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高中数学圆的知识点一、圆的定义和性质圆是平面上所有到一个固定点距离相等的点的集合。
其中，到这个固定点的距离称为半径，固定点称为圆心。
圆上的任意一条弧所对的角称为圆心角，而弧所对的弦则是直径的一半。
二、圆的周长和面积1. 周长：圆的周长是圆的边界上的一条线段的长度，也称为圆周。
通过周长公式可以计算出圆的周长：C = 2πr，其中C表示周长，r 表示半径，π是一个常数，约等于3.14159。
2. 面积：圆的面积是圆内部的所有点的集合。
通过面积公式可以计算出圆的面积：A = πr²，其中A表示面积，r表示半径，π是一个常数，约等于3.14159。
三、圆与直线的关系1. 切线：与圆只有一个交点的直线称为切线。
切线与圆的切点处的切线角为直角。
2. 弦：连接圆上两点的线段称为弦。
如果一条弦经过圆心，则称为直径，直径是弦的最长一条。
3. 弧与弦的关系：弧所对的弦等于圆周上两点间的距离。
四、圆的相交关系1. 相离：两个圆没有交点，彼此之间没有任何交集。
2. 外切：两个圆相切于外部的一点，且这个切点是它们两个圆心连线的垂直平分线上。
3. 相交：两个圆相交于两个不同的交点。
4. 内切：两个圆相切于内部的一点，且这个切点是它们两个圆心连线的垂直平分线上。
5. 同心圆：两个圆的圆心重合，但半径不同。
五、圆与三角形的关系1. 内切圆：一个三角形内切于一个圆，即这个圆的圆心与三角形的内心重合，且这个圆与三角形的三条边都相切。
2. 外接圆：一个三角形的三个顶点在同一个圆上，称为外接圆。
六、圆的投影1. 圆锥曲线：当一个圆与一个平面相交时，投影在平面上的图形为圆锥曲线。
常见的圆锥曲线有椭圆、双曲线和抛物线。
七、圆的应用1. 数学上，圆的知识点广泛应用于几何学、三角学、物理学等各个领域中。
2. 工程上，圆的形状在建筑、道路设计、机械制造等方面有广泛应用。
例如，圆形的零件更容易制造和安装，圆形的建筑物结构更稳定。
总结：高中数学的圆的知识点包括圆的定义和性质、周长和面积的计算、圆与直线的关系、圆的相交关系、圆与三角形的关系、圆的投影以及圆的应用。
高中圆知识点总结高中圆知识点总结一、基本概念1. 圆：由平面内的一点到另一点距离等于定长的所有点的集合。
2. 圆心：圆所在平面内到圆内任意点的距离相等的点。
3. 半径：圆心到圆上任意点的距离。
4. 直径：通过圆心的线段，且两端点都在圆上。
5. 弦：圆上两点之间的线段。
6. 弧：圆上两点之间的部分。
7. 圆周：圆的周长。
8. 圆内切：一个圆恰好与另一个圆内部相切。
9. 圆外切：一个圆恰好与另一个圆外部相切。
二、圆的性质1. 圆心角的度数等于其所对的弧的度数。
2. 弧对应的圆心角具有相等的度数。
3. 同弧的两个圆心角互为补角。
4. 相等的圆心角所对应的弧长相等。
5. 同弧的两个弧所对应的圆心角互为补角。
6. 切线与半径垂直相交。
7. 切线与弦的交角等于其所对的弧所对应的圆心角的一半。
8. 直径是弧上的非常量弦中长度最长的。
9. 圆的直径是半径的2倍。
10. 同弧所对应的弧长与圆周的比例等于圆心角的比例。
三、圆的方程1. 标准方程：(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径长度。
2. 一般方程：x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为实数。
四、圆的相关定理1. 必要条件：如果两条弦相交于圆内或圆上一点，则这两条弦所对的圆心角互为补角。
2. 若两弦相交于圆上一点，则这两条弦的交点、两端点以及圆心所成的角的度数相等。
3. 切线与半径的垂直性质：过切点的切线垂直于过切点的半径。
4. 弦切角定理：切线与弦的交角等于其所对的弧所对应的圆心角的一半。
5. 切线分割弦定理：切点到圆心的距离与切点分割的弦的两部分的积相等。
6. 弧切角定理：相等的弧所对应的圆心角相等。
7. 弦切角定理：相等的弦所对应的圆心角相等。
五、圆与三角形的关系1. 内切圆：一个圆与三角形的内部相切。
2. 外切圆：一个圆与三角形的外部相切。
高中圆知识点总结一、定义圆是平面上与一个确定点的距离相等的所有点的集合。
这个点叫做圆心，圆心到圆上任意一点的距离称为半径。
圆的数学符号是⭕。
二、基本性质1. 圆的直径圆的直径是以圆心为中心，与圆的边界相切的直线段的长度。
直径的长度是半径的两倍。
