幂级数习题课.docx

考纲要求：①了解彖函数的概念.a 1 1② 结合函y = x, y = x2,y = x3,y = — ,y = x2的图像，了解它们的变化情况.x教材复习1.形如的函数叫做幕函数，其中是自变量，是常数，如MB MM MM MM MM MM MM MM •MM MM MM ■y = x x, y = x?,y =，,y = 2",y = A，y = 2,其中是離函数的有_________________________ ・2函数y = x9y = x^3 y = x1y =y = x'1图像L r r r L0 0定义域值域奇偶性单调性定点.同一坐标系中五种幕函数的图像（右下图）:4.幕函数的特点：①幕函数的图像一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性；②幕函数的图像最多只能出现在两个象限内；® 如果幕函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点.④仅的正负：G〉0时，图像过（0,0）和（1,1）,在第一象限的图像上升；&<0时，图像不过原点，盘第一象限的图像下降；⑤曲线在第一象限的凹凸性：Q>1时，曲线下凹；0<a< 1时，曲线上凸；a<0时，曲线下凹.5.在比较幕值大小时，必须结合幕值的特点，选择适当的函数，借助单调性进行比较.典例今析:题型一：幕函数的概念及解析式问軀7，⑴下列函数是幕函数的序号是___________® y = 2X;②）'=2才；③ y =（兀+ 2『；④ y = ;⑤ y =/ ］、I /n"（2）已知離函数y = /（x）的图像经过点4丄，则f⑵=A.- B.4C.与 D.迈I 2 丿 4 2题型二：幕函数图像与解析式的对应问龜三，（1）如图给出4个幕函数的图像，则图像与函数大致对应的是D. c <a<b（4）幕函数），=#宀2心（加wz）的图像如图所示，则加的值是A. -1 < /?? < 3B. 0C. 1D. 2（5）若幕函数y =（加—3加+ 3）兀宀”一2的图像不经过原点,求实数加的值.（6）当兀w（l,+oc）时，函数y = x"的图象恒在直线y = x的下方，则°的取值范围是A. 0 <（2 < 1B. a <0C. a <\D. a > 1题型三：幕函数的性质及应用问M 3.（1）下列说法正确的是A.幕函数一定是奇函数或偶函数任意两个舉函数的图像都有两个以上交点；C.如果两个簇函数的图像有三个公共点，那么这两个幕函数相同D图像不经过（-1,1）的幕函数一定不是偶函数（2）已知舉函数/（x）的图象过点（Q2）,舉函数g（兀）的图象过点I 2,-求它们的解析式，并比较它们的大小.问軀乳(1)幕函数的图象过A (3,V3),则它的单调增区间是A. [l,+oo)B. [0,+co)C. (-oo,+oo)D. (-oo,0)B. a> h> c C ・ c> a> h D.h> c> a(3)已知幕函数f(x) = x ,,,2'2,n -3 (m w N*)的图像关于y 轴对称，且在(0,+x)是减函数, 求满足(a + 1)一亍＜(3-2^p 的Q 的取值范围.‘35"2,b =则a.b.c 的大小关系是A. a> c> h(2)设裸后作如1. （ 2013黄冈中学月考）右图为幕函数y 二兀"在第一象限 的图像，则C ］、c 2 > C3、C4的大小为 ____________A. m = -\B. m — 3C.加=—1 或加=2D. m 1 + V34•设a = 0.2°3, b = O.303 , c = 0.3°\ 则 a,b y c 的大小关系是B. a <b <cC. a <c <bD.b <a <c2.幕函数y = （m 2-2m-2）严心当x w （0, +oo ）时为减函数,则实数m 的值为1 <1b<1a3•设一v<<1, 2 迈B. a a <b a <a hC.a h <a a <b aD. a h <h a <a aA. a> b> c 则下列不等式成立的是A. a a< a < b a丄_丄5. （2012杭州模拟）若（a + lp ＜（3-2ap,求a 的取值范围.走向魚老:1. （07广东）若函数/（x ） = x 3 （x G /?）,则函数y = /（—兀）在其定义域上是A.单调递减的偶函数B.单调递减的奇函数C.单调递增的偶函数 D 单调递增的奇函数2. （ 2012陕西文）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 . 14. y = x + lB. y = -x^C. y = —x1 13 （ 2012P 东文）下列函数为偶函数的是A. y = sin xB.C. y = e xD. y = In \lx 2 +1D ・ y = x\x\A.① y = 0, ®y = x2t③y = x2r④ y =iB.① y = x3, ®y = x2r③y = x2t④y = x~}IC.® y = x2,② y = F, ®y = x2 ,④y = x~li iD.® y = X3 ,② y = 2, (3)y = x2 ,④y = x~l(2)函数y = x a,y = x b,y = x c的图像如右上图所示, 则实数a,b,c的大小是A. c <b <aB. a <b <cC. b <c <aI（3）（2013J1海春）函数f（x） = x~^的大致图像是。

