第七讲(复习)差倍,和倍,和差,年龄,归一,归总

小学数学归一归总问题总结
本文介绍了小学数学中的归一和归总问题，以及处理方法——抓不变量（归一、归总、倍比）。

接着给出了几个例题，分别采用归一法和倍比法进行解答。

其中，第一个例题是求
30个包子的价格，采用归一法和倍比法都可以得到结果为90元；第二个例题是求30元能买几个包子，同样可以采用归一
法和倍比法得到结果为10个；第三个例题是求每天看6页时，看完一本书需要多少天，采用归总法和倍比法都可以得到结果为15天；最后一个例题是求平均每天看多少页可以在10天内看完一本书，同样可以采用归总法和倍比法得到结果为9页。

通过这些例题，可以更好地理解和掌握归一归总问题的解法。

和差倍问题一、本讲内容、和差问题是已知大小两个数的和与这两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题．为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式．有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”．知道两个数的和，以及它们的差，要求这两个数，解决和差问题需要我们画线段图来分析，方法如下：方法一： (和差) 大数和大数小数方法二： (和差) 小数和小数大数2、和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题．解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答．和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数．和倍问题的数量关系式是：和( 倍数) 小数小数倍数大数或和小数大数如果要求两个数的差，要先求份数：份数(倍数) 两数差．解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系．、差倍问题就是已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题．差倍问题的特点与和倍问题类似．解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差，一般情况下，在题目中不直接给出，需要经过调整和计算才能得到．解题思路：首先要在题目中找到倍量，然后画图确定解题方法．被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量．差倍问题的基本关系式：差( 倍数) 倍数(较小数)倍数几倍几倍数(较大数) 或较小数差较大数解决差倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系．二、例题精讲1. 例题暑期课结束时，小俊与小强的电子积分总共有分，小俊的积分比小强多分，小强的积分为分．哥哥和妹妹二人共有图书本，哥哥的图书数量比妹妹多本，妹妹有图书本．小灰灰和懒羊羊共有块糖，小灰灰给懒羊羊块后，两人就一样多了，问原来两人各有多少块糖？2. 巩固甲、乙两人共有存款元, 甲取出元, 乙存入元后, 两人的存款一样了求原来甲有存款元．小兰期来考试时语文和数学平均分是分，数学比语文多分，问小兰语文和数学分别多少分？3. 和倍问题两者和倍问题4. 例题艾迪和薇儿一共有块糖，艾迪糖的数量是薇儿的倍，那么艾迪有块.艾迪和薇儿有贺卡张，薇儿的卡片张数是艾迪的倍，薇儿艾迪各有多少张？5. 巩固图书馆购进《水浒传》和《三国演义》两种图书共本，已知《水浒传》比《三国演义》的倍还要少本，那么购进《三国演义》本，《水浒传》本．两只狗熊掰玉米，两只狗熊一共掰了个玉米，大狗熊掰的玉米数量是小狗熊的倍还多个，那么大狗熊一共掰了个玉米．三者的和倍问题6. 例题甲乙丙三数的和是，已知甲数是乙数倍，丙数是乙数的倍，乙数为．刘老师、连老师和杨老师一共张积分卡，其中刘老师的积分卡是杨老师的倍，连老师的积分卡是杨老师的倍，那么三位老师分别有多少张积分卡？7. 巩固果园里有桃树、梨树、苹果树共棵．桃树比梨树的倍多棵，苹果树比梨树少棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？甲、乙、丙三人共有张积分卡，甲比乙多张，丙是乙的两倍少张，则乙有张积分卡．8. 差倍问题明差问题9. 例题加加和减减比赛折千纸鹤，比赛结束后发现加加折的千纸鹤比减减多只，而且加加折的是减减折的千纸鹤的倍，请问减减的千纸鹤有只，加加有只．加加和减减比赛投篮，比赛结束后发现加加投中的比减减多个，而且加加投中的是减减的倍，请问减减投中个，加加投中个．10. 巩固学校买来一些白板笔，其中蓝笔比红笔少箱，红笔比蓝笔的倍还多箱，学校买来蓝笔箱．薇儿和妈妈一起包饺子．妈妈包的饺子比薇儿的倍多个，并且妈妈比薇儿多包了个，那么薇儿包了个饺子，妈妈包了个饺子．暗差问题11. 例题甲桶有油千克，乙桶有油千克，两桶油卖出同样多之后，甲桶油成为了乙桶油的倍，那么每桶油卖出了千克．12. 巩固甲桶的纯净水比乙桶多升，两桶中的水都被喝掉升后，甲桶的水量是乙桶的倍，原来乙桶中的纯净水有升．变差问题13. 例题两个仓库所存的粮食重量相等，如果从第一个仓库取出千克粮食放入第二仓库，那么第二仓库重量就是第一仓库的倍．问这两个仓库各有存量多少千克？纺织厂男女职工人数一样多，如果调走名男职工，又转入名女职工，此时女职工人数是男职工人数的倍，那么纺织厂原有男职工多少人？14. 巩固新家有大小两个书架，大书架上书的本数是小书架的倍，如果从大书架上取走本放到小书架上，那么两个书架上的书一样多，小书架上原来有本书，大书架上原来有本书．甲、乙俩人存款若干元，甲存款是乙存款的倍．如果甲取出元，乙存入元，甲、乙的存款正好相等．问甲、乙俩人原来各存款多少元？。