直径的长度 = 2 × 半径2. 圆的周长圆的周长是指圆的边界的长度。
周长通常用C表示。
圆的周长等于圆的直径乘以π（3.14）。
周长 = 直径× πC = d × π或者周长 = 2 × 半径× πC = 2r × π3. 圆的面积圆的面积是指圆的内部的区域的大小。
通常用A表示。
圆的面积= π × 半径²A = πr²4. 弧长两个相邻的边点之间的部分称为圆的一条弧。
与边点相对的圆心角对应的弧长称为圆心角对应的弧。
弧长通常用S表示。
弧长 = 弧度 × 半径S = r × θ（弧度是角度的一种度量单位，1弧度等于以圆心为半径的弧长等于半径长的角）5. 扇形的面积圆上的一段弧和两条半径构成了一个扇形。
扇形的面积等于扇形对应的圆心角的一半。
扇形的面积 = （圆心角 / 360°）× πr²三、相关定理1. 圆上的两条垂直直径互相平分圆上的两条垂直直径互相平分对方如果P1、P2分别位于两条垂直直径上，那么2个点之间的距离为r2. 圆的切线切线是铲平线与圆的切线圆的圆心处形成的角相等直径垂直于切线3. 定理:相交弦的性质相交弦的性质：如果两条弦相交于圆的内部，那么如果这条弦是两弦的弧大，那么对应这条弦的内角大。
如果这条弦是两弦的弧大，那么对应这条弦的外角大。
4. 圆的间题定理1（切线公理）：过点A，B两点可做一切线定理2（切线与半径的垂直性）：切线与半径的关系为垂直关系定理3：圆中外切三角形定理4：内切三角形定理5：切线的长度问题定理6：切线截圆弧应用问题四、圆的应用1. 在几何中，圆是最常见的几何体之一。
数学圆知识点总结高中一、圆的概念圆是平面上到一个定点距离等于定长的所有点的集合。
这个定点叫做圆心，定长叫做半径，以圆心为圆心、半径为半径的圆简称圆。
二、圆的性质1. 圆上任意两点间的距离相等2. 圆上任何一点到圆心的距离都是半径3. 圆周率4. 圆的直径5. 圆的弧长6. 圆的面积7. 圆的切线8. 圆心角与弧度的关系9. 圆的切线与切点的性质10. 弧与角的关系11. 圆的垂径定理12. 圆内接四边形的性质13. 圆的内切与外切14. 弧的测量方法三、圆的相关定理1. 锐角三角函数定理2. 直角三角函数定理3. 直角相似定理4. 平行线性质定理5. 相似三角形的性质6. 重点关注题型分析和解题方法四、圆的相关公式1. 圆周率的值2. 圆周率的性质3. 圆的面积公式4. 圆的周长公式5. 弧长公式6. 圆心角与弧度的关系公式7. 圆内接四边形的面积公式8. 圆的面积与周长的关系公式9. 圆环的面积公式10. 圆锥的体积与表面积公式五、圆的相关题型1. 高中时的数学常见考点2. 如何快速解题3. 专项练习4. 常见考题解析六、圆的相关解题技巧1. 观察题目2. 理清思路3. 画图分析4. 运用正确的公式5. 多加练习6. 各种解题技巧七、圆的相关习题1. 选择题2. 填空题3. 计算题4. 解答题5. 各种类型的练习题八、圆的相关知识延伸1. 与圆相关的几何图形2. 圆的应用3. 圆的推广4. 圆的物理意义5. 圆的历史与文化6. 圆的发展前景九、圆的相关案例分析1. 实际问题分析2. 解决方案3. 利用圆的知识解决实际问题4. 围绕圆的案例研究十、总结根据以上所述，圆的相关知识点是相当广泛的，包括圆的概念、性质、定理、公式、题型、解题技巧、习题、知识延伸、案例分析等内容。
学习圆的相关知识，既需要掌握理论知识，也需要灵活应用，注重实际问题的解决，才能真正掌握圆的相关知识。
希望各位同学在学习圆的知识时，能够多加练习，理清思路，灵活运用，提高解题能力，取得更好的成绩。
高中圆的知识点总结1. 圆的定义和基本概念圆是平面上各点到一个固定点（圆心）的距离都相等的点的集合。
圆的“半径”是圆心到圆周上任意一点的距离，通常用字母“r”表示。
圆的“直径”是圆周上通过圆心的线段，直径的长度是半径的两倍。
圆的“周长”是圆周的长度，通常用字母“C”表示。
圆的“面积”是圆内部的所有点的集合，通常用字母“S”表示。
2. 圆的性质（1）圆的周长公式圆的周长公式是C=2πr，其中π≈3.14，r为圆的半径。
这个公式表明，圆的周长与其半径成正比，即半径越大，周长越长。
（2）圆的面积公式圆的面积公式是S=πr²，其中π≈3.14，r为圆的半径。
这个公式表明，圆的面积与其半径的平方成正比，即半径越大，面积越大。
（3）切线与切点过圆外一点可以作唯一一条切线，这个切线与这个圆有一个且只有一个交点，这个点称为切点。
切线与切点的性质是，切线垂直于半径，切线切点的切线长相等。
