑ )20111(≤<≤-<-x x ，即．3）222221011cos 21212sin (1(1))(1),()22(2)!2(2)!n n n n n n n n x x x x x n n ∞∞+==-==--=--∞<<+∞∑∑． 4）]1121[31212+--=--x x x x11(1),0221(1)n n x x x x ∞=-==--<<---∑∑∞=<<---=-+=-+=+031,)21()1(21211121)1(2111n nn x x x x x100101(1)()[(1)(1)]321(1)[1](1),0 2.32n nn n n n nn n n f x x x x x ∞∞+==∞+=-∴=--+--=--<<∑∑∑5）[]1lnln(1)ln(1)2x x =+-- 11111(1)(1)()2n n n n n n x x n n ++∞∞==⎡⎤--=--⎢⎥⎣⎦∑∑1111(1)2n n n n n x x n n +∞∞==⎡⎤-=+⎢⎥⎣⎦∑∑211,(1,1)21n n x x n -∞==∈--∑． 6）()ln(f x x =，()f x '==，12221111()(1)(1)222(1)1!n n n x x n ∞-=-----+=+=+∑L211321()()()2221!n n n x n ∞=----=+∑L 21(1)(21)!!1,(1,1)!2n nnn n x x n ∞=--=+∈-∑． 而(0)0f =，于是[]211(1)(21)!!(),1,1!2(21)n xn n n n f x x x x n n ∞+=--==+∈-+∑⎰．。

( 2 ) ∑ ( − nx ) ;
n
∞
∵ ρ = lim n a n = lim n = +∞ , ∴ R = 0,
n→ ∞
n =1
n→ ∞
点收敛。 级数只在 x = 0点收敛。
x ( 3) ∑ ; n = 1 n! a n+1 1 ∵ ρ = lim = lim = 0, ∴ R = +∞ , n→ ∞ a n→ ∞ n + 1 n
故收敛域为(0,1]. 故收敛域为
法二：直接利用比值，根值判别法（有缺项） 法二：直接利用比值，根值判别法（有缺项）
x 的收敛域. 例 2 求幂级数∑ n 的收敛域 n=1 2
∞
2n−1
x x x 解 ∵ 级数为 + + 3 + ⋯ 缺少偶次幂的项 2 2 2 2 应用达朗贝尔判别法
un+1 ( x ) 1 2 2 n+1 lim = lim 2 n−1 = x , n→ ∞ u ( x ) n→ ∞ x 2 n 2n 1 2 时 级数收敛, 当 x < 1, 即 x < 2时, 级数收敛 2
1.代数运算性质: 1.代数运算性质: 代数运算性质
∞ ∞
设∑ a n x 和∑ bn x 的收敛半径各为 R1 和R2 ,
n n n= 0
R = min{R1 , R2 }
n= 0
(1) 加减法
∑a
n=0
∞
n
x ± ∑ bn x = ∑ c n x . x ∈ (− R, R )
n n
n
∞
∞
n= 0
n n=0 n=0 ∞ ∞
( 2 ) 假设当 x = x 0时发散 ,

第九讲：无穷级数一、 常数项级数 1、 概念与性质：（1） 数列{}n u 中的各项用加号连接的形式：∑∞==++++121n nn uu u u 称为无穷项数项级数，第n 项称为一般项（通项）。

数列∑==ni nn uS 1称为级数∑∞=1n nu的前n 项之和（部分和），若S S n n =∞→lim ，则称级数∑∞=1n nu的和为S ，级数∑∞=1n nu收敛；若n n S ∞→lim 不存在，则称级数∑∞=1n nu发散。

若级数∑∞=1n nu收敛，n n S S r -=称为级数∑∞=1n nu的余项，0lim =∞→n n r 。

例1：判定下列级数的敛散性： ①∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+111ln n n ： 解：()n n n u n ln 1ln 11ln -+=⎪⎭⎫⎝⎛+=， ()()∞→+=-+++-+-=n n n S n 1ln ln 1ln 2ln 3ln 1ln 2ln ()∞→n ，故∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+111ln n n 发散； ②()∑∞=+1!1n n n： 解：()!11!1+-=n n u n ，()()1!111!11!1!31!21!211→+-=+-++-+-=n n n S n ()∞→n ，故()∑∞=+1!1n n n收敛； ③调和级数：∑∞=11n n ； 解：由()n n n n ln 1ln 11ln 1-+=⎪⎭⎫⎝⎛+>，()()∞→+=-+++-+->+++=1ln ln 1ln 2ln 3ln 1ln 2ln 1211n n n nS n ()∞→n ，故级数∑∞=11n n发散。