奥数--教学教案授课时间：年月日备课时间年月日年级五课程类别一对多课时学生姓名授课主题和倍、差倍、和差问题授课教师教学目标理解和掌握和倍、差倍、和差问题的解题思路，提高解决问题的能力教学重难点解题方法和解题思路教学方法讲练结合，引导学生主动思考，启发学生思维。

教学过程1、课程导入/错题讲解：回顾前面所学内容。

习题引入：工地上有沙子和水泥共360吨，沙子比水泥的4倍还多100吨，沙子和水泥各有多少吨？点拨教学过程2、知识点讲解和、差、倍组合的应用题（一）和、差、倍的结构（1）已知两个数的和与两个数的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题，我们把它叫着和倍问题。

（2）已知两个数的差与两个数的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题。

叫差倍问题解答和倍、差倍问题时，一般把最小的数看作“一倍”，先求出最小量，然后再分别求出其他各数。

（3）和差问题的结构特征已知大小两个数的和及这两个数的差，求这两个数各是多少的应用题。

解答和差问题的关键是：设法使两个（或若干个）大小不等的数变成两个（或若干个）相等的数。

（二）计算公式（1）和倍问题关系式小数 = 两数和÷（倍数 + 1）大数 = 两数和–小数小数 = 两数和–大数大数 = 小数×倍数小数 = 大数÷倍数(2) 差倍问题关系式小数 = 两数差÷（倍数-1）大数 =小数 + 相差数小数 = 大数–相差数大数 =小数×倍数小数 = 大数÷倍数（3）和差问题计算的数量关系式（和+差）÷2=大数（和－差）÷2=小数学习札记教学过程3、例题分析：学校有科技书和故事书共480本，科技书的本数是故事书的3倍。

两种书各有多少本？果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵，其中梨树的棵数是苹果树的3倍，桃树的棵数是苹果树的4倍。

求梨树、桃树和苹果树各有多少棵？有三个书橱共放了330本书，第二个书橱里的书是第一个的2倍，第三个书橱里的书是第二个的4倍。

小学数学思维讲练专题和差、和倍、差倍问题一、和差问题：已知两个数量的和与差，求这两个数量分别是多少的问题数量关系：大数=（和+差）÷2 小数=（和-差）÷2线段分析法：小数差和大数例1、四年级（1）班和（2）班共有学生98人，且（2）比（1）班多6人，（1）和（2）班有学生多少人？例2、老师将140颗糖分给了一班和二班，现在如果从一班拿12颗糖给二班，那么两个班分得的糖一样多，求原来你两班各分得多少颗糖？例3、学校三个运动队共有队员80人，已知田径队人数比足球队和篮球队人数的和还多8人，足球队人数又比篮球队人数多4人。