3. 圆的相关定理（1）直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种情况：直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。
两个图形的位置关系不仅体现了地理空间的关系，更体现出图形的大小关系。
（2）相交弦定理相交弦定理又叫做切割线段定理，它是平面圆的一个基本定理。
它可以用来解决直线与圆的位置关系问题。
（3）弦长定理在一个圆内，两条相交弦所成的四个弦长乘积相等。
这个定理被广泛应用于圆的弦长问题中。
（4）切线定理过圆外一点到圆有且只有一条切线。
4. 圆的应用（1）圆的应用非常广泛，例如在数学中，圆被广泛应用于几何学、三角学、微积分等领域。
在工程中，圆被广泛应用于工程建筑、机械制造、航空航天等领域。
在日常生活中，圆被广泛应用于建筑设计、家具制造、餐具生产等领域。
（2）圆的应用实例有很多，例如在建筑设计中，圆形的建筑和结构被广泛应用于建筑中。
在家具制造中，圆形的家具设计和制造被广泛应用于家具生产中。
在餐具生产中，圆形的餐具设计和制造被广泛应用于餐具生产中。
高中数学关于圆的知识点总结
圆是高中数学中一个重要的几何图形，它在高考数学中经常出现。
以下是高中数学关于圆的一些知识点总结:
1. 圆的定义：圆是到定点距离等于定长的点的集合。
2. 圆的方程：圆的方程通常用 (x,y) 表示圆心坐标，用 (x0,y0) 表示圆心坐标，用 r 表示圆的半径，则有
x=x0+rcos(θ),y=y0-rsin(θ)。
3. 圆的性质：圆的轴对称性、圆的旋转对称性、圆的平移对称性。
4. 圆的切线：圆上的任意一点到圆心的距离等于该点到切线的
距离，切线的定义、性质、判定。
5. 圆的弦：圆上的任意一点到圆心的距离等于弦的半径，弦的
定义、性质、判定。
6. 圆的弦图：圆的弦图是指用圆规在圆上画出的表示弦的图形，弦图的作用、绘制方法。
7. 圆周角定理及其推论：圆周角定理是指到同圆或等圆中，同
弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。
圆周角度数定理是指圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
8. 圆周运动：质点沿圆周运动，在相等的时间里通过的圆弧长
度相同，匀速圆周运动的特点是质点受到的向心力始终指向圆心，向心力只改变运动物体的速度方向，不改变速度大小。
9. 向心力公式：向心力公式是指 F=ma，其中 F 为向心力，m 为
质点的质量，a 为质点的速度变化率。
10. 圆的幂函数：圆的幂函数是指用圆心角的角度作为自变量，角度的度数作为因变量的函数，幂函数的定义、性质。
中高考圆的知识点归纳总结中高考数学中，圆是一个重要的几何概念，涉及到圆的相关定理、性质以及应用。
本文将对中高考数学中关于圆的知识点进行归纳总结，帮助同学们系统地复习和掌握这一部分内容。
一、圆的基本概念1. 定义：圆是平面上所有与一个给定点的距离相等的点的集合。
2. 元素：圆心、半径，记作O、r，其中O为圆心，r为半径。
3. 相关概念：（1）直径：通过圆心的一条线段，两端点在圆上，长度为半径的两倍。
（2）弦：圆上连接两点的线段。
（3）弧：圆上连接两点的部分。
（4）圆周：圆上的所有点。
（5）弧长：弧所对应的圆周的长度，可以用角度来表示。
二、圆与直线的位置关系1. 切线：与圆只有一个交点的直线。
2. 切点：切线与圆的交点。
3. 弦切角：指一条弦与其切线所夹的角，等于弦对应的圆心角的一半。
三、圆的性质与定理1. 基本性质：（1）圆内任意两点的距离小于等于半径的长度。
（2）圆内任意两点与圆心的连线垂直。
（3）同一圆内，两条弦等长则对应的圆心角相等，反之亦成立。
（4）圆内接定理：半径垂直于弦，且平分两条弦所对圆心角。
（5）弦长定理：同样弦的两条弧，它们所对的圆心角相等。
2. 关于圆心角的定理：（1）圆心角定理：圆周角等于其所对的弧所夹的圆心角的两倍。
（2）弧所对圆心角定理：弧所对的圆心角等于所对弧的两端点两条半径形成的角的平均值。
3. 关于切线的定理：（1）切线定理：切线与半径垂直。
（2）切线长度定理：切线与半径的乘积等于切点到圆心的距离的平方。
四、圆的应用1. 弧长与扇形面积计算：通过所给的半径和圆心角，可以计算弧长和扇形面积。
2. 圆的切线问题：求切点坐标、切线方程等。
3. 与圆相关的证明题：结合所学的定理，运用逻辑推理进行证明。
