七年级图形面积验证乘法公式(优选.)

专题15 乘法公式的应用专题探究（一）利用乘法公式求面积：【类题训练】1．如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后用剩余的部分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（）A．a2+ab＝a（a+b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【分析】用代数式分别表示左图、右图的涂色部分的面积即可．【解答】解：左图，涂色部分的面积为a2﹣b2，拼成右图的长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为（a+b）（a﹣b），因此有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：D．2．如图1，将边长为a的正方形纸片，剪去一个边长为b的小正方形纸片．再沿着图1中的虚线剪开，把剪成的两部分（1）和（2）拼成如图2的平行四边形，这两个图能解释下列哪个等式（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【分析】用代数式分别表示各个部分的面积，再根据拼图前后面积之间的关系可得结论．【解答】解：图1中（1）（2）两部分的面积和可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图2是由（1）（2）两部分拼成的底为a+b，高为a﹣b的平行四边形，因此面积为（a+b）（a﹣b），因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：D．3．如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的有（）A．①②③④B．①②③C．①③D．③④【分析】根据各个图形的拼图的面积计算方法分别用等式表示后，再进行判断即可．【解答】解：图1可以验证的等式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此图1可以验证乘法公式；图2可以验证的等式为：a2＝（a﹣b）2+b2+2b（a﹣b），因此图2不能验证乘法公式；图3可以验证的等式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此图3可以验证乘法公式；图4可以验证的等式为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，因此图4不能验证乘法公式；所以能够验证乘法公式的是：图1，图3，故选：C．4．如图，M是AG的中点，B是AG上一点．分别以AB、BG为边，作正方形ABCD和正方形BGFE，连接MD和MF．设AB＝a，BG＝b，且a+b＝10，ab＝21，则图中阴影部分的面积为（）A．46B．33C．28D．52【分析】用两个正方形的面积之和，减去两个空白三角形的面积进行列式计算．【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，由题意得，图中阴影部分的面积为：a2+b2﹣（+）＝（a+b）2﹣2ab﹣，＝﹣2ab，∴当a+b＝10，ab＝21时，原式＝﹣2×21＝75﹣42＝33，故选：B．5．如图，有两个正方形纸板A，B，纸板A与B的面积之和为34．现将纸板B按甲方式放在纸板A的内部，阴影部分的面积为4．若将纸板A，B按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为（）A．30B．32C．34D．36【分析】先设A，B的边长分别是a，b，再用a，b边上阴影部分的面积求解．【解答】解：设A的边长a，B的边长是b，则a2+b2＝34，根据题意得：（a﹣b）2＝4，∴a2+b2﹣2ab＝4，∴2ab＝30，∴乙图阴影部分的面积为：（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab＝30，故选：A．6．如图①，现有边长为b和a+b的正方形纸片各一张，长和宽分别为b，a的长方形纸片一张，其中a＜b．把纸片Ⅰ，Ⅲ按图②所示的方式放入纸片Ⅱ内，已知图②中阴影部分的面积满足S1＝6S2，则a，b满足的关系式为（）A．3b＝4a B．2b＝3a C．3b＝5a D．b＝2a【分析】用含a，b的代数式表示出S1，S2，即可得出答案．【解答】解：由题意得，，，∵S1＝6S2，∴2ab＝6（ab﹣a2），2ab＝6ab﹣6a2，∵a≠0，∴b＝3b﹣3a，∴2b＝3a，故选：B．7．在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为a，宽为b，a＞b）搭成如图一个大正方形，面积为132，中间空缺的小正方形的面积为28．下列结论中，正确的有（）①（a﹣b）2＝28；②ab＝26；③a2+b2＝80；④a2﹣b2＝64A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【分析】根据拼图得出，（a+b）2＝132，（a﹣b）2＝28，ab＝＝26，再根据公式变形逐项进行判断即可．【解答】解：由拼图可知，大正方形的面积的边长为a+b，中间空缺的小正方形的边长为a﹣b，根据题意可知，（a+b）2＝132，（a﹣b）2＝28，ab＝＝26，∴a2+2ab+b2＝132，∴a2+b2＝132﹣2×26＝80，由于（a+b）2＝132，（a﹣b）2＝28，而a＞b，∴a+b＝，a﹣b＝，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝4，因此①②③正确，④不正确，故选：A．8．边长为a的正方形ABCD与边长为b的正方形DEFG按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知a+b＝10，ab＝24．则图中阴影部分的面积为．【分析】用代数式表示阴影部分的面积，再利用公式变形后，代入计算即可．【解答】解：由S阴影部分＝S正方形ABCD+S正方形DEFG﹣S△ABC﹣S△AFG可得，S阴影部分＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝a2+b2﹣ab＝（a2+b2﹣ab）＝[（a+b）2﹣3ab]＝×（100﹣72）＝14，故答案为：14．9．数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形．现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是．（请填上正确的序号）【分析】针对每一种拼法，利用代数式表示拼接前、后的面积，适当化简或变形可得答案．【解答】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；在图②中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边阴影部分面积＝（a+b）•（a﹣b），可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；在图③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，右边阴影部分面积＝2a•2b＝4ab，可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝2a•2b，不可以验证平方差公式．故答案为：①②．10．建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为b的小正方形，构造了一个大正方形ABCD，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作S1，每一个边长为b的小正方形面积记作S2，若S1＝6S2，则的值是．【分析】利用正方形ABCD的面积减去空白部分的面积求出阴影部分的面积S1，结合S1＝6S2，求出a与b的比值．【解答】解：∵S1＝（a+2b）2﹣b2﹣a（a+2b）﹣b2﹣（a+b）2＝2ab+b2，S2＝b2，S1＝6S2，∴2ab+b2＝6b2，∴．故答案为：．11．如图是A型卡片（边长为a的正方形）、B型卡片（长为a、宽为b的长方形）、C型卡片（边长为b的正方形）．现有4张A卡片，11张B卡片，7张C卡片，取其中的若干张卡片（3种类型卡片都要取到）无缝隙、无重叠地拼正方形或长方形，下列说法正确的是．（只填序号）①可拼成边长为a+3b的正方形；②可拼成长、宽分别为2a+4b、2a+b的长方形；③用所有卡片可拼成一个大长方形；④最多可拼出4种面积不同的正方形．【分析】根据长方形、正方形的面积，结合完全平方公式确定所需卡片型号和数量即可．