1 3n
1 2n
]xn
(2 x2) 。
四、解答题
1.求幂级数 xn1 的收敛域与和函数。 n1 n2n
解：∵
lim n
n
an
lim n
n
1 n2n
11 1 lim
n 2 n n 2
，
∴R2 ，收敛区间为（-2，2），
当 x 2 时，得 (1)n1 1 ，收敛的；
n1
2n
当 x2 时，得
]t
n
(
3 2
t
3 2
),
f
(
x
)
[
n0
1 2n1
(1)n
2n 3n1
](
x
1)n
(1 x 2
5 ).
2
3.
将函数
f
(
x
)
1 x2
展开成( x1) 的幂级数.
解:
∵
f
(
x
)
1 x2
(
1 x
)
，
而 1
1
(1)n( x 1)n , (0 x 2).
x 1 ( x 1) n0
∴
f (x)
0 n0
2n1
0 n0
2n1
(1)n
x 2n2 (1 x1)
n0(2n1))2n 2)
解法 2： arctan x (1)n1 x 2n1 ( 1 x1),
n1
2n1
ln
1 x 2
1ln(1 x 2 ) 1
(1)n1
x 2n ( 1 x1),
2
2 n1
n
∴ f ( x) xarctanxln 1 x2

题目部分，(卷面共有100 题,349.0分,各大题标有题量和总分)一、选择(10小题,共22.0 分)(2 分)[1](2 分)[2] 函数项级数的收敛域是(A)(B)(C)(D)答( )(2 分)[3] 设级数在处收敛，则此级数在处(A) 发散；(B)绝对收敛；(C)条件收敛；(D)不能确定敛散性。

答：( )(3 分)[4]设级数在处是收敛的，则此级数在处(A)发散；(B)绝对收敛；(C)条件收敛；(D)不能确定敛散性。

答：((2 分)[5] 设级数的收敛半径是1，则级数在点(A)发散；(B)条件收敛；(C)绝对收敛；(D)不能确定敛散性。

答：( )(2 分)[6]如果,则幂级数(A)当时,收敛；(B)当时,收敛；(C)当时,发散；(D)当时,发散；答( )(2分)[7]若幕级数的收敛半径为R,那么(A),(B),(C),(D)不一定存在.答( )(3 分)[8] 若幂级数在处收敛，在处发散，则该级数(A)在处发散；(B)在处收敛；(C)收敛区间为(D)当时发散。

( )(2分)[9]如果在点的某个邻域内任意阶可导，那么幕级数的和函数(A)必是，(B)不一定是，(C)不是，(D)可能处处不存在。

(2分)[10]如果能展开成的幕级数，那么该幕级数(A)是的麦克劳林级数；(B)不一定是的麦克劳林级数；(C)不是的麦克劳林级数；(D)是在点处的泰勒级数。

答()。

二、填空(54小题，共166.0分)(2分)[1]函数项级数的收敛域是 ____________________（2分）［2］讨论x值的取值范围，使当_______________ 时收敛当 ________________ 时发散（3分）［3］设级数的部分和函数，级数的通项。