综上所述，中高考数学中的圆概念、性质、定理以及应用是重要的知识点之一。
同学们在复习和应用时，应该熟悉圆的性质和定理，弄清楚圆与直线的位置关系，掌握相关应用技巧，通过大量的练习提升自己的解题水平。
高中圆知识点归纳总结圆是圆心到圆周上任意一点的距离等于半径的线段，圆的直径是圆上任意两点的距离等于半径的两倍。
圆的周长是圆的边界的长度，圆的面积是圆内部的面积。
在数学中，圆是一个非常基础的几何图形，也是许多数学问题中的基础形状之一。
本文将对高中数学中关于圆的相关知识点进行归纳总结，包括圆的定义、性质、相关定理和定理的证明等内容。
一、圆的相关知识点1. 圆的定义圆是平面上到一个定点距离等于定长的动点的轨迹。
这个定点叫做圆心，这个定长叫做半径。
2. 圆的基本性质（1）圆上任意一点到圆心的距离等于半径的长度。
（2）圆上所有点到圆心的距离都相等。
（3）圆的直径是圆的两个端点的距离等于半径的二倍。
（4）圆的周长等于直径与π的乘积。
（5）圆的面积等于半径的平方与π的乘积。
3. 圆的相关定理（1）同弧（或同角）的圆周角相等。
（2）圆内切等腰三角形。
（3）弦上的圆周角等于弦所在圆的中心角（或外角）。
（4）圆内接四边形内角和为180度。
（5）相交弦定理：相交弦这俩一半与另一半分别相乘相等。
（6）直径上的等角：直径所含角都是90度。
二、重要定理及证明1. 圆的周长和面积圆的周长C=2πr，圆的面积S=πr²。
其中r为半径，π≈3.14159。
2. 弧长与圆心角以及面积的关系（1）弧长L=θr，其中θ为圆心角的度数，r为半径。
（2）圆的面积S=θ/360*πr²，其中θ为圆心角的度数，r为半径。
3. 锥的切线定理（切割定理）如果直线L与圆C相交于点A和B，那么从点A、B作出的切线AB与L垂直（AB与弦的交角=弦的交角的一半）。
证明：设AB是切线，则AC、BC就是切线，所以∠ABC=∠ACB，所以AB⊥L。
三、常见的计算题目1. 已知圆的半径为r，求圆的周长和面积。
解：圆的周长C=2πr，圆的面积S=πr²。
2. 圆的面积为S，求圆的半径和周长。
解：圆的半径r=√(S/π)，圆的周长C=2πr。
高中数学圆的知识点一、圆的定义与性质圆是平面上距离一个固定点（圆心）相等的点的轨迹。
圆上的每个点到圆心的距离称为半径，圆上任意两点之间的距离称为弦。
圆的性质包括：圆心角相等的弦相等；在同一个圆中，圆心角相等的弧相等；在同一个圆中，与定弧或等弧所对的圆心角相等；在同一个圆中，弧所对的圆心角相等。
二、圆的相关线段与角1. 直径直径是圆上任意两点的连线，并且经过圆心的线段。
直径的长度等于半径的两倍。
2. 弦弦是圆上任意两点的连线，并且不经过圆心的线段。
弦的长度小于或等于直径。
3. 弧弧是圆上的一段弯曲的部分。
弧可以用弧度或角度来表示，弧度是用单位圆的半径长作圆心角的弧长，角度则是以度为单位的弧长。
4. 切线切线是与圆相切且只有一个交点的直线。
切线与半径所在直线的夹角等于直角。
5. 弦切角弦切角是切线与弦所夹的角。
弦切角等于它所对的弧所对的圆心角的一半。
6. 弦弧角弦弧角是弦与弧所夹的角。
弦弧角等于它所对的弧所对的圆心角的一半。
三、圆的定理1. 弦长定理在同一个圆或等圆中，两条弦相等时，它们所对的弧也相等；反之，如果两条弦所对的弧相等，则这两条弦也相等。
2. 弧长定理在同一个圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；反之，如果两条弧所对的圆心角相等，则这两条弧相等。
3. 弧度制弧度制是用单位圆的半径长作圆心角的弧长。
一个圆的周长是2πr，其中r为圆的半径。
一个完整的圆所对的弧长为2πr，对应的圆心角为360°。
4. 切线定理切线与半径所在直线的夹角等于直角。
切线和半径所在直线的夹角的正弦值等于切线上对应的弦的中点与圆心连线的长度与半径的比值。
四、圆与其他几何图形的关系1. 圆与正方形正方形的对角线相交于圆心，并且以对角线的一半为半径的圆切割正方形。
2. 圆与矩形矩形的对角线相交于圆心，并且以对角线的一半为半径的圆切割矩形。
3. 圆与三角形圆与三角形的关系有：圆内切三角形、圆外切三角形、圆内接三角形和圆外接三角形。
高中圆形知识点总结一、圆的基本概念1. 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的全体构成的集合称为圆。
2. 圆的要素：圆心、半径、直径、弧、弦、切线、切点等。