【解答】解：∵边长为a+3b的正方形的面积为a2+9b2+6ab，∴需要1张A型卡片，9张C型卡片，6张B型卡片，∵C型卡片只有7张，∴不能拼成边长为a+3b的正方形；故①不符合题意；∵长、宽分别为2a+4b、2a+b的长方形的面积为（2a+4b）（2a+b）＝4a2+10ab+4b2，∴需要4张A型卡片，4张C型卡片，10张B型卡片，∴可拼成长、宽分别为2a+4b、2a+b的长方形；故②符合题意；所有卡片的面积和为4a2+11ab+7b2＝（a+b）（4a+7b），∴用所有卡片能可拼成一个大长方形，长方形的长为4a+7b，宽为a+b，故③符合题意；∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，需要1张A型卡片，1张C型卡片，2张B型卡片，（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，需要1张A型卡片，4张C型卡片，4张B型卡片，（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，需要4张A型卡片，1张C型卡片，4张B型卡片，（2a+2b）2＝4a2+8ab+4b2，需要4张A型卡片，4张C型卡片，8张B型卡片，∴最多可拼出4种面积不同的正方形；故④符合题意；故答案为：②③④．12．如图1所示，将一张长为2m，宽为n（m＞n）的长方形纸片沿虚线剪成4个直角三角形，拼成如图2的正方形ABCD（相邻纸片之间不重叠，无缝隙），若正方形ABCD的面积为20，中间空白处的正方形EFGH的面积为4，则：（1）m+n＝；（2）原长方形纸片的周长是．【分析】（1）由拼图可知m2+n2＝AB2＝20，mn＝8，由完全平方公式可求出答案；（2）原长方形的周长为2m+2n，利用（1）的结论进行计算即可．【解答】解：（1）∵正方形ABCD的面积为20，中间空白处的正方形EFGH的面积为4，∴m2+n2＝AB2＝20，mn＝8，又∵（m+n）2＝m2+n2+2mn＝36，∴m+n＝6，（取正值）故答案为：6；（2）∵m+n＝6，mn＝8，且m＞n，∴m＝4，n＝2，∴原长方形的周长为4m+2n＝16+4＝20，故答案为：24013．两个边长分别为a和b的正方形（a＞b）如图放置（图1，2，3），若阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3．（1）用含a，b的代数式分别表示S1，S2，S3；（2）若S1＝1，S3＝3，求S2的值；（3）若对于任意的正数a、b，都有S1+mS3＝kS2（m，k为常数），求m，k的值．【分析】（1）图1中，直接求出阴影的边长，都是a﹣b；图2中，两个正方形的面积与两个白色三角形的面积的和的差；图3中，阴影部分是直角三角形，直接用直角边长的乘积除以2．（2）把S1＝1，和S3＝3代入（1）中，便可解出ab＝6，a2+b2＝13值，整体代入S2＝a2﹣ab+b2＝（a2+b2）﹣ab＝﹣3＝；（3）把（1）中的三个等式代入S1+mS3＝kS2，经过整理，有点巧，再由待定系数法解得．【解答】解：（1）图1中，阴影的边长都是a﹣b，所以S1＝（a﹣b）2；图2中，阴影面积S2＝（a2+b2）﹣[a2+（a+b）b]＝a2﹣ab+b2；图3中，S3＝ab．（2）当S1＝1，S3＝3时，，解得ab＝6，a2+b2＝13，代入S2，得，S2＝a2﹣ab+b2＝（a2+b2）﹣ab＝﹣3＝，（3）因为S1＝（a﹣b）2；S2＝a2﹣ab+b2；S3＝ab．对于任意的正数a、b，都有S1+mS3＝kS2（m，k为常数），则（a﹣b）2+m（ab）＝k（a2﹣ab+b2），整理得：2（a²+b²）+ab（m﹣4）＝（a²+b²）k+ab（﹣k），由于m，k为常数，故由待定系数法得：k＝2，m﹣4＝﹣k，解得m＝2，k＝2．14．图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于；（2）观察图2写出三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系；（3）若mn＝﹣3，m﹣n＝5，则：①（m+n）2的值为；②m2+n2的值为；③m4+n4的值为．【分析】（1）根据线段的差可得结论；（2）方法1，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个长方形面积，方法2，阴影部分小正方形的边长为m﹣n，即可计算出面积，可得两次计算的都是阴影部分的面积，即可得出答案；（3）分别根据完全平方公式可解答．【解答】解：（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于m ﹣n ；故答案为：m ﹣n ；（2）根据题意，方法1：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个长方形面积，即（m +n ）2﹣4mn ；方法2，阴影部分小正方形的边长为m ﹣n ，则面积为（m ﹣n ）2；∴（m ﹣n ）2＝（m +n ）2﹣4mn ；故答案为：（m ﹣n ）2＝（m +n ）2﹣4mn ；（3）由（2）知：（m ﹣n ）2＝（m +n ）2﹣4mn ，∵mn ＝﹣3，m ﹣n ＝5，①（m +n ）2＝52+4×（﹣3）＝25﹣12＝13；故答案为：13；②m 2+n 2＝（m +n ）2﹣2mn ＝13﹣2×（﹣3）＝13+6＝19；故答案为：19；③m 4+n 4＝（m 2+n 2）2﹣2m 2n 2＝192﹣2×（﹣3）2＝361﹣18＝343；故答案为：343．（二）乘法公式的直接运用：1.平方差公式：()()22b a b a b a -=-+2.完全平方公式：()()2222222;2b ab a b a b ab a b a +-=-++=+【类题训练】1．计算：（2x ﹣y ）2﹣（x ﹣2y ）2．【分析】用平方差公式计算．【解答】解：原式＝[（2x ﹣y ）+（x ﹣2y ）][（2x ﹣y ）﹣（x ﹣2y ）]＝（3x ﹣3y ）（x +y ）＝3（x ﹣y ）（x +y ）＝3（x 2﹣y 2）＝3x 2﹣3y 2．2．计算：（x ﹣2y +3）（x +2y ﹣3）．【分析】原式利用平方差公式，及完全平方公式化简即可得到结果．【解答】解：原式＝x2﹣（2y﹣3）2＝x2﹣（4y2﹣12y+9）＝x2﹣4y2+12y﹣9．3．已知x＝，求（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）的值．【分析】根据完全平方公式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）＝9x2﹣6x+1+1﹣9x2＝﹣6x+2，当x＝时，原式＝﹣6×+2＝﹣1+2＝1．4．先化简，再求值：（x+2y）2﹣（x﹣2y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）﹣4y2，其中x＝﹣2，y ＝．【分析】利用完全平方公式和平方差公式计算乘方和乘法，然后去括号，合并同类项进行化简，最后代入求值．【解答】解：原式＝x2+4xy+4y2﹣（x2﹣4xy+4y2）﹣（x2﹣4y2）﹣4y2＝x2+4xy+4y2﹣x2+4xy﹣4y2﹣x2+4y2﹣4y2＝﹣x2+8xy，当x＝﹣2，y＝时，原式＝﹣（﹣2）2+8×（﹣2）×＝﹣4﹣8＝﹣12．5．先化简，再求值：（2m+1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）2+（2m）3÷（﹣8m），其中m2+m ﹣2＝0．【分析】先算乘方，再算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可．【解答】解：原式＝4m2﹣1﹣（m2﹣2m+1）+8m3÷（﹣8m）＝4m2﹣1﹣m2+2m﹣1﹣m2＝2m2+2m﹣2＝2（m2+m）﹣2，∵m2+m﹣2＝0，∴m2+m＝2，当m2+m＝2时，原式＝2×2﹣2＝2．6．观察下列各式：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4；…根据这一规律计算：（1）（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）＝；（a﹣b）（a n+a n﹣1b+a n﹣2b2+…+ab n﹣1+b n）＝；（2）22021+22020+22019+…+22+2+1．【分析】（1）根据规律即可得出答案；（2）原式变形成公式的形式，用公式即可得出答案．【解答】解：（1）根据规律得：（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）＝a5﹣b5；（a﹣b）（a n+a n﹣1b+a n﹣2b2+…+ab n﹣1+b n）＝a n+1﹣b n+1；故答案为：a5﹣b5；a n+1﹣b n+1；（2）解：原式＝（2﹣1）（22021+22020•1+⋯+2•12020+12021）＝22022﹣1．（三）运用乘法公式进行简便计算：【类题训练】1．