（2分）［4］级数的和是 ____________________________ 。

（2分）［5］级数在上的和函数是。

（3分）［6］设不是负整数，对的值讨论级数的收敛性得当_______________ 时，绝对收敛，当____________ 时，条件收敛。

③再进行上述运算的逆运算得 s( x)
8
２．幂级数展开式
(1) 定义
(2) 充要条件
(3) 唯一性
(４) 展开方法
a.直接法(泰勒级数法 )
步Hale Waihona Puke :(1) 求an ?f (n)( x0 ); n!
(2) 讨论
lim
n? ?
Rn
?
0或
f
(n) ( x)
?
M,
则级数在收敛区间内收 敛于 f ( x).
9
再研究 |? (x)|? R 的点的敛散性
②用公式
R ? lim an a n? ? n?1
求收敛半径
an,an?1 应是 xn,xn?1 的系数， 否则
可作代换或直接利用检比法或检根法来确定 ③求出收敛半径后 必须用常数项级数 审敛法判定端点 x ? ? R 处的敛散性
5
(3)幂级数的运算 a.代数运算性质:
R ? min ?R1 , R2?
b.和函数的分析运算性质: 和函数连续，逐项微分，逐项积分 收敛半径不变
6
⑷幂级数求和函数
利用几个已知的展开式，如 e x ,sin
x, 1 ,(1 ? 1? x
x )?
通过某些简单运算而求得
ⅰ．化成两个幂级数的和，差，积，商
ⅱ．作变量代换 y??(x)
ⅲ．求导或积分
?
? Abel 定理 对 an xn 总存在正数Ｒ使得
n?1
当 x ? R时,幂级数绝对收敛;
当 x ? R 时,幂级数发散;
当 x ? R与x ? ? R时,幂级数可能收敛也可能发散. 3
Ｒ－－收敛半径（－Ｒ，Ｒ）－－收敛区间
设 lim an?1 ? ? a n? ? n

无穷级数 习题课二
1 内容及要求 (1) 熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法
(2) 会利用幂级数的运算法则求一些幂级数的和函数
(3) 熟悉 1 、e x、sin x、cos x、ln(1 x)、(1 x)m 1 x
麦克劳林展开式，并会利用间接展开法将一些函数 展开成幂级数.
2 典型例题
例1 填空
4
x [1,1)且x 0 x0 x 1
(5)
2n 1 x2n ,
并求
(2n 1)2n的和.
n0 n!
n0
n!
解(5)：易知所给幂级数的收敛半径R=+∞，设其 和函数为s (x)，则
x
s( x)dx
x 2n1
x
( x 2 )n xe x2
0
n0 n!
n0 n!
s( x) ( xe x2 ) (1 2x 2 )e x2
设s(x)
n1
2n 1 2n
x 2n2
n1
1 2n
( x 2n1 )
1 (
2n
n1
x 2n1 )
x
(x 2
x3 22
)
( 1
2 x2
)
2 x2 (2 x2 )2
,
x (
2,
2 ).
2
(3) n( x 1)n;
n1
解(3)： 易知幂级数的收敛域为（0，2）
令x-1=t , n( x 1)n nt n t nt n1
2n 1 x2n2;
2n
n1
xn
(3)
;
n1 n(n 2)
(4)
n1
n( x
1)n;
(5)
n0