④几何级数：⎪⎩⎪⎨⎧≥<-⇒∑∞=-1,,1,111q q q aaqn n 发散⑤-p 级数：∑∞=11n pn ()0>p ⎩⎨⎧≤>⇒11p ，p ，发散收敛 （2） 性质：ⅰ、设α、β为常数，若∑∞=1n nu、∑∞=1n nv收敛，则()∑∞=+1n n nv uβα也收敛，且()∑∞=+1n n nv uβα∑∑∞=∞=+=11n n n n v u βα；推论：常数0≠k ，∑∞=1n nku与∑∞=1n nu同敛散；比如：证明级数∑∞=12n n 发散：因为∑∞=12n n 与∑∞=11n n 同敛散，又∑∞=11n n 发散，故级数∑∞=12n n 发散；注意：∑∞=12n n ∑∞=≠112n n，≠⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=1211n n n ∑∑∞=∞=+11211n n nn ； ⅱ、改变级数的有限项，不会改变级数的敛散性； 推论：∑∞=1n nu与∑∞+=1N n nu同敛散；ⅲ、收敛级数“加括号”后所得的级数仍收敛于原来的和；（“加括号”后所得的级数发散，则原级数必发散） 比如：已知()8π121212=-∑∞=k k ，求∑∞=121n n： 解：()()()∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=121212212141121211211k k k n k k k k n ， 故()6834121341221212ππ=⨯=-=∑∑∞=∞=k n k n；ⅳ、若级数∑∞=1n nu收敛，则0lim =∞→n n u （若0lim ≠∞→n n u ，则∑∞=1n nu发散）比如：由01lim ≠=∞→nn n ，则∑∞=11n nn发散。

n an
n n
所以幂级数的收敛半径为 R 1，收敛区间为(-1,1).
当 x 1 时，级数 n, (1)nn 均发散，
n0 n1
故所求级数的收敛域为(-1,1).
典型例题讲解
（2）因为 lim an1 lim (1)n1 / (1)n lim n 1,
n an n n 1
n
n n 1
幂级数
幂级数
知识点讲解
1.幂级数的定义和性质 2.典型例题讲解
幂级数的定义和性质
定义1
由幂函数序列 {an (x x0 )n}所产生的函数项级数
an (x x0 )n a0 a1(x x0 ) an (x x0 )n
n0
称为幂级数.
其中 an (n 0,1,2,) 称为幂级数的系数.
当0 R 时，幂级数 an xn 在 (R, R) 上收敛， n0
在区间端点幂级数 an xn 可能收敛也可能发散. n0
称 (R, R)为幂级数的收敛区间.
幂级数的定义和性质
定理2
对于幂级数 an xn , n0
若
lim an1 n an
,
则
（1）当 0 时，幂级数 anxn n0
所以幂级数的收敛半径为 R 1 ，收敛区间为(-1,1).
当 x 1 时，级数
(1)n
n1 n
收敛；
当 x 1时，级数
1
n1 n
发散.
故所求级数的收敛域为(-1,1].
典型例题讲解
例2 求下列幂级数的收敛半径和收敛域.
解
(1)
n1
1 n 2n
(x
1) n ;
(2)
n0
(1)n1 n 2n

2012/6/4
24
x 1 x2 (1)n1 1 xn x (1, 1]
2
n
x 1 x2 1 xn x [1, 1)
2
n
例6、将 arctanx 展开为x 的幂级数。
25
例7、求
的和函数。
例8、证明对一切 x (1, 1) 成立，
并求
注意: 求幂级数的和函数或求函数的幂级数展开等 一定要考虑其收敛域。
0
0 1t
x (1, 1]
23
说明
1) 逐项求导或逐项积分后，收敛半径不变，
但收敛域可能扩大或缩小。
2) 此题还得到以下结论:
(1)
1
(1)n xn
1 x n0
1 x x2
(2)
1
xn
1 x n0
1 x x2
(1)n xn x (1, 1) xn x (1, 1)
幂级数具有良好的性质。 如果函数能表示幂级数的形式, 对研究函数
的性质是很有效的。
解决两类问题:
在收敛域内， 幂级数
求和 展开
和函数
2012/6/4
32
（一）Taylor 级数与余项公式
Taylor公式
函数 f (x) 在 x0 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在该邻域内有:
f (x)
f ( x0 )
n0
an ( R)n
.
20
3、逐项可导性 (求导) 定理
设 S( x) anxn 的收敛半径为 R ,
n0
则和函数 S (x) 在 (-R , R) 可以逐项求导，即
S( x) ( anxn ) (anxn ) nanxn1