运用乘法公式进行简便计算：（1）2022+202×198+982（2）20162﹣2017×2015（3）1992．（4）1232﹣122×124．（5）1007×993；（6）32×20.22+0.68×2022．（7）1002-992+982-972+962-952+……+22-12【分析】（1）根据完全平方公式以及平方差公式化简计算即可；（2）根据完全平方公式以及平方差公式化简即可．（3）原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果；（4）由1992＝（200﹣1）2，再用完全平方公式计算即可．（5）根据平方差公式简便计算即可；（6）原式变形成0.32×2022+0.68×2022，逆用乘法分配律即可（7）每两个分组，再利用平方差公式，最后原式可化简为100+99+98+97+……+1，再利用首末项和公式求解即可【解答】解：（1）原式＝（200+2）2+（200+2）（200﹣2）+（100﹣2）2＝2002+800+4+2002﹣4+1002﹣400+4＝40000+800+40000+10000﹣400+4＝90404；（2）原式＝20162﹣（2016+1）×（2016﹣1）＝20162﹣（20162﹣1）＝20162﹣20162+1＝1；（3）1992＝（200﹣1）2＝2002﹣400+1＝39601．（4）1232﹣122×124＝1232﹣（123﹣1）×（123+1）＝1232﹣（1232﹣12）＝1．（5）原式＝（1000+7）（1000﹣7）＝10002﹣72＝1000000﹣49＝999951；（6）原式＝0.32×2022+0.68×2022＝2022×（0.32+0.68）＝2022×1＝2022．（7）1002-992+982-972+962-952+……+22-12=（1002-992）+（982-972）+（962-952）+……+（22-12）=（100-99）（100+99）+（98-97）（98+97）+……+（2-1）（2+1）=100+99+98+97+……+2+1=½·（100+1）·100=5050（四）完全平方公式的变形应用：完全平方公式的变形公式：()()ab b a b a 422+-=+()()()()222-222222b a b a ab b a ab b a b a -++=+-=+=+ ()()()()4-2-2-22222222b a b a b a b a b a b a ab -+=-+=++=）（）（ 【类题训练】1．若（a +b ）2＝25，a 2+b 2＝13，则ab 的值为（ ）A ．6B ．﹣6C ．12D ．﹣12【分析】利用完全平方公式（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2＝25，且a 2+b 2＝13，即可求ab ．【解答】解：∵（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2＝25，a 2+b 2＝13，∴2ab ＝25﹣13＝12，∴ab ＝6，故选：A ．2．已知：（2021﹣a ）（2020﹣a ）＝3，则（2021﹣a ）2+（2020﹣a ）2的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．12【分析】根据完全平方公式（a ±b ）2＝a 2±2ab +b 2，即可求出答案．【解答】解：设x ＝2021﹣a ，y ＝2020﹣a ，∴x ﹣y ＝2021﹣a ﹣2020+a ＝1，∵（2021﹣a ）（2020﹣a ）＝3，∴xy ＝3，∴原式＝x 2+y 2＝（x﹣y）2+2xy＝1+2×3＝7，故选：A．3．已知a+b＝10，ab＝﹣5，则a2+b2＝．【分析】根据完全平方公式进行计算即可．【解答】解：∵a+b＝10，ab＝﹣5，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×（﹣5）＝100+10＝110．故答案为：110．4．已知：x+y＝0.34，x+3y＝0.86，则x2+4xy+4y2＝．【分析】原式利用完全平方公式化简，将已知等式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：∵x+y＝0.34，x+3y＝0.86，∴2x+4y＝1.2，即x+2y＝0.6，则x2+4xy+4y2＝（x+2y）2＝0.36．故答案为：0.36．5．若a+9＝b+8＝c+7，则（a﹣b）2+（b﹣c）2﹣（c﹣a）2＝．【分析】由a+9＝b+8＝c+7可得：a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2，将其代入即可．【解答】解：∵a+9＝b+8＝c+7，∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2，∴原式＝（﹣1）2+（﹣1）2﹣22＝﹣2，故答案为：﹣2．6．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．若a+b＝8，ab＝10，则S1+S2＝；当S1+S2＝40时，则图3中阴影部分的面积S3＝．【分析】根据拼图可用a、b的代数式表示S1，S2，进而根据a+b＝8，ab＝10，求出S1+S2的值即可；由第一问可知，当S1+S2＝40时，就是a2+b2﹣ab＝40，再利用a、b的代数式表示S3，变形后再整体代入计算即可求出答案．【解答】解：由图1可得，S1＝a2﹣b2，由图2可得，S2＝2b2﹣ab，因为a+b＝8，ab＝10，所以S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝82﹣3×10＝64﹣30＝34；由图3可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝a2+b2﹣ab＝（a2+b2﹣ab）＝（S1+S2）＝×40＝20；故答案为：34，20．7．已知a+b＝5，ab＝．（1）求a2+b2的值；（2）求a﹣b的值．【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．【解答】解：（1）∵a+b＝5，ab＝，∴（a+b）2＝25，∴a2+2ab+b2＝25，∴a2+b2＝25﹣2ab＝25﹣＝；（2）∵a2+b2＝，ab＝，∴a2+b2﹣2ab＝16，∴（a﹣b）2＝16，∴a﹣b＝±4．8．若，求：①（b﹣c）2+3（b﹣c）+3的值；②2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac的值．【分析】①根据，得，代入（b﹣c）2+3（b﹣c）+3，计算即可；②先拆项，再配成完全平方形式，再把，，代入，计算即可．【解答】解：①由得，∴（b﹣c）2+3（b﹣c）+3＝+3×（﹣）+3＝﹣+3＝；②2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2当，时，原式＝＝．9．阅读理解：若x满足（80﹣x）（x﹣60）＝30，求（80﹣x）2+（x﹣60）2的值．解：设80﹣x＝a，x﹣60＝b，则（80﹣x）（x﹣60）＝ab＝30，a+b＝（80﹣x）+（x﹣60）＝20，∴（80﹣x）2+（x﹣60）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×30＝340．解决问题（1）若x满足（20﹣x）（x﹣10）＝﹣10，求（20﹣x）2+（x﹣10）2的值；（2）若x满足（2022﹣x）2+（2020﹣x）2＝4048，求（2022﹣x）（2020﹣x）的值．【分析】（1）根据题目所给解题方法，设20﹣x＝a，x﹣10＝b，则a+b＝10，根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，即可得出答案；（2）设（2022﹣x）＝a，（2020﹣x）＝b，则a﹣b＝2，根据a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，即可得出答案．【解答】解：（1）设（20﹣x）＝a，（x﹣10）＝b，则（20﹣x）（x﹣10）＝ab＝﹣10，a+b＝（20﹣x）+（x﹣10）＝10，所以（20﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102+2×10＝120；（2）设（2022﹣x）＝a，（2020﹣x）＝b，则a﹣b＝（2022﹣x）﹣（2020﹣x）＝2，因为（2022﹣x）2+（2020﹣x）2＝4048，所以（2022﹣x）2+（2020﹣x）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝4048，即22+2×（2022﹣x）（2020﹣x）＝4048，（2019﹣x）（2017﹣x）＝2022．（五）综合应用：1．