2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)一、选择题1.A 因为B={x|(x-1)(x+2)<0}={x|-2<x<1},A={-2,-1,0,1,2},故A∩B={-1,0}.选A.2.B ∵(2+ai)(a-2i)=-4i⇒4a+(a2-4)i=-4i,∴4a=0,a2-4=-4,解得a=0.3.D 由柱形图可知:A、B、C均正确,2006年以来我国二氧化硫年排放量在逐渐减少,所以排放量与年份负相关,∴D不正确.4.B 设{a n}的公比为q,由a1=3,a1+a3+a5=21得1+q2+q4=7,解得q2=2(负值舍去).∴a3+a5+a7=a1q2+a3q2+a5q2=(a1+a3+a5)q2=21×2=42.5.C ∵-2<1,∴f(-2)=1+log2[2-(-2)]=3;∵log212>1,∴f(log212)=2log212-1=2log26=6.∴f(-2)+f(log212)=9.6.D 如图,由已知条件可知,截去部分是以△ABC为底面且三条侧棱两两垂直的正三棱锥D-ABC.设正方体的棱长为a,则截去部分的体积为16a3,剩余部分的体积为a3-16a3=56a3.它们的体积之比为15.故选D.评析本题主要考查几何体的三视图和体积的计算,考查空间想象能力.7.C 设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b=3-72=-2.再由|PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-2),|PA|=(1-1)2+(3+2)2=5,于是圆P的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-2±26,则|MN|=|(-2+26)-(-2-26)|=46.8.B 开始:a=14,b=18,第一次循环:a=14,b=4; 第二次循环:a=10,b=4; 第三次循环:a=6,b=4; 第四次循环:a=2,b=4; 第五次循环:a=2,b=2. 此时,a=b,退出循环,输出a=2. 评析 熟悉“更相减损术”对理解框图所确定的算法有帮助. 9.C∵S △OAB 是定值,且V O-ABC =V C-OAB ,∴当OC ⊥平面OAB 时,V C-OAB 最大,即V O-ABC 最大.设球O 的半径为R,则(V O-ABC )max =13×12R 2×R=16R 3=36,∴R=6,∴球O 的表面积S=4πR 2=4π×62=144π. 评析点C 是动点,如果以△ABC 为底面,则底面面积与高都是变量,因此转化成以△OAB 为底面(S △OAB 为定值),这样高越大,体积越大. 10.B当点P 与C 、D 重合时,易求得PA+PB=1+ ;当点P 为DC 的中点时,有OP ⊥AB,则x=π2,易求得PA+PB=2PA=2 2.显然1+ 5>2 2,故当x=π2时, f(x)没有取到最大值,则C 、D 选项错误.当x ∈ 0,π4 时, f(x)=tan x+ 4+tan 2x ,不是一次函数,排除A,故选B. 11.D设双曲线E 的标准方程为x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0),则A(-a,0),B(a,0),不妨设点M 在第一象限内,则易得M(2a, 3a),又M 点在双曲线E 上,于是(2a )2a -( 3a)2b=1,解得b 2=a 2,∴e= 1+b 2a = 2. 12.A 令g(x)=f (x )x ,则g'(x)=xf '(x )-f (x )x ,由题意知,当x>0时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)上是减函数.∵f(x)是奇函数, f(-1)=0,∴f(1)=-f(-1)=0,∴g(1)=f (1)1=0,∴当x ∈(0,1)时,g(x)>0,从而f(x)>0; 当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0,从而f(x)<0. 又∵g(-x)=f (-x )-x=-f (x )-x=f (x )x=g(x),∴g(x)是偶函数,∴当x ∈(-∞,-1)时,g(x)<0,从而f(x)>0; 当x ∈(-1,0)时,g(x)>0,从而f(x)<0. 综上,所求x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1). 评析出现xf '(x)+f(x)>0(<0)时,考虑构造函数F(x)=xf(x),出现xf '(x)-f(x)>0(<0)时,考虑构造函数g(x)=f (x )x.二、填空题 13.答案 12解析 由于a,b 不平行,所以可以以a,b 作为一组基底,于是λa+b 与a +2b 平行等价于λ1=12,即λ=12. 14.答案 32解析作出可行域,如图:由z=x+y 得y=-x+z,当直线y=-x+z 过点A 1,12 时,z 取得最大值,z max =1+12=32. 15.答案 3解析设f(x)=(a+x)(1+x)4,则其所有项的系数和为f(1)=(a+1)·(1+1)4=(a+1)×16,又奇数次幂项的系数和为12[f(1)-f(-1)],∴12×(a+1)×16=32,∴a=3.评析二项展开式问题中,涉及系数和的问题,通常采用赋值法.16.答案-1n解析∵a n+1=S n+1-S n,∴S n+1-S n=S n+1S n,又由a1=-1,知S n≠0,∴1S n -1S n+1=1,∴1S n是等差数列,且公差为-1,而1S1=1a1=-1,∴1S n=-1+(n-1)×(-1)=-n,∴S n=-1n.三、解答题17.解析(Ⅰ)S △ABD=12AB·ADsin∠BAD,S△ADC=12AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sin∠Bsin∠C =ACAB=12.(Ⅱ)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=2.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(Ⅰ)知AB=2AC,所以AC=1.评析本题考查正弦定理,余弦定理的应用,以及三角形的面积公式.属常规题,中等偏易.18.解析(Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:464 2 6245568864 3 73346992865 18 32 175529 1 3通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.(Ⅱ)记C A1表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;C A2表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”;C B1表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”;C B2表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”,则C A1与C B1独立,C A2与C B2独立,C B1与C B2互斥,C=C B1C A1∪C B2C A2.P(C)=P(C B1C A1∪C B2C A2)=P(C B1C A1)+P(C B2C A2)=P(C B1)P(C A1)+P(C B2)P(C A2).