三个队各有多少人？例4、有甲、乙、丙三包大米，已知甲、乙两包共重32千克，乙、丙共重30千克，甲、丙共重22千克，求三包大米各重多少千克？练一练：1、已知长方形周长32厘米，长比宽多4厘米，求这个长方形的面积。

2、甲乙两车共装水果97筐，从甲车取下14筐到乙车后，甲车还是比乙车多3筐，甲、乙两车原来各装多少筐水果？3、两箱零件共102个。

从甲箱拿出24个放入乙箱后，甲箱还比乙箱多4个。

原来两箱各有多少个零件？4、两个班共有学生92人，如果从一班调2人到二班，则两班人数同样多。

两个班原来各有多少名同学？5、甲、乙两筐水果共重40千克。

从甲筐取6千克放到乙筐后，甲筐里的水果比乙筐还多2千克。

求两筐原有水果多少千克？6、红花、绿花和黄花共有78朵。

红花和绿花的总朵数比黄花多6朵，红花比绿花多6朵。

三种花各有多少朵？二、和倍问题：已知两个数量的和，以及大数是小数的几倍，求这两个数量分别是多少的问题数量关系：总和÷（几倍+1）=较小数总和-较小数=较大数线段分析法：较小数和较大数两个数相比，以被比的数为标准，这个被比的数称为“1倍数”（较小数），比的数里有几个这样的“1倍数”，就是“几倍数”（较大数），我们就说一个数是另一个数的几倍。

解决和倍问题要先确定总和相当于一倍数（较小的数）的多少倍，然后求出一倍数（较小的数），再算出其他各数。

第7讲归一与归总教学目标：1、归一问题是已知相关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化规律是相同的。

2、归一：求单一量归总：求总量教学重难点：解题关键是通过一组相关的量求出单一量，然后以单一量为标准，根据题目要求算出结果。

【典型例题】例1 先归一再归总小强买了2枝圆珠笔，共付了12元，现在要买这种圆珠笔3枝，问需要多少钱？练一练一只乌龟4分钟爬行32米，照这样计算，这只乌龟1小时可爬行多少米？比一比小双去外婆家，2小时走了8千米，照这样的速度，去外婆家还要走4 小时，他家离外婆家有多少千米？赛一赛某车工5小时加工75个零件，照这样计算，一天工作8小时可加工多少个零件？例2 先求剩下再归一一个服装加工厂承接了一批240套服装的加工任务，已经加工了4天，共加工了80套服装。

照这样计算，完成这批任务还要多少天？练一练一个粮食加工厂要磨面粉36吨，4小时磨了12吨。

照这样计算，磨完剩下的面粉还要多少小时？比一比修路队修一条长36千米的路，15天修了4500米，照这样的速度，修完这条路共需要修多少天？赛一赛一件工程2个人2天修了80米，照这样的速度，1人1天修了多少米？【家庭作业】1、小王去爷爷家，3小时走了9千米，照这样的速度，去爷爷家还要走5小时，他家离爷爷家有多少千米？2、小双学校，2小时走了6千米，照这样的速度，去学校还要走5小时，他家离学校有多少千米？3、修路队修一条长6000米的路，20天修了4000米，照这样的速度，修完剩下的路还需要修多少天？4、小牛看一本故事书，4小时看了100页。

照这样计算，小牛8小时能看多少页数书？5、小西和小东5天吃了20个苹果，小西和小东平均1人1天吃了多少个苹果？。

和差、和倍、差倍问题一、和差问题已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。

解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数的和(或两个小数的和)，然后再求另一个数。

解题规律：(和+差)÷2 = 大数大数-差=小数(和-差)÷2=小数和-小数= 大数例1.某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要临时从乙班调 46 人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少 12 人，求原来甲班和乙班各有多少人?分析：从乙班调 46 人到甲班，对于总数没有变化，现在把乙数转化成 2 个乙班，即 9 4 - 12 ，由此得到现在的乙班是( 9 4 - 12 )÷ 2=41 (人)，乙班在调出 46 人之前应该为 41+46=87 (人)，甲班为 9 4 - 87=7 (人)练习：两个数的和为36,差为22, 则较大的数为（）, 较小的数为（）。