若（x2+px+q）（x﹣2）展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（）A．p＝2q B．q＝2p C．p+2q＝0D．q+2p＝0【分析】利用多项式乘多项式法则计算，令一次项系数为0求出p与q的关系式即可．【解答】解：（x2+px+q）（x﹣2）＝x3﹣2x2+px2﹣2px+qx﹣2q＝x3+（p﹣2）x2+（q﹣2p）x﹣2q，∵结果不含x的一次项，∴q﹣2p＝0，即q＝2p．故选：B．2．已知a，b是常数，若化简（﹣x+a）（2x2+bx﹣3）的结果不含x的二次项，则36a﹣18b ﹣1的值为（）A．﹣1B．0C．17D．35【分析】把式子展开，找到所有x2项的系数，合并后令其为0，再进行计算．【解答】解：原式＝﹣2x3﹣bx2+3x+2ax2+abx﹣3a＝﹣2x3+（2a﹣b）x2+（3+ab）x﹣3a∵（﹣x+a）（2x2+bx﹣3）结果不含x的二次项∴2a﹣b＝0∵式子36a﹣18b﹣1＝18（2a﹣b）﹣1∴36a﹣18b﹣1＝18×0﹣1＝﹣1故选：A．3．若代数式x2+3x+2可以表示为（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，则a+b的值是（）A．10B．11C．12D．13【分析】利用x2+3x+2＝（x﹣1）2+a（x﹣1）+b，将原式进行化简，得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵x2+3x+2＝（x﹣1）2+a（x﹣1）+b＝x2+（a﹣2）x+（b﹣a+1），∴a﹣2＝3，∴a＝5，∵b﹣a+1＝2，∴b﹣5+1＝2，∴b＝6，∴a+b＝5+6＝11，故选：B．4．已知代数式x2+y2+4x﹣6y+13＝0，则（y+1）x的值为（）A．16B．﹣16C．﹣D．【分析】把含x和y的项分别写成完全平方公式的形式，根据非负数的性质求出x，y，再计算代数式的值．【解答】解：∵x2+y2+4x﹣6y+13＝0，∴x2+4x+4+y2﹣6y+9＝0，∴（x+2）2+（y﹣3）2＝0，∴x+2＝0，y﹣3＝0，∴x＝﹣2，y＝3，∴原式＝（3+1）﹣2＝4﹣2＝，故选：D．5．若2m×8n＝32，，则的值为．【分析】已知等式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘除法则计算，得到关于m与n的方程，组成方程组，求出方程组的解得m与n的值，即可求出所求．【解答】解：∵2m×8n＝2m×23n＝2m+3n＝32＝25，2m÷4n＝2m÷22n＝2m﹣2n＝＝2﹣4，∴m+3n＝5，m﹣2n＝﹣4，两式相加得：2m+n＝1，则原式＝（2m+n）＝．故答案为：．6．已知x2+xy+y＝14①，y2+xy+x＝28②，则x+y的值为．【分析】先把两个方程相加，得到关于（x+y）的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可．【解答】解：①+②得，x2+2xy+y2+x+y＝42，∴（x+y）2+（x+y）﹣42＝0，∴（x+y+7）（x+y﹣6）＝0，∴x+y＝﹣7或x+y＝6，故答案为：﹣7或6．7．已知a+b＝1，ab＝﹣2，则代数式（a+1）（b+1）的值是．【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后把a+b与ab的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝ab+a+b+1＝ab+（a+b）+1，当a+b＝1，ab＝﹣2时，原式＝﹣2+1+1＝0，故答案为：0．8．已知x＝+1，则代数式x2﹣2x+1的值为．【分析】根据x的值和完全平方差公式可以解答本题．【解答】解：∵x＝+1，∴x2﹣2x+1＝（x﹣1）2＝（+1﹣1）2＝（）2＝2，故答案为：2．9．若a2+ma+25是一个完全平方式，则实数m＝．【分析】根据完全平方式即可求出答案．【解答】解：∵（a±5）2＝a2±10a+25，∴m＝±10，故答案为：±10．10．若25x2+1加上一个单项式能成为一个完全平方式，这个单项式是．【分析】把25x2看作中间项或第一项，根据完全平方公式可解答，当加上的项是﹣1或﹣25x2时，同样成立．【解答】解：①25x2是平方项时，25x2±10x+1＝（5x±1）2，∴可添加的项是10x或﹣10x，②25x2是乘积二倍项时，+25x2+1＝，∴可添加的项是，③可添加﹣1或﹣25x2，综上所述可添加的项是：10x或﹣10x或﹣1或﹣25x2或．故答案为：10x或﹣10x或﹣1或﹣25x2或．11．下列有四个结论：①若（1﹣x）x+1＝1，则x＝﹣1；②若a2+b2＝3，a﹣b＝1，则（2﹣a）（2﹣b）的值为5﹣2；③若规定：当ab≠0时，a⊗b＝a+b﹣ab，若a⊗（4﹣a）＝0，则a＝2；④若4x＝a，8y＝b，则24x﹣3y可表示为；⑤已知多项式x2+4x+m是完全平方式，则常数m＝4．其中正确的是．（填序号）【分析】①可以是零指数幂，可以是1的任何次幂，可以是﹣1的偶数次幂；②先求出ab的值，再求出a+b的值，最后代入代数式求值即可；③根据新定义列出方程求解即可；④把a，b先化成底数为2的式子，然后再求值；⑤根据完全平方公式判断即可．【解答】解：①可以分为三种情况：当x+1＝0时，x＝﹣1；当1﹣x＝1时，x＝0；当1﹣x＝﹣1，x+1为偶数时，x＝2，但x+1＝3不是偶数，舍去；综上所述，x＝﹣1或0．∴①不符合题意；②（2﹣a）（2﹣b）＝4﹣2b﹣2a+ab＝4﹣2（a+b）+ab，∵a﹣b＝1，∴（a﹣b）2＝1，∴a2+b2﹣2ab＝1，∴ab＝1，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝3+2＝5，∴a+b＝±，当a+b＝时，原式＝4﹣2+1＝5﹣2；当a+b＝﹣时，原式＝4+2+1＝5+2，∴a+b＝5±2．∴②不符合题意；③根据定义得：a+4﹣a+a（4﹣a）＝0，解得：a＝2，∴③符合题意；④∵4x＝（22）x＝22x，8y＝（23）y＝23y，∴24x﹣3y＝＝＝，∴④不符合题意；⑤∵x2+4x+m是完全平方式，∴m＝（）2＝4，∴⑤符合题意，故答案为：③⑤．12．已知实数m，n满足m﹣n＝1，则代数式m2+2n+4m﹣1的最小值为．【分析】根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据偶次方的非负性解答．【解答】解：∵m﹣n＝1，∴n＝m﹣1，则m2+2n+4m﹣1＝m2+2m﹣2+4m﹣1＝m2+6m﹣3＝m2+6m+9﹣12＝（m+3）2﹣12，∵（m+3）2≥0，∴（m+3）2﹣12≥﹣12，即代数式m2+2n+4m﹣1的最小值等于﹣12．故答案为：﹣12．13．已知S＝t2﹣2t﹣15，则S的最小值为．【分析】先根据完全平方公式配方，再根据偶次方的非负性即可求解．【解答】解：∵S＝t2﹣2t﹣15＝（t﹣1）2﹣16，∴当t＝1时，S取得最小值为﹣16．故答案为：﹣16．14．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”，例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52；则8、16、24这三个数都是奇特数．（1）填空：32奇特数，2018奇特数．（填“是”或者“不是”）（2）设两个连续奇数是2n﹣1和2n+1（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？（3）如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积．【分析】（1）根据32＝92﹣72，以及8、16、24这三个数都是奇特数，他们都是8的倍数，而2018＝2×1009，不是8的整数倍，进行判断．（2）利用平方差公式计算（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n•2＝8n，得到两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数；（3）利用阴影部分面积为：S阴影部分＝992﹣972+952﹣932+912﹣892+…+72﹣52+32﹣12，进而求出即可．【解答】解：（1）∵32＝8×4＝92﹣72，∴32是奇特数，∵因为2018不能表示为两个连续奇数的平方差，∴2018不是奇特数，故答案为：是，不是；（2）由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数，理由：∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n•2＝8n，∴由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数．