3. 周长和面积：圆的周长公式C=2πr，面积公式S=πr^2。
4. 圆的相关概念：扇形、弓形、圆心角、外接角、内切角等。
二、圆的相关定理1. 同圆弧定理：同圆的两条弧所对圆心角相等，弧所对圆心角不相等则弧长不等。
2. 弧长和弧度：弧长公式L=αr，弧度公式α=π/180°。
3. 圆心角与弧度的关系：圆心角的度数除以360°再乘以2π即为对应的弧度。
4. 弦心角定理：弦心角等于弦所对的圆周角的一半。
5. 弦的性质：相等的弧所对的外弧相等、相等的弦所对的内切角相等。
6. 切线定理：有一个点P在圆外，点A、B在圆上，PA、PB是两个切线，则PA=PB。
7. 切线长度的求解：切线长的平方等于弦长乘以弦长所对的外切角的正切值。
三、圆在几何问题中的应用1. 圆的平移和旋转：圆的平移不改变半径和圆心角，圆的旋转角度也不改变半径和圆心角。
2. 圆的相交问题：相交弧的性质以及相交弧与弦、切线的关系。
3. 圆的相似问题：相似条件下相似圆的半径、圆周角、面积的关系。
4. 圆与多边形的结合：圆内接和外接多边形、多边形的内角和外角与圆周角的关系。
四、圆的三角函数1. 弧度制下的三角函数：弧度制下的正弦、余弦、正切、余切的概念和性质。
2. 圆周上三角函数的应用：求角度和弧度、求三角函数值、求角度与弧度的转换等。
综上所述，高中圆形知识点主要涉及圆的基本概念、相关定理、在几何问题中的应用以及圆的三角函数等内容。
掌握这些知识可以帮助学生更好地理解和应用圆的性质，解决各种与圆相关的几何问题。
同时，圆形知识也是数学学科中重要的一部分，对于学生发展数学思维和提高数学素养具有重要意义。
高中圆的知识点总结椭圆的中心及其对称性；判断曲线关于x轴、y轴及原点对称的依据；如果曲线具有关于x轴、y轴及原点对称中的任意两种，那么它也具有另一种对称性；注意椭圆不因坐标轴改变的固有性质。
下面是圆的知识点总结。
一、教学内容：椭圆的方程高考要求：理解椭圆的标准方程和几何性质.重点：椭圆的方程与几何性质.难点：椭圆的方程与几何性质.二、知识点：1、椭圆的定义、标准方程、图形和性质定义第一定义：平面内与两个定点 )的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距第二定义：平面内到动点距离与到定直线距离的比是常数e.(0标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上图形焦点在x轴上焦点在y轴上性质焦点在x轴上范围：对称性：轴、轴、原点.顶点：， .离心率：e概念：椭圆焦距与长轴长之比定义式：范围：2、椭圆中a，b，c，e的关系是：(1)定义：r1+r2=2a(2)余弦定理： + -2r1r2cos(3)面积： = r1r2 sin ?2c| y0 |(其中P( )三、基础训练：1、椭圆的标准方程为焦点坐标是，长轴长为___2____，短轴长为2、椭圆的值是__3或5__;3、两个焦点的坐标分别为 ___;4、已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离是7，则点P 到另一个焦点5、设F是椭圆的一个焦点，B1B是短轴，，则椭圆的离心率为6、方程 =10，化简的结果是 ;满足方程7、若椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为8、直线y=kx-2与焦点在x轴上的椭圆9、在平面直角坐标系顶点，顶点在椭圆上，则10、已知点F是椭圆的右焦点，点A(4，1)是椭圆内的一点，点P(x，y)(x0)是椭圆上的一个动点，则的最大值是 8 .【典型例题】例1、(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，短轴长为4，求椭圆的方程.(2)中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1，求椭圆的方程.解：设方程为 .所求方程为(3)已知三点P，(5，2)，F1 (-6，0)，F2 (6，0).设点P，F1，F2关于直线y=x的对称点分别为，求以为焦点且过点的椭圆方程 .解：(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为所以所求椭圆的标准方程为(4)求经过点M( ， 1)的椭圆的标准方程.解：设方程为例2、如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心) 为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km，并且、A、B在同一直线上，设地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程 (精确到1km).解：建立如图所示直角坐标系，使点A、B、在轴上。