二、和倍问题已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。

解题关键：找准标准数(即1倍数)一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数。

求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。

根据另一个数(也可能是几个数)与标准数的倍数关系，再去求另一个数(或几个数)的数量。

解题规律：和÷倍数和=标准数标准数×倍数=另一个数例1.甲班和乙班共有图书160本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？设乙班的图书本数为1份，那么甲班图书是乙班的3倍，甲班和乙班图书本数的和是乙班图书本数的4倍.还可以理解为4份的数量是160本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数.用下图表示它们的关系：解：乙班：160÷（3+1）=40（本）甲班：40×3=120（本）答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。

例2.师傅和徒弟共生产零件190个,师傅生产的个数比徒弟的3倍少10个，师、徒各生产多少个?由上图可知,如果师傅再多做10个,就正好是徒弟的3倍.如果把徒弟做的个数作为1倍,师傅是徒弟的3倍,所以190+10=200(个)相当于徒弟的1+3=4(倍),这样就可以求出徒弟做的个数,也就可以求出师傅做的个数。

归一归总问题【讲义】归一问题是一类典型的应用题，它可以用等分除法来求解一个单位的数值，然后再根据题目要求求解问题，这种解法被称为归一法。

归一问题可以分为正归一问题和反归一问题。

正归一问题是指求总量，需要先求出一个单位量，然后利用乘法求出结果。

例如，一辆汽车3小时行150千米，求7小时行驶多少千米。

解决这类问题的关键是先求出单位数量，再求几个单位数量是多少。

反归一问题是指求份数，需要先求出一个单位量，然后用包含除法的方法求出所求的结果。

例如，修路队6小时修路180千米，求修路240千米需要几小时。

解决这类问题的关键是先求出单位数量，再求一共包含多少个单位数量。

归一问题的基本关系式包括总工作量等于每份的工作量乘以份数（正归一），份数等于总工作量除以每份的工作量（反归一），每份的工作量等于总工作量除以份数。

有些问题需要进行两次归一或与倍比相结合才能解决。

归总问题与归一问题类似，但是它是找出“总量”，再根据其他条件求出结果。

所谓“总量”可以是总路程、总产量、工作总量、物品的总价等。

举例来说，正归一问题可以是某人步行3小时行15千米，求7小时行驶多少千米；XXX骑车3分钟行600米，求从家到学校行了10分钟，XXX家到学校有多少米；一个打字员15分钟打了1800个字，求1小时能打多少个字。

反归一问题可以是一艘轮船4小时航行108千米，求继续航行270千米共需多少小时；绿化队3天种树210棵，还要种420棵，求完成任务共需多少天。

例6】一个工人要磨面粉200千克，3小时磨了60千克。

剩下的面粉还需要多少小时才能磨完？例7】王奶奶家有5头奶牛，7天产牛奶630千克。

如果有8头奶牛，需要多少天才能生产出15天内的牛奶总量？例8】某车间原本用4台车床5小时生产零件600个。

增加3台同样的车床后，8小时可以生产多少个零件？如果要生产6300个零件，需要多少小时才能完成？例9】3名工人在5小时内加工了90个零件。

如果要在10小时内完成加工540个零件，需要多少名工人？例10】XXX组织16只小猴子摘桃子，2小时内摘了640个。

归一归总问题一、归一问题归一问题是一类典型应用题，这种问题是用平分除法求出一个单位的数值( 单调量 ) 之后，再求出题目所要求解的问题，解答归一问题的方法叫做归一法。

归一问题能够分为两种：一种是求总量的，求出一个单位量以后，而后利用乘法求出结果，这种问题叫做正归一问题（也称正归一）；如：一辆汽车 3 小时行 150 千米，照这样，7 小时行驶多少千米？解决此类问题的重点是先求出单位数目，再求几个单位数目是多少；另一种是求份数的，求出一个单位量后，再用包括除法求出所求的结果，这种问题叫做反归一问题（也称反归一）。

如：修路队 6 小时修路 180 千米，照这样，修路240 千米需几小时？解决此类问题的重点是先求出单位数目，再求一共包括多少个单位数目？正、反归一问题的相同点是：一般状况下第一步先求出单调量；不一样点在第二步，正归一问题是求几个单调量是多少，【总量】，反归一是求包括多少个单调量．【求份数】解答归一问题的重点是求出单位量的数值，再依据题中“照这样计算” 、“用相同的速度”等句子的含义，抓准题中数目的对应关系，列出算式，求得问题的解决。