（3）S阴影部分＝992﹣972+952﹣932+912﹣892+…+72﹣52+32﹣12＝（99+97）（99﹣97）+（95+93）（95﹣93）+（91+89）（91﹣89）+…+（7+5）（7﹣5）+（3+1）（3﹣1）＝（99+97+95+…+3+1）×2＝×2＝5000．15．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填写到题中横线上）；方法1 ；方法2 ．（2）观察图2，请你直接写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，请你将该示意图画在答题卡上；（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；②已知（x﹣2018）2+（x﹣2020）2＝34，求（x﹣2019）2的值．【分析】（1）依据正方形的面积计算公式即可得到结论；（2）依据（1）中的代数式，即可得出（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；（3）画出长为a+2b，宽为a+b的长方形，即可验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；（4）①依据a+b＝5，可得（a+b）2＝25，进而得出a2+b2+2ab＝25，再根据a2+b2＝11，即可得到ab＝7；②设x﹣2019＝a，则x﹣2018＝a+1，x﹣2020＝a﹣1，依据（x﹣2018）2+（x﹣2020）2＝34，即可得到（x﹣2019）2的值．【解答】解：（1）方法一：图2大正方形的面积＝（a+b）2方法二：图2大正方形的面积＝a2+b2+2ab故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab；（2）由题可得（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系为：（a+b）2＝a2+2ab+b2故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（3）如图所示，（4）①∵a+b＝5，∴（a+b）2＝25，∴a2+b2+2ab＝25，又∵a2+b2＝11，∴ab＝7；②设x﹣2019＝a，则x﹣2018＝a+1，x﹣2020＝a﹣1，∵（x﹣2018）2+（x﹣2020）2＝34，（a+1）2+（a﹣1）2＝34，2a2+2＝34，a2＝16，∴（x﹣2019）2＝16．16．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形．（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积；；（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（用字母表示）；【应用】请应用这个公式完成计算：2001×1999；【拓展】（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1结果的个位数字为．【分析】（1）分别用代数式表示两个图形的阴影部分的面积即可；（2）根据两个图形中阴影部分的面积相等得出答案；【应用】将2001×1999转化为（2000+1）（2000﹣1），根据平方差公式进行计算即可；【拓展】配上因式（2﹣1）后连续利用平方差公式计算出（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的结果，再由“幂”的个位数字的呈现的规律得出答案．【解答】解：（1）图①中阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图②中阴影部分是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）由两个图形的阴影部分的面积相等可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；【应用】2001×1999＝（2000+1）（2000﹣1）＝4000000﹣1＝3999999；【拓展】原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝（28﹣1）（28+1）…（232+1）+1＝264﹣1+1＝264，而21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128……所以264的个位数字为6，故答案为：6．17．（1）填空：（a﹣b）（a+b）＝；（a﹣b）（a2+ab+b2）＝；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝；（2）猜想：（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+…+ab n﹣2+b n﹣1）＝（其中n为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）猜想的结论计算：①211+210+29+28+27+…+23+22+2；②﹣511+510﹣59+58﹣57+…﹣53+52﹣5．【分析】（1）根据平方差公式，根据多项式乘多项式计算，然后合并同类项；（2）由（1）中的规律进行猜想；（3）①首先把1化为（2﹣1）形式，再把括号里的每一项写成乘以1的乘方形式，构成（2）中形式，从而写出结论，进行计算；②先提取符号，把1化为[5﹣（﹣1）]形式，再把括号里的每一项写成乘以（﹣1）的乘方形式，构成（2）中形式，从而写出结论，进行计算．【解答】解：（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3＝a3﹣b3；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4＝a4﹣b4．故答案为：a2﹣b2、a3﹣b3、a4﹣b4．（2）（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+…+ab n﹣2+b n﹣1）＝a n﹣b n；故答案为：a n﹣b n．（3）①211+210+29+28+27+…+23+22+2＝（2﹣1）（211+210×1+29×12+28×13+27×14+…+23×18+22×19+2×110+111）﹣111＝212﹣112﹣1＝4094；②﹣511+510﹣59+58﹣57+…﹣53+52﹣5＝﹣[511﹣510+59﹣58+57﹣…+53﹣52+5]＝﹣{[5﹣（﹣1）][511+510×（﹣1）+59×（﹣1）2+⋯+52×（﹣1）9+5×（﹣1）10+（﹣1）11]]﹣1＝﹣[（512﹣（﹣1）12）]﹣1＝﹣﹣＝﹣（511+1）．18．如图所示，在边长为a米的正方形草坪上修建两条宽为b米的道路．（1）为了求得剩余草坪的面积，小明同学想出了两种办法，结果分别如下：方法①：.方法②：.请你从小明的两种求面积的方法中，直接写出含有字母a，b代数式的等式是：．（2）根据（1）中的等式，解决如下问题：①已知：a﹣b＝5，a2+b2＝20，求ab的值；②已知：（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝12，求（x﹣2021）2的值．【分析】（1）利用平移将草坪相对集中为边长为（a﹣b）米的正方形，可表示面积，再利用整体面积减去路的面积即可；（2）①根据完全平方公式进行变形即可；②设x﹣2020＝m，x﹣2022＝n，则m﹣n＝2，m2+n2＝（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝12，利用完全平方公式可求出mn＝4，进而求出（m+n）2＝20，要求（x﹣201）2的值，即求（）2的值即可．【解答】解：（1）方法①，通过平移两条路，草坪可看作边长为（a﹣b）米的正方形，因此面积为（a﹣b）2（平方米），方法②，从大正方形面积里减去两条路的面积，即（a2﹣ab﹣ab+b2）平方米，也就是（a2﹣2ab+b2）平方米，所以有（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故答案为：（a﹣b）2，a2﹣2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；（2）①∵a﹣b＝5，∴a2﹣2ab+b2＝25，又∵a2+b2＝20，∴ab＝﹣；②设x﹣2020＝m，x﹣2022＝n，则m﹣n＝2，m2+n2＝（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝12，∴m2﹣2mn+n2＝4，即12﹣2mn＝4，∴mn＝4，∴（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn＝4+16＝20，∴（x﹣201）2＝（）2＝＝＝5，答：（x﹣2021）2的值为5．3132。