幂级数及泰勒展开一、求下列幂级数的收敛区间1. 12(21)nn x n n ∞=-∑解：12(21)limlim 12(1)(21)n n n n a n n a n n +→∞→∞-==++1R ⇒=当时，因 ， 所以收敛，1x =21112(21)2(1)n n n n n n =<-+-112(21)n n n ∞=-∑当时， 绝对收敛，1x =-1(1)2(21)nn n n ∞=--∑ 收敛区间为。

⇒[1,1]-2.n ∞=解：11lim 2n n nna a +→∞==2R ⇒= 当时，为收敛的交错级数，2x=1n ∞=当时， 2x =-11n n ∞∞===- 收敛区间为。

⇒(2,2]-3. 1(1)32n n n n n n x x ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑解：1111(1)32limlim 3(1)32n n n n nn n n nn a a ++++→∞→∞-+==-+， 当时，通项不趋于零， 收敛区间为。

13R ⇒=13x =±⇒11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭4. 1(23)(1)21nnn x n ∞=---∑解：121limlim 121n n n na n a n +→∞→∞-==+1R ⇒=故当，即时级数绝对收敛。

231x -<12x <<当时， 发散，1x =11(1)(1)111, 21212-12n n n n n n n n ∞∞==--⎛⎫=> ⎪--⎝⎭∑∑当时， 为收敛的交错级数，2x =1(1)21nn n ∞=--∑ 收敛区间为。

⇒(1,2]5.1ln(1)1)1n n n x n ∞=+-+∑解：1ln(2)(1)limlim 1(2)ln(1)n n n n a n n a n n +→∞→∞++==++1R ⇒=故当，即时级数绝对收敛。

11x -<02x <<当时，因为0x =，1ln(1)ln lim lim lim 011n x x n x x n x →∞→+∞→+∞+===+2ln 1ln ln(2)ln(1)()()0() 3 21x x n n f x f x x e n x x n n -++'=⇒=<>⇒≥<++时，所以 收敛，1(1)ln(1)1n n n n ∞=-++∑当时，因为当时 所以发散， 2x =2n ≥ln(1)11112n n n n +>>++1ln(1)1n n n ∞=++∑ 收敛区间为。