由所给数据得C A1,C A2,C B1,C B2发生的频率分别为1620,420,1020,820,故P(C A1)=1620,P(C A2)=420,P(C B1)=1020,P(C B2)=820,P(C)=1020×1620+820×420=0.48.19.解析 (Ⅰ)交线围成的正方形EHGF 如图:(Ⅱ)作EM ⊥AB,垂足为M,则AM=A 1E=4,EM=AA 1=8. 因为EHGF 为正方形,所以EH=EF=BC=10. 于是MH= EH 2-E M 2=6,所以AH=10.以D 为坐标原点,DA 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),FE =(10,0,0),HE =(0,-6,8). 设n =(x,y,z)是平面EHGF 的法向量, 则 n ·FE =0,n ·HE =0,即10x =0,-6y +8z =0, 所以可取n =(0,4,3).又AF =(-10,4,8),故|cos<n ,AF >|=|n ·AF||n ||AF|=4 515. 所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4 515. 评析本题背景常规,设问新颖,鼓励动手试验、创新尝试、独立思考.对空间想象力有较高要求. 20.解析(Ⅰ)设直线l:y=kx+b(k ≠0,b ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M ).将y=kx+b 代入9x 2+y 2=m 2得(k 2+9)x 2+2kbx+b 2-m 2=0,故 x M =x 1+x 22=-kb k +9,y M =kx M +b=9bk +9.于是直线OM 的斜率k OM =yM x M=-9k,即k OM ·k=-9. 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值. (Ⅱ)四边形OAPB 能为平行四边形.因为直线l 过点 m3,m ,所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k>0,k ≠3.由(Ⅰ)得OM 的方程为y=-9k x.设点P 的横坐标为x P .由 y =-9k x,9x 2+y 2=m 2得x P 2=k 2m 29k 2+81,即x P =3 k 2+9. 将点 m 3,m 的坐标代入l 的方程得b=m (3-k )3,因此x M =k (k -3)m 3(k +9).四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即x P =2x M . 于是3 k 2+9=2×k (k -3)m3(k 2+9),解得k 1=4- 7,k 2=4+ 7.因为k i >0,k i ≠3,i=1,2,所以当l 的斜率为4- 7或4+ 7时,四边形OAPB 为平行四边形. 评析本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,设问常规,但对运算能力要求较高,考查学生的思维能力. 21.解析(Ⅰ)f '(x)=m(e mx -1)+2x.若m ≥0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1≤0, f '(x)<0; 当x ∈(0,+∞)时,e mx -1≥0, f '(x)>0.若m<0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1>0, f '(x)<0; 当x ∈(0,+∞)时,e mx -1<0, f '(x)>0.所以, f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,对任意的m, f(x)在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.所以对于任意x 1,x 2∈[-1,1],|f(x 1)-f(x 2)|≤e-1的充要条件是 f (1)-f (0)≤e-1,f (-1)-f (0)≤e-1,即 e m -m ≤e-1,e -m +m ≤e-1.①设函数g(t)=e t -t-e+1,则g'(t)=e t -1.当t<0时,g'(t)<0;当t>0时,g'(t)>0.故g(t)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e<0,故当t∈[-1,1]时,g(t)≤0.当m∈[-1,1]时,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立;当m>1时,由g(t)的单调性,g(m)>0,即e m-m>e-1;当m<-1时,g(-m)>0,即e-m+m>e-1.综上,m的取值范围是[-1,1].22.解析(Ⅰ)由于△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,所以AD是∠CAB的平分线.又因为☉O分别与AB,AC相切于点E,F,所以AE=AF,故AD⊥EF.从而EF∥BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,AE=AF,AD⊥EF,故AD是EF的垂直平分线.又EF为☉O的弦,所以O在AD上. 连结OE,OM,则OE⊥AE.由AG等于☉O的半径得AO=2OE,所以∠OAE=30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形.因为AE=23,所以AO=4,OE=2.因为OM=OE=2,DM=12MN=3,所以OD=1.于是AD=5,AB=1033.所以四边形EBCF的面积为12×10332×32-12×(23)2×32=1633.23.解析(Ⅰ)曲线C 2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-23x=0.联立x2+y2-2y=0,x2+y2-23x=0,解得x=0,y=0,或x=32,y=32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和32,3 2.(Ⅱ)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2cos α,α).所以|AB|=|2sin α-23cos α|=4sin α-π3.当α=5π6时,|AB|取得最大值,最大值为4.24.解析(Ⅰ)因为(a+b)2=a+b+2ab,(c+d)2=c+d+2cd, 由题设a+b=c+d,ab>cd得(a+)2>(c+2.因此a+>c+(Ⅱ)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(Ⅰ)得a+>c+.(ii)若a+c+则(a+2>(c+)2,即a+b+2ab>c+d+2cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,a+c+|a-b|<|c-d|的充要条件.。