则 =|OA|-|O |=| A|=6371+439=6810解得 =， =.卫星运行的轨道方程为例3、已知定圆分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值根据图形，用数学符号表示此结论：上式可以变形为，又因为，所以圆心M的轨迹是以P，Q 为焦点的椭圆解：知圆可化为：圆心Q(3，0)。
设动圆圆心为，则为半径又圆M和圆Q内切，所以。
即，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以，故动圆圆心M的轨迹方程是：例4、已知椭圆的焦点是 |和|(1)求椭圆的方程;(2)若点P在第三象限，且 =120，求 .选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题.解：(1)由题设| |=2| |=4(2)设，则 =60-由正弦定理得：由等比定理得：.说明：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正(余)弦定理，借助比例性质进行处理.对于第二问还可用后面的几何性质，借助焦半径公式余弦定理把P点横坐标先求出来，再去解三角形作答例5、如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向轴作垂线段PP?@，求线段PP?@的中点M 的轨迹(若M分 PP?@之比为，求点M的轨迹)解：(1)当M是线段PP?@的中点时，设动点，则的坐标为因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上。
所以有所以点(2)当M分 PP?@之比为时，设动点，则的坐标为因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有。
例6、设向量 =(1， 0)， =(x+m) +y =(x-m) +y |+| (I)求动点P(x，y)的轨迹方程;(II)已知点A(-1， 0)，设直线y= (x-2)与点P的轨迹交于B、C两点，问是否存在实数m，使得 ?若存在，求出m的值;若不存在，请说明理由.解：(I)∵ =(1， 0)， =(0， 1)， | =6上式即为点P(x， y)到点(-m， 0)与到点(m， 0)距离之和为6.记F1(-m， 0)，F2(m， 0)(0|PF1|+|PF2|=6|F1F2|又∵x0，P点的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆的右半部分.∵ 2a=6，a=3又∵ 2c=2m， c=m，b2=a2-c2=9-m2所求轨迹方程为 (x0，0( II )设B(x1， y1)，C(x2， y2)。
而y1y2= (x1-2)? (x2-2)= [x1x2-2(x1+x2)+4][x1x2-2(x1+x2)+4]= [10x1x2+7(x1+x2)+13]若存在实数m，使得成立则由 [10x1x2+7(x1+x2)+13]=可得10x1x2+7(x1+x2)+10=0 ①消去y，得(10-m2)x2-4x+9m2-77=0 ②因为直线与点P的轨迹有两个交点.由①、④、⑤解得m2= 9，且此时△0但由⑤，有9m2-77= 0与假设矛盾不存在符合题意的实数m，使得例7、已知C1：，抛物线C2：(y-m)2=2px (p0)，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.(Ⅰ)当ABx轴时，求p、m的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;(Ⅱ)若p= ，且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.解：(Ⅰ)当ABx轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，直线AB的方程为x=1，从而点A的坐标为(1， )或(1，- ).