第十四章 幂级数（2021.1）一、单选题1、21∞=∑nn x n 的收敛域为( ). AA 、 (-1,1)B 、(-1,1]C 、 [-1,1)D 、[-1,1]2、级数21∞=∑nn x n的收敛域为( ). DA 、 (-1,1)B 、(-1,1]C 、 [-1,1)D 、[-1,1]3、级数1∞=∑nn x n的收敛域为( ). CA 、 (-1,1)B 、(-1,1]C 、 [-1,1)D 、[-1,1] 4、∑∞=-1)1(1n n x n的收敛域为（ ）. C A 、 (-1，1) B 、 (0，2] C 、 [0，2） D 、 [-1，1）5、nx n)1(+∑的收敛域为( ). CA. )1,1[-B. ]0,2[-C. )0,2[-D. )2,0[6、若nn n a x∞=∑在00≠x 收敛，则在区间00(,)-x x 内nn n a x∞=∑ （ ）． AA ．绝对收敛B ．条件收敛C ．发散D ．不能确定 7、若()01nn n a x ∞=-∑在3x =处收敛，在1x =-处发散，则该级数的收敛半径R （ ）． A A ．等于2 B ．小于2 C ．大于2 D ．不能确定 8、已知1∞=∑nn n a x在2x =处收敛, 则在32x =-处此级数（ ）. A A 、绝对收敛 B 、条件收敛 C 、发散 D 、不能确定 9、若nn x a )1(+∑在3-=x 处收敛，则该级数在0=x 处（ ）. A A 、绝对收敛 B 、条件收敛 C 、发散 D 、不能确定 10、若nn x a )1(-∑在1-=x 处收敛，则该级数在2=x 处（ ）. BA. 条件收敛B. 绝对收敛C. 发散D. 不能确定 11、若幂级数nn nx a)1(0-∑∞=在1-=x 处条件收敛，则级数∑∞=0n n a （ ）． BA ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ． 不能确定12、级数211(1)(1)nn n n x ∞=+-∑的收敛半径R =（ ）. CA 、1B 、eC 、1e -D 、2e -13、幂级数212-∑n n x 的收敛半径是 ( ). BA.21B. 2C. 21D. 214、22∑n nx的收敛半径是 ( ). AA.21B. 2C. 21D. 215、若n nn a x∞=∑收敛半径为1R ，nn n b x∞=∑ 的收敛半径为2R （1R <2R ）则()0nn nn ab x ∞=+∑的收敛半径为（ ）. DA ．1R ＋2RB ．12R R +C ．2RD ．1R16、级数)32(n nnnx x +∑的收敛半径是 ( ) AA.21 B. 31C. 2D. 3 17、)35(n nn n x x +∑的收敛半径是( ) DA.51 B. 31C. 5D. 3 18、幂级数n n x n)1211(1+++∑∞= 的收敛域是（ ）． A A ．()1,1- B ．(]1,1- C ．[)1,1- D ．[]1,1-19、幂级数nn n x ∑∞=--21)2(，（2<x ）的和函数为 ( ). AA. x x 2122+-B. x x 2122+C. x x 21+D. xx21-20、幂级数∑∞=--112)1(n nnn x ，（2<x ）的和函数为（ ）. C A.x -22 B. x +22 C. x x +2 D. xx -2 21、幂级数∑∞=02n n nx ，（2<x ）的和函数为 （ ）. AA.x-22B. x 211-C. x +22D. x 211+22、幂级数1(1)2nnn n x ∞=-∑，（2<x ）的和函数为（ ）. CA ．2x x + B. x -22 C. 2x x-+ D. x x -223、幂级数∑∞=-02)1(n n nnx ，（2<x ）的和函数为（ ）. CA.x 211+ B. x 211- C. x +22 D. x -2224、下述展开式正确的是( ) . CA 、212nx x x e x n-=+++++x R ∈B 、21(1)2n xn x x e x n-=-+-+-+ x R ∈C 、21(1)2!!nx nx x e x n -=-+-+-+x R ∈D 、212!!n xx x ex n -=+++++ x R ∈25、函数2()x f x e -=展开成x 的幂级数为( ). DA 、2312!3!x x x ++++ x R ∈B 、2312!3!x x x -+-+ x R ∈C 、46212!3!x x x ++++ x R ∈D 、46212!3!x x x -+-+ x R ∈26、函数()2x f x xe =展成x 的幂级数是（ ）． AA ．210!n n x n +∞=∑B ．10!n n x n +∞=∑C ．20!nn x n ∞=∑ D ．()21021!n n x n +∞=+∑ 27、函数()()ln 1f x x =+展成x 的幂级数是（ ）． BA ．()()1011!+∞=-+∑n nn x n ； (1,1)∈-x B ．()1011n n n xn +∞=-+∑； (1,1)∈-xC ．()11∞=-∑nn xn ； (1,1)∈-x D ．1∞=∑n n x n ． (1,1)∈-x28、将xx f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数为（ ）． B A ．03(1)()(06)3nnn x x ∞=--<<∑ B ．013(1)()(06)33n nn x x ∞=--<<∑C ．(1)(3)(24)nnn x x ∞=--<<∑ D ．01(1)(3) (24)3n n n x x ∞=--<<∑29、设()()20(0,1)2!n nn a x f x a n ∞==≠-∑，则()f x ''＝（ ）. AA ．()af xB ．()2a f x C ．()1f x aD ．()f x30、幂级数1nn x n∞=∑在1x <的和函数()S x ＝（ ）. BA ．()ln 1x -B ．ln(1)x --C ．11x -D ．11x -二 填空题1、设幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛区间()3,3-，则幂级数()∑∞=--011n n n x na 的收敛区间为_________.