数列与级数的函数项级数与幂级数数列与级数是数学中重要的概念和研究对象，它们在各个领域都有广泛的应用。

而函数项级数和幂级数则是数列与级数的两种特殊形式，它们在解析学、微积分以及物理学等领域都有重要的作用。

本文将介绍函数项级数和幂级数的定义、性质以及应用。

一、函数项级数函数项级数是指数列的通项是一个函数，而不是常数。

函数项级数的一般形式可以表示为∑(n=1到∞) an(x)。

其中，an(x)是一个关于自变量x的函数，并且随着n的增大而变化。

函数项级数可以看作是由一系列函数组成的序列。

函数项级数的收敛性是指当x取某个值时，级数的部分和不断逼近于某个有限值。

如果函数项级数的部分和收敛于有限值，那么我们称该函数项级数在该点收敛。

函数项级数的收敛性可以通过一系列的测试方法进行判断，比如比较判别法、积分判别法以及魏尔斯特拉斯判别法等。

函数项级数在分析学、微积分和物理学等领域都有广泛的应用。

例如，泰勒级数是一种特殊的函数项级数，它可以将任意函数近似为一系列幂函数的和。

这在微积分的应用中非常重要。

此外，函数项级数还有在物理学中解决波动方程、热传导方程和扩散方程等问题中的应用。

二、幂级数幂级数是函数项级数的一种特殊形式，它的通项是幂函数。

幂级数的一般形式可以表示为∑(n=0到∞) cn(x-a)^n。

其中，cn是常数系数，x 是自变量，a是常数。

幂级数可以看作是由一系列幂函数组成的序列。

幂级数的收敛性同样可以通过一系列的测试方法进行判断，比如比值判别法、根值判别法和柯西-阿达玛公式等。

与函数项级数类似，幂级数在分析学、微积分和物理学等领域都有重要的应用。

在解析学中，我们可以使用幂级数来表示一些常见函数，比如指数函数、三角函数和对数函数等。

幂级数在数值计算和近似计算中也有广泛的应用。

此外，幂级数还可以用来解决差分方程、微分方程和边值问题等。

总结：数列与级数是数学中重要的概念，在函数项级数和幂级数的框架下有着广泛的应用。

主要内容
第九章
无穷级数
一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数展开法
习题课
对于函数项级数 求和 展开 当 当 *当 时为数项级数; 时为数项级数; 时为幂级数; 时为幂级数; (在收敛域内进行) 在收敛域内进行)
一、数项级数的审敛法 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 正项级数审敛法 必要条件 lim un = 0
求
∑ (n + 1) x
n =0
∞
∞
n
的和函数.
n+2 = 1, R = 1, n +1 ∞
n =0
解： ∵ 当x = 1,
n =0
ρ = lim
n →∞
当 x = −1， ∑ (n + 1) 发散， ∑ (n + 1)( −1)n 发散.
∞ n
Байду номын сангаас
∴ 收敛域为（-1，1）.
设 s ( x) =
∑ (n + 1)x , ∞ x x ( n + 1) x n dx ∫0 s( x )dx = ∑ ∫ 0 n =0
∴
∞ 2n − 1 x 2 n − 2 1 x dx = ∑ n x 2 n−1 n ∫0 2 n =1 2 n =1 2 x 1 ∞ x2 1 x = ∑ ( )n = ⋅ 2 2 = , x x n =1 2 x 2 − x2 1− 2 ∞
常用展开 式的和： 式的和：
∞ x3 x5 x 2 n+1 x − + − ⋯ = ∑ (−1)n = sin x (−∞ < x < +∞) 3! 5! (2n + 1)! n=0

( 1)
n1
n 1

n 1
x
n
的和函数.
n
n 1
解 s( x ) ( 1)
2
x
n
,
显然 s(0) 0,
,
n
s( x ) 1 x x
1 1 x
( 1 x 1)
两边积分得
0
x
s( t )dt ln(1 x )
即 s( x ) s(0) ln(1 x )
域,
所有发散点的全体称为发散域.
3.和函数:
在收敛域上,函数项级数的和是 的函数 称 为函数项级数的和函数. ,
s( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x ) (定义域是?)
s( x ) 函数项级数的部分和 s n ( x ),
lim sn ( x ) s( x )
n 2 n 0

un ( x ) u1 ( x )
2.收敛点与收敛域:
如果 x 0 I ,数项级数

un ( x0 )收敛,
n 1

则称 x 0 为级数

否则称为发散点. un ( x )的收敛点,
n1
函数项级数 un ( x ) 的所有收敛点的全体称为收敛
n1
n
余项 rn ( x ) s( x ) sn ( x )
lim rn ( x ) 0
n
(x在收敛域上)
注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是数项级数的收敛问题.
二、幂级数及其收敛性
1.定义: 形如 a n ( x x 0 ) n 的级数称为幂级数.