七年级数学乘法公式知识点在七年级的数学学习中，乘法公式是数学中十分重要和基础的知识点。

本文将就七年级数学乘法公式的内容进行详细的论述，力图使读者能够深入理解乘法公式的相关知识。

1. 基础概念首先，我们需要明确乘法公式的基础概念。

在数学中，乘法公式是指用于计算两个或多个数的乘积。

乘法公式中包含多个要素，如乘数、被乘数和积，它们三者之间的关系为：乘数×被乘数=积。

在七年级数学学习中，乘法公式中乘数和被乘数都是整数或分数，而积可以是一个整数或分数，也可以是一个代数式。

2. 乘法的交换律其次，七年级数学中学习的第一个乘法公式是乘法的交换律。

乘法的交换律指的是：两个数相乘，交换两个数的顺序，乘积不变。

具体来说，对于任意的两个数a和b，都有a×b=b×a。

比如说，对于两个数7和3，7×3=21，同时3×7也等于21。

这说明乘法具有交换律，即乘积的大小不受乘数顺序影响。

3. 乘法的结合律接着，第二个乘法公式是乘法的结合律。

乘法的结合律指的是：三个或多个数相乘，可以任意改变它们的相对位置，乘积不变。

具体来说，对于任意的三个数a、b和c，都有(a×b)×c=a×(b×c)。

比如说，对于三个数2、3和4，(2×3)×4=24，同时2×(3×4)也等于24。

这说明乘法具有结合律，即乘积的大小不受因子的相对位置影响。

4. 乘法的分配律然后，第三个乘法公式是乘法的分配律。

乘法的分配律指的是：一个数与两个或两个以上的数相加或相减的和或差，可先将这个数与每一个加数或减数分别相乘，再把它们的积相加或相减。

具体来说，对于任意的三个数a、b和c，都有a×(b+c)=a×b+a×c和a×(b-c)=a×b-a×c。

比如说，对于三个数2、3和4，2×(3+4)=14，而2×3+2×4也等于14。

《0205 乘法公式与面积问题》微设计学习目标:1.通过利用图形面积计算来验证平方差公式和完全平方公式的进一步研究，学会利用图形的面积计算得到相应的乘法公式；2.学会根据乘法公式设计相应的图形利用面积验证公式；3.体会几何直观和数形结合的数学思想方法的应用。

学习重点：会利用图形的面积计算验证相应的乘法公式；1 学习难点：利用乘法公式设计对应的图形，并进行验证。

教学过程： 一、背景问题教材利用如图1，和如图2，分别验证了： 平方差公式:()()22a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差． 完全平方公式:()222+2a b a ab b +=+两数和的平方,等于这两个数的平方和加上它们的积的2倍.你能设计不同的方法来验证平方差公式吗？ 又能通过怎样的图形来验证()2222a b a ab b -=-+呢？二、数学解决 平方差公式的验证： 方法1： 方法2：图 1图2方法3：方法4：我们还可以利用下图验证两数差的完全平方公式：分析：如图可知，大正方形的面积为2a ，左上角正方形的面积为()2a b -，则其面积还可表示为大正方形的面积减去两个长方形的面积2ab ，再加上右下角一个小正方形的面积2b ，即()2222a b a ab b -=-+.例：图①是一个边长为()m n +的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是( )A ． ()()224m n m n mn +--= B.()()222+2m n m nmn +-=C ．()2222m n mn m n -+=+ D ．()()22m n m n m n +-=-分析：此例题也可以作为完全平方公式的验证。

练习：阅读材料并解答问题：我们已经知道，公式()222+2a b a ab b +=+可以用平面图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：()()2222+3a b a b a ab b ++=+就可以用图1或图2的面积表示.(1)请写出图3中所表示的代数恒等式:_______________.图①图②ab ab ab ab b 2b 2b 2b bbbaa 2a（2）试画一个几何图形，使它的面积能表示: ()()223+43a b a b a ab b ++=+ （3）小明用2张边长为a 的正方形，3张边长为b 的正方形，5张边长分别为a 、b 的长方形重新拼出一个长方形，那么该长方形较长的一条边长为_____________ .（1）分析：观察图形可知这个长方形的长为()2a b +，宽为()2a b +，根据长方形的面积为长乘以宽，得左边为()()22a b a b ++，又长方形的面积等于各部分的面积的和，所以右边为()22252a ab b ++， 从而得恒等式为()()2222=252a b a b a ab b ++++。