答案：()4,2-. 2、 若∑nnxa 的收敛半径为R ，则nnx a )2(+∑的收敛区间为_________.答案：R R +---2,2(）3、 若∑nnxa 的收敛半径为R ，则nnx a )2(-∑的收敛区间为_________.答案：)2,2(R R +-4、 幂级数2nx n∑的收敛域是_________.答案： ]1,1[- 5、 幂级数n nx n ∑的收敛域是_________.答案： )1,1(-6、 幂级数nnx ∑的收敛域是_________.答案：)1,1(-7、 幂级数nx n∑的收敛域是 _________.答案：)1,1[-8、 幂级数nx n)1(+∑的收敛域为_________.答案：[2,0)-9、 幂级数()∑∞=-151n nn x 的收敛域是_________.答案： (4,6)-10、 幂级数()n n x n 2112-∑∞=的收敛域是_________. 答案：[1,3]11、级数()∑∞=--111n n n x n的收敛域是_________.答案：(1,1]-12、幂级数11nn n x ∞=-的收敛域是_________.答案：(3,3]-13、幂级数∑∞=++02)1()1(n nnn x 收敛域是_________. 答案：[3,1)-14、幂级数2021nn n x ∞=+∑的收敛域是_________.答案：(15、幂级数的()nn nx n ∑∞=-+113收敛半径为=R _________.答案：1.16、幂级数∑∞=-+0)3(2n nn nnx 的收敛半径为=R _________. 答案：3=R .17、幂级数023n n nn x n ∞=+∑的收敛域是_________. 答案：11[,)33-18、幂级数21(2)!(!)nn n x n ∞=∑的收敛半径为=R _________. 答案：14=R 19、幂级数∑∞=+152n n nx 的收敛半径是=R _________.答案：2=R20、若幂级数()1∞=-∑nnn a x 的收敛半径0R =，则此幂级数只在_________收敛．答案：1=x21、幂级数∑∞=0n nnx a与11∞-=∑n n n na x 的收敛半径分别为1r 与2r ，则1r ___ 2r ．答案：等于22、幂级数∑∞=0n nn x a 与101+∞=+∑n n n a x n 的收敛半径分别为1r 与2r ，则1r ____ 2r ．答案：等于 23、幂级数()01∞=-∑nn n a x 在3=x 处条件收敛，则该级数的收敛半径R ＝_________.答案：2=R 24、幂级数∑∞=-02)1(n n nx a在处2=x 条件收敛，则其收敛域为_________.答案：[0,2]25、若1lim 3nn n a a →∞+=，则幂级数210n n n a x ∞+=∑的收敛区间是_________.答案：(26、若1lim 3+→∞=n n na a ，则幂级数20∞=∑n n n a x 的收敛区间是_________.答案：( 27、函数x2的麦克劳林展开式为=x2__________________________________. 答案：()∑∞=0!2ln n n nx n ， (,)∈-∞+∞x28、函数)(21x xe e -+的麦克劳林展开式为__________________________________. 答案： +++++)!2(!4!21242n x x x n， (,)∈-∞+∞x 29、函数)(21x xe e --的麦克劳林展开式为__________________________________. 答案：∑∞=--112)!12(k k k x ， (,)∈-∞+∞x30、函数2x e的麦克劳林展开式为__________________________________.答案：∑+∞=02!n nn x . ， (,)∈-∞+∞x31、函数xe2的幂级数展开式为__________________________________.答案：nn n xx n e∑+∞==02!2 ， (,)∈-∞+∞x32、函数x 2sin 的幂级数展开式为__________________________________.答案：12012)!12(2)1(2sin ++∞=+∑+-=n n n nx n x ， (,)∈-∞+∞x33、函数)21ln(x +的幂级数展开式__________________________________.答案：n n n n x n x 2)1()21ln(11∑+∞=--=+ ， 12<x 34、函数)2ln(x +在)2,2-（内的麦克劳林展开式为________________________________.答案： nnn n x 2)1(2ln 1⋅-+∑-， 2<x 35、函数21xx-在)1,1(-内的麦克劳林展开式为__________________________________. 答案：∑∞=+012n n x， 1<x36、函数xx +13的麦克劳林展开式为__________________________________.答案：+-++-=++-21433)1(1n n x x x xx ， 1<x 37、函数()21-=x x f 在0=x 的幂级数展开式为__________________________________. 答案：∑∞=+-012n n nx ， 2<x38、将xx f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数为__________________________________. 答案：．013(1)(),0633∞=--<<∑n nn x x39、把()1f x a bx=+展成x 的幂级数（其中a b ⋅≠0）时，其收敛半径R ＝___________. 答案：ab解析：()011111∞=⎛⎫==⋅=- ⎪+⎝⎭+∑nn bx f x bx a bx a a a a当1,-<bx a 即<a x b 时收敛，当1,->bx a 即>a x b时发散 从而收敛半径为ab40、幂级数nn x n )1211(1+++∑∞= 的收敛域是___________.答案：(1,1)-三 计算题1、函数21()32f x x x =-+ 展开成x 的幂级数,并确定收敛域。