两个分界点关于原点对称（图7－4－1）.至此我们可得到如下重要推论:推论 1 如果幂级数 不是仅在一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必存在一个确定的正数 存在, 使得（1）当 时, 幂级数 绝对收敛； （2）当 时, 幂级数 发散；（3）当 时, 幂级数 可能收敛, 也可能发散.我们把此正数 称作幂级数的收敛半径. 称为幂级数的收敛区间.若幂级数的收敛域为 ,则),(R R -⊆⊆D ],[R R -即幂级数的收敛域是收敛区间与收敛端点的并集.4、 特别地, 如果幂级数只在 处收敛, 则规定收敛半径 , 此时的收敛域为只有一个点 ；如果幂级数对一切 都收敛, 则规定收敛半径 , 此时的收敛域为 . 5、 幂级数的收敛半径求法 定理2: 如果幂级数0nn n a x∞=∑系数满足 ∞→n lim |1n na a +|=ρ,则幂级数的收敛半径:R=1/, 0<,, 00, ρρρρ<+∞⎧⎪+∞=⎨⎪=+∞⎩证明:考察幂级数(3)的各项取绝对值所成的级数|a 0|+|a 1x|+|a 2x 2|+…+|a n x n|+ (5)这级数相邻两项之比为:||||11nn n n x x αα++=|n n αα1+|•|x|. 1) 如果∞→n lim |nn αα1+|=ρ(ρ≠0)存在,根据比值审敛法,则: 当ρ|x|<1即|x|<ρ1时,级数(5)收敛,从而级数(3)绝对收敛; 当ρ|x|>1即|x|>ρ1时,级数(4)发散,并且从某一个n 开始|a n+1x n+1|>|a n x n|,因此一般项 |a n x n|0所以 anxn 0, 从而级数(3)发散,于是收敛半径R= .3、 求幂级数∑=1n )1(n n+x n的收敛区间.解: 由于∞→n lim[nn n2)11(+]=e,因此R=1/e.当|x|=1/e 时,由于∞→n lim 2)11(n n+n e 1=∞→n lim n nen ])11([+=e -1/2因此级数的收敛区间为(-1/e,1/e).四、 幂级数的运算1. 设幂级数: a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n+…及 b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n+…分别在区间 (-R,R) 及 (-R ′,R ′) 内收敛, 对于这两个幂级数,可以进行下列四则运算:加法: (a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +…)+(b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n+…)=(a 0+b 0)+(a 1+b 1)x+(a 2+b 2)x 2+…+(a n +b n )x n+….减法: (a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +…)- (b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n+…)=(a 0-b 0)+(a 1-b 1)x+(a 2-b 2)x 2+…+(a n -b n )x n+….根据收敛级数的基本性质,上面两式在(-R,R)与(-R ′,R ′)中较小的区间内成立.乘法: (a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +…)(b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n+…)=a 0b 0+(a 0b 1+a 1b 0)x+(a 0b 2+a 0b 2+a 2b 0)x 2+…+(a 0b n +a 1b n-1+…+ a n-1b 1+a n b 0)x n+…这是两个幂级数的柯西乘积,可以证明上式在(-R,R)与(-R ′,R ′)中较小的区间内成立.除法:++++++++++n n n n x b x b x b b x x x 22102210αααα=c 0+c 1x+c 2x 2+…+c n x n+…,假设b 0≠0.为了决定系数c 0,c 1,c 2,…,c n …,可以将级数∑∞=0n nn xb 与∑∞=0n n nx c相乘,并令乘积中各项系数分别等于级数∑∞=0n n nx α中同次幂的系数,即得: a 0=b 0c 0,a 1=b 1c 0+b 0c 1,a 2=b 2c 0+b 1c 1+b 0c 2,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯由这些方程就可以顺序地求出c 0,c 1,c 2,…c n ,….相除后所得幂级数∑∞=0n n nx c的收敛区间可能比原来两级数收敛区间小.2. 幂级数的和函数性质: 性质1:设幂级数∑∞=0n n nx α的收敛半径为R(R>0),则其和函数s(x)在区间(-R,R)内连续；如果幂级数在x=R(或x=-R)也收敛,则和函数s(x)在x=R 处左连续（或在x=-R 处有连续）. 性质2:设幂级数∑∞=0n n nx α的和函数s(x)在收敛区间(-R,R)内是可导的,且有逐项求导公式:10()()()nnn n n n n n n S x a x a x na x ∞∞∞-==='''===∑∑∑其中|x|<R, 逐项求导后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 性质3:设幂级数∑∞=0n n nx α的和函数s(x)在收敛区间 (-R,R)内是可积的,且有逐项积分公式:其中|x|<R,逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 例8 求幂级数n x n n n ∑∞=--01)1(的和函数及数项级数n n n 1)1(01∑∞=--的和. 解 由例2 （1）的结果知, 幂级数 的收敛域为 , 设其和函数为 , 即+-++-+-=-nx x x x x x s nn 1432)1(432)(，)1,1(-∈x 则由逐项可导性, 得+-+-+-='--112)1(1)(n n x x x x sxx +=--=11)(11两边积分, 即得幂级数得和函数为⎰+=+=xx dx xx s 0)1ln(11)(再令和函数中的 , 可得到数项级数 的和为 . 例9 求幂级数 的收敛区间及和函数. 解 （1）由 , 得到收敛半径 .当 时, 级数为 , 一般项不趋于０, 因此它发散； 当 时, 级数为 , 一般项不趋于０, 它也发散； 所以幂级数 的收敛区间为 . （2）用传统方法求和函数 设和函数为:两边由０到 积分, 得错误!未找到引用源。

s( x ) ln( 3 x ) ln 3,
x [3,3).
例 2 求 nx
n 1

n 1
的收敛域与和函数, 并求

n
n 1
n 1 2
.
解
an1 n1 (1) lim lim 1, R 1. n an n n
当x 1时, 原幂级数成为 n, 发散;
n( n 1) 例 4 求 的和. n 2 n 1