有的问题一次归一不可以解决，需要两次归一或与倍比相联合才能解决。

归一问题的基本关系式：总工作量每份的工作量 ( 单调量 )份数(正归一)份数总工作量每份的工作量(单调量)(反归一)每份的工作量( 单调量 )总工作量份数［小结］总工作量每份的工作量( 单调量 )份数(正归一)比如⑴题份数总工作量每份的工作量(单调量)(反归一)比如⑵题每份的工作量( 单调量 )总工作量份数二、归总问题与归一问题近似的是归总问题，归一问题是找出“单调量”，而归总问题是找出“总量”，再依据其他条件求出结果．所谓“总量”是指总行程、总产量、工作总量、物件的总价等．一、归一问题【例 1】某人步行， 3 小时行 15 千米， 7 小时行多少千米？【正】【例 2】小红骑车 3 分钟行 600 米，照这样的速度她从家到学校行了10 分钟，小红家到学校有多少米？【正】【例 3】一个打字员 15 分钟打了 1800 个字，照这样的速度， 1 小时能打多少个字？【正】【例 4】一艘轮船 4 小时航行 108 千米，照这样的速度，持续航行270 千米，共需多少小时？【反】【例 5】绿化队 3 天种树210 棵，还要种 420 棵，照这样的工作效率，达成任务共需多少天？【反】【同例 1】【例 6】一个工人要磨面粉200 千克， 3 小时磨了 60 千克．照这样计算，磨完剩下的面粉还要几小时？【反】产牛奶多少千克？【★★★★★】同例 2【例 8】某车间用 4 台车床 5 小时生产部件600 个，照这样算，增添 3 台相同的车床后，（ 1）8 小时能够生产多少个部件？（2）假如要生产6300 个部件几小时可达成？【★★★★★】同例 4【例 9】 3 名工人 5 小时加工部件90 个，要在10 小时达成540 个部件的加工，需要工人多少名？【★★★★★】同例 6【例 10】孙悟空组织小猴子摘桃子．开始时，16只小猴子 2 小时摘桃子640 个，照这样计算，孙悟空要求它们在 3 小时内持续摘桃子1200 个，那么需要增添多少只小猴子一同来摘桃子呢？【★★★★★】同例 6】【例 11】某玩具厂 30 天要生产玩具12000 件，因为技术改革，每日比原计划多制造了200 件，实质多少天就达成了生产任务？同例 5【例 12】某车间需要加工3960 个部件， 3 个工人10 小时加工了1320 个，其他的要求在15 小时内达成，需要增添多少个工人？【★★★★★】同例 6【例 13】 3 个工人 10 小时加工了3300 个部件，假如人数增添 2 人，时间减小5 个小时，能够制造多少部件？【★★★★★】同例 6二、归总问题【例 14】修一条公路，原计划 60 人工作， 80 天达成．此刻工作20 天后，又增添了30 人，这样剩下的工作再用多少天能够达成？【归总】【例 15】学校买来一批粉笔，原计划18 个班可用 60 天，实质用45 天后，有 3 个班出门了，剩下的粉笔够用多少天？【归总】【例 16】某厂运来一批煤，计划每日用 5 吨， 40 天用完，假如改良锅炉，每日节俭 1 吨，这批煤能够用多少天？【归总】【例 17】某工程队估计30 天修完一条沟渠，先由 18 人修了 12 天后达成工程的一半，假如要提早 9 天达成，还要增添多少人？【归总】【例 18】甲、乙、丙三人在出门时买了8 个面包，均匀分给三个人吃．甲没有带钱，乙付了5 个面包的钱，丙付了 3 个面包的钱．以后，甲带来了他对付的四元八角钱，请问，应还给乙、丙各多少钱？【★★★★★】【同例8】归一问题与归总问题在解答某些应用题时，经常需要先找出“单调量”，而后以这个“单调量”为标准，依据其他条件求出结果。