幂级数及泰勒展开一、求下列幂级数的收敛区间1. 12(21)nn x n n ∞=-∑解：12(21)limlim 12(1)(21)n n n n a n n a n n +→∞→∞-==++1R ⇒=当时，因 ， 所以收敛，1x =21112(21)2(1)n n n n n n =<-+-112(21)n n n ∞=-∑当时， 绝对收敛，1x =-1(1)2(21)nn n n ∞=--∑ 收敛区间为。

⇒[1,1]-2.n ∞=解：11lim 2n n nna a +→∞==2R ⇒= 当时，为收敛的交错级数，2x=1n ∞=当时， 2x =-11n n ∞∞===- 收敛区间为。

⇒(2,2]-3. 1(1)32n n n n n n x x ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑解：1111(1)32limlim 3(1)32n n n n nn n n nn a a ++++→∞→∞-+==-+， 当时，通项不趋于零， 收敛区间为。

13R ⇒=13x =±⇒11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭4. 1(23)(1)21nnn x n ∞=---∑解：121limlim 121n n n na n a n +→∞→∞-==+1R ⇒=故当，即时级数绝对收敛。

231x -<12x <<当时， 发散，1x =11(1)(1)111, 21212-12n n n n n n n n ∞∞==--⎛⎫=> ⎪--⎝⎭∑∑当时， 为收敛的交错级数，2x =1(1)21nn n ∞=--∑ 收敛区间为。

⇒(1,2]5.1ln(1)1)1n n n x n ∞=+-+∑解：1ln(2)(1)limlim 1(2)ln(1)n n n n a n n a n n +→∞→∞++==++1R ⇒=故当，即时级数绝对收敛。

11x -<02x <<当时，因为0x =，1ln(1)ln lim lim lim 011n x x n x x n x →∞→+∞→+∞+===+2ln 1ln ln(2)ln(1)()()0() 3 21x x n n f x f x x e n x x n n -++'=⇒=<>⇒≥<++时，所以 收敛，1(1)ln(1)1n n n n ∞=-++∑当时，因为当时 所以发散， 2x =2n ≥ln(1)11112n n n n +>>++1ln(1)1n n n ∞=++∑ 收敛区间为。

28
其中
称为傅里叶级数. 称为傅里叶级数.
(3)
狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理) 狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理) (Dirichlet)充分条件
∑=u ( x) + u ( x) ++ u ( x) +
n=1 1 2 n
∞
上的(函数项)无穷级数. 称为定义在区间 I 上的(函数项)无穷级数.
(2)
收敛点与收敛域
收敛, ∑u ( x ) 收敛,
n=1 n 0
13
如果 x0 ∈ I , 数项级数
∞
则称 x0 为级数
收敛点, ∑u ( x) 的收敛点,
n=1 n
∞
否则称为发散点. 否则称为发散点. 发散点
的所有收敛点的全体称为收敛域 收敛域, 函数项级数 ∑un ( x)的所有收敛点的全体称为收敛域,
n=1 ∞
所有发散点的全体称为发散域. 所有发散点的全体称为发散域. 发散域
(3)
和函数
在收敛域上, 在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 s(x),
∞
∑ un
∞
∞
收敛, 为绝对收敛; 收敛, 则称 ∑un 为绝对收敛;
发散, 收敛, 为条件收敛. 若 ∑ un 发散,而 ∑un 收敛, 则称 ∑un 为条件收敛.
n=1 n=1 n=1
12
5、函数项级数
(1) 定义
设u1( x), u2 ( x),, un ( x),是定义在 I R 上的 函数, 函数,则
1 (1) 则当 ρ ≠ 0 时, R = ; ρ (2) 当 ρ = 0 时, R = +∞;
(3) 当 ρ = +∞ 时, R = 0.