方法: 通过恒等变形或遂项求导或遂项求积把原级 数化为可求和的级数(等比级数).
x x2 x3 xn 例1 求 的和函数. 2 3 n 1 3 2 3 3 3 n 3 an1 n3 n 1 解 lim lim , R 3. n 1 n an n ( n 1) 3 3 1 当x 3时, 原幂级数成为 , 发散; n 1 n ( 1) n 当x 3时, 原幂级数成为 , 收敛. n1 n 收敛域为[3, 3).
1 1 1 1 1 例4 讨论级数 1 的敛散性 . 3 4 5 6 2 如果收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛 .
2. 求幂级数的收敛半径与收敛域
3. 求幂级数的和函数 4. 求数项级数的和
例1 判断级数敛散性 :
n 1( n



n
n
1 n
1 n ) n
;
ln( n 2) 例2 判断级数敛散性 : (a 0). 1 n 1 ( a ) n n
( 1)n 例3 判断级数 是否收敛？如果收敛， n 1n ln n 是条件收敛还是绝对收敛？
( 1)n 是交错 级数, 由莱布尼茨定理： n1 n ln n 1 1 lim lim n 0, ln n n n ln n n 1 n

确定的有限常数，从而，无穷多个数相加在一定条件下是有
意义的.
二、 常数项级数的概念
定义1 对于无穷数列u1，u2，…，un，… 把它的各项依 次累加的表示式
u1+u2+u3+…+un+…
(1)
称为无穷级数，简称为级数，记为
un
.
其中u1称为级数的
n 1
第1项(或首项)，u2称为级数的第2项， …，un称为级数第n项，
lim
n1
un
0
，则可判定级数
u
n
n 1
一定发散.
例4 判定级数
3n
n1 5n 4
的敛散性.
解
级数的一般项
un
3n 5n
4
.
因为
lim
n
u
n
lim
n
3n 5n 4
3 5
0
所以由级数收敛的必要条件知，该级数发散.
10.2 常数项级数的审敛法
一、 正项级数的审敛法
每一项都是非负的级数称为正项级数，即级数
un un 0, n 1,2,
为正项级数.
n1
1. 比较审敛法
设 un和 vn 都是正项级数，且un≤vn(n=1，2，…)，
n1
n1
则
(1) 若级数 vn
n 1
(2) 若级数
un
n 1
收敛， 则级数 un
n 1
发散， 则级数
vn
n 1
收敛； 发散.
比较审敛法还有另一种形式(比较审敛法的极限形式).
定义2
对于级数
un
的部分和数列{Sn}， 若n→∞时有

(1) 当 1 1, 1 x 1, 1 x
即 x 0或x 2时, 原级数绝对收敛，所以收敛;
(2) 当 1 1, 1 x 1, 1 x
即 2 x 0时, 原级数发散.
(3) 当| 1 x | 1, x 0或x 2,
当 x 0时, 级数 (1)n收敛； n1 n
x
),
n1
⒊ un ( x)至少在一点x0处收敛,
n1
则 un ( x)在[a,b]上一致收敛，其和S'( x) C[a,b],
n1
且S'( x) g( x), 即有：
'
un
(
x)
un' (x)
n1
n1
逐项可导
典型例题
例1：求
n1
n x n nn x
收敛域
n xn
解：lim nn x
n
1
lim
n
1
x n
n
ex
nx
x 1
n x
n
收敛
n n1
n x
x 1,
n x n 发散
nnx
n1
例 判断 xn 1 x x2
1.
n0
和发散点集。
xn 的收敛点集
解：当 x 1时, 级数收敛; x 1时,级数发散.
收敛点集: (1,1);发散点集: (, 1] [1, ).
fn ( x), n 1，2, ...在I上连续，且{ fn( x)}在I上一致收敛 于f ( x),则f ( x)在I上连续.
定理4.2(函数项级数的和函数的连续性) 设级数
un ( x)在I上一致收敛于S( x), 且若un ( x) CI , 则