初中数学面积公式总结数学中的面积是一个非常重要的概念，它涉及到几何图形的大小和形状等方面的问题。

在初中数学中，我们学习了各种各样的面积公式，包括正方形、长方形、三角形、圆形等几何图形的面积公式。

下面是对这些面积公式的总结。

一、正方形正方形是一种特殊的长方形，它的四边都相等，且四个角都是直角。

正方形的面积公式为：面积=边长×边长，用S表示。

二、长方形长方形是具有四个直角的四边形，它的两对边平行且相等。

长方形的面积公式为：面积=长×宽，用S表示。

三、三角形三角形是由三条线段连接而成的图形。

常用的三角形面积公式有以下几种：1.等边三角形等边三角形是具有三条边相等的三角形。

等边三角形的面积公式为：面积=(边长×边长×√3)/4，用S表示。

2.直角三角形直角三角形是具有一个直角（90度）的三角形。

直角三角形的面积公式为：面积=(直角边1×直角边2)/2，用S表示。

3.一般三角形一般三角形是既没有直角也没有边相等的三角形。

一般三角形的面积公式为：面积=（底边长×高）/2，用S表示。

四、梯形梯形是具有两条平行边的四边形。

常用的梯形面积公式有以下几种：1.等腰梯形等腰梯形是具有两条腰相等的梯形。

等腰梯形的面积公式为：面积=(上底+下底)×高/2，用S表示。

2.一般梯形一般梯形是既没有边相等也没有平行边的梯形。

一般梯形的面积公式为：面积=(上底+下底)×高/2，用S表示。

五、圆形圆形是由一个圆心和一条固定的半径构成的图形。

圆形的面积公式为：面积=半径×半径×π，其中π约等于3.14，用S表示。

有时，我们也用πr²来表示圆的面积。

总结一下，以上是初中数学中常见的几种几何图形的面积公式。

在实际问题中，我们可以根据所给的图形，根据相应公式来计算出面积，并进行问题解答。

通过学习这些面积公式，我们不仅可以计算几何图形的面积，还能够更好地理解几何图形之间的关系和性质，提升数学能力。

拼图法验证乘法公式很多同学在学习整式乘法及乘法公式这类代数知识的时候，对于计算公式都是死记硬背的，殊不知直观的图形也能帮助理解公式，数形结合思想是无处不在的。

例1如图（1），阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即＿＿＿＿＿.若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ+SⅢ＝SⅠ+SⅣ＝（a+b）（a－b）.从而验证了平方差公式：＿＿＿＿＿.如图（2），大正方形的面积可以表示为＿＿＿＿，也可以表示为S＝SⅠ+ SⅡ+ SⅢ+SⅣ，同时S＝＿＿＿＿，.从而验证了完全平方公式：＿＿＿＿＿.【思路分析】根据图形我们可知，大正方形边长为a，小正方形边长为b，因此如图（1），阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ+SⅢ＝SⅠ+SⅣ＝（a+b）（a－b）.根据移动前后阴影面积大小不发生变化，从而验证了平方差公式：（a+b）（a－b）＝a2－b2.如图（2）可知大正方形的边长为（a+b），故大正方形的面积可以表示为（a+b）2，同时大正方形的面积也可以视为4个小长方形面积之和，即也可以表示为S＝SⅠ+ SⅡ+ SⅢ+SⅣ=a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2.通过用两种不同的方法表示同一个正方形的面积，从而验证了完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2.那么引申一下：因式分解作为整式乘法的逆运算，有一些也可以通过拼图法来验证。

例2给你若干个长方形和正方形的卡片，如图所示，请你运用拼图的方法，下载相应的种类和数量的卡片，拼成一个矩形，使它的面积等于a2＋5ab＋4b2，并根据你拼成的图形分解多项式a2＋5ab＋4b2．【思路分析】根据图形，我们很容易推断a2、5ab、b2的几何含义分别表示：边长为a的大正方形的面积、长宽分别为b和a的矩形的面积，边长为b的小正方形的面积。

图形的面积与体积公式圆形（正圆）：S=πr^2圆形（正圆外环）：S=πR^2-πr^2圆形（正圆扇形）：S=πr^2×n/360长方体表面积：S=2（ab+ac+bc）{长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2}正方体表面积：S=6a^2{正方体表面积=棱长×棱长×6}球体（正球）表面积：S=4/3πr^2{球体（正球）表面积=圆周率×半径×半径×4/3}1、平行四边形的面积=底×高 S=ah2、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷23、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr4、圆的面积=圆周率×半径×半径Ѕ=πr5、长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×26、长方体的体积 =长×宽×高 V =abh7、正方体的表面积=棱长×棱长×6 S =6a8、正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V=a.a.a= a9、圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 S=ch10、圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积S=2πr +2πrh=2π(d÷2) +2π(d÷2)h=2π(C÷2÷π) +Ch 11、圆柱的体积=底面积×高 V=ShV=πr h=π(d÷2) h=π(C÷2÷π) h12、圆锥的体积=底面积×高÷3V=Sh÷3=πr h÷3=π(d÷2) h÷3=π(C÷2÷π) h÷313、长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高 V=Sh14.180*弧占圆的百分之几（或几分之几）1。

课型专题复习课主题用图形验证整式乘法恒等式主备人刘琳日期教材分析本节课内容，是在学生已经熟练掌握了整式乘法和利用简单图形表示整式乘法公式的基础上，通过计算、割补、拼摆的方式，探索、验证整式乘法恒等式，从而使学生对整式乘法有一个直观的认识，发展几何直观，进而渗透数形结合的数学思想方法.目标重构知识目标：（1）进一步巩固用图形解释整式乘法公式的方法。

（2）通过代数运算和图形验证相结合体会数形结合的思想.能力目标：（1）在操作中思考，在思考中操作，将直观操作与简单推理结合起来，促进学生推理意识的建立。

加强对推理过程的理解和归纳。

（2）在和同伴的交流中，能够用自己的语言清晰的表达自己的发现或说明理由。

情感目标：能在数学活动中体会数学也有独特的美，学习数学也是在接受一种文化的熏陶，彰显数学文化的魅力，通过介绍著名数学家的名言和观点引发学生对数学文化内涵的追求和向往。

教学重点、难点教学重点：（1）通过对问题的解决进一步对图形验证的方法深刻理解；（2）通过利用图形验证的方法体会数形结合的思想。

教学难点：对恒等式的推理验证和图形验证的思路进行简洁明了的归纳，将归纳出的方法内化为思维方式并灵活使用。

学情分析学生已经熟练掌握了整式乘法运算法则，并且学习了用几何直观的方法对平方差和完全平方公式进行解释，具有将数赋予几何意义的初步的活动经验。

教学环节教师活动学生活动绿色评价（一）线下反馈成果展示导语：师：在前面的学习中，同学们对用一个图形解释整式乘法公式有了初步了解。

接下来，我们将在验证整式乘法恒等式过程中提炼方法并体会方法背后蕴含的重要数学思想。

首先，反馈一下昨天我在线上布置的预学任务（两个问题），各组任务完成的非常好，并且将制作的微视频上传至网络平台！下面展示一下各组的优秀成果：指令语言：观看完视频请同学们结合自己解决问题的方法谈谈你的认识，作出评价问题1请用几何图形验证()222a ab a ab+=+成立.（教师播放学生们上传至学习平台上的自制微视频1）师：这组同学由抽象的代数式联想到具体的几何图形，用不同代数式表示图形面积验证了等式成立。

乘法公式概念总汇1、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即 （a+b ）（a-b ）=a 2-b 2说明：（1）几何解释平方差公式如右图所示：边长a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形。

第一种：用正方形的面积公式计算：a 2－b 2；第二种：将阴影部分拼成一个长方形，这个长方形长为（a ＋b ），宽为（a －b ）， 它的面积是：（a ＋b ）（a －b ）结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一块阴影部分的面积。

所以：a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）。

（2）在进行运算时，关键是要观察所给多项式的特点，是否符合平方差公式的形式，即只有当这两个多项式它们的一部分完全相同，而另一部分只有符合不同，才能够运用平方差公式。

平方差公式的a 和b ，可以表示单项式，也可以表示多项式，还可以表示数。

应用平方差公式可以进行简便的多项式乘法运算，同时也可以简化一些数字乘法的运算 2、完全平方公式完全平方公式：两个数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍，即（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，（a-b ）2=a 2-2ab+b 2这两个公式叫做完全平方公式。