e 11 1 1 2! 3!
1 8!
2.71828
例2 利用sin x x x3 计算sin 90的近似值, 3!
并估计误差.
解 sin 90 sin 1 ( )3 ,
20 20 6 20
r2
1 ( )5 5! 20
1 (0.2)5 120
1 300000
105 ,
sin 90 0.157079 0.000646 0.156433
一、主要内容
函数项级数 幂级数
收敛半径R 收敛域
Taylor级数 Rn( x) 0
Taylor展开式
１．幂级数
(1) 定义
形如 an ( x x0 )n 的级数称为幂级数.
n0
当x0 0时,
an xn 其中an 为幂级数系数.
n0
(2) 收敛性
Abel 定理 对 an xn 总存在正数Ｒ使得
则 un , vn 绝对收敛,称复数项级数绝对收敛.
n1
n1
三个基本展开式
ex 1 x x2 xn ,
2!
n!
( x )
sin x x x3 x5 (1)n1 x2n1 , ( x )
3! 5!
(2n 1)!
cos x 1 x2 x4 (1)n x2n , ( x )
x
3! 5! 7!
1 sin x dx 1 1 1 1
0x 第四项
1
3 3! 1
5 5! 7 7! 104 ,
收敛的交错级数
7 7! 3000
取前三项作为积分的近似值,得
1 sin x dx 1 1 1 0.9461
0x
3 3! 5 5!
三、Euler公式

试题库分类考题解答三. 幂级数1. 收敛半径、收敛域的计算 (1). 1，[1,1]-．(2). (3,5)-．(3). Ａ． (4). Ａ．(5).①解：133111lim 33(1)3n n n n n +→∞=+，3n=13n n x n∞∴∑的收敛半径为3R =， 又当3x =±时，33n=1n=1(3)13n n n n∞∞±=<∞∑∑故3n=13nn x n∞∑的收敛域为[3,3]-． ②()230, 1lim lim , 1n nn n n n n x n nx x →∞→∞<⎧==⎨∞≥⎩， 23n=1n n n x ∞∴∑的收敛半径为1，收敛域为(1,1)-．(6). R =+∞(7).解：133lim31n n n n n +→∞=+，收敛半径为13R =，收敛区间：123x -<，即5733x << 将53x =代入原幂级数得1(1)n n n ∞=-∑收敛，将73x =代入原幂级数得11n n∞=∑发散．所以，收敛域为57,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭． (8).证明：①()()f x f x -=-，()n n n n a x a x ∴-=-∑∑，故：1(1)0nnn a x ⎡⎤+-=⎣⎦∑，所以：偶次项为0； ②()()f x f x -=，()n n n n a x a x ∴-=∑∑，故：1(1)0n nn a x ⎡⎤--=⎣⎦∑，所以：奇次项为0；(9).(。

(10).解：收敛域为[1,1)-，和函数1()ln1S x x=-。

(11). 解：①212111lim2(1)22n nn n n +→∞=+⋅⋅，2R =，当2x =±时，2(2)2n n n ±⋅∑收敛； 所以，收敛域为[2,2]-。

解：②212121(5)(5)(5)lim142(1)424n n n nn x x x n n +-+→∞+++=<+⋅⋅，所以，2(5)4x +<， 收敛半径2R =，所以，(7,3)x ∈--；当7,3x x =-=-时：原级数发散，故21(5)24n nx n -+⋅∑收敛域为。

幂级数 习题课
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左

s( x ) ln( 3 x ) ln 3,
x [3,3).
例 2 求 nx
n 1

n 1
的收敛域与和函数, 并求

n
n 1
n 1 2
.
解
an1 n1 (1) lim lim 1, R 1. n an n n
当x 1时, 原幂级数成为 n, 发散;
n( n 1) 例 4 求 的和. n 2 n 1

方法: 通过恒等变形或遂项求导或遂项求积把原级 数化为可求和的级数(等比级数).
x x2 x3 xn 例1 求 的和函数. 2 3 n 1 3 2 3 3 3 n 3 an1 n3 n 1 解 lim lim , R 3. n 1 n an n ( n 1) 3 3 1 当x 3时, 原幂级数成为 , 发散; n 1 n ( 1) n 当x 3时, 原幂级数成为 , 收敛. n1 n 收敛域为[3, 3).
1 1 1 1 1 例4 讨论级数 1 的敛散性 . 3 4 5 6 2 如果收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛 .
2. 求幂级数的收敛半径与收敛域
3. 求幂级数的和函数 4. 求数项级数的和
例1 判断级数敛散性 :
n 1( n



n
n
1 n
1 n ) n
;
ln( n 2) 例2 判断级数敛散性 : (a 0). 1 n 1 ( a ) n n
( 1)n 例3 判断级数 是否收敛？如果收敛， n 1n ln n 是条件收敛还是绝对收敛？
( 1)n 是交错 级数, 由莱布尼茨定理： n1 n ln n 1 1 lim lim n 0, ln n n n ln n n 1 n