此时C2的焦点坐标为( ，0)，该焦点不在直线AB上.(Ⅱ)当C2的焦点在AB上时，由(Ⅰ)知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k(x-1).因为C2的焦点F( ，m)在y=k(x-1)上.所以k2x2- (k2+2)x+ =0 ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0 ③由于x1、x2也是方程③的两根，所以x1+x2=又m=- m= 或m=-当m= 时，直线AB的方程为y=- (x-1);当m=- 时，直线AB的方程为y= (x-1).例8、已知椭圆C： (a0，b0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为e.直线l：y=ex+a与x轴，y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设 = .(Ⅰ)证明：(Ⅱ)若，△MF1F2的周长为6，写出椭圆C的方程;(Ⅲ)确定解：(Ⅰ)因为A、B分别为直线l：y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是A(- ，0)，B(0，a).(Ⅱ)当时， a=2c由△MF1F2的周长为6，得2a+2c=6a=2，c=1，b2=a2-c2=3故所求椭圆C的方程为(Ⅲ)∵PF1l PF1F2=90BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 |PF1|=C.设点F1到l的距离为d，由即当(注：也可设P(x0，y0)，解出x0，y0求之)【模拟试题】一、选择题1、动点M到定点和的距离的和为8，则动点M的轨迹为A、椭圆B、线段C、无图形D、两条射线2、设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是A、 C、2- -13、(20XX年高考湖南卷)F1、F2是椭圆C：的焦点，在C 上满足PF1PF2的点P的个数为A、2个B、4个C、无数个D、不确定4、椭圆的左、右焦点为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为A、32B、16C、8D、45、已知点P在椭圆(x-2)2+2y2=1上，则的最小值为6、我们把离心率等于黄金比是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则等于A、 C、二、填空题7、椭圆的顶点坐标为和，焦点坐标为，焦距为，长轴长为，短轴长为，离心率为，准线方程为 .8、设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i=1，2， )，使得|FP1|、|FP2|、|FP3|组成公差为d的等差数列，则d的取值范围是 .9、设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，则得 .10、若椭圆 =1的准线平行于x轴则m的取值范围是三、解答题11、根据下列条件求椭圆的标准方程(1)和椭圆共准线，且离心率为 .(2)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点.12、已知轴上的一定点A(1，0)，Q为椭圆上的动点，求AQ中点M的轨迹方程13、椭圆的焦点为 =(3， -1)共线.(1)求椭圆的离心率;(2)设M是椭圆上任意一点，且 = 、 R)，证明为定值.【试题答案】1、B2、D3、A4、B5、D(法一：设，则y=kx代入椭圆方程中得：(1+2k2)x2-4x+3=0，由△0得： .法二：用椭圆的参数方程及三角函数的有界性求解)6、C7、( ;(0， );6;10;8; ; .10、m 且m0.11、(1)设椭圆方程 .所求椭圆方程为的坐标为13、解：设P点横坐标为x0，则为钝角.当且仅当 .14、(1)解：设椭圆方程，F(c，0)，则直线AB的方程为y=x-c，代入，化简得：由 =(x1+x2，y1+y2)，共线，得：3(y1+y2)+(x1+x2)=0。
又y1=x1-c，y2=x2-c3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0， x1+x2=(2)证明：由(1)知a2=3b2，所以椭圆可化为x2+3y2=3b2∵M 2+3。