平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式 说明：（1）几何解释完全平方（和）公式 如图用多种形式计算右图的面积 第一种：把图形当做一个正方形来看，所以 它的面积就是：（a ＋b ）2第二种：把图形分割成由2个正方形和2个相同的长方形来看，其中大正方形的的边长是a ，小正方形 的边长是b ，长方形的长是a ，宽是b ，所以它的面积就是：a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积 所以：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b2 （2）几何解释完全平方（差）公式 如图用多种形式计算阴影部分的面积 第一种：把阴影部分当做一个正方形来看，所以 它的面积就是：（a-b ）2第二种：把图形分割成由2个正方形和2个相同的 长方形来看，长方形小正方形大正方形阴影S S S S ⨯=2--其中大正方形的的边长是a ，小正方形的边长是b ，长方形的长是（a-b ），宽是b ，所以 它的面积就是：()222222b ab a b b a b a +-=⋅-⋅--结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积所以：()2222bab a b a +-=-（3）在进行运算时，防止出现以下错误：（a+b ）2=a 2+b 2，（a-b ）2=a 2-b 2。

初中数学面积计算口诀一.求几何图形的面积有“三板斧”(1)直接用三角形，特殊四边形，圆，扇形的面积公式来求。

(2)间接割补法，把不规则图形面积通过割补、运动、变形转化为规则易求图形面积的和或差。

(3)特殊求法，即利用相似图形的面积比等于相似比的平方，等底(等高)的三角形面积比等于高(底)比的性质来解。

其次有些乘法公式、勾股定理、三角形的一边平行四边形的比例式等性质，也可用面积法来推导。

二.面积法是什么?运用面积关系解决平面几何体的方法，称为面积法。

它是几何中常用的一种方法。

特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。

所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系会变成数量之间的关系。

这个时候，问题就化繁为简了，只需要计算，有事甚至可以不添置补助线就迎刃而解了!此外，用面积法还可以用来求线段长，证明线段相等(不等)，角相等，比例式或等积式，求线段比等。

虽然这些几乎都可以用其他方法来解决，但是面积法无疑是一种更直接、简易、有效的方法。

三.面积法的常用理论口诀1.三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。

2.同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。

3.平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。

4.同底(等底)的两个三角形面积的比等于高的比。

同高(或等高)的两个三角形面积的比等于底的比。

5.三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。

6.三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的1/47.三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的1/48.有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。

四.面积法的常用解题思路1.分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。

2.作平行线法：通过平行线找出同高(或等高)的三角形。

3.利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。

4.还可以利用面积解决其它问题。

图形的面积与体积公式圆形（正圆）：S=πr^2圆形（正圆外环）：S=πR^2-πr^2圆形（正圆扇形）：S=πr^2×n/360长方体表面积：S=2（ab+ac+bc）{长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2}正方体表面积：S=6a^2{正方体表面积=棱长×棱长×6}球体（正球）表面积：S=4/3πr^2{球体（正球）表面积=圆周率×半径×半径×4/3}1、平行四边形的面积=底×高 S=ah2、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷23、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr4、圆的面积=圆周率×半径×半径Ѕ=πr5、长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×26、长方体的体积 =长×宽×高 V =abh7、正方体的表面积=棱长×棱长×6 S =6a8、正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V=a.a.a= a9、圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 S=ch10、圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积S=2πr +2πrh=2π(d÷2) +2π(d÷2)h=2π(C÷2÷π) +Ch 11、圆柱的体积=底面积×高 V=ShV=πr h=π(d÷2) h=π(C÷2÷π) h12、圆锥的体积=底面积×高÷3V=Sh÷3=πr h÷3=π(d÷2) h÷3=π(C÷2÷π) h÷313、长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高 V=Sh14.180*弧占圆的百分之几（或几分之几）1。

长方形面积公式证法
一、长方形面积公式。

长方形的面积公式为：S = a×b（其中S表示长方形的面积，a表示长方形的长，b 表示长方形的宽）。

二、证法一：数方格法（适用于初步理解长方形面积概念）
1. 原理。

- 我们可以用边长为1个单位长度的小正方形去铺满长方形。

- 小正方形的面积是1×1 = 1（单位面积）。

- 数出铺满长方形所需要的小正方形的个数，这个个数就是长方形的面积。

2. 举例。

- 例如一个长方形，长是5个单位长度，宽是3个单位长度。

- 我们沿着长的方向可以摆5个小正方形，沿着宽的方向可以摆3行。

- 那么总共小正方形的个数就是5×3 = 15个，所以这个长方形的面积就是15个单位面积。

三、证法二：乘法原理推导（从长方形的边长与面积单位的关系推导）
1. 原理。

- 长方形的长a表示沿着长的方向包含的长度单位的个数。

- 长方形的宽b表示沿着宽的方向包含的长度单位的个数。

- 而每个单位长度乘单位宽度（也就是1×1）得到一个单位面积。

- 那么长方形包含的单位面积的个数就是长包含的长度单位个数乘以宽包含的长度单位个数，即S=a×b。

2. 举例。

- 假设有一个长方形，长为4厘米，宽为2厘米。

- 1厘米×1厘米是1平方厘米（这是一个面积单位）。

- 长是4厘米，意味着沿着长的方向有4个1厘米；宽是2厘米，意味着沿着宽的方向有2个1厘米。

- 那么这个长方形包含的1平方厘米的个数就是4×2 = 8个，所以长方形的面积是8平方厘米。

数学公式初一必背公式在初中数学的学习过程中，掌握一些重要的数学公式对于提高数学能力非常重要。

本文将介绍初一学生必须掌握的一些重要数学公式。

1. 计算面积的公式1.1 矩形面积公式矩形的面积公式是初一数学学习的基础，公式如下所示：矩形面积 = 长 × 宽1.2 三角形面积公式三角形的面积公式也是初一必备的重要公式之一。

根据三角形的底和高，可以使用以下公式计算三角形的面积：三角形面积 = 底 × 高 ÷ 21.3 圆的面积公式圆的面积公式是初一需要记住的重要公式。

圆的面积公式可以表示为：圆的面积= π × 半径的平方其中，π的近似值为3.14，半径是指圆的半径长度。

2. 计算周长的公式2.1 矩形周长公式矩形的周长公式如下所示：矩形周长 = 2 × (长 + 宽)2.2 三角形周长公式三角形的周长计算方法取决于三角形类型。

对于等边三角形，可以使用以下公式计算周长：等边三角形周长 = 3 × 边长对于一般的三角形，可以使用以下公式计算周长：一般三角形周长 = 边1 + 边2 + 边33. 计算体积的公式3.1 立方体体积公式立方体的体积公式如下所示：立方体体积 = 边长 × 边长 × 边长3.2 长方体体积公式长方体的体积公式可以表示为：长方体体积 = 长 × 宽 × 高3.3 圆柱体体积公式圆柱体的体积公式可以表示为：圆柱体体积 = 圆的面积 × 高4. 计算比例的公式4.1 百分数计算公式计算百分数的公式如下所示：百分数 = 数量 / 总数 × 100%可以使用该公式计算一个数值在总数中所占的百分比。

4.2 比例计算公式比例计算公式可以表示为：比例 = 两个数的比值比例是用来比较两个数之间的关系的一种方式。

5. 计算速度的公式速度的计算公式可以表示为：速度 = 距离 / 时间速度是表示物体在单位时间内移动的距离。